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Tabla decontenido
Páginas legales ............................. 3
Estándares grados 10 a 11 .......... 5
Así es el libro del alumno ............. 6
Así es el libro de actividades ..... 7
Unidad 1. Funciones ...................... 8
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores ............ 9
Prueba ICFES .............................. 10
Unidad 2. Funciones trigonométricas ........................... 11
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 12
Prueba ICFES .............................. 13
Unidad 3 Gráfi cas de las funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas .......... 14
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 15
Prueba ICFES .............................. 16
Unidad 4. Aplicación de las funciones trigonométricas ........................... 17
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 18
Prueba ICFES .............................. 19
Unidad 5. Identidades y ecuaciones trigonométricas ........................... 20
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 21
Prueba ICFES ..............................22
Unidad 6. Geometría analítica ........................................23
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 24
Prueba ICFES ............................. 25
Unidad 7. Estadística y probabilidades .......................... 26
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 27
Prueba ICFES .............................28
EL MOVIMIENTO PEDAGÓGICO DE LA ESCUELA NUEVA ................. 29
ACERCA DE LA PROGRAMACIÓN NEUROLINGÜÍSTICA .................30
Glosario básico de términos de evaluación educativa ........... 31
El libro Fórmula de Décimo grado, guía del educador para la Educación Básica ha sido elaborado según el plan de la Empresa Editorial y bajo su responsabilidad por las siguientes personas del Departamento de Investigación Educativa de EDITORIAL VO-LUNTAD S. A.
Autoría: Luis Daniel León BarreroLicenciado en Matemáticas
Edición: Víctor Hernando Ardila GutiérrezLicenciado en Matemáticas
Coordinación de las pruebas de campoAndrea Escobar ViláEspecialista en Psicología del Consumidor
Coordinación de equidad de género y adecuación a la diversidad culturalMiriam Cristy León Acosta
Coordinación de diagramaciónGina Andrea Navas Negret
Diseño gráfi co Diego Sánchez Cristancho
DiagramaciónGustavo Adolfo Forero Pinzón
IlustraciónEnrique Martínez Ferreira
DocumentaciónIngrid Alejandra Pineda Becerra
Diseño de carátulaGonzalo Ochoa Martínez
Dirección de arteJorge Alberto Osorio VillaEspecialista en Gerencia de [email protected]
Gerencia editorialCarlos William Gómez Rosero M. Sc
ISBN Tomo 978-958-02-2693-2ISBN Colección 978-958-02-2530-0© EDITORIAL VOLUNTAD S. A. 2009Derechos reservados. Es propiedad del Editor. Esta publicación no puede ser reproducida en todo ni en parte, ni archivada o trasmitida por ningún medio electrónico, mecánico, de graba-ción, de fotocopia, de microfi lmación o en otra forma, sin permiso previo del Editor. Depósito legalPrimera edición, 2009EDITORIAL VOLUNTAD S. A.Carrera 7a. No. 24-89 Piso 24Teléfono 2410444 - Fax 2410439Bogotá, D. C. - Colombia.www.voluntad.com.coSus comentarios comuníquelos al área de Matemá[email protected] en Colombia.Printed in Colombia.
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Fórmula como respuesta a los estándares básicos de competencias
Competencia matemática
Una noción amplia de competencia la señala como un conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafec-tivas y psicomotoras que se relacionan entre sí de manera apropiada para facilitar el desempeño fl exi-ble, efi caz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a respon-der en el aula de clase.
Las competencias matemáticas no se alcanzan por ge-neración espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema signifi cativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.
En un sentido superior, la competencia no sólo implica lo conceptual: saber qué y saber por qué, sino lo procedi-mental que está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias y que puede identifi -carse como el saber cómo.
Toda esta concepción se enmarca dentro de la enseñan-za para la comprensión.
Los cinco procesos generales de la actividad matemática
Los cinco procesos generales que se contemplan en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formu-lar y resolver problemas; modelar procesos y fenóme-nos de la realidad; comunicar; razonar; formular, com-parar y ejercitar procedimientos y algoritmos.
Dicha clasifi cación en cinco procesos generales tiene en cuenta que existen traslapes y relaciones e interac-ciones múltiples entre ellos.
Los cinco tipos de pensamiento matemático
Ser competente en las matemáticas requiere ser dies-tro, efi caz y efi ciente en el desarrollo de cada uno de los procesos generales, en los cuales cada estudiante pasa por distintos niveles de competencia. Además de
relacionarse con esos cinco procesos, ser competente en matemáticas se concreta de manera específi ca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numé-rico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional.
• El pensamiento numérico y los sistemas numéricos
Hace énfasis en la comprensión del uso y de los signifi -cados de los números y de la numeración; la compren-sión del sentido y signifi cado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación.
• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos
El pensamiento espacial, se entiende como "... el con-junto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones menta-les de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o re-presentaciones materiales"
• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas
Los conceptos y procedimientos propios de este pensa-miento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantida-des, su medición y el uso fl exible de los sistemas métri-cos o de medidas en diferentes situaciones.
• El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos
Este tipo de pensamiento, llamado también probabilísti-co, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incerti-dumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de información confi able, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar.
Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura.
• El pensamiento variacional y los sistemas algebrai-cos y analíticos
Tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identifi cación y la caracterización de la variación y el
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cambio en diferentes contextos, así como con su des-cripción, modelación y representación en distintos sis-temas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráfi cos o algebraicos.
Contextos
Hay al menos tres tipos o niveles de contexto: el contex-to inmediato o contexto de aula, creado por el espacio físico, por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema prepara-da por el docente; el contexto escolar o contexto insti-tucional, confi gurado por los escenarios de las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, las tradicio-nes y los saberes de los estudiantes, docentes emplea-dos administrativos y directivos, así como por el PEI, las normas de convivencia, el currículo explícito de las dis-tintas áreas curriculares y el llamado "currículo oculto" de la institución, y el contexto extraescolar o contexto sociocultural, conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local, de la región, el país y el mundo.
Sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación
La enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cuales el docente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemáti-co signifi cativo y comprensivo –y en particular situacio-nes problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen para reconstruir y validar en forma personal y colectiva el sa-ber matemático. A continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones.
• Partir de situaciones de aprendizaje signifi cativo y comprensivo de las matemáticas.
• Diseñar procesos de aprendizaje mediados por esce-narios culturales y sociales.
• Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza.
• Aprovechar la variedad y efi cacia de los recursos di-dácticos.
• Refi nar los procesos de evaluación.
Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero, cuarto a quinto, sexto a sépti-mo, octavo a noveno y décimo a undécimo).
El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias de manera gradual e integrada. Los estándares identifi can niveles de avance en procesos graduales que, incluso, no son termi-nales en el conjunto de grados para el que se proponen.
La organización curricular de cada institución, en cohe-rencia con su PEI, debe buscar el desarrollo de un traba-
jo integrado en los distintos pensamientos, más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás.
Cómo se formula cada estándar
Los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas, se encabezan por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados con él, y satisfacen la siguiente es-tructura:
La estructura de los estándares básicos
Conceptos y procedimientos matemáticos
Procesos generales Contextos
Los estándares para cada pensamiento se basan en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las
matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar, se re-quiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales.
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Pensamiento numérico
y sistemas numéricos
Pensamiento
espacial y sistemas
geométricos
Pensamiento
métrico y siste-
mas de medidas
Pensamiento
aleatorio y sistemas de
datos
Pensamiento varia-
cional y sistemas alge-
braicos y analíticos
* Analizo representaciones
decimales de los números
reales para diferenciar entre
racionales e irracionales.
• Reconozco la densidad e
incompletitud de los números
racionales a través de méto-
dos numéricos, geométricos y
algebraicos.
Comparo y contrasto las
propiedades de los números
(naturales, enteros, racionales
y reales) y las de sus relaciones
y operaciones para construir,
manejar y utilizar apropiada-
mente los distintos sistemas
numéricos.
• Utilizo argumentos de la teo-
ría de números para justifi car
relaciones que involucran
números naturales.
• Establezco relaciones y
diferencias entre diferentes
notaciones de números reales
para decidir sobre su uso en
una situación dada.
• Identifi co en forma
visual, gráfi ca y
algebraica algunas
propiedades de
las curvas que se
observan en los
bordes obtenidos
por cortes longitu-
dinales, diagonales
y transversales en
un cilindro y en un
cono.
• Identifi co caracterís-
ticas de localización
de objetos geomé-
tricos en sistemas
de representación
cartesiana y otros
(polares, cilíndricos
y esféricos) y en par-
ticular de las curvas
y fi guras cónicas.
• Resuelvo problemas
en los que se usen
las propiedades
geométricas de
fi guras cónicas por
medio de transfor-
maciones algebrai-
cas de esas fi guras.
• Uso argumentos
geométricos para
resolver y formular
problemas en con-
textos matemáticos
y en otras ciencias.
• Describo y modelo
fenómenos periódi-
cos del mundo real
usando relaciones y
funciones trigono-
métricas.
• Reconozco y
describo curvas y o
lugares geométricos.
• Diseño estrate-
gias para abordar
situaciones de
medición que
requieran grados
de precisión
específi cos.
• Resuelvo y for-
mulo problemas
que involucren
magnitudes
cuyos valores
medios se suelen
defi nir indirec-
tamente como
razones entre
valores de otras
magnitudes,
como la velo-
cidad media, la
aceleración me-
dia y la densidad
media.
• Justifi co resulta-
dos obtenidos
mediante proce-
sos de aproxi-
mación sucesiva,
rangos de varia-
ción y límites en
situaciones de
medición.
• Interpreto y comparo re-
sultados de estudios con
información estadística
provenientes de medios
de comunicación.
• Justifi co o refuto infe-
rencias basadas en razo-
namientos estadísticos
a partir de resultados de
estudios publicados en
los medios o diseñados
en el ámbito escolar.
• Diseño experimentos
aleatorios (de las ciencias
físicas, naturales o
sociales) para estudiar un
problema o pregunta.
• Diseño tendencias que se
observan en conjuntos
de variables relacionadas.
• Interpreto nociones
básicas relacionadas con
el manejo de informa-
ción como población,
muestra, variable
aleatoria, distribución de
frecuencias, parámetros
y estadígrafos.
• Uso comprensivamente
algunas medidas de cen-
tralización, localización,
dispersión y correlación
(percentiles, cuartiles,
centralidad, distancia,
rango, varianza, cova-
rianza y normalidad).
• Interpreto conceptos de
probabilidad condicio-
nal e independencia de
eventos.
• Resuelvo y planteo
problemas usando con-
ceptos básicos de conteo
y probabilidad (combina-
ciones, permutaciones,
espacio muestral, mues-
reo aleatorio, muestreo
con remplazo).
• Propongo inferencias
a partir del estudio de
muestras probabilísticas.
• Utilizo las técnicas
de aproximación en
procesos infi nitos
numéricos.
• Interpreto la noción de
derivada como razón
de cambio y como
valor de la pendiente
de la tangente a una
curva y desarrollo
métodos para hallar las
derivadas de algunas
funciones básicas en
contextos matemáticos
y no matemáticos.
• Analizo las relaciones y
propiedades entre las
expresiones algebrai-
cas y las gráfi cas de
funciones polinómicas
y racionales y de sus
derivadas.
• Modelo situaciones de
variación periódica con
funciones trigonomé-
tricas e interpreto y
utilizo sus derivadas.
Tabla de estándares grados 10 a 11
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Así es el libro del alumno
Marco histórico En esta sección se señalan algunos de los aconteci-mientos ocurridos en forma contemporánea con el desarrollo del tema que es el motivo de estudio en la unidad y que infl uenciaron o acompa-ñaron su evolución.
El estudiante se da cuenta que cada temática abordada ha evo-lucionado y evoluciona de manera permanente en el tiempo.
Aplicaciones reales Son hechos o acciones en los que se usan de manera permanente los temas que se abordan en la unidad. Buscan que el estudiante entienda la aplicabilidad de las mate-máticas en su entorno próximo.
Temáticas Giran en torno al desarrollo de los conceptos bási-cos de la unidad. Comienzan con la formulación de un logro, una pregunta o actividad diagnóstica a la que se le denomina COMPARTE LO QUE SABES y continúa con la formalización de las ideas y conceptos y la inclusión de ejemplos.
Práctica en contexto Son las actividades propias de la temática. A cada una de ellas o conjunto de ellas se les identifi ca con una competencia particular.
Al pie de página aparecen las competencias y los desempeños esperados con el desarrollo de las ac-tividades y problemas.
Tecnología En esta sección se entiende la Tecno-logía como un conjunto de saberes que permiten fabricar objetos y modifi car el medio ambiente para satisfacer las necesidades y deseos huma-nos. Fórmula orienta en esta sección hacia la Educación Tecnológica como disciplina escolar abocada a la familiarización con las tecnologías más importantes.
Resumen y refuerzo Aquí se muestran las relaciones que existen entre los con-ceptos abordados a lo largo de la unidad y se proponen algunas actividades de apo-yo y seguimiento.
Pruebas de Mejoramiento Apuntan hacia la evaluación de los procesos y desempeños de los estudiantes. Estas pruebas no solamente se abordan desde la perspectiva nacional (ICFES) sino que tienen en cuenta marcos más universales (Pruebas TIMSS y PISA).
Otras secciones
Respuestas Orientan a los estudiantes y les permite reconocer sus avances y difi cultades.
Glosario Listado de términos comunes y usuales en el desarrollo de las temáticas en todo el texto.
Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del texto o sugeridos para la ampliación de las temáticas.
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El libro de actividades hace su énfasis en el desarrollo de un pensamiento orientado hacia la solución de problemas.
Este libro de actividades acompaña al libro de alumno unidad por unidad y tema por tema para que los profesores encuentren en él un material de permanente uso.
Cada unidad del libro de actividades comienza con un preámbulo al tema de estudio y unas actividades introductorias que sirven como diagnóstico.
El desarrollo de las temáticas se orientan de la misma forma que el libro de alumno: se parte con la formulación de un logro y de una actividad de inicio: COMPARTE LO QUE SABES.
Práctica en contexto
Aquí se proponen las actividades y problemas correspondientes a las temáticas de cada uni-dad del manual.
Competencias
Tanto en la cabecera del enunciado de las actividades como al pie de las páginas, se señalan las competencias particulares o procesos que se busca desarrollar con cada actividad y los desem-peños o indicadores de logros enlazados con alguna de las competencias generales: propositiva, argumentativa o interpretativa.
Pruebas de mejoramiento
Buscan evidenciar los logros de los estudiantes a partir del desarrollo de pruebas nacionales e inter-nacionales (ICFES, TIMSS, PISA).
Calendario matemático
Problemas diarios enca-minados a desarrollar los procesos de pensamiento que cita el documento de Estándares Básicos por
competencias.
Otras secciones
Respuestas Orientan a los estudiantes y les permite reconocer sus avances y difi culta-des.
Glosario Listado de términos comunes y usuales en el desarrollo de las temáticas en todo el texto.
Así es el libro de actividades
Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del texto o sugeridos para la ampliación de las temáticas.
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Unidad 1 Funciones
Planeador Unidad 1Grado Décimo Período ........................ Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Fun
cio
nes
• Identifi car el
producto carte-
siano como una
forma de operar
conjuntos.
• Construir
relaciones entre
conjuntos a par-
tir del producto
cartesiano entre
ellos.
• Reconocer los
diferentes tipos
de relaciones
que existen en
un conjunto.
• Identifi car el
dominio y rango
de una relación.
• Identifi car las
funciones como
relaciones parti-
culares.
• Relacionar las
defi niciones so-
bre inyectividad,
sobreyectividad
y biyección con
las diferentes
representacio-
nes funcionales.
• Identifi car las
propiedades
que defi nen
funciones
pares, impares
y periódicas y
relacionarlas
con sus repre-
sentaciones
cartesianas.
• Analizar las
funciones
exponencial y
logarítmica e
identifi car sus
propiedades.
• Plano cartesiano.
• Modelos físicos que
obedezcan a funciones
tales como: movimiento
de cuerpos, de cohetes,
caída libre que contex-
tualiza el concepto.
• Invite a sus estudiantes
a observar en el plano
cartesiano el compor-
tamiento de algunos
hechos relacionados
con las funciones como:
movimientos uniformes
y acelerados, péndulo,
óptica, de manera simu-
lada en computador en:
http://www.walter-fendt.
de/ph11s/index.html
• Para grafi car funciones
de manera interactiva
visite:
http://gdf2004.tripod.
com/instalador.htm
• Recurrir al pro-
ducto cartesiano
hace práctico el
manejo concep-
tual de las nocio-
nes de relación y
función; sin em-
bargo, puede ser
importante para
los estudiantes
la posibilidad de
expresarlos en sus
propias palabras.
• La inyectividad de
una función posee
un criterio visual
muy importante;
sin embargo,
no olvide que la
defi nición formal
es una gran herra-
mienta de la que
se dispone para
verifi car si una
función es uno a
uno o no.
• Presente situacio-
nes reales donde
se vea el uso de
las funciones.
Los modelos
de crecimiento
problacional son
un buen ejemplo
de funciones
exponenciales.
• Haga uso de
recursos tecnoló-
gicos para evitar
los tabulados en
la grafi cación de
funciones y para
permitir espacios
en los que se estu-
dien propiedades
de las funciones
que es un tópico
más importante.
Procedimientos
• Calcula productos
cartesianos, constru-
ye relaciones entre
conjuntos y revierte
el proceso.
Razonamiento
• Analiza relaciones y
las clasifi ca.
• Relaciona las distin-
tas representaciones
de las relaciones con
el concepto que las
identifi ca.
• Identifi ca funciones
a partir de la defi ni-
ción.
• Establece relaciones
entre las representa-
ciones de funciones y
las justifi ca.
Comunicación
• Explica las diferencias
y semejanzas entre
relaciones y funcio-
nes.
• Establece las
características de
las funciones pares,
impares y periódicas
y las justifi ca.
Modelación
• Describe situaciones
que pueden asociarse
con una función
matemática.
• Reevalúa los con-
ceptos y formula con-
jeturas sobre ellos.
Solución de proble-mas
• Usa el concepto
de funciones para
abordar problemas
cotidianos como el
cálculo del valor de
un servicio público
dependiendo de su
uso.
Ciencias naturales
• Tomar una lista de
fórmulas físicas,
analizarlas e iden-
tifi car si en ellas
existen funciones
con más de una
variable; estudiar
las condiciones
físicas bajo las cua-
les dichas fórmulas
se pueden consi-
derar funciones.
Lengua castellana
• Realizar un glosa-
rio de la unidad
para consultar la
etimología de las
palabras.
Informática
• Investigar la
manera en la que
los lenguajes de
programación
emplean funciones
o generan ambien-
tes en donde el
usuario las crea.
También se puede
realizar en progra-
mas como Excel o
Derive.
• Investigar acerca
de programas de
simulaciones en
Internet.
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Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas 1. Pida a sus estudiantes que busquen en el dicciona-
rio el signifi cado de la palabra relación e indique si puede aceptarse como una defi nición matemática; también resalte las características importantes que valdría la pena conservar y trate de conducir así la defi nición formal.
2. Señale relaciones familiares e indique la posibilidad de que algunas sean establecidas en ambas vías, como “ser hermano”, “ser primo” y aquellas que no lo son, como “ser padre”, “ser abuelo”.
3. Tomando en cuenta las relaciones “ser hermano” y “ser hijo de”, señalar que existen algunas relaciones con más de una asignación y otras con sólo una.
4. Utilice gráfi cas de funciones para pedir a los estu-diantes que, luego de rotar el plano cartesiano, ana-licen si sus características de dominio y rango se conservan.
5. Dada una función, pida a los estudiantes que deter-minen si un punto dado por usted, pertenece o no a la gráfi ca.
6. Indague acerca de si un punto está o no en el dominio o en el rango de una función.
B. Formalización de los conceptos 1. Recurrir al producto cartesiano hace práctico el
manejo conceptual de las nociones de relación y función; sin embargo, es importante para los estu-diantes tener la posibilidad de expresar lo que saben o entienden de uno u otro concepto en sus propias palabras.
2. La inyectividad de una función puede evidenciarse a partir de un criterio visual muy importante; descríba-lo y haga que los estudiantes lo usen cada vez que se requiera.
3. Luego de establecer las diferentes clases de funcio-nes, pida que los estudiantes establezcan semejan-zas y diferencias entre ellas; y de haberlas, también hable de las inclusiones que existen entre ellas.
4. Pida a sus estudiantes que clasifi quen una función a partir de su gráfi ca.
5. Permita que sus estudiantes tracen bosquejos de gráfi cas de funciones a partir de algunos de sus pun-tos y haga preguntas que relacionen los dos tipos de representación.
C. Identifi cación de difi cultades
Algunos estudiantes pueden tener difi cultades para:
1. establecer relaciones entre las distintas representa-ciones de las funciones.
Alternativa
Realice abundantes ejercicios en los que se requiera del paso de una representación a otra (cartesiana, gráfi ca, literal, sagital) y siempre que pueda, diríjase a la noción de asignación.
2. interpretar de manera algebraica la modelación de situaciones a partir de funciones.
Alternativa
Procure trabajar con ejercicios sencillos de asigna-ción, como “le asigna el doble…”, “le asigna su sala-rio más una comisión de…”, para que los estudiantes vean que las funciones permiten matematizar algu-nos hechos de la realidad.
3. identifi car una función inyectiva.
Alternativa
Al momento de señalar este concepto recurra a la representación sagital, luego al plano cartesiano y no olvide usar las calculadoras grafi cadoras o simu-ladores si los tiene a mano.
Proyectos integradores
Ciencias naturales
Descripción de fenómenos físicos mediante modelos funcionales, tales como movimientos en el plano, tiros parabólicos, caída libre, movimientos pendulares, etc.
Lengua castellana
Realizar un glosario de la unidad, consultar la etimolo-gía de las palabras, hacer una descripción semántica e identifi car si existe alguna relación con las nociones matemáticas aprendidas.
Informática
Investigar la manera en la que los lenguajes de pro-gramación emplean funciones o generan ambientes en donde el usuario las crea. También se puede realizar en programas como Excel o Derive.
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Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
Acueducto y alcantarillado de Bogotá
1. Por la resolución de gerencia No. 1240 del 28 de diciembre de 2006 de la empresa de acueducto y alcantarillado de Bogotá, en diciembre de 2007 se aplicaron, para las residencias de estrato 2, las si-guientes tarifas: Cargo fi jo $ 6 895, valor unitario del m3 dentro del consumo básico (de 0 a 40 m3 ) $ 1 171, valor unitario del m3 en consumo superior al básico $ 1 951. Un bosquejo aproximado que muestra la situación es:
a.
b.
c.
d.
2. La función que describe las tarifas es:
a. f xx xx
( ) =+ < ≤+
6 895 1171 0 406 895 1 951
si si x >
40
b. f xx x( ) =
+ < ≤+
6 895 1171 0 4053 735 1
si 951 40x xsi >
c. f xx xx
( ) =+ ≤ ≤+
6 895 1171 0 406 895 1 951
si si x >
40
d. f xx x( ) =
+ ≤ ≤+
6 895 1171 0 4053 735 1
si 951 40x xsi >
3. A la casa de Pedro llegó el recibo del agua con un cobro superior al esperado. Revisando la factura, se encontró que las tarifas por m3 eran mayores a las que tenía asignadas según su estrato, pero por difi cultades en la impresión no era legible el con-sumo. Se puede decir que Pedro
a. no puede calcular el valor que corresponde a su consumo.
b. al cobro que le llegó, debe restarle el cargo fi jo y dividirlo entre la tarifa básica que aparece en el recibo; así sabrá su consumo y luego podrá utilizar las tarifas correctas.
c. al cobro que le llegó, debe restarle el cargo fi jo y dividirlo entre la tarifa por consumo superior al básico que aparece en el recibo; así sabrá su con-sumo y luego podrá utilizar las tarifas correctas.
d. debe encontrar la nueva función con las tarifas que aparecen en el recibo; así conocerá el rango de su consumo y podrá decidir entre emplear el procedimiento b. o el c.
4. Por la misma resolución, las tarifas para alcantari-llado fueron: cargo fi jo $ 3 513, valor unitario del m3 dentro del consumo básico $ 717, valor unitario del m3 en consumo superior al básico $ 1 196. De esta manera, una persona cuyo pago por acueducto fue de $ 104 445, debe pagar por alcantarillado:
a. $ 39 363 c. $ 67 540
b. $ 63 313 d. $ 103 146
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[ 11 ]
Unidad 2 Funciones trigonométricas
Planeador Unidad 2
Grado Décimo Período ........................ Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Fu
nci
on
es
trig
on
om
étr
ica
s
• Conocer y relacionar
los distintos sistemas de
medida de ángulos.
• Aplicar la relación entre
un ángulo y las coorde-
nadas de los puntos de
su lado terminal.
• Deducir los valores de
las funciones trigono-
métricas de ángulos
cuadrantales.
• Relacionar los triángu-
los rectángulos con la
defi nición cartesiana de
las funciones trigono-
métricas.
• Relacionar los valores
de las funciones trigo-
nométricas con los de
sus cofunciones.
• Emplear los conceptos
estudiados en situacio-
nes reales.
• Transportador y
compás.
• Geoplano o mallado
en forma de círculo
hecho con puntillas
para representar
ángulos y establecer
relaciones entre las
aberturas y las medi-
das de éstos.
• Electrocardiogra-
mas donde se vea la
periodicidad de una
función.
• Lecturas acerca de
fenómenos asociados
a movimientos
ondulatorios para
contextualizar los
contenidos. Para ello
visite:
Circuitos: http://www.
bcm.cl/Miscelaneos
/articulos/articulo6.
html
Sobre procesamiento
de imágenes:
http://es.shvoong.
com/books/115747-
procesamiento-ima-
genes/
Sobre música y
ondas:
http://ciberhabitat.
gob.mx/conciertos/
musica_informatica/
• Dé prioridad a
los ejercicios de
conversión de
unidades, pero diri-
giéndolos, más que
a mecanizar el algo-
ritmo, a interiorizar
las relaciones entre
grados y radianes.
• Use calculadoras
grafi cadoras para
evidenciar las
características de
las funciones trigo-
nométricas cuando
se modifi can sus
parámetros: ampli-
tud, fase.
• Proponga a sus
estudiantes que
comparen gráfi cas
de funciones
trigonométricas,
haciendo que las
dibujen sobre el
mismo plano.
• Invite a sus estu-
diantes a que esta-
blezcan relaciones
entre los valores
de las funciones
trigonométricas
para ángulos
complementarios y
cuadrantales.
• Proponga
problemas cuya
descripción gráfi ca
corresponda a un
modelo de resolu-
ción de triángulos
rectángulos.
Razonamiento
• Establece relaciones
entre las diferentes
formas de medir un
ángulo.
• Infi ere propiedades
de las funciones
periódicas.
Procedimientos
• Resuelve triángu-
los rectángulos
aplicando las razones
trigonométricas.
• Hace uso de las rela-
ciones entre ángulos
complementarios y
las aplica en el cálcu-
lo de sus funciones
trigonométricas.
• Identifi ca los ángulos
de referencia y los
aplica para calcular
valores trigonométri-
cos.
Modelación
• Describe situaciones
reales mediante
modelos trigonomé-
tricos funcionales.
Solución de problemas
• Aplica sus cono-
cimientos sobre
razones y funciones
trigonométricas para
resolver problemas.
Comunicación
• Describe una función
a partir de sus ele-
mentos. Los nombra
de manera adecuada.
Educación física
• La importancia
de los ángulos
en los deportes:
ángulo al que se
logra el mayor
alcance, ángulos
de tiro, etc.
Ciencias sociales
• Los ángulos y
los movimientos
planetarios.
• Latitud y longi-
tud.
Ciencias natura-
les
• Movimientos
ondulatorios: las
olas.
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➔
[ 12 ]
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Haga preguntas como: ¿qué signifi ca una medida negativa?, en un ángulo, ¿cómo se decide cuál es el lado inicial?, ¿depende la medida de un ángulo de su abertura o de la longitud de sus lados?
2. Pídales recordar la clasifi cación angular que ya co-nocen.
3. Pregunte acerca de la relación entre un ángulo sub-tendido por una cuerda.
4. Sobre triángulos rectángulos semejantes, pida a los estudiantes que hallen todas las relaciones que exis-ten entre sus lados y que las comparen. Luego haga preguntas como: ¿son iguales las razones encontra-das? ¿Dependen los valores que encontraron de los ángulos del triángulo?
5. Ubique puntos en el plano cartesiano y pida a sus estudiantes que identifi quen el cuadrante al que per-tenecen y que encuentren las coordenadas de los puntos simétricos con éste.
6. Dado un triángulo rectángulo de hipotenusa una uni-dad, pida a sus estudiantes que determinen las razo-nes entre los catetos e hipotenusa.
7. Pregunte acerca de los conceptos de semejanza y congruencia triangular y los criterios que conocen.
B. Formalización de los conceptos
1. Para defi nir las razones trigonométricas de un ángu-lo A, parta de un triángulo rectángulo arbitrario que contenga a este ángulo. Luego, extienda el concepto al de función.
2. Use recursos como http://w3.cnice.mec.es/Descar-tes/Bach_CNST_1/Funciones_trigonometricas/Fun-cion_seno.htm para entender de manera interactiva el concepto de razón trigonométrica y función trigo-nométrica.
C. Práctica
1. Busque que los estudiantes establezcan la relación entre los grados y los radianes a la hora de medir án-gulos.
2. Use las gráfi cas de las funciones trigonométricas para reconocer las propiedades y características de cada una. Hable del periodo de éstas, de su amplitud, de su rango y dominio, etc.
3. Haga énfasis en que el tamaño aparente de un objeto depende no sólo de su tamaño real sino del ángulo que subtiende a los ojos que lo ven.
4. Permita el uso de la calculadora científi ca en al aula de clase para agilizar cálculos, buscar regularidades numéricas asociadas a las funciones trigonométricas y verifi car resultados.
5. Pida a los estudiantes que determinen qué ángulos tienen el mismo valor para las funciones trigonomé-tricas, salvo tal vez el signo.
6. Proponga problemas que involucren la latitud y longi-tud a la que se hallan algunas ciudades para deducir hechos como que a una latitud L, la velocidad de ro-tación de la Tierra es 1 670 cos L.
D. Identifi cación de difi cultades Algunos estudiantes pueden tener problemas para: 1. establecer la diferencia entre las unidades para me-
dir ángulos. Alternativa
Dar la medida de los ángulos como radianes y en gra-dos sexagesimales y centesimales.
2. establecer la diferencia entre razón y función. Alternativa
Pida a los estudiantes que calculen las razones trigo-nométricas para un ángulo y después, el valor de la función trigonométrica que corresponde a un grupo de ángulos.
Proyectos integradores
Educación físicaPida a sus estudiantes que pregunten a sus docentes de educación física sobre la importancia de los ángulos en deportes como el fútbol o el baloncesto.
Ciencias naturalesLas estructuras moleculares distribuyen sus átomos con ciertos ángulos; pida a sus estudiantes que investiguen las razones para estas distribuciones.
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[ 13 ]
Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
Las teclas que no funcionan son la del sen y la del dígito 3. De acuerdo con esa información contesta las pregun-tas 1 a 3.
1. Si Mauricio debe encontrar el valor exacto de sen 16° , puede calcular:
a. cos 164°
b. cos 16° y restarlo de 90°
c. cos 16° y restarlo de π2
d. cos 74°
2. Para encontrar el valor de cos 134° , Mauricio debe calcular:
a. cos cos 129 5° + °
b. cos 46°
c. 1 46− °cos
d. − °cos 46
3. Uno de los ejercicios pide hallar el valor exacto de sen 36° . En ese caso, Mauricio debe calcular:
a. − °cos 144
b. sen 756°
c. cos 54°
d. − °cos 54
4. Juan debe determinar el valor exacto de csc 125°. La posibilidad que no arroja el valor correcto es:
a. 1 35÷ °cos
b. 1 125÷ °sen
c. − ÷ °1 145cos
d. 1 55÷ °cos
5. Las funciones trigonométricas son de naturaleza periódica, de modo que:
a. sen cos x x+( ) =π
b. tan cot x x+( ) =π
c. tan tan x x+( ) =π
d. cos sen x x+( ) =2π
6. Sobre las funciones y t= ( )3 2 sen π y
y t= −
3 2
2 cos π π puede decirse que:
a. son equivalentes porque tienen la misma ampli-tud.
b. son diferentes porque las dos funciones tienen periodos distintos.
c. diferentes porque la segunda está desfasada π2
con respecto a la primera.
d. equivalentes porque sólo hay un desfase de π2
de una con respecto a la otra.
Calculadoras averiadas
Para realizar su tarea de trigonometría Mauricio cuenta con una calculadora que, por una accidental caída, pierde la funcionalidad de algunas teclas.
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[ 14 ]
Planeador Unidad 3
Grado Décimo Período ................................ Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Grá
fi ca
s d
e la
s fu
nci
on
es t
rigo
no
mét
rica
s y
fun
cio
nes
tri
gom
étri
cas
inve
rsas
• Relacionar, a partir del
círculo unitario el do-
minio de las funciones
trigonométricas.
• Identifi car las líneas
trigonométricas sobre
un círculo unitario.
• Grafi car las funciones
trigonométricas sobre
el plano y descubrir las
características de cada
una.
• Identifi car los elemen-
tos que determinan
variaciones en una
gráfi ca senoidal y
emplearlos en la
elaboración de nuevas
gráfi cas.
• Encontrar la inversa de
las funciones trigono-
métricas haciendo las
restricciones necesa-
rias para ello.
• Identifi car las propie-
dades de las funciones
trigonométricas
inversas.
• Reconocer el uso de las
funciones trigonomé-
tricas y sus inversas.
Papel milimetrado.
• Programas como
derive y Matlab.
• Programas de
grafi cación como el
Cabri, derive o simu-
ladores gratuitos en
Internet.
Para descargar
software gratuito:
http://math.exeter.
edu/rparris/winplot.
html
Más información
acerca de funciones
en:
http://soko.com.
ar/matematica.htm
Applets gratuitos
en Internet para
grafi car funciones
inversas en:
http://descartes.
cnice.mec.es/mate-
riales_didacticos/
functrigoneinver-
sas5_d3/index.htm
• Como primera
aproximación a
las gráfi cas, se
pueden hacer
tabulados, pero
para enfatizar
en lo realmente
importante,
haga uso de
la calculadora
grafi cadora o
de software
gratuito como
los que se
sugieren en los
recursos.
• Trabaje ini-
cialmente con
las gráfi cas de
funciones sen-
cillas para que
los estudiantes
las comparen
con sus inversas
en el mismo
plano e infi eran
conclusiones
válidas y aplica-
bles a cualquier
tipo de gráfi ca.
• Proponga
ejercicios en
los que se use
la calculadora
para hallar
valores de
las funciones
cotangente,
secante y cose-
cante.
• Haga dinámica
la construcción
de las funciones
inversas
mediante
recursos como
los sugeridos
en recursos
propuestos.
Comunicación
• Usa el círculo unita-
rio como base para
construir las funciones
trigonométricas al rela-
cionar la medida de los
segmentos correspon-
dientes a cada una con
los valores de algunas
funciones trigonométri-
cas.
• Relaciona información
gráfi ca con información
analítica.
Razonamiento
• Identifi ca las caracte-
rísticas de una función
a partir de su expresión
analítica y es capaz de
hacer bosquejos senci-
llos.
• Entiende las restriccio-
nes que deben hacerse
para poder conseguir las
inversas de las funciones
trigonométricas.
Procedimientos
• Usa diversas herramien-
tas a la hora de trazar
las gráfi cas de las fun-
ciones trigonométricas
y sus inversas.
Solución de proble-mas/ Modelación
• Emplea el análisis de
funciones senoidales en
algunas aplicaciones.
Ciencias naturales
• Fenómenos físicos
asociados con
ondas (por ejemplo
la luz o el sonido).
Invite a que
expongan cómo
inciden los cambios
en la amplitud, el
periodo y el desfase
de las ondas en
la percepción de
dichos fenómenos.
Ciencias sociales
• Cómo un sismó-
grafo registra los
terremotos: las
gráfi cas que genera.
• Acciones a seguir
en caso de un
sismo.
Música
• El sonido como un
fenómeno ondula-
torio.
• Sobre este particu-
lar puede consultar:
http://tecnicaau-
diovisual.kinoki.
org/sonido/fi sica.
htm
Unidad 3 Gráfi cas de las funciones trigonométricas y funciones trigométricas inversas
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➔
[ 15 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Pregunte a sus estudiantes acerca de lo qué es una función.
2. Indague acerca de lo que conocen sobre ondas como las acústicas, sobre representaciones como los electrocardiogramas, los trazados generados por los sismógrafos, las olas en el mar, etc., que pueden modelizarse mediante funciones trigono-métricas.
3. Pregunte acerca de las técnicas de grafi cación que conocen e indaguen acerca de lo que opinan sobre cada una. Tal vez algunos de los estudiantes ya conozcan herramientas tecnológicas para ha-cer gráfi cas.
4. Pida a sus estudiantes que hagan diagramas sagi-tales de funciones inyectivas y que luego inviertan el sentido de las fl echas. Haga preguntas como: “¿lo que queda es una función? ¿Cuál es su rango? ¿Cuál es su dominio?”
B. Formalización de los conceptos
1. La gráfi ca de una función le permitirá identifi car algunas características como dominio, rango, pe-riodo, asíntotas; no olvide que siempre deben estar acompañadas por la expresión analítica corres-pondiente.
2. Refi érase a la manera en la que el número ω afec-ta el periodo de una función sinusoidal: si está en-tre cero y uno, aumenta el periodo; si es mayor que uno, achica el periodo, así que se repite más de una vez en el intervalo 0 2, π ) . Esto será útil en la solución de ecuaciones trigonométricas.
3. Haga énfasis en el cambio de papeles entre dominio y rango para el cálculo de una función inversa; esto facilitará la comprensión de tales funciones.
4. Proponga analizar la gráfi ca de una función una vez se hayan modifi cado algunos de sus paráme-tros. Luego, sin la ayuda de la gráfi ca, modifi que la ecuación de una función y cambie sus pará-metros. Pregunte a los estudiantes cómo será su gráfi ca.
C. Práctica
1. Analice funciones sinusoidales a partir de diversas representaciones; procure emplear varias para que los estudiantes las reconozcan y las asocien, a la vez que puedan describir otras funciones a partir de su descripción analítica o viceversa.
2. La grafi cación de una función y su inversa en el mismo plano cartesiano, además de avanzar en lo que se hará para las funciones trigonométricas, permitirá afi anzar el concepto de intercambio de papeles del dominio y del rango.
3. Proponga ejercicios, donde sea necesario usar la calculadora, para hallar valores en los que se invo-lucren las funciones cotangente, secante y cose-cante o sus inversas. Indique qué concepto indica cada una de las teclas de la calculadora cuando se haga uso de ella.
4. En las operaciones con funciones trigonométricas inversas, resalte la necesidad de identifi car el cua-drante de los ángulos; esto será importante para solucionar ejercicios con expresiones algebraicas y para hacer demostraciones de igualdades.
D. Identifi cación de difi cultades
1. Construir las inversas de las funciones trigonomé-tricas suele plantear difi cultades al alumnado dado que no son funciones inyectivas.
Alternativa
En esta unidad tratamos este problema haciendo que se visualice la situación y se comprenda la ne-cesidad de imponer ciertas restricciones.
2. Confundir entre el signo del ángulo de desfase y el sentido en el que se desplaza la gráfi ca.
Alternativa
Dibuje un plano cartesiano en el tablero y utilice una gráfi ca hecha en un acetato; esto le permitirá ir tomando valores adecuados y mostrar el sentido del desplazamiento.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
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1
-1
-2
-3
2
3
y
x
−4 π
6 −6 π
6 −2 π
62 π6
4 π6
6 π6
1
-1
-2
-3
2
3
y
x
−8 π
6 −4 π
64 π6
8 π6
−12 π6
12 π6
1
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y
x
−4 π
6 −6 π
6 −2 π
6 2 π6
4 π6
6 π6
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3y
x
−8 π
6 −4 π
6 4 π6
8 π6
−12 π6
12 π6
[ 16 ]
Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
1. En las gráfi cas presentadas, se observa un perio-do de 2π en:
a. la gráfi ca B.
b. la gráfi ca C.
c. la gráfi ca D.
d. las gráfi cas B y C.
2. Si la función patrón de la gráfi ca B es coseno, un posible valor para el desfase ϕ es:
a. 512π
b. − 56π
c. 56π
d. − 512π
3. Por lo que se observa en las escalas de las gráfi -cas B y C y en su forma, es correcto afi rmar que:
a. el periodo de la función C es el doble del periodo de la función B.
b. el periodo de la función C es la mitad del periodo de la función B.
c. el ángulo de desfase es el mismo para ambas fun-ciones.
d. no se puede concluir nada sobre sus periodos y desfases porque no se conocen las expresiones analíticas de las funciones consideradas como patrones.
4. Sobre la gráfi ca A no es correcto concluir que:
a. es la de menor periodo entre las que se encuen-tran allí.
b. es la de mayor periodo entre las que se encuen-tran allí.
c. se puede describir a partir de la función patrón coseno sin considerar ningún desplazamiento ho-rizontal.
d. un posible valor para ϕ es − π2
.
Observa las gráfi cas y responde las siguientes preguntas.
A.
B.
C.
D.
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[ 17 ]
Unidad 4 Aplicación de las funciones trigonométricas
Planeador unidad 4Grado Décimo Período ............................. Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Ap
lic
acio
ne
s d
e l
as
fun
ció
n t
rig
on
om
étr
ica
s
• Modelar situaciones
con la ayuda de
triángulos rectángulos
y resolverlas.
• Aplicar la ley del
seno en la solución
de situaciones que
involucran triángulos
no rectángulos e iden-
tifi car cuándo tienen
más de una solución o
no tienen alguna.
• Aplicar la ley del
coseno en la solución
de situaciones que
involucran triángulos
no rectángulos.
• Emplear la trigonome-
tría como alternativa
para calcular áreas de
triángulos.
• Interpretar los
vectores como entes
geométricos.
• Reconocer criterios
para solucionar
problemas a partir de
la información que se
ofrece.
• Además de la cal-
culadora, es posible
emplear cintas métri-
cas y transportado-
res; con ellos podrá
proponer algunas
labores propias de los
topógrafos.
• Programa Excel o
una calculadora para
solucionar triángulos
no rectángulos me-
diante la ley del seno
o del coseno.
• Triángulos no rectán-
gulos hechos en car-
tulina a partir de los
cuales se verifi quen
las leyes del seno o
del coseno.
• Más actividades
sobre la ley del seno
en:
http://redescolar.ilce.
edu.mx/redescolar/
act_permanentes/
mate/mate2q/ma-
te2q.htm
• Proponga
problemas
de medición
indirecta cuya
solución pueda
verifi carse ha-
ciendo uso de
las relaciones
trigonomé-
tricas o de las
leyes del seno y
coseno.
• Pida a sus
estudiantes que
lleven a clase
ejercicios de
física para anali-
zar y comparar
las cantidades
vectoriales
frente a las
escalares.
Procedimientos
• Aplica las fórmulas
alternas para el cálculo
de áreas de triángulos.
• Representa vectores
sobre el plano cartesia-
no.
• Señala caminos de
acción en distintos
contextos en la solu-
ción de problemas.
Solución de problemas
• Establece relaciones
entre la solución para
un problema y el enun-
ciado correspondiente.
• Identifi ca la relación
entre los datos de una
situación y resuelve
el triángulo que la
interpreta.
• Identifi ca la relación
entre los datos de cada
situación y resuelve el
triángulo involucrado.
Comunicación
• Enuncia las leyes del
seno y del coseno de
forma verbal y gráfi ca.
Ciencias naturales
• Cálculo de distan-
cias entre objetos
celestes.
• Busque cómo la
trigonometría se
usó en el cálculo
de dichas distan-
cias.
Informática
• Programación
en aplicaciones
como Excel
para solucionar
triángulos cuando
se introducen
ciertos datos
dados.
Ciencias sociales
• A partir de datos
cartográfi cos,
calcular el área de
algunos lagos o
mares, haciendo
referencia uso de
las expresiones
encontradas para
tal efecto.
Tecnología
• Principios para la
construcción de
teodolitos y su
aplicación real.
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➔
[ 18 ]
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Pida a sus estudiantes que dibujen un triángulo rectángulo en un plano cartesiano de manera que puedan encontrarse las razones trigonométricas de los ángulos agudos, mediante mediciones di-rectas.
2. Refi érase a la proporcionalidad que existe entre los lados correspondientes de triángulos semejantes y la congruencia de sus ángulos; así podrá señalar que el valor de las razones trigonométricas para estos án-gulos son iguales.
3. Dibuje triángulos no rectángulos y pregunte a sus estudiantes si se satisface en ellos el teorema de Pi-tágoras.
Pregunte acerca de cómo solucionar triángulos de esa naturaleza dados algunos de sus elementos. Es-cuche las propuestas de los estudiantes, quizás algu-nas de ellas sean viables.
4. Pregunte a sus estudiantes si el área de un triángu-lo depende de sus ángulos o si es independiente de ellos.
5. Dé algunos triángulos no rectángulos y pida a los es-tudiantes que calculen su área. Fíjese si reconocen la altura y la base correspondiente en el proceso o si, de alguna manera, tienen en cuenta las aberturas de los ángulos.
6. Pregunte acerca de los términos que los estudian-tes manejan en sus cursos de física e invítelos a reconocer conceptos que se manejan de manera común.
B. Formalización de los conceptos
1. Cada vez que cite un enunciado o ley, muestre la de-mostración que se sigue en su deducción.
Si es muy complicada la demostración, cite de mane-ra general los pasos que se siguen para lograrla.
2. Muestre contextos reales donde se usan las ex-presiones trigonométricas que van apareciendo. La aplicación de la trigonometría se hace evidente en la ingeniería y la astronomía.
C. Identifi cación de difi cultades
1. Falta de habilidad para interpretar enunciados de manera verbal o gráfi ca.
Alternativa
Cada vez que proponga un ejercicio, invite a sus estudiantes a que verbalicen lo que entienden o a que hagan una gráfica. Puede pedir que socialicen sus dibujos y a que los demás reconozcan los erro-res.
2. Falta de fl exibilidad para aplicar las expresiones tri-gonométricas en la solución de problemas.
Alternativa
Cada vez que avance en el estudio de las temáticas, proponga ejercicios que puedan resolverse con con-ceptos ya vistos o que requieran de ellos.
Proyectos integradores
Ciencias naturales
El número áureo en las hojas de las plantas. Consulte:
http://es.geocities.com/ccalvimontesr/HOJAS.html
Las funciones trigonométricas y los dinosaurios en:
http://www.catedu.es/matematicas_mundo/NATURALE-ZA/naturaleza_dinosaurios.htm
Ciencias sociales
Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclip-ses, confección de calendarios.
Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.
Ingeniería
Cómo construir un edifi cio para que cumpla ciertas exi-gencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.
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bb
b
b
b
b
a
a
a
a
a
cc
c
1
2
3 4
5
6
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9
7
8
α
α
α
α
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
[ 19 ]
Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
1. Los triángulos que se pueden resolver por tener la medida de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos son:
a. 2, 8 y 10
b. 6 y 9
c. 9
d. 4 y 7
2. Los triángulos en los que se conocen dos ángulos y el lado que comparten son:
a. 1 y 2
b. 6 y 7
c. 3 y 10
d. 4 y 8
3. Los triángulos que se pueden resolver por tener la me-dida de dos de sus ángulos y uno de sus lados son:
a. 1, 2, 4 y 8
b. 6 y 7
c. 9 y 10
d. 2, 4 y 9
4. La afi rmación falsa es:
a. La ley del seno se puede usar para resolver trián-gulos no rectángulos.
b. Es imposible usar la ley del seno para resolver triángulos rectángulos.
c. Pueden combinarse la ley del seno y del coseno para resolver triángulos.
d. El teorema de Pitágoras se usa solamente para resolver triángulos rectángulos.
5. La afi rmación falsa es:
a. Todos los triángulos obtusángulos se resuelven por la ley del coseno.
b. Existen triángulos que tienen más de una solu-ción.
c. Falta un dato para calcular el área del triángu-lo 5.
d. Para algunos triángulos es necesario emplear α β γ+ + = °180 para poder resolverlos.
Las preguntas a continuación se refi eren a los triángulos de la fi gura. Letras iguales corresponden a valores iguales.
1
2
3 4
5
6
7
8
9
10
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[ 20 ]
Planeador unidad 5
Grado Décimo Período .............................. Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Ide
nti
da
de
s y e
cua
cio
ne
s tr
igo
no
mé
tric
as
• Emplear las
defi niciones de
las funciones
trigonométricas
para verifi car
identidades.
• Transformar
expresiones tri-
gonométricas en
términos de una
sola función.
• Encontrar una ex-
presión equivalen-
te con otra dada.
• Verifi car identi-
dades trigonomé-
tricas empleando
las identidades
fundamentales.
• Deducir y aplicar
las funciones tri-
gonométricas para
ángulos medios y
dobles.
• Resolver ecuacio-
nes trigonométri-
cas haciendo uso
de las identidades
trigonométricas.
• Aplicar las funcio-
nes trigonométri-
cas inversas para
resolver ecuacio-
nes trigonométri-
cas.
• Hacer uso de las
ecuaciones trigo-
nométricas para
resolver proble-
mas.
• Expresar números
complejos en for-
ma trigonométrica
y viceversa.
• Hacer cálculos
con los números
complejos apoyán-
dose en su forma
trigonométrica.
• Gráfi cas de las
funciones trigo-
nométricas para
hacer evidente que
las soluciones de
una ecuación pue-
den ser infi nitas.
• Para trabajar con
las funciones
trigonométricas
y sus funciones
en fl ash, puede
consultar:
http://www.
cristalab.
com/tips/43144/
aproximar-funcio-
nes-trigonometri-
cas-seno-y-coseno-
en-fl ash
• Sobre uso de la
calculadora para
resolver ecuacio-
nes trigonométri-
cas vaya a:
http://www.
casioacademico.
com.ve/Descargas/
Articulos/Desigual-
dades.pdf
• Viste la página:
http://cte.
seebc.gob.mx/
webdescartes/4b_
eso/trigonometria/
trigo14.htm
y encuentre más
aplicaciones.
• Revise los cono-
cimientos de los
estudiantes en
cuanto al manejo
de la factoriza-
ción, simplifi ca-
ción de expresio-
nes algebraicas
e identidades
matemáticas.
• Proponga el tan-
teo para resolver
las primeras
ecuaciones. El
estudiante notará
que no es la forma
más práctica de
hacerlo y verá
la importancia
de manejar los
prerrequisitos
mencionados en
el punto anterior.
• Dé ecuaciones
sin solución y
pregunte por qué
no existe. Luego
pida a los estu-
diantes que den
otros ejemplos
de ecuaciones
irresolubles.
• Use la calculadora
como recurso
para verifi car la
solución de las
ecuaciones trigo-
nométricas.
Razonamiento
• Reconoce las iden-
tidades que puede
aplicar en la solución
de una ecuación o en
la verifi cación de otras
identidades.
• Encuentra valores para
los cuales una ecuación
no tiene solución.
Procedimientos
• Aplica los conocimien-
tos que tiene de ángulos
notables para solucio-
nar ecuaciones básicas.
• Aplica las identidades
trigonométricas en la
solución de ecuaciones.
• Hace uso del concepto
de función trigono-
métrica inversa en la
solución de ecuaciones.
Comunicación
• Explica los procedi-
mientos que usa en la
solución de ecuaciones.
Solución de problemas
• Genera estrategias para
resolver problemas con
ecuaciones trigonomé-
tricas.
Modelación
• Halla relaciones entre la
forma trigonométrica
y rectangular de un
complejo.
Ciencias naturales
• Tomar algunas
fórmulas físicas
en las que se
involucren ángulos,
hacer el análisis de
la manera en la que
la variación en ellos
modifi can las con-
diciones y referirse
a valores especiales:
máximos, mínimos,
valores de equili-
brio y resolverlas.
Tecnología
• Generar un progra-
ma o aplicación en
la que se resuelvan
ecuaciones trigono-
métricas. Discutir
sobre las posibilida-
des de crear una en
la que se verifi quen
identidades.
Ciencias sociales
• Contexto histórico
en el desarrollo de
la trigonometría.
Apóyese en: http://
html.rincondelvago.
com/trigonome-
tria_15.html
Unidad 5 Identidades y ecuaciones trigonométricas
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➔
[ 21 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Válgase de las defi niciones de las funciones trigono-métricas y sugiera simplifi caciones para que sean los estudiantes quienes deduzcan las primeras identida-des.
2. Pregunte acerca de si los productos notables son identidades. Pida ejemplos antes de extender el con-cepto a la trigonometría.
3. Proponga ecuaciones trigonométricas sencillas para que el estudiante las resuelva e infi era que puede te-ner infi nitas soluciones.
4. Verifi que que los estudiantes manejan bien la facto-rización, la simplifi cación de expresiones y las identi-dades, ya que esto es básico para resolver ecuacio-nes y verifi car identidades complejas.
B. Formalización de los conceptos
Defi na una ecuación trigonométrica como aquella en la que aparece alguna razón trigonométrica de la in-cógnita. Indique que para resolverla es importante:
1º Expresar todas las razones que aparezcan en fun-ción de un mismo ángulo.
2º Expresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica.
Defi na identidad trigonométrica como una igualdad que involucra funciones trigonométricas, verifi ca-bles para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
C. Práctica
Pida a sus estudiantes que verifi quen identidades y que interpreten geométricamente lo que están ha-ciendo. Invítelos a entrar a la página http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trigono-metricas_operaciones_identidades/identid.htm don-de podrán corroborar que si las gráfi cas de las dos
funciones correspondientes a los dos lados de una identidad coinciden, su gráfi ca también lo hace. Por otro lado, indique que si se cortan en algunos puntos, se trata de una ecuación con soluciones las abscisas de los puntos de corte. Si no se cortan nunca se trata de una ecuación sin solución.
D. Identifi cación de difi cultades
1. Verifi cación de identidades.
Alternativa
La graduación en los ejercicios es de vital importan-cia, ya que permitirá el avance en la confi anza de los estudiantes. Por otro lado, la referencia específi ca en cada ejemplo del procedimiento a seguir como su-gerencia misma de lo que aparece escrito conducirá a la generación de la habilidad en la identifi cación de los pasos a seguir.
2. Resolver una ecuación de la forma
f x rω ϕ−( ) = .
Alternativa
Válgase inicialmente de las gráfi cas de las funciones trigonométricas para ver las solución de ecuaciones sencillas.
Proyectos integradores
Ciencias naturales
Algunos fenómenos de la naturaleza se modelan con expresiones trigonométricas, como la variación de la profundidad del agua causada por los efectos gravi-tatorios de la Luna y el Sol. Una expresión modelo es
y t= +1 45 1 45 212 4
, , ,
cos π . Haga preguntas como cuán-
do el nivel del agua es el más bajo o cuándo es el más alto, siendo t el tiempo en horas.
Tecnología
Uso de las calculadoras grafi cadoras para verifi car la solución de algunas ecuaciones.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
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x
245º
θ
6
2
x
θ
x
43 θ
x
5 6
θ
x
5 6θ
x
5 6
θ
[ 22 ]
Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
1. La gráfi ca muestra una de las piezas de un lote para decorar. Si el encaje empleado en la base es distinto al de los otros lados, el cálculo que realiza la máquina cortadora es:
a. x = +2 2 cot θ c. x = 2sen θ
b. x = 2sen θ
d. x = +2 2sen θ
2. De acuerdo con la fi gura, la cortadora que se en-carga de las tiras de encaje de la base menor del trapecio isósceles, debe calcular:
a. x = −6 2 tan θ c. x = −6 4 tan θ
b. x = −6 4 cot θ d. x = −6 2 cot θ
3. Para el caso de la base del triángulo de la fi gura, el cálculo debe ser:
a. x = −7 12 cos θ c. x = −25 24 cos θ
b. x = −25 12 cos θ d. x = −25 24 cos θ
4. Si para encontrar la medida de corte para uno de los lados de un triángulo, una máquina calcula
x = + +5 25 112 cos cosθ θ , se puede concluir que:
a. la fi gura a decorar puede ser:
b. la fi gura a decorar puede ser:
c. la fi gura a decorar puede ser:
d. no existe un triángulo con estas especifi cacio-nes.
Hilos y encajes Ltda
En una fábrica de tejidos en hilo elaboran encajes para decorar los bordes de diferentes fi guras que llegan de dis-tintas entidades diseñadoras de interiores. Los cortes de las tiras de encaje dependen del borde a adornar y este de las especifi caciones de diseño. Para efectos mecánicos, las máquinas cortadoras calculan la longitud del encaje con base en la medida de algunos ángulos en las fi guras.
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[ 23 ]
Planeador Unidad 6
Grado Décimo Período .............................. Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Geo
met
ría
anal
ític
a
• Conocer y manejar
la ecuación que
determina la
distancia entre dos
puntos.
• Relacionar las
diferentes formas
algebraicas de
representar una
recta.
• Identifi car rectas
paralelas y perpen-
diculares a partir
de sus ecuaciones.
• Identifi car los ele-
mentos básicos de
una cónica a partir
de su ecuación y
viceversa.
• Reconocer el efec-
to de la rotación
de ejes sobre las
cónicas.
• Reconocer los
elementos que
identifi can cada
cónica a partir de
la ecuación ge-
neral de segundo
grado.
• Se pueden emplear cuer-
das y cintas métricas
para lograr los trazos
geométricos de cada una
de las secciones cónicas,
tanto en el cuaderno
como en actividad fuera
del aula.
• Para construir las
cónicas de manera
interactiva, consulte:
http://recursos.pnte.
cfnavarra.es/~msadaall/
geogebra/conicas.htm
o también:
http://dinamica1.fcien-
cias.unam.mx/Prepa-
ratoria8/conicas/index.
html
• Otras aplicaciones
interactivas sobre dis-
tancia entre dos puntos,
distancia de un punto
a una recta, distancia
entre dos rectas, y otros
temas en:
http://dinamica1.fcien-
cias.unam.mx/Prepa-
ratoria8/conicas/index.
html
• Use GeoGebra para:
facilitar la comprensión
de ideas matemáticas a
través interpretaciones
gráfi cas. Este programa
hace gráfi cas de funcio-
nes de una manera sen-
cilla, aún dependiendo
de parámetros, lo que
permite la realización
de ejercicios en los que
investigue el efecto con
el cambio de los valores
de los parámetros.
Este programa puede
descargarse en:
http://www.geomundos.
com/descargas/geogebra-
2710_p163.html
• Disponga de progra-
mas de geometría
dinámica pues
éstos han demos-
trado en las dos
últimas décadas su
capacidad de ayuda
al estudiante para
adquirir destrezas en
la interpretación de
hechos geométricos.
• Algunos de esos
programas son:
• Cabri – Geometre,
Geogebra, Th e
Geometer s Sket-
chpad, Cinderella
y R y C (Regla y
Compás).
• Haga énfasis en el
uso racional y crítico
de estas herramien-
tas.
• Informe a sus estu-
diantes acerca del
uso real de cada uno
de los conceptos de
la unidad.
• La comprensión y
aplicación de las
propiedades de las
fi guras geométricas
(rectas y cónicas),
permite a los estu-
diantes descubrir
modelos para
formular y resolver
problemas en las
áreas de ciencia y
tecnología.
Procedimientos
• Emplea la fórmula
de distancia en la
solución de distin-
tas situaciones.
Comunicación
• Identifi ca y
construye las
diferentes formas
algebraicas de un
ente geométrico y
de sus relaciones.
• Asocia la represen-
tación gráfi ca de
un ente geométri-
co con su descrip-
ción analítica
Razonamiento
• Describe el lugar
geométrico que
corresponde a
una expresión
algebraica dada
e infi ere conclu-
siones cuando se
hacen cambios en
los parámetros.
Solución de pro-blemas
• Soluciona proble-
mas relacionados
con la geometría
analítica y busca
información acerca
de su uso real.
Modelación
• Reconoce una có-
nica a partir de su
ecuación general o
canónica.
Tecnología
• Uso de progra-
mas interactivos
para desarrollar
una geometría
dinámica.
Dibujo técnico
• Construcción
de las cónicas
con cuerdas
a partir de su
descripción
como lugares
geométricos.
Lengua castella-
na
• Investigar los
nombres de
las cónicas
(etimología y
semántica) y
relacionar o
distinguir los di-
ferentes usos de
estos vocablos.
Ciencias
• Los cometas y
sus órbitas.
Tecnología
• Uso de las cóni-
cas en el mundo
actual: antenas,
espejos, cocinas
solares.
Unidad 6 Geometría analítica
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[ 24 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Pida a sus estudiantes que calculen la medida de la hipotenusa en algunos triángulos rectángulos (pre-feriblemente con catetos cuyas medidas sean en-teras). Luego pídales que ubiquen dos puntos en el plano cartesiano y pregunte por un método para en-contrar su distancia. Indague acerca de la relación entre este método y el cálculo de la hipotenusa del comienzo.
2. Válgase del segmento trigonométrico de la función tangente para referir que el cociente entre la va-riación vertical y la horizontal (tangente) señala la inclinación del lado terminal del ángulo, así podrá introducir la pendiente de una recta.
B. Formalización de los conceptos
1. Recuerde qué es un plano cartesiano y pida hacer algunas construcciones sobre él y lograr algunas pri-meras inferencias acerca de la distancia entre dos puntos.
2. Luego de varios cálculos de distancia entre dos pun-tos, deduzca la expresión algebraica para ello.
3. Defi na cada cónica como el lugar geométrico que satisface ciertas propiedades. Si es posible pida la construcción de ellas con la ayuda de cuerdas; lue-go, formalice cada concepto e indique la forma de deducir la ecuación de cada cónica.
C. Práctica
1. Establezca estrategias para calcular la distancia en-tre puntos.
2. Use planos de ciudades para ubicar sitios a partir de su dirección.
3. Pida que los estudiante ubiquen diferentes puntos a partir de sus coordenadas (x, y).
4. Proponga problemas donde se manipulen las ecua-ciones de pendiente y ángulo de inclinación.
5. Pida diferentes representaciones para los entes geométricos de estudio: tablas de valores, bosquejo en el plano cartesiano, ecuación canónica o gene-ral.
6. Dada la ecuación de una cónica, identifi car los pará-metros mediante los cuales puede trazarse su gráfi -ca.
7. Proponga ejercicios en los cuales deban intersectar-se dos rectas, dos rectas y una cónica o dos cóni-cas.
D. Identifi cación de difi cultades
1. Algunos estudiantes pueden no entender que un ente matemático puede representarse de diversas maneras.
Alternativa
Use de manera simultánea diversas representacio-nes para un mismo ente geométrico: tablas, repre-sentaciones en el plano cartesiano y la expresión algebraica que lo identifi ca.
Por ejemplo, dada la ecuación canónica de una pará-bola, puede pasarse a su forma general o viceversa.
2. Pueden presentarse difi cultades para identifi car una cónica a partir de su expresión algebraica.
Alternativa
Pida que lleguen a la ecuación general de cualquier cónica y que reconozcan la forma particular de los coefi cientes en cada caso.
3. Algunos errores frecuentes pueden resumirse en:
• errores debidos a datos mal utilizados.
• errores debidos a una interpretación incorrecta del lenguaje.
• errores debidos a inferencias no válidas lógica-mente.
• errores debidos al uso de teoremas o defi niciones deformados.
• errores debidos a la falta de verifi cación en la solu-ción.
• errores técnicos: errores de cálculo, de procedi-miento en algoritmos básicos.
Alternativa
Tenga clara esta tipología según Movshovitz y hacer planes de refuerzo en cada caso.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
➔
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[ 25 ]
Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
1. Según la imagen puede afi rmarse que:
a. la órbita del cometa es circular y el Sol está en el centro de ésta.
b. la órbita del cometa es parabólica y el Sol se en-cuentra en el foco.
c. la órbita del cometa es elíptica y el Sol está en uno de los focos.
d. la órbita del cometa es hiperbólica y el Sol se en-cuentra en el centro.
2. La curva que describe el cometa se debe a:
a. la fuerza con la que la Tierra lo atrae.
b. la fuerza con la que el Sol lo atrae.
c. el impulso que trae.
d. se transporta en el vacío.
3. La forma de las antenas receptoras de señal es pa-rabólica; una razón para ello puede ser que:
a. las señales que envían los satélites corresponden a ondas parabólicas.
b. la forma que tiene el planeta.
c. las señales que envían los satélites llegan muy débiles a la Tierra y la forma parabólica de las an-tenas permiten concentrar esas señales.
d. las formas parabólicas permiten eliminar las inter-ferencias que se pueden presentar en el envío de las señales de los satélites.
4. Los espejos parabólicos se suelen utilizar en los retrovisores de automóviles y motos, debido a que proporcionan un mayor campo de visión, aunque
debemos tener en cuenta que nuestro cerebro in-terpreta que los objetos están más alejados de lo que realmente están.
También se colocan grandes espejos parabólicos en las esquinas de algunos cruces de poca visibili-dad o en algunas tiendas para observar a los ladro-nes.
Un espejo que no es parabólico puede ser:
a. una bolita de navidad.
b. una cuchara.
c. la superfi cie del agua.
d. un espejo para inspeccionar los autos en su parte inferior.
5. Una actividad de doblado de papel indica los si-guientes pasos:
Toma una hoja de papel y pinta un punto no dema-siado lejos de la recta en el lado que tienes más espacio y lejos de los bordes. Pliega el papel ha-ciendo que al trasluz coincida un punto de la rec-ta con el que has pintado. Marca bien el pliegue y después abre el papel. Repítelo varias veces con distintos puntos de la recta. Después de los plega-dos, al abrir el papel, verás que los pliegues perfi -lan una...
a. elipse.
b. parábola.
c. circunferencia.
d. hipérbola.
Cónicas y geometría euclidiana
Los cometas son pequeños cuerpos de forma irregu-lar compuestos por una mezcla de granos no volátiles y gases helados, lo que les valió ser designados por Whipple como “bolas de nieve sucias”. El nombre “cometa” proviene del griego clásico y signifi ca as-tro con larga cabellera, como referencia a sus largas colas.
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[ 26 ]
Planeador unidad 7
Grado Décimo Período .............................. Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................
Contenidos EstándaresRecursos
propuestos
Metodología
propuesta
Criterios
de evaluación
Proyectos
sugeridos
Est
adís
tica
y p
rob
abili
dad
• Identifi car los
elementos de la
estadística en
estudios reales.
• Organizar
información
estadística de
diversas formas
como tablas y
gráfi cos.
• Calcular datos
representativos
de tablas de
distribución de
frecuencias.
• Calcular la
probabilidad de
un evento.
• Reconocer el
cálculo de per-
mutaciones y
combinaciones
como técnicas
de conteo.
• Valorar la
estadística y la
probabilidad a
la hora de to-
mar decisiones.
• Programas de
manejo de datos.
• Artículos de
periódicos con
información de
encuestas, noti-
cias nacionales o
internacionales
que puedan
ocasionar
opinión entre los
estudiantes.
• Reportes del
DANE acerca de
estudios como
población, des-
empleo, índices
de natalidad, etc.
• Consulte:
http://www.dane.
gov.co/
• Encuestas inte-
resantes para los
estudiantes en:
http://www.
livraencuestas.
com/blog/index.
php/category/en-
cuestas/
• Sobre juegos y
probabilidad,
vaya a:
http://w3.cnice.
mec.es/recursos/
bachillerato/
matematicas/
probabilidad/
actividades/suce-
sos/sucesos.htm
• Haga uso de diagra-
mas estadísticos de
diferentes fuentes e
interprételos junto con
sus estudiantes.
• Emplee Excel o cual-
quier otro programa de
manejo de datos al que
sus estudiantes tengan
acceso y pida que con
él realicen histogramas
a partir de tablas elabo-
radas por ellos.
• Dentro de los ejercicios
de probabilidad puede
incluir ejercicios de es-
tadística por medio de
preguntas como: ¿cuál
es el número necesario
de lanzamientos de un
dado para que salga
cinco? Al escoger una
carta de una baraja,
¿cuál es el número de
selecciones correspon-
dientes para obtener
una pica?
• Realice ejercicios ini-
ciales de conteo y pida
a sus estudiantes que
realicen un diagrama de
árbol para notar el uso
del principio multipli-
cativo y por demás su
utilidad.
• Proponga el análisis de
juegos de azar, valore su
contenido matemático
y refl exione acerca de
las implicaciones de
tales juegos en la vida
de una persona. Use
la probabilidad para
que los estudiantes
argumenten razones
para no convertirse en
adictos a los juegos.
Comunicación
• Elabora tablas y gráfi cos
estadísticos e infi ere
información de ellos.
• Usa de forma apropiada
los términos de la esta-
dística y de la probabili-
dad.
Razonamiento
• Encuentra las medidas
de tendencia central, las
relaciona y elige la más
representativa.
• Examina experimentos
e identifi ca los que son
aleatorios de los que no
lo son.
• Justifi ca la condición de
azaroso de un experi-
mento y determina si es
aleatorio o no.
• Explica la decisión sobre
la técnica de conteo
a emplear en diversas
situaciones.
Procedimientos
• Calcula la probabilidad
de un evento.
• Emplea técnicas de
conteo en el cálculo de
probabilidades.
• Sugiere fenómenos de
estudio en el colegio
que se puedan con-
siderar a la luz de los
conceptos estudiados.
Modelación
• Propone experimentos
aleatorios y plantea con-
diciones probabilísticas
de estudio.
Solución de problemas
• Usa la estadística y
la probabilidad para
tomar decisiones sobre
situaciones reales.
Tecnología
• Elaboración de un
programa en el
que el usuario sea
un encuestador, de
modo que pueda
introducir una
variable y todas las
posibles opciones
de respuestas y se
puedan gene-
rar esquemas y
gráfi cas de manera
automática.
Ciencias sociales
• Realizar un sondeo
acerca de las
preferencias por
los candidatos
a personero y
representante de
los estudiantes
en el gobierno
estudiantil.
Orientación voca-
cional
• Realizar un
trabajo en el que
se consideren
las diferentes
opciones de vida
que se plantean
los estudiantes de
grado once.
Convivencia
• Realizar un estudio
estadístico sobre
el valor que los
estudiantes con-
sideran es el más
importante.
Lengua castellana
• Hacer una investi-
gación estadística
sobre manejo de
la ortografía de
los estudiantes del
colegio.
Unidad 7 Estadística y probabilidad
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[ 27 ]
Sugerencias metodológicas
A. Manejo de ideas previas
1. Documéntese sobre deportes y comente con sus estudiantes situaciones en las que se presenten datos e información. Puede emplear las tablas de posiciones o notas sobre ciertas habilidades pro-pias del deporte, así podrá señalar la necesidad de manejar ordenadamente los datos y los usos que pueden tener: informar, señalar puntos débiles a reforzar, planes de entrenamiento o tácticos y de-más.
2. Dirija la atención de sus estudiantes a las medidas de tendencia central con preguntas como: ¿cuál es la edad característica del curso? ¿Qué se está encontrando cuando se divide un grupo de notas entre la cantidad de ellas? ¿Qué signifi cado tiene este valor? De un grupo de afi cionados al deporte, ¿cómo se escoge el deporte característico entre las afi ciones? De esta manera podrá, con cada pregunta señalar cada estadígrafo.
3. Permita que sus estudiantes exploren el concepto de probabilidad por medio de preguntas como: si al lanzar un dado tuviera dos opciones para apostar: a) que cae tres y b) que cae par, ¿cuál opción esco-gerías? ¿Por qué? Entre dos jugadores que lanzan una moneda y uno apuesta por cara y el otro por sello, ¿cuál tiene más opción de ganar?
4. Antes de exponer el principio multiplicativo, plan-tee ejercicios de conteo que hagan uso de él, per-mita que los estudiantes socialicen sus respues-tas y condúzcalos así al concepto.
B. Formalización de los conceptos
1. Al inicio del tema, cada vez que se haga un ejemplo de cálculo de medidas de tendencia central, pida a sus estudiantes que escriban el signifi cado de los mismos. Esto afi anzará el manejo del concepto.
2. Pida a sus estudiantes que realicen un glosario de términos como: certidumbre, aleatorio, azar y demás, y que señale las similitudes o diferencias e identifi que su signifi cado matemático.
C. Práctica
1. Emplee Excel o cualquier otro programa de mane-jo de datos al que sus estudiantes tengan acceso
y pida que con él realicen histogramas a partir de tablas elaboradas por ellos.
2. Dentro de los ejercicios de probabilidad puede in-cluir ejercicios de estadística por medio de pre-guntas como ¿cuál es el número necesario de lanzamientos de un dado para que salga cinco? Al escoger una carta de una baraja, ¿cuál es el nú-mero de selecciones correspondientes para obte-ner una pica?
3. Realice ejercicios iniciales de conteo y pida a sus estudiantes que realicen un diagrama de árbol para notar el uso del principio multiplicativo y por demás su utilidad.
D. Identifi cación de difi cultades
1. Confusión entre variable y fenómeno.
Alternativa
Muestre diversos ejemplos de uno y otro concep-to. Pida a los estudiantes que indaguen acerca de sus diferencias y que propongan ejemplos.
2. Llegar a conclusiones que no se desprenden de la información dada por una tabla o histograma.
Alternativa
Haga ejercicios al respecto precisando los alcan-ces de la variable examinada, así evitará conside-raciones extra que se desvíen del objeto de estu-dio.
3. Identifi cación del método de conteo a emplear.
Alternativa
Haga reiterada referencia a la importancia que posee el orden de los elementos involucrados en la situación de conteo, así se diferenciará la com-binación de la permutación.
Proyectos integradores
Tecnología
Uso del programa Excel.
Ciencias sociales
Encuestas de problación nacional y mundial. Implicacio-nes sociales.
Sugerencias metodológicas y proyectos integradores
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Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................
1. Variable cuantitativa discreta:
a. Tiempo que dura viendo televisión en un día.
b. Cantidad de programas que ve completos.
c. Programas que ve.
d. Cantidad de alimentos que consume cuando ve televisión.
2. Variable cualitativa:
a. Programa que ve a las 8:00 p.m.
b. Marca del televisor.
c. Duración del programa que ve a las 8:00 p.m.
d. Comidas que consume mientras ve televisión.
3. Población:
a. Habitantes de Bogotá.
b. Censo poblacional del barrio.
c. Vecinos del barrio.
d. Número de televisores en el barrio.
4. Marco:
a. Perfi l de los vecinos del barrio.
b. Encuesta propuesta para dos familias por cada cuadra del barrio.
c. Censo poblacional del barrio.
d. Registros civiles de una familia.
5. Variable cuantitativa continua:
a. Cantidad de personas con las que ve televisión.
b. Número de programas completos que ve en el día.
c. Tiempo que dura viendo televisión en un día.
d. Cantidad de veces que cambia el canal.
Mercadeo televisivo
Una empresa desea estudiar las preferencias sobre los programas de televisión de los habitantes de un barrio. Para esto tuvieron una lluvia de ideas sobre los términos a considerar; sin embargo, no todas las opciones son adecua-das para el concepto que se dio, de manera que debes escoger cuál es la correcta en cada caso.
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Este movimiento surgió a fi nales del siglo pasa-do con el objetivo de abordar una renovación de la educación y de la problemática escolar.
Es un movimiento educativo esencialmente práctico que se desarrolló, sobre todo, en es-cuelas privadas.
La concepción de la Escuela Nueva recoge ade-más del conjunto de teorías y principios de algu-nos autores (Rousseau, Pestalozzi, Flöbel...) que tendieron a replantearse las formas tradiciona-les de la enseñanza como consecuencia lógica de los progresos científi cos que se daban de forma rápida en aquella sociedad.
Surgió el interés por el estudio del niño en sus aspectos biológicos y psicológicos, y la refl exión en torno a los mecanismos para aprender y no sólo la preocupación para enseñar.
Es signifi cativa la escuela de Abbotsholome, creada por C. Reddie cuyas ideas básicas con-sistieron en que la escuela no debe ser un medio artifi cial separado de la vida, sino un pequeño mundo real, práctico que ponga a los alumnos en contacto con la naturaleza y la realidad de las cosas, y donde no sólo debe enseñarse la teoría de los fenómenos sino también su práctica.
Estas experiencias, ideas y progresos pedagó-gicos se propagaron con intensidad, y surgieron distintas escuelas que procuraban introducir cambios en su funcionamiento docente y a las que se les denominó nuevas.
La Escuela Nueva comenzó a reformular las ideas de la escuela progresista en Estados uni-dos sobre los principios del pragmatismo peda-gógico de Dewey, según los cuales la escuela
es una sociedad viva y sus planteamientos bá-sicamente sociales: hay que preparar al alumno para la vida y familiarizarse con el medio so-cial.
Principios pedagógicos
Los principios pedagógicos en torno a los cuales se organizan los distintos métodos y técnicas de la Escuela Nueva son:
La individualización: Individualizar la enseñan-za es respetar al niño en sus aptitudes y capa-cidades para que él mismo desde dentro pueda desarrollar lo mejor de sí mismo y ponerse en si-tuación dinámica de aprendizaje y de responsa-bilidad. Se trata de una educación que toma en cuenta las peculiaridades individuales sin negar la socialización.
La socialización: Esta pedagogía pretende edu-car al individuo para la sociedad y surge de la ra-dical necesidad de asociarse para vivir, desarro-llarse y perfeccionarse. A través de actividades escolares realizadas en grupos se desarrollan en el alumno hábitos positivos de convivencia y cooperación social que le preparan para la vida misma.
La globalización de la enseñanza: Comienza a surgir la enseñanza con un criterio unitario y totalizador. Como los sujetos perciben las cosas en su totalidad, los contenidos de la enseñanza se deben organizar en unidades globales o cen-tros de interés para el alumno.
La autoeducación: Considera al niño el centro de toda la actividad escolar y la causa principal de su saber.
El movimiento pedagógico de la escuela nueva
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La Programación Neurolingüística es un modelo de comunicación conformado por una serie de técnicas, cuyo aprendizaje y práctica están en-focados al desarrollo humano.
Estudia cómo nos comunicamos con nosotros mismos (comunicación intrapersonal) y por ende cómo nos comunicamos con otros (comu-nicación interpersonal).
La Programación Neurolingüística (PNL) es una escuela de pensamiento pragmático que sostie-ne que en última instancia toda conducta huma-na se desarrolla sobre una “estructura” o “plan-tilla de pensamiento” aprendida, la cual puede ser detectada para ser modelada (copiada) por otras personas y obtener con ello similares re-sultados.
La PNL sostiene que es posible cambiar o repro-gramar esta estrategia o plantilla de pensamien-to, si es que hay algo que limite o para potenciar algún recurso, comportamiento o creencia, con el fi n de mejorar la calidad de vida.
La PNL defi ne tres elementos como constitu-yentes claves de la conducta humana:
El sistema nervioso (el soporte neurológico).
El lenguaje que sirve para la comunicación ex-terna e interna (con uno mismo), es verbal y no verbal.
La conducta que se puede aprender.
Es difícil establecer una defi nición concluyente de PNL.
Algunos la defi nen como el arte y la «ciencia» de la excelencia personal.
Un objetivo de la PNL es el de construir nuevas opciones de aprendizaje.
La PNL explica el proceso de aprendizaje de un proceso en una serie de etapas por las que pasa el individuo que aprende:
1. Incompetencia inconsciente (No se sabe qué es un coche y, mucho menos, conducir-lo).
2. Incompetencia consciente (momento en el que más se aprende. El conductor es cons-ciente de que no sabe conducir y lo intenta).
3. Competencia consciente (El conductor ya sabe conducir y presta demasiada atención al proceso como embrague, luces intermi-tentes, palanca de cambio de marchas...).
4. Competencia inconsciente (Se libera la aten-ción del consciente. El individuo realiza la ac-ción sin ser prácticamente consciente y pue-de dirigir así su atención para otras cosas. Así vemos a un conductor hablar, escuchar músi-ca, etc... mientras conduce).
La PNL es el estudio de la estructura de la ex-periencia subjetiva. Es el estudio de cómo hace-mos modelos. Hace referencia al “proceso”,no trabaja con contenidos.
Acerca de la programación neurolingüística
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Glosario básico de términos de evaluación educativa
Competencia
“Es la manifestación en la actuación (desempeños) de los conocimientos y la inteligencia en determinado con-texto, siendo la inteligencia ‘un potencial bio-psicológi-co’ para procesar información que sirve para resolver problemas o crear productos.”
Currículo
“Es el conjunto de criterios, planes de estudio, meto-dologías y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural na-cional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto educativo insti-tucional.”
Educación Básica
La Educación Básica corresponde a la identifi cada en el artículo 356 de la Constitución Política como educación básica obligatoria, la cual es desarrollada en dos ciclos: el de educación primaria y el de educación secundaria. Comprende nueve (9) grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado por las áreas funda-mentales del conocimiento y de la actividad humana.
Educación formal
Se entiende por educación formal aquella que se im-parte en establecimientos educativos aprobados, en una secuencia regular de ciclos lectivos, con sujeción a pautas curriculares progresivas, y conducente a grados y títulos.
La educación formal a que se refi ere la ley 115, se orga-niza en tres (3) niveles:
• El Preescolar: Comprende mínimo un grado obliga-torio.
• La Educación Básica: Con una duración de nueve (9) grados que se desarrolla en dos ciclos:
• La Educación Básica Primaria de cinco (5) grados.
• Educación Básica Secundaria de cuatro (4) grados.
Educación media
La educación media constituye la culminación, conso-lidación y avance en el logro de los niveles anteriores y comprende dos grados, el décimo (10°) y el undécimo
(11°). Tiene como fi n la comprensión de las ideas y los valores universales y la preparación para el ingreso del educando a la educación superior y al trabajo.
Educación media académica
La educación media académica permite preparar al es-tudiante, según sus intereses y capacidades, profundi-zar en un campo específi co de las ciencias, las artes o las humanidades y acceder a la educación superior.
Educación media técnica
La educación media técnica permite preparar a los estudiantes para el desempeño laboral en uno de los sectores de la producción y de los servicios, y para la continuación de la educación superior.
Educación no formal
La educación no formal es la que se ofrece con el objeto de complementar, actualizar, suplir conocimientos y for-mar, en aspectos académicos o laborales sin sujeción al sistema de niveles y grados establecidos en art. 11 de la Ley General de Educación.
Educación para grupos étnicos
Se entiende por educación para grupos étnicos la que se ofrece a grupos o comunidades que integran la na-cionalidad y que posean una cultura, una lengua, unas tradiciones y unos fueros propios y autóctonos. Esta educación debe estar ligada al ambiente, al proceso productivo, al proceso social y cultural, con el debido respeto de sus creencias y tradiciones.
Educación Preescolar
La educación preescolar corresponde a la que se ofrece al niño y la niña para su desarrollo integral en los aspec-tos biológico, cognoscitivo, psicomotriz, socio-afectivo y espiritual, a través de experiencias de socialización pe-dagógicas y recreativas. Esta educación comprende por lo menos un grado obligatorio.
Equipo de gestión institucional
El equipo de gestión institucional es el grupo de directi-vos y docentes con aptitudes complementarias. Se con-sideran responsables y se basan en un muy buen nivel de confi anza. Está dedicado al logro del mejoramiento de los resultados de la acción educativa. Actúa en torno a un conjunto de metas de desempeño comunes y un mismo método de trabajo.
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Estándar de contenido
“Lo que los profesores debieran enseñar y lo que se es-pera que los estudiantes aprendan, en descripciones cla-ras y específi cas sobre habilidades y conocimientos.”
Estándares básicos de competencias
“Son niveles básicos de competencia que los estudian-tes deben alcanzar en determinada área y en determi-nado conjunto de grados.”
Estándares curriculares
“Son criterios que especifi can lo que los estudiantes deben saber y ser capaces de hacer.”
Estándar de desempeño
“Defi nen grados de dominio o niveles de logro y respon-den a la pregunta ¿Cuán bueno es lo sufi cientemente bueno?’ Describen qué clase de desempeño representa un logro inadecuado, aceptable, o sobresaliente.”
Estándar de oportunidad
“Defi nen la disponibilidad de los recursos que las es-cuelas, distritos y el estado proporcionan para que los estudiantes puedan alcanzar los estándares de conte-nido y de desempeño.”
Evaluación de competencias básicas
Eje de la estrategia para el mejoramiento de la calidad de la educación. Establece los estándares de compe-tencias que los estudiantes y las estudiantes deben al-canzar en las áreas de lenguaje, matemáticas y ciencias naturales, para conocer qué tan lejos están los niños y jóvenes de que aprendan lo que deben aprender.
Indicador de logro
“Son indicios, señales, rasgos o conjuntos de rasgos, datos e informaciones perceptibles que si se confron-tan con lo que se espera, pueden considerarse como evidencias signifi cativas de la evolución del desarrollo humano.”
Lineamientos curriculares
Son el fundamento pedagógico, fi losófi co y epistemoló-gico de las áreas del conocimiento. “Con ellos se pre-tende atender la necesidad de orientaciones y criterios nacionales sobre los currículos, sobre la función de las áreas y sobre nuevos enfoques para comprenderlas y enseñarlas.”
Plan de área: Es el “mapa de navegación” de cada una de las áreas del conocimiento, donde se estructuran y explican, entre otros, los siguientes aspectos:
1. Antecedentes 2. Sentido 3. Estructura 4. Ejes 5. Contenidos: Estándares, competencias básicas,
logros. 6. Metodología 7. Evaluación: Aspectos e Instrumentos, estándares
de desempeño. 8. Planes para estudiantes con difi cultades. 9. Recursos
Plan de estudios: Es el esquema estructurado de las áreas obligatorias y optativas con sus respectivas asig-naturas que forman parte del currículo. Debe contener al menos los siguientes aspectos:
1. La intención e identifi cación de los contenidos de cada área.
2. Las correspondientes actividades pedagógicas. 3. La distribución del tiempo del proceso educativo. 4. Los logros, competencias y conocimientos. 5. Los criterios y procedimientos para evaluar el
aprendizaje y el desarrollo de capacidades. 6. Planes para estudiantes con difi cultades en su
aprendizaje. 7. La metodología aplicable a cada una de las áreas. 8. Indicadores de desempeño para auto evaluación
institucional.
Plan de mejoramiento institucional
Es una herramienta gerencial de mejoramiento institu-cional, con la cual es posible reorientar el camino de la institución educativa hacia unos propósitos y resulta-dos queridos y acordados, a partir de una caracteriza-ción y priorización de los problemas más sentidos de la institución.
Rotación de estudiantes
Es un sistema pedagógico de optimización de todos los espacios físicos de una institución educativa, que busca mejorar la calidad y la cobertura mediante la or-ganización y administración de aulas por áreas del co-nocimiento, que responden a un diseño institucional, de grado y de área.
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