Logica para principiantes
Alianza Editorial
(libro y CD de apoyo)
VII Encuentro Internacional de
Didactica de la Logica
Marıa Manzano Antonia Huertas
Noviembre 2004
1. Resumen Objetivos
Primer libro de logica
• Alumnos primer ciclo: Filosofıa e Informatica
• Profesores bachillerato (14-17)
• Alumnos bachillerato (parte I y II)
• Autoestudio
RECETA
• Entusiasmar e implicar al alumno◦ Profesor: adicto
◦ No ofender la inteligencia del lector
◦ El alumno descubre las respuestas y creamaterial educativo
◦ En clave futuro investigador
• Texto facil de leer◦ Hoy se mira, no se lee
◦ Enfasis en la formalizacion
◦ Ejemplos: Interesantes, divertidos, mundo real
◦ CD-Rom con miles de ejercicios, 2/3 resuel-tos
• No renunciar a la logica formal◦ Definiciones precisas
◦ Glosario de terminos
◦ Introducciones intuitivas
◦ Presentacion informal de metateoremas (com-pletud y correccion)
◦ Demostraciones en CD-Rom (80 paginas demetalogica)
• Apoyo en clases practicas con ordenador◦ Tarski world
◦ Software propios alumnos
◦ El CD-Rom que acompana nuestro libro
• Marketing de la logica◦ Herramienta aplicable¦ Informatica
¦ I.A.
◦ Interesante teorıa que¦ investigar, desarrollar, mejorar, etc.
¦ adaptar a nuevas necesidades de: lenguaje,informatica, matematicas, economıa, etica,ciencia, transmision de informacion, etc.
2. LOGICA PROPOSICIONAL
2.1. Introduccion general
¿Que es la Logica?
Figura 1: Summa Logicae
Logica o Logicas
Pasado, Presente, Futuro
Logica = estudio de la consistencia
Consistencia 6= lealtadConsistencia 6= justiciaConsistencia 6= sinceridadInconsistencia 6= estupidezInconsistencia 6= irracionalidadInconsistencia 6= desacuerdo con la realidad
El barbero de Las Batuecas
Hace pocos dıas me contaron el caso de un hombrellamado Roque, barbero en Las Batuecas. Solo mehabıan dicho dos frases cuando exclame: ¡Imposible!
“Roque vive en Las Batuecas.”
“Roque afeita a los habitantes de Las Batuecasque no se afeitan a sı mismos y solo a ellos.”
¿Me precipite al no creerme lo que me contaban?
¡Polıticos!
Uno de nuestros insignes polıticos manifiesta:
“Es un error censurar, por violentas, la retrans-
mision de las corridas de toros porque lo que ve-
mos en la television no afecta en absoluto el com-
portamiento; ni siquiera el de los jovenes.”
“Deberıa haber mas programas y documentales
que mostraran nuestras costumbres nacionales (bai-
les tıpicos, corridas de toros, concursos de cortar
troncos, etc.) para ası fomentar estas costumbres
entre los jovenes.”
Suponiendo que dice lo que cree, ¿son consistentes
sus creencias?
Enunciados
Creencias à enunciados
Lengua natural à lenguaje formal
• ambiguedades CHISTES
• bivalencia
“Pernambuco es un estado de Brasil, cuya capital fue
Olinda”
“Todo entero par mayor que dos es igual a la suma
de dos primos”
Consecuencia
Traducciones y retrotraducciones
Esto es, p ∧ q ² p signifiquen lo que signifiquen
p y q.
Picasso es malagueno
Si Picasso nacio en Malaga (p), entonces no es
cierto que naciera en Francia (¬q).
Picasso no nacio en Francia.
LUEGO
Picasso nacio en Malaga.
Esquema
{(p→ ¬q), ¬q} ² p
Picasso es uruapano
Si Picasso nacio en Uruapan (p), entonces no es
cierto que naciera en Francia (¬q).
Picasso no nacio en Francia.
LUEGO
Picasso nacio en Uruapan.
La obscuridad de la noche
Una prueba de la Teorıa del Big Bang
El gran descubrimiento de este siglo es que el uni-verso no es inmovil ni eterno, como supuso la mayorıade los cientıficos del pasado. El universo tiene unahistoria, no ha cesado de evolucionar, enrareciendose,enfriandose, estructurandose. Esta evolucion sucededesde un pasado distante que se situa, segun las es-timaciones, hace diez o quince mil millones de anos,cuando el universo esta completamente desorganizado,no posee galaxias, ni estrellas, ni moleculas, ni tan si-quiera nucleos de atomos...Es lo que se ha llamadoel BIG BANG. Una de las pruebas indirectas de estateorıa se puede plantear ası:
Si las estrellas fueran eternas (p), entonces la canti-dad de luz emitida serıa infinita (q). Si la cantidad deluz emitida fuera infinita, entonces el cielo deberıa serextremadamente luminoso (r). El cielo es obscuro.
LUEGO: Las estrellas no existieron siempre.
Esquema
{(p→ q), (q → r), ¬r} |= ¬p
Lucrecio, filosofo romano, siglo I a.C
Lucrecio afirmaba que el universo aun estaba en sujuventud. Razono ası: He comprobado desde mi in-fancia, se dijo, que las tecnicas se han ido perfeccio-nando. Han mejorado el velamen de nuestros barcos,inventado armas mas y mas eficaces, fabricado instru-mentos musicales mas refinados...¡Si el universo fueraeterno, todos estos progresos habrıan tenido tiempode realizarse cien, mil, un millon de veces¡
Si el universo fuera eterno (p), entonces todos los pro-gresos se habrıan realizado ya (q). Si todos los progre-sos se hubieran producido ya, el mundo estarıa aca-bado, no cambiarıa (r). El mundo cambia.
LUEGO
El mundo no existe desde siempre
Tipologıa de razonamientos correctos, clasificados por
los valores de verdad de sus hipotesis y conclusion en
la realidad
Conclusion
Hipotesis
Verdadera Falsa
Verdadera 1 2Falsa 3 4
Tipologıa de razonamientos incorrectos, clasificados
por los valores de verdad de sus hipotesis y conclusion
en la realidad
Conclusion
HipotesisVerdadera Falsa
Verdadera 5 6Falsa 7 8
Distinciones importantes
Razonamiento concluyente
Valido, con hipotesis compatibles
Revision de creencias
Encontrar soluciones razonables
NUESTRO PLAN
Soltar lastre
INTUITIVO SEMANTICO SINTACTICOConsistencia Satisfacibilidad ConsistenciaConsecuencia Consecuencia Deducibilidad
Limitaciones logica proposicional
Una logica es como una balanza
Figura 2: Balanza
2.2. El lenguaje de la logica proposicional
Caracterısticas
Induccion y recursion
• Notacion uniforme
• Induccion y recursion estructural
Formalizacion en PL
No traduccion literal
• MAFIA
• Tarski
Comprobar con tabla de verdad
Condicional
• Distinto al orden de los eventos
• Distinto que implicacion
Cartas
“Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un
numero par”.
2 1 A B
Figura 3: Las cartas “sobre la mesa”
¿A cuantas cartas tengo que darle la vuelta para estar
completamente segura de que la ley se cumple?
Ejercicios del CD
• Formulas
• Formalizacion
• Formalizacion inversa
Miles de ejemplos
1. El fuego (p) es la causa del humo (q).
2. La magia del cuento se revela (p) solo cuando Pi-
nocho miente (q) o Blancanieves muerde la man-
zana (r).
3. Leere a Proust (p), si me voy de vacaciones (q) y
encuentro sus libros en oferta (r).
2.3. Semantica
Objetivos
Deshacernos: traduccion/retrotraduccion
Por etapas
• Tablas de verdad
• Definiciones: Interpretacion, semanticaExportables a primer orden
• Anoranza tablas de verdad
Metalogica: Reflexividad, Monotonıa, Corte, Basico
ATRAPAR LA LOGICA
Arquımides y la corona del rey Hieron II de Siracusa
Cuenta la leyenda que el rey Hieron de Siracusa habıa
encargado una corona de oro macizo al orfebre real
y que cuando este se la entrego dudo seriamente de
su honestidad, pidiendole a Arquımedes que compro-
bara si efectivamente la corona era de oro puro. Na-
turalmente, no podıa danar la corona para hacerlo.
Arquımedes andaba dandole vueltas al asunto hasta
que un dıa, al entrar en la banera, observo el agua que
rebosaba y se le ocurrio una forma de medir el volu-
men. Cuentan que se puso tan contento, que salio des-
nudo por las calles de Siracusa gritando ¡eureka! (lo
encontre).
Lo que Arquımedes penso fue:
Pesarıa la corona y medirıa su volumen midiendo el
del agua que desplazara. Tomarıa un lingote de oro
macizo que pesara lo mismo y medirıa tambien su
volumen. Cuando lo hizo y comprobo que el lingote
de oro y la corona no desplazaban la misma cantidad
de agua supo que habıan enganado al rey.
p := El peso de la corona y el lingote es el mismoq := La corona y el lingote tienen igual densidadr := La corona y el lingote tienen el mismo volumens := La corona y el lingote desplazan
la misma cantidad de agua
Hechos:
A := p B := ¬sLeyes fısicas:
C := r ↔ s D := p→ (q → r)
Conclusion:
E := ¬qFacilmente se comprueba:
{p, ¬s, p→ (q → r), r↔ s} |= ¬q
p q r s p ¬s r ↔ s p→ (q → r) ¬q0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 1 10 1 0 0 0 1 1 1 00 1 0 1 0 0 0 1 00 1 1 0 0 1 0 1 00 1 1 1 0 0 1 1 01 0 0 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 0 1 1 1 0 01 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1 0 1 01 1 1 1 1 0 1 1 0
Vemos en la tabla de verdad que el unico caso en el
que las hipotesis son verdaderas la conclusion tambien.
1 01A1 A2 An
A... ...... ...
Th (A )
A1A2
¬An...
Teorıa asociada a A
1
11
1
1 01A1 A2 An
A1
A2
Am
... ...
...... ...
... ...
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
.........VAL
...
... ... ...
¿Como atrapar a VAL?
2.4. Tableaux semanticos
Volver a la idea de ”soltar lastre”
espanol à lenguaje formalconsistencia intuitiva à satisfacibilidadconsecuencia intuitiva à semanticaverdad à calculo
¡Estamos locos, vamos a convertir a la logica en un
juego intrascendente de reglas!
¿Que es un tableau?
Respuesta 1 Un procedimiento semantico, pero
sistematico, de busqueda de un modelo que cum-
pla ciertos requisitos.
Respuesta 2 Un procedimiento sintactico de
prueba de teoremas, esto es, un calculo deductivo.
¿Para que se usan?
Satisfacibilidad / InsatisfacibilidadValidez
Consecuencia / IndependenciaBusqueda de solucion
Como calculo deductivo posee ciertas ventajas
1. Son automaticos para la logica proposicional
2. Son mas eficientes que las tablas de verdad
3. Pueden ser facilmente implementados
4. Generalizables a la logica de primer orden
5. aprendizaje muy sencillo
Adecuacion y Suficiencia
Theorem 2.1 Adecuacion: Si hay un tableau cerrado
para Γ, entonces Γ es insatisfacible.
Theorem 2.2 Suficiencia: Si Γ es insatisfacible, enton-
ces hay un tableau cerrado para Γ.
Corolarios
Adecuacion =⇒ Correccion
Si ` A entonces ² A
Suficiencia =⇒ Completud
Si ² A entonces ` A
TEO
VAL
Cálculo
Semántica
Dos metodos de seleccion
TEO
VAL
Las zonas rayadas estánvacías
Calculo correcto y completo
2.5. MAFIA
“ambientados” en el mundo de la Mafia (hechos
delictivos)
descubrir a los traidores a La Familia
Tres apartados:
1. Formalizar los enunciados
p := Pedro es traidorq := Quiteria es traidorr := Ramon es traidors := Sebastian es traidor
2. Comprobar si los datos son compatibles.
3. Extraer consecuencias de los datos y demos-
trar que son validas.
Los gemelos
Este caso es de extrema gravedad, hay que evitar que
se ejecute al hijo del padrino, quien acaba de recibir
un besugo con una tarjeta en la que aparece el nombre
de su hijo.
A := Solo hay tres sospechosos de haber enviado la
“misiva” al padrino, P,Q y R.
B := Sucede que P y R son gemelos identicos, nadie
es capaz de distinguirlos. Ambos son terriblemente
tımidos por lo que todas las acciones importantes las
tienen que hacer en comandita.
C := Justamente el opuesto es el caso de Q, que es
tan hosco, que jamas reliza mision alguna acompanado.
D := Pero el dıa de marras uno de los gemelos lo
paso completo en el bar, muchos testigos ası lo mani-
festaron.
La formalizacion es:
A := (p ∨ q) ∨ r
B := p↔ r
C := q → ¬ (p ∨ r)
D := ¬p ∨ ¬r
Vemos si
{A,B,C,D}es satisfacible.
Formula resultante (ramas abiertas)
¬p ∧ (q ∧ ¬r)
Concluimos que
{A, ...,D} ² ¬p ∧ (q ∧ ¬r)y lo demostramos
MAFIA (3). Los gemelos. ARACNE(María Manzano)
Apartado 2
Para comprobar si son compatibles vemos si fA, B, C, Dg es satisfacible.
(p _ q) _ rp $ r
q ! : (p _ r):p _ :r
p :pr :r
:q
: (p _ r):p:rO
:q: (p _ r)
:p:r
:pO :rO p _ qrO
pO qO :p :r
p _ qrO p _ q
rO
pOq*1
pOq*2
Observamos que son compatibles, hay dos interpretaciones en las que A, ..., D son simultáneamente ver-daderas.
1 = f:p,q, :rg2 = f:p,q, :rg
1
Observamos que son compatibles, hay dos inter-
pretaciones en las que A, ...,D son simultaneamente
verdaderas.
1 = {¬p, q, ¬r}
2 = {¬p, q, ¬r}
Para extraer conclusiones hacemos la intersecion
1 ∩ 2 = {¬p, q,¬r}
La formula resultante es:
¬p ∧ (q ∧ ¬r)
Concluimos que
{A, ...,D} ² ¬p ∧ (q ∧ ¬r)para comprobarlo hacemos un arbol.
MAFIA (3). Los gemelos. ARACNE(María Manzano)
Apartado 3
Para extraer conclusiones hacemos la interseción
1 \ 2 = f:p, q,:rg
La fórmula resultante es::p ^ (q ^ :r)
Concluimos quefA, ..., Dg ² :p ^ (q ^ :r)
para comprobarlo hacemos un árbol.
(p _ q) _ rp $ r
q ! : (p _ r):p _ :r
: (:p ^ (q ^ :r))
::p : (q ^ :r)
:pO :rpr
:p:r
prO
:p:rO
:pO :rO
:q: (p _ r)
:p:r
p _ qrO
pO qO :q::rO
p _ qrO
pO qO
Así que vimos quefA, ..., Dg ² :p ^ (q ^ :r)
Puesto quefA, ..., D, : [:p ^ (q ^ :r)]g
es insatisfacible.
1
2.6. Otros calculos proposicionales
Resolucion
• Dual del de tableaux◦ forma normal conjuntiva
◦ conjuncion abre rama, disjuncion en la misma
• Reglas◦ Expansion clausular: reglas de los tableaux
◦ Simplificacion clausular
• Eliminacion Regla de resolucion
• Varias estrategias
• Automatizable, implementable
Deduccion natural
1. Una prueba con deduccion natural consiste en
una lista finita de formulas
las premisas (o hipotesis)
formulas intermedias
la conclusion
2. reglas del calculo (principales estrategias de razo-
namiento informal)
3. Tienen dos reglas para cada conector (introduccion
y eliminacion)
4. Contienen subpruebas o subdeducciones
A→ (B → C) ` B → (A→ C)
1. A→ (B → C) premisa
2.3.4.5.6.
B
AB → CC
A→ C
hipotesishipotesis(E →), 1, 3(E →), 2, 4(I →), 3, 5
7. B → (A→ C) (I →), 2, 6
Aquı tenemos un ejemplo de subprueba dentro de una
subprueba, por ello hay dos hipotesis, una para abrir
cada subprueba. Curiosamente se aplica la misma re-
gla (I →) a las dos subpruebas (lıneas 6 y 7). Es
importante recordar que una vez cerrada una sub-
prueba solo se la puede citar como un todo, en ningun
caso podemos citar formulas “sueltas” de la subprueba
fuera de ella.
3. CONJUNTOS Y DIAGRAMAS
3.1. Teorıa basica de conjuntos
Presentacion muy basica e intuitiva, instrumental
Remitimos a nuestro libro: El Universo matematico
en http://logicae.usal.es
Conjuntos
• Pertenecia, igualdad, subconjunto
• Algebra de conjuntos
• Universo de individuos
Espanol en Teorıa de conjuntos
3.2. Diagramas de Venn
¿Hay un razonamiento visual, diagramatico?
Representar los conjuntos abstractos A, B y C
A
B
C
5 2
8
U
6
13 4
7
Hoja de trebol
Razonamiento diagramatico
Logica de relatores monarios (Silogıstica)
Sintaxis de los diagramas
1. Rectangulo
2. Curva cerrada
3. Sombreado
4. Cruces
Como objetos auxiliares:
5. Lıneas, para unir las cruces
6. Para nombrar las curvas y el rectangulo se usaran
letras.
La informacion se suma mediante superposicion
Por ejemplo:
U
P Q
U
P
U
&P QQ
Diagrama inconsistente
La superposicion de los diagramas correspondientes a
P 6= ∅, P ⊆ Q y P ⊆∼ Q es inconsistente.
P
U
Q P
U
Q P
U
Q
P 6= ∅ P ⊆ Q P ⊆∼ QEl resultado final es el siguiente:
P
U
Q
Diagrama final
Razonamiento diagramatico
Mediante diagramas de Venn determinamos si es co-
rrecto el razonamiento siguiente:
Hipotesis 1 J ∩R 6= ∅
Hipotesis 2 E ∩ J = ∅
Conclusion (J ∩R)∩ ∼ E 6= ∅J
R
U
E
J
R
E
U J
R
U
E
Hipotesis 1 Hipotesis 2 Conclusion negada
J
R
U
E
Diagrama final
DiagramaConsistenteInconsistente F
RazonamientoCorrecto FIncorrecto
3.3. SILOGISTICA AVENTURERA
Lo veremos con un ejemplo: (Silvina Merino)
La Isla del Tesoro (Robert L. Stevenson)
Baso mis razonamientos en la novela de aventuras
“La isla del tesoro”, de Robert L. Stevenson, cuyo
argumento se puede resumir...
HIPOTESIS 1 A := Todos los piratas enrolados
en La Espanola saben de la existencia de un tesoro
HIPOTESIS 2 B := Nadie que sepa de la existen-
cia de un tesoro obra desinteresadamente
CONCLUSION C := Hay piratas que obran desin-
teresadamente, pero no van enrolados en La Espanola
Formalizacion
Universo de discurso: Piratas
Ex := x es un pirata enrolado en La Espanola
Sx := x sabe de la existencia del tesoro
Dx := x obra desinteresadamente
HIPOTESIS 1 A := ∀x(Ex→ Sx)
HIPOTESIS 2 B := ¬∃x(Sx ∧Dx)
CONCLUSION C := ∃x(Dx ∧ ¬Ex)
Es la formalizacion en el lenguaje de primer orden de
predicados monarios.
Representacion en Teorıa de Conjuntos
Sea
A =DA,
DEA, SA,DA
EEuna estructura adecuada al lenguaje del silogismo
HIPOTESIS 1 EA∩ ∼ SA = ∅HIPOTESIS 2 SA ∩DA = ∅CONCLUSION DA∩ ∼ EA 6= ∅
Es la representacion en la estructura A
Resolucion mediante diagramas de Venn
Identificacion silogismos
SILOGÍSTICA AVENTURERA (3): La Isla del Tesoro ARACNE
Explicación 3
Silogismo 1
Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada
Diagrama final.
DiagramaConsistente FInconsistente
RazonamientoCorrectoIncorrecto F
Contraejemplo
SeaA = A,
EA, SA,DA®®
una estructura adecuada al lenguaje del silogismo, cuyo universo lo constituyen los piratas y EA, SA,DA son losconjuntos de piratas enrolados en La Española, que saben de la existencia del tesoro y que obran desinteresadamente,respectivamente. Hagamos:
A ={1, 2, 3}EA = {1}SA = {1, 2}DA = ∅
Fácilmente se comprueba queEA∩ ∼ SA = {1} ∩ {3} = ∅SA ∩DA = {1, 2} ∩∅ = ∅
peroDA∩ ∼ EA = ∅ ∩ {2, 3} = ∅
1
Contraejemplo
Sea
A =DA,
DEA, SA,DA
EEuna estructura adecuada al lenguaje del silogismo,
cuyo universo lo constituyen los piratas y EA, SA, DAson los conjuntos de piratas enrolados en La Espanola,
que saben de la existencia del tesoro y que obran des-
interesadamente, respectivamente. Hagamos:
A ={1, 2, 3}EA = {1}SA = {1, 2}DA = ∅
Facilmente se comprueba que
EA∩ ∼ SA = {1} ∩ {3} = ∅SA ∩DA = {1, 2} ∩∅ = ∅
pero
DA∩ ∼ EA = ∅ ∩ {2, 3} = ∅
Identificacion del silogismo
Cuartafigura
P MM SS P
MODOAEO
A E O
Era uno de los silogismos seleccionados como correc-
tos, pero no lo es.
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