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2013Antonio Garca MegaLos nmeros fraccionariosAngarmegia: Ciencia, Cultura y Educacin. Portal de Investigacin y docenciahttp://[email protected]
http://angarmegia.com/http://angarmegia.com/mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/es/legalcode.eshttp://www.safecreative.org/work/1309015685943mailto:[email protected]://angarmegia.com/7/30/2019 Los nmeros fraccionarios: conceptos y operaciones
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Los nmeros
fraccionariosConceptos y operaciones
Notas y recursos didcticos para las clases de Matemticasde Educacin Primaria y Secundaria
Una propuesta deAntonio Garca Mega
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El presente documento forma parte del proyecto del Portal de Educacin yDocencia Angarmegia, Ciencia, Cul tur a y Educacin (http://angarmegia.com).Propone algo ms que unos apuntes para orientar a nuestros alumnos deEducacin Secundaria en sus estudios sobre el tema.Junto a un el texto muy simplificado y centrado en aspectos esenciales paracompletar, o diversificar, los contenidos recogidos en su libro base, el proyectodispone de vdeos relacionados y de actividades interactivas para mejorar yreforzar las adquisiciones.
Los vdeos estn localizables en la seccin Vdeos del Portal o en elCanal Angarmegia de YouTube. Las direcciones son:
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Las actividades interactivas se encuentran en la seccin Refuerzo alestudio.
http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm
Esta misma informacin en formato html est accesible desde lassecciones Matemticas
http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm y Matemticas fciles, que recoge las fichas esquemticas de todoslos contenidos de la Educacin Secundaria obligatoria realizadas por elProfesor Bienvenido Ayala:
http://angarmegia.com/menumatematicas.htm
Agradecemos cualquier crtica o sugerencia que tengan a bien hacernos. Nuestramayor satisfaccin estriba en conocer que nuestro trabajo puede contribuir amejorar el nivel educativo de las generaciones que habrn de sustituirnos.
Antonio Garca MegaMaestro, Diplomado en Geografa e Historia, Licenciado en Filosofa y Letras,
Doctor en Filologa Hispnica.
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CONTENIDO
Introduccin: ________________________________________________________________ 9La lectura de nmeros fraccionarios ____________________________________________ 9
Clases de nmeros fraccionarios ________________________________________________ 10Fracciones propias _________________________________________________________ 10Fracciones impropias y nmeros mixtos ________________________________________ 10Fracciones homogneas _____________________________________________________ 11Fracciones aparentes _______________________________________________________ 11Fracciones equivalentes _____________________________________________________ 12Fracciones decimales _______________________________________________________ 12
Propiedades de los quebrados __________________________________________________ 12
La simplificacin de fracciones _________________________________________________ 13
Reduccin de quebrados a un comn denominador __________________________________ 14
Operaciones con nmeros fraccionarios __________________________________________ 15Adicin de fracciones _______________________________________________________ 15Sustraccin de fracciones ____________________________________________________ 16Multiplicacin de fracciones _________________________________________________ 17Divisin de fracciones ______________________________________________________ 18Potencia de una fraccin ____________________________________________________ 19
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_____9
INTRODUCCIN:Se denomina nmero fraccionario a aquel que representa a una o varias partes iguales en las quese ha dividido una, o ms, unidades enteras. Consta siempre de dos trminos que se suelenpresentar en forma de dos cifras colocadas una sobre otra y separadas por una lnea.
En nmero inferior, denominador, indica el nmero de partes en que se ha dividido cada unidadentera. El superior, o numerador, informa de los fragmentos de unidad que se consideran: se
han tomado cuatro partes de las seis obtenidas al fragmentar la unidad entera.Un nmero fraccionario es la forma de expresar de manera exacta el resultado de un cocienteinexacto que tiene como dividendo el numerador y como divisor al denominador.El ejemplo utilizado ser el resultado exacto de la dividin 4:6.
LA LECTURA DE NMEROS FRACCIONARIOS
Los nmeros fraccionarios, o fracciones. Se leen enunciando primero el numerador como unnmero entero y luego el denominador como un nmero partitivo. En el caso del ejemplo:
Cuatro sextos
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_____10
PartitivosPartes realizadas Lectura del denominador
2 Medios3 Tercios4 Cuartos
5 Quintos6 Sextos7 Sptimos8 Octavos9 Novenos10 Dcimos11 Onceavos12 Doceavos13 Treceavos14 Catorceavos15 Quinceavos16 Dieciseisavos
17 Diecisieteavos18 Dieciochoavos19 Diecinueveavos20 Veinteavos30 Treintavos
CLASES DE NMEROS FRACCIONARIOSFRACCIONES PROPIAS
Son aquellas que representan una cantidad inferior a la unidad. Se reconocen porque eldenominador es mayor que numerador.
FRACCIONES IMPROPIAS Y NMEROS MIXTOS
Son aquellas que representan una cantidad superior a la unidad. Se reconocen porque eldenominador es menor que numerador.
Pueden tomar la forma de nmero mixto. Se denominan as aquellos nmeros fraccionarios que
constan de una parte entera y un nmero fraccionario. En el ejemplo, como resulta evidente:
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_____11
4
3= 1 +
1
3= 1
1
3
Para transformas una fraccin impropia en nmero mixto se divide el numerador entre eldenominador. El cociente resultante corresponde a la parte entera de la forma mixta, el resto dela operacin se sita en el numerador y como denominador se mantiene el que haba, es decir el
divisor.
7
3= 2 +
1
3= 2
1
3
Al dividir 7:3 se obtiene:
COCIENTE=2
RESTO =1
De manera anloga un nmero mixto puede tomar la forma de fraccin impropia. Para ello semultiplica la parte entera por el denominador y se suma al producto el numerador. El resultadoes el nuevo numerador. El denominador es el mismo. En el caso anterior:
21
3
ENTERO =2
DENOMINADOR =3
NUMERADOR =1
23=6
6+1=7 Se sita como numerador
Se mantiene 3 como denominador
FRACCIONES HOMOGNEAS
Se llaman homogneas a las fracciones que muestran el mismo denominador:
4
3;
8
3;
2
3
FRACCIONES APARENTES
Se llaman as a los nmeros fraccionarios que realmente representan unidades completas. Si sehacen cuatro partes de algo y se hacen referencia a esas cuatro partes, en realidad, se estaraludiendo a la totalidad del objeto o cantidad. En realidad, son fracciones que representan
divisiones exactas. Por eso, convertir una fraccin aparente en un nmero entero es tan sencillocomo dividir el numerador entre el denominador. El resto siempre es 0.
4
4= 4 4 = 1
15
5= 15 5 = 3
Asimismo, cualquier nmero entero puede tomar la forma de fraccin con denominador 1:
17 =17
1
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_____12
FRACCIONES EQUIVALENTES
Son aquellas que representan a la misma cantidad a pesar de utilizar trminos diferentes:
FRACCIONES DECIMALES
Son un caso especial de nmero fraccionario. Se denominafraccin decimala la que tiene comodenominador la unidad seguida de ceros, es decir. Cualquiera de las potencias de 10. Es mscomn utilizarlas en su formato de nmero decimal que con la forma caracterstica de un
quebrado.4
10= 04
8
100= 008
La lectura de los quebrados decimales vara ligeramente de la regla general de lectura apuntadacon anterioridad:
Fracciones decimalesPartes realizadas Lectura del denominador
10 Dcimas100 Centsimas1.000 Milsimas
10.000 Diezmilsimas100.000 Cienmilsimas
1.000.000 Millonsimas
Para convertir un nmero decimal en fraccin comn se opera de la siguiente forma: NUMERADOR: El nmero completo considerado como entero, es decir, prescindiendo
de la coma decimal. DENOMINADOR: La unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el
nmero.
0089 = 891000
218 = 218100
= 218
100
PROPIEDADES DE LOS QUEBRADOS De dos o ms quebrados con el MISMO DENOMINADOR es mayor el que presenta
mayor numerador.
2
4;
1
4;
3
4 3
4>
2
4>
1
4
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_____13
De dos o ms quebrados con el MISMO NUMERADOR es mayor el que presentamenor denominador.
3
4;
3
6;
3
2 3
2>
3
4>
3
6
Si el NUMERADOR de un quebrado SE MULTIPLICA POR UN NMERO, el valor querepresenta el QUEBRADO QUEDA MULTIPLICADO POR ESE NMERO. Esta propiedadposibilita que para multiplicar un entero por un quebrado se multiplique elnumerador y se mantenga el mismo denominador.
3 2
2=
6
2
Si el NUMERADORde un quebrado SE DIVIDE POR UNO DE SUS DIVISORES, el valorque representa EL QUEBRADO QUEDA DIVIDIDO POR EL MISMO NMERO.
4 210
=2
10
Si el DENOMINADOR de un quebrado SE MULTIPLICA POR UN NMERO, el valor querepresenta EL QUEBRADO QUEDA DIVIDIDO POR ESE NMERO.
Si el DENOMINADORde un quebrado SE DIVIDE POR UNO DE SUS DIVISORES, el valorque representa EL QUEBRADO QUEDA MULTIPLICADO POR ESE NMERO.
Si el NUMERADORy el DENOMINADOR de un quebrado se multiplican o dividen porun mismo nmero el valor que representa el quebrado no se altera. Esta propiedad
es fundamental para la simplificacin o amplificacin de fracciones y la reduccinde quebrados a comn denominador.
LA SIMPLIFICACIN DE FRACCIONESLa simplificacin de fracciones busca su transformacin en otras equivalentes pero con lostrminos ms pequeos que facilite los clculos. Cuando no es posible ms simplificacin se haalcanzado lafraccin irreducible. Todo quebrado cuyos dos trminos son nmeros primos entres, es irreducible.Para simplificar una fraccin se han de dividir ambos trminos, sucesivamente, entre todos losfactores comunes al numerador y al denominador.
20
50(dividiendo ambos factores entre 2) =
10
25
Dividiendo ambos factores entre 510
25=
2
5
2
5= 20
50
El mtodo ms eficaz para simplificar fracciones, especialmente si se opera con cifras elevadas,
consiste en dividir numerador y denominador entre el m.c.d. de sus valores.
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_____14
90
1350
90 = 2 32 51350 = 2 33 52
m.c.d. (90, 1350) = 2 9 5 = 90
90 : 90 = 11350 : 90 = 15
90
1350=
1
15
REDUCCIN DE QUEBRADOS A UN COMN DENOMINADORReducir varias fracciones a un denominador comn es buscar otras equivalentes que tengan el
mismo denominador. Se basa en la aplicacin de la propiedad, ya enunciada, que deca: Si elNUMERADOR y elDENOMINADOR de un quebrado se multiplican o dividen por un mismo nmero
el valor que representa el quebrado no se altera. Es imprescindible para efectuar determinadosclculos con este tipo de nmero.
MTODO TRADICIONALSe multiplican los dos trminos de cada fraccin por el producto de los denominadoresde todas las dems.
,
,
,
Reduccin a comn denominador2
4 2 3 8 10
4 3 8 10=
480
960
7
3 7 4 8 10
3 4 8 10=
2240
960
2
8 2 4 3 10
8 4 3 10=
240
960
5
10 5 4 3 8
10 4 3 8=
480
960
Resultado final ,
,
,
,
,
,
MTODO DEL m.c.m.Se calcula el m.c.m. de todos los denominadores. Ser el denominador comn. Cadanuevo numerador se determina multiplicando el original por el resultado de dividir elm.c.m. entre el denominador correspondiente.
,
,
,
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Clculo del m.c.m de todos los denominadores4 = 22
3 = 38 = 23
10 = 2 5m.c.m (4, 3, 8, 10) = 8 3 5 = 120
Reduccin a comn denominador2
4 2 (120 4)
120=
60
120
7
3 7 (120 3)
120=
280
120
2
8 2 (120 8)
120=
30
120
5
10 5 (120 10)
120=
60
120
Resultado final ,
,
,
,
,
,
OPERACIONES CON NMEROS FRACCIONARIOSADICIN DE FRACCIONES
CASO 1:TODAS LAS FRACCIONES TIENEN EL MISMO DENOMINADORSi las fracciones son homogneas, es decir, tienen un mismo denominador, se suman losnumeradores y se mantiene el mismo denominador.
3
5+
2
5+
6
5+
4
5=
3 + 2 + 6 + 4
5=
15
5
CASO 2:LAS FRACCIONES TIENEN DIFERENTES DENOMINADORESSi las fracciones no son homogneas, es decir, tienen diferente denominador, se reducenprimero a comn denominador y se opera con los quebrados equivalentes obtenidoscomo en el caso anterior.
PROCEDIMIENTO TRADICIONAL:
1
5+
2
4+
3
8=
1 4 8
160+
2 5 8
160+
3 5 4
160=
32
160+
80
160+
60
160=
172
160
PROCEDIMIENTO m.c.m.1
5+
2
4+
3
8
Clculo m.c.m. de los denominadores5 = 54= 22
8= 23
m.c.m. (5, 4, 8) = 23 5 = 40
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_____16
1
5+
2
4+
3
8=
1 (40 5)40
+2 (40 4)
40+
3 (40 8)40
=8
40+
20
40+
15
40=
43
40
COMPARATIVA DE RESULTADOS DE AMBOS PROCEDIMIENTOS
1: 172160
172 4160 4 =
43
40
2: 4340
CASO 3:ALGN NMERO FRACCIONARIO SE PRESENTA EN FORMATO DE NMERO MIXTOSi alguno de los sumandos es un nmero mixto se procede ante todo a sutransformacin en fraccin impropia. Despus se sigue el procedimiento descrito en elcaso anterior.
23
4+ 1
1
6+
4
7
Transformacin de nmeros mixtos en fracciones impropias
23
4=
8
4+
3
4=
11
4
11
6=
6
6+
1
6=
7
6
Resulta:
2
3
4 + 1
1
6 +
4
7 =
11
4 +
7
6 +
4
7
Clculo m.c.m. de los denominadores4= 22
6 = 2 37= 7
m.c.m. (4, 6, 7) = 22 3 7 = 84
11
4+
7
6+
4
7=
11 (84 4)84
+7 (84 6)
84+
4 (84 7)84
=231
84+
98
84+
48
84=
377
84
SUSTRACCIN DE FRACCIONES
CASO 1:TODAS LAS FRACCIONES TIENEN EL MISMO DENOMINADORSi las fracciones son homogneas, es decir, tienen un mismo denominador, se restan losnumeradores y se mantiene el mismo denominador.
5
7 2
7=
5 27
=3
7
CASO 2:LAS FRACCIONES TIENEN DIFERENTES DENOMINADORESSi las fracciones no son homogneas, es decir, tienen diferente denominador, se reducen
primero a comn denominador y se opera con los quebrados equivalentes obtenidoscomo en el caso anterior.
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_____17
PROCEDIMIENTO TRADICIONAL:
4
10 2
24=
4 24
240 2 10
240=
96
240 20
240=
76
240
PROCEDIMIENTO m.c.m.
410 224
Clculo m.c.m. de los denominadores10 = 2 524 = 23 3
m.c.m. (10, 24) = 23 3 5 = 120
4
10 2
24=
4 (120 10)120
+2 (120 24)
120=
48
120 10
120=
38
120
COMPARATIVA DE RESULTADOS DE AMBOS PROCEDIMIENTOS
1: 76240
76 2240 2 =
38
120
2: 38120
CASO 3:ALGN NMERO FRACCIONARIO SE PRESENTA EN FORMATO DE NMERO MIXTOSi alguno de los trminos es un nmero mixto se procede, ante todo, a sutransformacin en fraccin impropia. Despus se sigue el procedimiento descrito en elcaso anterior.
4
3
2 14
5
Transformacin de nmeros mixtos en fracciones impropias
43
2=
8
2+
3
2=
11
4
14
5=
5
5+
4
5=
9
5
Resulta:
43
2 1 4
5=
11
4 9
5
Clculo m.c.m. de los denominadores4= 22
5=5m.c.m. (4, 5) = 22 5 = 20
11
4 9
5=
11 (20 4)20
9 (20 5)20
=55
20 36
20=
19
20
MULTIPLICACIN DE FRACCIONES
CASO 1:PRODUCTO DE UNA FRACCIN POR UN ENTERO
Se multiplica el entero por el numerador y se mantiene el denominador.
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_____18
3 5
8=
3 5
8=
15
8
4
9 6 =
4 6
9=
24
9
CASO 2:PRODUCTO DE VARIAS FRACCIONESNumerador del producto: Resultado de multiplicar entre s todos los numeradores.Denominador del producto: resultado de multiplicar entre s todos los denominadores.
3
11
6
4
5
3=
3 6 5
11 4 3=
90
132
CASO 3:ALGN FACTOR SE PRESENTA EN FORMATO DE NMERO MIXTOSi alguno de los factores es un nmero mixto se procede a su transformacin en fraccinimpropia. Despus se sigue el procedimiento descrito en el caso anterior.
33
2
2
6
14
3
Transformacin de nmeros mixtos en fracciones impropias
33
2=
6
2+
3
2=
9
2
14
3=
3
3+
4
3=
7
3
Resulta:
33
2
2
6 1
4
3=
9
2
2
6
7
3=
9 2 7
2 6 3=
126
36
DIVISIN DE FRACCIONES
CASO 1:DIVISIN DE UN ENTERO ENTRE UNA FRACCINSe multiplica el entero por el denominador de la fraccin situando en resultado comonuevo numerador. El numerador inicial pasa a ser denominador del cociente.
4 58
=4 8
5=
32
5
6 65
=6 5
6=
30
6
CASO 2:DIVISIN DE UNA FRACCIN ENTRE UN ENTEROSe mantiene el mismo numerador. El denominador ser el que resulte de multiplicar eldenominador de la fraccin por el entero.
5
7 3 = 5
7 3=
5
21
4
8 5 = 4
8 5=
4
40
CASO 3:DIVISIN DE UNA FRACCIN ENTRE OTRA FRACCINNumerador del cociente: Resultado de multiplicar el numerador del primero
(dividendo), por el denominador del segundo (divisor).
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_____19
Denominador del cociente: Resultado de multiplicar el denominador del primero(dividendo), por el numerador del segundo (divisor).
4
11 6
5=
4 5
11 6=
20
66
35 24 = 3 45 2 = 1210
Importante: En el supuesto de que alguno de los trminos tenga la forma de nmero mixto, seobtendr la fraccin impropia equivalente de este y se operar a continuacin del modo aqu
descrito.
21
5 3
7=
11
5 3
7=
11 7
5 3=
77
15
POTENCIA DE UNA FRACCIN
Para elevar un nmero fraccionario a una potencia se elevan numerador y denominador a dichapotencia.
25
3
=23
53=
8
125
37
2
=32
72=
9
49
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Vdeos relacionados en:http://angarmegia.com/videos.htm
http://www.youtube.com/user/angarmegia
Actividades interactivas en:http://angarmegia.com/refuerzoestudio.htm
Informacin en formato html, y fichas resumen del profesor Bienvenido Ayala, en:http://angarmegia.com/carpeta2/matematicas.htm
http://angarmegia.com/menumatematicas.htm
Ms documentos imprimibles relacionados en:http://angarmegia.com/apoyos_imprimibles.htm#Matematicas
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