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7/14/2019 MA- Algebra - R. Criado y a. Gallinari 2003

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Á l g e b r a

R . C r i a d o y A . G a l l i n a r i

2 0 0 3



2 Á l g e b r a

I n t r o d u c c i ó n

E n s u s o r í g e n e s , e l á l g e b r a c l á s i c a e r a e l a r t e d e r e s o l v e r e c u a c i o n e s ( l a

p a l a b r a á l g e b r a p r o v i e n e d e u n v o c a b l o á r a b e q u e s i g n i c a r e d u c c i ó n ) . E l

á l g e b r a m o d e r n a e s t á c a r a c t e r i z a d a p o r e l e s t u d i o d e c i e r t a s e s t r u c t u r a s a b s -

t r a c t a s q u e t i e n e n e n c o m ú n u n a g r a n v a r i e d a d d e o b j e t o s m a t e m á t i c o s . E l

c a l i c a t i v o a b s t r a c t o s e r e e r e a l r e s u l t a d o d e r e a l i z a r e l p r o c e s o d e a b s t r a c -

c i ó n s o b r e l a s p r o p i e d a d e s o b s e r v a b l e s d e c i e r t o s o b j e t o s m a t e m á t i c o s , e s

d e c i r , e l p r o c e s o c o n s i s t e n t e e n s e p a r a r l a f o r m a d e l c o n t e n i d o .

L a e s t r u c t u r a p r i n c i p a l o b j e t o d e e s t u d i o e n e s t a p u b l i c a c i ó n e s l a d e

e s p a c i o v e c t o r i a l . L a s a p l i c a c i o n e s d e e s t a e s t r u c t u r a i n c l u y e n v i r t u a l m e n -

t e t o d a s l a s á r e a s d e l a c i e n c i a . S e i n c l u y e u n a a p l i c a c i ó n d e l o s e s p a c i o s

v e c t o r i a l e s r e l a c i o n a d a e s t r e c h a m e n t e c o n e l m u n d o d e l a i n f o r m á t i c a y l a s

t e l e c o m u n i c a c i o n e s , e n c o n c r e t o a l a t e o r í a d e c ó d i g o s y s e e s t u d i a n v a r i a s

t é c n i c a s y h e r r a m i e n t a s d e i n t e r é s p a r a o t r a s a p l i c a c i o n e s .

E s t e v o l u m e n v i e n e a c o m p a ñ a d o p o r u n l i b r o d e P r á c t i c a s y P r o b l e m a s

c o n e l s i s t e m a M a p l e V , d i s p o n i b l e e n v e r s i ó n d i g i t a l , q u e c o n t i e n e u n a a m -

p l i a c i ó n y c o m p l e t a l a d e s c r i p c i ó n d e l o s c o n c e p t o s t e ó r i c o s . L a s p r á c t i c a s

p e r m i t e n e l d e s a r r o l l o y l a e x p e r i m e n t a c i ó n c o n l o s a s p e c t o s m á s n u m é r i -

c o s y e s t á n d i s e ñ a d a p a r a p o t e n c i a r e l e m p l e o d e l a n o t a b l e c a p a c i d a d d e

v i s u a l i z a c i ó n g r á c a q u e o f r e c e e l p r o g r a m a M a p l e V .

A c a d a t e m a t e ó r i c o y p r á c t i c o h e m o s a ñ a d i d o e j e r c i c i o s r e s u e l t o s y e j e r -

c i c i o s p r o p u e s t o s .

L o s p r i n c i p a l e s o b j e t i v o s d i d á c t i c o s q u e i n t e n t a m o s c o n s e g u i r s o n q u e e l

l e c t o r :

•a p r e n d a y u t i l i z e c o r r e c t a m e n t e t é c n i c a s y m é t o d o s p r o p i o s d e l á l g e b r a

l i n e a l .

•v e a l a d e s c r i p c i ó n d e a l g u n a s a p l i c a c i o n e s a l a I n f o r m á t i c a .

•c o m p r e n d a y a p l i q u e a l g u n o s m é t o d o s n u m é r i c o s d e r e s o l u c i ó n d e s i s -

t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s y d e a p r o x i m a c i ó n d e a u t o v a l o r e s y a u t o -

v e c t o r e s .

•a p r e n d a a u t i l i z a r e l p r o g r a m a M a p l e V ( c o m o e j e m p l o d e s i s t e m a d e

c o m p u t a c i ó n s i m b ó l i c a ) e n s u s a p l i c a c i o n e s a l á l g e b r a l i n e a l .

A l g u n o s a p a r t a d o s d e e s t a p u b l i c a c i ó n ( s o b r e t o d o e n l a p a r t e d e e j e r c i -

c i o s ) s o n u n a a d a p t a c i ó n d e l m a t e r i a l c o n t e n i d o ( u n a s v e c e s s i n m o d i c a r l o ,

o t r a s p r o p o n i e n d o v a r i a c i o n e s d e e l l o ) e n l a b i b l i o g r a f í a i n c l u i d a .



Á l g e b r a 3

A g r a d e c i m i e n t o s

Q u e r e m o s a g r a d e c e r a l p r o f e s o r L u i s E . S o l á C o n d e p o r s u p a r t i c i p a c i ó n

e n l a c o r r e c c i ó n d e e s t a s n o t a s y l a e l a b o r a c i ó n d e l o s e n u n c i a d o s d e v a r i o s

e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s e n e s t e l i b r o .

G r a c i a s t a m b i é n a l o s p r o f e s o r e s A l e j a n d r o J . G a r c í a d e l A m o J i m é n e z

y B e g o ñ a J i m é n e z M a r t í n p o r l a e l a b o r a c i ó n d e l o s e n u n c i a d o s d e v a r i o s

e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s y a l o s a l u m n o s q u e h a n s e ñ a l a d o e r r a t a s y e r r o r e s e n

v e r s i o n e s p r e v i a s d e e s t a p u b l i c a c i ó n .



4 Á l g e b r a



Í n d i c e G e n e r a l

1 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , m a t r i c e s y e s t r u c t u r a s a l g e -

b r a i c a s 9

1 . 1 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , m a t r i c e s y e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a 1 0

1 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . . . 1 0

1 . 1 . 2 S i s t e m a s h o m o g é n e o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

1 . 1 . 3 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s .

I n t r o d u c c i ó n a l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n . . . . . . . . 1 4

1 . 1 . 4 S i s t e m a s e q u i v a l e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1 . 1 . 5 E s t r a t e g i a p a r a l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o

d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

1 . 1 . 6 M é t o d o d e G a u s s - J o r d a n . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

1 . 2 M a t r i c e s y o p e r a c i o n e s c o n m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

1 . 2 . 1 S u m a d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

1 . 2 . 2 P r o d u c t o d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

1 . 2 . 3 P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . 3 3

1 . 2 . 4 E l p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n e s c a l a r . . . . . . . . 3 7

1 . 2 . 5 E l a n i l l o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s M n(K) . . . . . . . . . 3 9

1 . 2 . 6 M a t r i c e s i n v e r t i b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

1 . 2 . 7 M a t r i c e s e l e m e n t a l e s y u n m é t o d o p a r a h a l l a r A−1. . . 4 3

1 . 3 E s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

1 . 3 . 1 E l c o n c e p t o d e o p e r a c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

1 . 3 . 2 G r u p o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

1 . 3 . 3 A n i l l o s y c u e r p o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

1 . 3 . 4 I n t r o d u c c i ó n a l o s T i p o s A b s t r a c t o s d e D a t o s . . . . . 5 7

1 . 4 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

1 . 4 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

1 . 4 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4

5



6 Á l g e b r a

2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s 7 1

2 . 1 V e c t o r e s e n e l p l a n o y e n e l e s p a c i o . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

2 . 1 . 1 P r o d u c t o v e c t o r i a l y p r o d u c t o m i x t o . . . . . . . . . . 8 1

2 . 1 . 2 R e c t a s e n l e p l a n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

2 . 1 . 3 P l a n o s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . . . . . . . . . . . 8 5

2 . 1 . 4 R e c t a s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . . . . . . . . . . . 8 7

2 . 2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e u n c u e r p o K

. . . . . . . . . . . . . 8 9

2 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e v e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2

2 . 2 . 2 P r o d u c t o c a r t e s i a n o d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s . . . . . . . 9 3

2 . 2 . 3 F u n c i o n e s c o n c o d o m i n i o e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l . . . . 9 6

2 . 3 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0

2 . 4 D e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4

2 . 5 B a s e s y d i m e n s i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2

2 . 5 . 1 S i s t e m a s g e n e r a d o r e s y b a s e s . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2

2 . 5 . 2 E q u i p o t e n c i a d e b a s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

2 . 6 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s y d i m e n s i ó n . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0

2 . 7 R a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s y d e u n a m a t r i z . . . . . . . 1 2 2

2 . 8 E l t e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

2 . 9 M é t o d o d e G a u s s y r a n g o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0

2 . 9 . 1 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s y m a t r i c e s

e l e m e n t a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 0

2 . 9 . 2 M é t o d o d e G a u s s p a r a c a l c u l a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z 1 3 2

2 . 9 . 3 A l g o r i t m o d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e . . . . . . . . . . . 1 3 8

2 . 9 . 4 R a n g o y e s p a c i o l a d e u n a m a t r i z . . . . . . . . . . . 1 3 9

2 . 1 0 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

2 . 1 0 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

2 . 1 0 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6

3 F u n c i o n e s l i n e a l e s 1 5 3

3 . 1 F u n c i o n e s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4

3 . 2 P r o p i e d a d e s d e f u n c i o n e s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

3 . 3 N ú c l e o e i m a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1

3 . 4 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s i s o m o r f o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5

3 . 5 F u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a . 1 6 7

3 . 5 . 1 D e t e r m i n a c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s v e c t o -

r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 7

3 . 5 . 2 D i m e n s i o n e s d e l n ú c l e o y d e l a i m a g e n . . . . . . . . . 1 7 2

3 . 5 . 3 M a t r i z a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n l i n e a l . . . . . . . . . . 1 7 4



Á l g e b r a 7

3 . 5 . 4 A l g o r i t m o p a r a h a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y d e l a i m a g e n 1 7 8

3 . 5 . 5 M a t r i z a s o c i a d a a l a c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s . 1 7 9

3 . 5 . 6 M a t r i c e s s e m e j a n t e s y c a m b i o s d e b a s e . . . . . . . . . 1 8 3

3 . 5 . 7 E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e u n s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5

3 . 6 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0

3 . 6 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0

3 . 6 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3

4 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s e u c l í d e o s 1 9 7

4 . 1 P r o d u c t o e s c a l a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 7

4 . 2 L o n g i t u d o n o r m a e u c l í d e a d e u n v e c t o r . . . . . . . . . . . . 2 0 0

4 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a . . . . . . . . . . . . 2 0 0

4 . 3 M é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t . . . . . . . . . 2 0 4

4 . 3 . 1 D e s c o m p o s i c i ó n QR d e u n a m a t r i z . . . . . . . . . . . 2 0 9

4 . 4 P r o y e c c i o n e s o r t o g o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1

4 . 4 . 1 M é t o d o p a r a h a l l a r u n a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l . . . . . . 2 1 4

4 . 4 . 2 A p r o x i m a c i ó n ó p t i m a d e u n v e c t o r . . . . . . . . . . . . 2 1 5

4 . 5 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7



5 C ó d i g o s l i n e a l e s 2 1 9

5 . 1 I n t r o d u c c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 9

5 . 2 D i s t a n c i a d e H a m m i n g , d e t e c c i ó n y c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s . . . 2 2 2

5 . 2 . 1 C ó d i g o d e p a r i d a d : d e t e c c i ó n d e e r r o r e s s i m p l e s . . . . 2 2 3

5 . 2 . 2 C ó d i g o d e r e p e t i c i ó n : c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s s i m p l e s . . 2 2 4

5 . 3 C ó d i g o s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 5

5 . 3 . 1 P a s o d e u n a m a t r i z d e c o n t r o l a u n a m a t r i z g e n e r a d o r a 2 2 8

5 . 3 . 2 P a s o d e u n a m a t r i z g e n e r a d o r a a u n a m a t r i z d e c o n t r o l 2 2 9

5 . 3 . 3 D e t e c c i ó n y c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s . . . . . . . . . . . . 2 3 2

5 . 4 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5



6 A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s 2 3 9

6 . 1 I n t r o d u c c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9

6 . 2 A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1



8 Á l g e b r a

6 . 3 F u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e r e a l . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3

6 . 3 . 1 L a e x p o n e n c i a l c o m p l e j a . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4

6 . 4 E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6

6 . 4 . 1 L a e c u a c i ó n d e p r i m e r o r d e n . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6

6 . 4 . 2 L a e c u a c i ó n d e o r d e n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 9

6 . 4 . 3 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . . . . . . . . . . . 2 5 1

6 . 5 L a s e m e j a n z a d e m a t r i c e s y l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . . . . . 2 5 3

6 . 5 . 1 S i s t e m a s d i a g o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 5

6 . 5 . 2 S i s t e m a s t r i a n g u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 6

6 . 6 D i a g o n a l i z a c i ó n y t r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . 2 5 9

6 . 6 . 1 E l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e u n a m a t r i z . . . . . . . . 2 5 9

6 . 6 . 2 M a t r i c e s d i a g o n a l i z a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 3

6 . 6 . 3 T r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 8

6 . 6 . 4 R e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s p o r

t r i a n g u l a c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 1

6 . 7 R e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9

6 . 7 . 1 R e l a c i o n e s d e p r i m e r o r d e n . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 1

6 . 7 . 2 S i s t e m a s d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a . . . . . . . . . . 2 8 6

6 . 8 E j e r c i c i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0



7 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s 2 9 3

7 . 1 S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s

d e l c a p í t u l o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 3


d e l c a p í t u l o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7


d e l c a p í t u l o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1


d e l c a p í t u l o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1


d e l c a p í t u l o 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 2


d e l c a p í t u l o 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5

A N u e v o m é t o d o d e t r i a n g u l a c i ó n p o r s e m e j a n z a 3 4 3



C a p í t u l o 1

S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ,

m a t r i c e s y e s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s

E s t e p r i m e r c a p í t u l o c o m i e n z a c o n e l e s t u d i o d e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s

l i n e a l e s , d e l a s m a t r i c e s y d e l a s o p e r a c i o n e s c o n m a t r i c e s .

E s t o s c o n c e p t o s e s t á n e n l a b a s e d e l á l g e b r a l i n e a l , y s e a s u m e q u e y a s e

h a t e n i d o u n c o n t a c t o p r e v i o c o n e l l o s e n c u r s o s a n t e r i o r e s .

E s c o n v e n i e n t e s e ñ a l a r q u e e n e s t e n i v e l n o s ó l o e s i m p o r t a n t e e n t e n d e r

l o s m é t o d o s d e c á l c u l o d e l a s s o l u c i o n e s d e l o s p r o b l e m a s q u e s e e s t u d i a r á n ,

s i n o t a m b i é n e l p o r q u é d i c h o s m é t o d o s f u n c i o n a n .

H a b l a r e m o s d e s i s t e m a s d e n e c u a c i o n e s c o n m v a r i a b l e s , d o n d e n y me n g e n e r a l n o s o n i g u a l e s , y d e u n a l g o r i t m o d e c á l c u l o , e l m é t o d o d e e l i m i -

n a c i ó n g a u s s i a n a , q u e n o s p e r m i t i r á r e s o l v e r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

g e n e r a l e s .

E n l a s e g u n d a p a r t e d e l c a p í t u l o , u n a v e z e s t a b l e c i d a s l a s p r o p i e d a d e s

q u e s a t i s f a c e n l a s m a t r i c e s r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o , s e i n t r o d u c e n

l a s e s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s d e g r u p o , a n i l l o y c u e r p o c o n e l o b j e t o d e r e u -

n i r , b a j o u n a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a a b s t r a c t a , l a s p r o p i e d a d e s q u e t i e n e n e n

c o m ú n , p o r e j e m p l o , l o s n ú m e r o s e n t e r o s , r e a l e s y c o m p l e j o s , l a s m a t r i c e s y

l o s p o l i n o m i o s , y d e s t a c a r a q u e l l a s p r o p i e d a d e s q u e n o c o m p a r t e n . E n e s e

s e n t i d o , l a d e n i c i ó n d e u n a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a ( p o r e j e m p l o , l a d e n i c i ó n

d e g r u p o ) r e s p o n d e r á a l a a b s t r a c c i ó n d e c i e r t a s p r o p i e d a d e s c o m u n e s a l o s

o b j e t o s a n t e r i o r e s , e n t e n d i e n d o p o r a b s t r a c c i ó n e l p r o c e s o d e s e p a r a r l a f o r -

m a d e l c o n t e n i d o . C o m o c o l o f ó n d e l c a p í t u l o y a p l i c a c i ó n d e l o s c o n c e p t o s

p r e v i a m e n t e i n t r o d u c i d o s v e r e m o s u n a i n t r o d u c c i ó n a l o s t i p o s a b s t r a c t o s d e

d a t o s .

9



1 0 Á l g e b r a

1 . 1 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , m a t r i c e s y

e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a

A l a p l i c a r l a t e o r í a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , e n t r e o t r a s d i s c i p l i n a s , a l a i n f o r -

m á t i c a , a p a r e c e n e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s e n t e r o s , b i n a r i o s (0 ó

1), r e a l e s o i n c l u s o c o m p l e j o s . L a d e n i c i ó n d e l a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a d e

c u e r p o s e i n t r o d u c i r á m á s t a r d e . C ó m o e n l a m a y o r p a r t e d e l o s r e s u l t a d o s

r e f e r e n t e s a l a t e o r í a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s n o h a c e f a l t a h a c e r d i s t i n c i ó n

e n t r e l o s c a s o s e n l o s q u e l o s c o e c i e n t e s s o n e l e m e n t o s d e l c u e r p o R

d e l o s

n ú m e r o s r e a l e s o d e l c u e r p o C

d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s , a l o l a r g o d e l c a -

p í t u l o s e c o n s i d e r a r á q u e l o s c o e c i e n t e s d e l a s e c u a c i o n e s p e r t e n e c e n a u n

c u e r p o g e n é r i c o K

, d o n d e K = R

ó C

, a u n q u e e n a l g u n o s c a s o s e n l o s q u e s e

d i r á e x p l í c i t a m e n t e , s e c o n s i d e r a r a n t a m b i é n c o e c i e n t e s b i n a r i o s , e s d e c i r ,

d e l c u e r p o Z2 = {0, 1}

d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s m ó d u l o 2 .

S e a s u m e q u e e l e s t u d i a n t e h a t r a b a j a d o e n c u r s o s a n t e r i o r e s c o n e l e m e n -

t o s d e R2

y R3, a l o s q u e s e d e n o m i n a n pares o r d e n a d o s y ternas . A m b o s

c o n c e p t o s s o n c a s o s p a r t i c u l a r e s d e l c o n c e p t o d e n − tupla o e l e m e n t o d e l

p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e n c o p i a s d e R, Rn, d o n d e n e s u n n ú m e r o n a t u r a l , o

e n g e n e r a l d e Kn. A s í

Kn = {(x1,...,xn) | ∀i ∈ {1,...,n} xi ∈ K}

D e e s t e m o d o , u n p a r o r d e n a d o e s u n a 2−

tupla ( u n e l e m e n t o d e K2) y

u n a t e r n a e s u n a 3 − tupla ( u n e l e m e n t o d e

K3).

1 . 1 . 1 I n t r o d u c c i ó n a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 U n a e c u a c i ó n l i n e a l e n l a s v a r i a b l e s ( o i n c ó g n i t a s ) x1,...,xn

e s u n a e x p r e s i ó n d e l a f o r m a

a1x1 + ... + anxn = b

A a1,...,an ∈ Ks e l e s d e n o m i n a c o e c i e n t e s d e l a e c u a c i ó n , y a b ∈ K

t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e .

O b s e r v a c i ó n 1 H a b i t u a l m e n t e , l o s c o e c i e n t e s a1,...,an y e l t é r m i n o i n d e -

p e n d i e n t e b s e r á n e l e m e n t o s d e u n c u e r p o K

( c o n K = R

ó C). E n t a l c a s o

s e d i c e q u e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l c o n c o e c i e n t e s e n K.



Á l g e b r a 1 1

O b s e r v a c i ó n 2 C u a n d o n ≤ 3 e s u s u a l u t i l i z a r l a s v a r i a b l e s x, y y z e n

l u g a r d e

x1, x2y

x3

E j e m p l o 1 . 1 . 2 S i n = 2 y a1, a2 ∈ R, l a e c u a c i ó n l i n e a l

a1x + a2y = b (I )

r e p r e s e n t a u n a r e c t a e n e l p l a n o R2, e s d e c i r , e l c o n j u n t o d e p a r e s (x, y) q u e

s a t i s f a c e n l a e c u a c i ó n (I )

c o n s t i t u y e n u n a r e c t a . P o r e j e m p l o , l a e c u a c i ó n

y − 2x = 2 r e p r e s e n t a l a r e c t a

T

E

& &

& &

& &

& & &

2

- 1 0

F i g u r a 1 . 1 : L a r e c t a y = 2 x + 2

E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e l a s o p e r a c i o n e s q u e a f e c t a n a l a s v a r i a b l e s

q u e i n t e r v i e n e n e n l a s e c u a c i o n e s l i n e a l e s s e r e d u c e n a m u l t i p l i c a r l a s p o r l o s

c o e c i e n t e s y s u m a r l a s . A s í p o r e j e m p l o ,

3x + 4y = 24

x1 − x2 + 5x3 − (√

2)x4 = 1

(e2)x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0

s o n e c u a c i o n e s l i n e a l e s . S i n e m b a r g o N O s o n e c u a c i o n e s l i n e a l e s

3x2 + 4y = 24

x1 − x2 + 5x3 − 2√

x4 = 1

e2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0



1 2 Á l g e b r a

D e n i c i ó n 1 . 1 . 3 S e d i c e q u e (α1,...,αn) ∈ Kne s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n

a1x1 + ... + anxn = b

s i

a1α1 + ... + anαn = b.

E j e m p l o 1 . 1 . 4 (x,y,z ) = (3, 2, −1)

e s s o l u c i ó n d e x + y + z = 4.

P o r o t r a

p a r t e (x,y,z ) = (4, 0, 0) t a m b i é n e s s o l u c i ó n d e d i c h a e c u a c i ó n .

U n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e s u n a s u c e s i ó n n i t a d e e c u a c i o n e s

l i n e a l e s . E s u s u a l r e p r e s e n t a r l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s v e r t i c a l m e n -

t e ( i . e . , c o l o c a n d o l a s u c e s i ó n d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e n c o l u m n a ) . A s í , u n

s i s t e m a d e m e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n n i n c ó g n i t a s s e r e p r e s e n t a r í a p o r a11x1 + ... + a1nxn = b1

.

.

.

am1x1 + ... + amnxn = bm

E j e m p l o 1 . 1 . 5 E l s i s t e m a

x2 + x3 = 12x1 − x3 = 2x2 + x3 = 4

e s u n s i s t e m a d e 3 e c u a c i o n e s c o n 3 i n c ó g n i t a s .

D e n i c i ó n 1 . 1 . 6 S e d i c e q u e (α1,...,αn) ∈ Kn

e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s a11x1 + ... + a1nxn = b1

.

.

.


s i

∀i ∈ {1,...,m} ai1α1 + ... + ainαn = bi

o , l o q u e e s l o m i s m o , a11α1 + ... + a1nαn = b1

.

.

.

am1α1 + ... + amnαn = bm



Á l g e b r a 1 3

E s i m p o r t a n t e t e n e r p r e s e n t e q u e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p u e -

d e n n o t e n e r s o l u c i o n e s , o t e n e r m á s d e u n a . P o r e j e m p l o , e l s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s e n R

x1 − x2 = 1x1 − x2 = 4

n o t i e n e s o l u c i ó n , y a q u e c o n t i e n e l a s e c u a c i o n e s d e d o s r e c t a s d i s t i n t a s y

p a r a l e l a s .

L o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e n o t i e n e n s o l u c i ó n , c o m o e l d e l

e j e m p l o a n t e r i o r , s e d e n o m i n a n s i s t e m a s i n c o m p a t i b l e s .

L o s q u e t i e n e n a l m e n o s u n a s o l u c i ó n , e s t o e s , l o s s i s t e m a s c o m p a t i -

b l e s , p u e d e n t e n e r u n a ú n i c a s o l u c i ó n , e n c u y o c a s o s e d e n o m i n a n c o m p a t i -

b l e s d e t e r m i n a d o s , o m á s d e u n a s o l u c i ó n , e n c u y o c a s o , s i l o s c o e c i e n t e s

d e l s i s t e m a s o n n ú m e r o s r e a l e s o c o m p l e j o s , e l s i s t e m a t i e n e i n n i t a s s o l u c i o -

n e s ( c o m o s e v e r á p o r e l t e o r e m a 1 . 2 . 1 4 ) , y l o s s i s t e m a s c o r r e s p o n d i e n t e s s e

d e n o m i n a n c o m p a t i b l e s i n d e t e r m i n a d o s .

E j e r c i c i o 1 . 1 . 1 E n c o n t r a r t r e s s i s t e m a s d e d o s e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e -

c i e n t e s e n R

c o n d o s i n c ó g n i t a s , u n o c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o , o t r o c o m p a t i b l e

i n d e t e r m i n a d o y u n t e r c e r o i n c o m p a t i b l e y r e p r e s e n t a r e l c o n j u n t o s o l u c i ó n

d e c a d a u n a d e l a s d o s e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e l o f o r m a n e n e l p l a n o R2

.

E x t r a e r c o n c l u s i o n e s .

1 . 1 . 2 S i s t e m a s h o m o g é n e o s

D e n i c i ó n 1 . 1 . 7 S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e s h o m o g é -

n e o s i l o s t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s d e t o d a s l a s e c u a c i o n e s q u e l o c o n s t i t u y e n

s o n i g u a l e s a 0 .

E j e m p l o 1 . 1 . 8 x1 + x3 = 0

2x1 − x2 + x3 = 0

e s u n s i s t e m a h o m o g é n e o d e 2 e c u a c i o n e s c o n 3 i n c ó g n i t a s .

O b s e r v a c i ó n 3 C u a l q u i e r s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o a11x1 + ... + a1nxn = 0

.

.

.

am1x1 + ... + amnxn = 0



1 4 Á l g e b r a

e s c o m p a t i b l e , p u e s t o q u e (0,..., 0) ∈ Kne s s i e m p r e u n a s o l u c i ó n d e d i c h o

s i s t e m a . A e s t a s o l u c i ó n s e l a c o n o c e c o m o s o l u c i ó n t r i v i a l

. S i u n s i s t e m a

h o m o g é n e o t i e n e s o l u c i o n e s d i s t i n t a s d e l a t r i v i a l , a c u a l q u i e r a d e d i c h a s

s o l u c i o n e s l a d e n o m i n a r e m o s s o l u c i ó n n o t r i v i a l .

E n e l c a p í t u l o 2 d e m o s t r a r e m o s q u e u n s i s t e m a h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s

l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s e n R

ó C

s a t i s f a c e e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s

p r o p o s i c i o n e s :

•E l s i s t e m a h o m o g é n e o s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l .

•E l s i s t e m a h o m o g é n e o t i e n e i n n i t a s s o l u c i o n e s a d e m á s d e l a t r i v i a l .

E n p a r t i c u l a r , d e m o s t r a r e m o s q u e t o d o s i s t e m a h o m o g é n e o c o n c o e -

c i e n t e s e n R

ó C

q u e t e n g a m á s i n c ó g n i t a s q u e e c u a c i o n e s t i e n e i n n i t a s

s o l u c i o n e s .

S e p u e d e n c o m p r e n d e r e i n t e r i o r i z a r l o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s a t r a v é s

d e l a r e s o l u c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s :

E j e r c i c i o 1 . 1 . 2 C o m p r o b a r q u e e l s i s t e m a h o m o g é n e o x1 + x3 = 0

2x1 − x2 + x3 = 0

t i e n e i n n i t a s s o l u c i o n e s e n ∈ R3, d e s p e j a n d o l a s v a r i a b l e s x1 y x2 e n f u n c i ó n

d e x3 , y o b t e n e r u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a p a r a c a d a v a l o r d e

x3 c o n s i d e r a d o .

E j e r c i c i o 1 . 1 . 3 V e r i c a r q u e e l s i s t e m a x1 + x2 = 0

2x1 − x2 = 0

s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l .

1 . 1 . 3 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s .

I n t r o d u c c i ó n a l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n

E n e s t a s e c c i ó n h a r e m o s u n a p r i m e r a d e s c r i p c i ó n d e l m é t o d o d e G a u s s -

J o r d a n p a r a e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s ( s i e s q u e e x i s t e n ) d e u n s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s l i n e a l e s . L a j u s t i c a c i ó n d e l m é t o d o y s u d e s c r i p c i ó n p r e c i s a s e



Á l g e b r a 1 5

r e a l i z a r á e n l a s d o s s i g u i e n t e s s e c c i o n e s . E n e s t a s e c c i ó n t a m b i é n d a r e m o s

u n a p r i m e r a j u s t i c a c i ó n d e l a d e n i c i ó n d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s ( i . e . , d e

p o r q u é e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s s e d e n e t a l y c o m o s e d e n e ) . A l p r o c e s o

d e c á l c u l o d e l a s s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s c o m p a t i b l e s e l e

d e n o m i n a r e s o l u c i ó n d e l s i s t e m a .

S i c o n s i d e r a m o s e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s : x1 − x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4

p o d e m o s r e s o l v e r l o e l i m i n a n d o s u c e s í v a m e n t e u n a d e l a s i n c ó g n i t a s d e d o s

d e l a s e c u a c i o n e s , d e s p u é s o t r a d e l a s r e s t a n t e s y a s í s u c e s i v a m e n t e h a s t a

c o n o c e r e l v a l o r d e u n a i n c ó g n i t a , y a p a r t i r d e e l l a e l d e l a s d e m á s . E n e s t e

c a s o , m u l t i p l i c a n d o l a p r i m e r a e c u a c i ó n p o r 2 y r e s t á n d o s e l a a l a s e g u n d a , y

r e s t a n d o l a p r i m e r a e c u a c i ó n a l a t e r c e r a , o b t e n e m o s : x1 − x2 + x3 = 13x2 − 3x3 = 0

3x2 = 3.

A p a r t i r d e a q u í , d e l a t e r c e r a e c u a c i ó n s e o b t i e n e x2 = 1.

S u s t i t u y e n d o h a c i a

a t r á s v a m o s o b t e n i e n d o s u c e s í v a m e n t e e l v a l o r d e l r e s t o d e l a s i n c ó g n i t a s .

E n e s t e c a s o , d e l a s e g u n d a e c u a c i ó n o b t e n e m o s q u e x3 = 1, y , c o n o c i d o s l o s

v a l o r e s d e x2 y x3, d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n o b t e n e m o s q u e x1 = 1.E l m é t o d o d e s c r i t o , c o n s i s t e n t e e n i r e l i m i n a n d o l a s i n c ó g n i t a s d e l a s

e c u a c i o n e s u n a a u n a m e d i a n t e e l p r o c e s o d e s u m a r a u n a e c u a c i ó n o t r a

m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú m e r o , p a r a , u n a v e z o b t e n i d o e l v a l o r d e u n a d e l a s

v a r i a b l e s , i r s u s t i t u y e n d o h a c i a a t r á s , s e c o n o c e c o m o e l i m i n a c i ó n g a u s s i a -

n a .

S i u n a v e z o b t e n i d o e l v a l o r d e u n a d e l a s v a r i a b l e s , e n l u g a r d e s u s t i t u i r

h a c i a a t r á s , s e g u i m o s s u m a n d o a u n a e c u a c i ó n o t r a m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú -

m e r o , m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a e c u a c i ó n p o r n ú m e r o s a d e c u a d o s e

i n t e r c a m b i a n d o e c u a c i o n e s c o n e l o b j e t o d e o b t e n e r u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

e s c a l o n a d o e n e l q u e e n c a d a e c u a c i ó n a p a r e z c a ú n i c a m e n t e u n a i n c ó g n i t a ,

e s t a r e m o s a p l i c a n d o e l m é t o d o c o n o c i d o c o m o m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n .

U n a f o r m a d e r e p r e s e n t a r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n s i s t e e n u t i -

l i z a r m a t r i c e s , e s t o e s , t a b l a s d e c o e c i e n t e s o r d e n a d a s s e g ú n u n n ú m e r o

d e t e r m i n a d o d e l a s y c o l u m n a s . D e h e c h o , e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e



1 6 Á l g e b r a

a p l i c a m á s f á c i l m e n t e s o b r e l a q u e s e d e n o m i n a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l

s i s t e m a q u e s o b r e e l p r o p i o s i s t e m a . L a m a t r i z a s o c i a d a a l s i s t e m a x1 − x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 4

e s p o r d e n i c i ó n l a m a t r i z 1 −1 12 1 −11 2 1

y l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a d i c h o s i s t e m a e s 1 −1 1 1

2 1 −1 21 2 1 4

L a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s o b r e d i c h a m a t r i z p a r a o b t e -

n e r l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s q u e r e p r e s e n t a n o s d a r í a s u c e s í v a -

m e n t e :

1 −1 1 1

2 1 −1 21 2 1 4 F 2 = F 2−

2F 1F 3 = F 3 − F 1 →

1 −1 1 1

0 3 −3 00 3 0 3 F 2 ↔ F 3 →

1 −1 1 10 3 0 30 3 −3 0

F 2 = 13

F 2 → 1 −1 1 1

0 1 0 10 3 −3 0

F 3 = F 3 − 3F 2 →

1 −1 1 10 1 0 1

0 0 −3 −3

F 3 = −1

3F 3 →

1 −1 1 10 1 0 1

0 0 1 1

F 1 = F 1 − F 3 →

1 −1 0 00 1 0 10 0 1 1

F 1 = F 1 + F 2 → 1 0 0 1

0 1 0 10 0 1 1



Á l g e b r a 1 7

L a ú l t i m a m a t r i z r e p r e s e n t a , o b v i a m e n t e , q u e x1 = 1, x2 = 1 y x3 = 1.E n l a r e s o l u c i ó n d e l s i s t e m a a n t e r i o r h e m o s a p l i c a d o s o b r e l a m a t r i z a m -

p l i a d a d e l s i s t e m a l o q u e s e d e n o m i n a n t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r

l a s . E s t a s s o n l a s s i g u i e n t e s :

1 . S u m a r a u n a l a o t r a m u l t i p l i c a d a p o r u n n ú m e r o : F i = F i + λF j2 . M u l t i p l i c a r u n a l a p o r u n n ú m e r o d i s t i n t o d e c e r o :

F i = λF i3 . I n t e r c a m b i a r d o s l a s : F i ↔ F j

E n c u a l q u i e r c a s o , n o t o d o s l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s t i e n e n

s o l u c i ó n . P o r e j e m p l o , s i c o n s i d e r a m o s e l s i s t e m a x1 − x2 = 12x1 − 2x2 = 4

l a a p l i c a c i ó n d e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s s o b r e l a

m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a n o s l l e v a a 1 −1 12 −2 4

F 2 = F 2 − 2F 1 →

1 −1 10 0 2

e s d e c i r , 0x1 + 0x2 = 2.

A s í p u e s , e l s i s t e m a a n t e r i o r e s u n s i s t e m a i n c o m p a t i b l e .

U n e j e m p l o d e s i s t e m a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o s e r í a e l s i g u i e n t e :

x1 − x2 + x3 = 12x1 + x2 − x3 = 2

2x1

−2x2 + 2x3 = 2

A l r e s o l v e r l o p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n o b t e n e m o s : 1 −1 1 12 1 −1 22 −2 2 2

F 2 = F 2 − 2F 1F 3 = F 3 − 2F 1

→ 1 −1 1 1

0 3 −3 00 0 0 0

F 2 = 13F 2 →

1 −1 1 10 1 −1 00 0 0 0

F 1 = F 1 + F 2 → 1 0 0 1

0 1 −1 00 0 0 0

e s d e c i r , x1 = 1

y x2 − x3 = 0, o l o q u e e s l o m i s m o , x2 = x3, c o n l o q u e ,

s i e s c r i b i m o s

x3 = t,p a r a c a d a v a l o r d e

tt e n e m o s u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a .

S e r í a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a (1, 1, 1), (1, 2, 2),...

e n t o t a l t e n d r í a m o s i n n i t a s

s o l u c i o n e s , t a n t a s c o m o p o s i b l e s v a l o r e s d e l p a r á m e t r o t; e s t o o c u r r e p o r q u e

e s t a m o s t r a b a j a n d o s o b r e e l c u e r p o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , l u e g o t

t o m a

v a l o r e s e n R

, q u e e s i n n i t o .



1 8 Á l g e b r a

1 . 1 . 4 S i s t e m a s e q u i v a l e n t e s

L a a p l i c a c i ó n s u c e s i v a d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s s o b r e u n s i s -

t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ( o s o b r e s u m a t r i z a m p l i a d a ) p e r m i t e p a s a r d e

u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s a o t r o q u e , t e n i e n d o l a s m i s m a s s o l u c i o n e s

q u e e l p l a n t e a d o , e s m á s s e n c i l l o d e r e s o l v e r . E n e s t a s e c c i ó n d e m o s t r a r e m o s

c o n t o d o d e t a l l e q u e e s t o e s e f e c t i v a m e n t e a s í . P o r o t r a p a r t e , l a s t r a n s f o r m a -

c i o n e s e l e m e n t a l e s s o n r e v e r s i b l e s , e s d e c i r , s i r e a l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s

e l e m e n t a l e s s o b r e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s S o b t e n e m o s u n s i s t e -

m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s S , p o d e m o s r e c u p e r a r S a p a r t i r d e S r e a l i z a n d o

l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s “inversas” e n e l o r d e n a d e c u a d o ( e l o r d e n

i n v e r s o d e l q u e s e h a s e g u i d o p a r a p a s a r d e S

a S )

.

T R A S F O R M A C I Ó N T R A N S F O R M A C I Ó N I N V E R S A

F i = F i + λF j F i = F i − λF j

F i = λF i (λ = 0) F i =1

λF i

F i ↔ F j F i ↔ F j

E j e r c i c i o 1 . 1 . 4 R e a l i z a r l a s t r a n s f o r m a c i o n e s F 3 = F 3 − F 1, F 3 ↔ F 1,

F 2 =1

2F 2 s o b r e l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a .

x1 − x2 + x3 = 1

2x1 + 2x2

−2x3 = 2

x1 + 2x2 + x3 = 4

p a r a o b t e n e r l a m a t r i z A.

R e a l i z a r s o b r e A

l a s t r a n s f o r m a c i o n e s i n v e r s a s

d e l a s a n t e r i o r e s e n e l o r d e n a d e c u a d o y c o m p r o b a r q u e s e o b t i e n e l a m a t r i z

a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a d a d o .

D e n i c i ó n 1 . 1 . 9 S e d i c e q u e d o s s i s t e m a s d e m

e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n n

i n c ó g n i t a s s o n e q u i v a l e n t e s s i u n o d e e l l o s p u e d e o b t e n e r s e a p a r t i r d e l o t r o

r e a l i z a n d o s o b r e e l p r i m e r o u n a s u c e s i ó n n i t a d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n -

t a l e s p o r l a s .

O b s e r v a c i ó n 4 C o m o y a h e m o s s e ñ a l a d o , h a b i t u a l m e n t e r e p r e s e n t a r e m o s a

u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s α11x1 + ... + α1nxn = β 1

.

.

.

αm1x1 + ... + αmnxn = β m



Á l g e b r a 1 9

p o r s u m a t r i z a m p l i a d a :

Am =

α11 ... α1n β 1.

.

.

.

.

.

.

.

.

αm1 ... αmn β m

∈ M m×(n+1)(K),

c o n l o q u e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s s e r e a l i z a n s o b r e l a s l a s d e e s t a

m a t r i z .

A l a v i s t a d e l a o b s e r v a c i ó n a n t e r i o r t i e n e s e n t i d o e s t a b l e c e r l a s i g u i e n t e

d e n i c i ó n :

D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 0 S i u n a m a t r i z

A s e o b t i e n e r e a l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s

e l e m e n t a l e s p o r l a s s o b r e u n a m a t r i z A, d i r e m o s q u e l a s m a t r i c e s A y A

s o n e q u i v a l e n t e s p o r l a s .

O b s e r v a c i ó n 5 A l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s , r e a l i z a d a s , b i e n

d i r e c t a m e n t e s o b r e l a s e c u a c i o n e s d e l s i s t e m a , b i e n s o b r e l a s l a s d e s u m a t r i z

a m p l i a d a l a s d e n o t a r e m o s d e l m i s m o m o d o .

E j e r c i c i o 1 . 1 . 5 V e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a d e m a t r i c e s e n

M m×n(K)e s u n a r e l a c i ó n b i n a r i a r e e x i v a , s i m é t r i c a y t r a n s i t i v a ( e s d e c i r ,

e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e n e l s e n t i d o g e n e r a l ) .

T e o r e m a 1 . 1 . 1 1 S i d o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s , e n t o n c e s

t i e n e n e x a c t a m e n t e l a s m i s m a s s o l u c i o n e s . E n o t r a s p a l a b r a s , s i S y S s o n

e q u i v a l e n t e s ,

(α1,...,αn) es solucion de S ⇔ (α1,...,αn) es solucion de S .

D e m o s t r a c i ó n P a r a d e m o s t r a r e l t e o r e m a , e s s u c i e n t e c o n e s t u d i a r e l

c a s o e n e l q u e u n s i s t e m a s e o b t i e n e a p a r t i r d e o t r o m e d i a n t e l a a p l i c a c i ó n

d e u n a ú n i c a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r l a s . S u p o n g a m o s q u e e l s i s t e m a

c o n s i d e r a d o e s

S ≡

α11x1 + ... + α1nxn = β 1α21x1 + ... + α2nxn = β 2

.

.

.




2 0 Á l g e b r a

E s o b v i o q u e e l i n t e r c a m b i o d e l u g a r e n t r e d o s e c u a c i o n e s d e l s i s t e m a n o

a l t e r a e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l m i s m o . P o r c o n s i g u i e n t e l a a p l i c a c i ó n d e u n a

t r a n s f o r m a c i ó n d e l t i p o F i ↔ F j n o a l t e r a e l c o n j u n t o s o l u c i ó n . A d e m á s ,

t e n i e n d o e s t o p r e s e n t e , p o d e m o s r e s t r i n g i r e l e s t u d i o a l c a s o e n e l q u e l a s

t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s s e a p l i c a n ú n i c a m e n t e s o b r e l a p r i m e r a y l a

s e g u n d a e c u a c i ó n , d e j a n d o e l r e s t o i n a l t e r a d a s . S e a λ = 0, y s u p o n g a m o s

q u e

S ≡

λα11x1 + ... + λα1nxn = λβ 1α21x1 + ... + α2nxn = β 2

.

.

.


V e a m o s q u e (s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion de S .S i (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S, t e n d r e m o s q u e

α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2

.

.

.

αm1s1 + ... + αmnsn = β m

c o n l o q u e , m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a p r i m e r a i g u a l d a d p o r λ,o b t e n e m o s q u e

λα11s1 + ... + λα1nsn = λβ 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2

.

.

.


e s d e c i r , q u e (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S .V e a m o s a h o r a e l r e c í p r o c o , i . e . , q u e

(s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion de S.

S i (s1,...,sn)

e s s o l u c i ó n d e S

, t e n d r e m o s q u e

λα11s1 + ... + λα1nsn = λβ 1

α21s1 + ... + α2nsn = β 2.

.

.




Á l g e b r a 2 1

c o n l o q u e , m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e l a p r i m e r a i g u a l d a d p o r

1λ

,o b t e n e m o s q u e

α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2

.

.

.


e s d e c i r , q u e (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S.S u p o n g a m o s a h o r a q u e

S

≡

α11x1 + ... + α1nxn = β 1(α21 + µα11)x1 + ... + (α2n + µα1n)xn = (β 2 + µβ 1)

.

.

.


V e a m o s q u e (s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion de S .S i (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S, t e n d r e m o s q u e

α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2

.

.

.


c o n l o q u e , m u l t i p l i c a n d o l o s d o s m i e m b r o s d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n p o r

µ,y

s u m a n d o m i e m b r o a m i e m b r o l a p r i m e r a e c u a c i ó n a l a s e g u n d a o b t e n d r e m o s α11s1 + ... + α1nsn = β 1

(α21 + µα11)s1 + ... + (α2n + µα1n)sn = (β 2 + µβ 1).

.

.


R e c í p r o c a m e n t e , v e a m o s q u e (s1,...,sn) solucion de S ⇒ (s1,...,sn) solucion

de S.S i

(s1,...,sn)e s s o l u c i ó n d e

S ,t e n d r e m o s q u e

α11s1 + ... + α1nsn = β 1

(α21 + µα11)s1 + ... + (α2n + µα1n)sn = (β 2 + µβ 1).

.

.




2 2 Á l g e b r a

M u l t i p l i c a n d o l a p r i m e r a i g u a l d a d p o r µ y r e s t á n d o s e l a a l a s e g u n d a o b t e n e -

m o s q u e α11s1 + ... + α1nsn = β 1α21s1 + ... + α2nsn = β 2

.

.

.


c o n l o q u e (s1,...,sn) e s s o l u c i ó n d e S. E s t o c o m p l e t a l a d e m o s t r a c i ó n d e l

t e o r e m a . 2

1 . 1 . 5 E s t r a t e g i a p a r a l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o

d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a

1 . R e o r d e n a r l a s e c u a c i o n e s p a r a q u e e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n l a p r i m e r a

v a r i a b l e x1 t e n g a u n c o e c i e n t e n o n u l o , y m u l t i p l i c a r a m b o s m i e m b r o s d e

d i c h a e c u a c i ó n p a r a q u e e l c o e c i e n t e d e d i c h a v a r i a b l e s e a 1.

2 . R e s t a r l a p r i m e r a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e c u a d o a l a s

d e m á s e c u a c i o n e s c o n e l o b j e t o d e q u e l a p r i m e r a v a r i a b l e a p a r e z c a s o l a m e n t e

e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n .

3 . E n e l c a s o d e q u e s e a p o s i b l e , r e o r d e n a r l a s e c u a c i o n e s d e l a s e g u n d a

e n a d e l a n t e c o n e l o b j e t o d e q u e l a s e g u n d a v a r i a b l e

x2a p a r e z c a c o n u n

c o e c i e n t e n o n u l o y m u l t i p l i c a r a m b o s m i e m b r o s d e d i c h a e c u a c i ó n p a r a

q u e e l c o e c i e n t e d e d i c h a v a r i a b l e s e a 1. S i l a v a r i a b l e x2 n o a p a r e c e m á s

q u e e n l a p r i m e r a e c u a c i ó n , h a c e r l a o p e r a c i ó n a n t e r i o r c o n l a v a r i a b l e x3 o

c o n l a p r i m e r a v a r i a b l e q u e a p a r e z c a c o n u n c o e c i e n t e n o n u l o e n a l g u n a d e

l a s e c u a c i o n e s r e s t a n t e s ( t o d a s s a l v o l a p r i m e r a ) .

4 . R e s t a r l a s e g u n d a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e c u a d o a l a s

e c u a c i o n e s s i t u a d a s b a j o l a m i s m a c o n e l o b j e t o d e q u e l a s e g u n d a v a r i a b l e

( o l a q u e c o r r e s p o n d a ) n o a p a r e z c a e n n i n g u n a e c u a c i ó n s i t u a d a p o r d e b a j o

d e l a s e g u n d a .

5 . O p e r a n d o a n á l o g a m e n t e c o n e l r e s t o d e l a s e c u a c i o n e s , e l s i s t e m a a s í

o b t e n i d o s e r á u n s i s t e m a escalonado, e s d e c i r , u n s i s t e m a q u e s e a j u s t a a l a

s i g u i e n t e d e n i c i ó n .

D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 2 S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s e s c a l o n a d o

s i



Á l g e b r a 2 3

( E . 1 )

L a p r i m e r a v a r i a b l e d e c a d a e c u a c i ó n t i e n e 1 c o m o

c o e c i e n t e ( a e s t a v a r i a b l e l a d e n o m i n a r e m o s v a r i a b l e

p r i n c i p a l d e d i c h a e c u a c i ó n ) .

( E . 2 )

L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c u a l q u i e r e c u a c i ó n s i e m p r e

a p a r e c e s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l a s v a r i a b l e s

p r i n c i p a l e s d e l a s e c u a c i o n e s p r e v i a s , y t o d a s l a s e c u a c i o n e s

s i n v a r i a b l e p r i n c i p a l a p a r e c e n c o l o c a d a s a l n a l .

L a ú l t i m a f r a s e d e ( E . 2 ) p u e d e p a r e c e r a l g o m i s t e r i o s a . S i n e m b a r g o ,

a l l l e v a r a c a b o l a e s t r a t e g i a a n t e r i o r s o b r e u n s i s t e m a c o n c r e t o , p o d r í a m o s

o b t e n e r u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a

0x1 + ... + 0xn = k

c o n k = 0 o k = 0 ( e n e s t e ú l t i m o c a s o e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e ) . E s t e t i p o

d e e c u a c i o n e s d e b e r á n a p a r e c e r s i e m p r e e n l a s ú l t i m a s l a s d e l s i s t e m a .

E j e m p l o 1 . 1 . 1 3 L o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s s o n e s c a l o n a d o s : x1 + x2 + 3x3 = 9x2 + 6x3 = 24

x3 = −4

x1 + x2 + x3

−5x4 = 4

x3 − 2x4 = 6.

L a s m a t r i c e s a m p l i a d a s a s o c i a d a s a e s t o s s i s t e m a s s o n 1 1 3 90 1 6 240 0 1 −4

y

1 1 1 −5 40 0 1 −2 6

E l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a e s c a l o n a d o e s r a z o n a b l e m e n t e

s e n c i l l o d e o b t e n e r . U n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c a l o n a d o s e r á c o m p a t i b l e e n

t o d o s l o s c a s o s e n l o s q u e n o a p a r e z c a u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a

0x1 + ... + 0xn = k, c o n k = 0.



2 4 Á l g e b r a

S u p o n i e n d o q u e e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e , a c u a l q u i e r v a r i a b l e q u e n o s e a

l a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e u n a e c u a c i ó n l a d e n o m i n a r e m o s v a r i a b l e l i b r e . S i

u n a v a r i a b l e e s v a r i a b l e p r i n c i p a l d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c a l o n a d o ,

d i r e m o s q u e d i c h a v a r i a b l e n o e s l i b r e ( o t a m b i é n q u e e s t á d e t e r m i n a d a ) .

E l s i g u i e n t e p r o c e s o , c o n o c i d o c o m o s u s t i t u c i ó n h a c i a a t r á s o r e m o n t e ,

o b t i e n e t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a a s i g n a n d o p a r á m e t r o s a l a s v a r i a b l e s

l i b r e s .

S u s t i t u c i ó n h a c i a a t r á s e n e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a

S u p o n i e n d o q u e n o a p a r e c e n i n g u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a

0x1 + ... + 0xn = k

c o n k = 0 e n e l s i s t e m a e s c a l o n a d o o b t e n i d o , c o m e n z a m o s c o n l a ú l t i m a

e c u a c i ó n d e l s i s t e m a a s i g n a d o u n p a r á m e t r o d i f e r e n t e a c a d a v a r i a b l e l i b r e

y e x p r e s a n d o l a v a r i a b l e d e t e r m i n a d a p o r l a ú l t i m a e c u a c i ó n e n t é r m i n o s

d e e s t o s p a r á m e t r o s . D e s p u é s , o p e r a r e m o s a n á l o g a m e n t e c o n l a p e n ú l t i m a

e c u a c i ó n , a s i g n a n d o d i f e r e n t e s p a r á m e t r o s a c a d a u n a d e l a s n u e v a s v a r i a b l e s

l i b r e s , y o b t e n i e n d o e l v a l o r d e l a v a r i a b l e d e t e r m i n a d a p o r l a p e n ú l t i m a

e c u a c i ó n . R e a l i z a n d o l a s m i s m a s o p e r a c i o n e s c o n e l r e s t o d e l a s e c u a c i o n e s

h a s t a l l e g a r a l a p r i m e r a , a l n a l d e l p r o c e s o t o d a s l a s v a r i a b l e s l i b r e s t e n d r á n

a s i g n a d o u n p a r á m e t r o d i f e r e n t e , y t o d a s l a s v a r i a b l e s d e t e r m i n a d a s e s t a r á n

e x p r e s a d a s e n t é r m i n o s d e e s t o s p a r á m e t r o s .

E j e r c i c i o 1 . 1 . 6 R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p o r

e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a . : 2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24

x1 + 3x2 − 2x3 = 43x1 + x2 + x3 − 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6

1 . 1 . 6 M é t o d o d e G a u s s - J o r d a n

E l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n e s u n a e x t e n s i ó n d e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s -

s i a n a , q u e c o n s i s t e e n e l i m i n a r l a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e l a e c u a c i ó n c o r r e s p o n -

d i e n t e n o s o l a m e n t e e n l a s e c u a c i o n e s q u e a p a r e c e n s i t u a d a s p o r d e b a j o d e



Á l g e b r a 2 5

l a m i s m a , s i n o e n t o d a s l a s e c u a c i o n e s d e l s i s t e m a . P o r e l l o , l a e s t r a t e g i a e s

l a m i s m a q u e l a d e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s , c o n l a a d i c i ó n d e l a s

s i g u i e n t e s i n s t r u c c i o n e s e n e l l u g a r c o r r e s p o n d i e n t e :

4 . S u s t r a e r a d e m á s l a s e g u n d a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e -

c u a d o d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , c o n e l o b j e t o d e e l i m i n a r l a s e g u n d a v a r i a b l e

d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n .

5 . E n c a d a p a s o s u s t r a e r l a e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e m u l t i p l i c a d a p o r

u n e s c a l a r a d e c u a d o t a n t o d e l a s e c u a c i o n e s s i t u a d a s p o r d e b a j o d e l a m i s m a

c o m o d e l a s s i t u a d a s p o r e n c i m a , c o n e l o b j e t o d e q u e l a v a r i a b l e p r i n c i p a l

d e c a d a e c u a c i ó n a p a r e z c a ú n i c a m e n t e e n l a e c u a c i ó n d e l a q u e e s v a r i a b l e

p r i n c i p a l .

L o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s q u e r e s u l t a n d e l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o d e

G a u s s - J o r d a n s e d i c e q u e t i e n e n f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a , e s d e c i r :

D e n i c i ó n 1 . 1 . 1 4 S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s t á e n f o r m a e s -

c a l o n a d a r e d u c i d a s i

( E . R . 1 )

L a p r i m e r a v a r i a b l e d e c a d a e c u a c i ó n t i e n e 1 c o m o

c o e c i e n t e ( a e s t a v a r i a b l e l a d e n o m i n a r e m o s v a r i a b l e

p r i n c i p a l d e d i c h a e c u a c i ó n ) .

( E . R . 2 )

L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c u a l q u i e r e c u a c i ó n s i e m p r e

a p a r e c e s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l a s v a r i a b l e s

p r i n c i p a l e s d e l a s e c u a c i o n e s p r e v i a s , y t o d a s l a s e c u a c i o n e s

s i n v a r i a b l e p r i n c i p a l a p a r e c e n c o l o c a d a s a l n a l .

( E . R . 3 )

L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c a d a e c u a c i ó n a p a r e c e s o l a m e n t e

e n l a e c u a c i ó n d e l a q u e e s v a r i a b l e p r i n c i p a l .

E j e m p l o 1 . 1 . 1 5 V a m o s a r e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s p o r e l

m é t o d o d e G a u s s J o r d a n , e s d e c i r , o b t e n i e n d o u n a f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a

d e d i c h o s i s t e m a x1 − 4x2 + x3 = 2−x1 + 3x2 − x3 = 1

x1 + 2x3 = 3

P a r a e l l o , t r a b a j a m o s d i r e c t a m e n t e s o b r e l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l

s i s t e m a , t e n i e n d o p r e s e n t e e n t o d o m o m e n t o q u é e s l o q u e r e p r e s e n t a n l o s

c o e c i e n t e s d e d i c h a m a t r i z : 1 −4 1 2−1 3 −1 11 0 2 3

F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 − F 1

→



2 6 Á l g e b r a

1 −4 1 20

−1 0 3

0 4 1 1 F 2 = (−1)F 2F 1 = F 1 + 4F 2F 3 = F 3 − 4F 2 → 1 0 1 −10

0 1 0 −30 0 1 13

F 1 = F 1 − F 3 → 1 0 0 −23

0 1 0 −30 0 1 13

.

L a ú l t i m a m a t r i z a m p l i a d a r e p r e s e n t a e l s i s t e m a e n f o r m a e s c a l o n a d a

r e d u c i d a . E l s i s t e m a e s , p o r t a n t o , c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o y s u s o l u c i ó n e s

(−23, −3, 13).

E j e r c i c i o 1 . 1 . 7 R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p o r

e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n : x1 − x2 − x3 + x4 = 5x2 − x3 + 2x4 = 8

2x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 18 x1 + 5x2 − 2x3 = 0x1 − 3x2 + x3 = 0x1 + 5x2 − x3 = 0

1 . 2 M a t r i c e s y o p e r a c i o n e s c o n m a t r i c e s

A l r e a l i z a r u n a p r i m e r a l e c t u r a d e l o s e p í g r a f e s s i g u i e n t e s , h a s t a c o m p l e t a r l a

t o t a l i d a d d e l c a p í t u l o , s e p u e d e p e n s a r q u e K = R

ó C

a u n q u e l o s r e s u l t a d o s

o b t e n i d o s s e r á n v á l i d o s p a r a c u a l q u i e r c u e r p o K

.

C o m o h e m o s v i s t o e n l a s e c c i ó n a n t e r i o r , l a s m a t r i c e s p e r m i t e n r e p r e s e n -

t a r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . V e a m o s u n a d e n i c i ó n p r e c i s a d e l o q u e

e s u n a m a t r i z :

D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 U n a m a t r i z d e o r d e n m × n c o n c o e c i e n t e s e n u n c u e r p o

K( p o r e j e m p l o

K = Ró C

) e s u n a f u n c i ó n :

A : {1,...,m} × {1,...,n} −→ K(i, j) ; A(i, j)

S e d i c e e n t o n c e s q u e A

e s u n a m a t r i z c o n m

l a s y n

c o l u m n a s . E s

u s u a l r e p r e s e n t a r e l c o e c i e n t e A(i, j) d e l a m a t r i z A p o r s u c o r r e s p o n d i e n t e



Á l g e b r a 2 7

m i n ú s c u l a c o n d o s s u b í n d i c e s , e n e s t e c a s o aij , y a l a m a t r i z c o m p l e t a A p o r

u n a t a b l a e n l a q u e e n l a l a `

“i”y e n l a c o l u m n a

“ j”a p a r e c e e l e l e m e n t o

aij :

A =

a11 · · · a1n

.

.

. aij

.

.

.

am1 · · · anm

.

A s í p o r e j e m p l o , l a m a t r i z A d e d o s l a s y d o s c o l u m n a s d e t e r m i n a d a p o r

A(1, 1) = 0, A(1, 2) = 1, A(2, 1) = −1, A(2, 2) = 4

s e r e p r e s e n t a r á p o r

0 1−1 4 .

A l c o n j u n t o d e m a t r i c e s d e m l a s y n c o l u m n a s c o n c o e c i e n t e s e n K

l o

d e n o t a r e m o s p o r M m×n(K).

E s o b v i o q u e d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r s e s i g u e q u e d o s m a t r i c e s A, B s o n

i g u a l e s s i s o n i g u a l e s c o m o f u n c i o n e s , e s d e c i r , s i s o n d e l m i s m o o r d e n ( i . e . ,

s i t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e l a s y d e c o l u m n a s , o l o q u e e s l o m i s m o A, B ∈M m×n(K) p a r a a l g ú n m y n) y

∀(i, j) ∈ {1,...,m}×{1,...,n} A(i, j) = B(i, j).

E j e m p l o 1 . 2 . 2 V e a m o s a l g u n o s e j e m p l o s d e m a t r i c e s d e n i d a s c o n n o t a c i ó n

f u n c i o n a l :

1 . A ∈ M 3×3(K) d e n i d a p o r (A(i, i) = 1, ∀i = 1, 2, 3) ∧ (A(i, j) =0, ∀i, j ∈ {1, 2, 3}, i = j) e s l a m a t r i z : 1 0 0

0 1 00 0 1

2 . P o d e m o s u t i l i z a r t a m b i é n c o n g r u e n c i a s m ó d u l o u n n ú m e r o e n t e r o s o -

b r e i y j p a r a d e n i r l a m a t r i z ; p o r e j e m p l o B ∈ M 3×3(R) d a d a p o r

(A(i, j) = 1 ⇔ i + j ≡ 1m o d

2) ∧ (A(i, j) = 0 ⇔ i + j ≡ 0m o d

2)s e r e p r e s e n t a p o r 0 1 0

1 0 10 1 0



2 8 Á l g e b r a

3 . O t r o e j e m p l o e s l a m a t r i z C ∈ M 3×3(R) d a d a p o r (A(i, j) = 2i−13 j−1),

q u e e s 1 3 92 6 184 12 36

R e c o r d e m o s a h o r a a l g u n a s d e n i c i o n e s y v e a m o s o t r a s n u e v a s :

•S i A ∈ M m×n(K) s e d i c e q u e A e s u n a m a t r i z d e o r d e n m×n. S i m = n ,

e n l u g a r d e e s c r i b i r M n×n(K), e s c r i b i r e m o s M n(K), y s i A ∈ M n(K)d i r e m o s q u e A e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n.

•S i A

∈M m

×n(K), u t i l i z a r e m o s i n d i s t i n t a m e n t e l a n o t a c i ó n u s u a l aij o

l a f u n c i o n a l A(i, j) p a r a r e f e r i r n o s a l e l e m e n t o d e l a m a t r i z A s i t u a d o

e n l a l a i − esima y e n l a c o l u m n a j − esima. P o r e l l o e s c r i b i r e m o s e n

o c a s i o n e s A = (aij) ∈ M m×n(K) p a r a r e f e r i r n o s a u n a m a t r i z g e n é r i c a

d e o r d e n m × n. ( O b s é r v e s e q u e a e s l a m i n ú s c u l a d e A).

•S i A ∈ M m×1(K) s e d i c e q u e A e s u n a m a t r i z c o l u m n a ( d e m l a s ) .

•S i

A ∈ M 1×n(K)s e d i c e q u e

Ae s u n a m a t r i z l a ( d e

nc o l u m n a s ) .

•S i A ∈ M m×n(K),

∀i ∈ {1,...,m}l l a m a r e m o s l a i - é s i m a d e A a l a

m a t r i z l a d e n c o l u m n a s

Ai = (ai1 ... ain).

A n á l o g a m e n t e , l l a m a r e m o s c o l u m n a j - é s i m a d e A a l a m a t r i z c o l u m n a

d e m l a s

A j =

a1 j.

.

.

amj

.

•U n a m a t r i z d e p a r t i c u l a r i n t e r é s e s l a m a t r i z i d e n t i d a d a l a q u e

d e n o t a r e m o s p o r I n ( h a y u n a p a r a c a d a v a l o r n a t u r a l d e n). A s í p o r

e j e m p l o ,

I 2 =

1 00 1

, I 3 =

1 0 00 1 00 0 1

e I 4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.



Á l g e b r a 2 9

E n g e n e r a l l a m a t r i z I n = (aij) ∈ M n(K) s e d e n e p o r l a c o n d i c i ó n

∀i, j ∈ {1,...n}, aii = 1 ∧ (i = j ⇒ aij = 0).U t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n

f u n c i o n a l , I n ∈ M n(K) q u e d a r í a d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :

(∀i ∈ {1,...,n} I n(i, i) = 1) ∧ (∀i, j ∈ {1,...,n} (i = j ⇒ I n(i, j) = 0)).

•S i A ∈ M m×n(K) s e d e n o m i n a m a t r i z t r a s p u e s t a d e A a l a m a t r i z

tA ∈ M n×m(K)t a l q u e

∀(i, j) ∈ {1,...,n} × {1,...,m}tA(i, j) = A( j, i)

( e m p l e a n d o l a n o t a c i ó n n o f u n c i o n a l , s i

tA = (bij), e n t o n c e s

∀(i, j) ∈ {1,...,n} × {1,...,m} bij = a ji).

A s í p o r e j e m p l o , s i

A =

1 22 03 −1

∈ M 3×2(R),

s u t r a s p u e s t a e s

tA =

1 2 32 0 −1

∈ M 2×3(R).

U n m é t o d o s i s t e m á t i c o p a r a o b t e n e r l a m a t r i z t r a s p u e s t a d e u n a m a t r i z

d a d a c o n s i s t e e n i r l e y e n d o l o s c o e c i e n t e s p o r l a s p a r a s i s t e m á t i c a -

m e n t e e s c r i b i r l o s p o r c o l u m n a s .

1 . 2 . 1 S u m a d e m a t r i c e s

L a d e n i c i ó n d e s u m a d e m a t r i c e s e s m u y n a t u r a l :

D e n i c i ó n 1 . 2 . 3 S i A, B ∈ M m×n(K), l a s u m a

d e A y B e s l a m a t r i z

A + B ∈ M m×n(K) d e n i d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j)

E j e m p l o 1 . 2 . 4

1 −13 01 2

+

1 32 00 −2

=

2 25 01 0



3 0 Á l g e b r a

O b s e r v a c i ó n 6 D e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r s e s i g u e q u e p a r a q u e d o s m a t r i c e s

s e p u e d a n s u m a r d e b e n s e r d e l m i s m o o r d e n .

S e d e n o m i n a m a t r i z n u l a d e o r d e n m × n a l a m a t r i z (0) ∈ M m×n(K)d e n i d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (0)(i, j) = 0

A s í p o r e j e m p l o ,

(0) ∈ M 2×3(C) e s l a m a t r i z

0 0 00 0 0

.

O b s e r v a c i ó n 7 E n l o s u c e s i v o t a m b i é n e s c r i b i r e m o s (0) ∈ M m×n(K) p a r a

r e p r e s e n t a r a l a m a t r i z n u l a d e o r d e n m × n.

D e n i c i ó n 1 . 2 . 5 S i A ∈ M m×n(K) s e d e n o m i n a m a t r i z o p u e s t a

d e A a l a

m a t r i z (−A) ∈ M m×n(K)

d e n i d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (−A)(i, j) = −A(i, j) ∈ K

A s í p o r e j e m p l o ,

− 1 −1

3 01 2

= −1 1

−3 0−1 −2

y

−

2 −1 01 1 3

=

−2 1 0−1 −1 −3

.

P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 6 S i A,B,C ∈ M m×n(K),

s e v e r i c a q u e :

1 . A + B = B + A ( p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a d e l a s u m a d e m a t r i c e s )

2 . A + (B + C ) = (A + B) + C ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a )

3 . A + (0) = A, (0) + A = A

( (0)

e s e l e l e m e n t o n e u t r o p a r a +)

4 . A + (−A) = (0), (−A) + A = (0) ( (−A) e s l a o p u e s t a d e A)



Á l g e b r a 3 1

D e m o s t r a c i ó n S e t r a t a d e c o m p r o b a r , e n c a d a c a s o , q u e l a s m a t r i c e s s i -

t u a d a s a a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d s o n e f e c t i v a m e n t e i g u a l e s . D e m o s t r a r e -

m o s l a p r i m e r a p r o p i e d a d y e l r e s t o s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .

H a y q u e c o m p r o b a r q u e

∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n} (A + B)(i, j) = (B + A)(i, j)

S e a (i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n}. (A + B)(i, j) = ( p o r d e n i c i ó n ) =

= A(i, j) + B(i, j) = ( p u e s t o q u e l a s u m a d e n ú m e r o s r e a l e s o c o m p l e j o s y ,

e n g e n e r a l , d e l o s e l e m e n t o s d e u n c u e r p o , s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i -

v a ) = B(i, j) + A(i, j) = ( p o r d e n i c i ó n ) = (B + A)(i, j). 2

P o r s a t i s f a c e r l a s 4 p r o p i e d a d e s d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r s e d i c e q u e l a s

m a t r i c e s d e o r d e n

m × nc o n c o e c i e n t e s e n

Kt i e n e n e s t r u c t u r a d e g r u p o

a b e l i a n o r e s p e c t o d e l a s u m a . D e l a m a t r i z (0) s e d i c e q u e e s e l e l e m e n t o

n e u t r o d e l g r u p o a b e l i a n o , y d e l a m a t r i z (−A)

s e d i c e q u e e s l a m a t r i z

o p u e s t a d e A.

1 . 2 . 2 P r o d u c t o d e m a t r i c e s

E n c a p í t u l o s v e n i d e r o s v e r e m o s q u e l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n d e l p r o d u c t o d e

m a t r i c e s p e r m i t i r á r e p r e s e n t a r l a a c t u a c i ó n d e u n a f u n c i ó n l i n e a l s o b r e u n

e l e m e n t o c o m o u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s , h e c h o q u e a s u v e z t e n d r á c o m o

c o n s e c u e n c i a e l q u e l a c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s s e e x p r e s e c o m o u n

p r o d u c t o d e m a t r i c e s .

S i c o n s i d e r a m o s u n a e c u a c i ó n l i n e a l , p o r e j e m p l o

2x1 + x2 + 6x3 = 3,

e s p o s i b l e c o n s i d e r a r l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a i g u a l d a d c o m o e l p r o d u c t o d e

l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s

(2 1 6)

p o r l a m a t r i z d e i n c ó g n i t a s

x1

x2

x3

y e s c r i b i r

(2 1 6) · x1

x2

x3

= (3)



3 2 Á l g e b r a

S i l a e c u a c i ó n a n t e r i o r f o r m a p a r t e d e u n s i s t e m a , p o r e j e m p l o d e l s i s t e m a

2x1 + x2 + 6x3 = 35x1 + 4x2 + 6x3 = 24

x1 + 3x2 − 2x3 = 4

t e n i e n d o e n c u e n t a q u e d e l a d e n i c i ó n d e m a t r i z s e s i g u e q u e d o s m a t r i c e s

s o n i g u a l e s s i t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e l a s y d e c o l u m n a s y l o s m i s m o s

c o e c i e n t e s e n c a d a l a y c o l u m n a , r e s u l t a q u e , u t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n d e

p r o d u c t o d e m a t r i c e s a n t e r i o r , p o d e m o s r e p r e s e n t a r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

m e d i a n t e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s , e s t o e s :

2 1 65 4 6

1 3 −2 ·x1

x2

x3 = 324

4 .

E n g e n e r a l , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s a11x1 + ... + a1nxn = b1

.

.

.


p u e d e r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e e l p r o d u c t o d e n i d o p o r l a e x p r e s i ó n :

A ·

x1.

.

.

xn

=

b1.

.

.

bm

.

C l a r o e s t á q u e p o d e m o s c o n s i d e r a r s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s c o n l a m i s m a

m a t r i z d e c o e c i e n t e s y d i s t i n t o t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e . P o r e j e m p l o : 2x1 + x2 + 6x3 = 35x1 + 4x2 + 6x3 = 24

x1 + 3x2 − 2x3 = 4y

2x1 + x2 + 6x3 = 15x1 + 4x2 + 6x3 = 1x1 + 3x2 − 2x3 = 1

.

E n e s e c a s o , t e n i e n d o e n c u e n t a , p o r u n a p a r t e , q u e l a s s o l u c i o n e s d e u n o

n o t i e n e n p o r q u é c o i n c i d i r c o n l a s d e l o t r o , p o r l o q u e d e n o t a m o s p o r y1, y2

e y3 a l a s i n c ó g n i t a s d e l s e g u n d o s i s t e m a , y p o r o t r a , c u a n d o d o s m a t r i -

c e s s o n i g u a l e s , p o d e m o s r e p r e s e n t a r l o s m a t r i c i a l m e n t e d e f o r m a s i m u l t á n e a ,

m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n : 2 1 65 4 61 3 −2

· x1 y1

x2 y2x3 y3

=

3 124 14 1

.



Á l g e b r a 3 3

E s t o n o s l l e v a a l a d e n i c i ó n d e p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s . C o m o o b s e r v a -

c i ó n p r e v i a a l a d e n i c i ó n , n ó t e s e q u e e n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , p a r a p o d e r

m u l t i p l i c a r l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s p o r l a d e i n c ó g n i t a s , e r a p r e c i s o q u e

e l n ú m e r o d e l a s d e l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s c o i n c i d i e s e c o n e l n ú m e r o d e

c o l u m n a s d e l a m a t r i z d e i n c ó g n i t a s .

D e n i c i ó n 1 . 2 . 7 D a d a s l a s m a t r i c e s A ∈ M m×n(K) y B ∈ M n× p(K) s e

d e n o m i n a m a t r i z p r o d u c t o d e A y B , y s e d e n o t a p o r A · B a l a m a t r i z

A · B ∈ M m× p(K) t a l q u e

∀(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,p} A · B(i, j) =n

k=1

A(i, k) · B(k, j)

E j e m p l o 1 . 2 . 8 D a d a s l a s m a t r i c e s

1 2 01 2 −11 1 00 4 3

∈ M 4×3(R)y

1 −13 01 2

∈

M 3×2(R), s u p r o d u c t o e s l a m a t r i z

1 2 01 2 −11 1 0

0 4 3

·

1 −13 0

1 2

=

7 −16 −34

−1

15 6

∈ M 4×2(R)

1 . 2 . 3 P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s

E l p r o d u c t o d e m a t r i c e s n o e s c o n m u t a t i v o , p u e s p o r e j e m p l o 1 11 1

·

1 −11 −1

=

2 −22 −2

y s i n e m b a r g o 1 −1

1 −1 · 1 1

1 1 = 0 0

0 0 .

P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 9 E l p r o d u c t o d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e -

d a d e s :



3 4 Á l g e b r a

1 . E s a s o c i a t i v o : ∀A ∈ M m×n(K), B ∈ M n× p(K) y C ∈ M p×q(K),

(A · B) · C = A · (B · C )

( y p o r t a n t o p o d e m o s o m i t i r l o s p a r é n t e s i s p a r a d e n o t a r c u a l q u i e r a d e

e s t o s p r o d u c t o s y e s c r i b i r A · B · C

) .

2 . E s d i s t r i b u t i v o r e s p e c t o d e l a s u m a :

∀A ∈ M m×n(K), ∀B, C ∈ M n× p(K) A · (B + C ) = A · B + A · C

∀A ∈ M m×n(K), ∀B, C ∈ M p×n(K) (B + C ) · A = B · A + C · A

3 .

∀A ∈ M m×n(K), A · (0) = A y (0) · A = (0)

D e m o s t r a c i ó n A n t e s d e d a r l a d e m o s t r a c i ó n d e b e m o s s e ñ a l a r q u e e s u s u a l

e m p l e a r e l s í m b o l o s u m a t o r i o

ni=1

ai e n l u g a r d e l a e x p r e s i ó n a1 + ... + an , l o

q u e t i e n e s e n t i d o p u e s t o q u e l a s u m a c o n s i d e r a d a e s a s o c i a t i v a .

1 . S e a n A ∈ M m×n(K)

, B ∈ M n× p(K)

y C ∈ M p×q(K).

L a s d o s m a t r i c e s

A·(B ·C ) y (A·B)·C t i e n e n e l m i s m o o r d e n , y a q u e a m b a s p e r t e n e c e n a

M m×q(K).V e a m o s q u e

∀(i, j) ∈ {1,...,m}×{1,...,q } (A·(B ·C ))(i, j) =((A · B) · C )(i, j) :



Á l g e b r a 3 5

(A · (B · C ))(i, j) =n

k=1

A(i, k) · (B · C ) (k, j) =

=n

k=1

A(i, k) ·

ps=1

B(k, s) · C (s, j)

=

( p r o p . d i s t r i b u t i v a e n K ) =n

k=1

p

s=1

A(i, k) · (B(k, s) · C (s, j))

=

( p r o p . a s o c i a t i v a e n K ) =n

k=1

p

s=1

(A(i, k) · B(k, s)) · C (s, j)

=

( p r o p . d i s t r i b u t i v a e n K ) = p

s=1

nk=1

A(i, k) · B(k, s) · C (s, j) =

=

ps=1

(A · B) (i, s) · C (s, j) =

= ((A · B) · C )(i, j)

2 . S e d e m u e s t r a r a z o n a n d o d e f o r m a s i m i l a r a l a p a r t a d o a n t e r i o r .

3 . E j e r c i c i o . 2

O b s e r v a c i ó n 8 D e m o s t r a c i o n e s c o m o l a a n t e r i o r s e i n c l u y e n p a r a q u e

p u e d a n s e r c o n s u l t a d a s p o r l o s a l u m n o s i n t e r e s a d o s . E n c u a l q u i e r c a s o , e s

c o n v e n i e n t e c o n o c e r a l g u n o s h e c h o s r e l a t i v o s a l a n o t a c i ó n , y a l o s r e s u l t a d o s

d e r i v a d o s d e l u s o d e l a m i s m a . P o r e j e m p l o , e n l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r h e m o s

u t i l i z a d o l a i g u a l d a d

nk=1

p

s=1

A(i, k) · B(k, s) · C (s, j)

=

ps=1

n

k=1

A(i, k) · B(k, s)

· C (s, j)

q u e i n t u i t i v a m e n t e e s e v i d e n t e , p u e s t o q u e t a n t o e l p r o d u c t o d e n ú m e r o s

r e a l e s c o m o e l d e n ú m e r o s c o m p l e j o s e s c o n m u t a t i v o y d i s t r i b u t i v o r e s p e c t o

d e l a s u m a . L a d e m o s t r a c i ó n d e q u e e s t a i g u a l d a d e s v á l i d a e s c o n s e c u e n c i a

d e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s r e l a c i o n a d a s c o n e l s í m b o l o s u m a t o r i o , c u y a

d e m o s t r a c i ó n t a m b i é n s e p u e d e h a c e r p o r i n d u c c i ó n :



3 6 Á l g e b r a

•S i

{ai}i∈{1,...,n} y {b j} j∈{1,...,p} s o n d o s f a m i l i a s d e n ú m e r o s r e a l e s o c o m -

p l e j o s , s e v e r i c a q u e

∀n ∈N

, ∀ p ∈N

,ni=1

p j=1

ai · b j

=

ni=1

ai ·

p j=1

b j

E s d e c i r , q u e

ni=1

(aib1 + · · · + aib p) =

= (a1b1 + · · · + a1b p) + · · · + (anb1 + · · · + anb p) =

= a1 (b1 + · · · + b p) + · · · + an (b1 + · · · + b p) .

P a r a d e m o s t r a r l a i d e n t i d a d a n t e r i o r , r a z o n a m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e

“n”.

B a s e d e i n d u c c i ó n : h a y q u e p r o b a r q u e s i n = 1 ,

∀ p ∈ N1

i=1

p

j=1

ai · b j

=

1i=1

ai ·

p

j=1

b j

o l o q u e e s l o m i s m o , q u e

∀ p ∈ N

p j=1

a1 · b j

= a1 ·

p

j=1

b j

.

E s t a p r o p i e d a d s e d e m u e s t r a r a z o n a n d o p o r i n d u c c i ó n s o b r e

“ p” :s i

p = 1 e s o b v i o q u e

p j=1

a1 · b j

= a1 · b1 = a1 ·

1 j=1

b j

. S u p o n i e n d o

e n t o n c e s c i e r t o q u e

p

j=1

a1 · b j

= a1 ·

p

j=1

b j

, r e s u l t a q u e

p+1 j=1

a1 · b j

=

p

j=1

a1 · b j

+ a1 · b p+1 =

= ( por hipotesis de induccion) =

= a1 · p j=1

b j + a1 · b p+1 =

= a1 ·

p+1 j=1

b j

.



Á l g e b r a 3 7

L a d e m o s t r a c i ó n d e l p a s o d e i n d u c c i ó n s o b r e “n” s e p r o p o n e c o m o

e j e r c i c i o p a r a t o d o a q u e l a l u m n o i n t e r e s a d o e n h a c e r l a .

•S i

{aik}(i,k)∈{1,...,n}×{1,...,p} e s u n a f a m i l i a d e n ú m e r o s r e a l e s o c o m p l e j o s ,

s e v e r i c a q u e

ni=1

p

k=1

aik

=

pk=1

n

i=1

aik

o , l o q u e e s l o m i s m o ,

(a11 + · · · + a1 p) + · · · + (an1 + · · · + anp) =

(a11 + · · · + a1n) + · · · + (a1 p + · · · + anp) .

L a d e m o s t r a c i ó n e s s i m i l a r a l a d e l p u n t o a n t e r i o r .

E j e r c i c i o 1 . 2 . 1 D e m o s t r a r q u e l a t r a s p o s i c i ó n d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i -

g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

1 . ∀A ∈ M m×n(K) t(tA) = A

2 . ∀A, B ∈ M m×n(K) t(A + B) =t A +t B

3 . ∀A ∈ M m×n(K), ∀B ∈ M n× p(K), t(A · B) =t B ·t A

E j e r c i c i o 1 . 2 . 2 D e m o s t r a r q u e ∀A ∈ M m×n(K) y

∀B ∈ M n×m(K)

A · I n = A ∧ I n · B = B

( e s d e c i r , I n d e j a i n v a r i a n t e p o r e l p r o d u c t o a c u a l q u i e r m a t r i z p o r l a q u e s e

p u e d a m u l t i p l i c a r , s e a o n o c u a d r a d a ) .

1 . 2 . 4 E l p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n e s c a l a r

D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 0 S i α ∈ K

y A ∈ M m×n(K)

s e d e n e l a m a t r i z αA

p o r l a s

s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s

∀(i, j)

∈ {1,...,m

} × {1,...,n

}(αA)(i, j) = αA(i, j)

E j e m p l o 1 . 2 . 1 1 (−3)

1 22 03 −1

=

−3 −6−6 0−9 3



3 8 Á l g e b r a

E j e m p l o 1 . 2 . 1 2 S i e n d o α ∈ K

(αI n) =

α 0 0 · · · 00 α 0 · · · 00 0 α · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 · · · α

∈ M n(K)

P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 1 3 ∀α, β ∈ K ∀A ∈ M m×n(K)


1 . ∀B ∈ M n× p(K) A · (αB) = (αA) · B = α(A · B)

2 . ∀B ∈ M m×n(K) α(A + B) = αA + αB

3 . ( −α)(A) = (α)(−A) = −(αA)4 . ( α + β )A = αA + βA5 . (

αβ )A = α(βA)

D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o . 2

T e o r e m a 1 . 2 . 1 4 T o d o s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s r e a l e s

o c o m p l e j o s o b i e n n o t i e n e s o l u c i o n e s , o b i e n t i e n e e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n

o b i e n t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s .

D e m o s t r a c i ó n N e c e s i t a m o s c o m p r o b a r q u e s i u n s i s t e m a t i e n e m á s q u e

u n a s o l u c i ó n , e n t o n c e s t i e n e i n n i t a s s o l u c i o n e s . S e a AX = B e l s i s t e m a

d a d o y s1, s2 d o s s o l u c i o n e s d i s t i n t a s ( s1 = s2 ) . E n t o n c e s ,

As1 = B = As2 y As1 − As2 = A(s1 − s2) = (0).

S e s i g u e q u e s1 − s2 e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a h o m o g é n e o AX = 0y q u e p a r a

t o d o λ ∈ K, s3 ≡ s1 + λ(s1 − s2) e s s o l u c i ó n d e AX = B :

As3 = A(s1 + λ(s1 − s2)) = As1 + A(λ(s1 − s2)) =

= As1 + λA(s1 − s2) = As1 = B.

H e m o s h a l l a d o t a n t a s s o l u c i o n e s c o m o e l e m e n t o s e n K

. C o m o K

e s , p o r h i -

p ó t e s i s , R

o C

( q u e s o n i n n i t o s ) , o b t e n e m o s i n n i t a s s o l u c i o n e s . 2



Á l g e b r a 3 9

1 . 2 . 5 E l a n i l l o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s M n(K)

S e g ú n h e m o s v i s t o , e l c o n j u n t o M m×n(K) d e l a s m a t r i c e s d e m l a s y nc o l u m n a s s o b r e u n c u e r p o

Kt i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o a b e l i a n o r e s p e c t o d e

l a s u m a h a b i t u a l d e m a t r i c e s .

E n e s t e a p a r t a d o v a m o s a e s t u d i a r l a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a q u e t i e n e e l

c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s c u a d r a d a s , M n×n(K), r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s

d e s u m a y p r o d u c t o , y a q u e e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s e s u n a o p e r a c i ó n e n

M n×n(K) ( e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s c u a d r a d a s d e d i m e n s i ó n n e s u n a

m a t r i z c u a d r a d a d e d i m e n s i ó n n ) .

P r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e n M n(K)

P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 1 5 S i A,B,C ∈ M n(K), s e v e r i c a q u e :

1 . A · (B · C ) = (A · B) · C ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s )

2 . A · (B + C ) = A · B + A · C ( p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e + r e s p e c t o d e ·

)

3 . A · I n = A, I n · A = A

( l a m a t r i z I n e s e l e m e n t o n e u t r o p a r a

·).

D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n d e l a s p r o p i e d a d e s 1 y 2 s e h a h e c h o e n u n

c a s o m á s g e n e r a l . L a d e m o s t r a c i ó n d e l a p r o p i e d a d 3 s e d e j a c o m o e j e r c i c i o

( s e t r a t a d e v e r q u e l a s m a t r i c e s A · I n y A s o n i g u a l e s y l o m i s m o c o n l a o t r a

i g u a l d a d ) . 2

O b s e r v a c i ó n 9 P o r t e n e r M n(K)e s t r u c t u r a d e g r u p o c o n m u t a t i v o r e s p e c t o

d e l a s u m a d e m a t r i c e s y s a t i s f a c e r l a s p r o p i e d a d e s d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e -

r i o r s e d i c e q u e e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s d e o r d e n n, M n(K),

t i e n e

e s t r u c t u r a d e a n i l l o u n i t a r i o r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o d e m a t r i c e s h a -

b i t u a l e s y e l e m e n t o u n i d a d l a m a t r i z I n.

L a o p e r a c i ó n d e p r o d u c t o e n M n(K) p e r m i t e d e n i r p o t e n c i a s e n t e r a s n o

n e g a t i v a s d e u n a m a t r i z c u a d r a d a :

D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 6 S i A e s u n a m a t r i z c u a d r a d a , A ∈ M n(K), s e d e n e

∀m ∈ NAm = (Am−1) · A

d o n d e , p o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n , s e a s u m e q u e A0 = I n.



4 0 Á l g e b r a

O b s e r v a c i ó n 1 0 N o e s d i f í c i l c o m p r o b a r q u e ∀m, r ∈ N ∀A ∈ M n(K) s e

s a t i s f a c e n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

1 . Am+r = Am · Ar

2 . (Am)r = Amr

O b s e r v a c i ó n 1 1 N ó t e s e q u e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a n o c o n m u t a t i v i d a d d e l

p r o d u c t o d e m a t r i c e s , s i A, B ∈ M n(K)e n g e n e r a l t e n d r e m o s q u e

(A + B)2 = A2 + B2 + A · B + B · A = A2 + B2 + 2A · B

S i n e m b a r g o , s i A y B c o n m u t a n p a r a e l p r o d u c t o , e s d e c i r , s i A·B = B·A,e n t o n c e s e s o b v i o q u e

(A + B)2 = A2 + B2 + 2A · B y , e n g e n e r a l , a s u m i e n d o

p o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n q u e

A0

= B0

= I n, s e v e r i c a q u e ∀m ∈ N

(A + B)m =

m0

Am · B0 +

m1

Am−1 · B + ... +

mm

A0 · Bm.

T e n i e n d o a h o r a e n c u e n t a q u e , s i e n d o α ∈ K

(αI n) =

α 0 0 · · · 00 α 0 · · · 00 0 α · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0· · ·

α

∈ M n(K)

y q u e t o d a m a t r i z c o n m u t a c o n l a i d e n t i d a d , p o d e m o s o b t e n e r l a s i g u i e n t e

f ó r m u l a , v á l i d a ∀A ∈ M n(K), ∀m ∈ N :

(A + αI n)m =

m0

Am +

m1

(αI n) Am−1 + ... +

mm

(αI n)m

1 . 2 . 6 M a t r i c e s i n v e r t i b l e s

D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 7 S e d i c e q u e A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e s i ∃B ∈ M n(K) t a l

q u e

A · B = I n ∧ B · A = I n.

O b v i a m e n t e , s i B y Bs a t i s f a c e n l a s c o n d i c i o n e s d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r ,

e s d e c i r , s i

A · B = I n ∧ B · A = I n



Á l g e b r a 4 1

y

A · B = I n ∧ B · A = I nr e s u l t a q u e

B = B · I n = B · (A · B) = (B · A) · B = I n · B = B

p o r l o q u e d a d a A ∈ M n(K)a l o s u m o h a y u n a m a t r i z B q u e s a t i s f a c e l a s

c o n d i c i o n e s d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r .

D e n i c i ó n 1 . 2 . 1 8 S i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , y

A

·B = I n

∧B

·A = I n.

s e d i c e q u e B e s l a m a t r i z i n v e r s a

d e A y a d i c h a m a t r i z l a d e n o t a r e m o s

p o r A−1.

O b s e r v a c i ó n 1 2 E n l a d e n i c i ó n d e m a t r i z i n v e r t i b l e , i m p o n e m o s q u e e l

p r o d u c t o d e A p o r u n c i e r t a m a t r i z B , p o r a m b o s l a d o s , s e a e l e l e m e n t o n e u -

t r o . H e m o s d e h a c e r l o a s í p o r q u e e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s n o e s c o n m u t a t i v o .

S i n e m b a r g o , v e r e m o s e n e l t e o r e m a 1 . 2 . 2 2 q u e e s s u c i e n t e c o m p r o b a r l o p o r

u n o s ó l o d e l o s d o s l a d o s .

E j e m p l o 1 . 2 . 1 9 L a m a t r i z i n v e r s a d e l a m a t r i z

A = 2 1/22 1 e s l a m a -

t r i z A−1 =

1 −1/2

−2 2

.

P r o p o s i c i ó n 1 . 2 . 2 0 S e a n A,B,A1, · · · , A p ∈ M n(K). S e v e r i c a q u e :

1 . s i A, B ∈ M n(K)

s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A · B

e s i n v e r t i b l e y

(A · B)−1 = B−1 · A−1,

2 . s i A1, · · · , A p s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s e l p r o d u c t o A1 · A2 · · · · A p e s

i n v e r t i b l e y (A1 · A2 · · · · A p)−1 = A p−1 · · · A2

−1A1−1,

3 . s i A ∈ M n(K)

e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s (−A) ∈ M n(K)


(−A)−1 = −(A−1),



4 2 Á l g e b r a

4 . s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s

t

(A) ∈ M n(K)e s i n v e r t i b l e y

t (A−1) = (tA)−1

.

C o r o l a r i o 1 . 2 . 2 1 S i A ∈ M n(K) e s u n a m a t r i z i n v e r t i b l e , s e v e r i c a q u e

1 . A−1

e s i n v e r t i b l e y (A−1)

−1= A

2 . ∀m ∈ N Am

e s i n v e r t i b l e y (Am)−1 = (A−1)m

3 . ∀α ∈ K

, α = 0 s e v e r i c a q u e αA e s i n v e r t i b l e , y (αA)−1 = α−1A−1

E l s i g u i e n t e t e o r e m a a r m a q u e s i u n a m a t r i z c u a d r a d a t i e n e u n a m a t r i z

i n v e r s a a l a d e r e c h a o a l a i z q u i e r d a , e n t o n c e s e s i n v e r t i b l e :

T e o r e m a 1 . 2 . 2 2 S i

A, B ∈ M n(K

)s e v e r i c a q u e :

1 . A · B = I n ⇒ B = A−1.2 . B · A = I n ⇒ B = A−1

.

D e m o s t r a c i ó n P r o b e m o s 2 : s u p o n e m o s q u e B ·A = I n , y d e b e m o s p r o b a r

q u e A · B = I n .

S i B · A = I n , t o d o s i s t e m a q u e t e n g a c o m o m a t r i z a s o c i a d a A t i e n e u n a

ú n i c a s o l u c i ó n : d a d o u n s i s t e m a A · X = C , d o n d e C e s u n a m a t r i z c o l u m n a ,

m u l t i p l i c a n d o a a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d p o r B s e o b t i e n e :

B · (A · X ) = B · C

P o r l a a s o c i a t i v i d a d d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s

(B · A) · X = B · C

Y u s a n d o n u e s t r a h i p ó t e s i s i n i c i a l

X = I n · X = B · C

E s d e c i r , q u e s i X v e r i c a l a e c u a c i ó n A · X = C , n e c e s a r i a m e n t e X = B · C .

E n c o n c r e t o , d e n o t a n d o c o n I jn l a c o l u m n a j - é s i m a d e I n , e l s i s t e m a A ·X = I jn t i e n e u n a ú n i c a s o l u c i ó n B · I jn , q u e e s l a c o l u m n a j - e s i m a d e B ,

q u e d e n o t a m o s B j, p a r a c a d a j ∈ {1, . . . , n}

. E s d e c i r , h e m o s o b t e n i d o q u e

A·B j

= I jn

p a r a c a d a

j ∈ {1, . . . , n}. E n t o n c e s t a m b i é n

A·B = I ny p o d e m o s

e s c r i b i r B = A−1

.

P a r a p r o b a r 1 s u p o n e m o s q u e A · B = I n . A p l i c a m o s 2 a l a m a t r i z B y

o b t e n e m o s q u e B · A = I n .

2



Á l g e b r a 4 3

1 . 2 . 7 M a t r i c e s e l e m e n t a l e s y u n m é t o d o p a r a h a l l a r A−1

D e n i c i ó n 1 . 2 . 2 3 S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s u n a m a t r i z e l e -

m e n t a l s i e s e l r e s u l t a d o d e r e a l i z a r u n a ú n i c a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r

l a s s o b r e l a m a t r i z I n.

E j e m p l o 1 . 2 . 2 4

1 00 −2

e s u n a m a t r i z e l e m e n t a l , p u e s

1 00 1

F 2 = (−2)F 2

−→

1 00 −2

I g u a l m e n t e

1 0 0 00 0 0 1

0 0 1 00 1 0 0

y

1 0 50 1 00 0 1 s o n m a t r i c e s e l e m e n t a l e s , p u e s

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

F 2 ↔ F 4−→

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 0 0

0 1 00 0 1

F 1 = F 1 + 5F 3−→

1 0 50 1 00 0 1

.

E s o b v i o q u e s i A e s u n a m a t r i z e l e m e n t a l d e o r d e n n , l a m a t r i z I n s e p u e d e

o b t e n e r r e a l i z a n d o u n a ú n i c a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l s o b r e l a m a t r i z A ( l a

t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l i n v e r s a ) .

E l s i g u i e n t e r e s u l t a d o q u e d a r á s u c i e n t e m e n t e v e r i c a d o t r a s l a r e a l i z a c i ó n

d e l a p r á c t i c a 2 e n e l a u l a i n f o r m á t i c a :

T e o r e m a 1 . 2 . 2 5 S i E

e s l a m a t r i z e l e m e n t a l d e o r d e n m

q u e s e o b t i e n e a l

r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l t s o b r e l a s l a s d e I m, y A ∈ M m×n(K),e n t o n c e s l a m a t r i z r e s u l t a n t e d e r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n t s o b r e l a s l a s

d e A e s l a m a t r i z p r o d u c t o E · A.

E j e r c i c i o 1 . 2 . 3 V e r i c a r e l r e s u l t a d o a n t e r i o r r e a l i z a n d o l a t r a n s f o r m a c i ó n

e l e m e n t a l F 3 = F 3 + 3F 1 s o b r e l a m a t r i z −1 4 60 2 10 0 1

.



4 4 Á l g e b r a

T e n i e n d o a h o r a e n c u e n t a q u e , s e g ú n h e m o s v i s t o , c u a l q u i e r t r a n s f o r m a -

c i ó n e l e m e n t a l e s r e v e r s i b l e , y q u e l a i n v e r s a d e u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l

e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l , s e g ú n e l c u a d r o q u e y a e s t a b l e c i m o s e n s u

m o m e n t o

T R A N S F O R M A C I Ó N T R A N S F O R M A C I Ó N I N V E R S A


F i = λF i (λ = 0) F i =1

λF i


r e s u l t a q u e , s i d e n o t a m o s p o r P i(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s -

f o r m a c i ó n F i = λF i (λ

= 0), p o r S ij(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a

t r a n s f o r m a c i ó n F i = F i + λF j y p o r E ij a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a

t r a n s f o r m a c i ó n F i ↔ F j , t e n e m o s e l s i g u i e n t e c o r o l a r i o d e l t e o r e m a a n t e r i o r :

C o r o l a r i o 1 . 2 . 2 6 T o d a m a t r i z e l e m e n t a l e s i n v e r t i b l e , y s u i n v e r s a t a m b i é n

e s u n a m a t r i z e l e m e n t a l . C o n c r e t a m e n t e ,

(S ij(λ))−1 = S ij(−λ)

(P i(λ))−1 = P i(1

λ)

(E ij)−1 = E ji

E j e r c i c i o 1 . 2 . 4 V e r i f í q u e s e e l r e s u l t a d o r e c o g i d o e n e l c o r o l a r i o a n t e r i o r ,

m u l t i p l i c a n d o l a s m a t r i c e s

P 2(−5) =

1 00 −5

S 13(4) =

1 0 40 1 00 0 1

y

E 24 = 1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

p o r s u s c o r r e s p o n d i e n t e s i n v e r s a s y o b s e r v a n d o q u e e n c a d a c a s o e l r e s u l t a d o

e s l a m a t r i z i d e n t i d a d d e l o r d e n c o r r e s p o n d i e n t e .



Á l g e b r a 4 5

T e o r e m a 1 . 2 . 2 7 S i A ∈ M n(K) l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n -

t e s :

1 . A e s i n v e r t i b l e

2 . L a e c u a c i ó n A · X = (0) s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l

3 . A

e s e q u i v a l e n t e p o r l a s a l a m a t r i z I n,

e s d e c i r ,

s u f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a e s l a m a t r i z i d e n t i d a d I n4 . E l s i s t e m a

A · X = be s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o p a r a t o d a m a t r i z

c o l u m n a b ∈ M n×1(K) y s u ú n i c a s o l u c i ó n e s X = A−1 · B.

E j e m p l o 1 . 2 . 2 8 S i A ∈ M n(K)

y b ∈ M n×1(K),

e n t o n c e s e l s i s t e m a A ·

X = b e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o p a r a t o d a m a t r i z c o l u m n a s i y s o l o s i

Ae s i n v e r t i b l e . S i

An o e s i n v e r t i b l e o s i

An o e s u n a m a t r i z c u a d r a d a ,

p o d e m o s t o d a v í a d e t e r m i n a r c o n d i c i o n e s s o b r e l a m a t r i z

bt a l e s q u e e l s i s t e m a

A ·X = b s e a c o n s i s t e n t e . P o r e j e m p l o , a p l i c a n d o e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n

a l a m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a s e o b t i e n e q u e x1 + x2 + 2x3 = b1x1 + x3 = b2

2x1 + x2 + 3x3 = b3 1 1 2 b11 0 1 b22 1 3 b3

F 2 = F 2 − F 1F 3 = F 3 − F 1

→

1 1 2 b10 −1 −1 b2 − b12 1 3 b3 − 2b1

F 1 = F 1 + F 2F 3 = F 3

−F 2

F 2 = −F 2→

1 0 1 b2

0 1 1 −b2 + b10 0 0 b3 − b2 − b1 .

S i b3 − b2 − b1 = 0 e l s i s t e m a n o e s c o m p a t i b l e y s i b3 − b2 − b1 = 0 e l

s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a

x1 = −x3 + b2

x2 = −x3 − b2 + b1, q u e t i e n e i n n i t a s

s o l u c i o n e s d e l a f o r m a {(−t + b2, −t − b2 + b1, t) : t ∈ R} .

M é t o d o p a r a d e t e r m i n a r l a m a t r i z i n v e r s a

E l t e o r e m a a n t e r i o r p e r m i t e e s t a b l e c e r u n m é t o d o p a r a d e t e r m i n a r l a i n v e r s a

d e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e . P u e s s i A

e s i n v e r t i b l e , A

e s e q u i v a l e n t e p o r l a s a

l a m a t r i z I n y e x i s t e n m m a t r i c e s e l e m e n t a l e s E 1, E 2, · · · , E m t a l e s q u e

E m · E m−1 · ... · E 1 · A = I n.

S e s i g u e q u e , p o r e l t e o r e m a 1 . 2 . 2 2 ,



4 6 Á l g e b r a

E m · E m−1 · · · · · E 1 = A−1

.e s d e c i r , r e c o g i e n d o l a s d o s i g u a l d a d e s a n t e r i o r e s ,

I n = E m · E m−1 · ... · E 1 · A

A−1 = E m · E m−1 · ... · E 1 · I n

E n o t r a s p a l a b r a s , l a s u c e s i ó n d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s q u e t r a n s f o r -

m a l a m a t r i z A e n l a m a t r i z I n, t a m b i é n t r a n s f o r m a l a m a t r i z I n e n l a m a t r i z

A−1, c o n l o q u e , s i e n d o t1,...,tm l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s

q u e p e r m i t e n o b t e n e r I n a p a r t i r d e A, e l e s q u e m a

A I n → t1,...,tm → I n A−1

n o s d a u n m é t o d o p a r a l a o b t e n c i ó n d e l a i n v e r s a d e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e A

p o r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s .

E j e m p l o 1 . 2 . 2 9 P a r a c a l c u l a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z

−1 −1 02 1 02 1 1

p r o -

c e d e r í a m o s d e l s i g u i e n t e m o d o

−1

−1 0

2 1 02 1 1

1 0 00 1 00 0 1

→ F 2 = F 2 + 2F 1F 3 = F 3 + 2F 1

→

−1 −1 00 −1 00 −1 1

1 0 02 1 02 0 1

→F 1 = F 1 − F 2F 3 = F 3 − F 2F 1 = (−1)F 1F 2 = (−1)F 2

→

1 0 00 1 0

0 0 1

1 1 0−2 −1 0

0 −1 1

o b t e n i e n d o , p o r t a n t o q u e

−1 −1 02 1 02 1 1

−1

=

1 1 0−2 −1 00 −1 1

.



Á l g e b r a 4 7

O b s e r v a c i ó n 1 3 N ó t e s e q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a e l r e s u l t a d o o b t e n i d o e n

e l t e o r e m a 1 . 2 . 2 7 , a l s e r

−1

−1 0

2 1 02 1 1

i n v e r t i b l e , e l s i s t e m a h o m o g é n e o −x − y = 0

2x + y = 02x + y + z = 0

s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n t r i v i a l .

1 . 3 E s t r u c t u r a s a l g e b r a i c a s

E l á l g e b r a m o d e r n a e s t á c a r a c t e r i z a d a p o r e l e s t u d i o d e c i e r t a s e s t r u c t u r a s

a b s t r a c t a s q u e t i e n e n e n c o m ú n u n a g r a n v a r i e d a d d e o b j e t o s m a t e m á t i c o s ,

e n t e n d i e n d o p o r a b s t r a c c i ó n e l p r o c e s o d e s e p a r a r l a f o r m a d e l c o n t e n i d o .

L o i m p o r t a n t e d e l e s t u d i o d e e s t a s e s t r u c t u r a s e s q u e , u n a v e z e s t a b l e c i d a s

l a s p r o p i e d a d e s q u e s a t i s f a c e n , d i c h a s p r o p i e d a d e s s o n s a t i s f e c h a s p o r t o d o s

l o s o b j e t o s q u e c o m p a r t e n d i c h a e s t r u c t u r a . E n e s t e a p a r t a d o e s t u d i a r e m o s

a l g u n a s d e e s t a s e s t r u c t u r a s , e n p a r t i c u l a r l a s d e g r u p o , a n i l l o y c u e r p o , c o m o

p a s o p r e v i o a l e s t u d i o d e l a p r i n c i p a l e s t r u c t u r a s o b r e l a q u e t r a b a j a r e m o s

e s t e c u r s o , l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l , y e c h a r e m o s u n a b r e v e m i r a d a

h a c i a l a s a l g e b r a s m u l t i g é n e r o o t i p o s a b s t r a c t o s d e d a t o s . E s t e t i p o d e á l g e -

b r a s s e r á n o b j e t o d e e s t u d i o c o n m a y o r n i v e l d e p r o f u n d i d a d e n l a a s i g n a t u r a

d e s e g u n d o c u r s o E s t r u c t u r a s d e d a t o s y d e l a i n f o r m a c i ó n .

1 . 3 . 1 E l c o n c e p t o d e o p e r a c i ó n

H a b l a n d o d e m a n e r a a p r o x i m a d a , s e p u e d e d e c i r q u e e l o r i g e n d e l á l g e b r a

s e e n c u e n t r a e n e l a r t e d e s u m a r , m u l t i p l i c a r y e l e v a r a p o t e n c i a s n ú m e r o s

e n t e r o s .

L a s u s t i t u c i ó n d e n ú m e r o s p o r l e t r a s y d e l a s o p e r a c i o n e s a r i t m é t i c a s p o r

e l c o n c e p t o m á s g e n e r a l d e o p e r a c i ó n p e r m i t e o p e r a r c o n r e g l a s a n á l o g a s

a l a s v i s t a s p a r a l o s n ú m e r o s e n t e r o s e n e l c o n t e x t o d e o b j e t o s m a t e m á t i c o s

m á s g e n e r a l e s , c o m o p o r e j e m p l o l a s m a t r i c e s .

B a j o l a e n v o l t u r a a b s t r a c t a d e l a m a y o r í a d e l a s t e o r í a s a x i o m á t i c a s d e l á l -

g e b r a ( g r u p o s , a n i l l o s , c u e r p o s , e s p a c i o s v e c t o r i a l e s , m ó d u l o s , . . . ) s e o c u l t a n

p r o b l e m a s c o n c r e t o s c u y a r e s o l u c i ó n d i ó l u g a r a d i c h a s d e n i c i o n e s a b s t r a c -

t a s , y a l g u n a s g e n e r a l i z a c i o n e s d e g r a n a p l i c a c i ó n . E n t r e e s t a s a p l i c a c i o n e s s e

e n c u e n t r a n d o s d e l o s p i l a r e s b á s i c o s d e l a i n g e n i e r í a d e s o f t w a r e : l a s t é c n i c a s



4 8 Á l g e b r a

d e e s p e c i c a c i ó n f o r m a l y d e v e r i c a c i ó n d e p r o g r a m a s .

D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 S i e n d o A u n c o n j u n t o n o v a c í o , l l a m a r e m o s o p e r a c i ó n

o

l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a s o b r e A a c u a l q u i e r f u n c i ó n

∗ : A × A −→ A(x, y) ; ∗(x, y)

.

L a i m a g e n ∗(a, b) r e p r e s e n t a e l r e s u l t a d o d e o p e r a r a c o n b” e n e s e o r d e n .

N ó t e s e , p u e s , q u e l o q u e e s f u n d a m e n t a l e n l a d e n i c i ó n a n t e r i o r e s q u e a c a d a

p a r d e o b j e t o s d e A s e l e a s i g n a un unico e l e m e n t o d e A : d i c h o e l e m e n t o e s

e l r e s u l t a d o q u e s e o b t i e n e a l o p e r a r d i c h o s o b j e t o s .

O b s e r v a c i ó n 1 4 P a r a d e n o t a r o p e r a c i o n e s n o r m a l m e n t e s e e m p l e a n s í m b o -

l o s n o a l f a b é t i c o s d e l e s t i l o d e +, ·, ∗, ±, ⊕, ⊗, ,2, ÷,e t c . . . , y s e u t i l i z a c o n

e l l o s n o t a c i ó n i n j a , e s d e c i r :

n o t a c i o n f u n c i o n a l n o t a c i o n i n f i j a

+(a, b) a + b·(a, b) a · b∗(a, b) a ∗ b

A s í , e n l u g a r d e e s c r i b i r , p o r e j e m p l o , +(a, +(a, b)) e s c r i b i r e m o s a+(a+b).

E s i m p o r t a n t e i n s i s t i r d e n u e v o e n q u e p a r a p o d e r r e a l i z a r e l p r o d u c t o

d e m a t r i c e s A · B, e l n ú m e r o d e c o l u m n a s d e A d e b e c o i n c i d i r c o n e l n ú m e r o

d e l a s d e B. P o r c o n s i g u i e n t e , p a r a p o d e r r e a l i z a r l o s d o s p r o d u c t o s A · By B · A, d o n d e A ∈ M m×n(K) y B ∈ M q× p(K), e l n ú m e r o d e c o l u m n a s d e

A d e b e c o i n c i d i r c o n e l d e l a s d e B y r e c í p r o c a m e n t e , e s t o e s , p a r a p o d e r

r e a l i z a r e l p r o d u c t o A · B, n = q, y p a r a p o d e r r e a l i z a r e l p r o d u c t o B · A, p = m, e s d e c i r , A ∈ M m×n(K) y B ∈ M n×m(K). S i q u e r e m o s a d e m á s q u e

e l p r o d u c t o s e a u n a o p e r a c i ó n e n e l s e n t i d o d e l a d e n i c i ó n a n t e r i o r , s ó l o

t e n d r á s e n t i d o h a b l a r d e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s c o m o o p e r a c i ó n c u a n d o

c o n s i d e r a m o s m a t r i c e s e n M n×n(K) .

D e n i c i ó n 1 . 3 . 2 S i e n d o ∗ : A × A → A u n a o p e r a c i ó n , d i r e m o s q u e :

• ∗e s

a s o c i a t i v a s i

∀x,y,z ∈ A x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y) ∗ z



Á l g e b r a 4 9

• ∗e s

c o n m u t a t i v a s i

∀x, y ∈ A x ∗ y = y ∗ x

• e ∈ A e s u n e l e m e n t o n e u t r o

d e l a o p e r a c i ó n ∗ s i

∀x ∈ A x ∗ e = x ∧ e ∗ x = x

• a ∈ A e s u n e l e m e n t o i d e m p o t e n t e

d e l a o p e r a c i ó n ∗

s i a ∗ a = a

E s e v i d e n t e q u e s i e, e ∈ A

s o n e l e m e n t o s n e u t r o s d e A

p a r a l a o p e r a c i ó n

∗, e n t o n c e s e = e ( e s d e c i r , s i u n a o p e r a c i ó n t i e n e e l e m e n t o n e u t r o ,

é s t e e s ú n i c o ) , p u e s : e ∗ e = e

, p o r s e r e

e l e m e n t o n e u t r o y e ∗ e = e

p o r

s e r

eu n e l e m e n t o n e u t r o , d e d o n d e

e = e.P o r o t r a p a r t e t a m b i é n e s e v i d e n t e q u e s i e e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e u n a

o p e r a c i ó n ∗

, e e s i d e m p o t e n t e , p u e s t o q u e e∗e = e p o r s e r e e l e m e n t o n e u t r o

d e ∗

.

D e n i c i ó n 1 . 3 . 3 S i ∗ : A × A → A e s u n a o p e r a c i ó n c o n e l e m e n t o n e u t r o

e, d i r e m o s q u e a e s u n e l e m e n t o s i m é t r i c o

d e a s i

a ∗ a = e ∧ a ∗ a = e

P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 4 S i e n d o

∗: A

×A

→A

u n a o p e r a c i ó n a s o c i a t i v a

y c o n

e l e m e n t o n e u t r o e, s i a, a, a ∈ A s o n t a l e s q u e a y a s o n s i m é t r i c o s d e ae n t o n c e s

a = a.

D e m o s t r a c i ó n S i a

y a

s o n e l e m e n t o s s i m é t r i c o s d e a,

e n t o n c e s s e v e r i c a

q u e a = e ∗ a = (a ∗ a) ∗ a = a ∗ (a ∗ a) = a ∗ e = a 2

E j e m p l o 1 . 3 . 5 S i X e s u n c o n j u n t o , y P (X ) e s e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s

d e X, e s d e c i r , e l c o n j u n t o c u y o s e l e m e n t o s s o n t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s d e X,l a s o p e r a c i o n e s

∪ : P (X ) × P (X ) −→ P (X )(A, B) ; A ∪ B

y

∩ : P (X ) × P (X ) −→ P (X )(A, B) ; A ∩ B



5 0 Á l g e b r a

s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a . E l c o n j u n t o v a c ì o ∅

e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a o p e r a c i ó n

∪ ,y

X e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a

o p e r a c i ó n ∩ . O b s é r v e s e q u e p a r a n i n g u n a d e e s t a s d o s o p e r a c i o n e s e x i s t e e l

e l e m e n t o s i m é t r i c o d e u n e l e m e n t o d a d o .

1 . 3 . 2 G r u p o s

D e n i c i ó n 1 . 3 . 6 S e a G = ∅y

∗ : G × G −→ G u n a o p e r a c i ó n . D i r e m o s

q u e G t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o r e s p e c t o d e ∗, o t a m b i é n q u e e l p a r (G, ∗) e s

u n g r u p o , s i s e v e r i c a q u e :

1 . ∗

e s a s o c i a t i v a

2 . ∃e ∈ G q u e e s e l e m e n t o n e u t r o p a r a ∗3 . T o d o e l e m e n t o a ∈ G t i e n e s i m é t r i c o r e s p e c t o d e l a o p e r a c i ó n

∗.

S i a d e m á s ∗

s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d conmutativa, e n t o n c e s s e d i c e q u e

(G, ∗) e s u n g r u p o a b e l i a n o .

D e G s e d i c e q u e e s e l conjunto subyacente d e l g r u p o (G, ∗).

E j e m p l o 1 . 3 . 7 S i c o n s i d e r a m o s l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s s o b r e c a d a

u n o d e e s t o s c o n j u n t o s , l o s s i g u i e n t e s p a r e s s o n g r u p o s a b e l i a n o s : (R, +), (R−{0}, ·), (C, +), (C−{0}, ·), (R+, ·) ,

(Z, +), (Q−{0}, ·) y (Q, +)

d o n d e R+ =

{x

∈R

|x > 0

}, Z

e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s y Q

e s e l c o n j u n t o

d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s .

E j e m p l o 1 . 3 . 8 O t r o e j e m p l o d e i n t e r é s e s p e c i a l p a r a n o s o t r o s e s e l g r u p o

(Z2, +), d o n d e Z2 = {0, 1}

y l a o p e r a c i ó n + s e d e n e m e d i a n t e l a t a b l a :

+ 0 10 0 11 1 0

e s d e c i r , 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0. E s o b v i o q u e e l e l e m e n t o

n e u t r o e s e l 0, y q u e e l o p u e s t o d e 1 e s e l p r o p i o 1, y q u e e l g r u p o e s a b e l i a n o ,

p u e s 1 + 0 = 1 = 0 + 1.

E j e m p l o 1 . 3 . 9 E l c o n j u n t o d e m a t r i c e s i n v e r t i b l e s d e o r d e n n c o n c o e -

c i e n t e s e n K

t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o ( n o a b e l i a n o e n g e n e r a l ) r e s p e c t o d e l

p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s . A d i c h o g r u p o s e l e d e n o m i n a g r u p o l i n e a l d e

o r d e n n c o n c o e c i e n t e s e n

K.



Á l g e b r a 5 1

E j e m p l o 1 . 3 . 1 0 L o s c o n j u n t o s (R, ·),(C, ·),(Q, ·), (Z− {0}, ·),(N, +), y

(M n(K

) − {0}, ·)n o s o n g r u p o s .

P r o p i e d a d e s d e l o s g r u p o s .

S i (G, ∗) e s u n g r u p o s e v e r i c a q u e :

1 . S e p u e d e s i m p l i c a r a d e r e c h a e i z q u i e r d a , e s d e c i r :

∀a,x,y ∈ G (x ∗ a = y ∗ a) ⇒ x = y

∀a,x,y ∈ G (a ∗ x = a ∗ y) ⇒ x = y

2 . L a s e c u a c i o n e s d e l a f o r m a x∗

a = b y a∗

x = b t i e n e n s o l u c i ó n ú n i c a .

C o n c r e t a m e n t e :

∀a, b ∈ G ∃!x ∈ G..a ∗ x = b

∀a, b ∈ G ∃!x ∈ G..x ∗ a = b

3 . E l ú n i c o e l e m e n t o i d e m p o t e n t e d e (G, ∗) e s e l e l e m e n t o n e u t r o e :

∀a ∈ G(a ∗ a = a ⇔ a = e)

4 . ∀a, b ∈ G

a ∗ b = e ⇒ b = a

d o n d e a

e s e l e l e m e n t o s i m é t r i c o d e a

5 . ∀a ∈ G a

= a

6 . ∀a, b ∈ G (a ∗ b)

= b ∗ a

D e m o s t r a c i ó n

1 . S i e n d o a,x,y ∈ G

, s i x∗a = y∗a,

n e c e s a r i a m e n t e (x∗a)∗a = (y∗a)∗a,

e s

d e c i r , x

∗(a

∗a) = y

∗(a

∗a) , o l o q u e e s l o m i s m o , x

∗e = y

∗e, c o n l o q u e

c o n c l u i m o s q u e x = y. L a o t r a p r o p i e d a d s e d e m u e s t r a a n á l o g a m e n t e .

2 . S i e n d o a,b,x ∈ G, a∗x = b ⇔ a ∗ (a ∗ x) = a ∗b, e s d e c i r , (a ∗a)∗x =a ∗ b

, y e s t o e s e q u i v a l e n t e a q u e e ∗ x = a ∗ b

, o l o q u e e s l o m i s m o ,

a q u e x = a ∗ b . L a o t r a p r o p i e d a d s e d e m u e s t r a a n á l o g a m e n t e .



5 2 Á l g e b r a

3 . E s t a e q u i v a l e n c i a l a p r o b a r e m o s d e m o s t r a n d o q u e l a d o s i m p l i c a c i o n e s

s o n

V,e s d e c i r , p r o b a n d o q u e p a r a c u a l q u i e r e l e m e n t o

a ∈ G,((a ∗ a = a ⇒ a = e) ∧ (a = e ⇒ a ∗ a = a)) . S e a a ∈ G t a l q u e a ∗ a =a. E n e s e c a s o a ∗ (a ∗ a) = a ∗ a , e s d e c i r , (a ∗ a) ∗ a = e c o n l o q u e

e ∗ a = e, e s d e c i r , a = e. L a i m p l i c a c i ó n r e c í p r o c a e s e v i d e n t e , p u e s s i

a = e, e n t o n c e s a ∗ a = e ∗ e = e.

4 . S i e n d o a, b ∈ G t a l e s q u e a ∗ b = e, n e c e s a r i a m e n t e a ∗ (a ∗ b) = a ∗ e,e s d e c i r ,

(a ∗ a) ∗ b = ac o n l o q u e

e ∗ b = a,o l o q u e e s l o m i s m o ,

b = a.

5 . S i e n d o a ∈ G, d e a ∗ a = e ∧ a ∗ a = e s e s i g u e q u e a

= a.

6 . S i e n d o a, b ∈ G, (a ∗ b)∗(b ∗ a) = ((a ∗ b) ∗ b)∗a = (a ∗ (b ∗ b))∗a =a ∗ a = e, p o r l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a l a p r o p i e d a d 4 q u e a c a b a m o s

d e v e r , b ∗ a = (a ∗ b)

. 2

O b s e r v a c i ó n 1 5 N ó t e s e q u e , c o m o c a s o p a r t i c u l a r d e l o s r e s u l t a d o s a n t e -

r i o r e s , p a r a e l c a s o e n q u e l a s o p e r a c i o n e s + y ·

s e a n l a s o p e r a c i o n e s d e u n

g r u p o , s e t e n d r á q u e , s i e n d o x

e y

d o s e l e m e n t o s g e n é r i c o s :

(x + x = x) ⇔ x = 0(x · y = 1) ⇔ y = x−1

(x−1)−1

= x(x · y)−1 = y−1 · x−1

e s d e c i r ,

((∗ = +) ⇒ e = 0 ∧ x = (−x))

((∗ = ·) ⇒ e = 1 ∧ x = (x−1)).

1 . 3 . 3 A n i l l o s y c u e r p o s

D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 1 S e d i c e q u e u n c o n j u n t o A = ∅t i e n e e s t r u c t u r a d e a n i l l o

r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s +

y ·,

o t a m b i é n q u e l a 3 - t u p l a (A, +, ·)

e s u n

a n i l l o s i s e v e r i c a q u e :



Á l g e b r a 5 3

1 . (A, +) e s u n g r u p o a b e l i a n o

2 . “ · ” s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d a s o c i a t i v a

3 . “ · ” e s d i s t r i b u t i v a r e s p e c t o d e “ + ”, e s d e c i r :

∀x,y,z ∈ A ((x · (y + z ) = x · y + x · z ) ∧ ((y + z ) · x = y · x + z · x))

S i a d e m á s “ · ”

s a t i s f a c e l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a , s e d i c e q u e e l a n i l l o

(A, +, ·). e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o . F i n a l m e n t e , s i “ · ” t i e n e e l e m e n t o

n e u t r o 1 ∈ A, y 1 = 0, s e d i c e q u e e l a n i l l o (A, +, ·) e s u n a n i l l o

u n i t a r i o .

E j e m p l o 1 . 3 . 1 2 (Z, +, ·) e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o y u n i t a r i o , d o n d e + y ·s o n l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s .

E j e m p l o 1 . 3 . 1 3 S i d e n o t a m o s p o r C[x]

a l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s c o n c o e -

c i e n t e s e n C, e s d e c i r , a l c o n j u n t o f o r m a d o p o r t o d a s l a s f u n c i o n e s p : C → C

t a l e s q u e ∃n ∈ N∪{0}

y ∃(a0,...,an) ∈ Cn+1

d e m a n e r a q u e ∀x ∈ C

s e v e r i c a

q u e

p(x) = anxn + ... + a1x + a0

c o n l a s u m a + y e l p r o d u c t o ·

d e p o l i n o m i o s h a b i t u a l e s , r e s u l t a q u e (C[x], +, ·)e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o y u n i t a r i o . C o n v i s t a s a r e c o r d a r l a s o p e r a c i o n e s ,

s i p o r e j e m p l o c o n s i d e r a m o s l o s p o l i n o m i o s p, q ∈ C[x] , t a l e s q u e ∀x ∈ C p(x) = 2x2 + x − 5

y q (x) = 3x − 4,

t e n d r e m o s q u e

( p + q )(x) = p(x) + q (x) =

2x2 + x − 5

+ (3x − 4) = 2x2 + 4x − 9

y

( p · q )(x) = p(x) · q (x) =

2x2 + x − 5 · (3x − 4) = 6x3 − 5x2 − 19x + 20.

E j e m p l o 1 . 3 . 1 4 S e g ú n h e m o s v i s t o , (M n(K), +, ·)

e s u n a n i l l o n o c o n m u -

t a t i v o y c o n e l e m e n t o u n i d a d I n

, s i e n d o + y

·l a s u m a y p r o d u c t o d e m a t r i c e s

h a b i t u a l e s .

D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 5 S i e n d o (A, +, ·)

u n a n i l l o , s e d i c e q u e a ∈ A −{0}

e s u n

d i v i s o r d e c e r o s i ∃b ∈ A − {0}

t a l q u e a · b = 0 ∨ b · a = 0.



5 4 Á l g e b r a

E j e m p l o 1 . 3 . 1 6 E s f á c i l c o m p r o b a r q u e (M n(K), +, ·) t i e n e d i v i s o r e s d e c e -

r o . A s í p o r e j e m p l o 1 11 1

·

1 1−1 −1

=

0 00 0

D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 7 S i e n d o (A, +, ·) u n a n i l l o u n i t a r i o , s e d i c e q u e a ∈ A e s

i n v e r t i b l e ( o i n v e r s i b l e ) s i e x i s t e u n e l e m e n t o b ∈ A t a l q u e (a · b = 1 ∧ b · a =1). E n t a l c a s o , e s o b v i o q u e b e s e l e l e m e n t o i n v e r s o d e a, y p o r t a n t o

e s c r i b i r e m o s b = a−1.

P r o p i e d a d e s d e l o s a n i l l o s

S i (A, +, ·) e s u n a n i l l o s e v e r i c a q u e :

1 . ∀a ∈ A (a · 0 = 0 ∧ 0 · a = 0)

2 . ∀a, b ∈ A (a · (−b) = −(a · b) ∧ (−a) · b = −(a · b))

S i a d e m á s (A, +, ·) e s u n i t a r i o , t a m b i é n s e v e r i c a q u e :

3 . S i a

, b ∈ A

s o n i n v e r s i b l e s , e n t o n c e s a·b

e s i n v e r s i b l e y (a · b)−1 = b−1·a−1

4 . S i a∈

A e s i n v e r s i b l e , e n t o n c e s (−

a)e s i n v e r s i b l e y

(−

a)−1 =−

(a−1)

5 . S i a ∈ A e s u n d i v i s o r d e c e r o , e n t o n c e s a n o e s i n v e r s i b l e .


1 . D e m o s t r a m o s l a p r i m e r a d e l a s d o s p r o p i e d a d e s : d a d o a ∈ A, a · 0 =a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, y p u e s t o q u e a l s e r (A, +) u n g r u p o , e l ú n i c o

e l e m e n t o i d e m p o t e n t e e s e l 0, c o n c l u í m o s q u e a · 0 = 0

2 . D e m o s t r a m o s l a p r i m e r a d e l a s d o s p r o p i e d a d e s : s i e n d o a, b ∈ A,

0 = a · 0 = a · (b + (−b)) = a · b + a · (−b)

y e n c o n s e c u e n c i a a·(−b) = −(a ·b)

p o r l a p r o p i e d a d 4 d e l o s g r u p o s ,

a p l i c a d a a l a o p e r a c i ò n d e s u m a .



Á l g e b r a 5 5

3 .

(a · b) · (b−1

· a−1

) = ((a · b) · b−1

) · a−1

== a · (b · b−1) · a−1 = a · a−1 = 1

y

(b−1 · a−1) · (a · b) = ((b−1 · a−1) · a) · b =

= b−1 · (a−1 · a) · b = b−1 · b = 1

4 . P o r l a p r o p i e d a d 2,

(−a) · (−(a−1)) = −((−a) · (a−1)) = −(−(a · a−1)) = −(−1) = 1

−(a−1) · (−a) = −((−(a−1)) · a) = −(−(a−1 · a)) = −(−1) = 1

5 . R a z o n a m o s p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o : s i

a ∈ Ae s u n d i v i s o r d e c e -

r o , e x i s t i r á u n e l e m e n t o b = 0 t a l q u e a · b = 0 o t a l q u e b · a = 0.P e r o p u e s t o q u e a t i e n e i n v e r s o , s i a · b = 0, e n t o n c e s p o r u n a p a r t e

a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0, p e r o t a m b i é n a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = b, e s

d e c i r , b = 0 ( c o n t r a d i c c i ó n ) . S i b · a = 0 s e r a z o n a a n á l o g a m e n t e . 2

O b s e r v a c i ó n 1 6 L a s m a t r i c e s i n v e r t i b l e s s o n l o s e l e m e n t o s i n v e r t i b l e s d e l

a n i l l o M n(K). A s í p u e s , t o d a s l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s p a r a l o s e l e m e n t o s i n -

v e r t i b l e s d e u n a n i l l o g e n é r i c o , s o n v á l i d a s p a r a e l a n i l l o c o n s i d e r a d o

(M n(K), +,

·). E n p a r t i c u l a r , s i A, B

∈M n(K) s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A

·B

e s i n v e r t i b l e y (A · B)−1 = B−1 · A−1, y s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s

(−A) ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e y (−A)−1 = −(A−1).

E j e r c i c i o 1 . 3 . 1 P r o b a r q u e s i (A, +, ·) e s u n a n i l l o u n i t a r i o , y a,b,c ∈ As o n t a l e s q u e a ·b = 1 y c ·a = 1, e n t o n c e s n e c e s a r i a m e n t e b = c. ( I n d i c a c i ó n :

d e s a r r ó l l e s e l a i g u a l d a d b = 1 · b = ...)

P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 1 8 S i (A, +, ·)

e s u n a n i l l o s i n d i v i s o r e s d e c e r o s e v e r i c a

q u e

∀a,b,c ∈ A ((a · b = a · c ∧ a = 0) ⇒ (b = c))

y

∀a,b,c ∈ A ((b · a = c · a ∧ a = 0) ⇒ (b = c))



5 6 Á l g e b r a

D e m o s t r a c i ó n S i a,b,c ∈ A s o n t a l e s q u e a ·b = a ·c c o n a = 0, t e n d r e m o s

q u e

a · b + (−(a · c)) = 0,o l o q u e e s l o m i s m o ,

a · b + (a · (−c)) = 0, c o n l o

q u e , p o r l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a , a · (b + (−c)) = 0, y p u e s t o q u e a = 0,n e c e s a r i a m e n t e

(b + (−c)) = 0,e s d e c i r ,

b = c. 2

D e n i c i ó n 1 . 3 . 1 9 S e d i c e q u e u n a t e r n a (K, +, ·) e s u n c u e r p o , o t a m b i é n

q u e K

t i e n e e s t r u c t u r a d e c u e r p o r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s + y ·

s i (K, +, ·)e s u n a n i l l o c o n m u t a t i v o y u n i t a r i o y a d e m á s t o d o s l o s e l e m e n t o s d e

K−{0}s o n i n v e r s i b l e s .

E j e m p l o 1 . 3 . 2 0

(R, +, ·), (C, +, ·) y

(Q, +, ·) s o n c u e r p o s , s i e n d o e n c a d a

c a s o l a s o p e r a c i o n e s + y ·

l a s u m a y e l p r o d u c t o h a b i t u a l e s c o n s i d e r a d o s s o b r e

c a d a u n o d e e s o s c o n j u n t o s .

E j e m p l o 1 . 3 . 2 1 O t r o e j e m p l o d e i n t e r é s e s p e c i a l p a r a n o s o t r o s e s e l c u e r p o

(Z2, +, ·), d o n d e Z2 = {0, 1}, y l a s o p e r a c i o n e s + y

·s e d e n e n m e d i a n t e l a s

s i g u i e n t e s t a b l a s .

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

E s d e c i r , 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0,

y 0

·1 = 1

·0 = 0,

1 · 1 = 1.

P r o p o s i c i ó n 1 . 3 . 2 2 S i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , y a, b ∈ Ks o n t a l e s q u e

a · b = 0, n e c e s a r i a m e n t e a = 0 ∨ b = 0 ( u n c u e r p o n o t i e n e d i v i s o r e s d e l o

c e r o ) .

D e m o s t r a c i ó n S i a · b = 0y a = 0, e n t o n c e s , p u e s t o q u e a ∈ K − {0}, a

t i e n e i n v e r s o p o r l o q u e , p o r u n a p a r t e a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0 , y p o r o t r a

a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = 1 · b = b,c o n l o q u e

b = 0 2

O b s e r v a c i ó n 1 7 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , s i (K, +, ·)e s u n c u e r p o , e n t o n c e s (K, +, ·) n o t i e n e d i v i s o r e s d e c e r o . E l r e c í p r o c o o b -

v i a m e n t e n o e s c i e r t o . (Z, +, ·) e s u n e j e m p l o d e a n i l l o s i n d i v i s o r e s d e c e r o

q u e n o e s c u e r p o .



Á l g e b r a 5 7

1 . 3 . 4 I n t r o d u c c i ó n a l o s T i p o s A b s t r a c t o s d e D a t o s

L a s e s t r u c t u r a s d e d a t o s y l o s t i p o s d e d a t o s s o n c o n c e p t o s f u n d a m e n t a l e s

e n e l m u n d o d e l a p r o g r a m a c i ó n y d e l a e s p e c i c a c i ó n d e s i s t e m a s d e s o f t -

w a r e . E l c o n c e p t o d e e s t r u c t u r a d e d a t o s s e u s a c o m ú n m e n t e p a r a r e f e r i r s e

a u n c o n j u n t o d e d a t o s o r g a n i z a d o s d e u n c i e r t o m o d o , c o m o p o r e j e m p l o ,

c o l o c a d o s e n u n a s e c u e n c i a o e n u n a t a b l a .

J u n t o c o n e l c o n j u n t o d e d a t o s h a y q u e c o n s i d e r a r d e n i d a s u n a s e r i e d e

o p e r a c i o n e s n e c e s a r i a s p a r a o b t e n e r l a i n f o r m a c i ó n y a c t u a l i z a r l a . P e r o e s t a s

o p e r a c i o n e s n o e s t á n n e c e s a r i a m e n t e d e n i d a s s o b r e o b j e t o s d e l a m i s m a

n a t u r a l e z a ; p o r e j e m p l o , e n t e n d i e n d o p o r p i l a u n d i s p o s i t i v o q u e a l m a c e n a

d a t o s , c a r a c t e r i z a d o p o r e l h e c h o d e q u e e l p r i m e r d a t o q u e s e p u e d e e x t r a e r

e s e l ú l t i m o q u e s e h a a l m a c e n a d o , r e s u l t a q u e l a o p e r a c i ó n a l m a c e n a r u n

e l e m e n t o e n u n a p i l a e s t á d e n i d a d e l s i g u i e n t e m o d o

push : Pila × Dato → Pilas

e n e l s e n t i d o d e q u e e l p a r f o r m a d o p o r u n a p i l a y u n d a t o ( P, d) n o s d a c o m o

r e s u l t a d o d e a p l i c a r l e l a o p e r a c i ó n push u n a n u e v a p i l a o b t e n i d a a ñ a d i e n d o

e l d a t o d a l a p i l a p .

D e f o r m a a n á l o g a , l a o p e r a c i ó n e x t r a e r e l ú l t i m o e l e m e n t o a l m a c e n a d o

d e u n a p i l a ( o p e r a c i ó n q u e h a b i t u a l m e n t e s e d e n o t a p o r pop) e s l a f u n c i ó n

pop : Pila→

Pila

t a l q u e pop(P )

e s l a p i l a o b t e n i d a a p a r t i r d e P

e l i m i n a n d o e l ú l t i m o d a t o

a l m a c e n a d o e n P.E n e s t a s e c c i ó n e l c o n c e p t o d e o p e r a c i ó n n o s e r á , p u e s , e q u i v a l e n t e a l

d e l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a , p u e s e n p r i n c i p i o n o s p o d e m o s r e f e r i r a

o p e r a c i o n e s e n t r e o b j e t o s d e d i s t i n t a n a t u r a l e z a . A s í p u e s , l a s o p e r a c i o n e s

a l a s q u e n o s r e f e r i m o s e n e s t e a p a r t a d o s e r á n o p e r a c i o n e s g e n e r a l i z a d a s ,

e n t e n d i d a s c o m o f u n c i o n e s d e u n p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e c o n j u n t o s a o t r o

c o n j u n t o .

E n c i e r t a s o c a s i o n e s , p o r e j e m p l o , p a r a d i s e ñ a r u n a l g o r i t m o o u n s i s t e m a

d e s o f t w a r e , r e s u l t a m á s c ó m o d o e i n t e r e s a n t e t r a b a j a r c o n u n a r e p r e s e n t a -

c i ó n a b s t r a c t a d e l o s d a t o s q u e s e a i n d e p e n d i e n t e d e l a f o r m a e n l a q u e e s t á n ,

o v a n a s e r , i m p l e m e n t a d o s e n e l o r d e n a d o r .

U n a f o r m a d e r e p r e s e n t a r l a s p r o p i e d a d e s a b s t r a c t a s d e u n c o n j u n t o d e

d a t o s c o n s i s t e e n u t i l i z a r e c u a c i o n e s a m o d o d e a x i o m a s , d e m a n e r a q u e d o s



5 8 Á l g e b r a

t i p o s d e d a t o s d i f e r e n t e s s o n c o n s i d e r a d o s c o m o i g u a l e s ( o s i s e p r e e r e , c o n

l a m i s m a e s t r u c t u r a ) s i a m b o s s a t i s f a c e n l a s m i s m a s e c u a c i o n e s . D e s d e e s e

p u n t o d e v i s t a a b s t r a c t o , a m b o s t i p o s d e d a t o s s e d i f e r e n c i a r í a n ú n i c a m e n t e

e n e l n o m b r e d e l o s d a t o s b á s i c o s y d e l a s o p e r a c i o n e s . L a b ú s q u e d a d e u n a

r e p r e s e n t a c i ó n a b s t r a c t a c o m ú n p a r a t i p o s d e d a t o s s i m i l a r e s n o s l l e v a a l a

d e n i c i ó n d e l c o n c e p t o d e t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s :

D e n i c i ó n 1 . 3 . 2 3 U n t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s ( T A D ) e s u n a c u á d r u p l a

(Tip,Cons,Op,Ec)

e n l a q u e T i p e s e l c o n j u n t o d e t i p o s d e d a t o s d e l T A D , C o n s e s e l c o n j u n t o

d e c o n s t a n t e s o d a t o s b á s i c o s d e l T A D , O p e s e l c o n j u n t o d e o p e r a c i o n e s

( g e n e r a l i z a d a s ) y E c e l c o n j u n t o d e l a s e c u a c i o n e s .

A l o s t i p o s a b s t r a c t o s d e d a t o s t a m b i é n s e l e s c o n o c e e n l a l i t e r a t u r a c o m o

á l g e b r a s m u l t i g é n e r o o á l g e b r a s m u l t i t i p o .

O b s e r v a c i ó n 1 8 L a m a y o r í a d e l o s l e n g u a j e s d e p r o g r a m a c i ó n t r a t a n l a s

v a r i a b l e s y l a s c o n s t a n t e s d e u n p r o g r a m a c o m o i n s t a n c i a s d e u n t i p o d e

d a t o .

E j e m p l o 1 . 3 . 2 4 C o m o y a h e m o s d i c h o , u n a p i l a , e n e l á m b i t o d e l a i n f o r -

m á t i c a o l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n e s u n d i s p o s i t i v o e n e l q u e l o s d a t o s

s o n a l m a c e n a d o s e n s e c u e n c i a , d e m a n e r a q u e e n c a d a p a s o ú n i c a m e n t e e s

p o s i b l e a c c e d e r a l ú l t i m o d a t o a l m a c e n a d o ( t o p ) ( e s t e m o d o d e a c c e s o a l o s

d a t o s q u e c a r a c t e r i z a a l d i s p o s i t i v o d e a l m a c e n a m i e n t o p i l a e s c o n o c i d o c o -

m o l i f o , a b r e v i a t u r a d e l a s t i n - r s t o u t ) . E s t e t i p o d e d i s p o s i t i v o a p a r e c e

e n m u c h a s o c a s i o n e s , p o r e j e m p l o , e n e l a l m a c e n a m i e n t o d e i n f o r m a c i ó n e n

v a r i a b l e s q u e a p a r e c e n e n p r o g r a m a s c o n b u c l e s a n i d a d o s , e n l a e v a l u a c i ó n d e

e x p r e s i o n e s e i n c l u s o e n l a e j e c u c i ó n d e p r o c e d i m i e n t o s r e c u r s i v o s . L a s o p e -

r a c i o n e s c o n s i d e r a d a s s o b r e u n a p i l a s o n l a d e a l m a c e n a m i e n t o ( p u s h ) , q u e

c o l o c a u n n u e v o d a t o e n c i m a d e l a p i l a , l a e x t r a c c i ó n d e l ú l t i m o d a t o a l m a -

c e n a d o ( p o p ) y l a v i s u a l i z a c i ó n d e l e l e m e n t o s i t u a d o e n l a p a r t e s u p e r i o r d e

l a p i l a ( t o p ) . L a c o n s t a n t e n e w s t a c k r e p r e s e n t a l a p i l a v a c í a y q u e e s d e l

t i p o P I L A , y l a c o n s t a n t e e r r o r d e l t i p o E R R O R , n o s p e r m i t i r á r e p r e s e n t a r

l a s i t u a c i ó n ( m e n s a j e d e e r r o r ) q u e s e p r o d u c e c u a n d o m i r a m o s c u a l e s e l

e l e m e n t o s i t u a d o e n l a p a r t e s u p e r i o r d e l a p i l a v a c í a . P o r c o n s i g u i e n t e , e l



Á l g e b r a 5 9

m o d e l o P I L A q u e d a e s p e c i c a d o c o m o t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s d e l s i g u i e n t e

m o d o :

PILA =1. T i p o s : PILA,DATO,ERROR

2. C o n s t a n t e s :

error ∈ ERROR,newstack ∈ PILA

3. O p e r a c i o n e s :

push : PILA × DATO → PILA pop : PILA → PILAtop : PILA → DATO ∪ ERROR

4. E c u a c i o n e s :

∀ p ∈ PILA, ∀a ∈ DATO pop( push( p, a)) = p pop(newstack) = newstack

top( push( p, a)) = atop(newstack) = error

A s í p o r e j e m p l o , l a p i l a

a3

a3

a1

s e r e p r e s e n t a r í a e n e s t e m o d e l o p o r :

push( push( push(newstack, a1), a3), a3).

E j e m p l o 1 . 3 . 2 5 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e u n s e m i g r u p o e s u n c o n j u n t o d o -

t a d o d e u n a l e y d e c o m p o s i c i ó n i n t e r n a a s o c i a t i v a , y q u e u n m o n o i d e e s u n

s e m i g r u p o c o n e l e m e n t o n e u t r o , s u s e s p e c i c a c i o n e s c o m o t i p o s a b s t r a c t o s d e

d a t o s s e r í a n l a s s i g u i e n t e s :

SEMIGRUPO =1. T i p o s : ELEM 2. C o n s t a n t e s :

3.O p e r a c i o n e s :

∗ : ELEM × ELEM → ELEM


∀x,y,z ∈ ELEM x ∗ (y ∗ z ) = (x ∗ y) ∗ z

MONOIDE = SEMIGRUPO +C o n s t a n t e s : e ∈ ELEM

E c u a c i o n e s :

∀x ∈ ELEM x ∗ e = xe ∗ x = x



6 0 Á l g e b r a

E j e r c i c i o 1 . 3 . 2 E n e l á m b i t o d e l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n u n a c a d e n a

o s t r i n g e s u n a s e c u e n c i a d e i t e m s ( d a t o s ) d e a l g ú n c o n j u n t o ( o d o m i n i o )

d e d a t o s . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s u n a c a d e n a e s u n a p a l a b r a a1...an d e

l o n g i t u d n ≥ 0 f o r m a d a c o n l e t r a s d e u n a l f a b e t o d a d o . P a r a n = 0 s e

t r a t a d e l a c a d e n a v a c í a ( a l a q u e e n s u m o m e n t o d e n o t a m o s p o r λ) y p a r a

n ≥ 1 l o s e l e m e n t o s a1,...,an p e r t e n e c e n a l m i s m o c o n j u n t o o a l f a b e t o A. E l

e j e r c i c i o c o n s i s t e e n c o n s t r u i r u n m o d e l o d e t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s a l q u e

d e n o m i n a r e m o s c a d e n a o s t r i n g , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e h a y q u e c o n s i -

d e r a r l o s d a t o s y l a s c a d e n a s d e d a t o s d e u n c o n j u n t o A = {a1,...,ak}, q u e

l a s c a d e n a s s o n e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A∗( c o n j u n t o d e t o d a s l a s c a d e n a s

o p a l a b r a s d e n i d a s s o b r e e l a l f a b e t o A o l e n g u a j e u n i v e r s a l s o b r e A), q u e

h a y q u e c o n s i d e r a r l a p a l a b r a v a c í a c o m o u n a c o n s t a n t e . C o m o o p e r a c i o n e s

s o b r e l a s c a d e n a s c o n s i d e r a m o s l a s s i g u i e n t e s : construye, q u e a p a r t i r d e

u n e l e m e n t o d e A c o n s t r u y e u n a l i s t a d e l o n g i t u d 1, l a o p e r a c i ó n concat,d e n i d a s o b r e p a r e s d e p a l a b r a s p o r

concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm , y

l a s o p e r a c i o n e s i a ñ a d e ( i a d d ) y d a ñ a d e ( d a d d ) q u e a ñ a d e n , r e s p e c t i v a m e n t e ,

u n e l e m e n t o a l a i z q u i e r d a o a l a d e r e c h a d e u n a c a d e n a d a d a . ( N o t a : S o n

s u c i e n t e s 5 e c u a c i o n e s ) .

1 . 4 E j e r c i c i o s

1 . 4 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

1 . R e p r e s e n t a r p o r s u m a t r i z a m p l i a d a y r e s o l v e r p o r e l m é t o d o d e G a u s s -

J o r d a n c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s : 2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24

x1 + 3x2 − 2x3 = 4

, 3x1 + x2 + x3 − 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6

x1 − x2 + x3 − x4 = 0

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 0

5x1 + 5x2 + 9x3 + 9x4 = 0



Á l g e b r a 6 1

2 . C o n s i d e r e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

x + y + 2z = ax + z = b

2x + y + 3z = c

D e m u e s t r e q u e p a r a q u e e s t e s i s t e m a s e a c o m p a t i b l e , a , b y c d e b e n

s a t i s f a c e r c = a + b .

3 . R e s u e l v a c a d a u n o d e l o s s i s t e m a s s i g u i e n t e s p o r e l i m i n a c i ó n d e G a u s s -

J o r d a n :

a ) 2x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 1

3x1 + 2x2 = 1

b )

3x1 + 2x2 − x3 = −155x1 + 3x2 + 2x3 = 03x1 + x2 + 3x3 = 11

11x1 + 7x2 = −30

c ) 4x1 − 8x2 = 123x1 − 6x2 = 9

−2x1 + 4x2 = −6

4 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e a e l s i s t e m a q u e s i g u e n o t i e n e s o l u c i o n e s ? ¾ T i e n e

e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n ? ¾ T i e n e i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ?

x + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 2

4x + y + (a2

−14)z = a + 2

5 . C a l c u l a r l a s i n v e r s a s d e l a s i g u i e n t e s m a t r i c e s :

A =

3 15 2

B =

2 −34 4

C =

2 00 3



6 2 Á l g e b r a

6 . V e r i q u e q u e l a s m a t r i c e s A y B d e l e j e r c i c i o 5 ) s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n

(AB)−1

= B−1

A−1

.

7 . S e a A u n a m a t r i z i n v e r t i b l e y s u p o n g a q u e l a i n v e r s a d e 7 A e s −1 24 −7

. E n c u e n t r e l a m a t r i z A .

8 . S e a AX = B u n c u a l q u i e r s i s t e m a c o n s i s t e n t e d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

y s u p ó n g a s e q u e X 1 e s u n a s o l u c i ó n j a . D e m u e s t r e q u e t o d a s o l u c i ó n p a r a

e l s i s t e m a s e p u e d e e s c r i b i r e n l a f o r m a X = X 1 + X 0 , e n d o n d e X 0 e s u n a

s o l u c i ó n p a r a AX = 0 . D e m u e s t r e t a m b i é n q u e t o d a m a t r i z d e e s t a f o r m a

e s u n a s o l u c i ó n .

9 . E n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z d a d a , s i l a m a t r i z e s i n v e r t i b l e :

a) A =

3 4 −11 0 32 5 −4

b) B =

3 1 52 4 1

−4 2 −9

c) C =

1 0 10 1 11 1 0

1 0 . E f e c t ú e l a s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s q u e s i g u e n s o b r e

A =

3 1 0−2 1 43 5 5

m u l t i p l i c a n d o p o r u n a m a t r i z e l e m e n t a l a p r o p i a d a . E n c a d a c a s o , v e r i q u e

l a r e s p u e s t a l l e v a n d o a c a b o l a o p e r a c i ó n s o b r e l a s l a s d i r e c t a m e n t e s o b r e

A .

a ) I n t e r c a m b i e l a p r i m e r a y t e r c e r a l a s .

b ) M u l t i p l i q u e l a s e g u n d a l a p o r 1 / 3 .

c ) S u m e e l d o b l e d e l a s e g u n d a l a a l a p r i m e r a .

1 1 . U n a c a j a q u e c o n t i e n e m o n e d a s c o n l a s d e n o m i n a c i o n e s d e u n c e n t a v o ,

c i n c o c e n t a v o s y d i e z c e n t a v o s t i e n e 1 3 d e e l l a s c o n u n v a l o r t o t a l d e 8 3

c e n t a v o s .

¾ C u á n t a s m o n e d a s d e c a d a t i p o h a y e n l a c a j a ?



Á l g e b r a 6 3

1 2 . ¾ P a r a c u á l v a l o r , o c u á l e s v a l o r e s , d e a e l s i s t e m a s i g u i e n t e t i e n e c e r o ,

u n a y u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ? x1 + x2 + x3 = 4x3 = 2

(a2 − 4)x3 = a − 2

1 3 . D e m o s t r a r q u e l a t r a s p o s i c i ó n d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s

p r o p i e d a d e s .

a ) ∀A ∈ M m×n(K) t(tA) = A.

b ) ∀A, B ∈ M m×n(K) t(A + B) =t A +t B.

c ) ∀A ∈ M m×n(K), ∀B ∈ M n× p(K)

,

t(A · B) =t B ·t A.

1 4 . D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s

t(A) ∈ M n(K)


t (A−1) = (tA)−1

.

1 5 . S i A = (aij) ∈ M n(K)

, s e d e n o m i n a traza

d e A

a l a s u m a d e l o s

e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e A, e s d e c i r ,

T r(A) = a11 + ... + ann =n

i=1

aii.

D e m o s t r a r q u e ∀A,B,C ∈ M n(K) :

a ) T r(A + B) = T r(A) + T r(B).b )

T r(AB) = T r(BA).

P o n e r u n c o n t r a e j e m p l o q u e p o n g a d e m a n i e s t o q u e

T r(A.B) = T r(A) · T r(B).

c ) S i e n d o C = AtA,

T r(AtA) =n

i=1

n

k=1

a2ik

.

1 6 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K)

e s s i m é t r i c a s i

tA = A.D e m o s t r a r

q u e u n a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u c i e n t e p a r a q u e e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s



6 4 Á l g e b r a

s i m é t r i c a s A, B ∈ M n(K) d é c o m o r e s u l t a d o u n a m a t r i z s i m é t r i c a e s q u e

AB = BA.

1 7 . D e t e r m i n a r α ∈ C

y β ∈ C

p a r a q u e l a m a t r i z A =

2 11 2

∈

M 2(C) s a t i s f a g a l a e c u a c i ó n A2 + αA + βI 2 = (0).

1 8 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e s i A2 = A.D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e , e n t o n c e s B = I n − A e s

i d e m p o t e n t e . D e m o s t r a r t a m b i é n q u e AB = (0)y q u e BA = (0).

1 9 . E n u n a f e r i a d e g a n a d o u n g r a n j e r o c o m p r ó p o l l o s , c o n e j o s y t e r n e r o s .

L o s p o l l o s l o s c o m p r ó a 5 0 p t s . , l o s c o n e j o s a 1 0 0 0 p t s . y l o s t e r n e r o s a

5 0 0 0 p t s .

C o m p r ó 1 0 0 a n i m a l e s y g a s t ó 1 0 0 . 0 0 0 p t s .

S a b i e n d o q u e c o m p r ó a n i m a l e s d e l a s 3 c l a s e s , a v e r i g u a r e l n ú m e r o d e

a n i m a l e s q u e c o m p r ó d e c a d a c l a s e .

2 0 . E n e l á m b i t o d e l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n u n a c a d e n a o s t r i n g

e s u n a s e c u e n c i a d e i t e m s ( d a t o s ) d e a l g ú n c o n j u n t o ( o d o m i n i o ) d e d a t o s

d a d o . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s u n a c a d e n a e s u n a p a l a b r a a1...an d e l o n g i -

t u d n ≥ 0.

P a r a n = 0

s e t r a t a d e l a c a d e n a v a c í a ( a l a q u e e n s u m o m e n t o

d e n o t a m o s p o r λ) y p a r a n ≥ 1 l o s e l e m e n t o s a1,...,an p e r t e n e c e n a l m i s -

m o c o n j u n t o o a l f a b e t o A. E l e j e r c i c i o c o n s i s t e e n c o n s t r u i r u n m o d e l o d e

t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s a l q u e d e n o m i n a r e m o s c a d e n a o s t r i n g , t e n i e n d o

e n c u e n t a q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l o s d a t o s y l a s c a d e n a s d e d a t o s d e u n

c o n j u n t o A = {a1,...,ak}, q u e l a s c a d e n a s s o n e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A∗

( c o n j u n t o d e t o d a s l a s c a d e n a s o p a l a b r a s d e n i d a s s o b r e e l a l f a b e t o A o

l e n g u a j e u n i v e r s a l s o b r e A), q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l a p a l a b r a v a c í a c o m o

u n a c o n s t a n t e , y q u e c o m o o p e r a c i o n e s s o b r e l a s c a d e n a s c o n s i d e r a m o s l a s

s i g u i e n t e s : construye,

q u e a p a r t i r d e u n e l e m e n t o d e A

c o n s t r u y e u n a l i s -

t a d e l o n g i t u d 1, l a o p e r a c i ó n concat, d e n i d a s o b r e p a r e s d e p a l a b r a s p o r

concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm , y l a s o p e r a c i o n e s i a ñ a d e ( i a d d ) y d a -

ñ a d e ( d a d d ) q u e a ñ a d e n , r e s p e c t í v a m e n t e , u n e l e m e n t o a l a i z q u i e r d a o a l a

d e r e c h a d e u n a c a d e n a d a d a . ( N o t a :

S o n s u c i e n t e s 5 e c u a c i o n e s ) .

1 . 4 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s

1 . R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s p o r e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a :



Á l g e b r a 6 5

a ) 2x − 5y + 4z + u − v = 3

x − 2y + z − u + v = 5x − 4y + 6z + 2u − v = 10

, b ) 4x − 3y + 2z + u = 3x

−2y + z + 2u =

−2

4x − y + z − u − v = 52x + 3y − z − 4u = 9

c )

4x − 3y + 2z = −2−2x + y + 2z = 3−x + y − 2z = 7

, d )

4x − 3y + 2z = 3−2x + y + 2z = 1−x + y − 2z = −2

2 . R e s o l v e r l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s p o r e l m é t o d o d e

G a u s s - J o r d a n :

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 22x1 + 2x2

−6x3 + 2x4 =

−4

4x1 + 5x2 − x3 + 3x4 = −3

,7x2 + x3 = 13x1 + 4x2 + 1x3 = 7

−9x1 − 5x2 − 2x3 = 2

3 . R e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s ( n o l i n e a l e s ) : 2x2 − 6y3 + 3ez = 174y3 − ez = −5−3x2 − 2y3 = −10

4 . D i s c u t i r l a s d i s t i n t a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a s e g ú n l o s d i s t i n t o s

v a l o r e s d e l p a r á m e t r o k :

x + y + 2z = 2−3x + 2y + 3z = −22x + ky − 5z = −4

5 . D i s c u t i r l a s d i s t i n t a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a s e g ú n l o s d i s t i n t o s

v a l o r e s d e l o s p a r á m e t r o s a y b :

ax + bz = 2ax + ay + 4z = 4ax + 2z = b

6 . V e r i c a r q u e e x i s t e u n s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s e n l a s v a r i a b l e s

x,

y,

z , c u y a s s o l u c i o n e s s e a n , e n f u n c i ó n d e l p a r á m e t r o t: x = −1 − ty = 2 + 5tz = 4 − t



6 6 Á l g e b r a

7 . U n p a d r e c o n a c i o n e s m a t e m á t i c a s d e c i d e h a c e r s u t e s t a m e n t o d e l a

m a n e r a s i g u i e n t e :

•T o d o m i c a p i t a l s e r á d i v i d i d o e n t r e m i s t r e s h i j o s : A n t o n i o , B e n i t o

y C a r l a .

•D e l c a p i t a l m e n o s 10.000 e u r o s A n t o n i o r e c i b e l a m i t a d .

•L a c a n t i d a d r e c i b i d a p o r C a r l a m e n o s l a c a n t i d a d q u e r e c i b a B e -

n i t o d e b e s e r i g u a l a l a c a n t i d a d r e c i b i d a p o r B e n i t o m e n o s l a

c a n t i d a d r e c i b i d a p o r A n t o n i o .

•L a c a n t i d a d r e c i b i d a p o r C a r l a m e n o s e l

60p o r c i e n t o d e l a r e c i -

b i d a p o r B e n i t o d e b e s e r i g u a l a 4.000 e u r o s .

¾ C u a n t o d i n e r o r e c i b i r á c a d a u n o ?

8 . C a l c u l a r l a i n v e r s a , s i e x i s t e , d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s y c o m p r o b a r l a

r e s p u e s t a p o r m u l t i p l i c a c i ó n :

A =

8 −11 −76 −8 −51 −1 −1

, B =

−2 3 1−2 4 2−3 2 −1

, C =

−2 0 −6 −10 −3 0 −31 0 −3 10 −3 3 −3

9 . D e m o s t r a r q u e l a m a t r i z

A =

1 −1 30 4 −2

−2 6 −8

n o e s i n v e r t i b l e c o m p r o b a n d o q u e e x i s t e u n a s o l u c i ó n n o t r i v i a l d e l

s i s t e m a h o m o g é n e o A · X = 0.

1 0 . S e a A l a m a t r i z

A = 3

−3 5

1 4 −3−3 4 −6 .

•U s a n d o e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n , e x p r é s e s e l a m a t r i z

A−1c o m o

p r o d u c t o d e m a t r i c e s e l e m e n t a l e s .



Á l g e b r a 6 7

•E x p r é s e s e l a m a t r i z A c o m o p r o d u c t o d e m a t r i c e s e l e m e n t a l e s .

1 1 . E l p r o d u c t o d e m a t r i c e s c u a d r a d a s n × n n o e s c o n m u t a t i v o . S i n e m -

b a r g o , d a d a u n a m a t r i z A, e x i s t e n m a t r i c e s B q u e c o n m u t a n c o n e l l a ,

e s d e c i r , t a l e s q u e A · B = B · A

( p o r e j e m p l o , l a i d e n t i d a d o l a p r o p i a

A) . E l c o n j u n t o d e t a l e s m a t r i c e s s e l l a m a c o n m u t a d o r d e A. C a l c ú l e s e

e l c o n m u t a d o r d e l a m a t r i z :

A =

1 0

−2 −1

1 2 . U n a m a t r i z c u a d r a d a S

s e d i c e s i m é t r i c a s i S = tS

y a n t i s i m é t r i c a s i

S = −t

S .

( a ) D a r d o s e j e m p l o s d e m a t r i c e s s i m é t r i c a s y a n t i s i m é t r i c a s 3 × 3

.

( b ) P r o b a r q u e d a d a u n a m a t r i z c u a d r a d a c u a l q u i e r a B , l a s m a t r i c e s

12

(B + tB)y

12

(B − tB)s o n s i m é t r i c a y a n t i s i m é t r i c a , r e s p e c t i v a -

m e n t e , y q u e s u s u m a e s B .

( c ) P r o b a r q u e s i u n a m a t r i z c u a d r a d a B s e e s c r i b e c o m o s u m a B =S +A d o n d e S y A s o n s i m é t r i c a y a n t i s i m é t r i c a , r e s p e c t i v a m e n t e ,

e n t o n c e s S = 12(B + tB) y A = 1

2(B − tB).

D e e s t e e j e r c i c i o s e d e d u c e q u e t o d a m a t r i z s e d e s c o m p o n e d e m a -

n e r a ú n i c a c o m o s u m a d e u n a m a t r i z s i m é t r i c a y u n a a n t i s i m é t r i c a .

C a l c ú l e s e l a d e s c o m p o s i c i ó n d e l a m a t r i z

A =

2 3 −14 5 70 2 4

1 3 . C a l c ú l e n s e p o r i n d u c c i ó n l a s p o t e n c i a s m- é s i m a s d e l a s m a t r i c e s :

A =

a 10 a

, B =

0 11 0

.

1 4 . D o s m a t r i c e s c u a d r a d a s A

y B

s e d i c e n s e m e j a n t e s ( o c o n g r u e n t e s ) s i

e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P t a l q u e A = P · B · P −1 .

S e a n A y B s e m e j a n t e s .



6 8 Á l g e b r a

( a ) P r o b a r p o r i n d u c c i ó n q u e p a r a t o d o n ∈ Ns e v e r i c a Am = P ·

B

m

· P −1

.

( b ) S i d o s m a t r i c e s i n v e r t i b l e s A y B s o n s e m e j a n t e s , ¾ e s A−1s e m e -

j a n t e c o n B−1

? ¾ E s

tAs e m e j a n t e c o n

tB?

( c ) C o n l a n o t a c i ó n a n t e r i o r , y s i e n d o

B =

2 00 3

, P =

1 −2

−2 3

,

c a l c ú l e n s e l a s p o t e n c i a s A3

, A10

y Am

, m ∈ N

.

1 5 . C o n s i d é r e n s e l a s m a t r i c e s

Aα = cos α sin α− sin α cos α , α ∈ R.

( a ) P r o b a r q u e Aα · Aβ = Aα+β ( A y u d a : Ú s e n s e l a s f ó r m u l a s d e l s e n o

y e l c o s e n o d e l a s u m a d e d o s a n g u l o s : cos(α + β ) = cos α · cos β −sin α · sin β y sin(α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β ) .

( b ) P r o b a r q u e A0 = I 2 .

( c ) P r o b a r q u e (Aα)−1 = A−α .

( d ) C o n c l u i r q u e e l c o n j u n t o G = {Aα|α ∈ R}

e s u n g r u p o c o n m u t a -

t i v o c o n e l p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s .

( e ) G s e l l a m a u s u a l m e n t e e l g r u p o d e r o t a c i o n e s d e l p l a n o , y a q u e

d a d o u n v e c t o r v ∈ R2( c u y a s c o o r d e n a d a s e s c r i b i m o s e n u n a

m a t r i z c o l u m n a ) , e l p r o d u c t o Aα · v e s e l v e c t o r q u e r e s u l t a d e

r o t a r v α g r a d o s c o n r e s p e c t o a l o r i g e n e n e l s e n t i d o d e l a s a g u j a s

d e l r e l o j . C o n s i d é r e s e e l t r i á n g u l o T f o r m a d o p o r e l o r i g e n y l o s

v e c t o r e s v = (1, 0) y w = (1, 1) ; c a l c u l a r y d i b u j a r l o s v é r t i c e s d e

l o s t r i á n g u l o s q u e r e s u l t a n d e r o t a r T 30, 45, 60 y 90 g r a d o s .

E J E R C I C I O S C O M P L E M E N T A R I O S .

1 6 . C a l c u l a r d o s m a t r i c e s c u a d r a d a s X e Y q u e v e r i q u e n :

4X + 3Y =

3 −24 0

, 3X + 2Y =

1 5

−3 2

.



Á l g e b r a 6 9

1 7 . P r o b a r p o r i n d u c c i ó n q u e s i d o s m a t r i c e s A y B c o n m u t a n ( e s d e c i r

A · B = B · A) e n t o n c e s s e v e r i c a l a f ó r m u l a d e N e w t o n :

(A + B)m =m

i=0

mi

Ai · Bm−i.

P o n e r u n e j e m p l o d e d o s m a t r i c e s 2 × 2 q u e n o c o n m u t e n y c o m p r o b a r

q u e l a f ó r m u l a a n t e r i o r y a n o s e v e r i c a p a r a m = 2 .

1 8 . L l a m a m o s m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n

a u n a m a t r i z c u a d r a d a v e r i c a n d o

q u e t o d o s s u s c o e c i e n t e s s o n c e r o e x c e p t o u n e l e m e n t o e n c a d a l a y

e n c a d a c o l u m n a . E n e s t e e j e r c i c i o c o n s i d e r a r e m o s m a t r i c e s c u a d r a d a s

3 × 3. U n a m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n

3 × 3v i e n e d e t e r m i n a d a p o r u n a

p e r m u t a c i ó n σ d e l c o n j u n t o d e i n d i c e s {1, 2, 3}

d e t a l m a n e r a q u e l a

m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e Aσ v i e n e d a d a p o r (Aσ(i, j) = 0 ⇐⇒ j =σ(i)) ∧ (Aσ(i, j) = 1 ⇐⇒ j = σ(i)).

( a ) D a d a u n a m a t r i z 3 × 3 B , v e r i c a r q u e e l p r o d u c t o Aσ · B e s

u n a m a t r i z q u e t i e n e l a s m i s m a s l a s q u e B p e r o e n e l o r d e n

σ(1), σ(2), σ(3).

( b ) E s c r i b i r t o d a s l a s p e r m u t a c i o n e s d e l c o n j u n t o {1, 2, 3}

y l a s c o r r e s -

p o n d i e n t e s m a t r i c e s d e p e r m u t a c i ó n .

( c ) P r o b a r q u e e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s d e p e r m u t a c i ó n e s u n a m a t r i z

d e p e r m u t a c i ó n .

( d ) P r o b a r q u e e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s d e p e r m u t a c i ó n c o n e l p r o d u c -

t o u s u a l d e m a t r i c e s e s u n g r u p o n o c o n m u t a t i v o .

1 9 . S e a K

e l c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s x t a l e s q u e e x i s t e n d o s n ú m e r o s

r a c i o n a l e s a y b c o n x = a+√

2·b . L l a m a r e m o s a a y b , r e s p e c t i v a m e n t e ,

l a p a r t e r a c i o n a l y l a p a r t e i r r a c i o n a l d e x.

( a ) P r o b a r q u e l a s u m a y e l p r o d u c t o d e d o s n ú m e r o s r e a l e s e n K

p e r t e n e c e a K

. E s c r í b a s e l a e x p r e s i ó n d e t a l e s o p e r a c i o n e s e n

f u n c i ó n d e l a s p a r t e s r a c i o n a l e i r r a c i o n a l .

( b ) P r o b a r q u e 0 y 1 p e r t e n e c e n a K

.

( c ) P r o b a r q u e e l e l e m e n t o o p u e s t o d e u n e l e m e n t o e n K

p e r t e n e c e a

K.



7 0 Á l g e b r a

( d ) P r o b a r q u e e l e l e m e n t o i n v e r s o d e u n e l e m e n t o n o n u l o e n K

p e r -

t e n e c e a K

.

( e ) C o n c l u i r q u e K

e s u n c u e r p o c o n m u t a t i v o .

( f ) ¾ S e t e o c u r r e n o t r o s e j e m p l o s d e c u e r p o s c o n s t r u í d o s d e f o r m a

s i m i l a r ?



C a p í t u l o 2

E s p a c i o s v e c t o r i a l e s

E n e s t e c a p í t u l o v a m o s a e s t u d i a r e l c o n c e p t o d e e s p a c i o v e c t o r i a l . E s t a e s l a

e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a s o b r e l a q u e s e d e s a r r o l l a l a p a r t e d e l a s m a t e m á t i c a s

c o n o c i d a c o m o A l g e b r a L i n e a l .

V e a m o s u n p r i m e r e j e m p l o e n e l q u e a p a r e c e l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o

v e c t o r i a l .

A l e s t u d i a r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n p a r a l a r e s o l u c i ó n d e u n s i s t e -

m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s , e s t a b l e c i m o s c i e r t a s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s d e

l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s a l a s q u e l l a m a m o s

t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s . P a r a d e n i r l a s t u v i m o s q u e c o n s i d e r a r l a s s i -

g u i e n t e s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s d e d i c h a m a t r i z :

1 . S u m a r d o s l a s F i = F i + F j

2 . M u l t i p l i c a r u n a l a p o r u n n ú m e r o : F i = λF i,

d e m a n e r a q u e s i (ai1 · · · ain bi) y (ak1 · · · akn bk) s o n d o s l a s d e d i c h a

m a t r i z , s u s u m a e r a

(ai1 · · · ain bi) + (ak1 · · · akn bk) = (ai1 + ak1 · · · ain + akn bi + bk)

y e l p r o d u c t o d e u n a l a (ai1 · · · ain bi) p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o λ e r a

λ(ai1 · · · ain bi) = (λai1 · · · λain λbi).

E n g e n e r a l , s i (a1

· · ·an) y (b1

· · ·bn) s o n m a t r i c e s l a y λ e s u n n ú m e r o

c o m p l e j o ,

(a1 · · · an) + (b1 · · · bn) = (a1 + b1 · · · an + bn)

y

λ(a1 · · · an) = (λa1 · · · λan).

7 1



7 2 Á l g e b r a

S i e n d o a, b

y c

m a t r i c e s l a , y λ, µ ∈ C, n o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e s e s a t i s f a c e n

l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

1 . a + b = b + a.

2 . (a + b) + c = a + (b + c).

3 . a + (0) = (0) + a = (0).

4 . a + (−a) = (0) y (−a) + a = (0), s i e n d o a d e m á s

−a = (−1)a.5 . (λµ)a =λ(µa).6 . λ(a + b) =λa+λb.7 . (λ + µ)a =λa + µa.8 . 1 · a = a.E s t a s p r o p i e d a d e s , c o m o a h o r a v e r e m o s , s e r v i r á n p a r a e s t a b l e c e r l o s a x i o -

m a s d e l a d e n i c i ó n d e e s p a c i o v e c t o r i a l .

L a n o c i ó n d e e s p a c i o v e c t o r i a l t a m b i é n e s t á e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d a

c o n l a s i g u i e n t e i d e a : s i a l g u i e n q u i e r e c o m p r a r 3 K g . d e p e r a s y 2 K g . d e

m a n z a n a s , n o l e p i d e a l t e n d e r o 5 K g . d e p e r a s y m a n z a n a s , y a q u e e n e s e

c a s o p o d r í a n d a r l e , p o r e j e m p l o , 1 K g . d e p e r a s y 4 K g . d e m a n z a n a s . P o r

o t r a p a r t e , s i e s a c o m p r a r e p r e s e n t a e l p o s t r e d e l a s e m a n a d e u n a f a m i l i a ,

y l a p e r s o n a q u e v a a r e a l i z a r l a r e c i b e e l e n c a r g o d e s u c u ñ a d a d e c o m p r a r 4

K g . d e p e r a s y 2 K g . d e m a n z a n a s , y d e s u v e c i n a d e c o m p r a r l a m i t a d d e

l o q u e é l m i s m o v a y a a c o m p r a r , n u e s t r o a m i g o d e b e r á c o m p r a r 3 Kg. de peras

2 Kg. de manzanas

+

4 Kg. de peras

2 Kg. de manzanas

+ 1

2

3 Kg. de peras

2 Kg. de manzanas

=

8.5 Kg. de peras

5 Kg. de manzanas

.

E s t a s l i s t a s ( o m a t r i c e s c o l u m n a ) d e n ú m e r o s q u e s a b e m o s s u m a r y m u l t i -

p l i c a r p o r n ú m e r o s c o n s t i t u y e n u n p r i m e r e j e m p l o d e l o q u e d e n o m i n a r e m o s

v e c t o r e s .

E l c o n c e p t o d e v e c t o r t a m b i é n s e e m p l e a e n F í s i c a p a r a r e p r e s e n t a r m a g -

n i t u d e s q u e n o q u e d a n c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a s p o r u n n ú m e r o , y e s

t r a d i c i o n a l a s o c i a r u n a e c h a a d i c h a s m a g n i t u d e s y r e p r e s e n t a r l a s p o r u n

s e g m e n t o o r i e n t a d o . S i n e m b a r g o , e l a s o c i a r e l c o n c e p t o d e v e c t o r a u n

o b j e t o g e o m é t r i c o t i e n e u n a l i m i t a c i ó n i m p o r t a n t e , p u e s s i t r a b a j a m o s c o n

l i s t a s d e m á s d e t r e s n ú m e r o s , n o c o n t a m o s c o n s u c i e n t e s d i m e n s i o n e s e n e l

e s p a c i o f í s i c o p a r a s i t u a r t a l e c h a .

L a d e s c r i p c i ó n a x i o m á t i c a d e v e c t o r s o b r e l a q u e v a m o s a t r a b a j a r , e s

a b s t r a c t a p o r l o q u e n o r e q u i e r e e l u s o d e o b j e t o s g e o m é t r i c o s . A d e m á s ,



Á l g e b r a 7 3

d i c h a a b s t r a c c i ó n c o n l l e v a o t r a v e n t a j a a d i c i o n a l : n o r e q u i e r e l a i n t r o d u c c i ó n

d e n o c i o n e s c o m o s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o s i s t e m a d e d i r e c c i o n e s .

E s t a v i s i ó n a x i o m á t i c a p e r m i t e e n g l o b a r c o m o e j e m p l o s d e v e c t o r e s a

o b j e t o s m a t e m á t i c o s a p a r e n t e m e n t e t a n d i s t i n t o s c o m o l o s p o l i n o m i o s , l a s

m a t r i c e s , l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l , l a s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s

r e a l e s y u n l a r g o e t c é t e r a .

2 . 1 V e c t o r e s e n e l p l a n o y e n e l e s p a c i o

S i q u e r e m o s r e p r e s e n t a r o b j e t o s d e l a F í s i c a e l e m e n t a l c o m o f u e r z a , d e s p l a -

z a m i e n t o y v e l o c i d a d , t e n e m o s q u e u t i l i z a r v e c t o r e s g e o m é t r i c o s e n e l p l a n o

R2

o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l

R3

. E n e f e c t o l o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s

n o s p e r m i t e n e s p e c i c a r m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o p a r a e s t a s c a n t i d a d e s

f í s i c a s . A q u í s ó l o r e c o r d a r e m o s l a s d e n i c i o n e s b á s i c a s .

D a d o s t r e s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s A B , C D y E F , e n e l e s p a c i o b i d i m e n s i o -

n a l o t r i d i m e n s i o n a l c o m o e n l a g u r a 2 . 1 a ) , p a r a c a d a u n o d e e l l o s e s t á n

d e t e r m i n a d o s u n p u n t o d e a p l i c a c i ó n ( r e s p e c t i v a m e n t e A , C y E ) , u n e x -

t r e m o o a j o ( r e s p e c t i v a m e n t e B , D y F ) , u n a m a g n i t u d r e p r e s e n t a d a p o r

l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o , y u n a d i r e c c i ó n , q u e e s l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a

q u e l o c o n t i e n e . S i a h o r a j a m o s u n p u n t o O e n n u e s t r o e s p a c i o y d i b u j a -

m o s n u e s t r a s t r e s e c h a s a p a r t i r d e l p u n t o O ( e s d e c i r , s i A = C = E = O ) ,

o b t e n e m o s l a g u r a 2 . 1 b ) , d o n d e C D y E F c o i n c i d e n y s e p u e d e n c o n s i d e r a r

e q u i v a l e n t e s . E s t a s e n c i l l a c o n s i d e r a c i ó n e s t á e n l a b a s e d e l a d e n i c i ó n d e

v e c t o r g e o m é t r i c o .

S o b r e e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s d e l p l a n o ( o d e l

e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l ) d e n i m o s l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a :

A B ∼

C D ⇔

A B y C D t i e n e n i g u a l m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o .

E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 V e r i c a r q u e ∼

e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a .

D e n i c i ó n 2 . 1 . 1 S i d o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s p e r t e n e c e n a l a m i s m a c l a -

s e d e e q u i v a l e n c i a d e l a s o b t e n i d a s a l c o n s i d e r a r l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a

a n t e r i o r , s e d i c e q u e s o n e q u i v a l e n t e s .

A h o r a e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s s e p u e d e p e n s a r

c o m o l a u n i ó n d i s j u n t a d e e s t a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a :



7 4 Á l g e b r a

A

B

C

D

E

F

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ B

d d

d d

d d

d d

a )

O

B

D = F

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ B

d d

d d

b )

F i g u r a 2 . 1 : V e c t o r e s g e o m é t r i c o s

D e n i c i ó n 2 . 1 . 2 U n v e c t o r g e o m é t r i c o v e n R2

o e n R3

e s u n a c l a s e d e

e q u i v a l e n c i a d e s e g m e n t o s o r i e n t a d o s r e s p e c t o d e l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a

a n t e r i o r .

C o m o c a d a c l a s e e s t á f o r m a d a p o r t o d o s l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s ( e n R2

o e n R3

) q u e t i e n e n i g u a l m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o ( e s d e c i r , p o r t o d o s

l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s q u e c o i n c i d e n u n a v e z q u e s e a n a p l i c a d o s e n u n

p u n t o p r e j a d o O ) , e s t o s v a l o r e s c o m u n e s d e m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o

s e l l a m a n m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o d e l v e c t o r v .

S e s i g u e d e e s t a d e n i c i ó n q u e d o s v e c t o r e s v1 y

v2 s o n i g u a l e s s i y s o l o s i

t i e n e n i g u a l m a g n i t u d , d i r e c c i ó n y s e n t i d o .

P o d e m o s , p o r t a n t o , r e p r e s e n t a r u n v e c t o r g e o m é t r i c o p o r c u a l q u i e r a d e



Á l g e b r a 7 5

v

w

v + w

¡ ¡

¡ ¡

¡ ¡

¡ ¡ !

& &

& &

& &

& &

& & &

& &

& & b

I

A

B

C

a )

v

w

v - w

¡ ¡

¡ ¡

¡ ¡

¡ ¡ !

I r r r r r r r r b )

F i g u r a 2 . 2 : O p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s g e o m é t r i c o s

l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s d e l c o n j u n t o q u e l o d e n e . E n l a g u r a 2 . 1 a ) , C D

y E F r e p r e s e n t a n e l m i s m o v e c t o r g e o m é t r i c o v p o r q u e d i e r e n s o l o e n s u s

p u n t o s d e a p l i c a c i ó n .

N o t a : A b u s a n d o d e l a n o t a c i ó n , s e e s c r i b i r á AB = v p a r a d e n o t a r q u e

e l s e g m e n t o o r i e n t a d o AB

e s u n r e p r e s e n t a n t e d e l v e c t o r v

.

D e n i c i ó n 2 . 1 . 3 S e a n v y w d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s , l a s u m a v + w e s

e l v e c t o r d e n i d o p o r l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o e n l a g u r a 2 . 2 a ) . S i AB y

BC r e p r e s e n t a n l o s v e c t o r e s

vy

w, r e s p e c t i v a m e n t e , e l s e g m e n t o o r i e n t a d o

AC r e p r e s e n t a e l v e c t o r v + w .

O b s e r v a c i ó n 1 9 E s t a d e n i c i ó n d e s u m a d e v e c t o r e s n o d e p e n d e d e l o s s e g -

m e n t o s o r i e n t a d o s e l e g i d o s p a r a r e p r e s e n t a r l o s v e c t o r e s v y w .

7 6 Á l g e b r a

E j e r c i c i o 2 . 1 . 2 V e r i c a r , r e a l i z a n d o e l c o r r e s p o n d i e n t e d i b u j o , q u e p a r a t o -

d o p a r d e v e c t o r e s g e o m é t r i c o s

vy

w,

v + w = w + v.

E l v e c t o r d e m a g n i t u d c e r o e s e l v e c t o r c e r o y s e d e n o t a p o r 0; p a r a

t o d o v e c t o r v

, v + 0 = 0 + v

.

E l o p u e s t o d e u n v e c t o r v

e s e l v e c t o r d e i g u a l d i r e c c i ó n , m a g n i t u d q u e

v , p e r o d e s e n t i d o o p u e s t o .

L a s u s t r a c c i ó n d e d o s v e c t o r e s e s t á d e n i d a p o r v − w = v + (−w) y s e

p u e d e r e p r e s e n t a r g e o m é t r i c a m e n t e c o m o e n g u r a 2 . 2 b ) .

E l p r o d u c t o d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r k ∈ R

e s e l v e c t o r w = kv

q u e t i e n e m i s m a d i r e c c i ó n q u e v , m a g n i t u d i g u a l a k v e c e s l a m a g n i t u d d e vy m i s m o s e n t i d o q u e v s i k > 0 o o p u e s t o s i k < 0. S i k = 0, kv = 0 .

S i a h o r a i n t r o d u c i m o s u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s e n e l

p l a n o ( o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l ) , e s d e c i r s i s e l e c c i o n a m o s u n p u n t o

O , d o s r e c t a s o r i e n t a d a s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s ( o t r e s s i s e t r a t a d e l

e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l ) y u n a m a g n i t u d u n i t a r i a , c a d a p u n t o P a d m i t i r á u n a

r e p r e s e n t a c i ó n a n a l í t i c a e n t é r m i n o s d e c o o r d e n a d a s o c o m p o n e n t e s ( x , y )

e n e l c a s o d e l p l a n o o ( x , y , z ) e n e l c a s o d e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . C o m o

e l s e g m e n t o o r i e n t a d o O P r e p r e s e n t a r á u n v e c t o r v , d i r e m o s t a m b i é n q u e

e l v e c t o r v t i e n e c o m p o n e n t e s ( x , y ) ( o ( x , y , z ) ) . P o r t a n t o , d o s s e g m e n t o s

o r i e n t a d o s OP y OQ s o n e q u i v a l e n t e s ( e s d e c i r , r e p r e s e n t a n e l m i s m o v e c t o r

g e o m é t r i c o

v) s i y s ó l o s i l o s p u n t o s

P y

Qt i e n e n i g u a l e s c o o r d e n a d a s .

L a s o p e r a c i o n e s d e n i d a s s o b r e v e c t o r e s g e o m é t r i c o s s e p u e d e n a h o r a r e -

e s c r i b i r e n t é r m i n o s d e c o o r d e n a d a s : s e a n v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3)d o s v e c t o r e s e n

R3y

k ∈ R, e n t o n c e s

v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

kv = (kv1, kv2, kv3)

v − w = (v1 − w1, v2 − w2, v3 − w3)

E n l e c a s o d e v e c t o r e s

vy

we n R2

e s t a s o p e r a c i o n e s e s t á n d e n i d a s d e f o r m a

a n á l o g a .

E j e r c i c i o 2 . 1 . 3 E n R3

, s e a n k = 2, v1 = (−1, 2, 0), v2 = (4, −3, 2)

y v3 =

(−1, −1, −1) . H a l l a r v1 − k(v1 + v2) + v3 .



Á l g e b r a 7 7

N o t a : T o d o s l o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s q u e c o n s i d e r a r e m o s a l o l a r g o

d e l c a p í t u l o s e r á n o r t o g o n a l e s .

S i P = (x1, x2, x3)

y Q = (y1, y2, y3)

s o n d o s p u n t o s e n R3

, e l s e g m e n t o

o r i e n t a d o P Q r e p r e s e n t a u n v e c t o r v e n R3

d e c o o r d e n a d a s :

P Q = v = (y1 − x1, y2 − x2, y3 − x3) = Q − P.

D e f o r m a s i m i l a r , d o s p u n t o s P = (x1, x2) y Q = (y1, y2) e n R2

d e t e r m i n a n

u n v e c t o r v = (y1 − x1, y2 − x2)

, q u e s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r e l s e g m e n t o

o r i e n t a d o P Q.

E j e r c i c i o 2 . 1 . 4 S e a n P = (3, −2, 4) y Q = (−1, 4, −5), d e t e r m i n a r l a s c o o r -

d e n a d a s d e l v e c t o r

v = P Q.

A v e c e s l a e l e c c i ó n d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s a d e c u a d o p u e d e s i m -

p l i c a r l a s o l u c i ó n d e u n p r o b l e m a . L a s e c u a c i o n e s d e t r a s l a c i ó n d e l o s

e j e s n o s p e r m i t e n d e p a s a r d e u n s i s t e m a S a o t r o s i s t e m a S , c u y o s e j e s s o n

p a r a l e l o s a l o s e j e s d e S.E n

R2, s e a O, x, y e l o r i g e n y l o s e j e s d e l n u e v o s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s

S . U n p u n t o P e n e l p l a n o t i e n e c o o r d e n a d a s (x, y) r e s p e c t o d e l s i s t e m a

S y c o o r d e n a d a s (x, y) r e s p e c t o d e l s i s t e m a S . S i l a s c o o r d e n a d a s d e O

r e s p e c t o d e S s o n O = (a, b) , s e v e r i c a q u e

(x, y) = OP = OO + OP = (a, b) + (x, y),

y , p o r t a n t o ,

x = x − a, y = y − b.

E n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , s i O = (a,b,c) r e s p e c t o d e S , l a s e c u a c i o n e s d e

t r a s l a c i ó n s o n

x = x − a, y = y − b, z = z − c.

E j e r c i c i o 2 . 1 . 5 E n R3

, s e a n S y S d o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s , d o n d e

O = (−1, 2, 3)r e s p e c t o d e

S . E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s e n e l s i s t e m a

S d e l p u n t o P d e c o o r d e n a d a s (−1, 0, 1) e n S y l a s c o o r d e n a d a s e n e l s i s t e m a

S d e l p u n t o

Qd e c o o r d e n a d a s

(3, −1, 4)e n

S .

L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s o n d e f á c i l d e m o s t r a c i ó n :



7 8 Á l g e b r a

T e o r e m a 2 . 1 . 4 S i x e y s o n v e c t o r e s e n R2

o e n R3

, y λ, µ s o n d o s e s c a l a r e s ,

e n t o n c e s

1 . x + y = y + x

2 . (x + y) + z = x + (y + z )

3 . x + (0) = (0) + x = x4 . x + (−x) = (0) y (−x) + x = (0)5 . (λµ)x =λ(µx)6 . λ(x + y) = λx+λy7 . (λ + µ)x = λx + µx8 . 1 · x = x

U t i l i z a n d o e l T e o r e m a d e P i t á g o r a s , l a m a g n i t u d o n o r m a d e u n v e c t o r

e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l s e p u e d e d e t e r m i n a r c o m o s i g u e :

p a r a v = (x, y), v ≡ x2 + y2

p a r a v = (x,y,z ), v ≡

x2 + y2 + z 2 .

U n v e c t o r d e n o r m a 1 s e l l a m a u n i t a r i o .

L a d i s t a n c i a e u c l í d e a e n t r e d o s v e c t o r e s v = (x1, x2) y w = (y1, y2) e n

R2e s e l n ú m e r o r e a l

d(v, w) ≡ v − w =

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2.

L a d i s t a n c i a e u c l í d e a e n t r e d o s v e c t o r e s v = (x1, x2, x3) y w = (y1, y2, y3) e n

R3e s e l n ú m e r o r e a l

d(v, w) ≡ v − w =

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2.

S i k e s u n e s c a l a r , kv = |k| v .

E j e r c i c i o 2 . 1 . 6 S e a n v = (0, 2, 3)

, w = (2, 0, −4)

. H a l l a r v

, w

y

d(v, w) .

S e a n v y w d o s v e c t o r e s d e R2

o d e R3

r e p r e s e n t a d o s p o r d o s s e g m e n t o s

o r i e n t a d o s AB y AC ( e s t o s d o s s e g m e n t o s t i e n e n e l m i s m o p u n t o d e a p l i c a -

c i ó n ) . S i

v = 0y

w = 0,e n e l p l a n o q u e l o s c o n t i e n e ,

ABy

AC d e t e r m i n a n

d o s á n g u l o s θ1 y θ2 = 2π − θ1.

O b s e r v a c i ó n 2 0 L o s d o s á n g u l o s d e t e r m i n a d o s p o r v

y w

n o d e p e n d e n d e

l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s e l e g i d o s p a r a r e p r e s e n t a r l o s v e c t o r e s v y w .

Á l g e b r a 7 9

S i v = 0 y w = 0, e l á n g u l o e n t r e v y w e s e l á n g u l o θ d e t e r m i n a d o

p o r

ABy

AC , q u e s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n :

0 ≤ θ ≤ π.

D e n i c i ó n 2 . 1 . 5 S i v = 0 y w = 0 s o n d o s v e c t o r e s d e l p l a n o o d e l e s p a c i o

t r i d i m e n s i o n a l y θ e s e l á n g u l o e n t r e v y w , e l p r o d u c t o e s c a l a r e u c l í d e o

( o p r o d u c t o i n t e r i o r e u c l í d e o ) d e v y w e s e l n ú m e r o r e a l :

v · w = v w cos(θ). ( 2 . 1 )

S i v = 0 o s i w = 0, v · w = 0.

E j e r c i c i o 2 . 1 . 7 E n R3, s e a n v = (2, 0, 0) y w = (3, 3, 0). H a l l a r v · w.

P r o p o s i c i ó n 2 . 1 . 6 S e a n v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) d o s v e c t o r e s d e

R

3, e n t o n c e s

v · w = v1w1 + v2w2 + v3w3

S e a n v = (v1, v2) y w = (w1, w2) d o s v e c t o r e s d e R2

, e n t o n c e s

v · w = v1w1 + v2w2

L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e s i g u e d e l a l e y d e l o s c o s e n o s :

w − v2 = v2 + w2 − 2vw cos(θ) = v2 + w2 − 2v · w.

S i v y w s o n d o s v e c t o r e s n o c e r o , d e l a e c u a c i ó n 2 . 1 s e d e r i v a f á c i l m e n t e

l a s i g u i e n t e f ó r m u l a :

cos(θ) = v · w v w ( 2 . 2 )

E j e r c i c i o 2 . 1 . 8 E n c o n t r a r e l á n g u l o e n t r e u n a d i a g o n a l d e u n c u b o y u n o

d e s u s l a d o s . ( arccos( 1√

3) ≈ 54◦44

)

T e o r e m a 2 . 1 . 7 S e a n v

y w

d o s v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i -

m e n s i o n a l . E n t o n c e s

a ) v =

(v · v)

b ) S i v = 0 y w = 0, e l á n g u l o θ e n t r e v y w

e s a g u d o ⇔ v · w > 0

e s o b t u s o ⇔ v · w < 0

θ =π

2⇔ v · w = 0



8 0 Á l g e b r a

L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t e t e o r e m a e s u n a a p l i c a c i ó n d e l a f ó r m u l a 2 . 2 .

E j e r c i c i o 2 . 1 . 9 D a d o s v = (√ 3, 0, −2) y w = (4, π, 37), v e r i c a r q u e e l

á n g u l o e n t r e v y w e s o b t u s o .

H e m o s v i s t o q u e s i v = 0 y w = 0 s o n p e r p e n d i c u l a r e s ( e s d e c i r , s i θ = π2 ),

e l p r o d u c t o i n t e r i o r d e v

y w

e s c e r o . S i s e a d m i t e q u e v

y w

p u e d a n s e r c e r o ,

l a d e n i c i ó n d e v e c t o r e s p e r p e n d i c u l a r e s e s l a s i g u i e n t e :

D e n i c i ó n 2 . 1 . 8 D o s v e c t o r e s v y w s o n o r t o g o n a l e s s i v · w = 0.

L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s o n d e f á c i l d e m o s t r a c i ó n :

T e o r e m a 2 . 1 . 9 S e a n

u,

vy

wt r e s v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o

t r i d i m e n s i o n a l y s e a k u n n ú m e r o r e a l :

1 . u · v = v · u2 . u · (v + w) = u · v + u · w3 .

k(u · v) = (ku) · v = u · (kv)4 . v · v ≥ 0 y v · v = 0 ⇔ v = 0

D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o .

S e a a h o r a v = 0u n v e c t o r b i d i m e n s i o n a l o t r i d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a d o

p o r e l s e g m e n t o o r i e n t a d o OA y s e a w = 0 o t r o v e c t o r d e l m i s m o e s p a c i o .

U t i l i z a n d o e l p r o d u c t o i n t e r i o r e s p o s i b l e d e n i r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l

v e c t o r w s o b r e v c o m o s i g u e . R e p r e s e n t a m o s e l v e c t o r w p o r u n s e g m e n t o

o r i e n t a d o OP

c o m o e n l a g u r a 2 . 3 . E l s e g m e n t o o r i e n t a d o OP 1 r e p r e s e n t a

u n v e c t o r w1 y l o s s e g m e n t o s P 1P y OP 2 e l v e c t o r w2 = w − w1.E n t o n c e s , w = w1 + w2 , d o n d e e l v e c t o r w1 = pv(w) e s l a p r o y e c c i ó n

o r t o g o n a l d e w s o b r e v o c o m p o n e n t e v e c t o r i a l d e w a l o l a r g o d e v

y e l v e c t o r w2 = w − pv(w) e s l a c o m p o n e n t e v e c t o r i a l d e w o r t o g o n a l

a v .

T e o r e m a 2 . 1 . 1 0 S i v = 0 y w s o n d o s v e c t o r e s d e R2

o d e R3

,

pv(w) = w1 = w · v v 2 v

w2 = w − w1 = w −

w · v

v 2

v



Á l g e b r a 8 1

θ

O A

P

P 1

P 2

w

vw1

w2 w − w1

0

E E

T T

F i g u r a 2 . 3 : P r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e w s o b r e v

D e m o s t r a c i ó n E x i s t e u n e s c a l a r k t a l q u e pv(w) = kv ( y a q u e pv(w) e s

p a r a l e l o a v ) . E n t o n c e s w = w1 + w2 = kv + w2 y w · v = w1 · v + w2 · v =kv · v + w2 · v = k v 2 . 2

S e s i g u e f á c i l m e n t e d e l ú l t i m o t e o r e m a y d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a n o r m a

q u e l a m a g n i t u d d e l v e c t o r pv(w)

e s :

pv(w) =|w · v| v = w | cos(θ)|

E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e l a n o r m a d e pv(w) d e p e n d e d e l a d i r e c c i ó n

d e v y n o d e p e n d e d e s u m a g n i t u d .

E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 0 S e a n v = (1, −4, 8) y w = (−2, 0, −1) . D e t e r m i n a r e l

v e c t o r pv(w) y s u m a g n i t u d .

2 . 1 . 1 P r o d u c t o v e c t o r i a l y p r o d u c t o m i x t o

D e n i c i ó n 2 . 1 . 1 1 S e a n u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)

y w = (w1, w2, w3)

t r e s v e c t o r e s e n R3, d o n d e h e m o s j a d o e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s



8 2 Á l g e b r a

u s u a l (O = (0, 0, 0), (e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1))).

• E l p r o d u c t o v e c t o r i a l e s u n a o p e r a c i ó n e n R3, q u e a c a d a p a r d e

v e c t o r e s (u, v) a s o c i a e l v e c t o r

u × v = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3 =

= det

u2 u3

v2 v3

e1 − det

u1 u3

v1 v3

e2 + det

u1 u2

v1 v2

e3.

•E l p r o d u c t o m i x t o e s u n a f u n c i ó n d e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o

R3×R3×R3

e n R, q u e a c a d a t e r n a d e v e c t o r e s (u,v,w) a s o c i a e l

n ú m e r o r e a l

q u e s e o b t i e n e c a l c u l a n d o e l p r o d u c t o e s c a l a r d e l v e c t o r u c o n e l v e c t o r

v × w :

u · (v × w) = u1(v2w3 − v3w2) − u2(v1w3 − v3w1) + u3(v1w2 − v2w1) =

= det

u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

.

E j e m p l o 2 . 1 . 1 2 1 ) E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e u = (1, 0, 1) y v = (−1, 2, 0) e s

u×

v = det0 1

2 0 e1−

det 1 1

−1 0 e2 + det 1 0

−1 2 e3 =

= −2e1 − e2 + 2e3 = (−2, −1, 2).

2 ) E l p r o d u c t o m i x t o d e a = (1, 1, 0), u = (1, 0, 1) y v = (−1, 2, 0) e s

a · (u × v) = det

1 1 01 0 1

−1 2 0

= −2 − 1 = −3.

I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a y p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l y

d e l p r o d u c t o m i x t o

•E l v e c t o r u×v e s o r t o g o n a l a u y a v y , p o r t a n t o , e s o r t o g o n a l a l p l a n o

q u e c o n t i e n e a u y v.

• u × v = −v × u y u × v = 0 s i y s ó l o s i u y v s o n p a r a l e l o s .



Á l g e b r a 8 3

• u × v = uvsin(θ), d o n d e θ e s e l á n g u l o q u e f o r m a n u y v. E s -

t a n o r m a c o i n c i d e c o n e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o d e t e r m i n a d o p o r l o s

v e c t o r e s u y v. ( P a r a c o m p r o b a r l o s e p u e d e u t i l i z a r l a i d e n t i d a d d e

L a g r a n g e :

u × v2 = u2v2 − (u · v)2.)

• u × (v + w) = u × v + u × w y (v + w) × u = v × u + w × u.

•E l p r o d u c t o m i x t o u · (v × w) r e p r e s e n t a , e n v a l o r a b s o l u t o , e l v o l u m e n

d e l p a r a l e l e p í p e d o i n d i v i d u a d o p o r l o s t r e s v e c t o r e s u, v y w.

• u · (v × w) = 0 s i y s ó l o s i l o s t r e s v e c t o r e s u, v y w p e r t e n e n e c e n a l

m i s m o p l a n o .

2 . 1 . 2 R e c t a s e n l e p l a n o

S e a n P 0 = (x0, y0) y P 1 = (x1, y1) d o s p u n t o s e n e l p l a n o R2. E l v e c t o r

P 0P 1 = (x1 − x0, y1 − y0)i n d i v i d u a l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a

l q u e p a s a p o r

P 0

y P 1 y , p o r t a n t o , t i e n e p e n d i e n t e i g u a l a m =y1 − y0x1 − x0

= tg(α), s i e n d o α e l

á n g u l o q u e l a r e c t a l f o r m a c o n e l e j e d e l a s x. S e a n = (a, b), u n v e c t o r c u y a

d i r e c c i ó n e s p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e l a r e c t a l .U t i l i z a n d o l o s e l e m e n t o s q u e a c a b a m o s d e d e n i r , e s p o s i b l e r e p r e s e n t a r

u n a r e c t a l e n e l p l a n o p o r m e d i o d e d i s t i n t a e c u a c i o n e s :

• E c u a c i ó n v e c t o r i a l

S e a n P 0 = (x0, y0)

u n p u n t o j a d o y P = (x, y)

u n p u n t o g e n é r i c o d e

u n a r e c t a l . S i e n d o n = (a, b) u n v e c t o r o r t o g o n a l a l , s e o b t i e n e q u e

e l p r o d u c t o e s c a l a r n · P P 0 = 0

( e s t a e c u a c i ó n s e p u e d e l l a m a r f o r m a

p u n t o - n o r m a l ) .

U t i l i z a n d o l o s v e c t o r e s v = OP y v0 = OP 0, s e o b t i e n e l a f o r m a

v e c t o r i a l d e l a e c u a c i ó n d e

l :

n · (v − v0) = 0.

•E c u a c i ó n g e n e r a l i m p l í c i t a

S i d e s a r r o l l a m o s l a e c u a c i ó n p u n t o - n o r m a l a n t e r i o r c o m o

0 = n·P P 0 = n·(x−x0, y−y0) = a(x−x0)+b(y−y0) = ax+by−(ax0+by0),



8 4 Á l g e b r a

y l l a m a m o s −(ax0 + by0) = c, l o q u e s e o b t i e n e e l l a e c u a c i ó n g e n e r a l

i m p l í c i t a :

ax + by + c = 0.

•E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s

S e a n P 0 = (x0, y0) u n p u n t o d e l a r e c t a l , v = (v1, v2) u n v e c t o r

p a r a l e l o a l y P = (x, y) e l p u n t o g e n é r i c o d e l . E n t o n c e s e l v e c t o r P 0P e s p a r a l e l o a v, e s d e c i r , e x i s t e u n n ú m e r o r e a l k t a l q u e P 0P = kv.E s t a ú l t i m a e c u a c i ó n , e s c r i t a e n t é r m i n o s d e c o o r d e n a d a s , d e n e l a s

e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a l :

x = x0 + kv1

y = y0 + kv2.k ∈ R

•E c u a c i ó n p e n d i e n t e - o r d e n a d a e n e l o r i g e n

E s t a e c u a c i ó n t i e n e l a f o r m a

y = mx + q,

d o n d e m

e s a l p e n d i e n t e d e l a r e c t a l

y q

e s l a o r d e n a d a d e l p u n t o d e

c o r t e c o n e l e j e d e l a s y, (0, q ).

E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 1 S e a P 0 = (x0, y0) u n p u n t o d e l e s p a c i o b i d i m e n s i o n a l . D e -

m o s t r a r q u e l a f ó r m u l a p a r a c a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 y u n a

r e c t a r d e e c u a c i ó n ax + by + c = 0 e s

d(P 0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2

U t i l i z a r e l h e c h o d e q u e e n R2

e l v e c t o r n = (a, b) = (0, 0) e s o r t o g o n a l a l a

r e c t a d e e c u a c i ó n

ax + by + c = 0.

E j e m p l o 2 . 1 . 1 3 L a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 = (2, −1) y l a r e c t a r d e

e c u a c i ó n x − y + 3 = 0 e s i g u a l a d(P 0, r) = |2+1+3|√ 1+1

= 6√ 2

.



Á l g e b r a 8 5

2 . 1 . 3 P l a n o s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l

P a r a d e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a r : ax + by + c = 0 e n e l e s p a c i o

b i d i m e n s i o n a l e s s u c i e n t e c o n o c e r l a s c o m p o n e n t e s d e u n p u n t o P = (x, y)d e

ry s u c o e c i e n t e a n g u l a r . D e f o r m a a n á l o g a , e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l

s e p u e d e d e t e r m i n a r u n p l a n o π ( y s u e c u a c i ó n ) p o r u n o d e s u s p u n t o s P 0 =(x0, y0, z 0) y u n v e c t o r n = (a,b,c) o r t o g o n a l a π m i s m o : t o d o p u n t o P =(x,y,z ) d e l p l a n o π y d i s t i n t o d e P 0 e s t a l q u e e l s e g m e n t o o r i e n t a d o P 0P =(x − x0, y − y0, z − z 0) s e a p e r p e n d i c u l a r a l v e c t o r n. E s t a c a r a c t e r i z a c i ó n

d e l o s p u n t o s d e π s e p u e d e e x p r e s a r p o r l a f o r m a p u n t o - n o r m a l d e l a

e c u a c i ó n d e l p l a n o π :

n · P P 0 = a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z 0) = 0( 2 . 3 )

U t i l i z a n d o l o s v e c t o r e s OP = v = (x,y,z ) y OP 0 = v0 = (x0, y0, z 0), l a

e c u a c i ó n 2 . 3 s e p u e d e r e e s c r i b i r e n l a f o r m a v e c t o r i a l :

n · (v − v0) = 0. ( 2 . 4 )

E j e m p l o 2 . 1 . 1 4 S e g ú n l a f ó r m u l a 2 . 3 , l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π q u e p a s a

p o r e l p u n t o P 0 = (2, 0, −1)

y e s p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e l v e c t o r

n = (1, −1, 4) e s

(x−

2)−

y + 4(z + 1) = x−

y + 4z + 2 = 0.

L a m i s m a e c u a c i ó n s e o b t i e n e u t i l i z a n d o l a f ó r m u l a 2 . 4 :

n · (v − v0) = (1, −1, 4) · (x − 2, y , z + 1) = x − y + 4z + 2 = 0.

T e o r e m a 2 . 1 . 1 5 S i n = (a,b,c) = (0, 0, 0), l a f o r m a i m p l í c i t a d e l a e c u a -

c i ó n d e u n p l a n o π

o r t o g o n a l a l v e c t o r n

e s :

ax + by + cz + d = 0 ( 2 . 5 )

D e m o s t r a c i ó n S i b = 0, ax + by + cz + d = 0 ⇔ ax + b(y + d

b) + cz = 0. L a

ú l t i m a e c u a c i ó n e s l a f o r m a p u n t o - n o r m a l d e l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p o r e l

p u n t o P 0 = (0, −d

b, 0)

y o r t o g o n a l a l v e c t o r n = (a,b,c).

S i a = 0

o s i c = 0

,

s e o b t i e n e n e c u a c i o n e s s i m i l a r e s . 2



8 6 Á l g e b r a

E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 2 C o n s i d e r a r u n s i s t e m a d e t r e s e c u a c i o n e s l i n e a l e s e n R3

a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

I l u s t r a r c o n e j e m p l o s g e o m é t r i c o s l o s c a s o s e n l o s c u a l e s e l s i s t e m a d a d o s e a

i n c o m p a t i b l e , c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o y c o m p a t i b l e .

E l s i g u i e n t e e j e m p l o m u e s t r a c o m o s e p u e d e d e t e r m i n a r l a e c u a c i ó n d e

u n p l a n o a p a r t i r d e l a s c o m p o n e n t e s d e t r e s d e s u s p u n t o s :

E j e m p l o 2 . 1 . 1 6 S e a n P 1 = (1, 0, −1), P 2 = (2, 1, 0) y P 3 = (−2, 3, 1) t r e s

p u n t o s d e R3

. E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e l o s c o n t i e n e .

S o l u c i ó n : A p a r t i r d e l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o e n f o r m a g e n e r a l 2 . 5 y s u s t i -

t u y e n d o l o s v a l o r e s d e l a s v a r i a b l e s (x,y,z )

p o r l a s c o m p o n e n t e s d e l o s t r e s

p u n t o s d a d o s , s e o b t i e n e u n s i s t e m a e n l a s v a r i a b l e s (a,b,c,d) d e l a f o r m a

a − c + d = 02a + b + d = 0

−2a + 3b + c + d = 0

E l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e e s t e s i s t e m a e s {(−t, −5t, 6t, 7t) : t ∈ R}.

S u s t i t u y e n d o l o s v a l o r e s e n c o n t r a d o s p a r a l o s c o e c i e n t e s a,b,c y d e n l a

e c u a c i ó n 2 . 5 , s e o b t i e n e e l p l a n o

−tx − 5ty + 6tz + 7t = 0, e s d e c i r , x + 5y − 6z + 7 = 0.

T e o r e m a 2 . 1 . 1 7 S e a n P 0 = (x0, y0, z 0) y π : ax + by + cz + d = 0 u n p u n t o y

u n p l a n o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , r e s p e c t i v a m e n t e . L a s i g u i e n t e f ó r m u l a

n o s d a e l v a l o r d e l a d i s t a n c i a e n t r e P 0 y π :

d(P 0, π) =|ax0 + by0 + cz 0 + d|√

a2 + b2 + c2( 2 . 6 )



Á l g e b r a 8 7


( S u g e r e n c i a : S e a n

n = (a,b,c)e l v e c t o r n o r m a l y

Q = (x,y,z )u n p u n t o

d e l p l a n o π.

E n t o n c e s pn(P 0Q) =

P 0Q · nn .) 2

E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 3 a ) E n c o n t r a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 = (1, −2, 3) y

e l p l a n o π : x − 2y + z = 1.b ) E n c o n t r a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p l a n o s p a r a l e l o s π : x − 2y + z = 1 y

π : 2x − 4y + 2z = 3.

2 . 1 . 4 R e c t a s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l

S e a l u n a r e c t a e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l q u e p a s a p o r e l p u n t o P 0 =(x0, y0, z 0) y e s p a r a l e l a a l v e c t o r u = (a,b,c) = (0, 0, 0).

S i P = (x,y,z ) e s u n p u n t o d e l d i s t i n t o d e P 0, s e v e r i c a q u e P 0P =(x − x0, y − y0, z − z 0) = ku = (ka,kb,kc)

p a r a u n e s c a l a r k ∈ R. E n t o n c e s

l a r e c t a l e s t a r á d e t e r m i n a d a p o r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s :

x = x0 + kay = y0 + kbz = z 0 + kc

, d o n d e k ∈ R. ( 2 . 7 )

S e a n P 0 y P d o s p u n t o s d e u n a r e c t a l y s e a n OP 0 = v0 y OP = v l o s

v e c t o r e s d e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l c o r r e s p o n d i e n t e s . E n t o n c e s s e v e r i c a l a

i d e n t i d a d P 0P = (x − x0, y − y0, z − z 0) = v − v0. S i a d e m á s u e s u n v e c t o r

p a r a l e l o a l a r e c t a l, s e s i g u e q u e v − v0 = ku p o r u n e s c a l a r k ∈ R.L l a m a r e m o s f o r m a v e c t o r i a l d e l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a e n e l e s -

p a c i o t r i d i m e n s i o n a l a l a e c u a c i ó n :

v = v0 + ku (k ∈ R) ( 2 . 8 )

S i p a r a d e n i r u n a r e c t a l e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l u t i l i z a m o s u n

s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s d e d o s p l a n o s c u y a i n t e r s e c c i ó n e s l , l o q u e s e

o b t i e n e s o n l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e l : a1x + b1y + c1z + d1 = 0

a2x + b2y + c2z + d2 = 0



8 8 Á l g e b r a

E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 4 a ) E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a l q u e

p a s a p o r l o s p u n t o s

P 0 = (3, −2, 0)y

P = (−5, 13, 4).b ) E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a l i n t e r s e c c i ó n d e l o s

p l a n o s 3x + 2y − 4z − 6 = 0 y 2x − 6y − 4z − 8 = 0.c ) E n c o n t r a r l a f o r m a v e c t o r i a l d e l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a l d e e c u a c i o n e s

p a r a m é t r i c a s : x = 2 + 3ky = −5 − k

z = 7k,

d o n d e k ∈ R.

( 2 . 9 )



Á l g e b r a 8 9

2 . 2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e u n c u e r p o K

S e g ú n h e m o s v i s t o , e n l o s e s p a c i o s R2

y R3

s e s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s

1) a 8) r e c o g i d a s e n e l t e o r e m a 2 . 1 . 4 r e s p e c t o d e l a s u m a y d e l p r o d u c t o

p o r e s c a l a r e s ( l a s p r o p i e d a d e s 1 a 4 s o n l a s q u e i n d i c a n q u e R2

y R3

t i e n e n

e s t r u c t u r a d e g r u p o a b e l i a n o r e s p e c t o d e l a s u m a ) . V e r e m o s q u e , e n g e n e r a l ,

s i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , (Kn, +, ·) t a m b i é n s a t i s f a c e d i c h a s p r o p i e d a d e s .

E s t a s p r o p i e d a d e s s o n l a s q u e d a n l u g a r a l a d e n i c i ó n d e e s p a c i o v e c t o r i a l

s o b r e u n c u e r p o (K, +, ·) .

D e n i c i ó n 2 . 2 . 1 S e a (K, +, ·) u n c u e r p o . L l a m a r e m o s e s p a c i o v e c t o r i a l

s o b r e e l c u e r p o (K, +,

·)

a c u a l q u i e r 3 - t u p l a (E,

⊕,◦

) f o r m a d a p o r u n c o n -

j u n t o n o v a c í o E

, u n a o p e r a c i ó n ⊕ : E × E → E, y u n a f u n c i ó n ( p r o d u c t o

p o r e s c a l a r e s ) ◦ : K×E → E

d e m a n e r a q u e s e s a t i s f a g a n l a s s i g u i e n t e s

p r o p i e d a d e s :

1 . (E, ⊕) e s u n g r u p o a b e l i a n o ;

2 . ∀u, v ∈ E ∀α ∈ K (α ◦ (u ⊕ v) = α ◦ u ⊕ α ◦ v),

3 . ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α + β ) ◦ u = α ◦ u ⊕ β ◦ u),

4 .

∀u

∈E

∀α, β

∈K ((α

·β )

◦u = α

◦(β

◦u)),

5 . s i e n d o 1 ∈ Ke l e l e m e n t o n e u t r o d e

· ,

∀u ∈ E (1 ◦ u = u).

A l o s e l e m e n t o s d e K

, q u e h a b i t u a l m e n t e r e p r e s e n t a r e m o s p o r l e t r a s d e l

a l f a b e t o g r i e g o , s e l e s d e n o m i n a e s c a l a r e s y a l o s e l e m e n t o s d e E

, q u e h a b i -

t u a l m e n t e r e p r e s e n t a r e m o s p o r l e t r a s d e l a l f a b e t o l a t i n o ( y e n o c a s i o n e s e n

n e g r i t a ) , v e c t o r e s .

E n e s t e c o n t e x t o , e l t é r m i n o v e c t o r s e r v i r á p a r a d e s i g n a r e n l o s u c e s i -

v o a u n e l e m e n t o d e l e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e e l q u e s e e s t é t r a b a j a n d o , y

n o n e c e s a r i a m e n t e a u n v e c t o r g e o m é t r i c o d e t e r m i n a d o p o r u n s e g m e n t o

o r i e n t a d o .

E s u s u a l , d a d a l a s o b r e c a r g a d e n o t a c i ó n d e r i v a d a d e l u s o d e t r e s o p e -

r a c i o n e s y u n p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s , e l a d o p t a r e l s i g u i e n t e c o n v e n i o d e

n o t a c i ó n u n i v e r s a l m e n t e a c e p t a d o .



9 0 Á l g e b r a

Operacion N o m b r e d e l a o p e r a c i ó n N o t a c i ó n

+ : K×K

→K

s u m a d e e s c a l a r e s +· : K×K → K

p r o d u c t o d e e s c a l a r e s ·

⊕ : E × E → Es u m a d e v e c t o r e s

+◦ : K×E → E

p r o d u c t o d e v e c t o r e s p o r e s c a l a r e s ·

C o n e s t a n u e v a n o t a c i ó n l o s a x i o m a s d e e s p a c i o v e c t o r i a l s e e s c r i b i r á n :

1 . (E, +) e s u n g r u p o a b e l i a n o ;

2 . ∀u, v ∈ E ∀α ∈ K (α · (u + v) = α · u + α · v),

3 . ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α + β ) · u = α · u + β · u),

4 . ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α · β ) · u = α · (β · u)),

5 . s i e n d o 1 ∈ Ke l e l e m e n t o n e u t r o d e

·, ∀u ∈ E (1 · u = u),

d o n d e e n c a d a c a s o l a n a t u r a l e z a d e l a o p e r a c i ó n ( e s d e c i r , s i s e t r a t a d e l a

s u m a e n K

o e n E

y l o m i s m o c o n e l p r o d u c t o d e u n e s c a l a r p o r u n e l e m e n t o d e

Ey e l p r o d u c t o e n

K) q u e d a r á n o r m a l m e n t e d e t e r m i n a d a p o r l a n a t u r a l e z a

d e l o s o p e r a n d o s . A s í p o r e j e m p l o , s i E =M m×n(R), A,B ∈ M m×n(R), y

α, β ∈R

, e n l a e x p r e s i ó n

(α + β ) · A

e s o b v i o q u e l a s u m a c o n s i d e r a d a e s l a s u m a d e l o s n ú m e r o s r e a l e s α y β,m i e n t r a s q u e e n l a e x p r e s i ó n

α · (A + B)

l a s u m a c o n s i d e r a d a e s l a d e n i d a e n M m×n(R) .

T a m b i é n s e ñ a l a r e m o s q u e e s u s u a l o m i t i r e l ·

, e s c r i b i e n d o p o r e j e m p l o

α(βu)e n l u g a r d e

α · (β · u),p o r l o q u e h a b i t u a l m e n t e l o h a r e m o s a s í .

E j e m p l o s d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s c o n l o s q u e y a h e m o s t r a b a j a d o s o n :

•L a s m a t r i c e s l a c o n c o e c i e n t e s r e a l e s ó c o m p l e j o s M 1×n(K) c o n r e s -

p e c t o d e l a s u m a d e l a s y p r o d u c t o d e u n a l a p o r u n n ú m e r o .



Á l g e b r a 9 1

•L o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s d e l p l a n o y d e l e s p a c i o r e s p e c t o d e l a s u m a

d e v e c t o r e s y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s d e n i d o s e n l a p r i m e r a p a r t e d e l

c a p í t u l o .

•L a s p r o p i e d a d e s q u e s a t i s f a c e n l a s m a t r i c e s d e o r d e n m × n c o n c o e -

c i e n t e s e n u n c u e r p o K

r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s

d e n i d o s h a c e n q u e M m×n(K) t e n g a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s -

p e c t o d e d i c h a s o p e r a c i o n e s .

O b s e r v a c i ó n 2 1 S i (E, +, ·)

e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e e l c u e r p o (K, +, ·),

y l a s o p e r a c i o n e s + y ·

s o n l a s u s u a l e s d e l c u e r p o K, d i r e m o s s i m p l e m e n t e

q u e

(E, +, ·) e s u n

K- e s p a c i o v e c t o r i a l ( a b r e v i a d a m e n t e :

“(E, +, ·) e s u n

K−e.v.) , o s i m p l e m e n t e , q u e E

t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l c o n r e s p e c t o

a l a s o p e r a c i o n e s + : E × E → Ey

· : K×E → E, y s i l a s u m a y e l p r o d u c t o

p o r e s c a l a r e s c o n s i d e r a d o s e s t á n p r e d e n i d o s o s e s o b r e n t i e n d e c u a l e s s o n ,

d i r e m o s d e f o r m a a b r e v i a d a q u e “Ee s u n

K− e.v. .

E j e m p l o 2 . 2 . 2 S e a (K, +, ·) u n c u e r p o . L a t e r n a (K, +, ·) e s u n (K, +, ·) −espacio vectorial,

p u e s t o q u e , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a d e n i c i ó n d e c u e r p o ,

y e n p a r t i c u l a r , d e l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e l p r o d u c t o d e l c u e r p o r e s p e c t o

d e l a s u m a , d e l a a s o c i a t i v i d a d d e l p r o d u c t o y d e l a e x i s t e n c i a d e e l e m e n t o

n e u t r o p a r a e l p r o d u c t o , t e n d r e m o s

1 . (K, +)

e s u n g r u p o a b e l i a n o ;

2 . ∀u, v ∈ K ∀α ∈ K α · (u + v) = α · u + α · v,

3 . ∀u ∈ K ∀α, β ∈ K (α + β ) · u = α · u + β · u,

4 . ∀u ∈ K ∀α, β ∈ K (α · β ) · u = α · (β · u),

5 . S i e n d o

1 ∈ K e l e l e m e n t o n e u t r o d e ·, ∀u ∈ K (1 · u = u).

A s í p u e s , e l c u e r p o (R, +, ·)

e s u n R−e.v.,

e l c u e r p o (C, +, ·)

e s u n C−e.v.

y e l c u e r p o (Z2, +, ·) e s u n Z2 − e.v.



9 2 Á l g e b r a

2 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e v e c t o r e s

L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n r e c o g e u n a s e r i e d e p r o p i e d a d e s q u e s e s a t i s f a c e n e n

t o d o e s p a c i o v e c t o r i a l , d o n d e , p a r a m a y o r c l a r i d a d , a l o s v e c t o r e s l o s h e m o s

d e s t a c a d o e n n e g r i t a .

P r o p o s i c i ó n 2 . 2 . 3 S i E

e s u n K− e.v. s e v e r i c a n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a -

d e s :

1 . ∀u ∈ E, 0 · u = 0;

2 . ∀α ∈ K, α · 0 = 0;

3 . ∀α ∈ K, ∀u ∈ E, ((α · u = 0) ⇒ (α=0 ∨ u = 0)) ;

4 . ∀u ∈ E, (−1) · u = −u;

5 . ∀α ∈ K− {0}, ∀u, v ∈ E, ((α · u =α · v) ⇒ (u = v)) ;6 .

∀α, β ∈ K, ∀u ∈ E − {0}, ((α · u =β · u) ⇒(α = β )) .

D e m o s t r a c i ó n 1 . D a d o u ∈ E,

0 · u = (0 + 0) · u =0 · u+0 · u,

y p u e s t o q u e e l ú n i c o e l e m e n t o i d e m p o t e n t e d e l g r u p o (E, +) e s e l e l e m e n t o

0 ∈ E,c o n c l u í m o s q u e

0 · u = 0.

2 . D a d o α

∈K,

α · 0 =α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0,

p o r l o q u e , r a z o n a n d o a n á l o g a m e n t e a l a p r o p i e d a d a n t e r i o r , c o n c l u í m o s q u e

α · 0 = 0.3 . S e a n α ∈ K

y u ∈ E, y s u p o n g a m o s q u e α · u = 0. C a b e n d o s p o s i b i -

l i d a d e s .

a ) S i α = 0, e n t o n c e s n o h a y n a d a q u e d e m o s t r a r , p u e s t o q u e e n e s e c a s o

l a s e n t e n c i a (α=0 ∨ u = 0) e s v e r d a d e r a .

b ) S i α = 0, c o n s i d e r a m o s e l e l e m e n t o α−1 ∈ K. M u l t i p l i c a n d o a a m b o s

l a d o s d e l a i g u a l d a d p o r α−1o b t e n e m o s

α−1 · (α · u) = α−1 · 0 = 0;

p e r o p o r l o s a x i o m a s d e e s p a c i o v e c t o r i a l

α−1 · (α · u) =

α−1 · α · u =1 · u = u,



Á l g e b r a 9 3

e s d e c i r , u = 0.

4 . S e a u

∈E

.P u e s t o q u e

−1 ∈K

e s o p u e s t o d e

1e n e l g r u p o

(K

, +),t e n d r e m o s

( − 1) · u + u = ( − 1) · u+1 · u = ( − 1 + 1) · u = 0,

y p u e s t o q u e (E, +) e s u n g r u p o ( a b e l i a n o ) , t e n d r e m o s t a m b i é n

u + ( − 1) · u = 0,

e s d e c i r , ( − 1) · ue s e l e l e m e n t o o p u e s t o d e

ue n e l g r u p o (E, +), o l o q u e e s

l o m i s m o , ( − 1) · u = −u.

5 . S e a n α

∈K

− {0

}, u, v

∈E, y s u p o n g a m o s q u e α

·u =α

·v. M u l t i p l i -

c a n d o a m b o s m i e m b r o s d e e s t a i g u a l d a d p o r α−1o b t e n e m o s

α−1 · (α · u) =α−1 · (α · v) ,

o l o q u e e s l o m i s m o , α−1 · α

· u =

α−1 · α · v,

d e d o n d e u = v.

6 . S e a n α, β ∈ K y u ∈ E − {0}, y s u p o n g a m o s q u e α · u =β · u. E n e s e

c a s o n e c e s a r i a m e n t e

α · u + (−(β · u)) = 0.P e r o d e l o s a x i o m a s d e e s p a c i o v e c t o r i a l y d e l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s s e

s i g u e q u e

α · u + (−(β · u)) =α · u + (−β ) · u = (α + (−β )) · u;

e s d e c i r ,

(α + (−β )) · u = 0

s i e n d o u = 0,

c o n l o q u e (α + (−β )) = 0,

o l o q u e e s l o m i s m o , α = β. 2

2 . 2 . 2 P r o d u c t o c a r t e s i a n o d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

V a m o s a h o r a a c o m p r o b a r q u e e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l , r e s u l t a d o q u e r e c o g e m o s e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n :



9 4 Á l g e b r a

P r o p o s i c i ó n 2 . 2 . 4 S i (E1, +1, ·1), · · · , (En, +n, ·n) s o n n K− e.v. e n t o n c e s

e l c o n j u n t o E

=E1 × · · · ×

En

t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o

d e l a s o p e r a c i o n e s

+ : E × E −→ E

((u1, · · · , un), (v1, · · · , vn)) ; (u1 +1 v1, · · · , un +n vn)y

· : K×E −→ E

(α, (u1, · · · , un)) ; (α ·1 u1, · · · , α ·n un)

P a r a r e a l i z a r d i c h a c o m p r o b a c i ó n r e s u l t a n a t u r a l u t i l i z a r e l s í m b o l o +

t a n t o p a r a r e f e r i r n o s a c u a l q u i e r a d e l a s s u m a s +1,

· · ·, +n c o m o p a r a d e s i g -

n a r l a s u m a d e n i d a e n E1 × · · · × En, y l o m i s m o h a r e m o s c o n e l s í m b o l o

·

( q u e i n c l u s o s e o m i t e p o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n ) , d e m a n e r a q u e , e n c a -

d a c a s o , l a o p e r a c i ó n c o n s i d e r a d a q u e d a d e t e r m i n a d a p o r l a n a t u r a l e z a d e

l o s o p e r a n d o s ; e n o t r a s p a l a b r a s , p a r a c a d a i ∈ {1, · · · , n}, s i ui, vi ∈ Ei,e n t o n c e s

ui + vi = ui +i vi y αui = α ·i (ui) .

A s í p o r e j e m p l o , p u e s t o q u e E1, · · · , En s o n n

K− e.v., e n p a r t i c u l a r

(E1, +), · · · , (En, +)

s o n g r u p o s a b e l i a n o s y , e n e s a s c o n d i c i o n e s n o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e

(E1 × · · · × En, +)

e s t a m b i é n u n g r u p o a b e l i a n o .

P o r o t r a p a r t e v e a m o s q u e ∀u, v ∈ E

y ∀α ∈ K

α · (u + v) = α · u + α · v :

S i u, v ∈ E, u = (u1, · · · , un) y v = (v1, · · · , vn), p o r d e n i c i ó n

(u + v) = (u1 + v1, · · · , un + vn)

y , e n c o n s e c u e n c i a , s e g ú n s e h a d e n i d o l a l e y d e c o m p o s i c i ó n e x t e r n a e n E,

α · (u1 + v1, · · · , un + vn) = (α (u1 + v1) , · · · , α(un + vn)),



Á l g e b r a 9 5

y p o r l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a q u e s a t i s f a c e e l p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s r e s p e c -

t o d e l a s u m a d e v e c t o r e s e n c a d a u n o d e l o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

(E

i, +i, ·i)t e n d r e m o s q u e , e n d e n i t i v a ,

α · (u + v) = α · (u1 + v1, · · · , un + vn) =

= (α (u1 + v1) , · · · , α(un + vn)) =

= (αu1 + αv1, · · · , αun + αvn) =

= (αu1, · · · , αun) + (αv1, · · · , αvn) =

= α(u1, · · · , un) + α(v1, · · · , vn) =

= α · u + α · v

L a d e m o s t r a c i ó n d e q u e s e s a t i s f a c e n e l r e s t o d e l a s p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s

p a r a q u e E1×·· ·×En t e n g a e s t r u c t u r a d e

K−e.v.r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s

c o n s i d e r a d a s s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .

E n p a r t i c u l a r , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r t e n e m o s q u e

s i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , e n t o n c e s ∀n ∈ N (Kn, +, ·) e s u n

K − e.v., s i e n d o

l a s o p e r a c i o n e s d e n i d a s s o b r e Kn

l a s d e n i d a s e n l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r .

E s t a s s o n l a s o p e r a c i o n e s q u e s e d e b e n d a r p o r s o b r e e n t e n d i d a s s i e m p r e q u e

h a g a m o s a l u s i ó n a l K− e.v. Kn.

E j e m p l o 2 . 2 . 5 C a s o s p a r t i c u l a r e s d e l a p a r t a d o a n t e r i o r :

1 . (R3, +, ·) e s u n R− e.v., d o n d e s i (x,y,z ), (x, y, z ) ∈ R3

y α ∈ R,

(x,y,z ) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z )

α(x,y,z ) = (αx,αy,αz )

s i e n d o x + x, y + y y z + z l a s u m a h a b i t u a l d e e s t o s n ú m e r o s r e a l e s , y

αx,αy y αz e l p r o d u c t o h a b i t u a l d e e s t o s n ú m e r o s r e a l e s .

2 . D e l m i s m o m o d o q u e e n e l e j e m p l o a n t e r i o r , (C2, +, ·) e s u n C− e.v.,

s o b r e n t e n d i é n d o s e c u á l e s s o n l a s o p e r a c i o n e s d e n i d a s s o b r e C2.

3 . A n á l o g a m e n t e , (Z322 , +, ·) e s u n

Z2 − e.v..

4 . E l e s p a c i o M m,n(R) × C[x] e s u n R−

e s p a c i o v e c t o r i a l .



9 6 Á l g e b r a

2 . 2 . 3 F u n c i o n e s c o n c o d o m i n i o e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l

S i E e s u n K−e.v., y d e n o t a m o s p o r F (X, E) a l c o n j u n t o f o r m a d o p o r t o d a s

l a s f u n c i o n e s d e n i d a s s o b r e u n c o n j u n t o c u a l q u i e r a X = ∅y t a l e s q u e s u

i m a g e n e s t á c o n t e n i d a e n E

,

F (X, E) = {f : X −→ E : f e s u n a f u n c i ó n } ,

r e s u l t a q u e e s t e c o n j u n t o t i e n e e s t r u c t u r a d e K− e.v., s e g ú n s e r e c o g e e n l a

s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .

P r o p o s i c i ó n 2 . 2 . 6 S i X = ∅y

Ee s u n

K − e.v., e n t o n c e s (F (X, E), +, ·)e s u n

K

−e.v., d o n d e

∀f, g

∈ F (X, E) f +g

∈ F (X, E)

e s l a f u n c i ó n d e n i d a

∀x ∈ X p o r l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n (f + g)(x) = f (x) + g(x) ( n ó t e s e q u e l a

s u m a d e l l a d o i z q u i e r d o d e l a i g u a l d a d e s l a s u m a d e f u n c i o n e s , y q u e l a d e l

l a d o d e r e c h o e s l a s u m a d e E)

y ∀f ∈ F (X, E), ∀α ∈ K

, (αf ) ∈ F (X, E) e s

l a f u n c i ó n d e t e r m i n a d a ∀x ∈ X

p o r l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n (αf )(x) = αf (x).

D e m o s t r a c i ó n S i e n d o f + g l a f u n c i ó n d e n i d a p o r l a c o n d i c i ó n

∀x ∈ X (f + g)(x) = f (x) + g(x)

r e s u l t a q u e t e n e m o s d e n i d a u n a o p e r a c i ó n s o b r e F (X, E):

+ : F (X, E) × F (X, E) −→ F (X, E)(f, g) ; f + g

A d e m á s , s e v e r i c a q u e :

1 . +

e s a s o c i a t i v a , p u e s s i f ,g ,h ∈ F (X, E),

y x ∈ X

((f + g) + h) (x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x) =

= f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) =

= (f + (g + h)) (x)

c o n l o q u e (f + g) + h = f + (g + h).

2 . + e s c o n m u t a t i v a , p u e s s i f, g ∈ F (X, E), y x ∈ X,

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x)

c o n l o q u e (f + g) = (g + f ).



Á l g e b r a 9 7

3 . E s i n m e d i a t o c o m p r o b a r ( v e r i f í q u e s e ) q u e l a f u n c i ó n c o n s t a n t e

0 : X −→ E

x ; 0

e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e (F (X, E), +).4 . D e l m i s m o m o d o , e s i n m e d i a t o c o m p r o b a r ( v e r i f í q u e s e ) q u e

∀f ∈F (X, E) e l e l e m e n t o s i m é t r i c o d e f r e s p e c t o d e + e s l a f u n c i ó n

(−f ): X −→ E

x ; −(f (x)),

e s d e c i r ,

∀x

∈X (

−f )(x) =

−(f (x))

d o n d e

−(f (x))

e s e l e l e m e n t o o p u e s t o

d e f (x) e n (G, +). A l s e r (E, +) u n g r u p o a b e l i a n o , (F (X, E), +) t a m b i é n l o

e s , d o n d e

f + g : X → E

x ; f (x) + g(x).

V e a m o s a h o r a q u e l a o p e r a c i ó n

· : K×F (X, E) −→ F (X, E)(α, f ) ; αf

d o n d e

αf : X → Ex ; αf (x)

s a t i s f a c e e l r e s t o d e p r o p i e d a d e s :

5 . S e a n f, g ∈ F (X, E). H a y q u e d e m o s t r a r q u e ∀α ∈ K

α(f + g) = αf + αg.

S e a α ∈ K. P u e s t o q u e

(α(f + g)) : X → E

y

(αf + αg) : X → E,

p a r a d e m o s t r a r q u e d i c h a s a p l i c a c i o n e s s o n i g u a l e s e s s u c i e n t e c o n p r o b a r

q u e

∀x ∈ E, (α(f + g))(x) = (αf + αg)(x).



9 8 Á l g e b r a

S e a x ∈ E. P o r d e n i c i ó n

(α(f + g))(x) = α ((f + g)(x)) = α (f (x) + g(x)) =

( p o r l a d i s t r i b u t i v i d a d e n E d e l p r o d u c t o p o r

e s c a l a r e s r e s p e c t o d e l a s u m a d e v e c t o r e s )

= αf (x) + αg(x) = (αf )(x) + (αg)(x) = ((αf ) + (αg)) (x).

6 . H a y q u e p r o b a r q u e ∀f ∈ F (X, E) ∀α, β ∈ K

(α + β )f = αf + βf.

S e d e m u e s t r a d e f o r m a a n á l o g a a l a p r o p i e d a d q u e a c a b a m o s d e v e r , p o r l o

q u e s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .

7 . S e a n f ∈ F (X, E)

y α, β ∈ K

. H a y q u e d e m o s t r a r q u e

(αβ )f = α(βf ).

P u e s t o q u e

((αβ )f ) : X → E

y

(α(βf )) : X → E,

p a r a d e m o s t r a r q u e d i c h a s a p l i c a c i o n e s s o n i g u a l e s e s s u c i e n t e p r o b a r q u e

∀x ∈ E((αβ )f )(x) = (α(βf ))(x).

S e a x ∈ E. P o r d e n i c i ó n

((αβ )f )(x) = (αβ )f (x) = ( p u e s t o q u e α, β ∈ K , f (x) ∈ E

y E

e s u n K

- e . v . )

= α(βf (x)) = α((βf )(x)) = (α(βf ))(x).

8 . F i n a l m e n t e , d a d o 1 ∈ K, ∀f ∈ F (X, E)

(1 · f ) = f,

p u e s s i f ∈ F (X, E)

e s u n a f u n c i ó n c u a l q u i e r a d e e s e c o n j u n t o , d a d o q u e

(1 · f ) : X → Ey f : X → E,



Á l g e b r a 9 9

y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e ∀x ∈ E,

(1 · f )(x) = 1 · f (x) = f (x),

c o n c l u í m o s q u e (1 · f ) = f. 2

E j e m p l o s . C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , l o s s i g u i e n t e s

c o n j u n t o s t i e n e n e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s

c o n s i d e r a d a s e n l a m i s m a .

1 . S i (K, +, ·) e s u n c u e r p o , e l c o n j u n t o F (K,K). E n p a r t i c u l a r , e l c o n -

j u n t o F (R,R)

d e l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a l y e l c o n j u n t o F (C,C)

d e l a s f u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e c o m p l e j a .

2 . E l c o n j u n t o

F (R,C) d e l a s f u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e r e a l e s u n

C− e.v.3 . E l c o n j u n t o

F (N, E) d e l a s s u c e s i o n e s d e e l e m e n t o s d e u n K − e.v.

E. E n p a r t i c u l a r F (N,R), F (N,C), F (N,R3) t i e n e n e s t r u c t u r a d e e s p a c i o

v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s c o n s i d e r a d a s e n l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r .

( C o m o e j e r c i c i o , e s c r í b a s e c u a l e s l a e x p r e s i ó n e x p l í c i t a d e d i c h a s o p e r a c i o n e s

p a r t i c u l a r i z a d a s e n c a d a u n o d e l o s s u b e s p a c i o s d e e s t e e j e m p l o ) .

4 . E l c o n j u n t o M m×n(K) = F ({1, · · · , m}×{1, · · · , n},K) d e l a s m a t r i c e s

d e m l a s y n c o l u m n a s c o n c o e c i e n t e s e n u n c u e r p o K

y , e n p a r t i c u l a r , e l

c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s c u a d r a d a s d e n l a s , a l q u e d e n o t a m o s p o r M n(K).

5 . C o m b i n a n d o l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s t a m b i é n s o n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ,

r e s p e c t o d e l a s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s i n t r o d u c i d o s , e l c o n j u n t o

F (N, F (R,R))

d e l a s s u c e s i o n e s d e F (R,R), e l c o n j u n t o

F (N, M 2(C))

d e l a s s u c e s i o n e s d e m a t r i c e s d e M 2(C), e l c o n j u n t o

F (M 3(C), M 3(C)),

e l c o n j u n t o

F (N, F (R,R) × F (R,R)),e l c o n j u n t o

F (C,C×M 5(C)),

y u n l a r g o e t c é t e r a .



1 0 0 Á l g e b r a

2 . 3 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

S i e n d o E

u n K − e.v. y H ⊂ E, s e d i c e q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

d e E

s i H

t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s

i n d u c i d a s p o r l a s d e E. P o r c o n s i g u i e n t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i + y

·s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s p a r a q u e

Es e a u n

K − e.v.( +

e s

a s o c i a t i v a , c o n m u t a t i v a , · · ·

) , d i c h a s p r o p i e d a d e s t a m b i é n s e s a t i s f a c e n e n e l

c a s o p a r t i c u l a r d e q u e l o s v e c t o r e s s e a n d e H, y q u e s i e n d o 0 ∈ Ky u ∈ H,

0 · u = 0, l o ú n i c o q u e n e c e s i t a m o s p a r a q u e H s e a u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

d e E e s q u e e l r e s u l t a d o o b t e n i d o a l h a c e r a c t u a r d i c h a s o p e r a c i o n e s s o b r e

e l e m e n t o s d e H s e a u n e l e m e n t o d e H, e s d e c i r :

D e n i c i ó n 2 . 3 . 1 S i E e s u n K − e.v. y H ⊂ E, s e d i c e q u e H e s u n s u b -

e s p a c i o v e c t o r i a l d e

Es i :

1 . H = ∅.2 .

∀u, v ∈ H u + v ∈ H.3 .

∀α ∈ K, ∀u ∈ H αu ∈ H.

E n l o s u c e s i v o u t i l i z a r e m o s l a n o t a c i ó n H ≺ E

p a r a i n d i c a r q u e H

e s u n

s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e E.

P r o p o s i c i ó n 2 . 3 . 2 S e a n E

u n K− e.v. y H ⊂ E. S e v e r i c a q u e H ≺ E

s i

y s ó l o s i

a ) 0 ∈ H

b ) ∀u, v ∈ H, ∀α, β ∈ K s e v e r i c a q u e (αu + βv) ∈ H.

D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o . I n d i c a c i ó n : v e r i c a r q u e l a s c o n d i c i o n e s 1, 2 y

3 d e l a d e n i c i ó n e q u i v a l e n a l a s c o n d i c i o n e s a ) y b ) . 2

O b s e r v a c i ó n 2 2 D e l a d e n i c i ó n d e s u b e s p a c i o v e c t o r i a l s e s i g u e q u e , s i e n -

d o E

u n K− e.v. s e v e r i c a q u e

E ≺ Ey q u e

{0} ≺ E.



Á l g e b r a 1 0 1

O b s e r v a c i ó n 2 3 N o e s d i f í c i l d e m o s t r a r , r a z o n a n d o p o r i n d u c c i ó n s o b r e n,q u e s i

Ee s u n

K− e.v.

y

H ≺E

, e n t o n c e s s e v e r i c a q u e

∀(u1, · · · , un) ∈ H n, ∀(α1, · · · , αn) ∈ Kn,

n

i=1

αiui

∈ H.

( D e m a n e r a i n f o r m a l : s i H ≺ E, u1, · · · , un s o n v e c t o r e s d e H, y α1, · · · , αn

s o n e s c a l a r e s , n e c e s a r i a m e n t e α1u1 + · · · + αnun ∈ H.)

E J E M P L O S :

1 . P u e s t o q u e s i H

≺E, n e c e s a r i a m e n t e

0

∈H, n o e s d i f í c i l c o m p r o b a r

q u e c u a l q u i e r p l a n o d e R3 q u e p a s e p o r e l p u n t o (0, 0, 0) e s u n s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l d e R3. I g u a l m e n t e , c u a l q u i e r r e c t a d e

R3q u e p a s e p o r e l p u n t o

(0, 0, 0) e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e R3. C u a n d o i n t r o d u z c a m o s e l c o n c e p -

t o d e d i m e n s i ó n v e r e m o s q u e l o s ú n i c o s s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e R3

s o n :

{0},R3, l a s r e c t a s q u e p a s a n p o r 0 =(0, 0, 0)

y l o s p l a n o s q u e p a s a n p o r 0.

( D e f o r m a a n á l o g a , l o s ú n i c o s s u b e s p a c i o s d e R2

s o n : {0},R2

y l a s r e c t a s

q u e p a s a n p o r 0).

2 . E l c o n j u n t o f o r m a d o p o r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a h o m o g é n e o

d e m ecuaciones lineales c o n n i n c ó g n i t a s y c o n c o e c i e n t e s e n u n c u e r p o

Ke s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e

Kn

a11x1 + · · · + a1nxn = 0

.

.

.

am1x1 + · · · + amnxn = 0

.

P a r a c o m p r o b a r l o , s ó l o h a y q u e v e r i c a r q u e s i (α1, · · · , αn), (β 1, · · · , β n) ∈

Kns o n s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a a n t e r i o r y α ∈ K

, e n t o n c e s (α1+β 1, · · · , αn+β n)t a m b i é n e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a , y l o m i s m o s u c e d e c o n

(αα1, · · · , ααn).

3 . C[x] ≺ F (C,C), p u e s

a ) 0 ∈ C[x];

b ) s i

f, g ∈ C[x]y

α, β ∈ K, d e l a d e n i c i ó n d e

C[x]s e s i g u e q u e

∃n, m ∈ N ∪ {0}, ∃(a0, · · · , an) ∈ Cn+1, ∃(b0, · · · , bm) ∈ Cm+1t a l e s q u e

∀x ∈ Cs e v e r i c a q u e

f (x) = anxn + · · · + a0 ∧ g(x) = bmxm + · · · + b0;



1 0 2 Á l g e b r a

e v i d e n t e m e n t e , s i n ≥ m, p o n i e n d o ∀i ∈ {m + 1, · · · , n} bi = 0, t e n d r e m o s

q u e

∀x ∈ C (αf + βg)(x) =

= α

n

i=0

aixi

+ β

n

i=0

bixi

=

=n

i=0

(αai + βbi) xi,

e s d e c i r , (αf + βg) ∈ C[x].4 . S i e n d o P n(C) e l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s e n

Cd e g r a d o

≤ n, s e v e r i c a q u e P n(C) ≺ C[x] p u e s

i) 0 ∈ P n(C), c o n l o q u e P n(C) = ∅.ii) D a d o s f, g ∈ P n(C), t e n i e n d o e n c u e n t a q u e

gr(f + g) ≤ max{gr(f ), gr(g)} ≤ n,

r e s u l t a q u e f + g ∈ P n(C)

iii) D a d o s f ∈ P n(C) y α ∈ K, h a y q u e d i s t i n g u i r d o s p o s i b i l i d a d e s : s i

α = 0, e n t o n c e s αf = 0 ∈ P n(C); p o r o t r a p a r t e s i α = 0, t e n i e n d o e n c u e n t a

q u e gr(αf ) = gr(f ), s e s i g u e q u e e n c u a l q u i e r c a s o αf ∈ P n(C).5 . S i d e n o t a m o s p o r

C(R,R) a l c o n j u n t o d e f u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e

r e a l q u e s o n c o n t i n u a s e n t o d o s l o s p u n t o s d e R, t e n i e n d o e n c u e n t a q u e

c u a l q u i e r f u n c i ó n c o n s t a n t e e s c o n t i n u a ( c o n l o q u e C(R,R) = ∅), q u e s i

f, g ∈ C(R,R), e n t o n c e s f + g ∈ C(R,R), y q u e s i α ∈ Ry f ∈ C(R,R),

e n t o n c e s αf ∈ C(R,R) , r e s u l t a q u e

C(R,R) ≺ F (R,R).

P o r e l m i s m o m o t i v o , e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e n i d a s e n e l c o n -

j u n t o

[a, b] = {x ∈ R |a ≤ x ≤ b}y c o n t i n u a s e n t o d o s l o s p u n t o s d e e s t e i n t e r v a l o , c o n j u n t o a l q u e d e n o t a m o s

p o r C([a, b],R),

c o n s t i t u y e u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F ([a, b],R).

O b s e r v a c i ó n 2 4 P u e s t o q u e t o d o s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e u n e s p a c i o v e c t o -

r i a l d a d o e s a s u v e z u n e s p a c i o v e c t o r i a l , e s p o s i b l e r e f e r i r n o s a c a d a u n o d e

Á l g e b r a 1 0 3

l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s c o m o e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ; d e e s t e m o d o , h a b l a r e m o s

d e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s

C(R

,R

),d e l e s p a c i o v e c t o r i a l

d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o ≤ n, e t c . .

E j e r c i c i o 2 . 3 . 1 S e d i c e q u e A ∈ M n(K)

e s s i m é t r i c a s i

tA = A.S i d e n o t a -

m o s p o r S n(K) a l c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e o r d e n n , d e m o s t r a r

q u e S n(K) ≺ M n(K).

P r o p o s i c i ó n 2 . 3 . 3 S i X = ∅,

Ee s u n

K− e.v. y S ⊂ X, e l c o n j u n t o

H = {f ∈ F (X, E) |f (S ) = {0}}

e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (X, E).


C o r o l a r i o 2 . 3 . 4 L a s m a t r i c e s t r i a n g u l a r e s s u p e r i o r m e n t e , T n(K), i n f e r i o r -

m e n t e T n(K)

y d i a g o n a l e s Dn(K)

s o n s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e M n(K).

D e m o s t r a c i ó n E s s u c i e n t e c o n a p l i c a r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r t e n i e n d o

e n c u e n t a q u e , s i e n d o

S T = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i > j },

S T = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i < j }y

S D = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i = j },

s e v e r i c a

T n(K) =

A ∈ M n(K)A(S T ) = {0} ,

T n(K) = {A ∈ M n(K) |A(S T ) = {0}}y

Dn(K) = {A ∈ M n(K) |A(S D) = {0}} .

2



1 0 4 Á l g e b r a

2 . 4 D e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l

D e n i c i ó n 2 . 4 . 1 S i E

e s u n K − e.v., u n

s i s t e m a d e v e c t o r e s d e

Ee s

c u a l q u i e r s e c u e n c i a n i t a d e v e c t o r e s d e E. A s í , s i u1, · · · , un ∈ E, l a s e c u e n -

c i a u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e n v e c t o r e s d e E.

O b s e r v a c i ó n 2 5 P a r a m a y o r c l a r i d a d , e n o c a s i o n e s e s c r i b i r e m o s {u1, · · · , un}

p a r a r e f e r i r n o s a l s i s t e m a u1, · · · , un.

D e n i c i ó n 2 . 4 . 2 S i {u1, · · · , un}

e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E, d i r e m o s

q u e v ∈ Ee s

c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un s i

∃(α1, · · · , αn) ∈ Knt a l

q u e v =n

i=1αiui.

O b s e r v a c i ó n 2 6 S i v ∈ Ee s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un t a m b i é n d i -

r e m o s q u e v ∈ E d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e u1, · · · , un.

E j e m p l o 2 . 4 . 3 S i c o n s i d e r a m o s e n e l R−e.v. R2

c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a -

c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l , r e s u l t a q u e (11, 7) d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e (2, 1), (1, 0),y

(3, 2), p u e s t o q u e

(11, 7) = (2, 1) + 3

·(3, 2).

P o r e l m i s m o m o t i v o , (−3, 0) d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e (1, 1), (1, 4), p u e s

(−3, 0) = (−4) · (1, 1) + 1 · (1, 4).

S i E

e s u n K− e.v. y A ⊂ E

d e n o t a r e m o s p o r

L(A) = {v ∈ E |v e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e A}.

L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n e s t a b l e c e q u e s i E

e s u n K

−e.v. y A

⊂E, L(A)

e s e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l m á s p e q u e ñ o q u e c o n t i e n e a A.


u n K−e.v.

y A ⊂ E.

S e v e r i c a q u e : 1 ) L(A) ≺

E, 2)A ⊂ L(A) y 3)∀H ≺ E (A ⊂ H ⇒ L(A) ⊂ H ).

Á l g e b r a 1 0 5

D e m o s t r a c i ó n S e a H = L(A).1 . E s o b v i o q u e

0∈ H

y , p o r o t r a p a r t e , d a d o s

α, β ∈K

,y

u, v ∈ H,d e

l a d e n i c i ó n d e H s e s i g u e q u e e x i s t e n u1, · · · , un y v1, · · · , vm s i s t e m a s d e

v e c t o r e s d e A

y ∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn, ∃(β 1, · · · , β m) ∈ Km

d e m a n e r a q u e

u =n

i=1

αiui y v =

mi=1

β ivi,

p o r l o q u e

αu + βv = α

n

i=1

αiui

+ β

m

i=1

β ivi

=

=n

i=1

(ααi) ui +m

i=1

(ββ i)vi =

=n+mi=1

γ iwi,

d o n d e h e m o s p u e s t o ∀i ∈ {1, · · · , n + m},

(i ≤ n ⇒ γ i = (ααi) ∧ wi = ui)

∧(n < i ≤ n + m ⇒ γ i = (ββ i) ∧ wi = vi) ,

y e n c o n s e c u e n c i a , p u e s t o q u e w1, · · · , wn+m e s u n s i s t e m a d e n + m v e c t o r e s

d e A, c o n c l u í m o s q u e

αu + βv ∈ H.

2 . S i v ∈ A,

p o d e m o s p o n e r , p o r e j e m p l o , q u e v = 1 · v,

s i e n d o 1 ∈ K

y

{v}e l s i s t e m a d e v e c t o r e s d e A c o n s i d e r a d o , c o n l o q u e v ∈ H.

3 . F i n a l m e n t e , s i H ≺ E

e s t a l q u e A ⊂ H ,

s e g ú n v i m o s e n s u m o m e n t o ,

c u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l e m e n t o s d e H ( e n p a r t i c u l a r d e e l e m e n t o s

d e A ⊂ H ) e s u n e l e m e n t o d e H , c o n l o q u e H ⊂ H . 2

D e n i c i ó n 2 . 4 . 5 S i E

e s u n K− e.v.

y u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o -

r e s d e E, a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l L({u1, · · · , un}) s e l e d e n o m i n a

s u b e s p a c i o



1 0 6 Á l g e b r a

v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a u1, · · · , un , y d e l s i s t e m a u1, · · · , un s e

d i c e q u e e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r

d e

H = L({u1, · · · , un}).A e s t e s u b e s -

p a c i o t a m b i é n l o d e n o t a r e m o s p o r L(u1, · · · , un).

O b s e r v a c i ó n 2 7 N ó t e s e q u e s i t o d o v e c t o r d e E

s e p u e d e e x p r e s a r c o m o u n a

c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un, r e s u l t a q u e e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o

p o r u1, · · · , un e s H = L({u1, · · · , un}) = E, q u e o b v i a m e n t e e s u n s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l d e E

.

E j e m p l o s :

1 . L o s v e c t o r e s (1, 0) y (0, 1) c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R2, p u e s

c u a l q u i e r v e c t o r d e R2

s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l s i s t e m a

(1, 0), (0, 1) , y a q u e s i (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). A n á l o g a m e n t e

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R3

y , e n g e n e r a l , e l s i s t e m a d e n v e c t o r e s d e Kn

(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), (0, 0, · · · , 0, 1)

e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e Kn.

2 . L o s p o l i n o m i o s 1, x , x2, · · · , xnc o n s t i t u y e n u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e

P n(C),p u e s s i

f ∈ P n(C), f e s d e l a f o r m a

f = a0 + · · · + anxn( y a q u e

∀z ∈ C , f (z ) = (a0 + · · · + anxn)(z ) = a0 + · · · + anz n ) .

3 . C o m o h e m o s v i s t o , l o s v e c t o r e s (1, 0) y (0, 1) c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a

g e n e r a d o r d e R2. P e r o e l s i s t e m a (1, 0), (0, 1), (3, 1) t a m b i é n e s u n s i s t e m a

g e n e r a d o r d e R2, p u e s s i (a, b) ∈ R2,

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(3, 1).

D e h e c h o , c u a l q u i e r s i s t e m a d e v e c t o r e s d e R2

q u e c o n t e n g a a (1, 0)

y

(0, 1) s e r á u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R2.

N o s i n t e r e s a c a r a c t e r i z a r l o s s i s t e m a s g e n e r a d o r e s c o n e l m e n o r n ú m e r o

p o s i b l e d e e l e m e n t o s . E s t o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s s e r á n l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s

q u e , c o n s t i t u y e n d o u n s i s t e m a g e n e r a d o r , s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

D e n i c i ó n 2 . 4 . 6 S i e n d o E

u n K−e.v., s e d i c e q u e e l s i s t e m a u1, · · · , un d e

v e c t o r e s d e

Ee s l i b r e ( o t a m b i é n q u e l o s v e c t o r e s

u1, · · · , uns o n l i n e a l m e n t e

i n d e p e n d i e n t e s ) s i s e v e r i c a q u e ∀(α1, · · · , αn) ∈ Kn

ni=1

αiui = 0 ⇒(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)



Á l g e b r a 1 0 7

S i e l s i s t e m a d e v e c t o r e s u1, · · · , un n o e s l i b r e , s e d i c e q u e e s l i g a d o ( o

t a m b i é n q u e l o s v e c t o r e s

u1, · · · , uns o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ) . A s í

p u e s ,

u1, · · · , un e s l i g a d o ⇔

∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn − {(0, · · · , 0)} t a l e s q u e

ni=1

αiui = 0

.

E j e m p l o 2 . 4 . 7 E n e l R − e.v. R2

c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l

h a b i t u a l e l s i s t e m a (1, 0), (0, 1) e s l i b r e , p u e s s i α(1, 0) + β (0, 1) = (0, 0),t e n d r e m o s q u e (α, β ) = (0, 0), d e d o n d e α = 0 = β. U n a r g u m e n t o s i m i l a r s e

p u e d e e m p l e a r p a r a d e m o s t r a r q u e e l s i s t e m a d e n v e c t o r e s d e Kn

(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), (0, 0, · · · , 0, 1)

e s u n s i s t e m a l i b r e .

E j e m p l o 2 . 4 . 8 E n e l R− e.v. R3

c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a -

b i t u a l e l s i s t e m a {(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e s l i b r e , p u e s t o q u e s i (α,β,γ ) ∈

R3e s t a l q u e α(2, 1, 1) + β (1, 1, 0) + γ (1, 0, 0) = (0, 0, 0), r e s u l t a q u e

(2α +

β + γ, α + β, α) = (0, 0, 0), d e d o n d e

2α + β + γ = 0α + β = 0

α = 0y , e n d e n i t i v a ,

(α,β,γ ) = (0, 0, 0).



h a b i t u a l e l s i s t e m a {(2, 1), (1, 0), (3, 2), (11, 7)}

e s l i g a d o , p u e s

0(1, 0) + (−1)(2, 1) + (−3)(3, 2) + (11, 7) = (0, 0),

y s i n e m b a r g o

(0, −1, −3, 1) = (0, 0, 0, 0).

P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 0 S i u1,· · ·

, un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K

−e.v. E,

s e v e r i c a q u e u1, · · · , un es libre s i y s ó l o s i ∀v ∈ E

v =n

i=1

αiui ∧ v =n

i=1

β iui

⇒ (α1, · · · , αn) = (β 1, · · · , β n)

.



1 0 8 Á l g e b r a

D e m o s t r a c i ó n ⇒

S i (α1, · · · , αn), (β 1, · · · , β n) ∈ Kns o n t a l e s q u e v =

ni=1 αiui ∧ v =

ni=1 β iui,

r e s u l t a q u e

ni=1 αiui =

ni=1 β iui,

e s d e c i r ,

ni=1(αi −β i)ui =

0, y c o m o p o r h i p ó t e s i s u1, · · · , un e s l i b r e , c o n c l u í m o s q u e (α1−β 1, · · · , αn −β n) = (0, · · · , 0),

e s d e c i r ,

∀i ∈ {1, · · · , n} (αi − β i) = 0,

y p o r c o n s i g u i e n t e ∀i ∈ {1, · · · , n} αi = β i, o l o q u e e s l o m i s m o ,

(α1, · · · , αn) = (β 1, · · · , β n).

⇐ S u p o n g a m o s q u e

n

i=1

αiui = 0. C o m o t a m b i é n s e v e r i c a q u e 0u1 +

· · · + 0un = 0, a p l i c a n d o l a h i p ó t e s i s r e s u l t a q u e

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0).

2

E j e r c i c i o 2 . 4 . 1 E n e l a n i l l o d e p o l i n o m i o s P n(C), v e r i c a r q u e e l s i s t e m a

{1, x , x2, · · · , xn}e s l i b r e . (

I n d i c a c i ó n : u t i l i z a r i n d u c c i ó n s o b r e n y l a

c o n t i n u i d a d d e l o s p o l i n o m i o s . )

L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n r e c o g e u n a c a r a c t e r i z a c i ó n d e l o s s i s t e m a s l i g a -

d o s .

P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 1 S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K−e.v. E,

s e v e r i c a q u e u1, · · · , un es ligado s i y s ó l o s i ∃i ∈ {1, · · · , n}

t a l q u e ui e s

c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un.


S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a l i g a d o t e n d r e m o s q u e

∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn − {(0, · · · , 0)} t a l q u e

n

j=1

α ju j = 0. A h o r a b i e n , p u e s t o

q u e

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),e x i s t e

i ∈ {1, · · · , n}t a l q u e

αi = 0,y p u e s t o

q u e αi ∈ K, n e c e s a r i a m e n t e αi t i e n e i n v e r s o α−1i ∈ K, c o n l o q u e

α−1i ·

n

j=1

α ju j

= α−1

i · 0 = 0.



Á l g e b r a 1 0 9

P e r o

α−1i · n j=1

α ju j =

n j=1

α−1i α ju j,

d e d o n d e

n j=1

α−1

i α j

u j = 0, c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e α−1

i αi = 1,

r e s u l t a q u e

ui =n

j=1,j=i

−α−1i α j

u j ,

e s d e c i r , ui e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un. ⇐

S u p o n g a m o s q u e

ui =n

j=1,j=i

α ju j.

E n e s e c a s o , p a s a n d o ui a l s e g u n d o m i e m b r o y t o m a n d o αi = −1, r e s u l t a q u e

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)

y

n j=1

α ju j = 0, c o n l o q u e u1, · · · , un e s u n s i s t e m a l i g a d o . 2

E j e m p l o : C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , d o s v e c t o r e s uy v s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i y s o l a m e n t e s i u n o d e e l l o s s e o b t i e n e

m u l t i p l i c a n d o u n e s c a l a r p o r e l o t r o . P o r c o n s i g u i e n t e , e n e l c a s o p a r t i c u l a r

d e R2

y R3, d o s v e c t o r e s s e r á n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i e s t á n

s o b r e l a m i s m a r e c t a q u e p a s a p o r 0.

A s i m i s m o , s i u, v y w s o n v e c t o r e s d e R3, u, v y w s o n l i n e a l m e n t e d e p e n -

d i e n t e s ( o l o q u e e s l o m i s m o , e l s i s t e m a {u,v,w}

e s l i g a d o ) s i y s ó l o s i a l

m e n o s u n o d e l o s v e c t o r e s e s u n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s r e s t a n t e s . P e r o

e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r d o s v e c t o r e s c u a l e s q u i e r a d e R3

e s u n a

r e c t a q u e p a s a p o r e l o r i g e n , u n p l a n o q u e p a s a p o r e l o r i g e n , o e l p r o p i o

o r i g e n ; e n c u a l q u i e r c a s o , s i u, v y w s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s e x i s t e u n

p l a n o q u e , p a s a n d o p o r

0,c o n t i e n e a l o s t r e s v e c t o r e s . D e m a n e r a g e n e r a l :

P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 2 S i E

e s u n K− e.v. y n,r,m ∈ N, s e v e r i c a q u e

1 . (u ∈ E ∧ u = 0) ⇒ u e s l i b r e ;



1 1 0 Á l g e b r a

2 . s i u1, · · · , un e s l i b r e y r ≤ n, e n t o n c e s u1, · · · , ur e s l i b r e ;

3 . s i u1, · · · , un e s t a l q u e ∃i ∈ {1, · · · , n} d e m a n e r a q u e ui = 0, e n t o n c e s

e l s i s t e m a u1, · · · , un e s l i g a d o ;

4 . s i u1, · · · , un e s l i g a d o e n t o n c e s ∀v1, · · · , vm ∈ E

e l s i s t e m a

{u1, · · · , un, v1, · · · , vm}e s l i g a d o .

D e m o s t r a c i ó n 1 . S i u ∈ E − {0}y αu = 0, n e c e s a r i a m e n t e α = 0, c o n l o

q u e u e s l i b r e .

2 . S u p o n g a m o s q u e u1, · · · , un ∈ Ene s l i b r e , q u e r ≤ n y q u e (α1, · · · , αr) ∈

Kre s t a l q u e

r

j=1 α ju j =0

.E n e s e c a s o , d e n i e n d o

∀ j ∈ {r + 1, · · · , n}α j = 0, t e n d r e m o s q u e

n j=1

α ju j = 0y , p u e s t o q u e u1, · · · , un e s l i b r e ,

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)y e n p a r t i c u l a r

(α1, · · · , αr) = (0, · · · , 0).3 . S i

u1, · · · , un ∈ Ene s t a l q u e

ui = 0,c o n s i d e r a n d o l a

n- t u p l a

(α1, · · · , αn)∈ Kn

d e n i d a p o r l a c o n d i c i ó n

αi = 1 ∧ ∀ j ∈ {1, · · · , n}( j = i ⇒ α j = 0),

r e s u l t a q u e (α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0) y

n j=1

α ju j = 0u1 + · · · + 0ui−1 + 1 · 0 + 0ui+1 + · · · + 0un = 0.

4 . S i u1, · · · , un e s l i g a d o , ∃(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0) t a l q u e

n j=1

α ju j = 0.

D a d o e n t o n c e s e l s i s t e m a v1,

· · ·, vm d e m v e c t o r e s d e

E, d e n i e n d o

∀ j

∈{1, · · · , m} β j = 0, t e n d r e m o s q u e

n j=1

α ju j +m

j=1

β jv j = 0, y p u e s t o q u e

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),r e s u l t a q u e

(α1, · · · , αn, β 1, · · · , β m) = (0, · · · , 0),



Á l g e b r a 1 1 1

c o n l o q u e u1, · · · , un, v1, · · · , vm e s l i g a d o . 2

L a s p r o p i e d a d e s 2 y 4 d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r p o d r í a n e n u n c i a r s e d e

m a n e r a p o c o r i g u r o s a d e l s i g u i e n t e m o d o : t o d o s u b s i s t e m a d e u n s i s t e m a

l i b r e e s l i b r e y t o d o s u p e r s i s t e m a d e u n s i s t e m a l i g a d o e s l i g a d o .

P r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 3 S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K− e.v. E

l i b r e y v ∈ En o e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un , e n t o n c e s e l s i s t e m a

u1, · · · , un, v e s l i b r e .

D e m o s t r a c i ó n S u p o n g a m o s q u e

n

j=1

α ju j + βv = 0. E n e s e c a s o n e c e s a -

r i a m e n t e β = 0, p u e s t o q u e s i β = 0, t e n d r í a m o s q u e

v =n

j=1

−β −1 · α j

u j

e n c o n t r a d i c c i ó n c o n l a h i p ó t e s i s . P e r o s i β = 0,

e n t o n c e s

n

j=1

α j u j = 0,

y p u e s t o q u e u1, · · · , un e s l i b r e , r e s u l t a q u e

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),

c o n l o q u e , e n d e n i t i v a ,

(α1, · · · , αn, β ) = (0, · · · , 0, 0).

2

C o r o l a r i o 2 . 4 . 1 4 S i u1, · · · , un e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e l K− e.v. E

y

v ∈ Es o n t a l e s q u e u1, · · · , un e s l i b r e y u1, · · · , un, v e s l i g a d o , e n t o n c e s v

e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un.



1 1 2 Á l g e b r a

2 . 5 B a s e s y d i m e n s i ó n

2 . 5 . 1 S i s t e m a s g e n e r a d o r e s y b a s e s

S e g ú n v i m o s , s i u n v e c t o r s e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u n s i s t e -

m a l i b r e , l a e x p r e s i ó n d e l v e c t o r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e s e s i s t e m a e s

ú n i c a . A d e m á s , s i u n s i s t e m a l i b r e e s a l a v e z g e n e r a d o r d e u n c i e r t o s u b e s -

p a c i o , e n t o n c e s n o h a y u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e d i c h o s u b e s p a c i o q u e t e n g a

m e n o s v e c t o r e s q u e e l s i s t e m a l i b r e c o n s i d e r a d o . L a s r a z o n e s a n t e r i o r e s s o n

s u c i e n t e s p a r a e s t u d i a r l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s q u e s o n a l a v e z s i s t e m a s

g e n e r a d o r e s y l i b r e s . U n a v e z c o n c l u i d o e l e s t u d i o d e l a s e c c i ó n , h a b r e m o s r e -

s u e l t o u n p r o b l e m a a d i c i o n a l : s a b r e m o s c u á l e s e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s q u e p o d e m o s e n c o n t r a r e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l

d a d o . ( S e g ú n s a b e m o s , e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n -

d i e n t e s q u e p o d e m o s e n c o n t r a r e n R2

e s 2, y e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s q u e p o d e m o s e n c o n t r a r e n R3

e s 3. V e r e m o s p o r

e j e m p l o , q u e e l n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s q u e

p o d e m o s e n c o n t r a r e n Rn

e s n).

D e n i c i ó n 2 . 5 . 1 D a d o s u n K − e.v. E

y H ≺ E,

s e d i c e q u e u n s i s t e m a

u1, · · · , un d e v e c t o r e s d e H e s u n a b a s e

d e H s i u1, · · · , un e s l i b r e y ∀v ∈ H

s e v e r i c a q u e v e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e u1, · · · , un.

E n o t r a s p a l a b r a s , u n a b a s e d e u n K− e.v. E

e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s

d e E

q u e e s s i m u l t á n e a m e n t e l i b r e y g e n e r a d o r .E n p a r t i c u l a r , c o m o

E ≺ E, u n a b a s e d e E

e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e

Eq u e e s l i b r e y t a l q u e t o d o v e c t o r d e

Es e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l

d e d i c h o s i s t e m a .

N o t a : S i u1, · · · , un e s u n a b a s e d e u n K − e.v. E

, e s u s u a l e s c r i b i r

B = {u1, · · · , un} p a r a d e n o t a r l a . T o d o v e c t o r v ∈ Es e e s c r i b e e n l a f o r m a

v =n

i=1 aiui, d o n d e l o s c o e c i e n t e s (a1, · · · , an) ∈ Kne s t á n u n í v o c a m e n t e

d e t e r m i n a d o s , p o r l a p r o p o s i c i ó n 2 . 4 . 1 0 , p e r o d e p e n d e n e n e l o r d e n d a d o a

l o s v e c t o r e s

u1, · · · , un.U n c a m b i o e n e l o r d e n d e l o s v e c t o r e s

u1, · · · , und a

p o r r e s u l t a d o u n c a m b i o c o r r e s p o n d i e n t e e n e l o r d e n d e l o s c o e c i e n t e s d e l

v e c t o r v. E s t a s i t u a c i ó n j u s t i c a l a d e n i c i ó n d e b a s e o r d e n a d a : u n a b a s e

o r d e n a d a B = (u1, · · · , un)

d e u n K− e.v. E

e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s l i b r e ,

g e n e r a d o r y o r d e n a d o .



Á l g e b r a 1 1 3

E j e m p l o s

1 . E l s i s t e m a

{(1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1)}d e v e c t o r e s d e

Knq u e h e -

m o s v i s t o q u e e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e Kn

t a m b i é n e s l i b r e , p u e s t o q u e s i

(α1, · · · , αn) ∈ Kne s t a l q u e

α1(1, 0, · · · , 0) + · · · + αn(0, · · · , 0, 1) = (0, · · · , 0),

t e n d r e m o s q u e (α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0). P o r c o n s i g u i e n t e ,

Bn = ((1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1))

e s u n a b a s e o r d e n a d a d e Kn. A e s t a b a s e s e l a c o n o c e c o n e l n o m b r e d e b a s e

c a n ó n i c a d e Kn

y s e l a d e n o t a c o m o Bn.

C o m o c a s o p a r t i c u l a r , r e s u l t a q u e

B1 = (1) e s u n a b a s e d e l K− e.v. K.2 . C o m o u n s u b c a s o d e l e j e m p l o a n t e r i o r , r e s u l t a q u e ((1, 0), (0, 1)) e s u n a

b a s e o r d e n a d a d e R2

( e s l a b a s e c a n ó n i c a d e R2

) . P o r o t r a p a r t e e l s i s t e m a

{ (2, 1), (−1, 1)}

t a m b i é n e s u n a b a s e d e R2, p u e s t o q u e

a ) { (2, 1), (−1, 1)} e s l i b r e , y a q u e s i α(2, 1) + β (−1, 1) = (0, 0), r e s u l t a

q u e (2α − β, α + β ) = (0, 0),

d e d o n d e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a 2α − β = 0α + β = 0

o b t e n e m o s q u e α = β = 0, e s d e c i r , (α, β ) = (0, 0).b ) T o d o v e c t o r d e R2

s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e

{(2, 1), (−1, 1)}, p u e s t o q u e d a d o (x, y) ∈ R2, p o n i e n d o

(x, y) = α(2, 1) + β (−1, 1),

r e s u l t a q u e

(x, y) = (2α − β, α + β ),

e s d e c i r , x = 2α − β y = α + β

,

d e d o n d e x + y = 3α, i . e . , α = 13 (x + y) y β = y − 13 (x + y) , e s d e c i r ,

β = 23y − 1

3x; e n o t r a s p a l a b r a s , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s x = 2α − β y = α + β



1 1 4 Á l g e b r a

t i e n e s o l u c i ó n ∀(x, y) ∈ R2

y p o d e m o s e s c r i b i r

(x, y) = 13

x + 13

y (2, 1) + 23

y − 13

x (−1, 1),

y e n c o n s e c u e n c i a {(2, 1), (−1, 1)}

e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e R2.

3 . S i e n d o P n(C) e l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s e n C

d e g r a d o

≤ n, s e v e r i c a q u e 1, x, · · · , xne s u n a b a s e d e P n(C) p u e s

a ) {1, x, · · · , xn}

e s l i b r e ( c o m p r u é b e s e ) y

b ) s i f ∈ P n(C), ∃(a0, a1, · · · , an) ∈ Kn+1t a l q u e

∀x ∈ Cf = a0+a1x+· · ·+anxn, c o n l o q u e f e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e

{1, x, · · · , xn}.

4 . E n e l K − e.v. d e l a s m a t r i c e s c o l u m n a d e n l a s , M n×1(K), s i e n d o

∀i∈ {

1,· · ·

, n}

ei : {1, · · · , n} × {1} → M n×1(K)

( j, 1) ;

1 s i j = i0 s i j = i

,

e s f á c i l c o m p r o b a r q u e {e1, · · · , en}

u n a b a s e d e M n×1(K). A e s t a b a s e

t a m b i é n l a d e n o m i n a r e m o s base canonica d e M n×1(K) y l a d e n o t a r e m o s p o r

Bc. E s d e c i r , u t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l u s u a l ,

Bc =

{e1,

· · ·, en

}=

{

10

.

.

.

0

,

01

.

.

.

0

,

· · ·,

00

.

.

.

1

}

.

E j e r c i c i o 2 . 5 . 1 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a m a t r i c e s M m×n(K),∀i ∈ {1, · · · , m}

y ∀ j ∈ {1, · · · , n}, s e a E ij l a m a t r i z q u e t i e n e u n ú n i c o

c o e c i e n t e n o n u l o : E ij(i, j) = 1. V e r i c a r q u e l a s mn m a t r i c e s E ij f o r m a n

u n a b a s e d e M m×n(K).

D e n i c i ó n 2 . 5 . 2 S i B = (u1, · · · , un) e s u n a b a s e o r d e n a d a d e l K− e.v. E

y v =

n

i=1

αiui,a l a m a t r i z α1

.

.

.

αn

∈ M n×1(K)



Á l g e b r a 1 1 5

l a d e n o m i n a r e m o s m a t r i z d e c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r v r e s p e c t o d e l a b a s e B, o

s i m p l e m e n t e c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r

vr e s p e c t o d e

B,y l a d e n o t a r e m o s

p o r (v)B.

E j e m p l o 2 . 5 . 3 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R3,

s i e n d o

B3 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)),

r e s u l t a q u e

((3, −2, 1))B3=

3−21

p u e s t o q u e

(3, −2, 1) = 3(1, 0, 0) + (−2)(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1).

E j e m p l o 2 . 5 . 4 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 3(C)

d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o

≤ 3, s i e n d o B = (1, x , x2, x3), r e s u l t a q u e

2x3 + x − 5

B

=

−5102

,

p u e s t o q u e 2x3 + x − 5 = (−5) · 1 + x + 0 · x2 + 2x3.

E j e m p l o 2 . 5 . 5 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R2, s i e n d o B2 = ((1, 0), (0, 1)) y B =

((2, 1), (−1, 1)), r e s u l t a q u e ∀(x, y) ∈ R2,

((x, y))B2=

xy

m i e n t r a s q u e

((x, y))B =

13x + 1

3y

23y − 1

3x

.

E n p a r t i c u l a r ,

((1, 0))B2=

1

0 m i e n t r a s q u e

((1, 0))B =

13−13

.



1 1 6 Á l g e b r a

D e n i c i ó n 2 . 5 . 6 S e d i c e q u e u n K − e.v. E

e s d e d i m e n s i ó n n i t a

s i

∃n ∈N

,y

∃u1, · · · , uns i s t e m a d e v e c t o r e s d e

Et a l q u e

{u1, · · · , un}e s u n a

b a s e d e E.

E j e m p l o 2 . 5 . 7 ∀n ∈ N

s e v e r i c a q u e Kn

e s u n K− e.v. n i t a m e n t e g e n e -

r a d o , p u e s t o q u e ∀(x1, · · · , xn) ∈ Kn

(x1, · · · , xn) = x1(1, 0, · · · , 0) + · · · + xn(0, · · · , 0, 1),

c o n l o q u e e l s i s t e m a d e n e l e m e n t o s ((1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1)) e s u n

s i s t e m a g e n e r a d o r d e Kn

y , p u e s t o q u e e s l i b r e , e s u n a b a s e d e Kn.

E j e m p l o 2 . 5 . 8 E l C − e.v. d e l o s p o l i n o m i o s

C[x] n o e s d e d i m e n s i ó n -

n i t a , p u e s t o q u e , r a z o n a n d o p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o , s i s u p o n e m o s q u e

{ p1, · · · , pn}e s u n a b a s e d e

C[x], s i e n d o

r = max{gr( pi) |i ∈ {1, · · · , n}},

e s o b v i o q u e e l p o l i n o m i o xr+1 ∈ C[x] n o s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n

l i n e a l d e l s i s t e m a { p1, · · · , pn}.

2 . 5 . 2 E q u i p o t e n c i a d e b a s e s

O b s e r v a c i ó n 2 8 S i {u1, · · · , un}

e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e u n K − e.v.

E, y

∃i∈ {

1,· · ·

, n}

t a l q u e ui

e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l s i s t e m a

{u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un},

e n t o n c e s c u a l q u i e r v e c t o r q u e s e a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e {u1, · · · , un}

e s t a m -

b i é n c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e

{u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un},

p u e s t o q u e s i ui =n

j=1,j=i

α j u j y v =n

j=1

β j u j , t e n d r e m o s q u e

v = β 1u1 + · · · + β i−1ui−1 + β i n j=1,j=i

α ju j + β i+1ui+1 + · · · + β nun =

=n

j=1,j=i

γ j u j,



Á l g e b r a 1 1 7

d o n d e ∀ j ∈ {1, · · · , n} − {i}

γ j = (β j + β iα j ) .


u n K − e.v., {u1, · · · , un}

u n a b a s e d e E

y

{v1, · · · , vm}u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e

Ec o n m > n. E n e s t a s c o n d i c i o -

n e s e l s i s t e m a {v1, · · · , vm}

e s l i g a d o .

D e m o s t r a c i ó n S u p o n d r e m o s q u e ∀i ∈ {1, · · · , m} vi = 0, p u e s t o q u e e n

c a s o c o n t r a r i o , a u t o m á t i c a m e n t e e l s i s t e m a {v1, · · · , vm}

e s l i g a d o . V e a m o s

q u e a ú n s i e n d o ∀i ∈ {1, · · · , m} vi = 0, e l s i s t e m a (v1, · · · , vm) e s l i g a d o .

P u e s t o q u e {u1, · · · , un} e s u n a b a s e d e

E, ∀ j ∈ {1, · · · , m}

v j =n

i=1

aijui.

P o r c o n s i g u i e n t e , s u p o n i e n d o q u e

m j=1

β jv j = 0.


m j=1

β j(n

i =1

a ij u i ) = 0.

e s d e c i r ,

n i =1

(m

j =1

a ij β j )u i = 0.

( e n e s t e p u n t o e s i m p o r t a n t e q u e e l a l u m n o u t i l i c e u n a n o t a c i ó n n o c o n t r a i d a

d e l s u m a t o r i o p a r a e n t e n d e r e l p a s o a n t e r i o r ) c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a

q u e

{u1,

· · ·, un

}e s u n a b a s e d e

E, o b t e n e m o s q u e t o d o s l o s c o e c i e n t e s d e l a

c o m b i n a c i ó n l i n e a l a n t e r i o r d e b e n s e r i g u a l e s a c e r o , e s d e c i r , ∀i ∈ {1, · · · , n},

m j =1

a ij β j = 0.



1 1 8 Á l g e b r a

y , p u e s t o q u e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s h o m o g é n e o

a11β 1 + · · · + a1nβ m = 0

.

.

.

an1β 1 + · · · + anmβ m = 0

t i e n e m á s i n c ó g n i t a s q u e e c u a c i o n e s (m > n), d i c h o s i s t e m a t i e n e s o l u c i o n e s

d i f e r e n t e s d e l a t r i v i a l , p o r l o q u e {v1, · · · , vm}

e s l i g a d o . 2

O b s e r v a c i ó n 2 9 C u a l q u i e r s i s t e m a d e 4 o m á s v e c t o r e s d e R3

e s l i g a d o .

C o r o l a r i o 2 . 5 . 1 0 ( E q u i p o t e n c i a d e b a s e s e n u n K

−e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a )

S i E e s u n K− e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o y

B = {u1, · · · , un}y B = {v1, · · · , vm}

( 2 . 1 0 )

s o n b a s e s d e E, s e v e r i c a n e c e s a r i a m e n t e q u e n = m.

D e m o s t r a c i ó n P o r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , c o m o t o d o v e c t o r d e l s i s t e m a

{v1, · · · , vm}e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e

{u1, · · · , un}( p u e s t o q u e

{u1, · · · , un}e s b a s e d e

E)c o n c l u í m o s q u e m ≤ n ( y a q u e e n c a s o c o n t r a r i o

{v1, · · · , vm}s e r í a l i g a d o , e n c o n t r a d i c c i ó n c o n q u e s e a b a s e ) .

P o r e l m i s m o m o t i v o , c o m o {v1, · · · , vm}

t o d o v e c t o r d e l s i s t e m a {u1, · · · , un}

e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e {v1, · · · , vm} c o n c l u í m o s q u e

n ≤ m( y a q u e e n c a s o

c o n t r a r i o {u1, · · · , un}

s e r í a l i g a d o , e n c o n t r a d i c c i ó n c o n q u e s e a b a s e ) , y e n

d e n i t i v a o b t e n e m o s q u e n = m. 2

U n a v e z d e m o s t r a d o q u e s i E

e s u n K − e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a t o d a s

l a s b a s e s d e E

t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e e l e m e n t o s , p o d e m o s e s t a b l e c e r l a

s i g u i e n t e d e n i c i ó n :

D e n i c i ó n 2 . 5 . 1 1 S i E

e s u n K− e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a y

(u1, · · · , un) ∈ En

e s u n a b a s e d e E, d i r e m o s q u e l a d i m e n s i ó n d e E e s n y e s c r i b i r e m o s

dim(E) = n.



Á l g e b r a 1 1 9

E j e m p l o s :

1 . C ó m o

1 ∈K

e s u n a b a s e d e l K

− e.v.K

,r e s u l t a q u e

dim(K) = 1.

2 . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a b a s e c a n ó n i c a d e Kn

t i e n e n e l e m e n t o s ,

r e s u l t a q u e

dim(Kn) = n.

3 . P u e s t o q u e (1, x, · · · , xn) ∈ (P n(C))n+1

e s u n a b a s e d e P n(C), t e n d r e -

m o s q u e

dim(P n(C)) = n + 1.

A e s t a b a s e l a d e n o m i n a r e m o s base usual d e P n(C).

A d e m á s d e l t e o r e m a d e e q u i p o t e n c i a d e b a s e s e n u n K − e.v.

d e d i m e n -

s i ó n n i t a , d e l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 5 . 9 ) t a m b i é n s e p u e d e n o b t e n e r d e m a n e r a

i n m e d i a t a l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s .

P r o p o s i c i ó n 2 . 5 . 1 2 S i E

e s u n K− e.v. y

{u1, · · · , un}e s u n a b a s e d e

E,e n t o n c e s s e v e r i c a q u e :

1 . ({v1, · · · , vm}

s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E ∧ (m > n)) ⇒ {v1, · · · , vm}

l i -

g a d o ;

2 . {v1, · · · , vn} s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e E ⇒ {v1, · · · , vn} b a s e ;

3 . {v1, · · · , vn}

s i s t e m a g e n e r a d o r d e E ⇒ {v1, · · · , vn}

b a s e .

D e m o s t r a c i ó n 1 . E v i d e n t e a p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 5 . 9 ) .

2 . E v i d e n t e a p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 4 . 1 3 ) y 1 .

3 . S i {v1, · · · , vn} e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e

Ey

{v1, · · · , vn} e s l i -

g a d o , e n t o n c e s ( a p l i c a n d o l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 4 . 1 1 ) h a s t a r e d u c i r e l s i s t e m a

{v1, · · · , vn} a u n s i s t e m a l i b r e , ) e x i s t i r á n r ∈ N, r ≤ n y u n a b a s e B =

{w1, · · · , wr} d e E, t a l e s q u e

∀i ∈ {1, · · · r} ∃ j ∈ {1, · · · , n}d e m a n e r a q u e

wi = v j. P e r o p u e s t o q u e

{w1,

· · ·, wr

}e s u n a b a s e d e

E, r = n y p u e s -

t o q u e {w1, · · · , wn} e s l i b r e y l a n − tupla {v1, · · · , vn} n o e s m á s q u e u n a

r e o r d e n a c i ó n d e l a n−tupla {w1, · · · , wn}, r e s u l t a q u e {v1, · · · , vn}

e s l i b r e . 2

E j e r c i c i o 2 . 5 . 2 V e r i c a r q u e e l s i s t e m a {1, 1 + x, x2}

e s u n a b a s e d e P 2(C).

1 2 0 Á l g e b r a

2 . 6 S u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s y d i m e n s i ó n

O b s e r v a c i ó n 3 0 S i E

e s u n K−e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a y H ≺ E, e n t o n c e s

H t a m b i é n e s d e d i m e n s i ó n n i t a y

dim(H ) ≤ dim(E),p u e s t o q u e c u a l q u i e r

s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e H t a m b i é n e s u n s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e E.

N ó t e s e a d e m á s q u e s i H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e E

t a l q u e dim(H ) =dim(E), s e v e r i c a n e c e s a r i a m e n t e q u e H = E, p u e s t o q u e s i (u1, · · · , un) ∈H n e s u n a b a s e d e H, e n t o n c e s (u1, · · · , un) t a m b i é n e s u n a b a s e d e

E, p u e s t o

q u e e s u n s i s t e m a l i b r e d e n v e c t o r e s d e E, y e n c o n s e c u e n c i a a l p o d e r e x p r e s a r

t o d o v e c t o r d e E

c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e (u1, · · · , un) , t o d o v e c t o r d e E

s e r á t a m b i é n u n v e c t o r d e H, c o n l o q u e H = E.

P r o p o s i c i ó n 2 . 6 . 1 ( T e o r e m a d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e ) S i

Ee s u n

K−e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o c o n

dim(E) = n,

H ≺ Ey

(u1, · · · , um) ∈ H me s u n a

b a s e d e H c o n m < n e n t o n c e s e x i s t e

(um+1, · · · , un) ∈ En−m

t a l q u e (u1, · · · , um, um+1, · · · , un)

e s u n a b a s e d e E.

D e m o s t r a c i ó n R a z o n a m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e n − m :B a s e d e i n d u c c i ó n . S i

n−m = 1,e n t o n c e s

m = n−1y

(u1, · · · , um) =(u1,

· · ·, un

−1). A h o r a b i e n , c o m o (u1,

· · ·, un

−1) e s u n a b a s e d e H,

(u1, · · · , un−1)e s u n s i s t e m a l i b r e , y p o r o t r a p a r t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e

dim(E) = n, r e s u l t a q u e (u1, · · · , un−1) n o e s u n a b a s e d e E, y p o r c o n s i -

g u i e n t e ∃v ∈ E

t a l q u e v n o e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e (u1, · · · , un−1); p e r o ,

e n e s e c a s o , t e n d r e m o s q u e (u1, · · · , un−1, v) ∈ Ene s u n s i s t e m a l i b r e , c o n l o

q u e o b t e n e m o s q u e (u1, · · · , un−1, v) e s u n a b a s e d e E.

P a s o d e i n d u c c i ó n . S u p o n g a m o s c i e r t o e l r e s u l t a d o p a r a n − m = k,y s e a

Eu n K − e.v. t a l q u e dim(E) = n, H ≺ E

y (u1, · · · , um) ∈ H m u n a

b a s e d e H t a l q u e n − m = k + 1. E n e s e c a s o (u1, · · · , um) e s u n s i s t e m a

l i b r e d e E

y , p u e s t o q u e m < n, (u1, · · · , um) n o e s b a s e d e E

, p o r l o q u e

∃v ∈ Et a l q u e v n o e s c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e

(u1, · · · , um). P o r c o n s i g u i e n -

t e

(u1, · · · , um, v)e s l i b r e . P e r o e n e s e c a s o , s i c o n s i d e r a m o s e l s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l H = L({ui |i ∈ {1, · · · , m} } ∪ {v}),

r e s u l t a q u e t o d o v e c t o r d e H

s e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e (u1, · · · , um, v) y q u e a d e m á s e s t e

s i s t e m a e s l i b r e , c o n l o q u e (u1, · · · , um, v)

e s u n a b a s e d e H .

A h o r a b i e n ,

dim(H ) = m + 1, y p o r l o t a n t o , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e n − m = k + 1,



Á l g e b r a 1 2 1

r e s u l t a q u e n − (m + 1) = k, c o n l o q u e a p l i c a n d o l a h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n ,

∃(um+2, · · · , un) ∈En

−(m+1)

t a l q u e

(u1, · · · , um, v , um+2, · · · , un)e s u n a b a -

s e d e E; e s d e c i r , l a d e m o s t r a c i ó n e s t á c o m p l e t a .

2

O b s e r v a c i ó n 3 1 N ó t e s e q u e e l r e s u l t a d o a n t e r i o r t i e n e c o m o c o n s e c u e n c i a

q u e s i (u1, · · · , um) e s u n s i s t e m a l i b r e d e v e c t o r e s d e E

y

dim(E) = n > m,

e n t o n c e s ∃(um+1, · · · , un) ∈ En−m

t a l q u e

(u1, · · · , um, um+1, · · · , un)

e s u n a b a s e d e E,

p u e s t o q u e s i e s l i b r e , (u1,

· · ·, um)

e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r

d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

H = L({ui |i ∈ {1, · · · , m}}).

N o t a . D a d o s u n K − e.v. E

, y H ≺ E, s i dim(H ) = 1

s e d i c e q u e H e s u n a

rectad e

E, s i dim(H ) = 2, s e d i c e q u e H e s u n plano

d e E, y s i

dim(E) = ny

dim(H ) = n − 1,s e d i c e q u e

H e s u n

hiperplanod e

E.A s í p o r e j e m p l o , e n e l

C− e.v. P 4(C) = {f ∈ C[x] |gr(f ) ≤ 4}, p o d e m o s

a r m a r q u e

L((1)) = {f ∈ P 4(C) |∃α ∈ C..∀z ∈ C f (z ) = (α · 1) (z ) = α}e s u n a r e c t a d e

P 4(C),q u e

L((x, x2)),e s d e c i r , e l c o n j u n t o

{f ∈ P 4(C)∃(α, β ) ∈ C2..∀z ∈ C f (z ) =

αx + βx2

(z ) = αz + βz 2}

e s u n p l a n o d e P 4(C)y q u e L((1, x , x2, x3))

e s u n h i p e r p l a n o d e P 4(C).

O b s e r v a c i ó n 3 2 P u e s t o q u e dim(R3) = 3, s i H ≺ R3, H = R3, r e s u l t a

q u e dim(H ) = 0, 1

ó 2. S i

dim(H ) = 0, H = {(0, 0, 0)}. S i dim(H ) = 1,

y u = (x,y,z ) ∈ H, u = (0, 0, 0), t e n d r e m o s q u e H = L({u}) = {v ∈R3 |∃α ∈ R

t a l q u e v = αu}, y e s f á c i l v e r q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e

H e s l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o

(0, 0, 0)( p u e s t o q u e

0 = (0, 0, 0) ∈ H a l

s e r H ≺ R3)

y e l p u n t o (x,y,z ).

F i n a l m e n t e , s i dim(H ) = 2,

y (u, v)

e s u n a

b a s e d e H, r e s u l t a q u e H = {w ∈ R3 |∃(α, β ) ∈ R2t a l q u e w = αu + βv }

y

e s f á c i l v e r q u e l a r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a d e H

e s e l p l a n o d e R3

q u e p a s a p o r

(0, 0, 0) y p o r u y v.



1 2 2 Á l g e b r a

2 . 7 R a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s y d e u n a

m a t r i z

D e n i c i ó n 2 . 7 . 1 S e a n E

u n K

- e . v . y {u1, · · · , um}

u n s i s t e m a d e v e c t o -

r e s E. S e d e n o m i n a

r a n g o d e l s i s t e m a

{u1, · · · , um}a l a d i m e n s i ó n d e l

s u b e s p a c i o v e c t o r i a l L(u1, · · · , um). P a r a i n d i c a r q u e e l r a n g o d e l s i s t e m a

{u1, · · · , um}e s r e s c r i b i r e m o s

rg(u1, · · · , um) = r.

E j e m p l o 2 . 7 . 2 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R3, rg((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = 3.

P o r o t r a p a r t e , rg((1, 0, 0), (0, 1, 0)) = 2,

p u e s t o q u e a l s e r

{(1, 0, 0), (0, 1, 0)

}u n s i s t e m a l i b r e , c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l q u e g e n e r a n .

E j e m p l o 2 . 7 . 3 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 2(C), rg(1, x2, 1 + x2) = 2.

A t e n o r d e l o s r e s u l t a d o s v i s t o s h a s t a a h o r a , r e s u l t a e v i d e n t e q u e

rg(u1, · · · , um, v) = rg(u1, · · · , um) ⇔ v ∈ L(u1, · · · , um).

D e n i c i ó n 2 . 7 . 4 S e a A ∈ M m×n(K). S i {A1, · · · , An}

e s e l s i s t e m a d e v e c -

t o r e s d e M m×1(K) f o r m a d o p o r l a s c o l u m n a s d e A, s e d e n o m i n a r a n g o

d e Aa l r a n g o d e d i c h o s i s t e m a d e v e c t o r e s , e s d e c i r ,

rg(A) = rg(A1, · · · , An).

E j e m p l o 2 . 7 . 5 D a d a l a m a t r i z A =

1 1 11 1 01 0 0

∈ M 3(R), s e v e r i c a q u e

rg(A) = rg(

111

110

100

).

A h o r a b i e n , s i

α

111

+ β

110

+ γ

100

=

000

,



Á l g e b r a 1 2 3


α + β + γ = 0α + β = 0α = 0

d e d o n d e α = 0 = β = γ, e s d e c i r , e l s i s t e m a e s l i b r e , d e d o n d e

rg(

111

110

100

) = 3

y , e n c o n s e c u e n c i a , rg(A) = 3.

D e n i c i ó n 2 . 7 . 6 S i A

∈M m

×n(K), a l s u b e s p a c i o d e M m

×1(K) g e n e r a d o p o r

l a s c o l u m n a s d e A, L(A1, · · · , An), s e l e d e n o m i n a e s p a c i o c o l u m n a d e A.

T r a s e l e s t u d i o d e l a s i g u i e n t e s e c c i ó n , v e r e m o s u n m é t o d o s i s t e m á t i c o y

s e n c i l l o p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s , q u e o b v i a m e n t e

s e r v i r á t a m b i é n p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z .

2 . 8 E l t e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s

E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e d a d o u n s i s t e m a d e m e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n ni n c ó g n i t a s y c o n c o e c i e n t e s e n

Kd e l a f o r m a

a11x1 + · · · + a1nxn = b1,.

.

.

am1x1 + · · · + amnxn = bm,

d e t e r m i n a r e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e d i c h o s i s t e m a ( i . e . , r e s o l v e r d i c h o s i s t e m a

c u a n d o e s c o m p a t i b l e ) s i g n i c a d e t e r m i n a r s i e x i s t e n x1, · · · , xn d e m a n e r a

q u e s e s a t i s f a g a l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n :

x1

·a11

.

.

.

am1 +

· · ·+ xn

·a1n

.

.

.

amn = b1

.

.

.

bm ,

q u e , d e f o r m a r e d u c i d a , e x p r e s a r e m o s :

x1A1 + · · · + xnAn = b,



1 2 4 Á l g e b r a

d o n d e

∀ j ∈ {1, · · · , n} A j = · a1 j

.

.

.

amj

∧ b = b1

.

.

.

bm

.

( N ó t e s e q u e l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l d e M m×1(K)) .

E s d e c i r , e l s i s t e m a s e r á c o m p a t i b l e s i

b1.

.

.

bm

∈ M m×1(K) s e p u e d e

e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e M m×1(K)

a11.

.

.

am1

, · · · , a1n

.

.

.

amn

.

L o s r e s u l t a d o s v i s t o s s o b r e d e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a l i n e a l a p l i c a d o s

a e s t e c a s o c o n c r e t o n o s l l e v a n a l s i g u i e n t e r e s u l t a d o :

P r o p o s i c i ó n 2 . 8 . 1 D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

a11x1 + · · · + a1nxn = b1,

.

.

.

am1x1 + · · · + amnxn = bm,


AX = b

c o n A ∈ M m×n(K) y b ∈ M m×1(K) y s i e n d o S e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r l a s

s o l u c i o n e s d e l m i s m o , l a s s i g u i e n t e s a r m a c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s :

1 . E l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c o m p a t i b l e ( e s d e c i r , S = ∅);

2 . b∈

L(A1,· · ·

, An);

3 . L(A1, · · · , An) = L(A1, · · · , An, b).

4 . rg(A) = rg(A |b) ,

d o n d e (A |b)

e s l a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a l s i s -

t e m a d e e c u a c i o n e s c o n s i d e r a d o .



Á l g e b r a 1 2 5

P o r o t r a p a r t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i u n v e c t o r s e e s c r i b e c o m o c o m -

b i n a c i ó n l i n e a l d e u n s i s t e m a l i b r e , d i c h a e x p r e s i ó n e s ú n i c a , r e s u l t a q u e :

P r o p o s i c i ó n 2 . 8 . 2 S i e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

AX = b

c o n A ∈ M n(K)

y b ∈ M n×1(K)

e s c o m p a t i b l e , s o n e q u i v a l e n t e s l a s a r m a -

c i o n e s s i g u i e n t e s :

1 . E l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o .

2 . (A1, · · · , An)

e s u n s i s t e m a l i b r e d e M n×1(K).

3 . (A1, · · · , An)

e s u n a b a s e d e M n×1(K).

4 . rg(A1, · · · , An) = n.

5 . rg(A) = rg(A |b) = n.

A l r e s u l t a d o s o b r e l a e x i s t e n c i a y u n i c i d a d d e s o l u c i o n e s d e u n s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e a p a r e c e d e s g l o s a d o e n l a s d o s ú l t i m a s p r o p o s i c i o n e s

s e l e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e T e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s .

A s í p o r e j e m p l o , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s c o n c o e c i e n t e s e n R

x + y = 2,2x + 2y = 4,

d a l u g a r a l a s i g u i e n t e c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e M 2×1(R)

x ·

12

+ y ·

12

=

24

.

A s í p u e s e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e , p u e s t o q u e

24 ∈

L(12 ,

12 )

e i n d e t e r m i n a d o , y a q u e

(

12

,

12

) ∈ (M 2×1(R))2



1 2 6 Á l g e b r a

e s u n s i s t e m a l i g a d o .

N o t a i m p o r t a n t e . O b s é r v e s e q u e s i

Ee s u n

K− e.v.

d e d i m e n s i ó n

ny

Be s u n a b a s e o r d e n a d a d e

E,s i e n d o

v1, · · · , vm, u ∈ E,r e s u l t a q u e , a l e s t a r

c a r a c t e r i z a d o u n v e c t o r p o r s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e u n a b a s e o r d e n a d a ,

mi=1

αivi = u ⇔m

i=1

αi(vi)B = (u)B.

L a e x p r e s i ó n s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l s í m b o l o ⇔

e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l d e

M n×1(K),d e m o d o q u e p u e d e s e r c o n s i d e r a d a c o m o u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

l i n e a l e s . A s í p u e s , d e t e r m i n a r s i u n v e c t o r u ∈ Ed e p e n d e l i n e a l m e n t e o n o d e

u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d a d o v1,

· · ·, vm y h a l l a r , e n s u c a s o ,

α1,

· · ·, αm

∈K

t a l e s q u e

mi=1

αivi = u,

c o n s i s t i r á e n j a r u n a b a s e B d e l e s p a c i o v e c t o r i a l E

p a r a e s t u d i a r ( y , e n s u

c a s o , r e s o l v e r ) l a e c u a c i ó n l i n e a l d e M n×1(K)

mi=1

αi(vi)B = (u)B

o , s i s e p r e e r e , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e q u i v a l e n t e .

E j e m p l o s .

1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 2(C) d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o ≤ 2, p a r a

d e t e r m i n a r s i e l v e c t o r 3 − 2x + x2p e r t e n e c e o n o a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

L(−x2 + x, x − 3), d e b e m o s e s t u d i a r s i e x i s t e n α, β ∈ C t a l e s q u e

α(−x2 + x) + β (x − 3) = 3 − 2x + x2;

s i e n d o B = (1, x , x2), e l p r o b l e m a a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t e a

α(

−x2 + x)B + β (x

−3)B = (3

−2x + x2)B;

e s d e c i r ,

α

01

−1

+ β

−310

=

3−21

,



Á l g e b r a 1 2 7

o , l o q u e e s l o m i s m o , a r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s :

−3β = 3,α + β = −2,

−α = 1,

q u e t i e n e c o m o s o l u c i ó n α = β = −1.

2 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s x − y = 2

3x + y = 0,

e s e q u i v a l e n t e a v e r s i e s p o s i b l e e x p r e s a r e l v e c t o r

20

c o m o c o m b i n a c i ó n

l i n e a l d e l o s v e c t o r e s

13

y

−11

d e l a f o r m a :

x

13

+ y

−11

=

20

.

E s t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o , p u e s t o q u e e l s i s t e m a

(

13

,

−11

)

e s u n s i s t e m a l i b r e d e M 2×1(R)y , p u e s t o q u e l a d i m e n s i ó n

d e M 2×1(R) e s 2, c o n s t i t u y e u n a b a s e y c u a l q u i e r v e c t o r ( e n p a r t i c u l a r

20

)

s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l s u y a .

T e o r e m a 2 . 8 . 3 D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s a11x1 + · · · + a1nxn = b1,

.

.

.

am1x1 + · · · + amnxn = bm,


AX = b

c o n A ∈ M m×n(K) y b ∈ M m×1(K) y s i e n d o S e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r l a s

s o l u c i o n e s d e l m i s m o , s e v e r i c a q u e :

1 . E l c o n j u n t o S H s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a

x1A1 + · · · + xnAn = (0),

e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Kn

.



1 2 8 Á l g e b r a

2 . S i l a e c u a c i ó n l i n e a l ( o , s i s e p r e e r e , e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s )

x1A1 + · · · + xnAn = b,

e s c o m p a t i b l e , S e s s u c o n j u n t o s o l u c i ó n , y (α1, · · · , αn) ∈ S, e n t o n c e s

∀(β 1, · · · , β n) ∈ Kn

((β 1, · · · , β n) ∈ S ⇔ ((β 1, · · · , β n) − (α1, · · · , αn)) ∈ S H )

D e m o s t r a c i ó n E j e r c i c i o . 2

O b s e r v a c i ó n 3 3 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o r e m a a n t e r i o r , e l c o n j u n t o s o l u -

c i ó n d e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s s e o b t i e n e s u m a n d o a u n a s o l u c i ó n

c u a l q u i e r a d e d i c h o s i s t e m a t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a h o m o g é n e o a s o -

c i a d o . E s d e c i r , s i (α1, · · · , αn) e s u n a s o l u c i ó n c u a l q u i e r a d e l s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s l i n e a l e s ,

x1A1 + · · · + xnAn = b,

s i e n d o S s u c o n j u n t o s o l u c i ó n y S H e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l s i s t e m a h o m o -

g é n e o a s o c i a d o , s e v e r i c a q u e :

S =

(γ 1, · · · , γ n) ∈ Kn

∃(β 1, · · · , β n) ∈ S H . .

(γ 1, · · · , γ n) = (α1, · · · , αn) + (β 1, · · · , β n)

E s u s u a l r e c a l c a r e s t a c i r c u n s t a n c i a e s c r i b i e n d o

S = (α1, · · · , αn) + S H .

P o r o t r a p a r t e , s i (α1, · · · , αn)

e s u n a s o l u c i ó n c u a l q u i e r a d e l a e c u a c i ó n

l i n e a l

x1A1 + · · · + xnAn = b,

y (β 1, · · · , β n) e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n l i n e a l

x1A1 + · · · + xnAn = c,

r e s u l t a q u e (α1 + β 1,

· · ·, αn + β n) e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n l i n e a l

x1A1 + · · · + xnAn = b + c.

E s t e h e c h o s e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e

s o l u c i o n e s .



Á l g e b r a 1 2 9

D e n i c i ó n 2 . 8 . 4 D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ,

x1A1 + · · · + xnAn = b,

c o n A ∈ M m×n(K) y b ∈ M m×1(K), d e n o m i n a r e m o s s i s t e m a f u n d a m e n t a l

d e s o l u c i o n e s d e d i c h o s i s t e m a a c u a l q u i e r b a s e d e l e s p a c i o v e c t o r i a l S H d e

s o l u c i o n e s d e s u e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a .

O b s e r v a c i ó n 3 4 N ó t e s e q u e s i (w1, · · · , wr) e s u n s i s t e m a f u n d a m e n t a l d e

s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

x1A1 + · · · + xnAn = b,

s i e n d o S s u c o n j u n t o s o l u c i ó n y s ∈ S u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a

e c u a c i ó n , s e v e r i c a q u e

u ∈ S ⇔ ∃λ1, · · · , λr ∈ Kt a l q u e

u = s + λ1w1 + · · · + λrwr.

E j e m p l o : D a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s x + y + z = 2,

2x + 2y + 2z = 4,

l a e c u a c i ó n l i n e a l d e M 2×1(R) c o r r e s p o n d i e n t e e s

x

12

+ y

12

+ z

12

=

24

.

E l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e e i n d e t e r m i n a d o d e h e c h o (

12

,

12

,

12

)

e s u n s i s t e m a l i g a d o y

24

∈ L(

12

,

12

,

12

) = L(

12

).

E l c o n j u n t o s o l u c i ó n s e p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e l a s u m a d e u n a s o l u c i ó n

p a r t i c u l a r d e l s i s t e m a a t o d a s l a s d e l h o m o g é n e o . R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a

h o m o g é n e o a s o c i a d o p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n t e n e m o s q u e l a s o l u c i ó n

e s x = −s − t,y = s,z = t,



1 3 0 Á l g e b r a

e s d e c i r ,

xyz

= s −110

+ t −101

o , s i s e p r e e r e ,

(x,y,z ) = s(−1, 1, 0) + t(−1, 0, 1).

L o s v e c t o r e s (1, 0, −1) y (1, −1, 0) c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e S H . P o r c o n s i -

g u i e n t e

((1, 0, −1), (1, −1, 0))

e s u n s i s t e m a f u n d a m e n t a l d e s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d a d o . C o m o (0, 0, 2) e s

u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a e c u a c i ó n , r e s u l t a q u e :

S = {(x,y,z ) ∈ R3

∃α, β ∈ R . . (x,y,z ) == (0, 0, 2) + α(−1, 1, 0) + β (−1, 0, 1)

}.

2 . 9 M é t o d o d e G a u s s y r a n g o

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a v e r u n m é t o d o s i s t e m á t i c o q u e s e r v i r á p a r a d e t e r -

m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z y d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s .

2 . 9 . 1 T r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s y m a -

t r i c e s e l e m e n t a l e s

A l e s t u d i a r u n m é t o d o p a r a h a l l a r l a i n v e r s a d e u n a m a t r i z , v i m o s e n e l

c a p í t u l o 1 q u e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s s o n i n v e r t i b l e s , y q u e

l a i n v e r s a d e u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l ,

s e g ú n e l c u a d r o



F i = λF i (λ = 0) F i =1

λF i




Á l g e b r a 1 3 1

P o r e l m i s m o m o t i v o , l a s c o r r e s p o n d i e n t e s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r

c o l u m n a s s o n i n v e r t i b l e s , y l a t a b l a c o r r e s p o n d i e n t e s e r á l a s i g u i e n t e :


C i = C i + λC j C i = C i − λC j

C i = λC i (λ = 0) C i =1

λC i

C i ↔ C j C i ↔ C j

D e n o t a m o s p o r S ij(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s f o r m a c i ó n

C i = C i + λC j, p o r P i(λ) a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s f o r m a c i ó n

C i = λC i (λ = 0)y p o r E ij a l a m a t r i z e l e m e n t a l a s o c i a d a a l a t r a n s f o r m a c i ó n

C i ↔ C j .N o e s d i f í c i l v e r i c a r ( y l o c o m p r o b a r e m o s t a m b i é n a l r e a l i z a r l a p r á c t i c a 2

e n e l a u l a i n f o r m á t i c a ) q u e v a l e n l a s s i g u i e n t e s i d e n t i d a d e s :

S ij(λ) = S ji(λ)

P i(λ) = P i(λ)

E ij = E ij

A d e m á s v a l e e l s i g u i e n t e t e o r e m a :

T e o r e m a 2 . 9 . 1 S i A ∈ M m×n(K) y E e s l a m a t r i z e l e m e n t a l d e o r d e n nq u e s e o b t i e n e a l r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l t s o b r e l a s c o l u m n a s

d e I n,

s e g ú n e l e s q u e m a

I n

t−→ E,

e n t o n c e s s i Ae s l a m a t r i z r e s u l t a n t e d e r e a l i z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n t s o b r e

l a s c o l u m n a s d e A s e g ú n e l e s q u e m a

A

t

−→ A,

r e s u l t a q u e

A = A · E



1 3 2 Á l g e b r a

E s d e c i r , e n e s t e c a s o h a y q u e m u l t i p l i c a r p o r l a m a t r i z e l e m e n t a l c o r r e s -

p o n d i e n t e p e r o p o r l a d e r e c h a e n l u g a r d e p o r l a i z q u i e r d a .

E j e r c i c i o 2 . 9 . 1 V e r i f í q u e s e e l r e s u l t a d o a n t e r i o r p a r a t ≡ C 2 = C 2 + 3C 1s o b r e l a m a t r i z

A =

1 0 23 1 10 1 4

,

e s d e c i r , c o m p r o b a r q u e s i Ae s l a m a t r i z r e s u l t a n t e d e h a c e r a c t u a r t s o b r e

A, e n t o n c e s

A = A

·S 21(3) = A

·S 12(3).

2 . 9 . 2 M é t o d o d e G a u s s p a r a c a l c u l a r e l r a n g o d e u n a

m a t r i z

B u s c a m o s u n m é t o d o q u e n o s p e r m i t a d e t e r m i n a r d e u n m o d o s e n c i l l o e l

r a n g o d e u n a m a t r i z A ∈ M m×n(K). P a r a e l l o , v a m o s a c o m p r o b a r e n p r i -

m e r l u g a r q u e a l r e a l i z a r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s s o b r e l a s c o l u m n a s

d e u n a m a t r i z A n o s e a l t e r a s u r a n g o . E l s i g u i e n t e l e m a s e a p l i c a r á e n l a

d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a p r i n c i p a l :

L e m a 2 . 9 . 2 S i E

e s u n K− e.v. y (u1, · · · , un) y (v1, · · · , vm) s o n s i s t e m a s

d e v e c t o r e s d e E, s e v e r i c a q u e

L(u1, · · · , un) = L(v1, · · · , vm) ⇔ u1, · · · , un ∈ L(v1, · · · , vm)

∧v1, · · · , vm ∈ L(u1, · · · , un)

D e m o s t r a c i ó n S e d e j a c o m o e j e r c i c i o . 2

T e o r e m a 2 . 9 . 3 S i A ∈ M m×n(K)

, y B ∈ M m×n(K)

e s l a m a t r i z r e s u l t a d o

d e r e a l i z a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s t s o b r e A, s e v e r i c a

q u e

rg(A) = rg(B)



Á l g e b r a 1 3 3

D e m o s t r a c i ó n P a r a d e m o s t r a r e l r e s u l t a d o , c o m p r o b a r e m o s q u e s i

At

−→ B,

e n t o n c e s L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn),

c o n l o q u e rg(A) = rg(B).

D i s -

t i n g a m o s t r e s p o s i b i l i d a d e s :

a ) t ≡ C i = C i + λC j .

E n e s e c a s o t o d o s l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e A

y

B c o i n c i d e n , s a l v o e l i − esimo; p e r o Bi = Ai + λA jy Ai = Bi − λA j =

Bi − λB j, c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a e l l e m a a n t e r i o r , c o n c l u i m o s q u e

L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn).b ) t

≡C i = λC i (λ

= 0). E n e s e c a s o t o d o s l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e A

y B c o i n c i d e n , s a l v o e l i − esimo; p e r o Bi = λAiy Ai = (λ−1)Bi, c o n l o

q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a e l l e m a a n t e r i o r , c o n c l u i m o s q u e L(A1, · · · , An) =L(B1, · · · , Bn).

c ) F i n a l m e n t e s i t ≡ C i ↔ C j , e s o b v i o q u e L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn).2

E s o b v i o , a p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , q u e s i e n l u g a r d e r e a l i z a r u n a

t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l , r e a l i z a m o s u n n ú m e r o n i t o d e e l l a s t1, · · · , tr e l

r a n g o s e c o n s e r v a . E s d e c i r , s i

A

t1

−→, · · ·tr

, −→ B,

n e c e s a r i a m e n t e rg(A) = rg(B).V a m o s a c o n s i d e r a r a h o r a u n t i p o d e m a t r i c e s c u y o r a n g o s e c a l c u l a d e

u n m o d o s e n c i l l o :

D e n i c i ó n 2 . 9 . 4 S e d i c e A ∈ M m×n(K) e s u n a m a t r i z

g a u s s i a n a s i

∀ j ∈{1, · · · , n}

l a c o l u m n a A j

d e A

v e r i c a u n a d e l a s d o s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

G . 1 A j = (0) ∈ M m×1(K),

G . 2 ∃i ∈ {1, · · · , m} t a l q u e

A j(i, 1) = A(i, j) = 0 ∧ (∀k ∈ { j + 1, · · · , n} A(i, k) = 0) .



1 3 4 Á l g e b r a

E j e m p l o 2 . 9 . 5 L a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s s o n g a u s s i a n a s

3 0 11 0 12 0 10 0 11 0 0

,

0 11 00 10 10 0

,

0 11 0

,

0 1 1 20 1 0 00 1 1 00 1 0 0

,

1 0 00 1 00 0 1

.

S i n e m b a r g o l a m a t r i z

2 0 11 0 12 0 10 0 10 0 0

n o e s g a u s s i a n a , p u e s e l p r i m e r v e c t o r c o l u m n a n o s a t i s f a c e n i l a c o n d i c i ó n

G.1 n i l a c o n d i c i ó n G.2 .

P r o p o s i c i ó n 2 . 9 . 6 S i A ∈ M m×n(K) e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a , e n t o n c e s e l

r a n g o d e A

c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e v e c t o r e s c o l u m n a n o n u l o s d e A. E n

p a r t i c u l a r , l o s v e c t o r e s c o l u m n a n o n u l o s d e l a m a t r i z g a u s s i a n a A

c o n s t i t u -

y e n u n a b a s e d e l e s p a c i o c o l u m n a d e d i c h a m a t r i z ,

L(A1, · · · , An).

D e m o s t r a c i ó n S e a

I = {i ∈ {1, · · · , n} Ai = (0)},

y s u p o n g a m o s q u e e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e I e s k.P o r e l t e o r e m a 2 . 9 . 3 p o d e m o s a p l i c a r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r

c o l u m n a y s u p o n e r q u e l a c o l u m n a s n u l a s d e A s e a n l a s ú l t i m a s . E n t o n c e s

I = {1, · · · , k} k ≤ n.

C o n s i d e r e m o s e l s i s t e m a

(A1,· · ·

, Ak).

S i d e m o s t r a m o s q u e e l s i s t e m a (A1, · · · , Ak) e s l i b r e , h a b r e m o s c o n c l u i d o

l a d e m o s t r a c i ó n , p u e s

∀i ∈ {k + 1, · · · , n}, Ai = (0).



Á l g e b r a 1 3 5

R a z o n a m o s p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o . S u p o n g a m o s q u e

∃(α1, · · · , αk) ∈ Kk, (α1, · · · , αk) = (0, · · · , 0),

t a l q u e

α1A1 + · · · + αkAk = (0).

E n e s e c a s o , s i e n d o

t = min{i ∈ I |αi = 0},

r e s u l t a q u e At = (0)

y , c o m o A

e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a , e x i s t i r á

h ∈ {1, · · · , m}t a l q u e

A(h, t) = γ = 0

y t a l q u e

∀s ∈ {t + 1, · · · , n}A(h, s) = 0,

o l o q u e e s l o m i s m o ,

At(h, 1) = γ

y ∀s ∈ {t + 1, · · · , n},

As(h, 1) = 0.

P e r o e n e s e c a s o t e n d r e m o s q u e

0 = (0)(h, 1) = αtAt +

· · ·+ αkAk

(h, 1) =

= αtAt(h, 1) + · · · + αkAk(h, 1) = αtγ,

d e d o n d e αt = 0, l o q u e c o n t r a d i c e q u e t = min{i ∈ I |αi = 0 }. 2

A p a r t i r d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , e s t á c l a r o e n q u é c o n s i s t e e l m é t o d o

d e G a u s s p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z : s e t r a t a d e r e a l i z a r

t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s o b r e d i c h a m a t r i z h a s t a o b t e n e r

u n a m a t r i z g a u s s i a n a , c u y o r a n g o s e d e t e r m i n a d e m a n e r a i n m e d i a t a . E s t o e s

s i e m p r e p o s i b l e a p l i c a n d o l a s i g u i e n t e e s t r a t e g i a s o b r e l a m a t r i z c o n s i d e r a d a

A d e n c o l u m n a s :

1 . C o n s i d e r a m o s l a p r i m e r a c o l u m n a d e

A : j = 1.2 . S i

A j = (0)i r a l p a s o 4 .

3 . S i A j = (0) s e l e c c i o n a r u n c o e c i e n t e n o n u l o d e d i c h a c o l u m n a y

h a c e r c e r o s ( u t i l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s ) t o d o s

l o s c o e c i e n t e s s i t u a d o s e n s u m i s m a l a a s u d e r e c h a .

1 3 6 Á l g e b r a

4 . H a c e m o s j = j + 1.5 . S i

j = n.F I N .

6 . S i j < n i r a l p a s o 2 .

L a n u e v a m a t r i z o b t e n i d a t r a s e l p r o c e s o a n t e r i o r e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a .

E j e r c i c i o 2 . 9 . 2 D e t e r m i n a r e l r a n g o d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s : 1 2 11 1 12 0 10 1 1

,

−1 32 5

,

1 1 1 20 1 0 11 −1 1 12 1 0 1

,

1 2 10 1 12 0 2

.

O b s e r v a c i ó n 3 5 S i e l p r o b l e m a q u e s e i n t e n t a r e s o l v e r c o n s i s t e e n d e t e r -

m i n a r e l r a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s {v1, · · · , vm}

d e u n K− e.v. E

d e

d i m e n s i ó n n i t a , j a d a u n a b a s e o r d e n a d a B d e E, c o n s i d e r a r e m o s l a m a t r i z

C ∈ M n×m(K) t a l q u e ∀i ∈ {1, · · · , m}

C i = (vi)B

y r e a l i z a r e m o s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s s o b r e C h a s t a o b -

t e n e r u n a m a t r i z g a u s s i a n a .



h a b i t u a l , p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e l s i s t e m a

{(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},

c o n s i d e r a m o s l a m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s

d e l s i s t e m a a n t e r i o r r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a B3 d e R3

C =

2 1 11 1 01 0 0

y o b s e r v a m o s q u e e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a , p o r l o q u e rg(C ) = 3, i . e . ,

rg((2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) = rg((2, 1, 1)B3, (1, 1, 0)B3, (1, 0, 0)B3) == rg(C ) = 3

e s d e c i r {(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}

e s l i b r e , y p u e s t o q u e dim(R3) = 3,

r e s u l t a

q u e e s u n a b a s e d e R3.



Á l g e b r a 1 3 7

E j e m p l o 2 . 9 . 8 P a r a h a l l a r e l r a n g o d e l s i s t e m a d e v e c t o r e s

{1 + x − 2x2, 2 − 2x3, x − 2x2 + x3}d e l

C−e.v. P 3(C)c o n s i d e r a m o s l a b a s e B = (1, x , x2, x3), y l a m a t r i z A c u y a s

c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l s i s t e m a s d a d o r e s p e c t o d e

B,e s d e c i r ,

A =

1 2 01 0 1

−2 0 −20 −2 1

.

E l r a n g o d e l s i s t e m a d e v e c t o r e s e s e l r a n g o d e A.

1 2 01 0 1

−2 0 −20 −2 1

c3 = c3 − c1−→ 1 2

−1

1 0 0−2 0 00 −2 1

c3 = c3 − 12c2−→

1 2 01 0 0

−2 0 00 −2 0

c o n l o q u e

rg(1 + x

−2x2, 2

−2x3, x

−2x2 + x3) = rg(A) = 2.

A d e m á s h e m o s o b t e n i d o q u e

L(

11

−20

200

−2

01

−21

) = L(

11

−20

200

−2

0000

) =

= L(

11

−20

200

−2

)

c o n l o q u e l o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s c o r r e s p o n d e n a e s t a s d o s ú l t i m a s

m a t r i c e s c o l u m n a s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s y c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l

s u b e s p a c i o c o n s i d e r a d o , e s d e c i r , (1 + x − 2x2, 2 − 2x3) e s u n a b a s e d e

L(1 + x − 2x2, 2 − 2x3, x − 2x2 + x3).



1 3 8 Á l g e b r a

U n a v e z o b t e n i d o u n m é t o d o s i s t e m á t i c o p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e

u n s i s t e m a d e v e c t o r e s , p o d e m o s a p l i c a r d i c h o m é t o d o d e f o r m a a n á l o g a a l

e j e m p l o a n t e r i o r p a r a :

•d e t e r m i n a r s i u n v e c t o r u p e r t e n e c e o n o a l a v a r i e d a d l i n e a l g e n e r a d a

p o r u n s i s t e m a d a d o d e v e c t o r e s (v1, · · · , vm), e s t u d i a n d o s i

rg(v1, · · · , vm, u) = rg(v1, · · · , vm),

•o b t e n e r u n a b a s e d e u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l a p a r t i r d e u n s i s t e m a

g e n e r a d o r d e l m i s m o .

2 . 9 . 3 A l g o r i t m o d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e

S e a H

u n s u b e s p a c i o d e d i m e n s i ó n k

d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l E

d e d i m e n s i ó n

n i t a n. D a d a u n a b a s e BH = {u1, · · · , uk} d e H, q u e r e m o s d e t e r m i n a r u n

a l g o r i t m o p a r a e x t e n d e r l a b a s e BH h a s t a o b t e n e r u n a b a s e BE d e l

e s p a c i o v e c t o r i a l E, e n e l q u e H e s t á s u m e r g i d o .

S e a B u n a b a s e p r e - j a d a d e l e s p a c i o t o t a l E. E s s u c i e n t e c o n c o n s i d e r a r

l a m a t r i z U c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s {u1, · · · , uk}

( q u e c o n s t i t u y e n l a b a s e BH d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H ) r e s p e c t o d e l a b a s e

B , a ñ a d i r a e s a m a t r i z l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e l a m a t r i z i d e n t i d a d d e o r d e n

l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o t o t a l E

( e l r a n g o d e l a n u e v a m a t r i z (U |I n) e s n)

y a p l i c a r e l m é t o d o d e G a u s s p o r c o l u m n a s s i n i n t e r c a m b i a r e l o r d e n d e

l a s c o l u m n a s . L a s n c o l u m n a s n o n u l a s d e l a m a t r i z g a u s s i a n a G o b t e n i d a

s o n l a s c o o r d e n a d a s , r e s p e c t o d e l a b a s e B,

d e l o s n

v e c t o r e s d e u n a b a s e

d e l e s p a c i o t o t a l E

( rango(G) = rango(U |I n)) . A h o r a , l a s c o l u m n a s d e l a

m a t r i z o r i g i n a l (U |I n) c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s c o l u m n a s n o n u l a s d e G d a n l a s

c o o r d e n a d a s , r e s p e c t o d e l a b a s e B, d e n v e c t o r e s q u e s o n u n a e x t e n s i ó n d e

l a b a s e BH .

E j e m p l o 2 . 9 . 9 S e a n E = R4

y B = B4 l a b a s e c a n ó n i c a d e R4. S e a H =

L(u1, u2) , d o n d e , r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a , u1 = (1, −1, 2, 0) y u2 =(1, 1, 1, 1).

E l s i s t e m a l i b r e BH =

{u1, u2

}e s u n a b a s e d e H. A p l i c a n d o e l m é t o d o d e

G a u s s a l a m a t r i z (U |I 4) s e o b t i e n e : 1 1 1 0 0 0

−1 1 0 1 0 02 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1

c2 = c2 − c1c3 = c3 − c1

→

1 0 0 0 0 0

−1 2 1 1 0 02 −1 −2 0 1 00 1 0 0 0 1



Á l g e b r a 1 3 9

c6 = c6−

c2→

1 0 0 0 0 0

−1 2 1 1 0

−2

2 −1 −2 0 1 10 1 0 0 0 0

c4 = c4 − c3

c6 = c6 + 2c3→1 0 0 0 0 0

−1 2 1 0 0 02 −1 −2 2 1 −30 1 0 0 0 0

c5 = c5 − 12c4

c6 = c6 + 32

c4→

1 0 0 0 0 0

−1 2 1 0 0 02 −1 −2 2 0 00 1 0 0 0 0

.

E n t o n c e s l o s v e c t o r e s d e c o o r d e n a d a s c a n ó n i c a s

{(1, −1, 2, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} f o r m a n u n a e x t e n s i ó n d e BH

a u n a b a s e d e R4.

2 . 9 . 4 R a n g o y e s p a c i o l a d e u n a m a t r i z

D e n i c i ó n 2 . 9 . 1 0 S i A ∈ M m×n(K)a l s u b e s p a c i o d e M 1×n(K)

g e n e r a d o

p o r l a s l a s d e A, L(A1, · · · , Am), s e l e d e n o m i n a e s p a c i o l a d e A.

V a m o s a d e m o s t r a r q u e l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o l a d e u n a m a t r i z c o i n -

c i d e c o n l a d i m e n s i ó n d e s u e s p a c i o c o l u m n a :

T e o r e m a 2 . 9 . 1 1 S i A ∈ M m×n(K) e n t o n c e s

rg(A) = dim(L(A1, · · · , Am)) = dim(L(A

1

, · · · , A

n

)).

D e m o s t r a c i ó n D a d a A ∈ M m×n(K), s u p o n g a m o s q u e (b1, · · · , bk) e s u n a

b a s e d e L(A1, · · · , Am),

d o n d e ∀i ∈ {1, · · · , k} bi = (bi1, · · · , bin).

E n e s e

c a s o

A1 = c11b1 + · · · + c1kbk

.

.

.

Am = cm1b1 + · · · + cmkbk.

A h o r a b i e n , e s t a ú l t i m a s s o n i g u a l d a d e s e n t r e v e c t o r e s d e M 1×n(K),

p o r l o

q u e l o s c o e c i e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s d e l a s m a t r i c e s l a s i t u a d a s a a m b o s

l a d o s d e l a i g u a l d a d d e b e r á n c o i n c i d i r , e s d e c i r , ∀ j ∈ {1, · · · , n}a1 j = c11b1 j + · · · + c1kbkj

.

.

.

amj = cm1b1 j + · · · + cmkbkj .



1 4 0 Á l g e b r a

L a s i g u a l d a d e s a n t e r i o r e s s e p u e d e n e x p r e s a r m a t r i c i a l m e n t e ∀ j ∈ {1, · · · , n}

d e l s i g u i e n t e m o d o : a1 j.

.

.

amj

= b1 j

c11.

.

.

cm1

+ · · · + bkj

c1k

.

.

.

cmk

P e r o d e e s t a s i g u a l d a d e s s e s i g u e q u e

A1, · · · , An ∈ L(

c11.

.

.

cm1

, · · · ,

c1k

.

.

.

cmk

)

c o n l o q u e

dim(L(A1, · · · , An)) ≤ k.

P e r o k = dim(L(A1, · · · , Am)), c o n l o q u e h e m o s p r o b a d o q u e

dim(L(A1, · · · , An)) ≤ dim(L(A1, · · · , Am)).

P o r o t r a p a r t e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a m a t r i z c o n s i d e r a d a A

e r a u n a

m a t r i z a r b i t r a r i a , p o d e m o s a p l i c a r e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r a l a m a t r i z

tAo b t e n i e n d o :

dim(e s p a c i o c o l u m n a d e

tA) ≤ dim( e s p a c i o l a d e

tA),

p e r o e s t a d e s i g u a l d a d e s e q u i v a l e n t e a l a s i g u i e n t e :

dim(e s p a c i o l a d e A) ≤ dim(

e s p a c i o c o l u m n a d e A),

c o n l o q u e , e n d e n i t i v a , o b t e n e m o s q u e

dim(L(A1, · · · , Am)) = dim(L(A1, · · · , An)).

2

O b s e r v a c i ó n 3 6 D e f o r m a a n á l o g a a c o m o s e h a v i s t o c o n l a s c o l u m n a s ,

s e p u e d e d e m o s t r a r q u e l a s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s n o c a m b i a n e l

r a n g o d e u n a m a t r i z . C o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o r e m a a n t e r i o r , e l r a n g o

d e u n a m a t r i z s e p u e d e o b t e n e r t a m b i é n o p e r a n d o p o r l a s e n l u g a r d e p o r

c o l u m n a s . D e h e c h o , n o e s d i f í c i l c o n v e n c e r s e d e q u e l o s v e c t o r e s l a d i s t i n t o s

d e c e r o d e u n a m a t r i z e n f o r m a e s c a l o n a d a c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l e s p a c i o

l a d e A,

p o r l o q u e e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a p o r l a s e s u n m é t o d o

a l t e r n a t i v o a l m é t o d o d e G a u s s v i s t o p a r a d e t e r m i n a r e l r a n g o d e u n a m a t r i z .



Á l g e b r a 1 4 1

C o m o c o l o f ó n , y p a r a n a l i z a r e s t a p a r t e d e l c a p í t u l o , v a m o s a r e c o g e r

e n u n t e o r e m a v a r i o s r e s u l t a d o s e q u i v a l e n t e s c o m o c o n s e c u e n c i a d e t o d o l o

v i s t o :

T e o r e m a 2 . 9 . 1 2 S i A ∈ M n(K)

s o n e q u i v a l e n t e s :

1 . A e s i n v e r t i b l e .

2 . E l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s AX = (0) s ó l o t i e n e l a s o l u c i ó n

t r i v i a l .

3 . A e s e q u i v a l e n t e p o r l a s a I n.

4 . E l s i s t e m a AX = b e s c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o p a r a t o d a m a t r i z c o -

l u m n a s b ∈ M n×1(K).

5 . rg(A) = n.

6 . L o s v e c t o r e s l a d e A s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

7 . L o s v e c t o r e s c o l u m n a d e A s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e .

8 . det(A) = 0.

( E s t a ú l t i m a c o n d i c i ó n q u e d a r á e s t a b l e c i d a m á s c l a r a m e n -

t e d e s p u é s d e r e a l i z a r l a p r á c t i c a 2 e n e l a u l a i n f o r m á t i c a ) .

2 . 1 0 E j e r c i c i o s

2 . 1 0 . 1 E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

1 . E n c o n t r a r u n v e c t o r u d i f e r e n t e d e c e r o c u y o p u n t o i n i c i a l e s P =(−1, 3, −5) t a l q u e

a ) u t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (6, 7, −3).

b ) u

t i e n e d i r e c c i ó n o p u e s t a a l a d e v = (6, 7, −3).

2 . S e a n u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8),y w = (6, −1, −4). E n c o n t r a r l o s

e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e c1u + c2v + c3w = (2, 0, 4).

3 . D e m o s t r a r q u e n o e x i s t e n l o s e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e c1(−2, 9, 6)+c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).

4 . S e a n P e l p u n t o (2, 3, −2) y Q e l p u n t o (7, −4, 1).

a ) E n c o n t r a r e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P y Q.

b ) E n c o n t r a r e l p u n t o s o b r e e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P

y Q

y e s t á

a

34 d e l a d i s t a n c i a d e P a Q.



1 4 2 Á l g e b r a

5 . S u p o n e r q u e l a t r a s l a c i ó n d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xy s e h a c e p a r a

o b t e n e r u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s

xyc u y o o r i g e n

Ot i e n e l a s c o o r d e n a d a s

(2, −3).a ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s

xyd e l p u n t o

P c u y a s c o o r d e n a d a s

xys o n

(7, 5).b ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s xy d e l p u n t o Q c u y a s c o o r d e n a d a s xy

s o n

(−3, 6).c ) T r a z a r l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s xy y xy

y l o c a l i z a r l o s p u n t o s P y

Q.

6 . D e m o s t r a r g e o m é t r i c a m e n t e q u e s i u y v s o n v e c t o r e s e n e l e s p a c i o

b i d i m e n s i o n a l o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , e n t o n c e s

u + v ≤ u + v .

7 . a ) D e m o s t r a r q u e v = (a, b) y w = (−b, a) s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s .

b ) U s a r e l r e s u l t a d o d e l i n c i s o a ) p a r a e n c o n t r a r d o s v e c t o r e s q u e s e a n

o r t o g o n a l e s a v = (2, −3).c ) E n c o n t r a r d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s q u e s e a n o r t o g o n a l e s a

(−3, 4).

8 . E x p l i c a r p o r q u é c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s c a r e c e d e

s e n t i d o .

S i u,v,w s o n v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l y k e s u n

n ú m e r o r e a l ,

a ) u · (v · w).

b ) (u · v) + w.c )

u · v .d ) k · (u + v).

9 . S e a n v e c t o r e s i, j y k u n i t a r i o s a l o l a r g o d e l o s e j e s p o s i t i v o s x, y y z d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . S i

v = (a,b,c) e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o , e n t o n c e s l o s á n g u l o s α,β,y γ e n t r e

v y l o s v e c t o r e s i, j y k , r e s p e c t i v a m e n t e , s e d e n o m i n a n á n g u l o s d i r e c t o r e s d e

v, y l o s n ú m e r o s

cos(α), cos(β )y

cos(γ )s e d e n o m i n a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e

v.a ) D e m o s t r a r q u e cos(α) = a

v .

b ) E n c o n t r a r cos(β )

y cos(γ ).

c ) D e m o s t r a r q u e

vv = (cos(α), cos(β ), cos(γ )).

Á l g e b r a 1 4 3

d ) D e m o s t r a r q u e cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = 1.

1 0 . D e m o s t r a r q u e s i v e s o r t o g o n a l t a n t o a w1 c o m o a w2 , e n t o n c e s v e s

o r t o g o n a l a k1w1 + k2w2 p a r a t o d o s l o s e s c a l a r e s k1 y k2.

1 1 . E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s

p u n t o s d a d o s .

a ) P = (5, −2, 4) y Q = (7, 2, −4).b )

P = (0, 0, 0)y

Q = (2, −1, −3).

1 2 . D e m o s t r a r q u e l a r e c t a

r : x = 0

y = tz = t ∞ < t < ∞a ) p e r t e n e c e a l p l a n o π1 : 6x + 4y − 4z = 0,b ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π2 : 5x − 3y + 3z = 1 y e s t á p o r a b a j o d e é s t e ,

c ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π3 : 6x + 2y − 2z = 1 y e s t á p o r a r r i b a d e é s t e .

1 3 . E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π1 q u e p a s a p o r e l p u n t o P =(3, −6, 7) y e s p a r a l e l o a l p l a n o π2 : 5x − 2y + z − 5 = 0.

1 4 . D e m o s t r a r q u e l a s r e c t a s

r1 :

x − 3 = 4ty − 4 = tz − 1 = 0

∞ < t < ∞y r2 :

x + 1 = 12sy − 7 = 6sz − 5 = 3s

, ∞ < s < ∞

s e c o r t a n y e n c o n t r a r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n .

1 5 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π

q u e c o n t i e n e l a s r e c t a s d e l e j e r c i c i o

1 5 .

1 6 . D e m o s t r a r q u e s i v e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o e n Rn, e n t o n c e s

vv

t i e n e l a n o r m a e u c l í d e a 1 .

1 7 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e k s e c u m p l e q u e u y v s o n o r t o g o n a l e s ?

a ) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k).

b ) u = (k,k, 1), v = (k, 5, 6).



1 4 4 Á l g e b r a

1 8 . D e m o s t r a r l a i d e n t i d a d u + v2 + u − v2 = 2u2 + 2v2

p a r a

v e c t o r e s e n Rn

.I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e r e s u l t a d o e n

R2

.1 9 . D e m o s t r a r q u e s i

uy

vs o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s e n

Rnt a l e s q u e

u = 1 y v = 1 , e n t o n c e s d(u, v) =

√ 2. I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e

r e s u l t a d o e n R2.

2 0 . S e a ( F (R,R), +, ◦)

e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a s f u n c i o n e s d e R

e n R.

D e t e r m i n a r s i l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n o n o s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e

F (R,R) :a )

{f ∈ F (R,R) |∀x ∈ R f (x) = f (−x)} .b )

{f ∈ F (R,R) | f (1) = 0} .c )

{f ∈ F (R

,R

) | f (2) = f (3)} .2 1 . D e m o s t r a r q u e e l s u b c o n j u n t o H f o r m a d o p o r t o d a s l a s n − tuplas

d e n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e l o s e l e m e n t o s d e c a d a n − tupla f o r m a n u n a

p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a , e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Rn.

2 2 . S e d i c e q u e A ∈ M n(K)e s s i m é t r i c a s i

tA = A. S i d e n o t a m o s p o r

S n(K) a l c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e o r d e n n, d e m o s t r a r q u e S n(K)e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M n(K).

R e c o r d e m o s q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s a n t i s i m é t r i c a s i

tA = −A.¾ C o n s t i t u y e n l a s m a t r i c e s a n t i s i m é t r i c a s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e

M n(K)?J u s t i f í q u e s e l a r e s p u e s t a .

2 3 . E n R4

s e c o n s i d e r a e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H = L(A) g e n e r a d o p o r e l

c o n j u n t o A d e v e c t o r e s A = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, −1, 1, 0), (3, −3, 0, 0).¾ P e r t e n e c e e l v e c t o r (1, 1, 1, 0) a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H ?

2 4 . E n e l R − e.v. R3

c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l

d e t e r m i n a r s i l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s

(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 3), (2, 0, 1), (−1, 2, 2)

s o n l i b r e s o l i g a d o s .

2 5 . C o n s i d e r a m o s e l Z2−e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s b y t e s (

Z82, +, ·)

c o n l a

s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s y a d e n i d o s . S e p i d e d e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a

d e v e c t o r e s

(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

Á l g e b r a 1 4 5

e s l i b r e o l i g a d o y h a l l a r e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e l c o n j u n t o d e

e s o s d o s v e c t o r e s .

2 6 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 4(C) d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o

i g u a l q u e 4 c o n c o e c i e n t e s e n C

s e c o n s i d e r a e l p o l i n o m i o p(x) = x4−x2 + 2.D e m o s t r a r q u e e l s i s t e m a

p(x), p(x), p(x), p(x)f o r m a d o p o r e l p o l i n o m i o

p(x) y s u s s u c e s i v a s d e r i v a d a s ( h a s t a l a t e r c e r a ) e s u n s i s t e m a l i b r e .

2 7 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l F (N,R) d e l a s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s ,

c o n l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s , c o n s i d e r a m o s e l c o n j u n t o

H = {(xn) ∈ F (N,R) |∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn}

a ) D e m o s t r a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (N,R).

b ) C o m p r o b a r q u e dim(H ) = 2.

2 8 . H a l l a r e l r a n g o d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s :

A =

1 3 22 1 10 2 0

, B =

1 3 0 2

−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0

, C =

1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1

.

2 9 . E n c o n t r a r u n a b a s e y h a l l a r l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o d e m a t r i c e s

t r i a n g u l a r e s s u p e r i o r m e n t e T n(K).T n(K) = { A = ( a ij )

∈ M n(K) | a ij = 0 s i j < i } .

3 0 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l Z52, h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

H = L({ 0 1 0 1 1

,

0 1 0 0 1

,

0 0 0 1 0

,

0 1 1 1 1

}).

3 1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R3, h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

H = L({(3, 2, −1), (1, 1, 1), (4, 3, 0)}).



1 4 6 Á l g e b r a

2 . 1 0 . 2 E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s

1 . S e a S 2 = (O, (e1, e2)) e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s c a n ó n i c o

d e R2 :

O = (0, 0), e1 = (1, 0), e2 = (0, 1).

a ) D a d o e l v e c t o r v = (2, 3), h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s

v + e1, v − e1,1

2v.

b ) C o m p r o b a r g e o m é t r i c a m e n t e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n e l a p a r t a d o

a ) .

2 . S e a S 2 = (O, (e1, e2))

e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s c a n ó n i c o

d e R2

y s e a n OP = (1, 2) y OQ = (2, 1) d o s v e c t o r e s d e R2.

a ) D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r P Q

e n S 2.

b ) D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r P Q e n e l s i s t e m a o r t o g o n a l

S 2 o b t e n i d o s p o r t r a s l a c i ó n d e O a l p u n t o O = (−2, 1).

c ) C a l c u l a r l a s n o r m a s d e l v e c t o r P Q u t i l i z a n d o s u s c o o r d e n a d a s e n S 2y S 2. ¾ S o n i g u a l e s l a s d i s t a n c i a s e n t r e OP y OQ y e n t r e OP y OQ?

3 . E n R3,

c o n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s c a n ó n i c o S 3 =

(O, (e1, e2, e3)) :

O = (0, 0, 0), e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1),

s e a n v = (−1, 0, 1), w = (1, −1, 2) y θ e l á n g u l o e n t r e v y w (0 ≤ θ ≤π).

a ) C a l c u l a r cos(θ) u t i l i z a n d o l a l e y d e l o s c o s e n o s :

w − v2 = v2 + w2 − 2vwcos(θ).

b ) U s a n d o l a s c o o r d e n a d a s d e v y w, h a l l a r e l p r o d u c t o e s c a l a r v · w y

v e r i c a r l a i d e n t i d a d

v · w = vwcos(θ).

c ) ¾ Q u é t i p o d e á n g u l o f o r m a n v y w ?



Á l g e b r a 1 4 7

4 . D e m o s t r a r q u e e n R2

e l v e c t o r n = (a, b) = (0, 0) e s o r t o g o n a l a t o d a s

l a s r e c t a s d e e c u a c i ó n

ax + by + c = 0, (c ∈ R).

5 . S e a n v = (−1, 0, 1) y w = (1, −1, 2) l o s v e c t o r e s d e l p r o b l e m a a n t e r i o r .

a ) C a l c u l a r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e w s o b r e v, pv(w), y l a c o m p o -

n e n t e v e c t o r i a l d e w o r t o g o n a l a v.

b ) H a l l a r pv(w) y

p2v(w).

6 . E n e s t e p r o b l e m a s t r a b a j a m o s e n R3c o n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s S 3.

a ) H a l l a r l o s v e c t o r e s

e1 × e2, e2 × e3, e3 × e1.

b ) D e m o s t r a r l a i d e n t i d a d d e L a g r a n g e :

u × v2 = u2v2 − (u · v)2

y , u s a n d o l a i d e n t i d a d

u · v = uvcos(θ) ∀u, v ∈ R3,

d e d u c i r q u e

u

×v

=

u

v

sen(θ).

c ) S e a n u = (1, −1, 2) y v = (0, 3, 1). C a l c u l a r e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o

d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s u

y v.

d ) V e r i c a r q u e p a r a t o d o p a r d e v e c t o r e s u y v e n R3\{(0, 0, 0)}, u×v

e s o r t o g o n a l a u y a v.

7 . E n e s t e p r o b l e m a s s e g u i m o s t r a b a j a n d o e n R3

c o n e l s i s t e m a d e c o o r -

d e n a d a s S 3.

a ) S e a n u, v y w t r e s v e c t o r e s e n R3. V e r i c a r q u e e l n ú m e r o r e a l

|u · (v × w)| e s e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o P d e n i d o p o r u, v y w.( S e u t i l i z e e l h e c h o d e q u e l a a l t u r a

hd e l p a r a l e l e p í p e d o

P s e p u e d e

e s c r i b i r c o m o h = p(v×w)(u).)

b ) C a l c u l a r e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s

u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 2), w = (1, 1, 1).



1 4 8 Á l g e b r a

8 . S e a n P 0 = (1, 2) y P 1 = (−1, 1) d o s p u n t o s e n R2.

H a l l a r l a s e c u a c i o n e s v e c t o r i a l , g e n e r a l i m p l í c i t a , p a r a m é t r i c a s y p e n d i e n t e -

o r d e n a d a e n e l o r i g e n d e l a r e c t a l q u e p a s a p o r P 0 y P 1.

9 . S e a n P 0 = (x0, y0) ∈ R2

y r

l a r e c t a d e e c u a c i ó n ax + by + c = 0.

a ) D e m o s t r a r q u e l a d i s t a n c i a e n t r e P 0 y r e s

d(P 0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

b ) C a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e P 0 = (0, 1) y r : 2x − y + 3 = 0.

1 0 . E n R3,

e n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π

q u e p a s a p o r e l p u n t o P 0 =

(1, 0, −1) y e s o r t o g o n a l a l v e c t o r n = (2, −1, 5).

1 1 . E n R3, u s a n d o l a f ó r m u l a d e l a d i s t a n c i a e n t r e u n p u n t o P 0 = (x0, y0, z 0)

y u n p l a n o π : ax + by + cz + d = 0 :

d(P 0, π) =|ax0 + by0 + cz 0 + d|√

a2 + b2 + c2,

a ) c a l c u l a r l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P 0 d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s r e c t a s

d e e c u a c i o n e s

r :

x = −3 + 2k

y = 3k

z =2

3− k

y s :

x = −1 + t

y = 2 − 3t

z = t

(k, t ∈ R)

y e l p l a n o π : 2x − y + z = 0.

b ) C a l c u l a r e l c o s e n o d e l á n g u l o q u e f o r m a n l a s r e c t a s r y s.

1 2 . D e t e r m i n a r s i e x i s t e n v a l o r e s d e l o s p a r á m e t r o s r e a l e s

sy

tt a l e s q u e

l a r e c t a l e n R3

d e e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s sx + 3y + z = 0

−x + ty + 2z + 1 = 0,



Á l g e b r a 1 4 9

t e n g a e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s

x = 2k

y = −1

2+ k

z =3

2− 3k

(k ∈ R).

1 3 . D e s c r i b i r t o d o s l o s s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e R3

q u e c o n t i e n e n a l p u n t o

P = (1, 1, 1).

1 4 . S e a M m,n(R) e l R−

e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a c i o n e s d e s u -

m a d e m a t r i c e s y m u l t i p l i c a c i ó n d e u n a m a t r i z p o r u n e s c a l a r u s u a l e s .

S e a C[x] e l

C−e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s n ú -

m e r o s c o m p l e j o s y c o n l a s o p e r a c i o n e s d e s u m a d e f u n c i o n e s y m u l t i -

p l i c a c i ó n p o r u n e s c a l a r u s u a l e s .

E s c r i b i r e x p l í c i t a m e n t e l a s o p e r a c i o n e s q u e h a c e n d e l p r o d u c t o c a r t e -

s i a n o M m,n(R) × C[x] u n R−

e s p a c i o v e c t o r i a l .

1 5 . S e a M e l s u b c o n j u n t o d e M m,n(Z2) d e n i d o p o r

M =

{0 x y

z 0 u : x,y,z,u

∈Z2

}.

a ) E s c r i b i r M c o m o u n c o n j u n t o d e f u n c i o n e s d e N2 ×N3 e n

Z2 q u e s e

a n u l a n s o b r e u n s u b c o n j u n t o S d e N2 × N3.

b ) V e r i c a r q u e M

e s u n Z2− e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s o p e r a -

c i o n e s u s u a l e s d e s u m a d e m a t r i c e s y p r o d u c t o d e u n a m a t r i z p o r u n

e s c a l a r .

1 6 . D e t e r m i n a r l o s v a l o r e s r e a l e s d e l p a r á m e t r o λ

t a l e s q u e l o s s i g u i e n t e s

v e c t o r e s s e a n u n s i s t e m a l i b r e e n R3 :

v1 = (λ, −1

2, −1

2), v2 = (−1

2, λ, −1

2), v3 = (−1

2, −1

2, λ).

I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s .



1 5 0 Á l g e b r a

1 7 . V e r i c a r s i l o s s i g u i e n t e s s u b c o n j u n t o s d e l e s p a c i o d e t o d a s l a s f u n c i o n e s

r e a l e s ,

F (R

,R

),s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s :

S = {1,sen(x),sen(2x)},

T = {(3 − x)2, x2 − 6x, 5}.

1 8 . S e a n u = (1, 1, 1), v = (1, 1, x) y w = (x, 1, 1) t r e s v e c t o r e s e n R3,

s i e n d o x u n p a r á m e t r o r e a l .

S e a H = L(u,v,w)

e l s u b e s p a c i o d e R3

g e n e r a d o p o r u, v

y w.

D e t e r m i n a r p a r a q u é v a l o r e s d e x e l s u b e s p a c i o H e s u n a r e c t a , u n

p l a n o o t o d o R3.

1 9 . a ) V e r i c a r q u e p a r a t o d o n ∈ N, e l s i s t e m a Bn = (1, x , x2, · · · , xn) e s

u n a b a s e d e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o i g u a l

q u e n, P n(R).

( U t i l i z a r i n d u c c i ó n s o b r e n

y l a c o n t i n u i d a d d e l o s p o l i n o m i o s )

b ) D e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a B = (1, x−1, (x−1)2, (x−1)3) e s u n a b a s e

d e P 3(R).

c ) E s c r i b i r l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r p(x) = 3x3 − 3

e n t é r m i n o s d e

l a s b a s e s B3 y B.

2 0 . S e a

H = {

a bc −(a + b + c)

: a,b,c ∈ R}.

a ) V e r i c a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M 2(R).

b ) H a l l a r u n a b a s e B d e H.

c ) C o m p l e t a r B

a u n a b a s e d e M 2(R).

2 1 . E n e l R−

e s p a c i o v e c t o r i a l F (N,R)

d e l a s s u c e s i o n e s r e a l e s s e a

H = {(xn)n∈N : ∀n ≥ 2, xn+1 = 2xn − 3xn−1}.

a ) D e m o s t r a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (N,R).

b ) C o m p r o b a r q u e l a d i m e n s i ó n d e H e s 2 .



Á l g e b r a 1 5 1

2 2 . A p l i c a r e l t e o r e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s

a ) p a r a v e r i c a r s i e l v e c t o r

p(x) = x3

− 2x + 1p e r t e n e c e a l s u b e s p a c i o

L(x3 − 1, x + 2)d e P 3(R),

b ) p a r a d e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a (x3 − 1, x + 2, x2, x − 1) e s u n a b a s e d e

P 3(R).

2 3 . C a l c u l a r e l r a n g o d e l a s m a t r i c e s

A =

1 1 1 02 1 2 01 0 0 1

∈ M 3,4(Z3) B =

2 −1 50 4 16 1 16

∈ M 3(R).

2 4 . U t i l i z a r e l m é t o d o d e G a u s s p a r a h a l l a r u n a b a s e d e l C−s u b e s p a c i o d e

C3 :L((1, 0, i), (i, 0, 0), (0, −i, 4), (1, 1, 1)).



1 5 2 Á l g e b r a



C a p í t u l o 3

F u n c i o n e s l i n e a l e s

O t r a d e l a s c a r a c t e r í s t i c a s e s e n c i a l e s e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d a c o n e l c o n -

c e p t o d e e s p a c i o v e c t o r i a l t i e n e q u e v e r c o n l a s p r o p i e d a d e s d e p r o p o r c i o -

n a l i d a d y

a d i t i v i d a d , p r o p i e d a d e s é s t a s q u e s i e m p r e s e s a t i s f a c e n e n l o s

p r o b l e m a s m a t e m á t i c o s d e n o m i n a d o s p r o b l e m a s l i n e a l e s . L a p r o p i e d a d

d e a d i t i v i d a d c o n s i s t e e n q u e s i l o s v e c t o r e s u

y v

s o n s o l u c i o n e s d e l p r o -

b l e m a , e n t o n c e s e l v e c t o r u + v

t a m b i é n e s s o l u c i ó n d e d i c h o p r o b l e m a y l a

p r o p o r c i o n a l i d a d e n q u e s i e l v e c t o r u

e s u n a s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a , e n t o n c e s

e l v e c t o r α · ut a m b i é n l o e s , s i e n d o n o r m a l m e n t e α u n n ú m e r o r e a l o u n

n ú m e r o c o m p l e j o .

H a y q u e d e c i r q u e e n c u a l q u i e r c a s o l o s p r o b l e m a s l i n e a l e s s o n m á s

s e n c i l l o s d e r e s o l v e r q u e l o s n o l i n e a l e s y e n m u c h a s o c a s i o n e s r e s o l v e r u n

p r o b l e m a n o l i n e a l c o n s i s t e , a l m e n o s e n u n a p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n , e n p l a n -

t e a r y r e s o l v e r u n p r o b l e m a l i n e a l q u e a p r o x i m e , v a l g a l a r e d u n d a n c i a , e l

p r o b l e m a n o l i n e a l p l a n t e a d o .

E n e s t e c a p í t u l o s e d e n e n y e s t u d i a n l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s e n t r e e s p a c i o s

v e c t o r i a l e s . L a s f u n c i o n e s l i n e a l e s s o n l a s m á s n a t u r a l e s e n e l c o n t e x t o d e l

á l g e b r a l i n e a l y a q u e , p o r s u d e n i c i ó n , r e s p e c t a n l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o

v e c t o r i a l .

V e r e m o s q u e u n a f u n c i ó n l i n e a l s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r m e d i o d e u n a

m a t r i z d e t e r m i n a d a p o r l a e l e c c i ó n d e b a s e s e n s u d o m i n i o y c o d o m i n i o .

E s t e h e c h o n o s p e r m i t e t r a b a j a r d e s d e d o s p u n t o s d e v i s t a d i s t i n t o s p e r o

e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d o s : u n p r i m e r m á s a n a l í t i c o , q u e s e b a s a e n e l u s o

d e l a s p r o p i e d a d e s g e n e r a l e s d e l a s f u n c i o n e s y u n s e g u n d o m á s a l g e b r a i c o ,

d o n d e t i e n e m a y o r i m p o r t a n c i a l a t e o r í a m a t r i c i a l .

1 5 3



1 5 4 Á l g e b r a

3 . 1 F u n c i o n e s l i n e a l e s

C o m o v i m o s , u n a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e u n c u e r p o e s t á c a r a c -

t e r i z a d a p o r l a e x i s t e n c i a d e l a s o p e r a c i o n e s d e s u m a d e v e c t o r e s y p r o d u c t o

d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r , c o n l o s a x i o m a s d e l a d e n i c i ó n 2 . 2 . 1 .

E n t o n c e s , s i t e n e m o s d o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e e l m i s m o c u e r p o , e s

n a t u r a l p r e g u n t a r s e s i e x i s t e n f u n c i o n e s e n t r e e s t o s d o s e s p a c i o s t a l e s q u e

r e l a c i o n e s e n t r e v e c t o r e s e n e l p r i m e r o ( e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n ) s e p u e d a n

c o m p a r a r y t r a n s f o r m a r e n r e l a c i o n e s e n t r e v e c t o r e s d e l s e g u n d o ( e l c o d o m i -

n i o d e l a f u n c i ó n ) .

L a s i g u i e n t e d e n i c i ó n r e s p o n d e a l a p r e g u n t a a n t e r i o r : l a f u n c i ó n b u s c a d a

t i e n e q u e s e r t a l q u e a l a s u m a d e d o s v e c t o r e s e n s u d o m i n i o s e l e c o r r e s p o n d a

e l v e c t o r s u m a d e l a s i m á g e n e s d e e s t o s d o s v e c t o r e s e n e l c o d o m i n i o y q u e

a l p r o d u c t o d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r e n e l d o m i n i o s e l e c o r r e s p o n d a e l

p r o d u c t o p o r e l m i s m o e s c a l a r d e l a i m a g e n d e l v e c t o r e n e l c o d o m i n i o .

D e n i c i ó n 3 . 1 . 1 S e a n (E, +, ·)

y (E, ⊕, ∗)

d o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e

e l m i s m o c u e r p o K. D i r e m o s q u e l a f u n c i ó n f : E → Ee s

l i n e a l ( o

t a m b i é n , q u e e s u n h o m o m o r s m o d e K− e.v.), s i f s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s

p r o p i e d a d e s :

1 . ∀u, v ∈ E, f (u + v) = f (u) ⊕ f (v);

2 .

∀u

∈E,

∀α

∈K, f (α

·u) = α

∗f (u).

O b s e r v a c i ó n 3 7 E s u s u a l d e n o t a r c o n l o s m i s m o s s í m b o l o s + y ·

l a s u m a

y e l p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s d e n i d o s s o b r e l o s e s p a c i o s E

y E, p u e s t o q u e e n

c a s i t o d o s l o s c a s o s , l a n a t u r a l e z a d e l a o p e r a c i ó n v i e n e d e t e r m i n a d a d e f o r m a

u n í v o c a p o r l a n a t u r a l e z a d e l o s o p e r a n d o s : o b v i a m e n t e , s i u ∈ E, e n t o n c e s

f (u) ∈ E. C o n e s t e c o n v e n i o d e n o t a c i ó n , s i e n d o E

y E

d o s K − e.v., u n a

f u n c i ó n f : E → Ee s l i n e a l s i s a t i s f a c e l a s p r o p i e d a d e s :

1 . ∀u, v ∈ E, f (u + v) = f (u) + f (v)

2 .

∀u

∈E,

∀α

∈K, f (αu) = αf (u)

P r o p o s i c i ó n 3 . 1 . 2 S i e n d o E

y E K − e.v., s e v e r i c a q u e l a f u n c i ó n f :

E → Ee s l i n e a l s i y s ó l o s i

∀u, v ∈ E, ∀α, β ∈ K, s e v e r i c a q u e

f (αu + βv) = αf (u) + βf (v).



Á l g e b r a 1 5 5

D e m o s t r a c i ó n ⇒ ” S u p o n g a m o s q u e f : E → E

e s l i n e a l , o l o q u e e s

l o m i s m o , q u e

f s a t i s f a c e l a s c o n d i c i o n e s 1 y 2 d e l a d e n i c i ó n 3 . 1 . 1 . D a d o s

u, v ∈ Ey α, β ∈ K, p o r l a c o n d i c i ó n 1 r e s u l t a q u e

f (αu + βv) = f (αu) + f (βv) =

=( p o r l a c o n d i c i ó n 2 )

=

= αf (u) + βf (v).

⇐

R e c í p r o c a m e n t e , s u p o n g a m o s q u e ∀u, v ∈ E ∀α, β ∈ K s e v e r i c a

q u e

f (αu + βv) = αf (u) + βf (v).

H a y q u e d e m o s t r a r q u e f s a t i s f a c e l a s c o n d i c i o n e s 1 y 2 d e l a d e n i c i ó n 3 . 1 . 1 .

D a d o s u, v ∈ E, t o m a n d o α = β = 1, r e s u l t a q u e

f (u + v) = f (1 · u + 1 · v) =

= 1 · f (u) + 1 · f (v) =

= f (u) + f (v),

c o n l o q u e s e s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n 1 . P o r o t r a p a r t e , d a d o s u ∈ Ey α ∈ K,

r e s u l t a q u e

f (αu) = f (αu + 0u) = αf (u) + 0f (u) = αf (u),

c o n l o q u e s e s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n 2 . 2

E l s i g u i e n t e e j e r c i c i o n o s m u e s t r a c ó m o s e t r a n s f o r m a n l a s c o m b i n a c i o n e s

l i n e a l e s a l a p l i c a r l e s u n a f u n c i ó n l i n e a l .

E j e r c i c i o 3 . 1 . 1 D e m o s t r a r q u e , s i e n d o E

y E K − e.v.,

y f : E → E

u n a

f u n c i ó n l i n e a l , s i e n d o u1,....,un c u a l q u i e r s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E

s e v e r i c a

q u e ∀(α1,....,αn) ∈ Kn, f

n

i=1

αiui

=

ni=1

αif (ui).

I n d i c a c i ó n : R a z o n a r p o r i n d u c c i ó n s o b r e “n”.

N o t a : N ó t e s e q u e u n e n u n c i a d o e q u i v a l e n t e a l d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r s e r í a :

s i f : E → E e s l i n e a l s e v e r i c a q u e

∀n ∈ N,∀u1,....,un ∈ E

y

∀α1,....,αn ∈ K,

f

n

i=1

αiui

=

ni=1

αif (ui).



1 5 6 Á l g e b r a

E j e m p l o 3 . 1 . 3 S i e n d o E

u n K− e.v., l a f u n c i ó n

i d e n t i d a d , IdE : E → E,

e s l i n e a l p u e s t o q u e

i ) d a d o s u, v ∈ E, s e t i e n e

IdE (u + v) = u + v = IdE (u) + IdE (v);

i i ) s i u ∈ E

y α ∈ K, IdE (αu) = αu = αIdE (u).

E j e m p l o 3 . 1 . 4 S i e n d o E

y E

d o s K− e.v., l a f u n c i ó n f : E → E

d e n i d a

p o r f (u) = 0 ∀u ∈ E, e s l i n e a l y s e l l a m a r á t r a n s f o r m a c i ó n c e r o

.

E j e m p l o 3 . 1 . 5 S i (E1, +1, ·1),. . . , (En, +n, ·n) s o n n K− e.v., e n t o n c e s ∀i ∈

{1,...,n

}l a f u n c i ó n

p r o y e c c i ó n i - é s i m a

pi : E1 × ... × En −→ Ei

(u1,...,un) ; ui

e s l i n e a l , p u e s t o q u e , s i e n d o i ∈ {1,...,n}s e t i e n e q u e

a)d a d o s

(u1,...,un), (v1,...,vn) ∈ E1 × ... × En,

pi((u1,...,un) + (v1,...,vn)) = pi((u1 + v1,...,un + vn)) =

= ui + vi =

= pi((u1,...,un)) + pi((v1,...,vn));

b) d a d o s (u1,...,un) ∈ E1 × ... × En y α ∈ K,

pi(α(u1,...,un)) = pi((αu1,...,αun)) =

= αui = αpi((u1,...,un)).

E j e m p l o 3 . 1 . 6 D a d a A ∈ M m×n(K),

l a f u n c i ó n m u l t i p l i c a c i ó n p o r A

LA : M n×1(K) −→ M m×1(K)X ; A · X

,

d o n d e ·

e s e l p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s , e s l i n e a l .

E j e r c i c i o 3 . 1 . 2 S e a E

u n K−e.v.

d e d i m e n s i ó n n i t a n

y B = (v1, v2, · · · , vn)

u n a b a s e o r d e n a d a d e E. S i u = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn ∈ E, s e a f : E → Kn

l a f u n c i ó n q u e a s o c i a a l v e c t o r u

s u s c o o r d e n a d a s

r e s p e c t o d e l a b a s e B,

d e n i d a p o r f (u) = (k1, k2, · · · , kn). V e r i c a r q u e f e s l i n e a l .



Á l g e b r a 1 5 7

E j e m p l o 3 . 1 . 7 D a d o s a, b ∈ R, s e c o n s i d e r a e l c o n j u n t o C([a, b],R), d e l a s

f u n c i o n e s r e a l e s c o n t i n u a s d e n i d a s s o b r e e l i n t e r v a l o c e r r a d o

[a, b] = {x ∈R |a ≤ x ≤ b}. T e n i e n d o e n c u e n t a q u e ∀f, g ∈ C([a, b],R) y

∀α ∈ Rs e

v e r i c a q u e

b a

(f + g) =

b a

f +

b a

g

y q u e

b a

(αf ) = α

b a

f,

r e s u l t a q u e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n i n t e g r a c i ó n

s o b r e [a, b] e s l i n e a l

I : C([a, b],R) −→ R

f ;

b a

f .

E j e m p l o 3 . 1 . 8 S i e n d o (a, b) c u a l q u i e r i n t e r v a l o a b i e r t o d e l a r e c t a r e a l a m -

p l i a d a ( i . e . , s e c o n t e m p l a l a p o s i b i l i d a d d e q u e a = −∞ó b = ∞, o a m b a s

c o s a s s i m u l t á n e a m e n t e , e n c u y o c a s o s e t e n d r í a q u e (a, b) = (−∞, ∞) = R) ,

s e c o n s i d e r a e l c o n j u n t o

C1((a, b),R)

d e l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e n i d a s e n

(a, b),d e r i v a b l e s e n t o d o p u n t o d e

(a, b)y t a l e s q u e l a f u n c i ó n d e r i v a d a e s c o n t i n u a e n

(a, b).T e n i e n d o e n c u e n t a q u e

l a s u m a d e f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e s d e r i v a b l e y q u e l a f u n c i ó n r e s u l t a n t e d e

m u l t i p l i c a r u n n ú m e r o r e a l p o r u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e e s u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e

( y q u e l o m i s m o s u c e d e c o n l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s ) , r e s u l t a q u e

C1((a, b),R) ≺ F ((a, b),R),

o , l o q u e e s l o m i s m o , q u e C1((a, b),R) e s u n

R− e.v..D a d a a h o r a f ∈ C1((a, b),R), s e a D(f ) l a f u n c i ó n d e r i v a d a d e f :

D(f ) : (a, b)−→

R

x ; D(f )(x) = f (x) .

Y a q u e ∀f, g ∈ C1((a, b),R) y

∀α ∈ Rs e v e r i c a q u e

D(f + g) = D(f ) + D(g)



1 5 8 Á l g e b r a

y q u e

D(αf ) = αD(f ),r e s u l t a q u e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n

d e r i v a c i ó n e s l i n e a l :

D : C1((a, b),R) −→ C((a, b),R)f ; D(f )

.

E j e m p l o 3 . 1 . 9 S e a n > 1. L a f u n c i ó n d e t e r m i n a n t e det : Mn(K) → Kn o e s

l i n e a l y a q u e det(A+B) = det(A)+det(B)y det(kA) = kndet(A) = kdet(A).

3 . 2 P r o p i e d a d e s d e f u n c i o n e s l i n e a l e s

P r o p o s i c i ó n 3 . 2 . 1 S i E

y E

s o n K− e.v. y f : E → E

e s l i n e a l , e n t o n c e s


1 . f (0) = 0;

2 . ∀u ∈ E , f (−u) = −f (u).

D e m o s t r a c i ó n 1 . ∀u ∈ E , f (0) = f (0 · u) = 0 · f (u) = 0.

2 . D a d o

u ∈ E,s e t i e n e

f (u) + f (−u) = f (u + (−u)) = f (0) = 0,

p o r l o q u e p o d e m o s c o n c l u i r q u e f (−u) e s e l o p u e s t o d e f (u) o , l o q u e e s l o

m i s m o , q u e f (−u) = −f (u), p u e s t o q u e (E, +) e s u n g r u p o . 2

E j e m p l o 3 . 2 . 2 S i E

e s u n K− e.v. y u0 u n v e c t o r j o d i f e r e n t e d e c e r o e n

E, l a t r a n s f o r m a c i ó n ∀u ∈ E f (u) = u + u0 ( l a t r a s l a c i ó n p o r e l v e c t o r u0 )

n o e s l i n e a l , y a q u e f (0) = u0

= 0.

E l s i g u i e n t e r e s u l t a d o n o s p e r m i t e a s e g u r a r q u e l a f u n c i ó n s u m a d e d o s

f u n c i o n e s l i n e a l e s e s u n a f u n c i ó n l i n e a l y q u e , s i m u l t i p l i c a m o s u n a f u n c i ó n

l i n e a l p o r u n e s c a l a r , l a f u n c i ó n a s í o b t e n i d a e s t a m b i é n u n a f u n c i ó n l i n e a l .



Á l g e b r a 1 5 9

P r o p o s i c i ó n 3 . 2 . 3 S i e n d o E

y E K−e.v., s i d e n o t a m o s p o r

F (E, E) a l e s -

p a c i o d e t o d a s l a s f u n c i o n e s d e n i d a s e n t r e E

y E,

y p o r

L(E

, E)

a l c o n j u n t o

d e l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s d e n i d a s e n t r e E

y E, e s d e c i r ,

L(E, E) = {f ∈ F (E, E) |f e s l i n e a l

},


L(E, E) ≺ F (E, E),

o l o q u e e s l o m i s m o , q u e L(E

, E) t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l r e s p e c -

t o d e l a s u m a d e f u n c i o n e s y p r o d u c t o d e u n a f u n c i ó n p o r u n e s c a l a r d e n i d o s

e n F (E, E).

D e m o s t r a c i ó n i ) E v i d e n t e m e n t e L(E, E) = ∅, p u e s t o q u e 0 ∈ L(E, E),y a q u e

∀u, v ∈ E ∀α, β ∈ K s e t i e n e

0(αu + βv) = 0 = 0 + 0 =α0(u) + β 0(v).

( N ó t e s e q u e h e m o s d e n o t a d o p o r e l m i s m o s í m b o l o a 0 ∈L(E

, E) y a

0 ∈ E).i i ) V e a m o s q u e

∀f, g ∈ L(E, E)

s e v e r i c a q u e f +g ∈ L(E

, E).

S i u, v ∈ E

y α, β ∈ K, s e v e r i c a q u e

(f + g)(αu + βv) = f (αu + βv) + g(αu + βv) =

= (αf (u) + βf (v)) + (αg(u) + βg(v) =

= ( p o r s e r “ + ” a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a e n (E, +))

= (αf (u) + αg(u)) + (βf (v) + βg(v)) =

= α(f + g)(u) + β (f + g)(v).

i i i ) V e a m o s q u e ∀f ∈ L(E

, E), ∀λ ∈ K

s e v e r i c a q u e λf ∈ L(E, E).

S i u, v ∈ Ey α, β ∈ K, s e v e r i c a q u e

(λf ) (αu + βv) = λ · f (αu + βv) = λ (αf (u) + βf (v)) =

= λαf (u) + λβf (v) =

= ( p o r s e r “·

”c o n m u t a t i v o e n K) =

= αλf (u) + βλf (v) = α (λf ) (u) + β (λf ) (v).

2



1 6 0 Á l g e b r a

E j e m p l o 3 . 2 . 4 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , t e n i e n d o e n

c u e n t a q u e p a r a c u a l q u i e r K

−e.v.E

l a f u n c i ó n

IdE :E

→E

e s l i n e a l ,

IdE ∈L(E, E), t e n d r e m o s t a m b i é n q u e ∀α ∈ K, l a f u n c i ó n (αIdE ) ∈ L(E, E), e s

d e c i r , l a f u n c i ó n

αIdE : E → E

u ; αu

e s l i n e a l .

E j e m p l o 3 . 2 . 5 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i E

e s u n K− e.v. e n t o n c e s

∀n ∈N

y ∀i ∈ {1,...,n}

l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n i - é s i m a e s l i n e a l , r e s u l t a q u e l a

s i g u i e n t e f u n c i ó n e s l i n e a l : ∀(α1,...,αn) ∈ Kn,

α1 p1 + ... + αn pn : En

−→E

(u1,...,un) ; α1u1 + ... + αnun .

E n p a r t i c u l a r , d a d o s p o r e j e m p l o α,β,γ ∈ R,

e s l i n e a l l a f u n c i ó n

αp1 + βp2 + γp3 : R3 → R

(x1, x2, x3) ; αx1 + βx2 + γx3.

E j e m p l o 3 . 2 . 6 S i f ∈ C1((a, b),R), e n p a r t i c u l a r f ∈ C((a, b),R) y , s i e n d o

i l a f u n c i ó n i n c l u s i ó n , s e v e r i c a q u e l a f u n c i ó n

3D − 5i : C1((a, b),R) −→ C((a, b),R)f ; 3D(f )

−5f

e s l i n e a l .

P r o p o s i c i ó n 3 . 2 . 7 S i E

, E

y E

s o n K− e.v. y f : E → E

y g : E→ E

s o n f u n c i o n e s l i n e a l e s , e n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p o s i c i ó n d e g c o n f, g ◦ f :E → E, t a m b i é n e s u n a f u n c i ó n l i n e a l .

D e m o s t r a c i ó n S e a n u, v ∈ Ey α, β ∈ K. E n e s e c a s o

(g ◦ f )(αu + βv) = g(f (αu + βv)) =

= ( p o r s e r f l i n e a l ) =

= g(αf (u) + βf (v)) == ( p o r s e r g l i n e a l ) =

= αg(f (u)) + βg(f (v)) =

= α(g ◦ f )(u) + β (g ◦ f )(v).



Á l g e b r a 1 6 1

2

E j e m p l o 3 . 2 . 8 ∀f ∈ L(E, E), f ◦IdE = IdE ◦f. E n t o n c e s IdE e s e l e l e m e n t o

n e u t r o d e ◦

e n L(E, E).

O b s e r v a c i ó n 3 8 S i E

, E

y E

s o n R − e.v. y f : E → E, g : E→ E

y

h : E→ Es o n f u n c i o n e s l i n e a l e s , e n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p o s i c i ó n h◦g◦f :

E → Et a m b i é n e s u n a f u n c i ó n l i n e a l . E n g e n e r a l , l a c o m p o s i c i ó n d e u n

c u a l q u i e r n ú m e r o ( n i t o ) d e f u n c i o n e s l i n e a l e s , c u a n d o e s t é d e n i d a , s e r á

u n a f u n c i ó n l i n e a l .

3 . 3 N ú c l e o e i m a g e n

L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n a r m a q u e l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s p r e s e r v a n l o s s u b -

e s p a c i o s v e c t o r i a l e s :

P r o p o s i c i ó n 3 . 3 . 1 S i E

y E

s o n K−e.v.

y f : E → E

e s l i n e a l , s e v e r i c a

q u e

1 . ∀H ⊂ E, (H ≺ E ⇒ f (H ) ≺ E)

y

2 . ∀H ⊂ E, (H ≺ E ⇒ f −1(H ) ≺ E) ;

e n o t r a s p a l a b r a s : l a i m a g e n d i r e c t a y r e c í p r o c a d e u n s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l p o r u n a f u n c i ó n l i n e a l e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l .

D e m o s t r a c i ó n 1 . S u p o n g a m o s q u e H ≺ E.

E n e s e c a s o 0 ∈ H

y , p u e s t o

q u e

f (0) = 0,

t e n d r e m o s q u e 0 ∈ f (H ). P o r o t r a p a r t e , s i u, v ∈ f (H ) y α, β ∈ K,t e n d r e m o s , p o r d e n i c i ó n d e

f (H ),q u e e x i s t e n

u, v ∈ H t a l e s q u e

f (u) = u y f (v) = v.

P o r c o n s i g u i e n t e

αu + βv = αf (u) + βf (v) =

=( p u e s t o q u e

f e s l i n e a l )

=

= f (αu + βv)



1 6 2 Á l g e b r a

y , p u e s t o q u e H ≺ E, αu + βv ∈ H, c o n l o q u e

αu + βv ∈ f (H )

y e n d e n i t i v a f (H ) ≺ E.

2 . S u p o n g a m o s q u e H ≺ E. E n e s e c a s o 0 ∈ H y , p u e s t o q u e

f (0) = 0,


0 ∈ f −1(H ).

P o r o t r a p a r t e , s i u, v ∈ f −1(H )

y α, β ∈ K,

r e s u l t a r á q u e

f (u), f (v) ∈ H

y , p u e s t o q u e H ≺ E, t e n d r e m o s q u e

αf (u) + βf (v) ∈ H

p e r o , a l s e r f l i n e a l ,

αf (u) + βf (v) = f (αu + βv),

e s d e c i r , f (αu + βv) ∈ H , c o n l o q u e

αu + βv ∈ f −1(H ).

2

D e n i c i ó n 3 . 3 . 2 S e a n E

y E K − e.v. y f : E → E


L l a m a r e m o s n ú c l e o

d e f a l c o n j u n t o

Ker(f ) = f −1({0}) = {u ∈ E |f (u) = 0 },

e i m a g e n

d e

f,a l c o n j u n t o

Im(f ) = {v ∈ E |∃u ∈ Et a l q u e f (u) = v}.

o s e a , a l c o n j u n t o f (E ).



Á l g e b r a 1 6 3

O b s é r v e s e q u e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 3 . 1 ) , p a r a c u a l q u i e r

f u n c i ó n l i n e a l

f :E

→E


Ker(f ) ≺ E

y q u e

Im(f ) ≺ E.

D e n i c i ó n 3 . 3 . 3 S e a n E

y E K − e.v. y f : E → E


E n t o n c e s a l a d i m e n s i ó n d e l i m a g e n d e f s e d e n o m i n a r a n g o d e f y a l a

d i m e n s i ó n d e l n ú c l e o d e

f s e d e n o m i n a n u l i d a d d e

f.

E j e m p l o 3 . 3 . 4 S e a n E

y E K − e.v.. E n t o n c e s , e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n

i d e n t i d a d IdE : E → E

e s e l s u b e s p a c i o {0}

y s u i m a g e n e s e l e s p a c i o E;

e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n c e r o f : E → Ee s e l e s p a c i o

Ey s u i m a g e n e s e l

s u b e s p a c i o {0}.

E j e r c i c i o 3 . 3 . 1 S e a f : R3 → R3l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e e l p l a n o

z = 0. D e t e r m i n a r n ú c l e o e i m a g e n d e f.

E j e r c i c i o 3 . 3 . 2 S e a E =

C1(R,R), y s e a

E =

F (R,R). D e t e r m i n a r e l n ú -

c l e o d e l a f u n c i ó n d e r i v a c i ó n

D : C1(R,R) → F (R,R).

E j e m p l o 3 . 3 . 5 U n a m a n e r a d i f e r e n t e d e l a u s u a l d e v e r i c a r q u e , d a d o s

α,β,γ ∈ R,e l c o n j u n t o

H =

(x1, x2, x3) ∈ R3αx1 + βx2 + γx3 = 0

e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e

R3, c o n s i s t e e n t e n e r e n c u e n t a q u e l a f u n c i ó n

αp1 + βp2 + γp3 : R3

→ R(x1, x2, x3) ; αx1 + βx2 + γx3

e s l i n e a l y q u e

H = Ker(αp1 + βp2 + γp3).



1 6 4 Á l g e b r a

A n t e s d e e n u n c i a r e l s i g u i e n t e t e o r e m a , r e c o r d e m o s l a s s i g u i e n t e s d e n i -

c i o n e s :

D e n i c i ó n 3 . 3 . 6 U n a f u n c i ó n f e n t r e d o s c o n j u n t o s A y B e s i n y e c t i v a

s i

∀a1, a2 ∈ A, f (a1) = f (a2) ⇒ a1 = a2.

D e n i c i ó n 3 . 3 . 7 U n a f u n c i ó n f e n t r e d o s c o n j u n t o s A y B e s s o b r e y e c t i v a

s i ∀b ∈ B e x i s t e a ∈ A t a l q u e b = f (a).

D e n i c i ó n 3 . 3 . 8 F i n a l m e n t e , u n a f u n c i ó n f e n t r e d o s c o n j u n t o s A y B e s

b i y e c t i v a s i f e s a l a v e z i n y e c t i v a y s o b r e y e c t i v a .

T e o r e m a 3 . 3 . 9 S e a n E

y E K − e.v. y f : E → E

u n a f u n c i ó n l i n e a l . S e

v e r i c a q u e

1 . f e s i n y e c t i v a ⇔ Ker(f ) = {0};

2 . f e s s o b r e y e c t i v a ⇔ Im(f ) = E.

D e m o s t r a c i ó n 1 . ⇒

P u e s t o q u e f e s l i n e a l , f (0) = 0 y e n c o n s e c u e n c i a

0 ∈ Ker(f )

o , l o q u e e s l o m i s m o , {0} ⊂ Ker(f ). P o r o t r a p a r t e s i u ∈ E

e s t a l q u e

u

∈Ker(f ), r e s u l t a q u e

f (u) = 0 y f (0) = 0,

y , p u e s t o q u e p o r h i p ó t e s i s f e s i n y e c t i v a , c o n c l u í m o s q u e u = 0, c o n l o q u e

Ker(f ) ⊂ {0}. E n d e n i t i v a , Ker(f ) = {0}. ⇐

S u p o n g a m o s q u e Ker(f ) = {0}y q u e u, v ∈ E

s o n t a l e s q u e f (u) =f (v).

E n e s e c a s o f (u) + (−f (v)) = 0

y , p u e s t o q u e f

e s l i n e a l ,

f (u) + (−f (v)) = f (u) + f (−v) = f (u + (−v)).

E n c o n s e c u e n c i a f (u + (−v)) = 0, o l o q u e e s l o m i s m o ,

u + (−v) ∈ Ker(f ) = {0},

e s d e c i r , u + (−v) = 0, d e d o n d e u = v .

2 . P o r d e n i c i ó n , f

e s s o b r e y e c t i v a s i y s ó l o s i Im(f ) = E. 2



Á l g e b r a 1 6 5

E j e m p l o 3 . 3 . 1 0 L a f u n c i ó n d e r i v a c i ó n D : C1(R,R) → F (R,R) n o e s i n -

y e c t i v a , y a q u e

Ker(D)e s e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s c o n s t a n t e s s o b r e

R.

E j e m p l o 3 . 3 . 1 1 L a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e e l p l a n o z = 0 e n R3

n o e s

i n y e c t i v a , s i e n d o s u n ú c l e o i g u a l a l e j e z.

3 . 4 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s i s o m o r f o s

S i f : E → E

e s u n a f u n c i ó n l i n e a l y b i y e c t i v a , p a r a t o d o v e c t o r u

e n E

e x i s t e u n ú n i c o v e c t o r v e n E t a l q u e f (u) = v. A d e m á s f e s i n v e r t i b l e y

f −1(v) = u.

P o r t a n t o f

e s t a b l e c e u n a p a r t i c u l a r c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l o s

v e c t o r e s d e E y l o s v e c t o r e s d e E q u e , a d e m á s , r e p r o d u c e e n E l a s r e l a c i o n e s

d e d e p e n d e n c i a e n t r e v e c t o r e s d e E. E n e s t e c a s o s e p o d r í a n i d e n t i c a r l o s d o s

e s p a c i o s E y E , p e r o e s a m e n u d o n e c e s a r i o d i s t i n g u i r e n t r e d i s t i n t o s t i p o s

d e c o r r e s p o n d e n c i a s , e s d e c i r , n o s i n t e r e s a s a b e r e x a c t a m e n t e q u é f u n c i ó n

l i n e a l b i y e c t i v a e s t a m o s c o n s i d e r a n d o e n t r e l o s d o s e s p a c i o s . P o r e j e m p l o , l a

f u n c i ó n i d e n t i d a d e n R2

e s l i n e a l y b i y e c t i v a , p e r o t a m b i é n l o e s l a f u n c i ó n

r o t a c i ó n d e u n á n g u l o d e

π4 . L a p r i m e r a f u n c i ó n i d e n t i c a t r i v i a l m e n t e l a s

d o s c o p i a s d e l e s p a c i o R2

m i e n t r a s q u e l a s e g u n d a n o s d i c e q u e , c o m o e s p a c i o s

v e c t o r i a l e s , s o n e q u i v a l e n t e s .

E s t a s c o n s i d e r a c i o n e s j u s t i c a n l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n d e e s p a c i o s i s o m o r -

f o s .

D e n i c i ó n 3 . 4 . 1 S i e n d o E

y E

d o s K− e.v., s e d i c e q u e

Ey

Es o n

i s o -

m o r f o s s i e x i s t e u n a f u n c i ó n

f : E → Et a l q u e

f e s l i n e a l y b i y e c t i v a .

S i f : E → Ee s l i n e a l y b i y e c t i v a , s e d i c e q u e f e s u n

i s o m o r s m o ( n o

s i n g u l a r ) .

P r o p o s i c i ó n 3 . 4 . 2 S i f : E → Ee s u n i s o m o r s m o , f −1 : E → E

e s

t a m b i é n u n i s o m o r s m o .

D e m o s t r a c i ó n S i f : E

→E

e s b i y e c t i v a e n t o n c e s f −1 : E

→E

e s

t a m b i é n b i y e c t i v a . V e a m o s q u e e n l a s c o n d i c i o n e s d e l e n u n c i a d o f −1 : E →E

e s l i n e a l .

1 . S e a n u, v ∈ E. P o r s e r f : E → Eb i y e c t i v a

∃! u, v ∈ Et a l e s q u e

f (u) = u y f (v) = v



1 6 6 Á l g e b r a

o , l o q u e e s l o m i s m o , t a l e s q u e f −1(u) = u y f −1(v) = v. L u e g o

f −1(u + v) = f −1(f (u) + f (v)) =

( p o r s e r f l i n e a l )

= f −1(f (u + v)) = u + v = f −1(u) + f −1(v).

2 . S e a n u ∈ E

y α ∈ K.

R a z o n a n d o d e i g u a l m o d o q u e e n e l a p a r t a d o

a n t e r i o r , s i f −1(u) = u o , l o q u e e s l o m i s m o , f (u) = u , r e s u l t a q u e

f −1(αu) = f −1(αf (u)) =

= f −1(f (αu)) = αu = αf −1(u).

2

O b s e r v a c i ó n 3 9 S i d o s K− e.v. E

y E

s o n i s o m o r f o s , d e s d e u n p u n t o d e

v i s t a a l g e b r a i c o s o n i g u a l e s o i n d i s t i n g u i b l e s , e n e l s e n t i d o d e q u e t o d a

p r o p i e d a d r e l a c i o n a d a c o n l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l q u e p o s e a E

s e

t r a n s e r e a u t o m á t i c a m e n t e a l e s p a c i o E

a t r a v é s d e l i s o m o r s m o y r e c í p r o -

c a m e n t e .

E j e r c i c i o 3 . 4 . 1 C o m p r o b a r q u e s i f : E → E

e s u n i s o m o r s m o , e n t o n c e s

{v1,....,vm} ⊆ Ee s l i b r e s i y s o l o s i {f (v1),...,f (vm)} e s l i b r e .

E j e m p l o 3 . 4 . 3 L a s f u n c i o n e s

IC : Kn → M n×1(K)

(x1,...,xn) ;

x1.

.

.

xn

y

IF : Kn

→M 1×n(K)

(x1...xn) ; x1 · · · xn s o n i s o m o r s m o s . A IC l e d e n o m i n a r e m o s i s o m o r s m o c o l u m n a y a IF i s o m o r s m o l a .



Á l g e b r a 1 6 7

3 . 5 F u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

d e d i m e n s i ó n n i t a

3 . 5 . 1 D e t e r m i n a c i ó n d e f u n c i o n e s l i n e a l e s e n e s p a c i o s

v e c t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a

E l s i g u i e n t e t e o r e m a f u n d a m e n t a l e s t a b l e c e u n p r o c e d i m i e n t o p a r a d e n i r

f u n c i o n e s l i n e a l e s e n t r e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a , e n e l s e n t i d o

d e q u e , c o n o c i d a s l a s i m á g e n e s d e l o s e l e m e n t o s d e u n a b a s e d e l e s p a c i o

d o m i n i o , l a f u n c i ó n l i n e a l q u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a .

T e o r e m a 3 . 5 . 1 S e a n E

y E

d o s K − e.v.,

{u1,....,un} u n a b a s e d e E

y

{v1,....,vn}u n s i s t e m a c u a l q u i e r a d e n v e c t o r e s d e

E. E n e s t a s c o n d i c i o n e s

e x i s t e u n a ú n i c a f u n c i ó n l i n e a l f : E → Et a l q u e

∀i ∈ {1,...,n} f (ui) = vi.

A d e m á s s e v e r i c a q u e

a )

f e s i n y e c t i v a ⇔ {v1,....,vn} e s l i b r e ;

b ) f e s s o b r e y e c t i v a ⇔ L({v1,....,vn}) = E;

c ) f e s u n i s o m o r s m o ⇔ {v1,....,vn}

e s u n a b a s e d e E.

D e m o s t r a c i ó n i ) E x i s t e n c i a . S e a u ∈ E; p u e s t o q u e {u1,....,un} e s u n a

b a s e d e E

, t e n d r e m o s q u e ∃!(α1,....,αn) ∈ Kn

t a l q u e u =n

i=1

αiui. D e n i m o s

e n t o n c e s f (u) = ni=1

αivi . V e a m o s q u e l a f u n c i ó n f a s í d e n i d a p a r a c a d a

u ∈ Es a t i s f a c e l a s d o s c o n d i c i o n e s r e q u e r i d a s .

1 . f e s l i n e a l : d a d o s u, v ∈ Ey λ, µ ∈ K, s i u =

ni=1

αiui y v =n

i=1

β iui ,



1 6 8 Á l g e b r a

r e s u l t a q u e

f (λu + µv) = f (λ · ni=1

αiui

+ µ · ni=1

β iui

) =

= f (

n

i=1

(λαi + µβ i)ui

) =

ni=1

(λαi + µβ i)vi =

= λ

n

i=1

αivi

+ µ

n

i=1

β iui

= λf (u) + µf (v).

2 . ∀i ∈ {1,...,n} f (ui) = vi. D a d o i ∈ {1,...,n}, s e t i e n e

ui = 0 · u1 + ... + 1 · ui + ... + 0 · un

y , p o r c o n s i g u i e n t e ,

f (ui) = 0 · v1 + ... + 1 · vi + ... + 0 · vn = vi.

i i ) U n i c i d a d . S i g : E → Ee s u n a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e

∀i ∈ {1,...,n} g(ui) = vi,

r e s u l t a q u e , s i e n d o w

u n v e c t o r c u a l q u i e r a d e E

, a l s e r {u1,....,un}

u n a b a s e

d e E

, ∃(α1,....,αn) ∈ Kn

t a l q u e

w =

ni=1

αiui.

A h o r a b i e n ,

g(w) = g(n

i=1

αiui) =

= ( p o r s e r g l i n e a l ) =

=n

i=1

αig(ui) =n

i=1

αivi =

=n

i=1

αif (ui) = ( p o r s e r f l i n e a l ) =

= f (n

i=1

αiui) = f (w),



Á l g e b r a 1 6 9

e s d e c i r , ∀w ∈ E g(w) = f (w), c o n l o q u e c o n c l u í m o s q u e f = g.

F i n a l m e n t e , c o m p r o b e m o s q u e s e v e r i c a n a ) , b ) y c ) .

a ) ⇒

S e a

ni=1

αivi = 0. E n t o n c e s

0 =n

i=1

αivi =n

i=1

αif (ui) = f (n

i=1

αiui).

Y a q u e f

e s i n y e c t i v a ,

ni=1

αiui = 0y , p u e s t o q u e

{u1, · · · , un} e s l i b r e ,

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0).

⇐ S i w

∈Ker(f ), s i e n d o w =

n

i=1

αiui r e s u l t a q u e

f (w) = 0 = f (n

i=1

αiui) =n

i=1

αif (ui) =n

i=1

αivi,

y p u e s t o q u e {v1,....,vn} e s l i b r e , c o n c l u í m o s q u e

(α1,....,αn) = (0,..., 0),

c o n l o q u e w = 0.

b ) S i v e r i c a m o s q u e Im(f ) = L(v1,

· · ·, vn), e n t o n c e s f e s s o b r e y e c t i v a

⇔ L(v1, · · · , vn) = E. Y a q u e L(v1, · · · , vn) ≺ Im(f ), h a c e f a l t a s o l o c o m -

p r o b a r q u e Im(f ) ⊆ L(v1, · · · , vn) : s i v ∈ Im(f ), e x i s t e u =n

i=1

αiui ∈ Et a l

q u e

v = f (u) =n

i=1

αif (ui) =n

i=1

αivi ∈ L(v1, · · · , vn).

A s í q u e Im(f ) = L(v1, · · · , vn) = E.

c ) E s c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a d e l o s d o s a p a r t a d o s a n t e r i o r e s . 2

A l a v i s t a d e l t e o r e m a a n t e r i o r , s e v e r i c a q u e :

s i E

y E

s o n K− e.v. y

{u1,....,un} ∈ Ene s u n a b a s e d e

E, c u a l q u i e r

f u n c i ó n l i n e a l f : E → Eq u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a p o r e l

s i s t e m a {f (u1),...,f (un)}.



1 7 0 Á l g e b r a

E j e r c i c i o 3 . 5 . 1 D a d a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s

c o n d i c i o n e s

f (1, 0) = (3, 4, 1), f (0, 1) = (−1, 0, 1),

d e t e r m i n a r f (3, 1) y f (2, −1).

C o r o l a r i o 3 . 5 . 2 S i E

y E

s o n d o s K − e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o s ( d e d i -

m e n s i ó n n i t a ) , e n t o n c e s

Ey

Es o n i s o m o r f o s

⇔ dim(E) = dim(E)


S i E

y E

s o n i s o m o r f o s , f : E → Ee s u n i s o m o r s m o ,

y

{u1,....,un}e s u n a b a s e d e

E, p o r e l a p a r t a d o c ) d e l t e o r e m a a n t e r i o r ,

{f (u1),....,f (un)} e s u n a b a s e d e E

y , e n c o n s e c u e n c i a , dim(E) = dim(E) =n .

⇐

S i dim(E) = dim(E) = n

, {u1,....,un}

e s u n a b a s e d e E

y {v1,....,vn}

e s u n a b a s e d e E, c o n s i d e r a n d o l a f u n c i ó n l i n e a l f : E → E

t a l q u e ∀i ∈

{1,...,n} f (ui) = vi,r e s u l t a , p o r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , q u e

f e s u n i s o m o r -

s m o , y e n c o n s e c u e n c i a E

y E

s o n i s o m o r f o s . 2

C o m o v i m o s e n e l c a p í t u l o 2 , a l i n t r o d u c i r u n a b a s e o r d e n a d a e n u n

e s p a c i o v e c t o r i a l p o d e m o s a s o c i a r a c a d a v e c t o r d e l e s p a c i o s u s c o o r d e n a d a s

r e s p e c t o d e e s t a b a s e . T a m b i é n v i m o s q u e l a s c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r s o n

ú n i c a s .

E l s i g u i e n t e c o r o l a r i o a r m a q u e l a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e u n v e c t o r y s u s

c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e u n a b a s e j a d a e s u n i s o m o r s m o .

C o r o l a r i o 3 . 5 . 3 S i E

e s u n K−e.v.

y B = (u1,....,un)

e s u n a b a s e o r d e n a d a

d e E, l a f u n c i ó n q u e a s o c i a a t o d o v e c t o r l a m a t r i z d e s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o

d e l a b a s e B,

(·)B : E → M n×1(K)v ; (v)B

,

d o n d e

v =n

i=1

αiui ⇒ (v)B = α1

.

.

.

αn

,

e s u n i s o m o r s m o .



Á l g e b r a 1 7 1

D e m o s t r a c i ó n S i e n d o ∀i ∈ {1,...,n}

ei : {1,...,n} × {1} → M n×1(K)

( j, 1) ;

1 s i j = i0

s i j = i,

o , l o q u e e s l o m i s m o , s i e n d o (e1,..., en)

l a b a s e c a n ó n i c a d e M n×1(K), q u e

e m p l e a n d o l a n o t a c i ó n h a b i t u a l d e m a t r i c e s s e e s c r i b i r í a

(e1,..., en) =

10

.

.

.

0

,

01

.

.

.

0

, · · · ,

00

.

.

.

1

,

o b s e r v a n d o q u e (·)B e s l a ú n i c a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e

∀i ∈ {1,...,n} (ui)B = ei

y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e

Bc = (e1,..., en)

e s u n a b a s e d e M n×1(K) , e s i n m e d i a t o c o m p r o b a r q u e (·)B e s u n i s o m o r s m o . 2

O b s e r v a c i ó n 4 0 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e s i d o s K − e.v. E

y E

s o n i s o -

m o r f o s , t o d a p r o p i e d a d r e l a c i o n a d a c o n l a e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l q u e

p o s e a E

s e t r a n s e r e a u t o m á t i c a m e n t e a l e s p a c i o E

a t r a v é s d e l i s o m o r s m o

y r e c í p r o c a m e n t e , s i u n K − e.v. E

t i e n e d i m e n s i ó n n

y B

e s u n a b a s e

d e E, c o n s i d e r a n d o e l i s o m o r s m o (·)B : E →M n×1(K) p o d e m o s e s t u d i a r l a s

p r o p i e d a d e s d e l o s v e c t o r e s d e E

e s t u d i a n d o l a s q u e p o s e e n s u s c o o r d e n a -

d a s r e s p e c t o d e B, e s d e c i r , s u s i m á g e n e s m e d i a n t e e l i s o m o r s m o (·)B. E n

p a r t i c u l a r , s i {v1,....,vm}

e s u n s i s t e m a d e v e c t o r e s d e E, r e s u l t a q u e

{v1,....,vm} e s l i g a d o ⇔ e l s i s t e m a {(v1)B , ...., (vm)B} d e M n×1(K) e s l i g a d o ;

{v1,....,vm}e s l i b r e

⇔e l s i s t e m a

{(v1)B ,...., (vm)B}d e M n×1(K) e s l i b r e ;

{v1,....,vn}e s u n a b a s e d e

E ⇔ {(v1)B ,...., (vn)B}e s u n a b a s e d e M n×1(K).



1 7 2 Á l g e b r a

E j e m p l o s .

1 . E n e l R − e.v. R3

c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l e l

s i s t e m a {(−1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, −1, 0)}

e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) s i y

s ó l o s i e l s i s t e m a d e M 3×1(R) f o r m a d o p o r s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a

b a s e c a n ó n i c a Bc d e R3,

{ −1

11

,

111

,

1−10

}

e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) .

2 . E n e l C− e.v. P 4(C) = {f ∈ C[x] | gr(f ) ≤ 4}, e l s i s t e m a

{x + 3x2, 2 + x, −3 + x3, 1 + x4}e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) s i y s ó l o s i e l s i s t e m a d e

M 4×1(C)f o r m a d o

p o r s u s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e u s u a l d e P 4(C), {1, x , x2, x3, x4},

{

01300

,

21000

,

−30010

,

10001

}

e s l i b r e ( r e s p e c t i v a m e n t e l i g a d o ) .

3 . 5 . 2 D i m e n s i o n e s d e l n ú c l e o y d e l a i m a g e n

S i , p o r e j e m p l o , e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l R3

c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n p r o -

y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e e l p l a n o xy ( i s o m o r f o a R2

) , o b t e n e m o s u n a f u n c i ó n

l i n e a l s o b r e y e c t i v a y t a l q u e s u n ú c l e o e s t o d o e l e j e d e l a s z. P o r t a n t o , e l

r a n g o d e e s t a p r o y e c c i ó n e s 2 , s u n u l i d a d e s 1 y l a s u m a d e e s t o s d o s n ú m e r o s

c o i n c i d e c o n l a d i m e n s i ó n d e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n .

E l s i g u i e n t e t e o r e m a g e n e r a l i z a e s t e e j e m p l o a t o d a f u n c i ó n l i n e a l e n t r e

e s p a c i o s d e d i m e n s i ó n n i t a .

T e o r e m a 3 . 5 . 4 ( T e o r e m a d e l a d i m e n s i ó n p a r a f u n c i o n e s l i n e a l e s )

S i f : E → Ee s u n a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e l o s s u b e s p a c i o s Ker(f ) e Im(f )

s o n d e d i m e n s i ó n n i t a , e n t o n c e s E

e s t a m b i é n d e d i m e n s i ó n n i t a y

dim(E) =dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = nulidad(f ) + rango(f ).



Á l g e b r a 1 7 3

D e m o s t r a c i ó n S e a n {u1,....,ur} u n a b a s e d e Ker(f ) y

{v1,....,v p} u n a

b a s e d e

Im(f ).S e a n , p o r o t r a p a r t e ,

{w1,...,w p}t a l e s q u e

∀i ∈ {1,...,p}, f (wi) = vi.

E l t e o r e m a e s t a r á d e m o s t r a d o s i c o m p r o b a m o s q u e {u1,....,ur, w1,...,w p} e s

u n a b a s e d e E.

a ) {u1,....,ur, w1,...,w p} e s l i b r e . S u p o n g a m o s q u e

(α1,....,αr, β 1,...,β p) ∈ Kr+ p

e s t a l q u e

ri=1

αiui +

p j=1

β jw j = 0. ( 3 . 1 )

E n e s e c a s o

f

r

i=1

αiui +

p j=1

β jw j

= f (0) = 0.

P e r o , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e f e s l i n e a l , r e s u l t a q u e

r

i=1

αif (ui) +

p

j=1

β jf (w j ) = 0,

y p u e s t o q u e l o s v e c t o r e s u1,....,ur e s t á n e n Ker(f ), t e n d r e m o s q u e

p j=1

β j v j =

0,c o n l o q u e , a l s e r

{v1,....,v p} l i b r e , o b t e n e m o s q u e (β 1,...,β p) = (0,..., 0);

p e r o e n t o n c e s l a r e l a c i ó n ( 3 . 1 ) q u e d a

ri=1

αiui = 0, y p u e s t o q u e {u1,....,ur}

e s l i b r e , o b t e n e m o s q u e (α1,....,αr) = (0, ..., 0). E n d e n i t i v a ,

(α1,....,αr, β 1,...,β p) = (0,..., 0).b )

{u1,....,ur, w1,...,w p} e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e E. S e a u ∈ E.

A h o r a b i e n , f (u) ∈ Im(f ), y p u e s t o q u e {v1,....,v p} e s u n a b a s e d e Im(f ),

∃(β 1,...,β p) ∈ K p t a l q u e f (u) =

pi=1

β ivi. P e r o e n e s e c a s o ,

f (u) =

pi=1

β ivi =

pi=1

β if (wi) = f (

pi=1

β iwi),



1 7 4 Á l g e b r a

o s e a ,

0 = f (u) − f ( p

i=1

β iwi) =

= ( p o r s e r f l i n e a l ) =

= f (u − p

i=1

β iwi),

c o n l o q u e u −

pi=1

β iwi

∈ Ker(f ),

y c o m o Ker(f ) = L({u1,....,ur}),

∃(α1,....,αr) ∈ Kr..

u −

pi=1

β iwi

=

r j=1

α ju j,

y r e s u l t a q u e , u =

p

i=1

β iwi

+

r

j=1

α ju j

. 2

3 . 5 . 3 M a t r i z a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n l i n e a l

S i E

y E

s o n d o s K− e.v. n i t a m e n t e g e n e r a d o s , f : E → E

e s u n a f u n c i ó n

l i n e a l y B = {u1,....,un}e s u n a b a s e d e

E, s e g ú n h e m o s v i s t o , l a f u n c i ó n f q u e d a c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a p o r e l s i s t e m a

{f (u1),....,f (un)}.A s í , s i e n d o B = {v1,...,vm } u n a b a s e d e

Ey , c o n o c i d o e l s i s t e m a d e

v e c t o r e s d e M m×1(K)

{(f (u1))B, ...., (f (un))B},

v a m o s a o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n q u e n o s p e r m i t a c a l c u l a r , p a r a t o d o v e c t o r

w ∈ E, l a s c o o r d e n a d a s d e f (w) r e s p e c t o d e Bs i n m á s q u e c o n o c e r l a s

c o o r d e n a d a s d e w

r e s p e c t o d e B.

A s í p u e s , s u p o n g a m o s q u e

∀ j ∈ {1,...,n} (f (u j))B =

α1 j.

.

.

αmj

∈ M m×1(K),



Á l g e b r a 1 7 5

o l o q u e e s l o m i s m o , q u e

∀ j ∈ {1,...,n} (f (u j ))B =

mi=1

αij(vi)B.

S e a w ∈ E, y s u p o n g a m o s t a m b i é n q u e w =

n j=1

x ju j , e s d e c i r , q u e

(w)B =

x1

.

.

.

xn

.

E n e s e c a s o , f (w) = f (n

j=1

x j u j) =n

j=1

x jf (u j), c o n l o q u e , t e n i e n d o e n

c u e n t a q u e

(·)B : E → M m×1(K)

v ; (v)B

e s u n i s o m o r s m o ,

(f (w))B =

n

j=1

x j f (u j )B

=n

j=1

x j

·(f (u j))B

=

=n

j=1

x j

m

i=1

αij(vi)B

=

n j=1

mi=1

x j(αij(vi)B) =

=

m

i=1

n

j=1

x jαij

(vi)B

.

E s d e c i r ,

(f (w))B =

n

j=1

x jα1 j.

.

. n

j=1

x j αnj

,



1 7 6 Á l g e b r a

c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a c o m o e s t á d e n i d o e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s ,

r e s u l t a q u e

(f (w))B =

α11 · · · α1n

.

.

.

.

.

.

αm1 · · · αmn

· x1

.

.

.

xn

.

E n d e n i t i v a , s i A =

α11 · · · α1n

.

.

.

.

.

.

αm1 · · · αmn


(f (w))B = A · (w)B.

A l a m a t r i z

Al a d e n o m i n a r e m o s

m a t r i z a s o c i a d a a l a f u n c i ó n l i n e a l

f r e s p e c t o d e l a s b a s e s B y B

y l a d e n o t a r e m o s p o r M BB (f ).

N ó t a s e q u e M BB (f ) ∈ M m×n(K), d o n d e m = dim(E) y n = dim(E).

E n r e s u m e n :

∀w ∈ E, (f (w))B = M B

B (f ) · (w)B

O b s e r v a c i ó n 4 1 N ó t e s e q u e l a m a t r i z M BB (f ) e s t á c a r a c t e r i z a d a p o r e l h e -

c h o d e q u e ∀ j ∈ {1,...,n}

s u c o l u m n a j − esima e s l a m a t r i z

(f (u j))B =

α1 j.

.

.

αmj

∈ M m×1(K).

O b s e r v a c i ó n 4 2 N ó t e s e l a d i s p o s i c i ó n d e l a s b a s e s B d e l e s p a c i o d o m i n i o

Ey

Bd e

Ee n l a e x p r e s i ó n :

(f (w))B = M B

B (f ) · (w)B.

E J E M P L O S :

1 . S i c o n s i d e r a m o s e n R3

y R2

s u s e s t r u c t u r a s h a b i t u a l e s d e R− e.v. y l a

f u n c i ó n l i n e a l f : R3 → R2d e t e r m i n a d a p o r

f (1, 0, 0) = (1, 2), f (0, 1, 0) = (0, 1) y f (0, 0, 1) = (3,√

2),



Á l g e b r a 1 7 7

r e s u l t a q u e , s i e n d o

B3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B2 = {(1, 0), (0, 1)},

M B3B2

(f ) =

1 0 3

2 1√

2

.

P o r o t r a p a r t e , s i c o n s i d e r a m o s l a b a s e d e R3

B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}( v e r i f í q u e s e q u e e f e c t i v a m e n t e e s u n a b a s e ) , t e n d r e m o s q u e , p u e s t o q u e

f e s l i n e a l ,

f (1, 1, 1) = f ((1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)) =

= f (1, 0, 0) + f (0, 1, 0) + f (0, 0, 1)) == (1, 2) + (0, 1) + (3,

√ 2) = (4, 3 +

√ 2),

y d e f o r m a a n á l o g a

f (0, 1, 1) = (3, 1 +√

2),

c o n l o q u e

M BB2(f ) =

4 3 3

3 +√

2 1 +√

2√

2

.

2 . E s e v i d e n t e q u e s i e n d o Bn l a b a s e c a n ó n i c a d e

Kn,

M Bn

Bn(Id

K

n) = I n ∈ M n(K).

E n g e n e r a l , s i B = {u1,....,un} e s u n a b a s e c u a l q u i e r a d e u n

K− e.v. E,M BB (IdE) = I n ∈ M n(K).

S i n e m b a r g o , s i e n d o B = B,

M B

B (IdE) = I n.

A s í p o r e j e m p l o , s i e n d o

B =

{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)

},

r e s u l t a

M B

Bn(Id

K

n) =

1 0 01 1 01 1 1

.



1 7 8 Á l g e b r a

3 . S i c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n i − esima,

pi : Kn −→ K

(x1,...,xn) ; xi,

s i e n d o Bn y B1 l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e , r e s p e c t i v a m e n t e , Kn

y K, s e

v e r i c a q u e

M Bn

B1( pi) = ( 0 · · · 0 1(i) 0 · · · 0 ).

4 . S i e n e l C− e.v.

P 3(C) =

{f

∈C[x]

|gr(f )

≤3

},

c o n s i d e r a m o s l a b a s e u s u a l

B = {1, x , x2, x3}

y l a f u n c i ó n l i n e a l f : P 3(C) → P 3(C) t a l q u e

f (1) = x + 3x2,

f (x) = 2 + x,

f (x2) = −3 + x3

f (x

3

) = 1 + x

3

,

r e s u l t a q u e

M BB (f ) =

0 2 −3 11 1 0 03 0 0 00 0 1 1

.

3 . 5 . 4 A l g o r i t m o p a r a h a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y d e l a

i m a g e n

D a d a u n a f u n c i ó n l i n e a l

f : E → E e n t r e d o s

K- e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e

d i m e n s i o n e s n i t a s n

y m

, q u e r e m o s h a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y u n a

b a s e d e l a i m a g e n d e f .

F i j a d a s d o s b a s e s B = {u1, · · · , un} y

Bd e

Ey

E,r e s p e c t i v a m e n t e , s e a

M BB(f ) l a r e l a t i v a m a t r i z a s o c i a d a a f. N u e s t r o m é t o d o c o n s i s t e e n e l a p l i c a r



Á l g e b r a 1 7 9

e l m é t o d o d e G a u s s a l a m a t r i z

M B

B(f )

I n h a s t a o b t e n e r u n a m a t r i z d e l a f o r m a

AP , d o n d e A e s l a f o r m a g a u s s i a n a d e l a m a t r i z M BB(f ) . L a s c o l u m n a s d e

l a m a t r i z M BB(f ) s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s {f (u1), · · · , f (un)}

r e s p e c t o d e l a b a s e B

y l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z I n s o n l a s c o o r d e n a d a s

d e l o s v e c t o r e s {u1, · · · , un} r e s p e c t o d e l a b a s e B. Y a q u e f e s l i n e a l , s i

v =k

i=1 αiui,e n t o n c e s

f (v) = f (k

i=1 αiui) =k

i=1 αif (ui). S e s i g u e q u e ,

a l a p l i c a r e l m é t o d o d e G a u s s s i n i n t e r c a m b i a r e l o r d e n d e l a s c o l u m n a s a

l a m a t r i z

M B

B(f )

I n

, l a s n u e v a s c o l u m n a s o b t e n i d a s s o n t o d a v í a d e l a f o r m a

(f (v))B

(v)B

( l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s u s a d a s s o n l i n e a l e s ) . A s í q u e l a s

c o l u m n a s d e P q u e a p a r e z c a n b a j o l a s c o l u m n a s n u l a s d e A c o n s t i t u y e n u n a

b a s e d e l n ú c l e o d e f y l a s c o l u m n a n o n u l a s d e A c o n s t i t u y e n u n a b a s e d e l a

i m a g e n d e f

.

E j e m p l o 3 . 5 . 5 S e a f : R3 → R2

d e n i d a p o r f (x,y,z ) = (x + 2y − 3z, x −

2y + z ). S e a n B y Bl a s b a s e s c a n ó n i c a s d e

R3y R3. E n t o n c e s

M BB(f )

I n

=

1 2 −31 −2 1

1 0 00 1 00 0 1

c2 = c2 − 2c1c3 = c3 + 3c1

→

1 0 01 −4 4

1 −2 30 1 00 0 1

c3 = c3 + c2→

1 0 01 −4 0

1 −2 10 1 10 0 1

y

{(1, 1), (0, −4)}e s u n a b a s e d e Im(f ) y

{(1, 1, 1)}e s u n a b a s e d e Ker(f ).

3 . 5 . 5 M a t r i z a s o c i a d a a l a c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s l i -

n e a l e s

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a d e t e r m i n a r l a m a t r i z a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n h = g◦f q u e e s l a c o m p u e s t a d e d o s f u n c i o n e s l i n e a l e s

f y

ga p a r t i r d e l a s m a t r i c e s

a s o c i a d a s a f y a g.



1 8 0 Á l g e b r a

U t i l i z a r e m o s l o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s p a r a d e t e r m i n a r f á c i l m e n t e l a n u e v a

m a t r i z q u e q u e d a a s o c i a d a a u n a f u n c i ó n l i n e a l s i c a m b i a m o s l a s b a s e s d e s u

d o m i n i o y c o d o m i n i o .

L e m a 3 . 5 . 6 S e a n A, B ∈ M m×n(K). E n e s t a s c o n d i c i o n e s

1 . (A = (0) ∈ M m×n(K)) ⇔ (∀X ∈ M n×1(K), A · X = (0) ∈ M m×1(K)) ;

2 . A = B ⇔ (∀X ∈ M n×1(K), A · X = B · X ) .

D e m o s t r a c i ó n 1 . ⇒

E s e v i d e n t e .

1 . ⇐

S i e n d o Bc = {e1,..., en} l a b a s e c a n ó n i c a d e

M n×1(K),q u e e m -

p l e a n d o l a n o t a c i ó n h a b i t u a l d e m a t r i c e s s e e s c r i b i r í a

{e1,..., en} = {

10

.

.

.

0

,

01

.

.

.

0

,...,

00

.

.

.

1

},

r e s u l t a q u e , p o r h i p ó t e s i s , ∀i ∈ {1,...,n}, A · ei = (0) ∈ M m×1(K),

p e r o p o r

o t r a p a r t e , ∀ j ∈ {1,...,m}

(A · ei)( j, 1) =n

k=1

(A( j, k) · ei(k, 1)) = A( j, i),

e s d e c i r , A · ei = Ai( i . e . , l a c o l u m n a i − esima d e l a m a t r i z A), y p u e s t o q u e

∀i ∈ {1,...,n} A · ei = (0) = Ai,

r e s u l t a q u e A = (0).2 . A = B ⇔ A − B = (0) ⇔ ∀X ∈ M n×1(K) (A − B) · X = (0) ⇔

∀X ∈ M n×1(K) A · X = B · X. 2

P r o p o s i c i ó n 3 . 5 . 7 S i E

, E

y E

s o n K − e.v. d e d i m e n s i ó n n i t a , B , B

y Bs o n b a s e s d e

E,

Ey

Er e s p e c t i v a m e n t e , y f : E

→E

y g : E

→E

s o n f u n c i o n e s l i n e a l e s , e n t o n c e s s e v e r i c a q u e

M BB(g ◦ f ) = M B

B (g) · M B

B (f ),

d o n d e ·

e s e l p r o d u c t o u s u a l d e m a t r i c e s .



Á l g e b r a 1 8 1

L a s h i p ó t e s i s d e l a p r o p o s i c i ó n s e p u e d e n r e p r e s e n t a r p o r m e d i o d e l a

s i g u i e n t e t a b l a , d o n d e s e s u p o n e q u e

dim(E ) = n, dim(E ) = m, dim(E ) = p.

g◦f −→

E Bf −→ E B

g−→ E B

(·)B (·)B (·)B

M n×1(K)

−→M B

B

(f )

M m×1(K)

−→M

B

B(g)

M p×1(K)

M B

B(g◦f )−→

L a c o n c l u s i ó n e s q u e

M BB(g ◦ f ) = M B

B (g) · M B

B (f ).

D e m o s t r a c i ó n S u p o n g a m o s q u e dim(E) = n. P u e s t o q u e l a f u n c i ó n (·)B :E → M n×1(K) e s u n i s o m o r s m o ,

∀X ∈ M n×1(K) ∃u ∈ Et a l q u e X = (u)B.

P o r o t r a p a r t e ,

∀u

∈E

, M B

B (g) · M B

B (f )

· (u)B = M B

B (g) · M B

B (f ) · (u)B

=

= M B

B (g) · (f (u))B

= (g(f (u)))B =

= ((g ◦ f )(u))B .

A d e m á s

M BB(g ◦ f ) · (u)B = ((g ◦ f )(u))B ,

e s d e c i r , ∀u ∈ E

,

M B

B (g) · M B

B (f ) · (u)B = M B

B(g ◦ f ) · (u)B,

o l o q u e e s l o m i s m o , ∀X ∈ M n×1(K),

M B

B (g) · M B

B (f )

· X = M BB(g ◦ f ) · X,



1 8 2 Á l g e b r a

c o n l o q u e , p o r e l l e m a a n t e r i o r ,

M B

B (g) · M B

B (f ) = M BB(g ◦ f ).

2

E j e m p l o 3 . 5 . 8 S i c o n s i d e r a m o s e n R3

y R2

s u s e s t r u c t u r a s h a b i t u a l e s d e

R− e.v. y l a s f u n c i o n e s l i n e a l e s f : R3 → R2 y g : R2 → R2t a l e s q u e

M B3B2

(f ) =

0 1 22 1 1

y

M B2B2

(g) = −1 0

0 −1

,

r e s u l t a q u e

M B3B2

(g ◦ f ) = M B2B2

(g) · M B3B2

(f ) =

−1 00 −1

·

0 1 22 1 1

=

=

0 −1 −2

−2 −1 −1

.

O b s e r v a c i ó n 4 3 E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r , t a n t o e n l a p r o p o s i c i ó n c o m o e n

e l e j e m p l o a n t e r i o r , e l o r d e n e n e l q u e s e m u l t i p l i c a n l a s m a t r i c e s y l a c o i n -

c i d e n c i a d e l a b a s e s q u e a p a r e c e n e n l a e x p r e s i ó n

M B2B2

(g) · M B3B2

(f )

s e g ú n l a d i r e c c i ó n N o r o e s t e - S u r e s t e .

O b s e r v a c i ó n 4 4 L a r e p r e s e n t a c i ó n d e u n a f u n c i ó n l i n e a l e n t r e e s p a c i o s v e c -

t o r i a l e s d e d i m e n s i ó n n i t a m e d i a n t e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s a s í c o m o l a

p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) , j u s t i c a n l a d e n i c i ó n d a d a e n e l c a p í t u l o 1 d e l p r o d u c t o

d e m a t r i c e s .



Á l g e b r a 1 8 3

3 . 5 . 6 M a t r i c e s s e m e j a n t e s y c a m b i o s d e b a s e

D a d o u n K − e.v. E d e d i m e n s i ó n n , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a f u n c i ó n

IdE : E → Ee s l i n e a l , r e s u l t a q u e , s i e n d o B y B

b a s e s d e E, t e n d r e m o s q u e

∀u ∈ E,

(u)B = M B

B (IdE) · (u)B,

e s d e c i r , p o d e m o s o b t e n e r m e d i a n t e u n p r o d u c t o d e m a t r i c e s l a s c o o r d e -

n a d a s d e c u a l q u i e r v e c t o r r e s p e c t o d e l a b a s e B

, s i n m á s q u e c o n o c e r s u s

c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e B y l a m a t r i z d e t r a n s i c i ó n d e B a B

M BB (IdE).

E s m á s , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e

M BB (IdE) = I n = M B

B (IdE),

y q u e , c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) ,

I n = M BB (IdE) = M BB (IdE ◦ IdE) = M B

B (IdE) · M BB (IdE)

I n = M B

B (IdE) = M B

B (IdE ◦ IdE) = M B

B (IdE) · M B

B (IdE),

o b t e n e m o s e n d e n i t i v a q u e l a m a t r i z M B

B (IdE) e s i n v e r t i b l e y q u e a d e m á s

M B

B (IdE)−1 = M BB (IdE).

E n c o n s e c u e n c i a ,

s i E

e s u n K− e.v. d e d i m e n s i ó n n y A ∈ M n(K)

e s t a l q u e

A = M BB (IdE),

e n t o n c e s l a m a t r i z A

e s i n v e r t i b l e , y a d e m á s

A−1 = M B

B (IdE).

O t r a d e l a s a p l i c a c i o n e s d e l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) c o n s i s t e e n q u e n o s

a p o r t a u n m é t o d o p a r a o b t e n e r l a m a t r i z M B

B (f )

d e u n a f u n c i ó n l i n e a l f :

E → Er e s p e c t o d e o t r a s b a s e s ( t a n t o d e

Ec o m o d e

E). A s í , p o r e j e m p l o ,



1 8 4 Á l g e b r a

s i B1 e s o t r a b a s e d e E

, c o n s i d e r a n d o l a f u n c i ó n l i n e a l IdE : E → E, r e s u l t a

q u e

M B1

B (f ) = M B1

B (f ◦ IdE) = M B

B (f ) · M B1

B (IdE), ( 3 . 2 )

y s i Be s o t r a b a s e d e

E, c o n s i d e r a n d o l a f u n c i ó n l i n e a l IdE : E→ E,r e s u l t a r á q u e

M BB(f ) = M BB(IdE ◦ f ) = M B

B(IdE ) · M BB (f ). ( 3 . 3 )

E n p a r t i c u l a r , s e a n B y B

d o s b a s e s d e l m i s m o K − e.v. E d e d i m e n s i ó n

n i t a n y f : E → E u n a f u n c i ó n l i n e a l . S e a n M BB (f ) y M B

B (f ) l a s m a t r i c e s

a s o c i a d a s a f r e s p e c t o d e l a s b a s e s B y B.U t i l i z a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) y l a p r o p o s i c i ó n ( 3 . 5 . 7 ) , s e o b t i e n e q u e

M B

B (f ) = M B

B (f ◦ IdE ) = M BB(f )M B

B (IdE ) =

= M BB(IdE ◦ f )M B

B (IdE ) = M BB(IdE )M BB (f )M B

B (IdE ).

E n t o n c e s ,

M B

B (f ) = (M B

B (IdE ))−1M BB (f )M B

B (IdE ). ( 3 . 4 )

E s t a ú l t i m a e c u a c i ó n j u s t i c a l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n :

D e n i c i ó n 3 . 5 . 9 S e a n A, B ∈ M n(K).

S e d i c e q u e A

y B

s o n s e m e j a n t e s

s i e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e

P ∈ M n(K)t a l q u e

B = P −1

AP.

O b s e r v a c i ó n 4 5 L a r e l a c i ó n d e s e m e j a n z a s o b r e M n(K)

e s u n a r e l a c i ó n d e

e q u i v a l e n c i a .

E j e r c i c i o 3 . 5 . 2 S i c o n s i d e r a m o s e n R3

y R2

s u s e s t r u c t u r a s h a b i t u a l e s d e

R− e.v. y l a f u n c i ó n l i n e a l f : R3 → R2t a l q u e

M B3B2

(f ) =

0 1 22 1 1

,

s i e n d o

B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, y B = {(1, 1), (0, 1)},

o b t e n e r l a s m a t r i c e s M BB2(f ), M B3

B (f ) y M B

B (f ).



Á l g e b r a 1 8 5

E j e m p l o 3 . 5 . 1 0 S i c o n s i d e r a m o s e n R2

s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e R − e.v.

y l a s b a s e s

B2( l a b a s e c a n ó n i c a ) y

B = {(0, 2), (1, 1)},r e s u l t a q u e

M BB2(Id

R

2) =

0 12 1

;

p o r o t r a p a r t e , p a r a h a l l a r M B2

B (IdR

2), p o d e m o s , o b i e n c a l c u l a r p o r c u a l -

q u i e r m é t o d o q u e s e c o n o z c a l a m a t r i z i n v e r s a d e M BB2(Id

R

2), o b i e n , t e n e r

e n c u e n t a q u e l o s v e c t o r e s c o l u m n a d e M B2B (Id

R

2) s o n l a s c o o r d e n a d a s d e

l o s v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a r e s p e c t o d e B.

S i r e s o l v e m o s e l s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s e n α, β, γ y δ q u e s e o b t i e n e a l e s c r i b i r

(1, 0) = α(0, 2) + β (1, 1)y

(0, 1) = γ (0, 2) + δ (1, 1),

l l e g a m o s a q u e α γ β δ

=

−12

12

1 0

= M B2

B (IdR

2).

3 . 5 . 7 E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s d e u n s u b -

e s p a c i o v e c t o r i a l

E n e s t a s e c c i ó n s e d e n e n y s e m u e s t r a c o m o h a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é -

t r i c a s e i m p l í c i t a s d e u n s u b e s p a c i o c u a l q u i e r a d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e

d i m e n s i ó n n i t a .

E n e l c a p í t u l o 5 v e r e m o s c o m o e s t a s e c u a c i o n e s s e u t i l i z a n e n e l c o n t e x t o

d e l o s c ó d i g o s l i n e a l e s .

E n e l c a p í t u l o 2 v i m o s q u e u n a r e c t a r

y u n p l a n o π

p o r (0, 0, 0)

s o n

s u b e s p a c i o s d e R3.

S u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n :

r :

x = λa

y = λb

z = λc

λ ∈ R,

d o n d e e l v e c t o r u = (a,b,c),

p a r a l e l o a r,

e s u n a b a s e d e r.

N o t a r q u e R = Rdim(r)

y q u e l a f u n c i ó n

g : R −→ R3,



1 8 6 Á l g e b r a

d e n i d a p o r

g(λ) = (λa,λb,λc),e s l i n e a l , i n y e c t i v a y

r = Im(g).

S e s i g u e q u e g : R −→ r

e s u n i s o m o r s m o .

P a r a e l p l a n o π l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n

π :

x = λu1 + µv1

y = λu2 + µv2

z = λu3 + µv3

λ, µ ∈ R,

d o n d e l o s v e c t o r e s u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), l i n e a l m e n t e i n d e p e n -

d i e n t e s , f o r m a n u n a b a s e d e π.N o t a r q u e , e n e s t e c a s o ,

R2 = Rdim(π)y q u e l a f u n c i ó n

g : R2 −→ R3,

d e n i d a p o r

g(λ, µ) = λu + µv,

e s l i n e a l , i n y e c t i v a y

π = Im(g).

S e s i g u e q u e g : R2 −→ π e s u n i s o m o r s m o .

E n g e n e r a l , s e a n E

u n K− e.v. t a l q u e dim(E) = n y H ≺ E, H = {0},

d e m a n e r a q u e dim(H ) = r > 0. S e g ú n h e m o s v i s t o , l o s e s p a c i o s Kr

y H s o n

i s o m o r f o s . S i g : Kr → H e s u n i s o m o r s m o y u ∈ E, t e n d r e m o s q u e

u ∈ H ⇔ u ∈ Im(g) ⇔ ∃(α1,...,αr) ∈ Krt a l q u e u = f (α1,...,αr).

S i e n d o B u n a b a s e c u a l q u i e r a d e E

y Br l a b a s e c a n ó n i c a d e Kr, t e n d r e m o s

q u e

u = g(α1,...,αr) ⇔ (u)B = (g(α1,...,αr))B = M Br

B (g) · α1

.

.

.

αr

e s d e c i r ,



Á l g e b r a 1 8 7

u ∈ H ⇔ ∃(α1,...,αr) ∈ Kr

..(u)B = M

Br

B (f ) ·α1

.

.

.

αr .

A l a e x p r e s i ó n

(u)B = M Br

B (f ) ·

α1.

.

.

αr

l a d e n o m i n a r e m o s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e

H r e s p e c t o d e l a b a s e

B.

E j e m p l o 3 . 5 . 1 1 C o n s i d e r a m o s e l e s p a c i o R3

c o n s u b a s e c a n ó n i c a B3 y

s e a H e l s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a {(1, 1, 0), (1, 2, 1)}. T e n i e n d o e n

c u e n t a q u e e s t e s i s t e m a e s l i b r e , r e s u l t a q u e d i c h o s i s t e m a e s u n a b a s e d e

H y q u e H e s u n p l a n o p o r (0, 0, 0). D a d o e n t o n c e s (x,y,z ) ∈ R3, r e s u l t a

q u e (x,y,z ) ∈ H s i y s o l o s i ∃(α, β ) ∈ R2

t a l q u e (x,y,z ) = α(1, 1, 0) +β (1, 2, 1), e s d e c i r , (x,y,z ) = (α + β, α + 2β, β ). S i g : R2 → H e s e l

i s o m o r s m o d e n i d o p o r g(1, 0) =

110

y g(0, 1) =

121

, e n t o n c e s

M B2B3

(g) = 1 11 20 1

.

T e n i e n d o e n c u e n t a q u e ((1, 1, 0))B3 =

110

, ((1, 2, 1))B3 =

121

,

l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e H r e s p e c t o d e l a b a s e B3 s e e s c r i b i r í a n :

(u)B3 =

1 11 20 1

·

αβ

o , e n f o r m a d e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s , s i e n d o

xyz

l a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o

d e B3 d e u n v e c t o r g e n é r i c o d e H ,

1 8 8 Á l g e b r a

x = α + β

y = α + 2β z = β

.

V o l v i e n d o a l c a s o d e u n a r e c t a r y u n p l a n o π p o r (0, 0, 0) e n R3, v i m o s

q u e s u s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s s o n

r :

h1(x,y,z ) = a1x + b1y + c1z + d1 = 0

h2(x,y,z ) = a2x + b2y + c2z + d2 = 0

y

π : h(x,y,z ) = ax + by + cz + d = 0.

E n e l c a s o d e l a r e c t a r, s i d e n i m o s l a f u n c i ó n h : R3 −→ R2c o m o

h(x,y,z ) = (h1(x,y,z ), h2(x,y,z )), r e s u l t a q u e

r = {(x,y,z ) : h(x,y,z ) = 0} = Ker(h).

N o t a r q u e e l c o d o m i n i o d e h

e s R2 = R3−dim(r).

P a r a e l p l a n o π,

s e p u e d e d e n i r l a f u n c i ó n h : R3 −→ R

c o m o h(x,y,z ) =

ax + by + cz + d y r e s u l t a q u e

π = {(x,y,z ) : h(x,y,z ) = 0} = Ker(h).

N o t a r q u e e l c o d o m i n i o d e h e s , e n e s t e c a s o , R = R3−dim(π).

E l c a s o g e n e r a l e s e l c o n t e n i d o d e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .

P r o p o s i c i ó n 3 . 5 . 1 2 S e a n E

u n K − e.v. t a l q u e dim(E) = n y H ≺ E,

H = {0}, H = E, d e m a n e r a q u e 0 < dim(H ) = r < n. E n e s t a s c o n d i c i o n e s

e x i s t e u n a f u n c i ó n l i n e a l h : E −→ Kn−rt a l q u e H = ker(h).

D e m o s t r a c i ó n S e a {u1,...,ur} ⊆ H u n a b a s e d e H. P o r e l t e o r e m a d e

e x t e n s i ó n d e u n a b a s e , ∃{ur+1,...,un} ⊆ E

t a l q u e {u1,...,un} e s u n a b a s e

d e E. S i e n d o

{e1,..., en−r} l a b a s e c a n ó n i c a d e Kn−r

c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n

l i n e a l

h : E →Kn−

rd e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :

∀i ∈ {1,...,n}, h(ui) =

0s i i ≤ r

ei−r s i i > r. E v i d e n t e m e n t e H ⊆ Ker(h), y

p u e s t o q u e e l c o n j u n t o {e1,..., en−r} ⊆ Im(h)

, r e s u l t a q u e dim(Im(h)) = n−

r, c o n l o q u e , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e dim(E) = n, r e s u l t a q u e dim(Ker(h)) =



Á l g e b r a 1 8 9

r = dim(H ), e s d e c i r , H = Ker(h). 2

V i s t a l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r , s i B = {u1,...,un} e s u n a b a s e d e E

y

h : E →Kn−re s u n a f u n c i ó n l i n e a l t a l q u e Ker(h) = H, s i e n d o Bn−r l a b a s e

c a n ó n i c a d e Kn−r

r e s u l t a q u e

u ∈ H ⇔ h(u) = 0 ⇔ M BBn−r(h) · (u)B = (0)

e n d e n i t i v a ,

u ∈ H ⇔ M BBn−r(h) · (u)B = (0)

A l a e x p r e s i ó n

M BBn−r(h) · (u)B = (0)

( o a s u v e r s i ó n e q u i v a l e n t e c o m o s i s t e m a h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s ) l a d e n o -

m i n a r e m o s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e B.

E j e m p l o 3 . 5 . 1 3 S e a H

e l s u b e s p a c i o d e R3

d e l e j e m p l o a n t e r i o r , i . e . , e l

s u b e s p a c i o g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a {(1, 1, 0), (1, 2, 1)}. T e n i e n d o e n c u e n t a

q u e e s t e s i s t e m a e s l i b r e , r e s u l t a q u e d i c h o s i s t e m a e s u n a b a s e d e H y q u e

H e s u n p l a n o . E x t e n d i e n d o e s t e s i s t e m a c o n e l v e c t o r

(0, 1, 0),r e s u l t a q u e

B = {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 0)}e s u n s i s t e m a l i b r e ( v e r i f í q u e s e ) y e n c o n s e c u e n c i a e s u n a b a s e d e

R3. S i a h o r a

c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n l i n e a l h : R3→R, d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

h(1, 1, 0) = 0, h(1, 2, 1) = 0 y h(0, 1, 0) = 1, r e s u l t a q u e H = Ker(h), y

e n c o n s e c u e n c i a , s i e n d o B1 l a b a s e c a n ó n i c a d e R

, u ∈ H ⇔ h(u) = 0 ⇔M BB1

(h) · (u)B = (0), e s d e c i r , l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e

Bs o n

0 0 1

· (u)B = (0),

o l o q u e e s l o m i s m o , s i e n d o

xy

z

l a s

c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r g e n é r i c o d e H,

0 0 1 · x

yz

= (0) , q u e

e s c r i t a s e n f o r m a d e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s s e r e d u c e n a z = 0.



1 9 0 Á l g e b r a

S i a h o r a q u i s i é r a m o s o b t e n e r l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e

o t r a b a s e , p o r e j e m p l o l a b a s e c a n ó n i c a d e R3

, B3, e s s u c i e n t e c o n c a m b i a r

l a m a t r i z c o n s i d e r a d a , e s d e c i r , l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e B3

s o n M B3B1

(h) · (u)B = (0) y , p u e s t o q u e M B3B1

(h) = M BB1(h) ·M B3

B (Id), t e n i e n d o

e n c u e n t a q u e M B3B (Id) =

M BB3

(Id)−1

=

1 1 01 2 10 1 0

−1

=

1 0 −10 0 1

−1 1 −1

,

r e s u l t a q u e l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e H r e s p e c t o d e B3 s o n

0 0 1

·

1 0 −10 0 1

−1 1 −1

·

xyz

= (0),

e s d e c i r , −x + y − z = 0.



1 . R a z o n a r s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n o n o l i n e a l e s ( e n c a d a u n o d e

l o s c o n j u n t o s c o n s i d e r a d o s s e c o n s i d e r a s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e e s p a c i o

v e c t o r i a l ) :

a) f : R3 → R

(x,y,z ) x + 2y − 3z b) f : R3 → R

(x,y,z ) xyz

c) f : R2 → R

(x, y) x2 + y

2 . D a d a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

f (1, 0) = (3, 4, 1), f (0, 1) = (−1, 0, 1),

d e t e r m i n a r f (3, 1)

y f (2, −1).

3 . D e t e r m i n a r s i l a f u n c i ó n T : M 2(R) → R, d o n d e

Á l g e b r a 1 9 1

a ) T

a bc d = 3a − 4b + c − d

b ) T a b

c d

= a2 + b2

e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l .

4 . S e a T : R2 → R2

e l o p e r a d o r l i n e a l d e n i d o p o r l a e x p r e s i ó n T (x, y) =

(2x − y, −8x + 4y). ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n R(T ) ?

a ) ( 1 , - 4 ) b ) ( 5 , 0 ) c ) ( - 3 , 1 2 )

T (x, y) = (2x − y, −4(2x − 4)).

5 . S e a T : P2

→P3 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r T ( p(x)) = xp(x).

¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n Ker(T )?

a ) x3b ) 0 c ) 1 + x

6 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n p r o p o r c i o n a d a o b t e n e r l a n u -

l i d a d d e T .

a ) T : R5 → R7t i e n e r a n g o 3 .

b ) T : P4 → P3 t i e n e r a n g o 1 .

c ) T (R6) = R3.d )

T : M 2(R) → M 2(R)t i e n e r a n g o 3 .

7 . S e a T : R2 → R2l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e l a r e c t a y = x .

a ) E n c o n t r a r e l n ú c l e o d e T .

b ) ¾ E s T u n o a u n o ? J u s t i c a r l a c o n c l u s i ó n .

8 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n d a d a d e t e r m i n a r s i ( l a f u n c i ó n

l i n e a l ) T e s u n o a u n o .

a ) T : Rn → Rm; n u l i d a d ( T ) = 0 .

b ) T : Rn → Rn

; r a n g o ( T ) = n - 1 .

c ) T : Rm → Rn; n < m .

d ) T : Rn → Rn; R ( T ) =

Rn.

9 . S e a T : P2 → P1 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T (a0 + a1x + a2x2

) = (a0 + a1) − (2a1 + 3a2)x.a ) E n c o n t r a r l a m a t r i z p a r a T c o n r e s p e c t o a l a s b a s e s B 2 = { 1 , x , x

2} y

B 1 = { 1 , x } p a r a P2 y

P1.b ) C o m p r o b a r q u e l a m a t r i z ( T ) B2,B1 = M B1

B2(T )

o b t e n i d a e n e l i n c i s o a )

s a t i s f a c e l a f ó r m u l a : A ( p ( x ) ) B2 = ( T ( p ( x ) ) ) B2.



1 9 2 Á l g e b r a

1 0 . S e a T 1 : P1 → P2 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T 1(c0 + c1x) = 2c0 − 3c1x

y s e a T 2 : P2 → P3 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T 2(c0 + c1x + c2x2) = 3x(c0 + c1x + c2x2).S e a n B 1 = { 1 , x } , B 2 = { 1 , x , x

2} y B 3 = { 1 , x , x

2,x

3} .

a ) E n c o n t r a r M B1B3

(T 2 ◦ T 1), M B2B3

(T 2), M B1B2

(T 1).b ) E s c r i b i r u n a f ó r m u l a q u e r e l a c i o n e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) .

c ) C o m p r o b a r q u e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) s a t i s f a c e n l a f ó r m u l a p l a n -

t e a d a e n e l i n c i s o b ) .

1 1 . S e a n A y B m a t r i c e s s e m e j a n t e s . D e m o s t r a r l o s i g u i e n t e :

a ) A

ty B

ts o n s e m e j a n t e s .

b ) S i A y B s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A

−1y B

−1s o n s e m e j a n t e s .

1 2 . ( T e o r e m a a l t e r n a t i v o d e F r e d h o l m ) S e a T : V →

V u n o p e r a d o r

l i n e a l s o b r e u n e s p a c i o v e c t o r i a l n d i m e n s i o n a l . D e m o s t r a r q u e s e c u m p l e

e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :

i ) L a e c u a c i ó n T ( x ) = b t i e n e u n a s o l u c i ó n p a r a t o d o l o s v e c t o r e s b e n

V .

i i ) N u l i d a d d e T > 0 .

1 3 . S e a l a f u n c i ó n l i n e a l

f : R4

→ R3

d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

f (1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1), f (1, 0, 1, 0) = (1, 1, −1),

f (1, 1, 1, 0) = (0, 0, −1), f (−1, −2, 0, 0) = (1, 1, 1).

a ) H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e R4

y

R3.b ) L a d i m e n s i ó n y l a s e c u a c i o n e s d e Ker(f ) e Im(f ) r e s p e c t o d e l a s b a s e s

c a n ó n i c a s d e R4

y R3.

1 4 . S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i ó n 3 y B =

{e1, e2, e3

}u n a b a s e

d e E. C o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n l i n e a l f : E → E t a l q u e s u m a t r i z a s o c i a d a

s e a

M BB (f ) =

15 −11 520 −15 88 −7 6

.



Á l g e b r a 1 9 3

H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a b a s e B = {u1, u2, u3}, d o n d e

u1 = 2e1 + 3e2 + e3,u2 = 3e1 + 4e2 + e3,

u3 = e1 + 2e2 + 2e3.

1 5 . H a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y u n a b a s e d e l a i m a g e n d e l a s i g u i e n t e

f u n c i ó n l i n e a l :

f : R4 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :

f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1), f (0, 1, 0, 0) = (2, 1, −1),

f (0, 0, 1, 0) = (3, 0, −1), f (0, 0, 0, 1) = (1, 1, 1).

1 6 . E n R2

s e c o n s i d e r a l a b a s e B = {u1, u2},

d o n d e

u1 = 2e1 + 3e2,

u2 = 3e1 + 4e2,

y B2 = {e1, e2} = {(1, 0), (0, 1)}.

S i e n d o l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R2

t a l

q u e s u m a t r i z a s o c i a d a r e s p e c t o d e Be s

M B

B (f ) = 3 15

2 10 ,

h a l l a r u n a b a s e d e Ker(f )

y u n a b a s e d e Im(f ).


1 . R a z o n a s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n o n o l i n e a l e s ( e n c a d a u n o d e l o s

c o n j u n t o s c o n s i d e r a d o s s e c o n s i d e r a s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e e s p a c i o


f : R3 −→ R

(x,y,z ) → 2x + 1

g : R3 −→ R2

(x,y,z ) → (x − y, y2)

h : R4 −→ R2

(x,y,z,t) → (2x − 3y + t, z − t)



1 9 4 Á l g e b r a

2 . P r u e b a q u e p a r a t o d a a p l i c a c i ó n R

- l i n e a l f : R −→ Re x i s t e u n n ú m e r o

r e a l

at a l q u e

f (x) = ax,

∀x ∈R

.

3 . P r u e b a q u e d a d o u n K

e s p a c i o v e c t o r i a l E , u n a a p l i c a c i ó n l i n e a l

f : E −→ K

n o n u l a e s s o b r e y e c t i v a .

4 . S e a D((a, b),R) e l c o n j u n t o d e f u n c i o n e s d e r i v a b l e s r e a l e s d e v a r i a b l e

r e a l d e n i d a s e n e l i n t e r v a l o (a, b) ⊂ R

.

( a ) D e m u e s t r a q u e

D((a, b),R

)e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e

F ((a, b),R

).

( b ) P r u e b a q u e l a a p l i c a c i ó n d e r i v a d a

D : D((a, b),R) −→ F ((a, b),R)f → D(f ) = f

e s u n a a p l i c a c i ó n l i n e a l .

( c ) ¾ C u á l e s e l n ú c l e o d e d i c h a a p l i c a c i ó n ?

5 . S e a C([a, b],R) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e f u n c i o n e s r e a l e s c o n t i n u a s d e n i -

d a s e n e l i n t e r v a l o

[a, b] ⊂R

. P r u e b a q u e l a a p l i c a c i ó n i n t e g r a l d e n i d a

I : C([a, b],R) −→ R

f → I (f ) = b

af (x)dx

e s u n a a p l i c a c i ó n l i n e a l .

6 . C o n s i d e r a e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 3(R) d e p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o

i g u a l q u e 3

y l a s b a s e s :

B3 = {1, x , x2, x3}y B = {1, (x − 1), (x − 1)2, (x − 1)3}.

C a l c u l a l a s m a t r i c e s d e c a m b i o d e b a s e : M B3B (IdP 3(R

)) y M BB3(IdP 3( R

)) .

H a l l a l a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e B d e l o s p o l i n o m i o s :

2x + 4x2 + x3, 1 + x3, 2 + 2x, 2 + x2 − x3.



Á l g e b r a 1 9 5

7 . S e a B3 = {e1, e2, e3} l a b a s e c a n ó n i c a d e R3

. S e a f l a ú n i c a a p l i c a c i ó n

l i n e a l d e R3

e n R4

v e r i c a n d o :

f (e1) = (2, 0, −1, 0)f (e2) = (1, 3, −2, 3)f (e3) = (1, 1, −1, 1)

( i ) H a l l a f (x,y,z ) p a r a (x,y,z ) ∈ R3.

( i i ) C a l c u l a u n a b a s e d e Ker(f ) .

( i i i ) C a l c u l a u n a b a s e d e Im(f ) .

8 . C o n s i d e r a l a a p l i c a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r :

f : R3 −→ R3, f (x,y,z ) = (x + 2y − 2z,3

2x + 4y − 3z, x + 3y − 2z )

C a l c u l a l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e Im(f )

. ¾ Q u é d i m e n s i ó n t i e n e

Ker(f ) ?

9 . E s t u d i a l a i n y e c t i v i d a d , s o b r e y e c t i v i d a d y b i y e c t i v i d a d d e l a s a p l i c a -

c i o n e s l i n e a l e s :

f : R3 −→ R3

(x,y,z ) → (2x + y − z, 3x + 2y − 4z, x + 2y − z )

g : R4 −→ R3

(x,y,z,t) → (2y − 3z − 3t, −x + 2z + 4t, −2x + y + z )

h : R2 −→ R4d e n i d a p o r

e1 → h(e1) = (2, −1, 0, 3)e2 → h(e2) = (1, 0, −1, −7)

1 0 . S i e n d o f , g y h l a s a p l i c a c i o n e s l i n e a l e s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , r e s p o n d e

a l a s s i g u i e n t e s p r e g u n t a s :

•¾ P e r t e n e c e n (3, −1, 0) y (2, 0, −1) a Im(f ) ?

•¾ P e r t e n e c e n

(2, −7, 11, 3)y

(14, 15, 13, −3)a

Ker(g)?

•¾ P e r t e n e c e n (1, −1, 1, 10) y (1, 2, −5, −3) a Im(h) ?



1 9 6 Á l g e b r a

1 1 . S e a f l a a p l i c a c i ó n l i n e a l d e R3

a R3

c u y a m a t r i z r e s p e c t o d e l a b a s e

c a n ó n i c a

B3 = {e1, e2, e3}e s :

M B3B3

(f ) =

−3 5 02 4 25 −2 5

S e a B = {v1 = (2, 2, −2), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 2, 2)}.

- C o m p r u e b a q u e B e s u n a b a s e d e R3

.

- C a l c u l a l a s m a t r i c e s M B3B (Id

R

3) , M BB3(Id

R

3) y M BB (f )

1 2 . P a r a c a d a n

∈N

, s e a P n(R) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e p o l i n o m i o s e n u n a

v a r i a b l e d e g r a d o m e n o r o i g u a l q u e n c o n c o e c i e n t e s e n R . S e a Bn ={1, x , . . . , xn}

l a b a s e c a n ó n i c a d e d i c h o e s p a c i o . S e a Dn l a r e s t r i c c i ó n

d e l a a p l i c a c i ó n d e r i v a d a D a P n(R):

Dn : P n(R) −→ P n−1(R) p → D( p) = p

P a r a n = 3, c a l c u l a l a m a t r i z d e l a a p l i c a c i ó n D3 r e s p e c t o a l a s b a s e s

B3 y B2 . ¾ C u á l s e r á l a f o r m a g e n e r a l d e l a m a t r i z d e Dn r e s p e c t o a l a s

b a s e s Bn y Bn−1 ?

C a p í t u l o 4

E s p a c i o s v e c t o r i a l e s e u c l í d e o s

E n e l c a p í t u l o 2 h e m o s r e c o r d a d o l a d e n i c i ó n d e p r o d u c t o e s c a l a r d e v e c t o r e s

e n R2

y R3

y h e m o s d e n i d o e l p r o d u c t o e s c a l a r d e v e c t o r e s d e Rn. L a

l o n g i t u d d e u n v e c t o r y l a d i s t a n c i a e n t r e d o s v e c t o r e s q u e d a b a n d e n i d a s

p o r l a s e x p r e s i o n e s u =

√ u · u y d(u, v) = u − v =

(u − v) · (u − v).

H a y s i t u a c i o n e s e n l a s q u e e s n e c e s a r i o u t i l i z a r o t r a s d i s t a n c i a s e n t r e o b -

j e t o s , p o r e j e m p l o , c u a n d o s e p r e t e n d e o b t e n e r l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n d e

u n a f u n c i ó n p o r m e d i o d e f u n c i o n e s q u e p e r t e n e c e n a u n s u b e s p a c i o v e c -

t o r i a l d e t e r m i n a d o . E s t o p u e d e c o n s e g u i r s e d e n i e n d o u n p r o d u c t o e s c a l a r

a d e c u a d o .

A l o l a r g o d e l c a p í t u l o c o n s i d e r a r e m o s s ó l o e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e R.

L a t e o r í a p a r a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s e u c l í d e o s c o m p l e j o s e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n

d e l a a q u í p r e s e n t a d a p a r a e s p a c i o s r e a l e s .

4 . 1 P r o d u c t o e s c a l a r

D e n i c i ó n 4 . 1 . 1 S i E e s u n R− e.v. s e d i c e q u e u n a f u n c i ó n

<, >: E × E −→ R

(u, v) < u, v >

e s u n p r o d u c t o e s c a l a r r e a l ( o p r o d u c t o i n t e r i o r r e a l )

s i :

( p.e. 1) ∀u,v,w ∈ E =< u, w > + < v, w > .( p.e. 2) ∀u, v ∈ E ∀α ∈ R < αu,v >= α < u, v > .( p.e. 3) ∀u, v ∈ E < u, v >=< v,u > .( p.e. 4) ∀u ∈ E < u, u >≥ 0 y < u, u >= 0 ⇔ u = 0.

1 9 7

1 9 8 Á l g e b r a

S i <, >: E × E −→ R

e s u n p r o d u c t o e s c a l a r , a l p a r (E,< ,>) l e

d e n o m i n a r e m o s e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o ( e . v . e . ) .

E j e m p l o 4 . 1 . 2 E n R2

l a f u n c i ó n

<, >: R2 × R2 −→ R

d e n i d a p a r a c a d a p a r d e v e c t o r e s (x, y) , (x, y) ∈ R2m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n

(x1, x2), (y1, y2) = x1y1 + x2y2

e s u n p r o d u c t o e s c a l a r . C o m o v i m o s , e s t e p r o d u c t o e s c a l a r e s e l p r o d u c t o

e s c a l a r u s u a l d e R2.

E j e m p l o 4 . 1 . 3 E n g e n e r a l e n e l R− e.v. Rnl a f u n c i ó n

<, >: Rn × Rn −→ R

d e n i d a p a r a c a d a p a r d e v e c t o r e s

(x1,...,xn), (y1,...,yn) ∈ Rn

m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n

(x1,...,xn), (y1,...,yn) = x1y1 + ... + xnyn =n

i=1

xiyi

e s u n p r o d u c t o e s c a l a r ( v e r i f í q u e s e ) . E s t e p r o d u c t o e s c a l a r e s e l p r o d u c t o

e s c a l a r u s u a l d e Rn.

E j e m p l o 4 . 1 . 4 E n e l R− e.v. d e l o s p o l i n o m i o s c o n c o e c i e n t e s r e a l e s

R[x]c o n s i d e r a r e m o s l o s p r o d u c t o s e s c a l a r e s s i g u i e n t e s ( v e r i f í q u e s e ) :

<, >1: R[x] × R[x] −→ R

( p(x), q (x))

1 −1

p(x) · q (x)dx,

<, >0: R[x] × R[x] −→ R

( p(x), q (x))

min{n,m}i=0

aibi,

d o n d e p(x) = anxn + ... + a1x + a0 y q (x) = bmxm + ... + b1x + b0.

Á l g e b r a 1 9 9

E s i m p o r t a n t e s e ñ a l a r q u e e n e l e j e m p l o a n t e r i o r , l o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s

e u c l í d e o s

(R

[x], < , >0)y

(R

[x],< ,>1), a ú n t e n i e n d o e l m i s m o c o n j u n t o b a s e ,

s o n d i s t i n t o s . P o r e j e m p l o ,

< 3, x2 >1=

1 −1

3x2dx = 2y

< 3, x2 >0= 3 · 0 = 0.

O b s e r v a c i ó n 4 6 N ó t e s e q u e s i (E,<,>) e s u n e . v . e . , a p a r t i r d e l a s p r o -

p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e s c a l a r s e v e r i c a q u e

∀u,v,w ∈ E < u, w + v >=< w + v,u >=

=< w, u > + < w, v >=< u, w > + < v, w >y

∀u, v ∈ E ∀α ∈ R < u, αv >=< αv, u >= α < v, u >= α < u, v > .

A d e m á s , s i α1,...,αn ∈ Ry u1,...,un, v ∈ E,

α1u1 + ... + αnun, v = α1 < u1, v > +... + αn < un, v >=n

i=1

αi < ui, v > .

E j e r c i c i o 4 . 1 . 1 D e m o s t r a r q u e s i (E,<,>)

e s u n e . v . e . , α1,...,αn, β 1,...,β m ∈

Ry u1,...,un, v1,...,vm ∈ E, e n t o n c e s

α1u1 + ... + αnun, β 1v1 + ... + β mvm =

= α1β 1 < u1, v1 > +... + α1β m < u1, vm > +

+α2β 1 < u2, v1 > +... + αnβ m < un, vm >=

=n

i=1

m j=1

αiβ j < ui, v j > .

S e s i g u e q u e u n p r o d u c t o e s c a l a r e s l i n e a l e n l a p r i m e r a y s e g u n d a v a -

r i a b l e s , e s d e c i r , e s u n a f u n c i ó n b i l i n e a l . A d e m á s , p o r v a l e r l a s p r o p i e d a d e s

( p.e. 3) y ( p.e. 4), s e d i c e q u e <, > e s u n a f u n c i ó n b i l i n e a l , s i m é t r i c a y

d e n i d a p o s i t i v a .

E j e r c i c i o 4 . 1 . 2 S e a E u n R − e.v.e. c o n p r o d u c t o e s c a l a r (·, ·) y s e a v0

c u a l q u i e r v e c t o r j o d e E.

S e a f : E → R

l a f u n c i ó n d e n i d a p o r f (u) =

(u, v0) ∀u ∈ E. V e r i c a r q u e f e s l i n e a l .

2 0 0 Á l g e b r a

4 . 2 L o n g i t u d o n o r m a e u c l í d e a d e u n v e c t o r

S i g u i e n d o l a l í n e a d i r e c t r i z m a r c a d a e n l a i n t r o d u c c i ó n , t o m a n d o e l c o n c e p t o

d e p r o d u c t o e s c a l a r c o m o u n c o n c e p t o p r i m a r i o , v a m o s a d e n i r a p a r t i r d e

é l l a s n o c i o n e s d e n o r m a , d i s t a n c i a y á n g u l o e n e s p a c i o s e u c l í d e o s .

D e n i c i ó n 4 . 2 . 1 S i (E,<,>) e s u n e.v. y u ∈ E, u n a n o r m a ( o m ó d u l o )

e s n ú m e r o r e a l , u, t a l q u e

(n. 1) ∀u ∈ E u ≥ 0y

u = 0 ⇔ u = 0,(n. 2) ∀u ∈ E ∀k ∈ R ku = |k|u,(n. 3) ∀u, v ∈ E u + v ≤ u + v

( d e s i g u a l d a d t r i a n g u l a r ) .

D e n i c i ó n 4 . 2 . 2 S i

(E,<,>)e s u n

e.v.e.y

u ∈ E,l l a m a r e m o s

n o r m a

e u c l í d e a ( o m ó d u l o ) d e u a l n ú m e r o r e a l

u =√

< u, u >.

A n t e s d e p o d e r v e r i c a r q u e u n a n o r m a e u c l í d e a v e r i c a l a d e n i c i ó n

g e n e r a l d e n o r m a , n e c e s i t a m o s e s t u d i a r a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s .

4 . 2 . 1 P r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a

A p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s q u e d e b e s a t i s f a c e r l a f u n c i ó n <, > p o r s e r u n

p r o d u c t o e s c a l a r , e s f á c i l o b t e n e r l a s p r o p i e d a d e s :

(n. 1)∀u ∈ E u ≥ 0 y u = 0 ⇔< u, u >= 0 ⇔ u = 0.(n. 2)∀u ∈ E ∀k ∈ R

ku =

< ku, ku > =

k2 < u, u > = |k| · u .

O t r a s p r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a q u e s e p u e d e n o b t e n e r f á c i l m e n t e

a p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e s c a l a r s o n l a s q u e a p a r e c e n e n u n -

c i a d a s e n e l e j e r c i c i o s i g u i e n t e .

E j e r c i c i o 4 . 2 . 1 S e a (E,<,>) u n e.v.e.. D e m o s t r a r q u e ∀u, v ∈ E, s e v e r i -

c a q u e :

1. u + v2 + u − v2 = 2 u2 + v2 ( l e y d e l p a r a l e l o g r a m o )

2. < u, v >= 12

u + v2 − u2 − v23. < u, v >= 1

4

u + v2 − u − v2A l a s p r o p i e d a d e s 2 y 3 s e l a s c o n o c e c o m o

i d e n t i d a d e s d e p o l a r i z a c i ó n .

Á l g e b r a 2 0 1

A d e m á s d e l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s , v a m o s a o b t e n e r o t r a s p r o p i e d a d e s

d e l a n o r m a q u e d e r i v a n b á s i c a m e n t e d e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o c o n o c i d o c o m o

d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z .

T e o r e m a 4 . 2 . 3 S i (E,<,>) e s u n e.v.e., ∀u, v ∈ E s e v e r i c a q u e

|< u, v >| ≤ u · v .

A d e m á s

|< u, v >| = u · v ⇔ {u, v}e s l i g a d o .

D e m o s t r a c i ó n ∀λ ∈ R c o n s i d e r a m o s e l v e c t o r u + λv. P o r l a s p r o p i e d a d e s

d e l p r o d u c t o e s c a l a r ,

∀λ ∈ R ≥ 0

p e r o

=< u, u > +2λ < u, v > +λ2 < v, v > .

S i d e n i m o s a =< v,v >, b =< u, v > y c =< u, u > y c o n s i d e r a m o s l a

f u n c i ó n

f : R

→R

λ f (λ) = aλ2 + 2bλ + c

s e g ú n e s s a b i d o , e l g r a f o d e f e s u n a p a r á b o l a d e R2

y , p u e s t o q u e s i {u, v}

e s l i b r e , u + λv = 0, ∀λ ∈ Ry

∀λ ∈ R = aλ2 + 2bλ + c > 0,

t e n d r e m o s q u e e s o s ó l o e s p o s i b l e s i ∀λ ∈ R

l a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o

a n t e r i o r n o t i e n e r a í c e s r e a l e s , e s d e c i r , s i s u d i s c r i m i n a n t e e s n e g a t i v o :

∆ = 4b2 − 4ac < 0


b2 − ac < 0,

c o n l o q u e < u, v >2 − < u, u >< v,v >

< 0,

2 0 2 Á l g e b r a

e s d e c i r ,

|< u, v >| < √ < u, u > · √ < v, v > = u · v .A d e m á s

|< u, v >| = u · v ⇔ b2 − ac = 0 ⇔⇔ ∃λ ∈ R

t a l q u e < u, u > +2λ < u, v > +λ2 < v, v >= 0

⇔ ∃λ ∈ Rt a l q u e = 0

⇔ ∃λ ∈ Rt a l q u e

u + λv = 0

⇔ ∃λ ∈ Rt a l q u e u + λv = 0

⇔ {u, v}e s l i g a d o .

2

A p a r t i r d e l r e s u l t a d o a n t e r i o r s e o b t i e n e l a p r o p i e d a d (n. 3), l a d e s i g u a l -

d a d t r i a n g u l a r o d e s i g u a l d a d d e l t r i á n g u l o , p a r a n o r m a e u c l í d e a s . P o r t a n t o ,

u n a n o r m a e u c l í d e a e s u n a n o r m a .

P r o p o s i c i ó n 4 . 2 . 4 S i (E,< ,>)

e s u n e.v.e., ∀u, v ∈ E


u + v ≤ u + v .


u + v2 = =< u, u > +2 < u, v > + < v, v >=

= u2 + v2 + 2 < u, v >≤ u2 + v2 + 2 |< u, v >| ≤≤ u2 + v2 + 2 u · v = (u + v)2 ,

d e d o n d e , e x t r a y e n d o r a í c e s c u a d r a d a s

u + v ≤ u + v .

2

E j e r c i c i o 4 . 2 . 2 D e t e r m i n a r l a s n o r m a s e u c l í d e a s a s o c i a d a s a l o s p r o d u c t o s

e s c a l a r e s d e n i d o s e n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s .

Á l g e b r a 2 0 3

Á n g u l o e n t r e d o s v e c t o r e s

A p a r t i r d e l p r o d u c t o e s c a l a r , t a m b i é n p o d e m o s r e c u p e r a r e l c o n c e p t o d e

á n g u l o . S i (E,<,>) e s u n e.v.e. y u, v ∈ E, u = 0, v = 0, c o m o c o n s e c u e n c i a

d e l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y - S c h w a r z y d e l a s p r o p i e d a d e s q u e s a t i s f a c e e l

v a l o r a b s o l u t o r e s u l t a q u e

−1 ≤ < u, v >

u · v ≤ 1.

D e n i c i ó n 4 . 2 . 5 S i (E,<,>) e s u n e.v.e. y u, v ∈ E, u = 0, v = 0, s e

d e n o m i n a á n g u l o

e n t r e l o s v e c t o r e s u y v a l n ú m e r o r e a l

uv ∈ [0, π] t a l q u e

cos( uv) =< u, v >

u · v .

D e n i c i ó n 4 . 2 . 6 S i (E,<,>) e s u n e.v.e., y u, v ∈ E, s e d i c e q u e u y v s o n

o r t o g o n a l e s ( o p e r p e n d i c u l a r e s ) s i

< u, v >= 0.

E j e r c i c i o 4 . 2 . 3 C o m p r u é b e s e q u e s i u, v ∈ (E,< ,>), u = 0, v = 0, e n t o n c e s

uv = π2

⇔ u y v s o n o r t o g o n a l e s .

y

{u, v}e s l i g a d o

⇔ uv = 0ó uv = π.

P a r a p r o b a r e s t a ú l t i m a p a r t e , t é n g a s e e n c u e n t a q u e , s i p o r e j e m p l o uv = 0,

e n t o n c e s |< u, v >| = u · v

y q u e , e n t a l c a s o , v a l e n l a s c o n c l u s i o n e s d e l

t e o r e m a ( 4 . 2 . 3 ) .

E j e r c i c i o 4 . 2 . 4 E n e l e . v . e . (R3, < , >), d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r

u s u a l , d e t e r m i n a r e l á n g u l o f o r m a d o p o r l o s v e c t o r e s (1, 0, 1) y (0, 0, 1).

E j e r c i c i o 4 . 2 . 5 D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s 1 + x, x2 ∈

R[x] e n l o s e . v . e . (R[x],< ,>1) y (R[x],< ,>0).

2 0 4 Á l g e b r a

D i s t a n c i a e u c l í d e a

F i n a l m e n t e , a p a r t i r d e l p r o d u c t o e s c a l a r , t a m b i é n p o d e m o s d e n i r l a d i s -

t a n c i a e n t r e v e c t o r e s .

D e n i c i ó n 4 . 2 . 7 S i (E,<,>) e s u n e.v.e. y u, v ∈ E s e d e n o m i n a d i s t a n -

c i a e u c l í d e a d e u a v y s e d e n o t a p o r d(u, v) a l n ú m e r o r e a l

d(u, v) = u − v =√

.

A p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s d e l a n o r m a e u c l í d e a , e s f á c i l v e r q u e

s e s a t i s f a c e n l a s p r o p i e d a d e s q u e d e b e v e r i c a r c u a l q u i e r f u n c i ó n d i s t a n c i a ,

a s a b e r :

1.∀

x, y∈

E d(x, y)≥

0.

2. ∀x, y ∈ E d(x, y) = 0 ⇔ x = y

3. ∀x,y,z ∈ E d(x, z ) ≤ d(x, y) + d(y, z ).

E j e r c i c i o 4 . 2 . 6 E n e l e . v . e (R3,< ,>) , d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r

u s u a l , d e t e r m i n a r l a d i s t a n c i a e n t r e l o s v e c t o r e s (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

E j e r c i c i o 4 . 2 . 7 E n e l e . v . e (R[x],< ,>1) d e t e r m i n a r d(1 + x, x2).

E j e r c i c i o 4 . 2 . 8 E n e l e . v . e (R[x],< ,>0) d e t e r m i n a r d(1+ x, x2). C o m p á r e s e

e l r e s u l t a d o o b t e n i d o c o n e l d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r .

4 . 3 M é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t

D e n i c i ó n 4 . 3 . 1 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . y {u1,...,ur} u n s i s t e m a d e v e c -

t o r e s d e E. S e d i c e q u e e l s i s t e m a {u1,...,ur} e s

o r t o g o n a l s i s e v e r i c a :

1. ∀i ∈ {1,...,r} ui = 02. ∀i, j ∈ {1,...,r} (i = j ⇒< ui, u j >= 0)

S i a d e m á s d e s e r u n s i s t e m a o r t o g o n a l , e l s i s t e m a {u1,...,ur} s a t i s f a c e

3. ∀i ∈ {1,...,r} ui = 1

s e d i c e q u e e l s i s t e m a

{u1,...,ur}e s

o r t o n o r m a l .

P r o p o s i c i ó n 4 . 3 . 2 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . y {u1,...,ur} u n s i s t e m a d e

v e c t o r e s d e E \ {0}. S e v e r i c a q u e

{u1,...,ur} o r t o g o n a l ⇒ {u1,...,ur} l i b r e .

Á l g e b r a 2 0 5

D e m o s t r a c i ó n S u p o n g a m o s q u e

α1u1 + ... + αrur = 0.

E n e s e c a s o

∀i ∈ {1,...,r} α1u1 + ... + αrur, ui =< 0, ui >= 0.

P e r o p o r o t r a p a r t e , ∀i ∈ {1,...,r},

α1u1 + ... + αrur, ui =

= α1 < u1, ui > +... + αi < ui, ui > +... + αr < ur, ui >=

= αiui2,

p u e s t o q u e s i j = i = 0. E n d e n i t i v a ,

∀i ∈ {1,...,r} αi = 0

y e n c o n s e c u e n c i a {u1,...,ur} e s l i b r e .

2

O b s e r v a c i ó n 4 7 E s i m p o r t a n t e n o t a r q u e e x i s t e n s i s t e m a s l i b r e s q u e n o s o n

o r t o g o n a l e s , p o r e j e m p l o d o s v e c t o r e s q u e n o s o n n i p a r a l e l o s , n i p e r p e n d i c u -

l a r e s .

D e n i c i ó n 4 . 3 . 3 S e a n (E,<,>) u n e . v . e y B =

{u1,...,un

}u n a b a s e d e E.

S e d i c e q u e B e s u n a b a s e o r t o g o n a l

s i e l s i s t e m a {u1,...,un} e s o r t o g o n a l y ,

o b v i a m e n t e , s e d i c e q u e B e s u n a b a s e o r t o n o r m a l

s i e l s i s t e m a {u1,...,un}

e s o r t o n o r m a l .

O b v i a m e n t e s i (E,< ,>) u n e . v . e . t a l q u e dim(E ) = n y {u1,...,un} e s u n

s i s t e m a o r t o g o n a l , n e c e s a r i a m e n t e {u1,...,un} e s u n a b a s e o r t o g o n a l , s i e n d o

l i b r e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r .

E n e l s i g u i e n t e t e o r e m a e x p o n d r e m o s u n m é t o d o , c o n o c i d o c o m o m é t o d o

d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t , q u e n o s v a a p e r m i t i r c o n s t r u i r u n s i s -

t e m a o r t o g o n a l a p a r t i r d e u n s i s t e m a d a d o ( e n p a r t i c u l a r u n a b a s e o r t o g o n a l

a p a r t i r d e u n a b a s e d a d a ) .

L a i d e a c o n s i s t e e n , p a r t i e n d o d e l p r i m e r v e c t o r d e l s i s t e m a d a d o , q u e

c o i n c i d i r á c o n e l p r i m e r v e c t o r d e l s i s t e m a o r t o g o n a l o b t e n i d o , i r c o n s t r u y e n -

d o e l s i s t e m a d e m a n e r a q u e c a d a v e c t o r q u e a ñ a d i m o s s e a o r t o g o n a l a l o s

v e c t o r e s y a c o n s t r u i d o s .

2 0 6 Á l g e b r a

T e o r e m a 4 . 3 . 4 S e a n (E,<,>) u n e . v . e . y {u1,...,ur} u n s i s t e m a l i b r e d e

E.E n e s t a s c o n d i c i o n e s e x i s t e u n s i s t e m a o r t o g o n a l

{v1,...,vr}t a l q u e

∀i ∈ {1,...,r} L({v1,...,vi}) = L({u1,...,ui}).

D e m o s t r a c i ó n R a z o n a m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e r : .B a s e d e i n d u c c i ó n : S i r = 1

n o h a y n a d a q u e p r o b a r , p u e s t o q u e s i {u1}

e s l i b r e , u1 = 0 y o b v i a m e n t e ( s e g ú n l a d e n i c i ó n ) {u1} e s o r t o g o n a l .

P a s o d e i n d u c c i ó n : S u p o n g a m o s c i e r t o e l r e s u l t a d o p a r a t o d o s i s t e m a

l i b r e d e r

v e c t o r e s . S e a {u1,...,ur+1} u n s i s t e m a l i b r e . E n e s e c a s o , p u e s t o

q u e {u1,...,ur} e s u n s i s t e m a d e r v e c t o r e s , p o d e m o s a p l i c a r l a h i p ó t e s i s d e

i n d u c c i ó n , e s d e c i r , e x i s t e u n s i s t e m a o r t o g o n a l

{v1,...,vr

}t a l q u e

∀i ∈ {1,...,r} L({v1,...,vi}) = L({u1,...,ui}).

V e a m o s c ó m o c o n s t r u i r vr+1 d e m a n e r a q u e s a t i s f a g a l a s c o n d i c i o n e s r e q u e -

r i d a s . P u e s t o q u e

L({v1,...,vr}) = L({u1,...,ur}),

b u s c a m o s vr+1 ∈ E d e m a n e r a q u e

L({v1,...,vr, vr+1}) = L({u1,...,ur, ur+1}).

R e s u l t a q u e d e b e s u c e d e r q u e

vr+1 ∈ L({v1,...,vr, vr+1}) = L({u1,...,ur, ur+1}) = L({v1,...,vr, ur+1}).

P o n g a m o s

vr+1 = ur+1 + λ1v1 + ... + λrvr

y v e a m o s c ó m o d e b e n s e r l o s c o e c i e n t e s λ1,...,λr ∈ Rp a r a q u e s e s a t i s f a g a

l a c o n d i c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d , e s d e c i r , q u e

∀i ∈ {1,...,r} < vr+1, vi >= 0.

D a d o

i ∈ {1,...,r},< vr+1, vi >=< ur+1 + λ1v1 + ... + λrvr, vi >=

= < ur+1, vi > +λ1 < v1, vi > +... + λr < vr, vi >=

= < ur+1, vi > +λi < vi, vi >

Á l g e b r a 2 0 7

p u e s t o q u e e l r e s t o d e l o s t é r m i n o s s o n n u l o s , a l s e r o r t o g o n a l e l s i s t e m a

{v1,...,vr} .I m p o n i e n d o e n t o n c e s l a c o n d i c i ó n

< vr+1, vi >= 0 =< ur+1, vi > +λi < vi, vi >

r e s u l t a q u e

λi = −< ur+1, vi >

< vi, vi >.

qed

M é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t

D e l a d e m o s t r a c i ó n a n t e r i o r s e d e d u c e q u e , e n d e n i t i v a , d a d o e l s i s t e m a

l i b r e {u1,...,ur} , e l m é t o d o d e o r t o g o n a l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t c o n s i s t e

e n d e n i r e l s i s t e m a d e v e c t o r e s

v1 = u1

v2 = u2 − < u2, v1 >

< v1, v1 >· v1

v3 = u3 − < u3, v1 >

< v1, v1 >· v1 − < u3, v2 >

< v2, v2 >· v2

.

.

.

vr = ur − < ur, v1 >< v1, v1 >

· v1 − ... − < ur, vr−1 >< vr−1, vr−1 >

· vr−1,

q u e e s u n s i s t e m a o r t o g o n a l y a d e m á s s a t i s f a c e l a c o n d i c i ó n

∀i ∈ {1,...r − 1} L({v1,...,vi}) = L({u1,...,ui}).

O b s e r v a c i ó n 4 8 N ó t e s e q u e s i {v1,...,vr} e s o r t o g o n a l , d e n i e n d o

∀i ∈ {1,...,r} wi =vi

vie l s i s t e m a

{v1,...,vr} e s o r t o n o r m a l , p u e s t o q u e

∀i ∈ {1,...,r} wi =

vi

vi =

1

|vi| · vi = 1.

2 0 8 Á l g e b r a

O b s e r v a c i ó n 4 9 N ó t e s e q u e c o m o c o n s e c u e n c i a d e l t e o r e m a y d e l a o b -

s e r v a c i ó n a n t e r i o r , s i

(E,<,>)e s u n e . v . e . , c o n

E d e d i m e n s i ó n n i t a , y

{u1,...,un} e s u n a b a s e d e E, u t i l i z a n d o e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t p o d e m o s

o b t e n e r , a p a r t i r d e e l l a , u n a b a s e o r t o g o n a l y , p o s t e r i o r m e n t e , d i v i d i e n d o c a -

d a v e c t o r p o r s u n o r m a , o b t e n d r e m o s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (E,<,>). E n

c o n s e c u e n c i a , p o d e m o s a r m a r q u e t o d o e . v . e . d e d i m e n s i ó n n i t a t i e n e u n a

b a s e o r t o n o r m a l .

E j e r c i c i o 4 . 3 . 1 A p a r t i r d e l a b a s e

{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},

o b t e n e r p o r e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (R3,< ,>),d o n d e

<, >e s e l p r o d u c t o e s c a l a r h a b i t u a l .

C o o r d e n a d a s o r t o n o r m a l e s

L a p r e g u n t a q u e e s n a t u r a l h a c e r s e e s ¾ p o r q u é n o s i n t e r e s a t r a b a j a r c o n b a s e s

o r t o n o r m a l e s ? A u n q u e m á s a d e l a n t e v e r e m o s o t r a s p r o p i e d a d e s q u e t i e n e n

q u e v e r c o n l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n o a p r o x i m a c i ó n ó p t i m a d e u n v e c t o r p o r

v e c t o r e s d e u n s u b e s p a c i o , l a p r i m e r a v e n t a j a , q u e r e s u l t a e v i d e n t e , e s l a

s i g u i e n t e .

S i B = {w1,...,wn}e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (E,<,>), l a s c o o r d e n a -

d a s d e c u a l q u i e r v e c t o r u ∈ E r e s p e c t o d e d i c h a b a s e s e p u e d e n o b t e n e r e n

f u n c i ó n d e l p r o d u c t o e s c a l a r d e

up o r l o s v e c t o r e s d e

B,p u e s s i

u = α1w1 + ... + αnwn

r e s u l t a q u e ∀i ∈ {1,...,n}< u, wi > = < α1w1 + ... + αnwn, wi >=

= α1 < w1, wi > +... + αn < wn, wi >=

= αi < wi, wi >= αi wi2 = αi,

c o n l o q u e

u =< u, w1 > w1 + ...+ < u, wn > wn =

ni=1

< u, wi > wi.

E l r e s u l t a d o d e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n s e c o n o c e c o m o i d e n t i d a d d e

P a r s e v a l y e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s .

Á l g e b r a 2 0 9

P r o p o s i c i ó n 4 . 3 . 5 S i B = {w1,...,wn}e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e . v . e .

(E,< ,>),e n t o n c e s

∀u ∈ E s e v e r i c a q u e

u2 =n

i=1

< u, wi >2 .

D e m o s t r a c i ó n S e a B = {w1,...,wn} u n a b a s e o r t o n o r m a l d e (E,< ,>).E n e s e c a s o

u =n

i=1

< u, wi > wi,

c o n l o q u e

u2 = < u, u >=<n

i=1

< u, wi > wi,n

j=1

< u, w j > w j >=

=n

i=1

< u, wi >< wi,n

j=1

< u, w j > w j >=

=n

i=1

< u, wi >

n

j=1

< u, w j >< wi, w j >

=

( t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a b a s e e s o r t o n o r m a l )

=

n

i=1

< u, wi > (< u, wi >< wi, wi >) =

=n

i=1

< u, wi >2 wi2 =n

i=1

< u, wi >2 .

2

4 . 3 . 1 D e s c o m p o s i c i ó n QR

d e u n a m a t r i z

S i A ∈ M m×n(R)t i e n e v e c t o r e s c o l u m n a

(A1, A2, · · · , An) = (u1, u2, · · · , un)l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , e s d e c i r , s i

rango(A) = n,e l m é t o d o d e o r t o g o n a -

l i z a c i ó n d e G r a m - S c h m i d t n o s p r o p o r c i o n a u n a m a n e r a d e d e t e r m i n a r , a p a r -

t i r d e l s i s t e m a l i b r e (u1, u2, · · · , un), u n s i s t e m a o r t o n o r m a l (q 1, q 2, · · · , q n).S i a h o r a d e n o t a m o s c o n

Q ∈ M m×n(R)a l a m a t r i z c u y o s v e c t o r e s c o l u m n a

s o n l o s v e c t o r e s o b t e n i d o s (q 1, q 2, · · · , q n), ¾ c u á l e s l a r e l a c i ó n e n t r e A y Q?

2 1 0 Á l g e b r a

S i e n d o (q 1, q 2, · · · , q n) u n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o c o l u m n a d e A,

L(u1, u2, · · · , un),s e s i g u e q u e

∀ j ∈ {1, · · · , n} u j =n

i=1

 q i.

S e a R = (< q i, u j >) ∈ M n(R) l a m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r -

d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s (u1, u2, · · · , un) r e s p e c t o d e l a b a s e (q 1, q 2, · · · , q n).E n t o n c e s

R =

< u1, q 1 > < u2, q 1 > · · · < un, q 1 >< u1, q 2 > < u2, q 2 > · · · < un, q 2 >

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

< u1, q n > < u2, q n > · · · < un, q n >

,

∀ j ∈ {1, · · · , n} A j = (QR) jy A = Q R .

A d e m á s , s i e n d o q i o r t o g o n a l a u1, u2, · · · , ui−1 p a r a t o d o i ≥ 2, l a m a t r i z

R e s t r i a n g u l a r s u p e r i o r m e n t e :

R =

< u1, q 1 > < u2, q 1 > · · · < un, q 1 >0 < u2, q 2 > · · · < un, q 2 >

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0

· · ·< un, q n >

e i n v e r t i b l e , y a q u e < ui, q i >= 0, p a r a t o d o i ∈ {1, · · · , n}.H e m o s a s í o b t e n i d o l a d e s c o m p o s i c i ó n Q R d e l a m a t r i z A e n e l p r o -

d u c t o d e u n a m a t r i z Q c o n v e c t o r e s c o l u m n a o r t o g o n a l e s p o r u n a m a t r i z Ri n v e r t i b l e y t r i a n g u l a r s u p e r i o r m e n t e .

L a d e s c o m p o s i c i ó n QR s e u t i l i z a e n v a r i o s a l g o r i t m o s n u m é r i c o s y , e n

p a r t i c u l a r , e n e l c á l c u l o n u m é r i c o d e a u t o v a l o r e s d e m a t r i c e s g r a n d e s .

E j e m p l o 4 . 3 . 6 S e a A ∈ M 3×2(R)

d e n i d a p o r

A = 1 10 1

1 1 .

E n t o n c e s u1 =

101

y u2 =

111

.

Á l g e b r a 2 1 1

A p l i c a n d o e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t s e o b t i e n e l a b a s e o r t o g o n a l

v1 = u1, v2 = u2 − < u2, v1 >

< v1, v1 >· v1 =

111

− 2

2

101

=0

10

.

U n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o c o l u m n a d e A

e s

q 1 =v1

v1 =

1√ 2

01√ 2

, q 2 =v2

v2 =

010

.

P o r t a n t o ,

Q = 1√ 2

0

0 11√ 2

0 , R = < u1, q 1 > < u2, q 1 >0 < u2, q 2 > = √

2

√ 20 1

y A = QR.

4 . 4 P r o y e c c i o n e s o r t o g o n a l e s

D e n i c i ó n 4 . 4 . 1 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . y A ⊆ E. D i r e m o s q u e v ∈ E e s

u n v e c t o r o r t o g o n a l a A s i ∀u ∈ A, < v,u >= 0.

E j e m p l o 4 . 4 . 2 E n (R3, < , >), d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l d e

R3

,c u a l q u i e r v e c t o r d e l a r e c t a

L((0, 0, 1))e s o r t o g o n a l a l c o n j u n t o

A ={(1, 1, 0), (0, 1, 0)}.

O b s e r v a c i ó n 5 0 N ó t e s e q u e e l v e c t o r 0 ∈ E e s o r t o g o n a l a c u a l q u i e r s u b -

c o n j u n t o A ⊆ E. P u e s , s i e n d o A c u a l q u i e r s u b c o n j u n t o d e E, ∀u ∈ A s e

v e r i c a q u e

< u, 0 >=< u, u − u >=< u, u > − < u, u >= 0

o , s i s e p r e e r e ,

< u, 0 >=< u, 0 · 0 >= 0· < u, 0 >= 0.

P r o p o s i c i ó n 4 . 4 . 3 S e a n (E,<,>) u n e . v . e . y A⊆

E. S e v e r i c a q u e e l

c o n j u n t o

A⊥ = {v ∈ E |∀u ∈ A < v, u >= 0 }e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e E. A e s t e s u b e s p a c i o s e l e d e n o m i n a s u b e s p a c i o

o r t o g o n a l d e A.

2 1 2 Á l g e b r a


O b s e r v a c i ó n 5 1 E n e l c a s o p a r t i c u l a r d e q u e (E,<,>) s e a u n e . v . e . d e

d i m e n s i ó n n i t a y H ≺ E, a l s u b e s p a c i o o r t o g o n a l d e H s e l e d e n o m i n a

c o m p l e m e n t o o r t o g o n a l d e H.

P r o p o s i c i ó n 4 . 4 . 4 S e a n (E,< ,>) u n e . v . e . c o n dim(E ) = n y H ≺ E. E n

e s t a s c o n d i c i o n e s s e v e r i c a q u e

dim(H ⊥) = n − dim(H ).

D e m o s t r a c i ó n S i H = {0}e l r e s u l t a d o e s e v i d e n t e . S u p o n g a m o s , p u e s ,

q u e

dim(H ) = r > 0.E n e s e c a s o , s i e n d o {u1,...,ur} u n a b a s e d e

H,p o r

e l t e o r e m a d e e x t e n s i ó n d e u n a b a s e , e x i s t e n ur+1,...,un t a l e s q u e e l s i s t e m a

{u1,...,ur, ur+1,...,un}e s u n a b a s e d e E. U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e G r a m -

S c h m i d t y p o s t e r i o r m e n t e d i v i d i e n d o c a d a v e c t o r p o r s u n o r m a , o b t e n e m o s

u n a b a s e o r t o n o r m a l {w1,...,wr, wr+1,...,wn}

d e (E,<,>) t a l q u e

L(w1,...,wr) = L(u1,...,ur) = H.

L a p r o p o s i c i ó n e s t a r á d e m o s t r a d a s i c o m p r o b a m o s q u e

{wr+1,...,wn}

e s u n a b a s e d e H ⊥.E v i d e n t e m e n t e

{wr+1,...,wn} e s u n s i s t e m a l i b r e , p u e s t o q u e e s u n s u b -

s i s t e m a d e u n s i s t e m a l i b r e . V e a m o s q u e e s t a m b i é n u n s i s t e m a g e n e r a d o r

d e H ⊥ :s i v ∈ H ⊥, c o m o H ⊥ ⊂ E y

{w1,...,wr, wr+1,...,wn}e s u n a b a s e d e E,

e x i s t i r á n α1,...,αr, αr+1,...,αn ∈ Rt a l e s q u e

v = α1w1 + ... + αrwr + αr+1wr+1 + ... + αnwn.

A h o r a b i e n , c o m o ∀u ∈ H < v, u >= 0, e n p a r t i c u l a r

∀i ∈ {1,...,r} < v, wi >= 0,

y p u e s t o q u e {w1,...,wr, wr+1,...,wn}

e s o r t o n o r m a l , r e s u l t a q u e

∀i ∈ {1,...,n} < v, wi >= αi,

Á l g e b r a 2 1 3

c o n l o q u e o b t e n e m o s q u e α1 = α2 = · · · = αr = 0 y

v = αr+1wr+1 + ... + αnwn ∈ L({wr+1,...,wn}).

2

O b s e r v a c i ó n 5 2 S i {w1,...,wr} e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e u n s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l H y {w1,...,wr, wr+1,...,wn}

e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e l e s p a c i o E,p o r l a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r

{wr+1,...,wn} e s u n a b a s e d e H ⊥, c o n l o q u e

∀u ∈ E ∃!(α1,...,αr, αr+1,...,αn) ∈ Rnt a l e s q u e

u = α1w1 + ... + αrwr + αr+1wr+1 + ... + αnwn.

S i d e n o t a m o s p o r

h = α1w1 + ... + αrwr ∈ H

y p o r

h⊥ = αr+1wr+1 + ... + αnwn ∈ H ⊥

r e s u l t a q u e

∀u ∈ E ∃!h ∈ H y ∃!h⊥ ∈ H ⊥ t a l e s q u e u = h + h⊥.

D e n i c i ó n 4 . 4 . 5 S i e n d o (E,< ,>) u n e . v . e . d e d i m e n s i ó n n i t a , H ≺ E y

u ∈ E, s i

u = h + h⊥

c o n h ∈ H y h⊥ ∈ H ⊥, a l v e c t o r h s e l e d e n o m i n a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l

d e u s o b r e e l s u b e s p a c i o H y s e l e d e n o t a p o r p⊥H (u).

E j e r c i c i o 4 . 4 . 1 S e a E u n R − e.v.e. c o n p r o d u c t o e s c a l a r < ·, · > y H u n

s u b e s p a c i o d e d i m e n s i ó n n i t a r d e E. S i B = (w1, w2, · · · , wr)e s u n a b a s e

o r t o n o r m a l d e H , s e a p⊥H : E → H l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l

d e E s o b r e

H,d e n i d a p o r

p⊥H (u) =< u, w1 > w1+ < u, w2 > w2 + · · · + < u, wr > wr ∀u ∈ E.

V e r i c a r q u e p⊥H e s l i n e a l .

2 1 4 Á l g e b r a

4 . 4 . 1 M é t o d o p a r a h a l l a r u n a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l

P a r a c a l c u l a r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u n v e c t o r u s o b r e u n s u b e s p a c i o H p r o c e d e r e m o s c o m o s i g u e : a p a r t i r d e u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o H o b t e n e m o s

( p o r e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t ) u n a b a s e o r t o n o r m a l {w1,...,wr} d e H.

L a p r o y e c c i ó n d e u s o b r e H s e r á e n t o n c e s e l v e c t o r

p⊥H (u) = h = α1w1 + ... + αrwr =< u, w1 > w1 + ...+ < u, wr > wr.

E n e l c a s o p a r t i c u l a r d e q u e H = L({v}), p u e s t o q u e

{ v

v}

e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e H,

l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u

s o b r e H

s e r á e l

v e c t o r

h =< u,v

v > · v

v =< u, v >

v2 · v.

E j e m p l o 4 . 4 . 6 E n (R[x], < , >1) d o n d e

<, >1: R[x] × R[x] −→ R

( p, q ) < p, q >1=1

−1 p(x) · q (x)dx,

o b t e n e r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r x2s o b r e e l s u b e s p a c i o H = L({x, 1+

x}). S i e n d o {x, 1 + x}

u n s i s t e m a l i b r e , e s t a m b i é n u n a b a s e d e H. A p l i c a n d o

e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , s e o b t i e n e l a b a s e o r t o g o n a l

u1 = x, u2 = 1 + x − < 1 + x, x >1

< x, x >1x = 1 + x −

2323

x = 1.

U n a b a s e o r t o n o r m a l e s

w1 =u1

u11 =x 23

=

3

2x, w2 =

u2

u21 =1√

2.

E n t o n c e s

p⊥H (x2

) =< x2

, w1 >1 w1+ < x2

, w2 >1 w2 =

1

3 1 =

√ 2

3 w2.

E j e r c i c i o 4 . 4 . 2 E n (R3,< ,>) d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l d e

R3,o b t e n e r l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r

(1, 2, 1)s o b r e l o s s u b e s p a c i o s

H = L((1, 0, 1)) y H = L((1, 0, 1), (1, 0, 0)) .

Á l g e b r a 2 1 5

4 . 4 . 2 A p r o x i m a c i ó n ó p t i m a d e u n v e c t o r .

S i e n d o (E,< ,>) u n e . v . e . ( d e d i m e n s i ó n n i t a o n o ) , u ∈ E y H ≺ E ,

H = L({u1,...,um}), b u s c a m o s e l v e c t o r d e H q u e m e j o r a p r o x i m a a l v e c t o r

u o , l o q u e e s l o m i s m o , b u s c a m o s e l v e c t o r d e H q u e e s t á a l a m e n o r d i s t a n c i a

p o s i b l e d e u. C o m o v e r e m o s , d i c h o v e c t o r e s l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e us o b r e H y , s e g ú n h e m o s v i s t o , l a f o r m a d e o b t e n e r d i c h a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l

e s a t r a v é s d e u n a b a s e o r t o n o r m a l d e H.

A n t e s d e o b t e n e r e l r e s u l t a d o c e n t r a l d e e s t a s e c c i ó n , v e a m o s u n l e m a

p r e v i o .

L e m a 4 . 4 . 7 S i {w1,...,wr} e s u n s i s t e m a o r t o n o r m a l d e l e . v . e .

(E,<,>)y

u

∈E, s e v e r i c a q u e

∀i

∈ {1,...,r

}e l v e c t o r

u − r

j=1

< u, w j > w j

e s o r t o g o n a l a l v e c t o r wi.

D e m o s t r a c i ó n S e a i ∈ {1,...,r}. E n e s e c a s o

 w j

, wi >=

= < u, wi > − r j=1

< u, w j >< w j , wi > =

( p u e s t o q u e e l s i s t e m a e s o r t o n o r m a l )

= < u, wi > − < u, wi >< wi, wi >=

= < u, wi > − < u, wi >= 0.

2

T e o r e m a 4 . 4 . 8 S e a n {w1,...,wr} u n s i s t e m a o r t o n o r m a l d e l (E,<,>) y

H = L(w1,...,wr). E n t o n c e s , p a r a t o d o u ∈ E, s e v e r i c a q u e

d(u, p⊥H (u)) ≤ d(u, w) ∀w ∈ H.

E n o t r a s p a l a b r a s , p⊥H (u) =r

i=1

< u, wi > wi e s e l v e c t o r d e H = L({w1,...,wr})

q u e e s t á a m e n o r d i s t a n c i a d e u ( i . e . , e l q u e m e j o r l o a p r o x i m a ) .

2 1 6 Á l g e b r a

D e m o s t r a c i ó n P o r d e n i c i ó n

d(u, p⊥H (u)) = d(u,r

i=1

< u, wi > wi) = u − ri=1

< u, wi > wi .

S e g ú n h e m o s v i s t o e n e l l e m a a n t e r i o r , e l v e c t o r

u −

ri=1

< u, wi > wi

e s o r t o g o n a l a c a d a u n o d e l o s v e c t o r e s w1,...,wr y , e n c o n s e c u e n c i a , t a m b i é n

s e r á o r t o g o n a l a c u a l q u i e r c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e d i c h o s v e c t o r e s . P o r o t r a

p a r t e , s i

w =

ri=1 αiwie s u n v e c t o r d e

H,

d(u, w)2 =

u −

ri=1

αiwi

2

=

=

u −

ri=1

αiwi

− p⊥H (u) + p⊥H (u)

2

=

=

(u − p⊥H (u)) +

r

i=1

(< u, wi > −αi)wi

2

=

p o r l a i d e n t i d a d d e P a r s e v a l ,

y a q u e u − p⊥H (u) ∈ H ⊥

y

ri=1

(< u, wi > −αi)wi ∈ H,

=u − p⊥H (u)

2 +

ri=1

(< u, wi > −αi)wi

2

c o n l o q u e

u − p⊥H (u)2 ≤ d(u, w)2.

2

E j e r c i c i o 4 . 4 . 3 E n (R3, < , >), d o n d e <, > e s e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l d e

R3,h a l l a r l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n d e l v e c t o r

(1, 0, 1)p o r v e c t o r e s d e l s u b e s p a -

c i o H = L((1, 2, 1), (1, 0, 0)).

Á l g e b r a 2 1 7

E j e r c i c i o 4 . 4 . 4 E n (R[x], < , >1) d o n d e

<, >1: R[x] × R[x] −→ R

( p, q ) < p, q >1=1

−1 p(x) · q (x)dx,

H a l l a r l a m e j o r a p r o x i m a c i ó n d e l v e c t o r x

p o r v e c t o r e s d e l s u b e s p a c i o H =

L({1 + x}).

A l o l a r g o d e l a p r á c t i c a 4 v e r e m o s c o m o l a p r o p i e d a d d e a p r o x i m a c i ó n

d e l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u n v e c t o r s o b r e u n s u b e s p a c i o s e p u e d e u t i l i z a r

p a r a d e t e r m i n a r , p o r m í n i m o s c u a d r a d o s , s o l u c i o n e s a p r o x i m a d a s ó p t i m a s d e

p r o b l e m a s q u e u t i l i z a n d a t o s e x p e r i m e n t a l e s y , p o r t a n t o , d a t o s q u e c o n t i e n e n

u n e r r o r ( r u i d o ) .



1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o R3

c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l s e c o n s i -

d e r a e l s i s t e m a d e v e c t o r e s

{(1, 2,

−1), (0, 1, 1)

}.

S e p i d e o b t e n e r , m e d i a n t e e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r m a l

d e l s u b e s p a c i o

L({(1, 2, −1), (0, 1, 1)})

y l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r (1, 1, 1) s o b r e d i c h o s u b e s p a c i o .


1 . C a l c u l a , m e d i a n t e e l m e t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r m a l

d e l s u b e s p a c i o d e R3

V = L({(1, 2, −2), (0, −4, 3)})

C o m p l e t a d i c h a b a s e a u n a b a s e o r t o n o r m a l B d e R3

y c a l c u l a l a p r o -

y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r (2, 1, 3)

s o b r e V

. C a l c u l a t a m b i é n l a s c o o r -

d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a d e R3

r e s p e c t o d e B .



2 1 8 Á l g e b r a

2 . C o n s i d e r a l a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l p⊥V d e R3

s o b r e e l s u b e s p a c i o

V d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r c o m o a p l i c a c i ó n d e

R3a R3

. C a l c u l a :

M BB ( p⊥V ) y M B3B3

( p⊥V )

s i e n d o B3 l a b a s e c a n ó n i c a d e R3

.

3 . C a l c u l a l a d e s c o m p o s i c i ó n QR

d e l a m a t r i z −1 0 32 −1 02 −2 1

4 . C a l c u l a l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s y p a r a m é t r i c a s d e l c o m p l e m e n t o o r -

t o g o n a l d e l o s s i g u i e n t e s s u b e s p a c i o s :

V = L({(1, −1, 1, 0), (0, 1, 0, 3)}) ≺ R4, W = L({1, 2, −3)}) ≺ R3

5 . C o n s i d e r a e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 2(R)

d e p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o

i g u a l q u e d o s c o m o e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r

d e n i d o p o r :

p(x), q (x)1 =

1−1

p(x) · q (x)dx

• O b t é n , m e d i a n t e e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r -

m a l d e (P 2(R), , 1) a p a r t i r d e l a b a s e B3 = {1, x , x2}.

•C a l c u l a l a s n o r m a s d e l o s v e c t o r e s d e B3 y l o s á n g u l o s q u e f o r m a n

d o s a d o s .



C a p í t u l o 5

C ó d i g o s l i n e a l e s

5 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E n n u e s t r o s d í a s , l a g e n e r a l i z a c i ó n e n e l u s o d e i n s t r u m e n t o s e l e c t r ó n i c o s

c o n l l e v a l a n e c e s i d a d d e t r a n s m i t i r u n a g r a n c a n t i d a d d e d a t o s d e f o r m a

r á p i d a y s e g u r a . E j e m p l o s d e l o a n t e r i o r s o n l a t r a n s m i s i ó n d e i m á g e n e s d e

t e l e v i s i ó n a y d e s d e s a t é l i t e s y l a c o m u n i c a c i ó n t e l e f ó n i c a . O t r o s e j e m p l o s , e n

l o s q u e h a y m e n o s d i s t a n c i a e n t r e e l e m i s o r y e l r e c e p t o r d e l a i n f o r m a c i ó n ,

s o n l a t r a n s m i s i ó n d e d a t o s e n t r e o r d e n a d o r e s c o n e c t a d o s a u n a r e d o e n t r e

d i s t i n t a s u n i d a d e s d e u n m i s m o o r d e n a d o r .

L a t e o r í a d e c ó d i g o s t i e n e s u o r i g e n e n e l a r t í c u l o d e C l a u d e S h a n o n

T h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f C o m m u n i c a t i o n , p u b l i c a d o e n l a r e v i s t a B e l l

S y s t e m T e c h n i c a l J o u r n a l 2 7 , 1 9 4 8 y e n l o s t r a b a j o s d e M a r c e l G o l a y ( 1 9 4 9 )

y R i c h a r d H a m m i n g ( 1 9 5 0 ) .

D e s e a m o s t r a n s m i t i r i n f o r m a c i ó n a t r a v é s d e u n c a n a l c o n r u i d o s e g ú n e l

e s q u e m a :

T r a n s m i s o r

RUIDO>>>>>>>>> R e c e p t o r

↑C o d i c a d o r

↓D e c o d i c a d o r

↑M e n s a j e o r i g i n a l

↓M e n s a j e d e c o d i c a d o

S e q u i e r e n d e t e c t a r y , s i e s p o s i b l e , c o r r e g i r l o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n .

E l e s q u e m a g e n e r a l e s e l s i g u i e n t e :

2 1 9



2 2 0 Á l g e b r a

•S e u t i l i z a e l a l f a b e t o b i n a r i o

Z2 = {0, 1}.

• S e c o d i c a e l m e n s a j e o r i g i n a l u t i l i z a n d o p a l a b r a s ( c a d e n a s ) b i n a r i a s

( u n e r r o r e s u n a c o n f u s i ó n e n t r e u n 0 y u n 1 ) .

•S e t r a n s m i t e e l m e n s a j e , q u e s e c o r r o m p e .

•S e c o r r i g e e l m e n s a j e ( s i e s p o s i b l e ) .

•E l c o d i c a d o r t r a d u c e e l m e n s a j e .

E s c o n v e n i e n t e u t i l i z a r p a l a b r a s d e l a m i s m a l o n g i t u d . H a y 2np a l a b r a s

b i n a r i a s d e l o n g i t u d n ∈ N.

E j e m p l o 5 . 1 . 1 S i n = 3,

Z32 = {000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111}

e s e l c o n j u n t o d e l a s p a l a b r a s b i n a r i a s d e l o n g i t u d 3 .

C a d a u n o d e l o s s í m b o l o s d e u n a p a l a b r a e s u n b i t ( b i n a r y d i g i t ) .

U n c ó d i g o b i n a r i o C d e l o n g i t u d n

e s u n c u a l q u i e r s u b c o n j u n t o d e

Zn2 .

E j e m p l o 5 . 1 . 2 S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s e n v i a r l o s s i g u i e n t e s m e n s a j e s :

ARRIBA, ABAJO, IZQUIERDA, DERECHA.

V a m o s a u t i l i z a r v a r i o s c ó d i g o s , d e n i d o s e n l a s i g u i e n t e t a b l a :

C ó d i g o L o n g i t u d A R R I B A A B A J O I Z Q U I E R D A D E R E C H A

C 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1

C 2 3 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

C 3 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1

E n t o n c e s :

C 1 n o t i e n e c a p a c i d a d d e d e t e c t a r e r r o r e s ( a l t e r a n d o u n b i t s e o b t i e n e u n a

p a l a b r a d e l c ó d i g o ) .

C 2 e s c a p a z d e d e t e c t a r u n e r r o r i n d i v i d u a l ( a l t e r a n d o u n b i t s e o b t i e n e

u n a p a l a b r a q u e n o p u e d e s e r d e l c ó d i g o ) y n o p u e d e c o r r e g i r e r r o r e s . P o r

e j e m p l o , 1 1 1 p u e d e s e r e l r e s u l t a d o d e u n ú n i c o e r r o r e n l a s t r e s p a l a b r a s d e l

c ó d i g o 1 1 0 , 0 1 1 o 1 0 1 .

C 3 e s c a p a z d e d e t e c t a r u n e r r o r i n d i v i d u a l y c o r r e g i r l o ( d o s p a l a b r a s

d i s t i n t a s d e l c ó d i g o n o p u e d e n t r a n s f o r m a r s e e n l a m i s m a p a l a b r a s i h a y u n

ú n i c o e r r o r ) .



Á l g e b r a 2 2 1

S i m p l i c a r e m o s e l m o d e l o s u p o n i e n d o q u e :

•E l c a n a l e s b i n a r i o ( l o s m e n s a j e s q u e s e t r a n s m i t e n s o n c a d e n a s d e

c e r o s y u n o s ) .

•E l c a n a l e s s i m é t r i c o ( l a p r o b a b i l i d a d p d e c a m b i a r u n 0 p o r u n 1

e n l a t r a n s m i s i ó n e s l a m i s m a q u e l a d e c a m b i a r u n 1 p o r u n 0 ) .

•E l c a n a l n o t i e n e m e m o r i a ( l a p r o b a b i l i d a d p d e c a m b i a r u n 0

p o r u n 1 e n l a t r a n s m i s i ó n n o d e p e n d e d e l o s s í m b o l o s p r e v i a m e n t e

e n v i a d o s ) . L a p r o b a b i l i d a d p e s c o n o c i d a c o m o p r o b a b i l i d a d d e e r r o r

d e l c a n a l b i n a r i o s i m é t r i c o .

• N o h a y e r r o r e s d e s i n c r o n i z a c i ó n ( e l n ú m e r o d e s í m b o l o s r e c i b i d o s

e s i g u a l a l n ú m e r o d e s í m b o l o s e n v i a d o s ) .

•E n v i a m o s i n f o r m a c i ó n r e d u n d a n t e : p a r a p o d e r d e t e c t a r y c o r r e g i r

l o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n s e u t i l i z a u n c ó d i g o d e t i p o (n, k), n > k,d o n d e u n m e n s a j e f o r m a d o p o r

ks í m b o l o s s e t r a n s f o r m a e n u n a p a l a b r a

d e n > k s í m b o l o s , p o r t a n t o h a y n − k s í m b o l o s r e d u n d a n t e s

m e n s a j e ∈ Z

k

2

1

0

.

.

.

1

→ c o d i c a d o r →

p a l a b r a ∈

Z

k+(n−k)2

1

0

.

.

.

1

.

.

.

transmision=⇒

transmision=⇒

∈ Z

k+(n−k)2

?

?

.

.

.

?

.

.

.

→ d e c o d i c a d o r →

m e n s a j e ∈Z

k

2 1

0

.

.

.

1

.

A s í , p a r a e n v i a r u n m e n s a j e f o r m a d o p o r k

s í m b o l o s 0 ó 1 ( e s d e c i r u n

e l e m e n t o d e Zk2 ) , e n p r i m e r l u g a r c o n s t r u i m o s u n a p a l a b r a ( o s e c u e n c i a



2 2 2 Á l g e b r a

d e c e r o s y u n o s ) d e l c ó d i g o c o m p u e s t o p o r c a d e n a s d e l o n g i t u d k +

(n − k) = n( c ó d i g o d e t i p o

(n, k), e s d e c i r , c o n

n − ks í m b o l o s d e

i n f o r m a c i ó n r e d u n d a n t e ) . A c o n t i n u a c i ó n t r a n s m i t i m o s d i c h a p a l a b r a

y , d e p e n d i e n d o d e l a i n f o r m a c i ó n r e c i b i d a , e l d e c o d i c a d o r d e t e c t a s i

s e h a p r o d u c i d o e r r o r e n l a t r a n s m i s i ó n . E n e l c a s o d e q u e s e a p o s i b l e ,

r e c o n s t r u y e e l m e n s a j e .

O b s e r v a c i ó n 5 3 U n c ó d i g o d e t i p o (n, k)

e s , p u e s , u n s u b c o n j u n t o d e Zn2 .

5 . 2 D i s t a n c i a d e H a m m i n g , d e t e c c i ó n y c o r r e c -

c i ó n d e e r r o r e s

D e n i c i ó n 5 . 2 . 1 L a d i s t a n c i a d e H a m m i n g d(a, b)

e n t r e d o s p a l a b r a s a

y b d e u n c ó d i g o C e s e l n ú m e r o d e b i t s ( s í m b o l o s ) e n q u e d i e r e n a y b.

E j e m p l o 5 . 2 . 2

d(1101, 1000) = 2, d(1010101, 1100100) = 3.

E j e r c i c i o 5 . 2 . 1 V e r i c a r q u e l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g d(a, b) ≥ 0 e s u n a

d i s t a n c i a , e s d e c i r q u e , ∀ a,b,c ∈ C :

i) d(a, b) = 0 ⇔ a = bii) d(a, b) = d(b, a)iii) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

D e n i c i ó n 5 . 2 . 3 D a d o u n c ó d i g o C

c o n d i s t a n c i a d e H a m m i n g d(a, b),

l a

d i s t a n c i a m í n i m a dm i n

e n t r e p a r e s d e p a l a b r a s d i s t i n t a s d e C e s e l n ú m e -

r o :

dm i n

=m i n

{d(a, b) : a, b ∈ C, a = b}.

O b s e r v a c i ó n 5 4 S i l a d i s t a n c i a m í n i m a d e u n c ó d i g o C e s dm i n

y n o s e

p r o d u c e n m á s q u e

dm i n − 1e r r o r e s e n l a t r a n s m i s i ó n d e u n a p a l a b r a , e l

r e c e p t o r s e r á c a p a z d e r e c o n o c e r q u e l a p a l a b r a r e c i b i d a n o e s d e l c ó d i g o . L a

j u s t i c a c i ó n d e e s t a a r m a c i ó n e s l a s i g u i e n t e : i n t r o d u c i e n d o u n n ú m e r o d e

e r r o r e s m e n o r o i g u a l q u e d

m i n

− 1e n u n a p a l a b r a d e l c ó d i g o n o s e o b t i e n e

o t r a p a l a b r a d e l c ó d i g o .

Á l g e b r a 2 2 3

E l p r i n c i p i o d e l v e c i n o m á s p r ó x i m o ( o c r i t e r i o d e l a m a y o r í a

g a n a ) n o s d i c e q u e s i r e c i b i m o s u n a p a l a b r a e r r ó n e a , d e b e r í a m o s s u p o n e r

q u e l a p a l a b r a d e l c ó d i g o e n v i a d a e s l a m á s c e r c a n a a l a r e c i b i d a ( e n e l s e n t i d o

d e l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g ) . E s d e c i r , s i r < s

e s m á s p r o b a b l e q u e s e h a y a n

p r o d u c i d o r e r r o r e s q u e s e r r o r e s .

T e o r e m a 5 . 2 . 4 A p l i c a n d o e l p r i n c i p i o d e l v e c i n o m á s c e r c a n o , u n c ó d i g o C

p u e d e c o r r e g i r e e r r o r e s s i l a d i s t a n c i a m í n i m a c u m p l e l a c o n d i c i ó n

dm i n

≥ 2e + 1.

D e m o s t r a c i ó n S e a c∈

C l a p a l a b r a o r i g i n a l y s e a z l a p a l a b r a r e c i b i d a ,

q u e c o n t i e n e e e r r o r e s . E n t o n c e s d(c, z ) = e.S i b ∈ C e s o t r a p a l a b r a d e l c ó d i g o ,

2e + 1 ≤ dm i n

≤ d(b, c) ≤ d(b, z ) + d(z, c) = d(b, z ) + e

y p o r t a n t o

d(b, z ) ≥ e + 1.

S e s i g u e q u e c e s l a ú n i c a p a l a b r a d e C a d i s t a n c i a e d e z. 2

5 . 2 . 1 C ó d i g o d e p a r i d a d : d e t e c c i ó n d e e r r o r e s s i m p l e s

L a t a b l a A S C I I p a r a r e p r e s e n t a r l o s c a r a c t e r e s a l f a n u m é r i c o s e s t á f o r m a d a

p o r 128 = 27 s í m b o l o s c o d i c a d o s e n p a l a b r a s b i n a r i a s d e l o n g i t u d 8: l o s

p r i m e r o s 7 b i t s c o n t i e n e n l a i n f o r m a c i ó n y e l o c t a v o e l c o n t r o l d e p a r i d a d ,

e s d e c i r 0 s i e l n ú m e r o d e u n o s q u e a p a r e c e n e n l o s 7 p r i m e r o s b i t s e s p a r y

1 e n c a s o c o n t r a r i o . P o r e j e m p l o l a s p a l a b r a s

10000010 y 01000111

s o n p a l a b r a s d e l c ó d i g o m i e n t r a s q u e

01000110n o l o e s .

E s t a c o d i c a c i ó n (8, 7)

p e r m i t e d e t e c t a r a l g u n o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n

p e r o n o c o r r e g i r l o s . M á s e x a c t a m e n t e p o d e m o s r e c o n o c e r a q u e l l a s s i t u a c i o n e s

e n l a s q u e s e p r o d u c e u n n ú m e r o i m p a r d e e r r o r e s e n l a t r a n s m i s i ó n d e l o s 8

b i t s . P o r t a n t o l a p r o b a b i l i d a d d e e r r o r n o d e t e c t a b l e e n l a t r a n s m i s i ó n e s :



2 2 4 Á l g e b r a

P err = P 2 + P 4 + P 6 + P 8 =

= p2(1 − p)6

8

2

+

+ p4(1 − p)4

8

4

+

+ p6(1 − p)2

8

6

+

+ p8

P o r e j e m p l o s i l a p r o b a b i l i d a d p d e e r r o r e n e l c a n a l e s 0.01 l a p r o b a b i l i d a d

d e e r r o r n o d e t e c t a b l e c o n e s t a c o d i c a c i ó n e s 0.0026368.

5 . 2 . 2 C ó d i g o d e r e p e t i c i ó n : c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s s i m -

p l e s

S i l o s m e n s a j e s s o n s i m p l e m e n t e l o s s í m b o l o s 0

y 1,

p o d e m o s c o d i c a r l o s d e l

s i g u i e n t e m o d o :

m e n s a j e s c ó d i g o

0 000

1 111

P a r a d e c o d i c a r s e g u i m o s e l c r i t e r i o d e l a m a y o r í a g a n a :

p a l a b r a r e c i b i d a d e c o d i c a c i ó n

000 0001 0010 0011 1100 0101 1

110 1111 1

Y a q u e d

m i n

= 3,l a c o n d i c i ó n

dm i n

≥ 2e + 1i m p l i c a

e ≤ 1.C o n

e s t e c ó d i g o (3, 1) d e t e c t a m o s h a s t a 2 e r r o r e s , c o r r e g i m o s c o r r e c t a m e n t e l a s



Á l g e b r a 2 2 5

s i t u a c i o n e s e n l a s q u e s e p r o d u c e u n ú n i c o e r r o r y f a l l a m o s e n a q u é l l a s e n l a s

q u e s e p r o d u c e m á s d e u n e r r o r . P o r e j e m p l o , s i r e c i b i m o s l a p a l a b r a

011,l a

d e c o d i c a c i ó n 111 e s c o r r e c t a s i e = 1 y e s i n c o r r e c t a s i e ≥ 2.L a p r o b a b i l i d a d d e e r r o r n o d e t e c t a b l e e n l a t r a n s m i s i ó n e s :

P err = P 2 + P 3 = p2(1 − p)

3

2

+ p3

P o r e j e m p l o s i l a p r o b a b i l i d a d p d e e r r o r e n e l c a n a l e s 0.01 l a p r o b a b i l i d a d

d e e r r o r e n l a d e c o d i c a c i ó n e s m e n o r q u e 0.0003.

5 . 3 C ó d i g o s l i n e a l e s

C o m o v e r e m o s , s i u n c ó d i g o t i e n e e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e e l

c u e r p o Z2, p o d e m o s e s t u d i a r s u s p r o p i e d a d e s u t i l i z a n d o l o s r e s u l t a d o s o b t e -

n i d o s p a r a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s g e n e r a l e s .

E n p a r t i c u l a r , e s t o s t i p o s d e c ó d i g o s s e p u e d e n d e s c r i b i r e n t é r m i n o s d e

s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s e i m p l í c i t a s .

D e n i c i ó n 5 . 3 . 1 D i r e m o s q u e u n c ó d i g o C ⊆ Zn2 e s

l i n e a l s i C e s u n s u b -

e s p a c i o v e c t o r i a l d e Zn2 .

E j e m p l o 5 . 3 . 2 N o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e , p a r a l o s c ó d i g o s d e n i d o s e n l a

t a b l a d e l e j e m p l o 5 . 1 . 2 , C 1 y C 2 s o n l i n e a l e s y C 3 n o l o e s .

E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 ¾ E s l i n e a l e l c ó d i g o d e p a r i d a d ?

E j e r c i c i o 5 . 3 . 2 ¾ E s l i n e a l e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n ?

S e a n C ≺ Zn2 u n c ó d i g o l i n e a l y {

u1, u2, · · · , uk } u n a b a s e d e C. S i Bk ={e1, e2, · · · , ek} e s l a b a s e c a n ó n i c a d e

Zk2, l a f u n c i ó n l i n e a l

g : Zk2 −→ Zn

2

d e n i d a p o r

g(ei) = ui (i = 1, · · · , k),

e s i n y e c t i v a ( s i e n d o { u1, u2, · · · , uk } l i b r e ) y

Im(g) = C.P o r t a n t o l a f u n c i ó n

g d e n e l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l c ó d i g o C.



2 2 6 Á l g e b r a

D e n i c i ó n 5 . 3 . 3 S i C ≺ Zn2 e s u n c ó d i g o l i n e a l y

{u1, u2, . . . , uk} e s u n a

b a s e d e

C l l a m a r e m o s

m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o

C a l a m a t r i z

n ×k ( a s o c i a d a a l a f u n c i ó n l i n e a l g d e n i d a a r r i b a ) c u y a s c o l u m n a s s o n l a s

c o o r d e n a d a s d e u1, u2, . . . , uk r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e

Zn2 :

G =

(u1)Bn(u2)Bn

· · · (uk)Bn

S i C ≺ Zn

2 e s l i n e a l y dim(C ) = k, e n t o n c e s C e s u n c ó d i g o d e t i p o (n, k)y a q u e , p o r s e r C i s o m o r f o a

Zk2, e l n ú m e r o d e p a l a b r a s d e C c o i n c i d e c o n é l

d e Zk2. A d e m á s s i

Ge s u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o o b t e n i d a a l e l e g i r

l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e Zk2 y

Zn2 ,

l a a p l i c a c i ó n

Zk

2 −→ C

(x1, . . . , xk) → t

G

x1.

.

.

xk

e s u n i s o m o r s m o q u e a c a d a p a l a b r a d e

Zk2 a s o c i a u n a p a l a b r a d e C.

L a f u n c i ó n a n t e r i o r d e s c r i b e u n p r o c e d i m i e n t o d e c o d i c a c i ó n q u e a s o -

c i a a c a d a p a l a b r a (x1, . . . , xk) ∈ Zk2 l a p a l a b r a

t

G

x1.

.

.

xk

∈ M 1×n(Z2) ≡

Zn2

( i m p l í c i t a m e n t e e s t a m o s i d e n t i c a n d o l a m a t r i c e s l a d e

nc o l u m n a s c o n

l o s e l e m e n t o s d e Zn2 , c i r c u n s t a n c i a q u e m a n t e n d r e m o s e n t o d o e l d e s a r r o l l o

d e l c a p í t u l o p a r a m a y o r s i m p l i c i d a d ) .

T e n i e n d o e n c u e n t a q u e

t

G

x1.

.

.

xk

= (x1 . . . xk) ·t (G),

n u e s t r a p r e g u n t a i n m e d i a t a e s ¾ c ó m o i n v e r t i r e l p r o c e s o ? o , s i s e p r e e r e ,

¾ e x i s t e a l g u n a m a t r i z q u e p e r m i t a i n v e r t i r e l p r o c e s o d e m a n e r a q u e , e n

l a h i p ó t e s i s d e q u e e l c a n a l n o t u v i e s e r u i d o s , n o s p e r m i t i e s e r e c u p e r a r e l

m e n s a j e o r i g i n a l s e g ú n e l e s q u e m a s i g u i e n t e ? :

Zk2 −→ C −→

(x1, . . . , xk) → (x1 . . . xk) ·t (G) →

Á l g e b r a 2 2 7

−→ Zk2

→(x1 . . . xk)

·t (G)

·(t(G))−1 = (x1, . . . , xk)

L a r e s p u e s t a e s o b v i a m e n t e n e g a t i v a , p u e s t o q u e l a m a t r i z

t(G) n o e s

u n a m a t r i z c u a d r a d a . S i n e m b a r g o , c o m o v e r e m o s p o s t e r i o r m e n t e , l a i d e a e s

a p r o v e c h a b l e e m p l e a n d o e l c o n c e p t o d e p s e u d o i n v e r s a d e u n a m a t r i z .

E j e r c i c i o 5 . 3 . 3 O b t e n e r l a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e p a r i d a d c u y o

p r o d u c t o r e p r o d u c e e l m e c a n i s m o d e c o d i c a c i ó n d e s c r i t o .

E j e r c i c i o 5 . 3 . 4 O b t e n e r l a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n c u y o

p r o d u c t o r e p r o d u c e e l m e c a n i s m o d e c o d i c a c i ó n d e s c r i t o .

P a s a m o s a h o r a a e s t u d i a r l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e u n c ó d i g o l i n e a l

C.S i

C ≺ Zn2 e s t a l q u e

0 < dim(C ) = k < n,l a p r o p o s i c i ó n 3 . 5 . 1 2 d e l

c a p í t u l o 3 i m p l i c a q u e e x i s t e u n a f u n c i ó n l i n e a l

h : Zn2 −→ Zn−k

2

t a l q u e C = ker(h). P o r t a n t o l a f u n c i ó n h d e t e r m i n a l a s e c u a c i o n e s i m -

p l í c i t a s d e l c ó d i g o C.

D e n i c i ó n 5 . 3 . 4 S i C ≺ Zn2 e s l i n e a l d i r e m o s q u e u n a m a t r i z

Hd e o r d e n

s×n e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l

s i p a r a c u a l q u i e r (x1, . . . , xn) ∈ Zn2 s e v e r i c a

q u e :

(x1, . . . , xn) ∈ C ⇔ H

x1.

.

.

xn

= 0.

S e s i g u e q u e l a m a t r i z H q u e q u e d a a s o c i a d a a l a f u n c i ó n l i n e a l h a l e l e g i r

l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e Zn2 y

Z(n−k)2 e s H = M Bn

Bn−k(h) ∈ M (n−k)×n y e s u n a

m a t r i z d e c o n t r o l p a r a e l c ó d i g o C. S i e n d o C = ker(h), e l r a n g o d e l a m a t r i z

H e s n − k. S e s i g u e q u e

C

≺Zn2 e s u n c ó d i g o l i n e a l d e d i m e n s i ó n k, 0 < k < n, s i y s ó l o s i e x i s t e

u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e C, H ∈ M (n−k)×n, d e r a n g o i g u a l a n − k.

E j e r c i c i o 5 . 3 . 5 E n c o n t r a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e p a r i d a d .

E j e r c i c i o 5 . 3 . 6 E n c o n t r a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n .



2 2 8 Á l g e b r a

5 . 3 . 1 P a s o d e u n a m a t r i z d e c o n t r o l a u n a m a t r i z g e n e -

r a d o r a

P a s a r d e u n a m a t r i z d e c o n t r o l a u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e u n c ó d i g o l i -

n e a l C e s e q u i v a l e n t e a p a s a r d e s u s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s a s u s e c u a c i o n e s

p a r a m é t r i c a s .

S u p o n g a m o s q u e H ∈ M(n−k)×n(Z2) e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó d i g o

l i n e a l C. D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e C e s l o m i s m o q u e e n c o n t r a r

u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o C, q u e c o i n c i d e c o n e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n l i n e a l

d e n i d a e n t r e Z2 − e.v. :

h : Zn2

−→Zn−k2

(x1, . . . , xn) → t

H· x1

.

.

.

xn

y q u e d e n e l a s e c u a c i o n e s i m p l í c i t a s d e l c ó d i g o C.

P o r t a n t o , p a r a d e n i r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e C,

p o d e m o s e m p l e a r

e l m é t o d o v i s t o e n e l c a p í t u l o 3 p a r a o b t e n e r u n a b a s e d e l n ú c l e o d e u n a

f u n c i ó n l i n e a l , c u y o e s q u e m a b a s í c o e s e l s i g u i e n t e :

HIn

t1−→ t2−→·· · tk−→ AP

,

d o n d e t1, t2, . . . , tk s o n t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s ( e f e c t u a -

d a s s o b r e a m b a s m a t r i c e s ) y A

e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a .

E n t a l c i r c u n s t a n c i a s a b e m o s q u e l a s c o l u m n a s d e P

q u e a p a r e z c a n b a j o

l a s c o l u m n a s n u l a s d e A

c o n s t i t u y e n u n a b a s e ( s a l v o t r a n s p o s i c i ó n ) d e l n ú c l e o

d e h y , p o r c o n s i g u i e n t e , c o n s t i t u y e n u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e C.

E j e r c i c i o 5 . 3 . 7 D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z

d e c o n t r o l e s :

H =

1 0 1 01 1 1 1



Á l g e b r a 2 2 9

5 . 3 . 2 P a s o d e u n a m a t r i z g e n e r a d o r a a u n a m a t r i z d e

c o n t r o l

P a s a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a a u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó d i g o l i n e a l

C e s e q u i v a l e n t e a p a s a r d e s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s a s u s e c u a c i o n e s

i m p l í c i t a s .

A h o r a , s u p o n g a m o s q u e G ∈ Mn×k(Z2),

G =

(u1)Bn(u2)Bn

· · · (uk)Bn

,

e s u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e u n c ó d i g o l i n e a l C. E n t o n c e s C = Im(g), d o n d e

g : Zk

2 −→ C

(x1, . . . , xk) → t

G

x1.

.

.

xk

.

D e t e r m i n a r u n a m a t r i z H ∈ M (n−k)×n(Z2) d e c o n t r o l d e C, d e r a n g o n−k,e s l o m i s m o q u e e n c o n t r a r (n − k) l a s

(a11 a12 · · · a1n)(a21 a22 · · · a2n)

.

.

.

(a(n−k)1 a(n−k)2 · · · a(n−k)n)

t a l e s q u e :

1 . ∀i ∈ {1, . . . , n − k} , s e t e n g a q u e

ai1 ai2 · · · ain

· (u1)Bn= 0, · · · ,


· (uk)Bn= 0,

o , l o q u e e s l o m i s m o , q u e

∀i ∈ {1, . . . , n − k} , ai1 ai2 · · · ain · G = 0.

2 . E l s i s t e m a f o r m a d o p o r d i c h a s l a s e s u n s i s t e m a l i b r e .

E n e l s u p u e s t o d e q u e t e n g a m o s t a l e s l a s , s i d e n i m o s l a m a t r i z



2 3 0 Á l g e b r a

H = a11 a12 · · · a1n

a21

a22 · · ·

a2

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a(n−k)1 a(n−k)2 · · · a(n−k)n

t e n d r e m o s q u e :

1 . H · G = 0

y e n c o n s e c u e n c i a e l c ó d i g o C e s t á c o n t e n i d o e n e l n ú c l e o d e

l a f u n c i ó n l i n e a l

h : Zn2 −→ Zn−k

2

(x1, . . . , xn) → t H· x1.

.

.

xn

.

2 . L a d i m e n s i ó n d e l n ú c l e o d e h e s k .

P u e s t o q u e l a d i m e n s i ó n d e C t a m b i é n e s k, t e n d r e m o s q u e C = Ker(h)y e n c o n s e c u e n c i a

(x1, . . . , xn) ∈ C ⇔ H x1.

.

.

xn

= 0,

e s d e c i r , H

e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o C. A h o r a b i e n , b u s c a r (n−k) l a s q u e c o n s t i t u y a n u n s i s t e m a d e v e c t o r e s l i b r e y d e m a n e r a q u e

∀i ∈ {1, . . . , n − k} ,


G = 0

e s l o m i s m o q u e b u s c a r (n − k) s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e l

s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o

t(G)

x1

x2.

.

.

xn

= 0.



Á l g e b r a 2 3 1

P e r o , ¾ e x i s t e n (n − k) s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e t a l s i s t e -

m a ?

P o r h i p ó t e s i s l a s k c o l u m n a s d e G

c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a l i b r e y p o r t a n t o

l a s k

l a s d e

t(G)t a m b i é n . A h o r a , a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e l a d i m e n s i ó n ,

s a b e m o s q u e l a d i m e n s i ó n d e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a

t(G)X = 0

e s n − k, l u e g o e x i s t e n (n − k) s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

V e a m o s u n a l g o r i t m o p a r a o b t e n e r d i c h a m a t r i z H :

1 . C o n s t r u i m o s l a m a t r i z

G In

( r e c u é r d e s e q u e

Gt i e n e

n l a s ) .

2 . M e d i a n t e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r l a s c o n s t r u i m o s , a p a r t i r

d e G In ,u n a m a t r i z d e l a f o r m a Ik T

(0) H ,d o n d e

T ∈

M k×

n(Z2),

H ∈ M (n−k)×n(Z2) y (0) ∈ M (n−k)×k(Z2).

3 . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e a p l i c a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r l a s

e s e q u i v a l e n t e a m u l t i p l i c a r p o r l a i z q u i e r d a p o r u n a m a t r i z i n v e r t i b l e , r e s u l t a

q u e s i G In

tf 1 → ...tf k →

Ik T (0) H

,

t e n d r e m o s q u e e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P ∈ M n(Z2), t a l q u e P · G =

Ik

(0) y t a l q u e P · In =

T H ,

e s d e c i r , P =

T H ,

c o n l o q u e e l

r a n g o d e H e s n − k y T H

· G =

Ik

(0)

.

T e n i e n d o e n c u e n t a c ó m o e s t á d e n i d o e l p r o d u c t o d e m a t r i c e s ,

T · G = Ik y H · G =(0) .

P u e s t o q u e l a m a t r i z T e s t a l q u e T ·G = Ik, r e s u l t a q u e

t(T ·G) =t(Ik) =Ik,

e s d e c i r ,

tG

·t T = Ik.

E n o t r a s p a l a b r a s , l a m a t r i z tT e s l a m a t r i z q u e b u s c á b a m o s , l a p s e u -

d o i n v e r s a d e

tG,p a r a i n v e r t i r e l p r o c e s o d e c o d i c a c i ó n :

Zk2 −→ C −→

(x1, . . . , xk) → (x1 . . . xk) ·t (G) →



2 3 2 Á l g e b r a

−→ Zk2

→(x1 . . . xk)

·t (G)

·t (T) = (x1, . . . , xk) .

P o r o t r a p a r t e , l a m a t r i z H

a s í o b t e n i d a e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l

c ó d i g o , p u e s s a t i s f a c e l a s d o s c o n d i c i o n e s r e q u e r i d a s .

E j e r c i c i o 5 . 3 . 8 D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z

g e n e r a d o r a e s :

G =

1 0 00 1 01 0 11 1 1

.

5 . 3 . 3 D e t e c c i ó n y c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s

P o d e m o s d e t e c t a r e r r o r e s e n l a t r a n s m i s i ó n s i y s ó l o s i l a p a l a b r a r e c i b i d a n o

p e r t e n e c e a l c ó d i g o . P o r t a n t o s i C e s u n c ó d i g o l i n e a l y H

e s u n a m a t r i z

d e c o n t r o l d e l m i s m o , d e t e c t a r e m o s e r r o r e n l a t r a n s m i s i ó n d e u n a p a l a b r a

r e c i b i d a u

s i y s ó l o s i H · (u)Bn = 0. A h o r a , l a c u e s t i ó n e s ¾ Q u é p o d e m o s

h a c e r e n e l c a s o d e q u e d e t e c t e m o s u n e r r o r e n l a t r a n s m i s i ó n ? S i a l e m i t i r

l a p a l a b r a x ∈ C s e p r o d u c e e l e r r o r d e t r a n s m i s i ó n

e, r e c i b i r e m o s l a p a l a b r a

u = x + e. A l c h e q u e a r l a p a l a b r a r e c i b i d a o b t e n d r e m o s

H· (x + e)Bn = H · (x)Bn+H · (e)Bn = ( p u e s t o q u e x ∈ C ) = H · (e)Bn,

e s d e c i r , o b t e n e m o s l a a c t u a c i ó n d e l a m a t r i z d e c o n t r o l s o b r e e l e r r o r d e

t r a n s m i s i ó n e.

D e n i c i ó n 5 . 3 . 5 S i H ∈ M (n−k)×n(Z2) e s u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó -

d i g o C y u ∈ Zn

2 l l a m a r e m o s s í n d r o m e d e u

a l p r o d u c t o H · (u)Bn

.

E v i d e n t e m e n t e u

p e r t e n e c e a l c ó d i g o C s i y s ó l o s i s u s í n d r o m e e s 0

y ,

s e g ú n h e m o s v i s t o , e l s í n d r o m e d e l a p a l a b r a r e c i b i d a x + e

c o i n c i d e c o n e l

s í n d r o m e d e l e r r o r d e t r a n s m i s i ó n e. P o r c o n s i g u i e n t e , s i p a r a c a d a p a l a b r a n o

p e r t e n e c i e n t e a l c ó d i g o h u b i e s e u n ú n i c o e r r o r q u e t u v i e s e s u m i s m o s í n d r o m e ,

s e r í a s e n c i l l í s i m o c o r r e g i r e l e r r o r c o m e t i d o e n l a t r a n s m i s i ó n : b a s t a r í a r e s t a r

e l e r r o r q u e t i e n e e l m i s m o s í n d r o m e q u e l a p a l a b r a r e c i b i d a p a r a c o r r e g i r

d i c h o e r r o r . S i n e m b a r g o , c o m o a h o r a v e r e m o s , p u e d e h a b e r m u c h a s p a l a b r a s

n o p e r t e n e c i e n t e s a l c ó d i g o q u e t e n g a n e l m i s m o s í n d r o m e .



Á l g e b r a 2 3 3

O b s e r v a c i ó n 5 5 S e a H ∈ M (n−k)×n(Z2) u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e u n c ó d i g o

l i n e a l

C.S i

u,

v∈Zn

2 ,e n t o n c e s

H · (u)Bn= H · (v)Bn

⇔ v − u ∈ C,

e s d e c i r , d o s p a l a b r a s u

y v

t i e n e n e l m i s m o s í n d r o m e s i y s ó l o s i u − v

e s

u n a p a l a b r a d e l c ó d i g o .

V e á m o s l o :

H · (u)Bn = H · (v)Bn ⇔ H · (v)Bn− H · (u)Bn = 0

⇔ H · (v − u)Bn = 0 ⇔ v − u ∈ C

O b s e r v a c i ó n 5 6 E l q u e d o s p a l a b r a s t e n g a n e l m i s m o s í n d r o m e o d i s t i n t o s

s í n d r o m e s n o d e p e n d e d e l a m a t r i z d e c o n t r o l c o n s i d e r a d a : s i

H1y

H2s o n

m a t r i c e s d e c o n t r o l d e C y u, v ∈ Zn

2 t e n d r e m o s q u e :

H1·(u)Bn = H1·(v)Bn ⇔ v − u ∈ C ⇔ H2·(u)Bn = H2·(v)Bn.

P a r a i d e n t i c a r l a s p a l a b r a s q u e t i e n e n e l m i s m o s í n d r o m e s e d e n e e n

Zn2 l a s i g u i e n t e r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a :

∀ u, v ∈ Zn2 ,

u ∼ v ⇔ H · (u)Bn = H · (v)Bn ⇔ v − u ∈ C.

E j e r c i c i o 5 . 3 . 9 V e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n ∼

a n t e r i o r e s u n a r e l a c i ó n d e

e q u i v a l e n c i a e n Zn2 .

E n t o n c e s e l e s p a c i o Zn2 q u e d a d i v i d i d o e n t r e l a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a

d e t e r m i n a d a s p o r l a r e l a c i ó n ∼

, q u e l l a m a r e m o s c o g r u p o s :

D e n i c i ó n 5 . 3 . 6 S i C ⊆ Zn2 e s u n c ó d i g o l i n e a l y

u ∈Zn2 , s e d e n o m i n a

c o -

g r u p o d e

um ó d u l o

C a l c o n j u n t o

{v ∈Zn2 | v − u ∈ C }.

E s t e c o n j u n t o e s l a

c l a s e d e e q u i v a l e n c i a d e u

r e s p e c t o d e l a r e l a c i ó n ∼

y l o d e n o t a r e m o s p o r

u + C.

O b s e r v a c i ó n 5 7 L a n o t a c i ó n

u + C = {v ∈Zn2 | v − u ∈ C }

s e j u s t i c a d e l s i g u i e n t e m o d o :

v ∈ u + C ⇔ ∃c ∈ C t a l q u e

v − u = c ⇔ ∃c ∈ C t a l q u e

v = u+c.

P o r o t r a p a r t e , p u e s t o q u e u − u = 0 ∈ C,

t e n d r e m o s q u e u ∈ u + C.

N ó t e s e q u e C = 0 + C.



2 3 4 Á l g e b r a

L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n s e s i g u e d i r e c t a m e n t e d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s

r e l a c i o n e s d e e q u i v a l e n c i a .

P r o p o s i c i ó n 5 . 3 . 7 S e a C ≺ Zn2 u n c ó d i g o l i n e a l y s e a n

u, v ∈Zn2 . S e v e r i c a

q u e :

1 . u + C = v + C ⇔ v − u ∈C.

2 . S i ( u + C ) ∩ (v + C ) = ∅

e n t o n c e s u + C = v + C.

3 . C a r d ( u + C ) =

C a r d ( v + C ).

O b s e r v a c i ó n 5 8 V i s t o l o a n t e r i o r , t e n e m o s q u e l o s s í n d r o m e s d e d o s p a l a -

b r a s u

y v

c o i n c i d e n s i y s ó l o s i u

y v

p e r t e n e c e n a l m i s m o c o g r u p o m ó d u l o

C,o l o q u e e s l o m i s m o , s i y s ó l o s i

u + C = v + C.

E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 0 C o n s t r u i r l a t a b l a d e s í n d r o m e s d e l a s i g u i e n t e m a t r i z

H =

1 1 00 1 1

.

N o p o d e m o s c o r r e g i r t o d o s l o s e r r o r e s d e t r a n s m i s i ó n p e r o s í p o d e m o s

c o r r e g i r e l e r r o r d e t r a n s m i s i ó n m á s p r o b a b l e . S e l e c c i o n e m o s d e c a d a c o -

g r u p o e l e r r o r q u e c o n s i d e r e m o s m á s p r o b a b l e s e g ú n e l p r i n c i p i o d e l v e c i n o

m á s p r ó x i m o : n o r m a l m e n t e e s m á s p r o b a b l e a q u e l q u e t i e n e m e n o s e r r o r e s

i n d i v i d u a l e s , e s d e c i r e l e g i m o s u n o d e e n t r e l o s q u e t i e n e n m e n o s u n o s . L l a -

m a r e m o s a d i c h o e l e m e n t o r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o . E s t a e l e c c i ó n e s

l a m á s r a z o n a b l e y a q u e , s i y ∈ Zn2 y ey e s e l r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o d e

y, l a c o r r e c c i ó n d e y s e r á l a p a l a b r a y − ey ∈ C, q u e e s l a p a l a b r a d e C m á s

c e r c a n a , e n e l s e n t i d o d e l a d i s t a n c i a d e H a m m i n g , a l a p a l a b r a r e c i b i d a y.

E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 1 E n l a t a b l a d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r e l e g i r e l m e j o r r e p r e s e n -

t a n t e d e c a d a c o g r u p o .

U n a v e z r e a l i z a d a l a s e l e c c i ó n d e l o s r e p r e s e n t a n t e s d e l o s c o g r u p o s , e l

p r o c e s o d e c o r r e c c i ó n d e e r r o r e s q u e d a r í a d e n i d o p o r

yC o r r e c c i ó n −→ y − ey,



Á l g e b r a 2 3 5

d o n d e ey e s e l r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o d e s í n d r o m e

H · (y)Bn ( e s t o e s ,

H· (

y)B

n

=H

· (ey)B

n) .

P o r t a n t o , e l e s q u e m a d e c o d i c a c i ó n , t r a n s m i s i ó n y d e c o d i c a c i ó n q u e d a

c o n c r e t a d o d e l s i g u i e n t e m o d o :

C o d i c a d o r T r a n s m i s i ó n

u −→ u ·t (G) = x ⇒ +e ⇒D e c o d i c a d o r

⇒ y = x + e −→

y ·t (T ) si H · (y)Bn = 0(y − ey) ·t (T ) si H · (y)Bn = 0.

O b s e r v a c i ó n 5 9 S i e l e g i m o s a 0

c o m o r e p r e s e n t a n t e d e l c o g r u p o 0+C = C,

s e p u e d e s i m p l i c a r l a a c t u a c i ó n d e l D e c o d i c a d o r :

Decodificadory −→(y − ey) ·t (T )

E j e r c i c i o 5 . 3 . 1 2 U t i l i z a n d o l a e l e c c i ó n d e r e p r e s e n t a n t e s d e l e j e r c i c i o a n t e -

r i o r c o m p l e t a r l a s i g u i e n t e t a b l a :

y H · (y)Bney y − ey

0 0 0

0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1



1 . O b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a y u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e

p a r i d a d e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .


r e p e t i c i ó n e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .



2 3 6 Á l g e b r a

3 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a

e s :

G =

1 1 11 0 01 0 11 1 1

.

4 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z d e c o n t r o l

e s :

H = 1 0 1 0

1 1 1 1 5 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r

l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o g e n e r a d o p o r l o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s

r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e Z42 s o n l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z :

0 1 11 1 01 0 10 1 1

6 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e p e r m i t a r e a l i z a r

l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a e s

G =

1 11 01 10 1


1 . H a l l a l a d i s t a n c i a m í n i m a d e c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s c ó d i g o s :

i) {000, 101, 100, 001}e n

Z32,

ii) {00000, 01110, 11011, 00101}e n

Z52,

iii) {000000, 111000, 000111, 111111}e n

Z62.



Á l g e b r a 2 3 7

D e t e r m i n a e n c a d a c a s o e l n ú m e r o d e e r r o r e s q u e s e p u e d e n d e t e c t a r y e l

n ú m e r o d e e r r o r e s q u e s e p u e d e n c o r r e g i r .

2 . P a r a c a d a c ó d i g o d e l p r o b l e m a a n t e r i o r , d e t e r m i n a r s i e s l i n e a l . S i l o

e s , o b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a , u n a m a t r i z d e c o n t r o l y u n a m a t r i z q u e

p e r m i t a r e a l i z a r l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o .


l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o l i n e a l C g e n e r a d o p o r e l s i s t e m a d e v e c t o r e s S,c u y a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e

Z52 s o n

S = {(1, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0)}.

H a l l a r t o d o s l o s e l e m e n t o s d e l c ó d i g o C.

4 . E l e g i r e l m e j o r r e p r e s e n t a n t e d e c a d a c o g r u p o d e l c ó d i g o l i n e a l

C = {000, 101, 100, 001} ≺ Z32

y c o m p l e t a r l a s i g u i e n t e t a b l a :

y H · (y)B3ey y − ey

0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1



2 3 8 Á l g e b r a



C a p í t u l o 6

A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s

6 . 1 I n t r o d u c c i ó n

E l o b j e t i v o p r i n c i p a l d e e s t e t e m a e s d e s a r r o l l a r u n a t é c n i c a q u e n o s p e r m i t a

o b t e n e r l a s s o l u c i o n e s d e l a s e c u a c i o n e s y s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s y d e l a s r e l a c i o n e s y s i s t e m a s d e r e l a c i o n e s

d e r e c u r r e n c i a l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s c o m p r o b a n d o , d e p a s o , q u e

a m b o s p r o b l e m a s e s t á n e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d o s .

L a n a t u r a l e z a d e d i c h a t é c n i c a y d e l a h e r r a m i e n t a m a t e m á t i c a q u e l l e v a

a p a r e j a d a ( t e o r í a d e a u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s ) h a c e p o s i b l e s u a p l i c a c i ó n a

u n a g r a n v a r i e d a d d e p r o b l e m a s .

V e a m o s u n o s p r i m e r o s e j e m p l o s q u e n o s p e r m i t a n i l u s t r a r y m o t i v a r l a s

s i g u i e n t e s d e n i c i o n e s :

E j e m p l o 6 . 1 . 1 S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s c a l c u l a r e l n ú m e r o d e s e c u e n c i a s

d e c e r o s y u n o s d e l o n g i t u d n q u e n o p o s e e n d o s c e r o s c o n s e c u t i v o s . S i An e s

e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r d i c h a s s e c u e n c i a s , b u s c a m o s o b t e n e r e l n ú m e r o d e

e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o An, n ú m e r o a l q u e d e n o t a m o s p o r an . O b v i a m e n t e ,

An = C n ∪ U n

d o n d e C n e s e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n q u e s a -

t i s f a c i e n d o d i c h a p r o p i e d a d t e r m i n a n e n

0y

U ne s e l c o n j u n t o f o r m a d o p o r

l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n

q u e , s a t i s f a c i e n d o d i c h a p r o p i e d a d , t e r m i n a n e n

1. P e r o l a s s e c u e n c i a s d e l c o n j u n t o U n s e p u e d e n o b t e n e r a ñ a d i e n d o u n 1 a

c a d a u n a d e l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n − 1

q u e n o p o s e e n d o s c e r o s c o n s e -

c u t i v o s , p o r l o q u e e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o U n c o i n c i d e c o n e l

2 3 9



2 4 0 Á l g e b r a

n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o An−1, e s d e c i r , c o n an−1. P o r o t r a p a r t e ,

l a s s e c u e n c i a s d e l c o n j u n t o

C ns e p u e d e n o b t e n e r a ñ a d i e n d o

10a c a d a u n a

d e l a s s e c u e n c i a s d e l o n g i t u d n − 2 q u e n o p o s e e n d o s c e r o s c o n s e c u t i v o s , p o r

l o q u e e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e C n c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s

d e l c o n j u n t o An−2, e s d e c i r , c o n an−2. T e n i e n d o e n c u e n t a , a h o r a , q u e C n y

U n s o n d i s j u n t o s , r e s u l t a q u e

an = an−1 + an−2.

P o r c o n s i g u i e n t e , p u e s t o q u e a0 = 0, a1 = 2 y a2 = 3 ( y a q u e A0 = ∅,A1 = {1, 0}

y A2 = {10, 01, 11}),

p o d e m o s o b t e n e r s u c e s i v a m e n t e q u e a3 =

3+2 = 5, a4 = 5+3 = 8, a5 = 8+5 = 13,.... E l p r o b l e m a e s q u e , p o r e j e m p l o ,

p a r a o b t e n e r e l v a l o r d e

a100.000.000n e c e s i t a m o s t e n e r c a l c u l a d o s p r e v i a m e n t e

l o s 99.999.999 v a l o r e s a n t e r i o r e s . A l o l a r g o d e l c a p í t u l o d e s a r r o l l a r e m o s u n a

t é c n i c a q u e n o s p e r m i t i r á e v i t a r d i c h o c á l c u l o p r e v i o .

A l p o d e r a p l i c a r l a m i s m a t é c n i c a a l a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( o e c u a -

c i o n e s e n d i f e r e n c i a s ) y a l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , d e s a r r o l l a r e m o s l a s

h e r r a m i e n t a s e n e l c o n t e x t o d e e s t a s ú l t i m a s y v e r e m o s q u e d i c h a s h e r r a -

m i e n t a s s o n a p l i c a b l e s t a m b i é n a l c o n t e x t o d e l a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a .

E j e m p l o 6 . 1 . 2 L a d e t e r m i n a c i ó n d e u n a e x p r e s i ó n e x p l í c i t a d e l t é r m i n o g e -

n é r i c o f n d e l a b i e n c o n o c i d a s u c e s i ó n d e F i b o n a c c i , d e n i d a p o r l o s s i g u i e n -

t e s d a t o s i n i c i a l e s y e c u a c i ó n e n d i f e r e n c i a s : f 0 = 1

f 1 = 1

f n+1 = f n + f n−1 (n ≥ 2),

s e p u e d e r e s o l v e r , c o m o v e r e m o s , p o r m e d i o d e l a m i s m a t é c n i c a q u e s e e m p l e a

p a r a h a l l a r u n a f u n c i ó n c o m p l e j a f (x)

d e v a r i a b l e r e a l x

q u e s e a s o l u c i ó n d e l

p r o b l e m a d e n i d o p o r l o s s i g u i e n t e s d a t o s i n i c i a l e s y e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

o r d i n a r i a ( E D O ) l i n e a l c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e o r d e n 2 : f (0) = 1

f (1) = 1

f (x) = f (x) + f (x) (x ∈ R).



Á l g e b r a 2 4 1

6 . 2 A u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s

S e g ú n s a b e m o s , e l c o n j u n t o d e s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s F (N,C), o ,

l o q u e e s l o m i s m o , e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s d e N

e n C

, t i e n e e s t r u c t u r a

d e C−

e s p a c i o v e c t o r i a l . P o r c o n v e n i o d e n o t a c i ó n , a l a s u c e s i ó n

a : N −→ C

n a(n) = an

l a d e n o t a m o s p o r {an}n∈ N

.S i a h o r a c o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n S ( d e Shift, d e s p l a z a m i e n t o ) ,

S : F (N,C) −→ F (N,C)

{an}n∈ N S ({an}n∈ N ) = {an+1}n∈N

e s d e c i r ,

{an}n∈ N

S −→ S ({an}n∈ N

)

{a0,a1, a2,... {a1,a2, a3,...

r e s u l t a s e n c i l l o c o m p r o b a r ( v e r i f í q u e s e ) q u e d i c h a f u n c i ó n e s l i n e a l . P o r c o n -

v e n i o d e n o t a c i ó n e s c r i b i r e m o s an+1 = S (an),

d e m a n e r a q u e l a s u c e s i ó n

S ({an}n∈ N

) l a p o d r e m o s e x p r e s a r c o m o

S ({an}n∈N

) = {S (an)}n∈ N

= {S (a0), S (a1), S (a2),... = {a1,a2, a3,...

V e a m o s q u é r e l a c i ó n t i e n e e s t a f u n c i ó n c o n e l p r o b l e m a q u e n o s o c u p a .

S u p o n g a m o s q u e d a d o λ ∈ C, b u s c a m o s l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N

q u e ∀n ∈

Ns a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n

an+1 = λan.

U t i l i z a n d o l a n o t a c i ó n i n t r o d u c i d a , d i c h a e c u a c i ó n s e t r a n s f o r m a e n

S (an) = λan,

y , p u e s t o q u e d i c h a e x p r e s i ó n e s v á l i d a p a r a n ≥ 1, l a s u c e s i ó n {an}n∈ N

s a t i s f a c e d i c h a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a s i

S ({an}n∈N

) = {λan}n∈ N

= λ {an}n∈N

.

E n o t r a s p a l a b r a s , l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

an+1 = λan,



2 4 2 Á l g e b r a

s o n a q u e l l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N

q u e m e d i a n t e l a f u n c i ó n S s e t r a n s f o r m a n

e n v e c t o r e s p r o p o r c i o n a l e s a s í m i s m o s .

E n g e n e r a l s e i n t r o d u c e n l a s s i g u i e n t e s n o c i o n e s d e a u t o v e c t o r y a u t o v a l o r

d e u n a f u n c i ó n l i n e a l :

D e n i c i ó n 6 . 2 . 1 S i E

e s u n K− e.v. y f : E −→ E

e s u n a f u n c i ó n l i n e a l ,

s e d i c e q u e v ∈ E − {0}

e s u n a u t o v e c t o r

d e f s i ∃λ ∈ K

t a l q u e f (v) =λv.

D e n i c i ó n 6 . 2 . 2 S i E

e s u n K− e.v. y f : E −→ E

e s u n a f u n c i ó n l i n e a l ,

s e d i c e q u e λ ∈ Ke s u n

a u t o v a l o r d e f s i

∃v ∈ E − {0}t a l q u e f (v) =λv.

E n e s e c a s o s e d i c e v

e s u n a u t o v e c t o r a s o c i a d o

a l a u t o v a l o r λ.

E j e m p l o 6 . 2 . 3 L a s s u c e s i o n e s {an}n∈ N

q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e -

c u r r e n c i a

an+1 = 5an,

s o n l a s s u c e s i o n e s {an}n∈ N

q u e s o n a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n l i n e a l S a s o -

c i a d o s a l a u t o v a l o r 5. A s í p o r e j e m p l o , l a s u c e s i ó n {1, 5, 25,..., 5n,...} e s u n

a u t o v e c t o r d e S a s o c i a d o a l a u t o v a l o r 5, p u e s

S ({1, 5, 25,..., 5n,...}) = {5, 25,..., 5n+1,...} = 5 · {1, 5, 25,..., 5n,...}.

O b s é r v e s e q u e l a s u c e s i ó n {3, 15, 75,..., 3 · 5n,...} e s o t r o a u t o v e c t o r a s o c i a d o

a l a u t o v a l o r 5.

E j e m p l o 6 . 2 . 4 T e n i e n d o e n c u e n t a q u e , s e g ú n v i m o s , l a f u n c i ó n d e r i v a d a

D : C∞(R,R) −→ C∞(R,R)

e s u n a f u n c i ó n l i n e a l , l a s f u n c i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

D(f ) = −f,

s o n l o s a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n D a s o c i a d o s a l a u t o v a l o r −1.

A s í p o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n

f : R −→ R

x e−x

e s u n a u t o v e c t o r d e D

a s o c i a d o a l a u t o v a l o r

−1.

O b s é r v e s e q u e l a f u n c i ó n

3f : R −→ R

x 3e−x

e s o t r o a u t o v e c t o r d e D

a s o c i a d o a l a u t o v a l o r −1

y q u e e n g e n e r a l p a r a

c u a l q u i e r k ∈ Rl a f u n c i ó n k · f t a m b i é n l o e s .

Á l g e b r a 2 4 3

E j e r c i c i o 6 . 2 . 1 D e t e r m i n a r l o s a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n l i n e a l

f : R3 −→ R3

c o n s i s t e n t e e n g i r a r a c a d a v e c t o r d e R3 π r a d i a n e s e n t o r n o a l e j e z ( I n d i -

c a c i ó n : d e t e r m i n a r l a m a t r i z M B3B3

(f )).

E j e r c i c i o 6 . 2 . 2 R a z o n a r q u e l a f u n c i ó n l i n e a l

f : R2 −→ R2

c o n s i s t e n t e e n g i r a r a c a d a v e c t o r d e R2

u n á n g u l o d e

π2 r a d i a n e s e n t o r n o a l

p u n t o (0, 0) n o t i e n e a u t o v e c t o r e s .

6 . 3 F u n c i o n e s c o m p l e j a s d e v a r i a b l e r e a l

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a r e c o r d a r l a d e n i c i ó n d e f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e

r e a l y a e s t a b l e c e r a l g u n a s p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s p a r a e l d e s a r r o l l o d e l r e s t o

d e l c a p í t u l o .

D e n i c i ó n 6 . 3 . 1 S e a n a, b ∈ R ∪{−∞, ∞}

( r e c t a r e a l a m p l i a d a ) , c o n a <

b . L l a m a r e m o s f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l

a c u a l q u i e r f u n c i ó n

f : (a, b) −→ C. S i e n d o i l a u n i d a d i m a g i n a r i a ( i =√ −1) , s i

∀x ∈ (a, b),f (x) = u(x) + iv(x) d i r e m o s q u e u : (a, b) −→ R

e s l a p a r t e r e a l

d e l a

f u n c i ó n

f y q u e

v : (a, b) −→ Re s l a

p a r t e i m a g i n a r i a d e l a f u n c i ó n

f .

S e d i c e q u e l a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a , d i f e r e n c i a b l e , d o s v e c e s d i f e r e n c i a b l e ,

e t c . , e n u n p u n t o c ∈ (a, b)

s i l o s o n l a s f u n c i o n e s u

y v.

L a s d e r i v a d a s y l a

i n t e g r a l d e l a f u n c i ó n f s e d e n e n d e r i v a n d o e i n t e g r a n d o d e l a f o r m a h a b i t u a l

l a f u n c i ó n f, c o n s i d e r a n d o a l a u n i d a d i m a g i n a r i a i c o m o u n a c o n s t a n t e .

A s í , s i l a s f u n c i o n e s u, v s o n d e r i v a b l e s e n t o d o p u n t o x ∈ (a, b), d i r e m o s

q u e l a f u n c i ó n f e s d e r i v a b l e y a l a f u n c i ó n f : (a, b) −→ C, d e n i d a p o r l a

c o n d i c i ó n

∀x ∈ (a, b), f (x) = u(x) + iv(x),

d o n d e

∀x

∈(a, b), u(x) y v(x) s o n l a s d e r i v a d a s d e u y v e n e l p u n t o x

r e s p e c t i v a m e n t e , l a d e n o m i n a r e m o s f u n c i ó n d e r i v a d a d e f.E n g e n e r a l , s i u y v a d m i t e n d e r i v a d a s d e o r d e n k e n t o d o p u n t o x ∈ (a, b),

a l a f u n c i ó n f k : (a, b) −→ Cd e n i d a p o r l a c o n d i c i ó n

∀x ∈ (a, b), f k(x) = uk(x) + ivk(x)



2 4 4 Á l g e b r a

l a d e n o m i n a r e m o s f u n c i ó n d e r i v a d a d e o r d e n k d e f .

Y d e l m i s m o m o d o , s i l a s f u n c i o n e s

uy

vs o n i n t e g r a b l e s e n

[a, b], d i r e m o s

q u e f e s i n t e g r a b l e e n [a, b] y

b a

f (x)dx =

b a

u(x)dx + i

b a

v(x)dx.

P o r o t r a p a r t e , l o s r e s u l t a d o s g e n e r a l e s v á l i d o s p a r a l a s f u n c i o n e s r e a l e s

d e v a r i a b l e r e a l t a m b i é n s o n v á l i d o s a q u í . E n p a r t i c u l a r , s i e m p r e q u e t e n g a n

s e n t i d o l a s e x p r e s i o n e s d e l p r i m e r m i e m b r o d e l a s s i g u i e n t e s i g u a l d a d e s ( i . e . ,

e n l o s c a s o s a ) , b ) y c ) s i e m p r e q u e f y g s e a n d e r i v a b l e s ) , s e v e r i c a q u e :

a )

∀α, β

∈C

, y

∀f, g

∈ F ((a, b),C), (αf + βg) = αf + βg

b ) ∀ f, g ∈ F ((a, b),C) , (f · g) = f g + f gc )

∀ f, g ∈ F ((a, b),C), ∀t0 ∈ (a, b)

t a l q u e g(t0) = 0,

(f

g)(t0) =

f g − f g

g2(t0)

d ) ( ∀x ∈ (a, b) f (x) = 0) ⇒ f e s c o n s t a n t e

e ) ∀x ∈ (a, b), d

dx(

x a

f (t)dt) = f (x).

O b s e r v a c i ó n 6 0 E n l o s u c e s i v o , C k(a, b), k ≥ 1, d e n o t a r á a l c o n j u n t o d e

f u n c i o n e s c o m p l e j a s d e n i d a s s o b r e e l i n t e r v a l o

(a, b)y q u e a d m i t e n d e r i v a -

d a h a s t a e l o r d e n k, s i e n d o l a d e r i v a d a k - é s i m a c o n t i n u a . C (a, b)s e r á e l

c o n j u n t o d e f u n c i o n e s c o m p l e j a s c o n t i n u a s d e n i d a s s o b r e e l i n t e r v a l o (a, b).

6 . 3 . 1 L a e x p o n e n c i a l c o m p l e j a

S i d a d o x ∈ Rd e n i m o s

eix = (cos x + i · senx),

c u a l q u i e r n ú m e r o c o m p l e j o z ∈ C s e p u e d e r e p r e s e n t a r d e l a f o r m a

z =| z | · eiα,

s i e n d o α ∈ Ru n o c u a l q u i e r a d e s u s a r g u m e n t o s . E s t a r e p r e s e n t a c i ó n d e l

n ú m e r o c o m p l e j o z

e s d e n o m i n a d a f o r m a e x p o n e n c i a l d e l n ú m e r o c o m p l e j o

z .



Á l g e b r a 2 4 5

S i z = x + iy, s e d e n e

ez = ex(cos y + iseny).

U t i l i z a n d o e s t a e x p r e s i ó n s e d e n e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l f d e c o n s t a n t e

λ = α + βi ∈ Cy p a r á m e t r o

t ∈ Rd e l s i g u i e n t e m o d o :

f : R −→ C

t → eλt,

d o n d e

f (t) = eλt = e(α+iβ )t = eαt(cos βt + isenβt).

P r o p i e d a d e s d e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l c o m p l e j a

L a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l t i e n e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s ( a n á l o g a s a l a s q u e

s e v e r i c a n e n e l c a s o r e a l ) :

• ∀λ, µ ∈ C, e(λ+µ)t = eλt · eµt.

• ∀λ ∈ C, ddt

(eλt) = λeλt.

• ∀λ ∈ C− {0},b

a

eλtdt = (eλb−eλa)λ

.


1 . S i λ = α + iβ

y µ = δ + iε,


eλt · eµt = eαt(cos βt + isenβt) · eδt(cos εt + isenεt) =

= eαteδt((cos βt(cos εt) − senβt(senεt)) +

+ i(senβt(cos εt) + senεt(cos βt))) =

= eαt+δt(cos(β + ε)t + isen(β + ε)t = e(λ+µ)t.

2 . S i λ = α + iβ,

d

dt(eλt

) =

d

dt(eαt

(cos βt + isenβt)) =

d

dt(eαt

cos βt) + i

d

dt(eαt

senβt) == (αeαt cos βt − βeαtsenβt) + i(βeαt cos βt + αeαtsenβt) =

= eαt(α(cos βt + isenβt) + β (i cos βt − senβt)) =

= eαt(α + iβ )((cos βt + isenβt) = λeλt.



2 4 6 Á l g e b r a

3 . ∀λ ∈ C− {0},

b a

eλtdt =

b a

eαt(cos βt + isenβt)dt =

=

b a

eαt cos βtdt + i

b a

eαtsenβtdt =

=eαt(α cos βt + βsenβt)

α2 + β 2

b

a

+ ieαt(αsenβt − β cos βt)

α2 + β 2

b

a

=

= eαt(cos βt + isenβt)(α − iβ )α2 + β 2

ba

=

=1

α + iβ eαt(cos βt + isenβt) =

1

λeλt.

2

6 . 4 E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

6 . 4 . 1 L a e c u a c i ó n d e p r i m e r o r d e n

E n t e n d e r e m o s p o r e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a ( E D O ) l i n e a l c o n

c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e p r i m e r o r d e n c u a l q u i e r e x p r e s i ó n d e l a f o r m a

f − λf = g( I )

d o n d e g e s u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n t i n u a , λ ∈ C, f e s l a

v a r i a b l e d e l a e c u a c i ó n ( I ) q u e r e p r e s e n t a a u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e

r e a l c o n d e r i v a d a c o n t i n u a y f r e p r e s e n t a l a d e r i v a d a d e f .

P o r e j e m p l o l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n e s u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r -

d e n :

f + f = cos(x)

t a m b i é n s e p u e d e e s c r i b i r e s t a m i s m a e c u a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s m o d o s :

df

dx+ f = cos(x)



Á l g e b r a 2 4 7

D(f ) + f = cos(x)

E n t e n d e r e m o s p o r s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n a c u a l q u i e r f u n c i ó n c o m -

p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n d e r i v a d a c o n t i n u a q u e , r e e m p l a z a d a e n l u g a r d e l a

v a r i a b l e f, h a g a c i e r t a l a i g u a l d a d .

P o r e j e m p l o l a f u n c i ó n e−xe s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n f + f = 0.

V e a m o s c u a l e s s o n l o s a s p e c t o s e s e n c i a l e s q u e n o s v a n a p e r m i t i r r e s o l v e r

l a e c u a c i ó n ( I ) :

1 . E s e v i d e n t e q u e e l p r o b l e m a d e e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n

( I ) e q u i v a l e a e n c o n t r a r l a p r e i m a g e n d e g m e d i a n t e l a f u n c i ó n l i n e a l

D − λId : C

1

(a, b) → C (a, b)f ; f − λf

E n l o s u c e s i v o , p a r a n o s o b r e c a r g a r d e m a s i a d o l a n o t a c i ó n , e s c r i b i r e m o s

C ke n l u g a r d e

C k(a, b).

2 . L a e c u a c i ó n f − λf = 0, c o n o c i d a c o m o e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o -

c i a d a a l a e c u a c i ó n ( I ) , t i e n e s i e m p r e s o l u c i ó n y e l c o n j u n t o d e s u s

s o l u c i o n e s t i e n e e s t r u c t u r a d e s u b e s p a c i o v e c t o r i a l , p u e s t o q u e e l c o n -

j u n t o d e s o l u c i o n e s e s e l n ú c l e o d e l o p e r a d o r D − λId. E n p a r t i c u l a r l a

f u n c i ó n 0 e s s o l u c i ó n . A d e m á s

dim(Ker(D − λId)) = 1.

V e á m o s l o : e v i d e n t e m e n t e l a f u n c i ó n f (x) = eλxe s s o l u c i ó n d e l a e c u a -

c i ó n f − λf = 0.

V e a m o s q u e s i f

e s o t r a s o l u c i ó n d e d i c h a e c u a c i ó n ,

e n t o n c e s e x i s t e u n e s c a l a r k ∈ Ct a l q u e f (x) = keλx. P u e s t o q u e

∀x ∈ R, eλx = 0, t i e n e s e n t i d o c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n

f eλx

. S u f u n c i ó n

d e r i v a d a e s

f

eλx) =

f eλx − f λeλx

e2λx=

f − λf

eλx=

0

eλx= 0

, e s d e c i r ,

f

eλx= k ∈ C,

p o r l o q u e

∀x ∈ R, f (x) = keλx.



2 4 8 Á l g e b r a

3 . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e e l o p e r a d o r

ddx

− λId = D − λId e s l a s u m a d e

d o s f u n c i o n e s l i n e a l e s y q u e p o r t a n t o e s l i n e a l , s e p u e d e v e r i c a r q u e

s i s1 e s s o l u c i ó n d e f − λf = h1

y s2 e s s o l u c i ó n d e

f − λf = h2,e n t o n c e s

s1 + s2 e s s o l u c i ó n d e f − λf = h1 + h2.

E s t a p r o p i e d a d e s c o n o c i d a c o m o p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e

s o l u c i o n e s . C o m o c o n s e c u e n c i a d e e s t a p r o p i e d a d , y d e f o r m a a n á l o g a

a l o q u e s u c e d í a c o n l a s e c u a c i o n e s l i n e a l e s , l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a

e c u a c i ó n ( I ) s e o b t i e n e s u m a n d o a u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a

e c u a c i ó n t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a .

4 . L a f u n c i ó n l i n e a l D − λId : C 1 → C e s s o b r e y e c t i v a o , l o q u e e s

l o m i s m o , l a e c u a c i ó n f − λf = g t i e n e s o l u c i ó n c u a l q u i e r a q u e s e a

g ∈ C . P a r a c o m p r o b a r l o , v a m o s a v e r i c a r q u e l a f u n c i ó n

f (x) = eλx · x

0

g(t)

eλtdt

e s u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e d i c h a e c u a c i ó n :

s i f − λf = g, e n t o n c e s

(f

eλx) =

f eλx − fλeλx

e2λx=

f − λf

eλx=

g

eλx,

d e d o n d e

f (x) = eλx · x

0

g(t)

eλtdt.

5 . E l n ú c l e o d e e s t a f u n c i ó n l i n e a l e s d e d i m e n s i ó n 1 y e s t á g e n e r a d o p o r

e l v e c t o r f (x) = eλx. E s t e h e c h o h a c e q u e e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e

l a e c u a c i ó n s e a : f ∈ C 1(a, b)|∃α ∈ C

t a l q u e

∀x ∈ (a, b), f (x) = eλx · x

0

g(t)

eλtdt + αeλx

.



Á l g e b r a 2 4 9

E j e m p l o 6 . 4 . 1 S e q u i e r e n d e t e r m i n a r l a s s o l u c i o n e s d e l a E D O

f (x) + f (x) = cos(x) x ∈ R.

p a r a e s t a e c u a c i ó n , g(x) = cos(x) y λ = −1.L a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a

f (x) + f (x) = 0s o n

t o d a s d e l t i p o f (x) = ke−x, k ∈ R.U n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a e s :

f p(x) = eλx · x

0

g(t)

eλtdt = e−x ·

x

0

et cos(t)dt.

I n t e g r a n d o p o r p a r t e s d o s v e c e s , s e o b t i e n e q u e

x

0

et cos(t)dt =− sin(t)etx

0+ x

0

et sin(t)dt =

= − sin(x)ex +

cos(t)etx

0− x

0

et cos(t)dt =

= − sin(x)ex + cos(x)ex − 1 − x

0

et cos(t)dt.

E n t o n c e s

f p(x) = e−x − sin(x)ex + cos(x)ex − 1

2

y l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e n u e s t r a e c u a c i ó n e s

f (x) = e−x − sin(x)ex + cos(x)ex − 1

2+ ke−x =

=− sin(x) + cos(x) − e−x

2+ ke−x =

− sin(x) + cos(x)

2+ ke−x k ∈ C.

6 . 4 . 2 L a e c u a c i ó n d e o r d e n n

E n l a s e c c i ó n a n t e r i o r e s t u d i a m o s l a f o r m a g e n e r a l d e l a s s o l u c i o n e s d e l a

e c u a c i ó n d e p r i m e r o r d e n f

−λf = g . V i m o s q u e e s t e p r o b l e m a a d m i t e

u n a f o r m u l a c i ó n a l g e b r a i c a q u e p e r m i t e e s t a b l e c e r c i e r t a s a n a l o g í a s c o n l a

r e s o l u c i ó n d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . E n e s t a s e c c i ó n c o m p r o b a r e m o s q u e e s

p o s i b l e a s o c i a r a u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e l t i p o

f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h.



2 5 0 Á l g e b r a

u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e p r i m e r o r d e n , c u y a r e s o l u c i ó n n o s p e r m i t i r á

o b t e n e r l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n b u s c a d a .

C o m e n z a r e m o s p l a n t e a n d o d e u n m o d o p r e c i s o e l p r o b l e m a q u e q u e r e m o s

r e s o l v e r . E n t e n d e r e m o s p o r e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a ( E D O ) l i n e a l

c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e o r d e n n c u a l q u i e r e x p r e s i ó n d e l a

f o r m a

f (n)(x) + an−1f (n−1)(x) + · · · + a1f (x) + a0f (x) = h ( I I )

d o n d e h e s u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n t i n u a , an−1, · · · , a1, a0s o n n ú m e r o s c o m p l e j o s , f e s l a v a r i a b l e d e l a e c u a c i ó n ( I I ) q u e r e p r e s e n t a

a u n a f u n c i ó n c o m p l e j a d e v a r i a b l e r e a l c o n d e r i v a d a n - é s i m a c o n -

t i n u a y f (k)

r e p r e s e n t a l a k - é s i m a d e r i v a d a d e f

. P o r e j e m p l o l a s i g u i e n t e

e x p r e s i ó n e s u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n 2 :

f (2)(x) + f (1)(x) + f (x) = cos(x)( a q u í

a1 = 1y

a0 = 1)

t a m b i é n s e p u e d e e s c r i b i r e s t a m i s m a e c u a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s m o d o s :

f (x) + f (x) + f (x) = cos(x)d2f (x)

dx2+ df (x)

dx+ f (x) = cos(x)

D2

(f )(x) + D(f )(x) + f (x) = cos(x)

E n t e n d e r e m o s p o r s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n a c u a l q u i e r f u n c i ó n q u e

r e e m p l a z a d a e n l u g a r d e l a v a r i a b l e f h a g a c i e r t a l a i g u a l d a d . P o r e j e m p l o l a

f u n c i ó n sin(x)

e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n f (x) + f (x) + f (x) = cos(x)

.

N u e s t r o o b j e t i v o e s e n c o n t r a r e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e u n a E D O l i n e a l

c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d a d a .

T r a s e l p l a n t e a m i e n t o d e l p r o b l e m a , v a m o s a s e g u i r u n a e s t r a t e g i a q u e ,

a d e m á s d e p e r m i t i r n o s r e s o l v e r l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n n

f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h,

n o s d o t a r á d e h e r r a m i e n t a s p a r a r e s o l v e r l o q u e d e n o m i n a r e m o s s i s t e m a s d e

e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e p r i m e r o r d e n .



Á l g e b r a 2 5 1

6 . 4 . 3 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

N u e s t r o o b j e t i v o e s o b t e n e r u n m é t o d o s i s t e m á t i c o q u e n o s p e r m i t a r e s o l v e r

e l s i g u i e n t e t i p o d e p r o b l e m a : D e t e r m i n a r l a s f u n c i o n e s y1, y2, . . . , yn t a l e s

q u e p a r a c u a l q u i e r t ∈ Rs e v e r i c a q u e

y1(t) = a11y1(t) + a12y2(t) + · · · + a1nyn(t)y2(t) = a21y1(t) + a22y2(t) + · · · + a2nyn(t)

.

.

.

yn(t) = an1y1(t) + an2y2(t) + · · · + annyn(t)

( 6 . 1 )

N o r m a l m e n t e p a r a e x p r e s a r ( 6 . 1 ) u t i l i z a r e m o s l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l e x t e n d i -

d a :

∀t ∈ R ,

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 · · · ann

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

( 6 . 2 )

o l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l c o m p a c t a :

∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t)

E l s i s t e m a ( 6 . 2 ) s e c o n o c e c o m o s i s t e m a h o m o g é n e o d e n e c u a c i o n e s

d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s o r d i n a r i a s d e p r i m e r o r d e n , c o n c o e c i e n t e s

c o n s t a n t e s . L a s t é c n i c a s p a r a r e s o l v e r e s t e t i p o d e p r o b l e m a e s t á n e n c u a -

d r a d a s e s p e c í c a m e n t e d e n t r o d e l á l g e b r a l i n e a l . C o n s i s t e n b á s i c a m e n t e e n

r e a l i z a r u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e m o d o q u e l a r e s o l u c i ó n d e l a s e c u a c i o n e s

r e s u l t a n t e s s e a m á s s e n c i l l a . A d e m á s d i c h a t r a n s f o r m a c i ó n n o d e b e p e r d e r

i n f o r m a c i ó n , l o q u e s i g n i c a q u e d e b e s e r p o s i b l e d e s h a c e r l a t r a n s f o r m a c i ó n ,

o l o q u e e s i g u a l , d e b e s e r i n v e r t i b l e . P a r a i l u s t r a r e s t a i d e a j é m o n o s e n q u e

r e s o l v e r u n s i s t e m a d e t e r m i n a d o d e n e c u a c i o n e s l i n e a l e s c o n n i n c ó g n i t a s :

A

x1.

.

.

xn

=

b1.

.

.

bn

C o n s i s t e b á s i c a m e n t e e n m u l t i p l i c a r a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d p o r A−1

( e s t a

e s l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l ) d e m o d o q u e l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a r e s u l t a n t e

r e s u l t e s e r t r i v i a l o e v i d e n t e :



2 5 2 Á l g e b r a

Inx1

.

.

.

xn = A−

1b1

.

.

.

bn

P a r a a t a c a r n u e s t r o p r o b l e m a u t i l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s l i n e a l e s e l p r i -

m e r p u n t o q u e d e b e m o s t r a t a r e s e l s i g u i e n t e : ¾ C o m o m o d i c a n l a s t r a n s f o r -

m a c i o n e s l i n e a l e s a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ? A n t e s d e a b o r d a r

l a r e s p u e s t a a e s t a p r e g u n t a , e s c o n v e n i e n t e h a c e r l a s i g u i e n t e o b s e r v a c i ó n .

O b s e r v a c i ó n 6 1 U n a v e z d e s a r r o l l a d a u n a h e r r a m i e n t a q u e n o s p e r m i t a

r e s o l v e r s i s t e m a s d e p r i m e r o r d e n , p o d r e m o s t a m b i é n u t i l i z a r l a p a r a r e s o l v e r

l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n

n

f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h.

L a i d e a c o n s i s t e e n d e n i r , a p a r t i r d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r , l a s s i g u i e n t e s

f u n c i o n e s

y1(t) = f (t)y2(t) = f (t) = y1(t)

.

.

.

yn(t) = f (n−1)(t) = yn−1(t)

( 6 . 3 )

d e m a n e r a q u e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n a n t e r i o r , c o n s i s t e e n r e s o l v e r e l s i g u i e n t e

s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n e q u i v a l e n t e :

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

=

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

y1(t)y2(t)

.

.

.

.

.

.

yn(t)

+

00

.

.

.

0h(t)

.

E j e m p l o 6 . 4 . 2 P a r a h a l l a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n

f (x) + f (x) + f (x) = cos(x),

p o d e m o s d e n i r y1(x) = f (x)

y2(x) = f (x) = y1(x),



Á l g e b r a 2 5 3

y r e s o l v e r e l p r o b l e m a d e d e t e r m i n a r l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a

y1(x)y2(x)

=

0 1−1 −1

y1(x)y2(x)

+

0cos(x)

.

6 . 5 L a s e m e j a n z a d e m a t r i c e s y l o s s i s t e m a s d e

e c u a c i o n e s

C o n s i d e r e m o s e l s i s t e m a d e n e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t), ( 6 . 4 )

d o n d e A

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n. S i Q

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a

c u a l q u i e r s o l u c i ó n d e ( 6 . 4 ) t a m b i é n l o e s d e

∀t ∈ R , Q·−→y (t) = Q · A−→y (t). ( 6 . 5 )

S i a d e m á s Q

e s i n v e r t i b l e e l r e c í p r o c o e s c i e r t o , e s d e c i r , c u a l q u i e r s o l u c i ó n

d e ( 6 . 5 ) t a m b i é n l o e s d e ( 6 . 4 ) .

P o r t a n t o s i P e s u n a m a t r i z i n v e r t i b l e p o d e m o s e s c r i b i r ( 6 . 5 ) u s a n d o P −1,e s d e c i r :

∀t ∈ R , P−1·−→y (t) = P−1·A−→y (t).

A h o r a , s i s u p o n e m o s q u e

P−1= γ 11

· · ·γ 1n

.

.

.

.

.

.

γ n1 · · · γ nn

e −→y (t) = y1(t).

.

.

yn(t)

,




2 5 4 Á l g e b r a

P−1·−→y (t) = γ 11 · · · γ 1n

.

.

.

.

.

.

γ n1 · · · γ nn

y1(t).

.

.

yn(t)

=

=

ni=1

γ 1iyi(t)

.

.

.

n

i=1 γ niyi(t)

=

z1(t)

ni=1

γ 1iyi(t)

.

.

.

n

i=1

γ niyi(t) zn(t)

=

z 1(t)

.

.

.

z n(t)

.

L u e g o s i i n t r o d u c i m o s e l c a m b i o d e v a r i a b l e s

−→z (t) = P−1·−→y (t),

t e n d r e m o s q u e −→z (t) = P−1·−→y (t)

y e n c o n s e c u e n c i a e l s i s t e m a ( 6 . 4 ) e q u i v a l e a

∀t ∈ R ,−→z (t) = P−1·A−→y (t).

A h o r a , p a r a c o n s e g u i r q u e a p a r e z c a e l m i s m o t i p o d e v a r i a b l e a a m b o s l a d o s

d e l a i g u a l d a d , p o d e m o s h a c e r l a s s i g u i e n t e s t r a n s f o r m a c i o n e s :

−→z (t) = P−1·A−→y (t) = P−1·A · (P · P−1)−→y (t) =

= (P−1·A · P)(P−1·−→y (t)) = (P−1·A · P)−→z (t).

R e s u m i e n d o , h e m o s o b t e n i d o q u e s i P

e s u n a m a t r i z d e o r d e n n i n v e r t i b l e

l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s I e I I s o n e q u i v a l e n t e s :

I II

∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t) ⇐⇒ ∀t ∈ R ,

−→y (t) = P·−→z (t)−→z (t) = (P−1·A · P)−→z (t).



Á l g e b r a 2 5 5

O b s e r v a c i ó n 6 2 V e m o s q u e , s i e n d o P u n a m a t r i z i n v e r t i b l e , e l e f e c t o d e

s u s t i t u i r e n u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s −→y (t) = A−→y (t)l a m a t r i z

d e c o e c i e n t e s A p o r l a m a t r i z (P−1·A · P), e q u i v a l e a r e a l i z a r e l c a m b i o d e

v a r i a b l e l i n e a l

−→y (t) = P·−→z (t).A p l i c a r e m o s e s t e r e s u l t a d o d e l s i g u i e n t e m o d o : s u p u e s t o q u e n o s p l a n t e a n e l

p r o b l e m a I , b u s c a r e m o s u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P

d e m o d o q u e e l s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e l p r o b l e m a I I s e a m á s s e n c i l l o . E n t o n c e s , b a s t a r á

m u l t i p l i c a r p o r P

l a s o l u c i ó n

−→z (t) d e d i c h o s i s t e m a , p a r a o b t e n e r l a s o l u c i ó n

d e l p r o b l e m a I .

O b s e r v a c i ó n 6 3 V i m o s q u e d o s m a t r i c e s c u a d r a d a s A

y B

s o n s e m e j a n t e s

s i e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P, q u e l l a m a m o s

m a t r i z d e p a s o , t a l q u e

P−1·A · P = B.

A c o n t i n u a c i ó n v a m o s a d i s c u t i r q u é t i p o s d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i -

f e r e n c i a l e s v a m o s a p o d e r r e s o l v e r d i r e c t a m e n t e .

6 . 5 . 1 S i s t e m a s d i a g o n a l e s

C o m e n z a r e m o s c o n l o s s i s t e m a s c u y a m a t r i z d e c o e c i e n t e s e s d i a g o n a l :

∀t ∈ R ,

y1(t)

y2(t).

.

.

yn(t)

=

λ1 0

· · ·0

0 λ2 · · · 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 · · · λn

y1(t)

y2(t).

.

.

yn(t)

.

D e s d e l u e g o , c o m o e s t e s i s t e m a e q u i v a l e a

y1(t) = λ1y1(t)y2(t) = λ2y2(t)

.

.

.

.

.

.

yn(t) = λnyn(t)

,

s a b e m o s r e s o l v e r l o y s u s s o l u c i o n e s s o n

y1(t) = α1eλ1·t, y2(t) = α2eλ2·t, . . . , yn(t) = αneλn·t.

S i q u e r e m o s e x p r e s a r l a s m a t r i c i a l m e n t e e s c r i b i r e m o s :



2 5 6 Á l g e b r a

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

= α1eλ1·t

0.

.

.

0

+ α20

eλ2·t.

.

.

0

+ · · · + αn00

.

.

.

eλn·t .

E j e m p l o 6 . 5 . 1 S i A =

0 0 00 2 00 0 1

, e n t o n c e s λ1 = 0, λ2 = 2 y λ3 = 1.

S e s i g u e q u e l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s q u e t i e n e A c o m o m a t r i z

a s o c i a d a s o n

y1 = c1, y2 = c2e2t

, y3 = c3et

.

¾ S a b i e n d o r e s o l v e r s i s t e m a s d i a g o n a l e s , p o d e m o s r e s o l v e r c u a l q u i e r o t r o

s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s d e p r i m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n -

t e s ? P a r a p o d e r r e s p o n d e r a r m a t i v a m e n t e a e s t a p r e g u n t a t e n d r í a m o s q u e

s e r c a p a c e s d e t r a n s f o r m a r p o r s e m e j a n z a c u a l q u i e r m a t r i z e n o t r a q u e s e a

d i a g o n a l . A u n q u e m á s a d e l a n t e v e r e m o s q u e e n g e n e r a l e s t o n o e s p o -

s i b l e , e l e s t u d i o d e e s t e p r o b l e m a n o s d a r á u n a s c l a v e s f u n d a m e n t a l e s p a r a

r e s o l v e r l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s .

P u e s t o q u e n o t o d a m a t r i z e s d i a g o n a l i z a b l e , n e c e s i t a m o s b u s c a r o t r o

t i p o d e m a t r i c e s q u e n o s p e r m i t a n s i m p l i c a r l a r e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e

e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s .

6 . 5 . 2 S i s t e m a s t r i a n g u l a r e s

C o n s i d e r e m o s a h o r a l o s s i s t e m a s h o m o g é n e o s c u y a m a t r i z d e c o e c i e n t e s e s

t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e :

∀t ∈ R ,

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

=

λ1 0 · · · 0a21 λ2 · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 · · · λn

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

.



Á l g e b r a 2 5 7

E s t e c a s o e q u i v a l e a :

y1(t) − λ1y1(t) = 0y2(t) − λ2y2(t) = a21y1(t)

.

.

.

yn(t) − λnyn(t) =n−1i=1

a1iyi(t)

.

A u n q u e l a b o r i o s o , e s f á c i l r e s o l v e r e s t e t i p o d e e c u a c i o n e s :

1 . R e s o l v e m o s l a e c u a c i ó n

y1

(t)−

λ1y1(t) = 0

y o b t e n e m o s q u e

y1(t) = α1eλ1·t.

2 . A c o n t i n u a c i ó n , c o m o y a c o n o c e m o s y1,

r e s o l v e m o s l a s e g u n d a e c u a c i ó n

y2(t) − λ2y2(t) = a21α1eλ1·t

y o b t e n e m o s q u e

y2(t) = α2eλ2·t + α1eλ2·t · t

0

a21e(λ1−λ2)·xdx.

3 . C o m o y a c o n o c e m o s y1 e y3, p o d e m o s r e s o l v e r l a t e r c e r a e c u a c i ó n y

a s í s u c e s i v a m e n t e h a s t a l a ú l t i m a .

V e a m o s u n e j e m p l o .

E j e m p l o 6 . 5 . 2 E n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a : y1(t)y2(t)y3(t)

=

0 0 01 1 0

−1 3 1

y1(t)y2(t)y3(t)

.

E n p r i m e r l u g a r , d i c h o s i s t e m a e q u i v a l e a y1(t) − 0 · y1(t) = 0,y2(t) − 1 · y2(t) = y1(t),y3(t) − 1 · y3(t) = −y1(t) + 3y2(t).



2 5 8 Á l g e b r a

1 . L a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n e s

y1(t) = α1e0·t = α1.

2 . L a s e g u n d a e c u a c i ó n s e t r a s f o r m a e n

y2(t) − y2(t) = α1

y s u s o l u c i ó n g e n e r a l e s

y2(t) = β 2et + et

t

0

α1e−1xdx = (β 2 + α1)et − α1.

C o m o β 2 e s a r b i t r a r i o , p o d e m o s l l a m a r α2 a (β 2 + α1) y e s c r i b i r

y2(t) = α2et

− α1.3 . P o r ú l t i m o , c o m o y a c o n o c e m o s y1 e y2, l a t e r c e r a e c u a c i ó n s e t r a n s -

f o r m a e n

y3(t) − y3(t) = −α1 + 3

α2et − α1

= 3α2et − 4α1,

y s u s o l u c i ó n g e n e r a l v i e n e d a d a p o r

1 .

y3(t) = β 3et + et

t

0 3α2e(1−1)x − 4α1e−1x

dx =

= (β 3 − 4α1) et

+ 4α1 + 3α2tet

.D e n u e v o , s i l l a m a m o s α3 a (β 3 − 4α1), t e n d r e m o s

y3(t) = α3et + 3α2tet + 4α1.

L u e g o , a l e x p r e s a r l a s s o l u c i o n e s v e c t o r i a l m e n t e , o b t e n e m o s y1(t)y2(t)y3(t)

= α1

1−14

+ α2

0et

3tet

+ α3

00et

.

D e c a r a a l a r e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s , ¾ e s s u c i e n t e m e n t e

g r a n d e e l c o n j u n t o d e m a t r i c e s t r i a n g u l a r e s ? , d i c h o d e o t r o m o d o , ¾ c u a l q u i e r

m a t r i z c u a d r a d a e s s e m e j a n t e a a l g u n a t r i a n g u l a r ? P a r a c o n t e s t a r a e s t a

p r e g u n t a n e c e s i t a m o s e s t u d i a r l o s a u t o v a l o r e s y a u t o v e c t o r e s d e l a m a t r i z

d e l s i s t e m a .



Á l g e b r a 2 5 9

6 . 6 D i a g o n a l i z a c i ó n y t r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i -

c e s

6 . 6 . 1 E l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e u n a m a t r i z

O b s e r v a c i ó n 6 4 S i n o s j a m o s e n l a s c o l u m n a s d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r

T =

λ1 0 · · · 0a21 λ2 · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 · · · λn

v e m o s q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i t o d o s l o s c o e c i e n t e s

d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l s o n d i s t i n t o s d e c e r o ; u n a m a n e r a d i r e c t a d e v e r i c a r

e s t a a r m a c i ó n e s o b s e r v a r q u e

det(T) = |T| = λ1λ2 · · · λn.

E n c o n s e c u e n c i a l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z

T − xIn =

λ1 − x 0 · · · 0a21 λ2 − x · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 · · · λn − x

s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i x c o i n c i d e c o n a l g ú n e l e m e n t o d e l a

d i a g o n a l p r i n c i p a l . T a m b i é n p o d e m o s e x p r e s a r e s t a p r o p i e d a d d i c i e n d o q u e

e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z T − xIn s e h a c e c e r o s i y s ó l o s i x c o i n c i d e c o n

a l g ú n e l e m e n t o d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l . S i a h o r a d e s a r r o l l a m o s |T − xIn|

λ1 − x 0 · · · 0a21 λ2 − x · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2

· · ·λn

−x

= (λ1 − x) (λ2 − x) · · · (λn − x) ,

v e m o s q u e l o d i c h o h a s t a e l m o m e n t o e s t r i v i a l , y a q u e o b t e n e m o s u n p o l i -

n o m i o d e g r a d o n c u y a s r a í c e s s o n p r e c i s a m e n t e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l

p r i n c i p a l d e T.

¾ D ó n d e r e s i d e e l i n t e r é s d e e s t a o b s e r v a c i ó n ? F u n d a m e n t a l -

m e n t e e n q u e e s t e d e t e r m i n a n t e e s i n v a r i a n t e b a j o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s



2 6 0 Á l g e b r a

p o r s e m e j a n z a : s u p o n g a m o s q u e l a s m a t r i c e s A

y T

s o n s e m e j a n t e s , e s

d e c i r , T

=P−1AP

e n t o n c e s t e n e m o s

|T − xIn| =P−1AP − xIn

=P−1AP − xP−1P

=

=P−1 (A − xIn) P

=P−1 |A − xIn| |P| =

=

p u e s t o q u e

P−1 = |P|−1 =

= |A − xIn| .

E s t o s i g n i c a q u e e l p o l i n o m i o , c u y a s r a í c e s c o i n c i d e n c o n l o s e l e m e n t o s d e

l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T, p u e d e s e r o b t e n i d o d i r e c t a m e n t e a p a r t i r d e

A.

E j e m p l o 6 . 6 . 1 D e t e r m i n a r q u é e l e m e n t o s p u e d e n a p a r e c e r e n l a d i a g o n a l

p r i n c i p a l d e u n a m a t r i z t r i a n g u l a r

Ts e m e j a n t e a l a s i g u i e n t e m a t r i z

A =

4 −23 −1

.

C a l c u l e m o s |T − xIn| = |A − xIn| : 4 − x −2

3 −1 − x

= (4 − x) (−1 − x) + 6 = 2 − 3x + x2;

l u e g o , |T − xIn| = 2 − 3x + x2. L o s e l e m e n t o s q u e p u e d e n a p a r e c e r e n l a

d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T

s o n l a s r a í c e s d e 2 − 3x + x

x2 − 3x = 2 = 0 ⇒ x =3 ± √ 9 − 8

2= 2

1;

e n c o n s e c u e n c i a ,

|T − xIn| = 2 − 3x + x2 = (2 − x) (1 − x)

y e n l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T

n e c e s a r i a m e n t e a p a r e c e n l o s v a l o r e s 2 y 1.

D e n i c i ó n 6 . 6 . 2 D a d a u n a m a t r i z c u a d r a d a A

d e o r d e n n, s e d e n o m i n a

p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e

Aa l p o l i n o m i o

p(x) = |A − xIn| .

D a d a u n a m a t r i z c u a d r a d a A

d e o r d e n n,

d i r e m o s q u e u n a m a t r i z c o l u m n a

Xd e n l a s e s u n v e c t o r p r o p i o d e

A( o u n a u t o v e c t o r d e

A) s i :



Á l g e b r a 2 6 1

1 . X = 0.

2 . E x i s t e u n e s c a l a r λ t a l q u e AX = λX.

A s i m i s m o , d i r e m o s q u e u n e s c a l a r λ e s u n v a l o r p r o p i o d e A

( o u n a u t o -

v a l o r d e A

) s i e x i s t e u n v e c t o r p r o p i o X

d e A

t a l q u e AX = λX. E n t a l c a s o

d i r e m o s q u e λ e s e l v a l o r p r o p i o a s o c i a d o a l v e c t o r p r o p i o X, o t a m b i é n q u e

Xe s u n v e c t o r p r o p i o a s o c i a d o a l v a l o r p r o p i o λ.

P r o p i e d a d e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o

•S i

Ay

Bs o n s e m e j a n t e s , s u s p o l i n o m i o s c a r a c t e r í s t i c o s c o i n c i d e n .

• U s a n d o l a f ó r m u l a d e L a p l a c e p a r a e l c á l c u l o d e d e t e r m i n a n t e s , p o -

d e m o s v e r i c a r q u e e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o e s d e g r a d o n ( s i , p o r

e j e m p l o , c a l c u l a m o s e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z A − xIn a p a r t i r d e

l a p r i m e r a l a , r e s u l t a q u e e l p r i m e r t é r m i n o d e l a s u m a r e s u l t a n t e e s

e l u n ú n i c o q u e c o n t i e n e u n a p o t e n c i a n- é s i m a d e x,) y , p o r e l t e o r e m a

f u n d a m e n t a l d e l á l g e b r a , t i e n e n

r a í c e s c o m p l e j a s .

•C o m o a c a b a m o s d e v e r , s i T e s u n a m a t r i z t r i a n g u l a r s e m e j a n t e a l a

m a t r i z o b j e t o d e e s t u d i o A, l o s e l e m e n t o s d e s u d i a g o n a l p r i n c i p a l s o n

l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e A ( q u e p o r o t r a p a r t e e s

e l m i s m o q u e e l d e T ) . A s í , a u n q u e t o d o s l o s c o e c i e n t e s d e l a m a t r i z

As e a n n ú m e r o s r e a l e s , l o s c o e c i e n t e s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e

T p u e d e n s e r n ú m e r o s i m a g i n a r i o s . P o r e j e m p l o , l a m a t r i z

A =

0 −11 0

t i e n e c o m o p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o

|A − xIn| =

−x −11 −x

= x2 + 1,

c o n l o q u e e n l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e T n e c e s a r i a m e n t e a p a r e c e n l o s

v a l o r e s i y −i.

• λe s u n a r a í z d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e u n a m a t r i z c u a d r a d a

As i

y s ó l o s i |A − λIn| = p(λ) = 0. L a ú l t i m a c o n d i c i ó n e s e q u i v a l e n t e a q u e



2 6 2 Á l g e b r a

e l r a n g o d e l a m a t r i z A−λIn s e a e s t r i c t a m e n t e m e n o r q u e n y , e n t o n c e s ,

a q u e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o

(A

− λI

n)X = (0)s e a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o , e s d e c i r , a q u e e x i s t a X = (0) t a l q u e

AX = λX.S e d e d u c e q u e

λ e s u n a r a í z d e p ( x ) ⇔ (e x i s t e X = (0) t a l q u e

AX = λX ) ⇔

⇔

λe s u n a u t o v a l o r d e

Ay

X e s u n a u t o v e c t o r d e A.

D e n i c i ó n 6 . 6 . 3 S i λ e s u n a u t o v a l o r d e u n a m a t r i z c u a d r a d a A, a l e s p a c i o

Ker(A − λIn) d e l a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o

(A−λIn)X = (0) s e l e d e n o m i n a a u t o e s p a c i o a s o c i a d o a λ y s u d i m e n s i ó n

e s l a m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d e λ.

A l a m u l t i p l i c i d a d d e λ c o m o r a í z d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e l a m a t r i z

As e l e d e n o m i n a

m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a d e λ.

P r o p o s i c i ó n 6 . 6 . 4 S e a n A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n y X 1,...,X m,m ∈ {1,...,n}, v e c t o r e s p r o p i o s d e A a s o c i a d o s , r e s p e c t i v a m e n t e , a m v a l o r e s

p r o p i o s λ1,...,λm. E n e s t a s c o n d i c i o n e s , s i ∀i, j ∈ {1,...,m} λi = λ j , s e

v e r i c a q u e l o s v e c t o r e s X 1,...,X m s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

D e m o s t r a c i ó n P o r i n d u c c i ó n s o b r e m:

1 . B a s e d e i n d u c c i ó n : p a r a m = 1

n o h a y n a d a q u e d e m o s t r a r .

2 . P a s o d e i n d u c c i ó n : S e a m > 1 y s u p o n g a m o s q u e l a p r o p i e d a d e s

c i e r t a p a r a c u a l q u i e r s i s t e m a d e m − 1 v e c t o r e s p r o p i o s . S u p o n g a m o s

a d e m á s q u e

mi=1

αiX i = 0. (1)

M u l t i p l i c a n d o a a m b o s m i e m b r o s d e l a i g u a l d a d (1) p o r λ1 o b t e -

n e m o s q u e

mi=1

(λ1αi)X i = 0 (2).



Á l g e b r a 2 6 3

P e r o , p o r u n a p a r t e , A · (m

i=1

αiX i) = A · 0 = 0 y , p o r o t r a , A · (m

i=1

αiX i) =

mi=1

(λiαi)X i, p u e s t o q u e s i A · X = λX, e n t o n c e s A · (αX ) = α(A · X ) =

α(λX ) = (λα)X. E n c o n s e c u e n c i a :

mi=1

(λiαi)X i = 0 (3)

R e s t a n d o (2) a (3) o b t e n e m o s q u e

mi=2

αi(λi −λ1)X i = 0, c o n l o q u e , p o r h i p ó -

t e s i s d e i n d u c c i ó n , ∀i ∈ {2,...,m}, αi(λi − λ1) = 0, d e d o n d e

∀i ∈ {2,...,m},αi = 0, c o n l o q u e l a i g u a l d a d (1) q u e d a α1X 1 = 0 y e n c o n s e c u e n c i a α1 = 0.

2

6 . 6 . 2 M a t r i c e s d i a g o n a l i z a b l e s

D e n i c i ó n 6 . 6 . 5 D i r e m o s q u e u n a m a t r i z c u a d r a d a A

d e o r d e n n e s d i a -

g o n a l i z a b l e , s i e x i s t e u n a m a t r i z d e p a s o i n v e r t i b l e P

d e o r d e n n t a l q u e l a

m a t r i z

D = P−1AP

e s d i a g o n a l .

L o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s s o n o b v i a m e n t e a p l i c a b l e s a a q u e l l a s m a t r i c e s

t r i a n g u l a r e s q u e e n p a r t i c u l a r s e a n d i a g o n a l e s . E n o t r a s p a l a b r a s , s i A e s u n a

m a t r i z d i a g o n a l i z a b l e y D

e s u n a m a t r i z d i a g o n a l s e m e j a n t e a A,

l o s e l e m e n -

t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e D s o n l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o

d e A ( i . e . , l o s v a l o r e s p r o p i o s d e A) .

E n e l c a s o d e q u e s e a D = P−1AP

s e a d i a g o n a l , ¾ p o d e m o s s a b e r a l g o

a c e r c a d e l a m a t r i z P

? V a m o s a v e r q u e s í . S u p o n g a m o s q u e

D =λ1 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 λn

e s l a m a t r i z P−1AP.

E n t o n c e s m u l t i p l i c a n d o a l a i z q u i e r d a d e a m b a s p o r l a

m a t r i z P




2 6 4 Á l g e b r a

AP = PD.

P o r t a n t o l a j - é s i m a c o l u m n a d e AP

c o i n c i d e c o n l a j - é s i m a c o l u m n a d e PD.

A h o r a b i e n , s i

P =

p11 · · · p1n

.

.

.

.

.

.

pn1 · · · pnn

,

t e n d r e m o s q u e l a s j - é s i m a s c o l u m n a d e AP

y PD

s o n r e s p e c t i v a m e n t e

A p1 j

.

.

.

pnj

y

p11 · · · p1n.

.

.

.

.

.

pn1 · · · pnn

0

.

.

.

λ j

.

.

.

0

= λ j

p1 j.

.

.

pnj

y e n c o n s e c u e n c i a o b t e n e m o s q u e :

∀ j ∈ {1, . . . , n} , A

p1 j.

.

.

pnj

= λ j

p1 j.

.

.

pnj

( 6 . 6 )

E n t o n c e s s i D = P−1AP

e s d i a g o n a l n e c e s a r i a m e n t e l a s c o l u m n a s d e

Ps o n v e c t o r e s p r o p i o s d e

Ay l o s c o e c i e n t e s λ1,...,λn s o n l o s v a l o r e s

p r o p i o s d e A.

P o d e m o s c o m p l e t a r e s t a o b s e r v a c i ó n c o n l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d :

P r o p o s i c i ó n 6 . 6 . 6 U n a m a t r i z c u a d r a d a A ∈ Mn(K) e s d i a g o n a l i z a b l e s i

s ó l o s i e x i s t e u n a b a s e e n e l e s p a c i o Mn×1(K) d e m a t r i c e s c o l u m n a s d e n l a s

f o r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e A

.

D e m o s t r a c i ó n S i A

e s d i a g o n a l i z a b l e e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P

( d e

o r d e n

n) t a l q u e

P−1

APe s d i a g o n a l . P o r t a n t o t e n d r e m o s q u e l a s

nc o l u m -

n a s d e P

s o n v e c t o r e s p r o p i o s d e A

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ( p o r s e r P

i n v e r t i b l e ) y e n c o n s e c u e n c i a c o n s t i t u y e n u n a b a s e e n e l e s p a c i o d e m a t r i c e s

c o l u m n a s d e n

l a s f o r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e A.

R e c í p r o c a m e n t e s u p o n g a m o s q u e



Á l g e b r a 2 6 5

p11

.

.

.

pn1 , . . . ,

p1n

.

.

.

pnn

e s u n a b a s e d e l e s p a c i o d e m a t r i c e s c o l u m n a s d e n l a s f o r m a d a p o r v e c t o -

r e s p r o p i o s d e A.

E n t o n c e s t e n d r e m o s q u e p o r u n l a d o , a l c o n s t i t u i r e s t a s

m a t r i c e s c o l u m n a u n a b a s e , l a m a t r i z

P =

p11 · · · p1n

.

.

.

.

.

.

pn1 pnn

e s i n v e r t i b l e . P o r o t r o , a l s e r v e c t o r e s p r o p i o s d e A, e x i s t e n n e s c a l a r e s

λ1, . . . , λn ( n o n e c e s a r i a m e n t e d i s t i n t o s ) t a l e s q u e :

∀ j ∈ {1, . . . , n} , A

p1 j.

.

.

pnj

= λ j

p1 j.

.

.

pnj

P e r o e n t o n c e s t e n d r e m o s q u e :

A p11 · · · p1n

.

.

.

.

.

.

pn1 pnn = p11 · · · p1n

.

.

.

.

.

.

pn1 pnn λ1 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 λn y e n c o n s e c u e n c i a , m u l t i p l i c a n d o p o r l a i z q u i e r d a

P−1o b t e n e m o s :

P−1AP =

λ1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 λn

2

T r a s e l r e s u l t a d o a n t e r i o r , e l p r o b l e m a d e d i a g o n a l i z a c i ó n q u e d a r e d u c i d o

a l p r o b l e m a d e s a b e r e n c o n t r a r l o s v e c t o r e s p r o p i o s , s i e m p r e y c u a n d o é s t o

s e a p o s i b l e , l o c u a l , s e g ú n v e r e m o s , n o s u c e d e s i e m p r e .

T e n i e n d o e n c u e n t a q u e p o r e l t e o r e m a 6 . 6 . 6 u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n

,

A, e s d i a g o n a l i z a b l e s i y s o l o s i e x i s t e n n v e c t o r e s p r o p i o s d e A l i n e a l m e n t e



2 6 6 Á l g e b r a

i n d e p e n d i e n t e s . S i u n v a l o r p r o p i o λ d e A t i e n e m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a

m(λ) > 1( c o m o r a í z d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e

A) , d e l a o b s e r v a c i ó n

6 4 s e s i g u e q u e e n l a m a t r i z d e p a s o P d e b e r á n a p a r e c e r m(λ) c o l u m n a s q u e

s e a n v e c t o r e s p r o p i o s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s a s o c i a d o s a l v a l o r p r o p i o λ.

E n r e s u m e n : A e s d i a g o n a l i z a b l e s i y s ó l o s i p a r a t o d o a u t o v a l o r λ d e As e v e r i c a q u e

dim(Ker(A − λI n)) = m(λ),

e s d e c i r , s i l a m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d e λ

e s i g u a l a s u m u l t i p l i c i d a d a l g e -

b r a i c a .

V e a m o s c o n e l s i g u i e n t e e j e m p l o q u e n o t o d a m a t r i z c u a d r a d a e s d i a g o -

n a l i z a b l e :

E j e m p l o 6 . 6 . 7 S e a A =

3 4

−1 −1

. S u p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o e s

|A − xI2| =

3 − x 4−1 −1 − x

= x2 − 2x + 1,

d e d o n d e

x2

−2x + 1 = 0

⇒x =

1

1

, p o r l o q u e , s i A

f u e s e d i a g o n a l i z a b l e

y P−1AP

f u e s e u n a m a t r i z d i a g o n a l , n e c e s a r i a m e n t e P−1AP =

1 00 1

,

s i e n d o l o s d o s v e c t o r e s c o l u m n a d e P

v e c t o r e s p r o p i o s a s o c i a d o s a l v a l o r

p r o p i o 1 y l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . S i n e m b a r g o

dim(Ker(A − 1I 2) = 2 − rg(A − 1I2) = 2 − rg(

2 4

−1 −2

) = 1

c o n l o q u e n o e x i s t e n d o s v e c t o r e s p r o p i o s d e A

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s

a s o c i a d o s a l v a l o r p r o p i o 1.

P o t e n c i a s d e m a t r i c e s d i a g o n a l i z a b l e s

E l e s t u d i o t e ó r i c o r e a l i z a d o t a m b i é n n o s p r o v e e d e u n a h e r r a m i e n t a p a r a

c a l c u l a r l a p o t e n c i a n−é s i m a d e u n a m a t r i z d i a g o n a l i z a b l e .



Á l g e b r a 2 6 7

S i u n a m a t r i z c u a d r a d a A

e s d i a g o n a l i z a b l e y q u e r e m o s c a l c u l a r s u p o -

t e n c i a

n−é s i m a , t e n d r e m o s q u e p11 · · · p1n

.

.

.

.

.

.

pn1 · · · pnn

−1 a11 · · · a1n

.

.

.

.

.

.

an1 · · · ann

p11 · · · p1n

.

.

.

.

.

.

pn1 · · · pnn

=

=

λ1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 λn

o , l o q u e e s l o m i s m o , q u e

P−1AP = D.

R e s u l t a q u e

A = PDP−1,

c o n l o q u e

An=

PDP−1n=

PDP−1 PDP−1 PDP−1 ...

PDP−1 = P · Dn·P−1.

V e a m o s u n e j e m p l o :

E j e m p l o 6 . 6 . 8 H a l l a r 1 14 −2

1000

.

C o m o , s e g ú n h e m o s v i s t o e n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , 1 11 −4

−1·

1 14 −2

·

1 11 −4

=

2 00 −3

,

r e s u l t a q u e 1 14 −2

=

1 11 −4

·

2 00 −3

·

1 11 −4

−1,

c o n l o q u e

1 14

−2

1000

= 1 11

−4 ·

2 00

−3

1000

· 1 11

−4

−1=

= 1 1

1 −4

· 21000 0

0 (−3)1000

· 4

515

15

−15

=

=

45

21000 + 15

(−3)1000 15

21000 − 15

(−3)10004521000 − 4

5(−3)1000 1521000 + 4

5(−3)1000

.



2 6 8 Á l g e b r a

N ó t e s e q u e , o b v i a m e n t e

1 14 −2

n

= 4

52n + 1

5(−3)n 1

52n − 1

5(−3)n

452n − 4

5(−3)n 152n + 4

5(−3)n

.

6 . 6 . 3 T r i a n g u l a c i ó n d e m a t r i c e s

V o l v e m o s a l a p r e g u n t a f u n d a m e n t a l q u e n o s d e v u e l v e a l h i l o c o n d u c t o r d e l

d e s a r r o l l o d e l c a p í t u l o : ¾ E s c u a l q u i e r m a t r i z c u a d r a d a A ∈ M n(C) s e m e j a n t e

a a l g u n a t r i a n g u l a r ?

V a m o s a v e r q u e s í . A d e m á s , l a d e m o s t r a c i ó n d e l s i g u i e n t e t e o r e m a c o n s t i -

t u y e u n a l g o r i t m o q u e p e r m i t e l a o b t e n c i ó n d e l a m a t r i z t r i a n g u l a r s e m e j a n t e

a u n a m a t r i z d a d a A ∈ M n(C) .

T e o r e m a 6 . 6 . 9 S i A

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n c o n c o e c i e n t e s

c o m p l e j o s , e x i s t e u n a m a t r i z s e m e j a n t e a e l l a , T, q u e e s t r i a n g u l a r i n f e r i o r -

m e n t e .

D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n c o n s i s t e e n p r o b a r q u e s e p u e d e c o n s t r u i r

u n a c a d e n a d e m a t r i c e s

A = T0 → T1 → · · · → Tn = T,

c a d a u n a s e m e j a n t e a l a a n t e r i o r ( y e n c o n s e c u e n c i a t o d a s e l l a s s o n s e m e j a n t e s

e n t r e s í ) y d e t a l m o d o q u e T

e s t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e .

P r o c e d e m o s p o r i n d u c c i ó n s o b r e l a d i m e n s i ó n n d e l a m a t r i z A.

B a s e d e i n d u c c i ó n : s i n = 1

n o h a y n a d a q u e d e m o s t r a r .

P a s o d e i n d u c c i ó n : s e a n ≥ 2 y s u p o n g a m o s q u e t o d a m a t r i z c u a d r a d a

d e d i m e n s i ó n n − 1 e s t r i a n g u l a b l e .

S e a a h o r a A

u n m a t r i z d e d i m e n s i ó n n.

P u e s t o q u e t r a b a j a m o s c o n c o e c i e n t e s c o m p l e j o s , e l p o l i n o m i o c a r a c t e -

r í s t i c o d e A pA(x) = |A − xI|

t i e n e a l m e n o s u n a r a í z , a l a q u e p o r c o n v e n i e n c i a d e n o t a r e m o s c o n λ1.

L l a -

m a m o s v1 a u n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a λ1. S i e l e g i m o s u n a b a s e d e Cn

c u y o



Á l g e b r a 2 6 9

ú l t i m o v e c t o r s e a v1, l a m a t r i z A

r e s u l t a r á s e r s e m e j a n t e a u n a m a t r i z Ad e

l a f o r m a :

A =

00

An−1.

.

.

0an1 an2 · · · an(n−1) λ1

.

E n t o n c e s

pA(x) = pA(x) = (λ1 − x) |An−1 − xIn−1|y e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e

An

−1 t i e n e n

−1 r a í c e s ( l o s r e s t a n t e a u t o v a -

l o r e s d e A) .

P o r l a h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n , e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e d e p a s o P n−1y u n a m a t r i z t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e T n−1 t a l e s q u e

T n−1 = P −1n−1An−1P n−1.

S i d e n i m o s

P =

00

P n−1.

.

.

0

0 0 · · · 0 1

,


P −1 =

00

P −1n−1.

.

.

00 0 · · · 0 1

y q u e T = P−1AP.

S e s i g u e q u e l a m a t r i z t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e T e s s e m e j a n t e a l a m a t r i z

A. 2

E j e m p l o 6 . 6 . 1 0 T r i a n g u l a r p o r s e m e j a n z a y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o c o r r e s -

p o n d i e n t e a l a m a t r i z



2 7 0 Á l g e b r a

A = −2 0 3

3 −2 −9−1 2 6

E n p r i m e r l u g a r d e t e r m i n a m o s l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e

l a m a t r i z : −2 − X 0 3

3 −2 − X −9−1 2 6 − X

= −X + 2X 2 − X 3 = (1 − X )2 (0 − X ).

L u e g o l o s a u t o v a l o r e s A

s o n 1, 1 y 0. Y a q u e rango(A

−Id3) = 2, l a m u l t i p l i -

c i d a d g e o m é t r i c a d e λ1 = 1 e s 1 y n o c o i n c i d e c o n s u m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a .

P o r t a n t o A n o e s d i a g o n a l i z a b l e .

U n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a λ1 = 1 e s v1 = (1, −2, 1) ∈ Ker(A − Id3).S e a ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, −2, 1)) u n a b a s e d e

C3. L a m a t r i z

P 1 =

1 0 10 1 −20 0 1

e s t a l q u e

A = P −11 AP 1 =1 0 −1

0 1 20 0 1

−2 0 33 −2 −9

−1 2 6

1 0 10 1 −20 0 1

=

=

−1 −2 01 2 0

−1 2 1

.

A h o r a t e n e m o s q u e t r i a n g u l a r l a s u b m a t r i z

A = −1

−2

1 2 q u e t i e n e a u t o v a l o r e s 1 y 0 .

U t i l i c e m o s e l p r i m e r o c o m o λ2.

U n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a λ2 = 1

e s v2 =

(−1, 1) ∈ Ker(A − Id2). S e a ((1, 0), (−1, 1)) u n a b a s e d e C2. L a m a t r i z



Á l g e b r a 2 7 1

P 2 = 1

−1 0

0 1 00 0 1

e s t a l q u e

P −12 AP 2 =

1 1 00 1 00 0 1

−1 −2 01 2 0

−1 2 1

1 −1 00 1 00 0 1

=

=

0 0 01 1 0

−1 3 1

,

q u e e s t r i a n g u l a r i n f e r i o r m e n t e y t i e n e l o s a u t o v a l o r e s d e A e n l a d i a g o n a l .

E n t o n c e s

P −12 AP 2 = P −12 P −11 AP 1P 2 =

0 0 01 1 0

−1 3 1

.

S e s i g u e q u e l a m a t r i z d e p a s o e s

P = P 1P 2 =

1 −1 10 1 −20 0 1

,

y a q u e

P −1AP =

1 −1 10 1 −20 0 1

−1

· A · 1 −1 1

0 1 −20 0 1

=

0 0 01 1 0

−1 3 1

= T.

6 . 6 . 4 R e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

p o r t r i a n g u l a c i ó n

A p a r t i r d e e s t e m o m e n t o , s a b r e m o s r e s o l v e r u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e -

r e n c i a l e s l i n e a l e s c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s , s i e m p r e q u e p o d a m o s o b t e n e r

l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s .

S i l a d i m e n s i ó n d e l a m a t r i z d e l s i s t e m a e s m a y o r o i g u a l q u e c i n c o , n o

h a y f ó r m u l a s c e r r a d a s p a r a h a l l a r l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o y

h a c e f a l t a u s a r m é t o d o s n u m é r i c o s d e a p r o x i m a c i ó n d e a u t o v a l o r e s . A l g u n o s

d e e s t o s m é t o d o s e s t á n i l u s t r a d o s e n l a p r á c t i c a 6 .



2 7 2 Á l g e b r a

S i s t e m a s h o m o g é n e o s

V a m o s a i l u s t r a r p o r m e d i o d e u n e j e m p l o e l m é t o d o d e r e s o l u c i ó n d e s i s t e m a s

h o m o g é n e o s . S e a e l s i g u i e n t e s i s t e m a h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s : y1(t)y2(t)y3(t)

=

−2 0 33 −2 −9

−1 2 6

y1(t)y2(t)y3(t)

.

P a s o 1 : H a c e m o s t r i a n g u l a r l a m a t r i z d e c o e c i e n t e s , n o o l v i d a n d o g e n e r a r

l a m a t r i z d e p a s o . C o m o e s t o y a h a s i d o r e a l i z a d o e n e l e j e m p l o a n t e r i o r ,

s i m p l e m e n t e n o s t r a e m o s e l r e s u l t a d o :

1 −1 10 1 −20 0 1

−1

· −2 0 33 −2 −9

−1 2 6

· 1 −1 10 1 −20 0 1

= 0 0 0

1 1 0−1 3 1

.

P a s o 2 : R e s o l v e m o s e l s i s t e m a t r i a n g u l a r z 1(t)z 2(t)z 3(t)

=

0 0 01 1 0

−1 3 1

z 1(t)z 2(t)z 3(t)

.

C o m o e s t e s i s t e m a h a s i d o r e s u e l t o e n e l e j e m p l o 6 . 5 . 2 , n o s t r a e m o s l a s o l u -

c i ó n : z 1(t)z 2(t)z 3(t)

= α1

1−14

+ α2

0et

3tet

+ α3

00et

.

P a s o 3 : M u l t i p l i c a m o s l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a t r i a n g u l a r p o r l a m a t r i z d e

p a s o :

y1(t)y2(t)

y3(t) = 1 −1 10 1

−2

0 0 1 α11

−1

4 + α20et

3tet + α300

et =

= α1

6−94

+ α2

−et + 3tet

et − 6tet

3tet

+ α3

et

−2et

et

.



Á l g e b r a 2 7 3

E j e m p l o 6 . 6 . 1 1 R e s o l v e r l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

f − 6f + 9f = 0.

L o p r i m e r o e s p l a n t e a r e l s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n e q u i v a l e n t e : y1(t)y2(t)

=

0 1

−9 6

y1(t)y2(t)

,

d o n d e y1(t) = f (t)y2(t) = f (t) = y1(t)

.

A h o r a h a c e m o s t r i a n g u l a r l a m a t r i z

A = 0 1

−9 6

,

p a r a l o c u a l l o p r i m e r o e s d e t e r m i n a r l a s r a í c e s d e s u p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o : −X 1−9 6 − X

= X 2 − 6X + 9 = (3 − X )2 .


s o n 3 , 3 . A c o n t i n u a c i ó n u t i l i z a m o s e l p r o c e d i m i e n t o

v i s t o p a r a t r i a n g u l a r l a m a t r i z y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o .

E l r a n g o d e l a m a t r i z A

−3Id2 e s 1 y , p o r t a n t o , A n o e s d i a g o n a l i z a b l e .

U n a u t o v e c t o r a s o c i a d o a l a u t o v a l o r λ1 = 3 e s v1 = (1, 3) ∈ Ker(A − 3Id2).S e a ((0, 1), (1, 3)) u n a b a s e d e

C2.L a m a t r i z

P 1 =

0 11 3

e s t a l q u e

A = P −11 AP 1 =

−3 11 0

0 1

−9 6

0 11 3

=

= 3 0

1 3 .

E n t o n c e s 3 01 3

=

0 11 3

−10 1

−9 6

0 11 3

.



2 7 4 Á l g e b r a

A h o r a r e s o l v e m o s e l s i s t e m a t r i a n g u l a r

z 1(t)z 2(t)

= 3 01 3

z 1(t)z 2(t)

.

D i c h o s i s t e m a e q u i v a l e a : z 1(t) = 3z 1(t)z 2(t) = z 1(t) + 3z 2(t)

.

L a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , s e g ú n s a b e m o s , e s z 1(t) = α1e3t.

L a s e g u n d a e c u a c i ó n s e t r a n s f o r m a e n z 2(t) − 3z 2(t) = α1e3ty s u s o l u c i ó n

g e n e r a l e s :

z 2(t) = α2e3t + e3t t

0

α1e3xe−3xdx

= α2e3t + e3t

t

0

α1dx =

= α2e3t + e3tα1(t) =

= e3t(α2 + tα1),

e s d e c i r ,

z 2(t) = α1te3t + α2e3t.

E x p r e s a n d o l a s s o l u c i o n e s v e c t o r i a l m e n t e t e n e m o s q u e z 1(t)z 2(t)

= α1

e3t

te3t

+ α2

0

e3t

.

F i n a l m e n t e , m u l t i p l i c a m o s l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a t r i a n g u l a r p o r l a m a t r i z

d e p a s o : y1(t)y2(t)

=

0 11 3

α1

e3t

te3t

+ α2

0

e3t

=

= α1 te3t

e3t + 3te3t + α2 e3t

3e3t y , p u e s t o q u e l a s o l u c i ó n b u s c a d a e s f (t) = y1(t), c o n c l u i m o s q u e

f (t) = α1te3t + α2e3t.



Á l g e b r a 2 7 5

S i s t e m a s n o h o m o g é n e o s

S i l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o r d e n n c o n s i d e r a d a n o f u e s e h o m o g é n e a , e s

d e c i r , f u e s e d e l a f o r m a

f (n) + an−1f (n−1) + · · · + a1f + a0f = h,

s e p u e d e a p l i c a r u n a l i g e r a v a r i a c i ó n s o b r e e l m é t o d o v i s t o . H a c i e n d o e l

m i s m o c a m b i o

y1(t) = f (t)y2(t) = f (t) = y1(t)

.

.

.

yn(t) = f (n−1)(t) = yn−1(t)

, ( 6 . 7 )

e l s i s t e m a d e p r i m e r o r d e n e q u i v a l e n t e s e r í a :

y1(t)y2(t)

.

.

.

yn(t)

=

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

y1(t)y2(t)

.

.

.

.

.

.

yn(t)

+

00

.

.

.

0h(t)

c o n l a p e c u l i a r i d a d d e q u e , e n e s t e c a s o , t e n d r í a m o s e l s i s t e m a

∀t ∈ R ,−→y (t) = A−→y (t) +

−→h (t).

R a z o n a n d o d e f o r m a s i m i l a r a l c a s o e n e l q u e n o t e n í a m o s t é r m i n o i n d e p e n -

d i e n t e , s i P

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a i n v e r t i b l e , p o d e m o s p a s a r a l s i s t e m a :

∀t ∈ R , P−1·−→y (t) = P−1·A−→y (t) + P−1·−→h (t),

c o n l o q u e , s i l l a m a m o s

−→z (t) a P−1·−→y (t) t e n d r e m o s q u e

−→z (t) = P−1·−→y (t)

y , e n c o n s e c u e n c i a , p a r a c o n s e g u i r q u e a p a r e z c a e l m i s m o t i p o d e v a r i a b l e a

a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d , h a c e m o s l a s m i s m a s t r a n s f o r m a c i o n e s q u e e n e l



2 7 6 Á l g e b r a

c a s o d e u n s i s t e m a h o m o g é n e o :

−→z (t) = P−1·A−→y (t) + P−1·−→h (t) =

= P−1·A · (P · P−1)−→y (t) + P−1·−→h (t) =

= (P−1·A · P)(P−1·−→y (t)) + P−1·−→h (t) =

= (P−1·A · P)−→z (t) + P−1·−→h (t)

y , p u e s t o q u e e s t e s i s t e m a e s t r i a n g u l a r , s a b e m o s r e s o l v e r l o . S i

−→z (t)e s

s o l u c i ó n d e d i c h o s i s t e m a , d e s h a c i e n d o e l c a m b i o o b t e n d r e m o s q u e

−→y (t) = P·−→z (t)

e s l a s o l u c i ó n b u s c a d a .

E j e m p l o 6 . 6 . 1 2 P a r a r e s o l v e r l a e c u a c i ó n

f − 6f + 9f = 32te−t,

c o m o e n e l c a s o h o m o g é n e o , e l p r i m e r p a s o e s p l a n t e a r e l s i s t e m a d e p r i m e r

o r d e n e q u i v a l e n t e :

y1(t)y2(t)

=

0 1

−9 6

y1(t)y2(t)

+

0

32te−t .

A h o r a h a c e m o s t r i a n g u l a r l a m a t r i z

A =

0 1

−9 6

,

q u e c o i n c i d e c o n l a d e l e j e m p l o a n t e r i o r y , s e g ú n v i m o s , s e v e r i c a q u e 3 01 3

=

0 11 3

−10 1

−9 6

0 11 3

.

A h o r a , s i e n d o

−→z (t) = P−1·−→y (t),

e s d e c i r , z 1(t)z 2(t)

=

0 11 3

−1y1(t)y2(t)

,



Á l g e b r a 2 7 7

t e n e m o s q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a t r i a n g u l a r

z 1(t)z 2(t)

=

3 01 3

z 1(t)z 2(t)

+

0 11 3

−10

32te−t

y , p u e s t o q u e 0 11 3

−1=

−3 11 0

,

d i c h o s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a :

z 1(t)z 2(t)

= 3 0

1 3

z 1(t)z 2(t)

+ −3 1

1 0

032te−t

,

e s d e c i r : z 1(t) = 3z 1(t) + 32te−t

z 2(t) = z 1(t) + 3z 2(t)

Y a h o r a , l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , s e g ú n s a b e m o s , e s

z 1(t) = α1e3t + e3t t

0

32xe−xe−3xdx =

= α1e3t + e3t

t

0

32xe−4xdx =

( por partes) = α1e3t + 32e3t

−x

4e−4x

t

0

+1

4

t

0

e−4xdx

=

= α1e3t + 8e3t

−te−4t − 1

4(e−4t − 1)

=

= α1e3t

−8te−t

−2e−t + 2e3t =

= k1e3t − 8te−t − 2e−t,

d o n d e h e m o s t o m a d o k1 = α1 + 2,

y a q u e α1 e s u n a c o n s t a n t e a r b i t r a r i a . L a

s e g u n d a e c u a c i ó n s e t r a n s f o r m a e n z 2(t) − 3z 2(t) = k1e3t − 8te−t − 2e−ty s u



2 7 8 Á l g e b r a

s o l u c i ó n g e n e r a l e s :

z 2(t) = α2e3t + e3t t

0

(k1e3x − 8xe−x − 2e−x)e−3xdx

= α2e3t + e3t

t

0

(k1 − 8xe−4x − 2e−4x)dx =

= α2e3t + e3t

k1x +

1

2e−4x

t

0

− 8e3t(−1

4te−4t − 1

16e−4t +

1

16) =

= α2e3t + e3t

k1t +

1

2e−4t − 1

2

+

2te−t +

1

2e−t − 2e3t

=

= α2e

3t

+ k1te

3t

+

1

2e−t

−1

2e

3t

+ 2te−t

+

1

2e−t

− 2e

3t =

= e3t

α2 − 2 − 1

2+ k1t

+ e−t (1 + 2t) ,

c o n l o q u e , r e n o m b r a n d o l a s v a r i a b l e s a d e c u a d a m e n t e , o b t e n e m o s q u e

z 2(t) = k1te3t + α2e3t + e−t (1 + 2t) .

E x p r e s a n d o l a s s o l u c i o n e s v e c t o r i a l m e n t e t e n e m o s q u e (k1 = C 1, α2 = C 2)

z 1(t)z 2(t)

= C 1

e3t

te3t

+ C 2

0

e3t

+

−8te−t − 2e−t

e−t (1 + 2t) .

F i n a l m e n t e , m u l t i p l i c a m o s l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a t r i a n g u l a r p o r l a m a t r i z

d e p a s o : y1(t)y2(t)

=

0 11 3

C 1

e3t

te3t

+ C 2

0

e3t

+

+

−8te−t − 2e−t

e−t (1 + 2t)

=

=

0 11 3

C 1e3t − 8te−t − 2e−t

C 1te3t + C 2e3t + e−t (1 + 2t)

=

= C 1te3t + C 2e3t + e−t (1 + 2t)C 1e3t − 8te−t − 2e−t + 3C 1te3t + 3C 2e3t + 3e−t (1 + 2t)

y , p u e s t o q u e l a s o l u c i ó n b u s c a d a e s f (t) = y1(t), c o n c l u i m o s q u e

f (t) = C 1te3t + C 2e3t + e−t (1 + 2t) .



Á l g e b r a 2 7 9

E j e r c i c i o 6 . 6 . 1 R e s o l v e r l a s i g u i e n t e e c u a c i ó n :

D

3

f − 5D

2

f + 7Df − 3f = 9t − 9.S o l u c i ó n : f (t) = −4 − 3t + C 1et + C 2e3t + C 3ett.

6 . 7 R e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a

L a s t é c n i c a s d e s a r r o l l a d a s e n e s t e c a p í t u l o t a m b i é n s e p u e d e n a p l i c a r p a r a

r e s o l v e r o t r o t i p o d e p r o b l e m a s , e n t r e o t r o s , e l p r o b l e m a d e l p r i m e r e j e m p l o

e n u n c i a d o a l p r i n c i p i o d e l c a p í t u l o .

P a r a e l d e s a r r o l l o q u e s i g u e , e s i m p o r t a n t e r e c o r d a r q u e

N

∪ {0

}=

{0, 1, 2, 3,...

}.

D e n i c i ó n 6 . 7 . 1 D i r e m o s q u e l a s u c e s i ó n {an}n∈ N ∪{0} e s t á d e n i d a

r e c u r -

s i v a m e n t e o p o r r e c u r r e n c i a s i

1 . ∃k ∈ N

t a l q u e a1,...,ak s o n c o n o c i d o s y

2 . ∀n ∈ N ∪ {0}, an+k e s t á d e n i d o e n f u n c i ó n d e

an+k−1,...,an.

L a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a t a m b i é n s e d e n o m i n a n e c u a c i o n e s e n d i -

f e r e n c i a s .

D e n i c i ó n 6 . 7 . 2 L l a m a r e m o s r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l h o m o g é n e a

d e o r d e n

k ∈ Nc o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s

a c u a l q u i e r r e l a c i ó n d e

r e c u r r e n c i a d e l a f o r m a

an+k = c1an+k−1 + ... + ckan

d o n d e c1,...,ck ∈ C, ck = 0, y n ∈ N ∪ {0}.

L a s r e l a c i o n e s d e l t i p o a n t e r i o r s e d e n o m i n a n l i n e a l e s y h o m o g é n e a s d e -

b i d o a q u e l a e c u a c i ó n a s o c i a d a

an+k − c1an+k−1 + ... + ckan = 0

d e v a r i a b l e s an+k, an+k−1,...,an e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l y h o m o g é n e a .

E j e m p l o 6 . 7 . 3 L a e c u a c i ó n

an+2 = an+1 − 5an



2 8 0 Á l g e b r a

e s u n a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l h o m o g é n e a d e g r a d o 2 , p u e s t o q u e s u

e c u a c i ó n a s o c i a d a

an+2 − an+1 + 5an = 0

e s u n a e c u a c i ó n l i n e a l y h o m o g é n e a ( s i m i l a r a l a e c u a c i ó n x−y +5z = 0). S i

e s p e c i c a m o s l o s v a l o r e s i n i c i a l e s a1 y a2 , t o d o s l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n

q u e d a n d e t e r m i n a d o s y , p o r t a n t o , h a y u n a ú n i c a s u c e s i ó n q u e s a t i s f a c e d i c h a

r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a y c u y o s d o s p r i m e r o s t é r m i n o s s e a n a1 y a2.

D i c h o d e o t r a f o r m a , e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F (N,R)

{{an} : an+2 − an+1 + 5an = 0}

t i e n e d i m e n s i ó n 2 .

E j e m p l o 6 . 7 . 4 L a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

an+2 =√

an+1 + 2an

n o e s l i n e a l , p u e s l a e c u a c i ó n

x − √ y − 2z = 0

n o e s l i n e a l . L a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

an+2 = a2n+1 + 5an

t a m p o c o e s l i n e a l .

V o l v a m o s a l p r o b l e m a o r i g i n a l q u e t e n e m o s p l a n t e a d o , e s t o e s , e n c o n -

t r a r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e u n a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l y h o m o g é n e a

c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s . E l d i s c u r s o v a a s e g u i r e l m i s m o c a m i n o q u e e l

v i s t o p a r a l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s .

P r i m e r o v e r e m o s c ó m o s e p u e d e n r e s o l v e r l a s r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a h o -

m o g é n e a s d e p r i m e r o r d e n y l u e g o l a s n o h o m o g é n e a s p a r a , a c o n t i n u a c i ó n ,

u t i l i z a r l a t é c n i c a d e s a r r o l l a d a e n e l c a p í t u l o p a r a r e s o l v e r s i s t e m a s d e r e l a -

c i o n e s d e r e c u r r e n c i a , n a l i z a n d o l a e x p o s i c i ó n c o n l a a p l i c a c i ó n d e l m é t o d o

p a r a r e s o l v e r e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e o r d e n k > 1.



Á l g e b r a 2 8 1

6 . 7 . 1 R e l a c i o n e s d e p r i m e r o r d e n

S e g ú n v i m o s , l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N

q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

l i n e a l h o m o g é n e a d e p r i m e r o r d e n

an+1 = λan, (I )

s o n l a s s u c e s i o n e s {an}n∈N

q u e s o n a u t o v e c t o r e s d e l a f u n c i ó n l i n e a l S

a s o c i a -

d o s a l a u t o v a l o r λ, j u n t o c o n l a s u c e s i ó n n u l a 0 = {0, 0, 0,....}. E s t o e s , e l c o n -

j u n t o Ker(S −λId). P o r o t r a p a r t e , s i d e m o s t r a m o s q u e dim(Ker(S −λId)) =1, l o c a l i z a n d o u n a s o l u c i ó n n o n u l a , e s d e c i r , u n e l e m e n t o n o n u l o d e d i c h o

s u b e s p a c i o , e l r e s t o d e s o l u c i o n e s s e o b t e n d r á f á c i l m e n t e . V e a m o s q u e , e f e c -

t i v a m e n t e ,

dim(Ker(S − λId)) = 1.

E v i d e n t e m e n t e , l a s u c e s i ó n

{an} = {λn} = {1, λ , λ2, λ3,...},

e s u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n ( o r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a ) (I ). P o r o t r a p a r t e ,

s i {bn} e s c u a l q u i e r o t r a s o l u c i ó n d e d i c h a e c u a c i ó n , v a m o s a d e m o s t r a r q u e

e x i s t e u n a c o n s t a n t e K t a l q u e

{bn} = K · {λn} = {K · λn},

c o n l o q u e {λn}

s e r á u n a b a s e d e Ker(S − λId) y dim(Ker(S − λId)) = 1.

P u e s t o q u e {bn} ∈ Ker(S − λId),

e s d e c i r , S ({bn}) = λ · {bn},

t e n d r e m o s ,

p o r u n a p a r t e , q u e

S ({bn}) = S ({b0, b1, b2,...}) = λ · {b0, b1, b2,...} = {λb0, λb1,...}

y , p o r o t r a , q u e

S ({bn}) = S ({b0, b1, b3,...}) = {b1, b2,...},

d e d o n d e

{λb0, λb1,...} = {b1, b2,...},



2 8 2 Á l g e b r a

e s d e c i r ,

b1 = λb0

b2 = λb1 = λ2b0

b3 = λb2 = λ3b0.

.

.

bn = λbn−1 = λnb0.

.

.

. E n o t r a s p a l a b r a s , {bn} = b0 · {λn}, c o n l o q u e l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n

an+1 = λan (I )

s o n l a s p r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s d e r a z ó n λ, p r o g r e s i o n e s q u e c o n s t i t u y e n

e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l Ker(S − λId), s i e n d o u n a b a s e d e d i c h o e s p a c i o l a

s u c e s i ó n

{λn} = {1,λ ,λ2, λ3,...}.

E j e m p l o 6 . 7 . 5 L a s s u c e s i o n e s {an}n∈ N

q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e -

c u r r e n c i a

an+1 = 5an

s o n d e l a f o r m a

K · {5n} = K · {1, 5, 52, ..., 5n,...} = {K, 5K, 52K,..., 5nK,...}.

O b s e r v a c i ó n 6 5 P u e s t o q u e p a r a t e n e r c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a u n a

p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a s ó l o e s p r e c i s o c o n o c e r e l p r i m e r e l e m e n t o (b0 = K )y l a r a z ó n d e l a p r o g r e s i ó n

(λ), c o n o c i d o e l v a l o r i n i c i a l

a0,h a y u n a ú n i c a

s u c e s i ó n {an}n∈ N

q u e s a t i s f a c e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a an+1 = λan, (I ).

E j e m p l o 6 . 7 . 6 E x i s t e u n a ú n i c a s u c e s i ó n {an}n∈ N

q u e s a t i s f a c e l a s c o n d i -

c i o n e s

a0 = 3an+1 = 5an.

D i c h a s u c e s i ó n e s

a0 · {λn} = 3 · {5n} = {3, 15, 75,..., 3 · 5n,...}.



Á l g e b r a 2 8 3

Y a s a b e m o s e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c i ó n d e r e c u r r e n c i a l i n e a l

y h o m o g é n e a c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s d e p r i m e r o r d e n , e i n c l u s o h a l l a r l a

ú n i c a s o l u c i ó n d e u n a e c u a c i ó n d e l t i p o a n t e r i o r t o d a v e z q u e s e c o n o z c a u n

v a l o r i n i c i a l . A h o r a b i e n , ¾ C ó m o p o d e m o s e n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e u n

s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e p r i m e r o r d e n ? ¾ P o d e m o s e m p l e a r

l a m i s m a t é c n i c a d e r e s o l u c i ó n v i s t a p a r a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e -

r e n c i a l e s ? V e r e m o s q u e l a r e s p u e s t a a e s t a p r e g u n t a e s a r m a t i v a . P e r o ,

p a r a p o d e r a p l i c a r l a , n e c e s i t a m o s r e s o l v e r e n p r i m e r l u g a r l a s r e l a c i o n e s d e

r e c u r r e n c i a n o h o m o g é n e a s d e p r i m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s .

L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n t i e n e c o m o c o n s e c u e n c i a q u e c u a l q u i e r r e l a c i ó n

d e r e c u r r e n c i a l i n e a l y h o m o g é n e a d e p r i m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s

t i e n e s o l u c i ó n .

P r o p o s i c i ó n 6 . 7 . 7 ∀λ ∈ C

l a f u n c i ó n l i n e a l

(S − λId) : F (N,C) −→ F (N,C)

e s s o b r e y e c t i v a .

D e m o s t r a c i ó n D a d a {an} ∈ F (N,C) , h a y q u e p r o b a r q u e

∃{bn} ∈ F (N,C)t a l q u e

(S − λId)({bn}) = {an}.

A h o r a b i e n , d i c h a i g u a l d a d e s e q u i v a l e n t e a q u e

S ({bn}) − λ({bn}) = {an},e s d e c i r ,

{bn+1} − λ({bn}) = {an}. P o r c o n s i g u i e n t e :

b1 = a0,

b2 = a1 + λa0,

b3 = a2 + λa1 + λ2a0,.

.

.

bn = an−1 + λan−2 + ... + λn−1a0,.

.

.

L a s o l u c i ó n {bn} e s t á d e t e r m i n a d a p o r b0 = 0 y , p a r a n ≥ 1,

bn =n

i=1

λi−1an−i,



2 8 4 Á l g e b r a

e s d e c i r ,

{bn} = {0, a0, a1 + λa0, a2 + λa1 + λ2a0,...,an−1 + λan−2 + ... + λn−1a0,...},

e s t a l q u e (S − λId)({bn}) = {an},

c o m o p u e d e c o m p r o b a r s e f á c i l m e n t e

t é r m i n o a t é r m i n o :

S (b0) − λb0 = a0 − λ0 = a0

S (b1) − λb1 = b2 − λb1 = (a1 + λa0) − λa10 = a1

S (b2) − λb2 = b3 − λb2 =

a2 + λa1 + λ2a0− λ (a1 + λa0) = a2

.

.

.

S (bn) − λbn = an.

.

.

y , e n c o n s e c u e n c i a (S − λId) e s s o b r e y e c t i v a . 2

L a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r n o s p r o p o r c i o n a u n a h e r r a m i e n t a p a r a h a l l a r u n a

s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e c u a l q u i e r r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a d e p r i m e r o r d e n c o n

c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s .

A h o r a ¾ C ó m o p o d e m o s o b t e n e r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c i ó n

l i n e a l d e p r i m e r o r d e n n o n e c e s a r i a m e n t e h o m o g é n e a ? R a z o n a n d o d e f o r m a

a n á l o g a a c o m o h i c i m o s c o n l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . E l r e s u l t a d o s i m i l a r

q u e s e t i e n e e n e s t e c o n t e x t o q u e d a e s t a b l e c i d o e n l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n ,

c u y a d e m o s t r a c i ó n s e p r o p o n e c o m o e j e r c i c i o .

P r o p o s i c i ó n 6 . 7 . 8 S i e n d o {bn} u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l a r e l a c i ó n d e

r e c u r r e n c i a

(S − λId)({xn}) = {an}, (I )


{yn}e s s o l u c i ó n d e (I ) ⇔ ∃K ∈ C t a l q u e

{yn} = {bn} + K · {λn}.

E s d e c i r , v a l e e l p r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n d e s o l u c i o n e s : l a s o l u c i ó n

d e l a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a s e o b t i e n e s u m a n d o a u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e



Á l g e b r a 2 8 5

d i c h a e c u a c i ó n t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n h o m o g é n e a a s o c i a d a . P o r

c o n s i g u i e n t e , t e n i e n d o e n c u e n t a l o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s , p o d e m o s c o n c l u i r

q u e

{yn}e s s o l u c i ó n d e (S − λId)({yn}) = {an}

⇔

∃K ∈ C t a l q u e

y0 = K y

n ≥ 1, yn =

n

i=1

λi−1an−i

+ K · {λn}.

E j e m p l o 6 . 7 . 9 E l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

an+1 = 3an + (−

1)n

e s e l c o n j u n t o d e s u c e s i o n e s {an}

c u y o t é r m i n o g e n e r a l e s d e l a f o r m a

an = bn + K 3n,

d o n d e K ∈ C

y {bn}

e s l a s u c e s i ó n d e n i d a p o r b0 = 0

y , p a r a n > 1,

bn =n

i=1

3i−1(−1)n−i.

E n o t r a s p a l a b r a s ,

{an

}e s s o l u c i ó n d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a d a d a s i

{an

}e s d e l a f o r m a

a1 = K

an = K 3n−1 +n−1i=1

3i−1(−1)n−i.

E n p a r t i c u l a r , s i b u s c a m o s l a ú n i c a s u c e s i ó n d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s a0 = 0an+1 = 3an + (−1)n

d i c h a s u c e s i ó n e s a0 = 0

n ≥ 1 ⇒ an =n

i=1

3i−1(−1)n−i ,



2 8 6 Á l g e b r a

e s d e c i r ,

b0 = 0b1 = −1,

b2 = 1 + 3 · (−1),

b3 = −1 + 3 + 32(−1), ( 6 . 8 )

.

.

.

bn = (−1)n−1 + 3(−1)n−2 + ... + 3n−1(−1),.

.

.

O b s e r v a c i ó n 6 6 P a r a n a l i z a r e s t e a p a r t a d o , v a m o s a h a c e r u n a b r e v e r e -

e x i ó n s o b r e l a f o r m a q u e t i e n e l a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r q u e e n c o n t r a m o s u t i l i -

z a n d o e l m é t o d o e x p u e s t o . S e g ú n h e m o s v i s t o , l a s u c e s i ó n {bn} d e t e r m i n a d a

p o r b1 = 0y , p a r a n ≥ 1,

bn =n−1i=1

λi−1an−i

e s u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

(S − λId)({xn}) = {an}.

L a f o r m a d e l a s u c e s i ó n

{bn

}r e c u e r d a a l p r o d u c t o d e p o l i n o m i o s . D e h e c h o ,

e l t é r m i n o g e n e r a l d e e s t a s u c e s i ó n ( d o n d e n ∈ N, n ≥ 1) s e p o d r í a e x p r e s a r

d e l s i g u i e n t e m o d o :

bn =n

i=1

λi−1an−i =

j+k=n−1λ j ak.

6 . 7 . 2 S i s t e m a s d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a

E l p l a n t e a m i e n t o d e l p r o b l e m a e s s i m i l a r a l v i s t o p a r a e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a -

l e s . E n e s t e c a s o , e l p r o b l e m a c o n s i s t e e n r e s o l v e r s i s t e m a s d e l a f o r m a

x1(n + 1) = a11x1(n) + a12x2(n) + · · · + a1mxm(n),x2(n + 1) = a21x1(n) + a22x2(n) + · · · + a2mxm(n),

.

.

.

xm(n + 1) = am1x1(n) + an2x2(n) + · · · + ammxm(n),



Á l g e b r a 2 8 7

d o n d e l a s s u c e s i o n e s i n c ó g n i t a s o n {x1(n)},..., {xm(n)}.

C o m o e n e l c a s o d e l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , p o d e m o s e m p l e a r l a n o -

t a c i ó n m a t r i c i a l x1(n + 1)x2(n + 1)

.

.

.

xm(n + 1)

=

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 · · · amm

x1(n)x2(n)

.

.

.

xm(n)

,

o , i n c l u s i v e l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l c o m p a c t a

−→x (n + 1) = A−→x (n).

A l o s s i s t e m a s d e l t i p o a n t e r i o r s e l e s c o n o c e c o m o s i s t e m a s h o m o -

g é n e o s d e m

e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e p r i m e r o r d e n c o n c o -

e c i e n t e s c o n s t a n t e s . L a t é c n i c a p a r a r e s o l v e r e s t e t i p o d e s i s t e m a s e s

e x a c t a m e n t e l a m i s m a q u e l a v i s t a p a r a l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n -

c i a l e s .

A s í , d a d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

−→x (n + 1) = A−→x (n),

d o n d e A

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n m. S i P

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a

i n v e r t i b l e y c o n s i d e r a m o s l a m a t r i z P−1


P−1·−→x (n) = P−1 · A−→x (n)

y , s i e n d o −→z (n) = P−1·−→x (n),

p o d e m o s h a c e r l a s s i g u i e n t e s t r a n s f o r m a c i o n e s :

−→z (n + 1) = P−1·A−→x (n) = P−1·A · (P · P−1)−→x (n) =

= (P−1·A · P)(P−1·−→x (n))

= (P−1·A · P)−→z (n).

P o r e l l o , s i P−1

·A

·P

e s t r i a n g u l a r , p a r a r e s o l v e r e l s i s t e m a o r i g i n a l p l a n t e a -

d o e s s u c i e n t e c o n r e s o l v e r d i c h o s i s t e m a t r i a n g u l a r y d e s h a c e r e l c a m b i o

r e a l i z a d o −→x (n) = P·−→z (n).

p a r a o b t e n e r l a s o l u c i ó n b u s c a d a .



2 8 8 Á l g e b r a

E j e m p l o 6 . 7 . 1 0 S u p o n g a m o s q u e q u e r e m o s e n c o n t r a r l a s s u c e s i o n e s q u e s a -

t i s f a c e n e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a l i n e a l e s y h o m o g é n e a s d e p r i -

m e r o r d e n c o n c o e c i e n t e s c o n s t a n t e s : x(n + 1) = x(n) + y(n)y(n + 1) = 4x(n) − 2y(n),

j u n t o c o n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x(0) = 1, y(0) = 6. S i p l a n t e a m o s e l

s i s t e m a d e f o r m a m a t r i c i a l , t e n d r e m o s : x(n + 1)y(n + 1)

=

1 14 −2

·

x(n)y(n)

.

O p e r a n d o , o b t e n e m o s q u e l o s a u t o v a l o r e s d e l a m a t r i z d e l s i s t e m a s o n

2y −3

y q u e l a f o r m a t r i a n g u l a r ( e n e s t e c a s o d i a g o n a l ) d e l a m a t r i z a s o c i a d a e s 1 11 −4

−1·

1 14 −2

·

1 11 −4

=

2 00 −3

.

R a z o n a n d o d e l m i s m o m o d o q u e c o n l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ,

p r o c e d e m o s a r e s o l v e r e l s i s t e m a

(II )

z (n + 1)u(n + 1)

=

2 00 −3

·

z (n)u(n)

c o n x(n)

y(n)

= 1 1

1 −4

· z (n)

u(n)

.

E l s i s t e m a (II )

e s , o b v i a m e n t e , e l s i s t e m a z (n + 1) = 2z (n)u(n + 1) = −3u(n)

,

c u y a s s o l u c i o n e s s o n , s e g ú n s a b e m o s ,

{z (n)} = α{2n}

{u(n)} = β {(−3)

n

}(α, β

∈C).

L u e g o x(n)y(n)

=

1 11 −4

·

α2n

β (−3)n

=

α2n + β (−3)n

α2n − 4β (−3)n

(α, β ∈ C).



Á l g e b r a 2 8 9

I m p o n i e n d o , n a l m e n t e , l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s t e n d r e m o s q u e

x(0) = 1 = α20 + β (−3)0 = α + β y(0) = 6 = α20 − 4β (−3)0 = α − 4β,

e s d e c i r , q u e α + β = 1α − 4β = 6,

c o n l o q u e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a

−5β = 5 ⇒ β = −1

α = 2

,

d e d o n d e l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n e l s i s t e m a p l a n t e a d o c o n l a s c o n d i c i o -

n e s i n i c i a l e s d a d a s s o n : x(n)y(n)

=

2 · 2n − (−3)n

2 · 2n + 4(−3)n

=

2n+1 − (−3)n

2n+1 + 4(−3)n

,

e s d e c i r ,

{x(n)} =

2n+1 − (−3)n

y

{y(n)} =

2n+1 + 4(−3)n

.

E j e r c i c i o 6 . 7 . 1 C o m p r o b a r q u e l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e -

r e n c i a l e s x(t) = x(t) + y(t)y(t) = 4x(t) − 2y(t)

,

s u j e t o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x(0) = 1, y(0) = 6 e s

x1(t)x2(t) = 2e2t

− e−3t

2e2t + 4e−3t .

C o m p á r e s e c o n l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a d e l e j e m -

p l o a n t e r i o r .



2 9 0 Á l g e b r a



1 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r l a s c o n d i c i o n e s an+2 = 7an+1 − 12an

a1 = 1a2 = 3.

2 . E n c o n t r a r l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an.

3 . E n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

D2(f ) − 7D(f ) + 12f = e−t.

4 . R e s o l v e r e l p r o b l e m a d e v a l o r i n i c i a l D(f ) − 2f = e2t

f (0) = 1.

5 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s x1 = 5x1 + 4x2

x2 = x1 + 2x2

s u j e t o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x1(0) = 2, x2(0) = 3.

6 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( e c u a c i o n e s e n d i f e -

r e n c i a s ) an+1 = 5an + 4bn

bn+1 = an + 2bn

c o n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s a1 = 2, b1 = 3.

7 . C a l c u l a r l a p o t e n c i a n−é s i m a d e l a m a t r i z

A =

2 1 12 3 23 3 4

.



Á l g e b r a 2 9 1


1 . S u p u e s t o q u e t ∈ R , d e t e r m i n a r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l o s s i g u i e n t e s

s i s t e m a s :

a )

y1(t) = −y1(t)y2(t) = 2y2(t)

y3(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t),b )

y1(t) = sin(t)y2(t) = t2

y3(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t).

2 . D a d a l a m a t r i z A =

1 0 2−1 −1 −10 0 −1

d e t e r m i n a r A100.

3 . D a d a l a m a t r i z A = 1 4

−12

0 3 −90 1 −3

, s e p i d e :

a ) h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o p r o p i o a s o c i a d o a c a d a v a l o r p r o p i o ,

b ) d e t e r m i n a r s i l a m a t r i z A e s d i a g o n a l i z a b l e .

4 . D a d a u n a m a t r i z A ∈ Mn(K), ¾ p u e d e o c u r r i r q u e A n o s e a d i a g o n a -

l i z a b l e y A2s í s e a d i a g o n a l i z a b l e ?

5 . T r i a n g u l a r i z a r p o r s e m e j a n z a y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o

c o r r e s p o n d i e n t e a l a m a t r i z A = 3 1 00 2 1

−1 −1 1 .

6 . S u p u e s t o q u e t ∈ R, d e t e r m i n a r t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e

s i s t e m a :

y1(t) = 3y1(t) + y2(t)y2(t) = 2y2(t) + y3(t)

y3(t) = −y1(t) − y2(t) + y3(t).

7 . R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :

a ) 2f + 3f + f = 0,

b ) 2f + 3f + f = t.

8 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n {an} q u e , e m p e z a n d o e n a0 = 0, v e r i c a

an+1 = 2an + 5n

p a r a t o d o n ∈ N{0}.



2 9 2 Á l g e b r a

9 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r l a s c o n d i c i o n e s

an+2 = an+1 + 2an,a1 = 3,a2 = 4.

1 0 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( e c u a c i o n e s e n

d i f e r e n c i a s ) an+1 = 2an + 1

4bn,

bn+1 = −an + bn,


1 1 . D a d a u n a m a t r i z A ∈ Mn(K)

, d e m o s t r a r l a s s i g u i e n t e s a r m a c i o n e s :

a ) l o s a u t o v a l o r e s d e A c o i n c i d e n c o n l o s d e s u t r a s p u e s t a ,

b ) s i A

e s i n v e r s i b l e , l o s a u t o v a l o r e s d e A−1

s o n l o s i n v e r s o s d e l o s

a u t o v a l o r e s d e A,

1 2 . D a d a l a m a t r i z

A =

2 a3 b

,

d e t e r m i n a r l o s v a l o r e s d e a, b ∈ Rp a r a q u e (1, 3) s e a u n a u t o v e c t o r a s o c i a d o

a l a u t o v a l o r λ = 2.

1 3 . D a d a u n a m a t r i z A ∈ Mn(K) i d e m p o t e n t e ( e s d e c i r , t a l q u e A2 = A) ,

e s t u d i a r c o m o s o n l o s a u t o v a l o r e s d e A.



C a p í t u l o 7

S o l u c i o n e s d e l o s e j e r c i c i o s


d e l c a p í t u l o 1

1 . R e p r e s e n t a r p o r s u m a t r i z a m p l i a d a y r e s o l v e r p o r e l m é t o d o d e G a u s s -

J o r d a n c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s :

2x1 + x2 + 3x3 = 95x1 + 4x2 + 6x3 = 24

x1 + 3x2 − 2x3 = 4

{x3 = 3, x2 = 4, x1 = −2} 2 1 35 4 61 3 −2

· x1

x2

x3

=

9244

L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e r í a l a s i g u i e n t e :

2 1 3 9

5 4 6 241 3 −2 4 F 1↔

F 3−→

1 3 −2 4

5 4 6 242 1 3 9 F 2 = F 2 − 5F 1

F 3 = F 3 − 2F 1−→ → 1 3 −2 40 −11 16 40 −5 7 1

,... p r o s i g u i e n d o c o n l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n -

2 9 3



2 9 4 Á l g e b r a

t a l e s a d e c u a d a s h a s t a o b t e n e r l a m a t r i z 1 0 0 −20 1 0 40 0 1 3 , e s d e c i r ,

{x1 = −2, x2 = 4, x3 = 3} .

D e l m i s m o m o d o e l s i s t e m a 3x1 + x2 + x3 − 5x4 = 45x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 6

s e e x p r e s a r í a

3 1 1 −5

5 2 4 −2 ·

x1

x2

x3

x4

= 4

6 .

R e s o l v i é n d o l o p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n o b t e n d r e m o s : 3 1 1 −5 45 2 4 −2 6

F 1 = 13

F 1F 2 = F 2 − 5F 1

−→

1 1

313

−53

43

0 13

73

193

−23

F 1 = 13

F 1F 2 = F 2 − 5F 1

−→F 2 = 3F 2

F 1 = F 1 − 13

F 2−→

1 0 −2 −8 20 1 7 19 −2

, e s d e c i r , e l s i s t e m a e s c o m p a -

t i b l e i n d e t e r m i n a d o , y l a s s o l u c i o n e s s o n

{x1 = 2 + 2x3 + 8x4, x2 = −2 − 7x3 − 19x4, x3, x4} .

R a z o n a n d o a n á l o g a m e n t e c o n e l s i s t e m a x1 − x2 + x3 − x4 = 0

2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 0x1 − x2 + 2x3 − 2x4 = 0

5x1 + 5x2 + 9x3 + 9x4 = 0

o b t e n e m o s q u e e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o , s i e n d o s u s o l u c i ó n

x1 =

−9

5

x4, x2 =

−9

5

x4, x3 = x4, x4 = x4 ,

o , s i s e p r e e r e , x1 = −9

5λ, x2 = −9

5λ, x3 = λ, x4 = λ

λ∈R

.

Á l g e b r a 2 9 5

2 . C o n s i d e r e e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s x + y + 2z = ax + z = b

2x + y + 3z = c

D e m u e s t r e q u e p a r a q u e e s t e s i s t e m a s e a c o m p a t i b l e , a , b y c d e b e n

s a t i s f a c e r c = a + b .

L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s

A = 1 1 2 a

1 0 1 b2 1 3 c .

A =

1 1 2 a1 0 1 b2 1 3 c

F 1 < − > F 2→

1 0 1 b1 1 2 a2 1 3 c

F 2 = F 2 − F 1F 3 = F 3 − 2F 1

→

1 0 1 b0 1 1 a − b

0 1 1 c − 2b

F 3 = F 3 − F 2

→

1 0 1 b0 1 1 a − b

0 0 0 c − a − b

S i c = a + b

, e l s i s t e m a n o e s c o m p a t i b l e y a q u e s e r í a e q u i v a l e n t e a u n

s i s t e m a q u e c o n t i e n e u n a e c u a c i ó n d e l a f o r m a 0x + 0y + 0z = c − a − b = 0 .

S i c = a + b , e l s i s t e m a d a d o e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a

x = −z + b

y = −z + a − b

q u e e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o y t i e n e c o n j u n t o s o l u c i ó n

{(−z + b, −z + a − b, z ) : z ∈ R}

.



2 9 6 Á l g e b r a

3 . R e s u e l v a c a d a u n o d e l o s s i s t e m a s s i g u i e n t e s p o r e l i m i n a c i ó n d e G a u s s -

J o r d a n :

a ) 2x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 1

3x1 + 2x2 = 1

L a m a t r i z a m p l i a d a d e e s t e s i s t e m a e s A =

2 −3 −22 1 13 2 1

.

A =

2 −3 −22 1 13 2 1

F 2 = F 2 − F 1→

2 −3 −20 4 33 2 1

F 1 = 12F 1

F 2 = 14F 2

→ 1 −32

−10 1 3

4

3 2 1

F 3 = F 3 − 3F 1F 1 = F 1 + 3

2F 2→

1 0 18

0 1 34

0 132 4

F 3 = F 3 + 52

F 2→

1 0 18

0 1 34

0 0 −78

.

E l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .

b )

3x1 + 2x2 − x3 = −155x1 + 3x2 + 2x3 = 03x1 + x2 + 3x3 = 11

11x1 + 7x2 = −30


3 2 −1 −155 3 2 03 1 3 11

11 7 0 −30

. L a

s u c e s i ó n d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s

F 3 = F 3 − F 1, F 1 =

1

3F 1, F 2 = F 2 − 5F 1, F 4 = F 4 − 11F 1, F 4 = F 4 − F 2,

F 1 = F 1+2

3F 3, F 2 = −3F 2, F 3 = F 3+F 2, F 3 = −1

7F 3, F 1 = F 1−7

3F 3, F 2 = F 2+11F 3

t r a n s f o r m a A e n s u f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a



Á l g e b r a 2 9 7

1 0 0 −40 1 0 20 0 1 70 0 0 0

. L a ú n i c a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a e s

(−4, 2, 7).

c ) 4x1 − 8x2 = 123x1 − 6x2 = 9

−2x1 + 4x2 = −6


4 −8 123 −6 9

−2 4 −6

. L a s u c e -

s i ó n d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s

F 1 =1

4F 1, F 2 =

1

3F 2, F 3 =

−1

2F 3, F 2 = F 2 − F 1, F 3 = F 3 − F 1

t r a n s f o r m a A e n l a m a t r i z e q u i v a l e n t e

1 −2 30 0 00 0 0

. E l c o n j u n t o s o l u c i ó n

d e l s i s t e m a e s {(2t + 3, t) : t ∈ R}

.

4 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e a e l s i s t e m a q u e s i g u e n o t i e n e s o l u c i o n e s ? ¾ T i e n e

e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n ? ¾ T i e n e i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ? x + 2y − 3z = 43x − y + 5z = 2

4x + y + (a2 − 14)z = a + 2


1 2 −3 43 −1 5 24 1 a2 − 14 a + 2

.

A p l i c a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s

F 2 = F 2 − 3F 1, F 3 = F 3 − 4F 1, F 3 = F 3 − F 2, F 2 =−1

7F 2, F 1 = F 1 − 2F 2,

s e o b t i e n e l a m a t r i z



2 9 8 Á l g e b r a

1 0 1 87

0 1 −2 107

0 0 a2 − 16 a − 4 .

S i a = −4, e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e , y a q u e l a ú l t i m a l a s e r í a d e l a

f o r m a 0 = −8.S i a = 4, l a ú l t i m a l a e s u n a l a d e c e r o s y e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e

i n d e t e r m i n a d o c o n c o n j u n t o s o l u c i ó n (−t +

8

7, 2t +

10

7, t) : t ∈ R

.

S i a = ±4, a p l i c a n d o l a t r a n s f o r m a c i ó n F 3 = 1a2−16F 3, s e o b t i e n e l a m a t r i z

e n f o r m a e s c a l o n a d a 1 0 1 87

0 1 −2 107

0 0 1 1a+4

.

E n e s t e c a s o e l s i s t e m a t i e n e e x a c t a m e n t e u n a s o l u c i ó n p a r a c a d a v a l o r d e a .

( H a y t r e s v a r i a b l e s p r i n c i p a l e s )

5 . C a l c u l a r l a s i n v e r s a s d e l a s i g u i e n t e s m a t r i c e s :

A = 3 1

5 2

B =

2 −34 4

C =

2 00 3

3 1 1 05 2 0 1

F 1 = 1

3F 1

→

1 13

13

05 2 0 1

F 2 = F 2 − 5F 1

→

1 13

13

00 1

3−53 1

F 1 = F 1 − F 2

→

1 0 2 −10 1

3−53 1

F 2 = 3F 2

→

1 0 2 −10 1 −5 3

.

E n t o n c e s A−1 =

2 −1

−5 3

.

2 −3 1 04 4 0 1

F 1 = 1

2F 1

→

1 −32

12

04 4 0 1

F 2 = F 2 − 4F 1

→1 −3

212

00 10 −2 1

F 2 = 1

10F 2→

1 −3

212

00 1 −1

5110

F 1 = F 1 + 3

2F 1→



Á l g e b r a 2 9 9

1 0 1

5320

0 1 −15

1

10 .

E n t o n c e s B−1 = 1

5320−1

5110

.

2 0 1 00 3 0 1

F 1 = 1

2F 1→

1 0 1

2 00 3 0 1

F 2 = 1

3F 2→

1 0 1

2 00 1 0 1

3

.

E n t o n c e s C −1 =

12

00 1

3

.

6 . V e r i q u e q u e l a s m a t r i c e s A y B d e l e j e r c i c i o 5 ) s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n

(AB)−1 = B−1A−1.

B−1A−1 = 1

5320−1

5110

2 −1

−5 3

= −7

2014−9

1012

y

AB =

3 15 2

2 −34 4

=

10 −518 −7

.

10 −5 1 018 −7 0 1

F 1 = 1

10F 1→

1 −1

2110

018 −7 0 1

F 2 = F 2 − 18F 1

→

1 −12

1

10

00 2 −9

51 F 2 = 1

2

F 2→ 1 −1

2

1

10

00 1 −9

1012 F 1 = F 1 + 1

2

F 2→

1 0 −720

14

0 1 −910

12

. E n t o n c e s (AB)−1 = B−1A−1.

7 . S e a A u n a m a t r i z i n v e r t i b l e y s u p o n g a q u e l a i n v e r s a d e 7 A e s −1 24 −7

. E n c u e n t r e l a m a t r i z A .

−1 24 −7

= (7A)−1 = 1

7A−1 ⇒ A−1 = 7

−1 24 −7

⇒ A =

17 −1 2

4 −7−

1

−1 2 1 04 −7 0 1

F 2 = F 2 + 4F 1

→ −1 2 1 0

0 1 4 1

F 1 = F 1 − 2F 2

→



3 0 0 Á l g e b r a

−1 0 −7 −20 1 4 1

F 1 = −F 1

→ 1 0 7 20 1 4 1

A = 17

7 24 1

= 1 2

747

17

.

8 . S e a AX = B u n c u a l q u i e r s i s t e m a c o n s i s t e n t e d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s

y s u p ó n g a s e q u e X 1 e s u n a s o l u c i ó n j a . D e m u e s t r e q u e t o d a s o l u c i ó n p a r a

e l s i s t e m a s e p u e d e e s c r i b i r e n l a f o r m a X = X 1 + X 0 , e n d o n d e X 0 e s u n a

s o l u c i ó n p a r a AX = 0

. D e m u e s t r e t a m b i é n q u e t o d a m a t r i z d e e s t a f o r m a

e s u n a s o l u c i ó n .

S e a X 2 u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a AX = B. Y a q u e X 2 = X 1 + (X 2 −X 1), s e r á s u c i e n t e d e m o s t r a r q u e

(X 2−

X 1)e s u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a

AX = 0 y d e n i r X 0 = X 2 − X 1.

E n e f e c t o , A(X 2 − X 1) = AX 2 − AX 1 = B − B = 0.

A h o r a t e n e m o s q u e v e r i c a r q u e t o d a m a t r i z X d e l a f o r m a X 1+X 0 , d o n d e

X 1 e s u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e l s i s t e m a AX = B y X 0 e s u n a s o l u c i ó n d e l

s i s t e m a h o m o g é n e o AX = 0, e s t a m b i é n u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a .

E n e f e c t o , AX = A(X 1 + X 0) = AX 1 + AX 0 = B + 0 = B.

9 . E n c o n t r a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z d a d a , s i l a m a t r i z e s i n v e r t i b l e :

a) A = 3 4 −1

1 0 32 5 −4

b) B = 3 1 5

2 4 1−4 2 −9

c) C =

1 0 10 1 11 1 0

a) A p l i c a n d o s u c e s í v a m e n t e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 2 ←→

F 3, F 2 = F 2 − 3F 1, F 3 = F 3 − 2F 1, F 2 = 14F 2, F 3 = F 3 − 5F 2, F 3 = 2

5F 3, F 2 =F 2 + 5

2F 3, F 1 = F 1 − 3F 3

a l a m a t r i z 3 4 −1 1 0 0

1 0 3 0 1 02 5 −4 0 0 1

, o b t e n e m o s l a m a t r i z 1 0 0 32

−1110

−65

0 1 0 −1 1 10 0 1 −1

2710

25

. P o r l o q u e A−1 =

32

−1110

−65

−1 1 1−12

710

25

.



Á l g e b r a 3 0 1

b) A p l i c a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 3 = F 3 + 2F 1 y F 3 =

F 3 − F 2 a l a m a t r i z

3 1 5 1 0 02 4 1 0 1 0

−4 2 −9 0 0 1

, o b t e n e m o s l a m a t r i z

3 1 5 1 0 02 4 1 0 1 00 0 0 2 −1 1

.

P o r l o t a n t o l a m a t r i z B e s e q u i v a l e n t e a l a m a t r i z

3 1 52 4 10 0 0

, e s d e c i r ,

e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e o a s o c i a d o a l a m a t r i z B , 3x + y + 5z = 02x + 4y + z = 0

−4x + 2y + −9z = 0, e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a h o m o g é n e o d e d o s

e c u a c i o n e s e n t r e s v a r i a b l e s

3x + y + 5z = 02x + 4y + z = 0

0 = 0, q u e t i e n e u n a i n n i d a d d e

s o l u c i o n e s . P o r e l l o l a m a t r i z B

n o p u e d e s e r i n v e r t i b l e , y a q u e , s i l o f u e r a ,

e l s i s t e m a s e r í a c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o .

c) A p l i c a n d o l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 3 = F 3−

F 1, F 3 = F 3−

F 2, F 3 = −12 F 3,F 1 = F 1−F 3 y F 2 = F 2−F 3 a l a m a t r i z

1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 01 1 0 0 0 1

,

s e o b t i e n e l a m a t r i z

1 0 0 12

−12

12

0 1 0 −12

12

12

0 0 1 12

12

−12

.

E n t o n c e s C −1 =

12

−12

12−1

212

12

12

12

−12

.

1 0 . E f e c t ú e l a s o p e r a c i o n e s s o b r e l a s l a s q u e s i g u e n s o b r e

A =

3 1 0−2 1 43 5 5



3 0 2 Á l g e b r a

m u l t i p l i c a n d o p o r u n a m a t r i z e l e m e n t a l a p r o p i a d a . E n c a d a c a s o , v e r i q u e

l a r e s p u e s t a l l e v a n d o a c a b o l a o p e r a c i ó n s o b r e l a s l a s d i r e c t a m e n t e s o b r e

A .

a ) I n t e r c a m b i e l a p r i m e r a y t e r c e r a l a s .

b ) M u l t i p l i q u e l a s e g u n d a l a p o r 1 / 3 .

c ) S u m e e l d o b l e d e l a s e g u n d a l a a l a p r i m e r a .

a)

0 0 10 1 01 0 0

A =

3 5 5−2 1 43 1 0

b) 1 0 0

0 13 0

0 0 1 A = 3 1 0

−23

13

43

3 5 5

c)

1 2 00 1 00 0 1

A =

−1 3 8−2 1 43 5 5

1 1 . U n a c a j a q u e c o n t i e n e m o n e d a s c o n l a s d e n o m i n a c i o n e s d e u n c e n t a v o ,

c i n c o c e n t a v o s y d i e z c e n t a v o s t i e n e 1 3 d e e l l a s c o n u n v a l o r t o t a l d e 8 3

c e n t a v o s .

¾ C u á n t a s m o n e d a s d e c a d a t i p o h a y e n l a c a j a ?

H a y q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

x + y + z = 13x + 5y + 10z = 83

E l s i s t e m a a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a

x + y + z = 134y + 9z = 70,

s i s t e m a q u e t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s d e l a f o r m a (−18+5z4 , 70−9z

4 , z ).E n e l p r o b l e m a d a d o

0 ≤ z ≤ 13y , p a r a q u e

xe

yn o s e a n n e g a t i v o s ,

4 ≤ z ≤ 7. E l ú n i c o v a l o r d e z e n e s t e i n t e r v a l o t a l q u e x e y s e a n n ú m e r o s

n a t u r a l e s e s 6 . E n t o n c e s h a y 3 m o n e d a s d e 1 c e n t a v o , 4 d e c i n c o c e n t a v o s y

6 d e d i e z c e n t a v o s .

1 2 . ¾ P a r a c u á l v a l o r , o c u á l e s v a l o r e s , d e a

e l s i s t e m a s i g u i e n t e t i e n e c e r o ,

u n a y u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s ?



Á l g e b r a 3 0 3

x1 + x2 + x3 = 4x3 = 2

(a2 − 4)x3 = a − 2

L a m a t r i z a m p l i a d a a s o c i a d a a e s t e s i s t e m a e s l a m a t r i z

A =

1 1 1 40 0 1 20 0 a2 − 4 a − 2

.S i

a = −2, l a ú l t i m a e c u a c i ó n e s d e l

t i p o 0 = −4 y e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e . S i a = 2, l a m a t r i z A e s i g u a l a

1 1 1 40 0 1 20 0 0 0

y e l s i s t e m a t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s :

{(−t + 2, t, 2) : t ∈ R} .

S i a = ±2, p o d e m o s a p l i c a r l a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l F 3 = 1

a2−4F 3 a l a

m a t r i z A. E l s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a x1 + x2 + x3 = 4

x3 = 2x3 = 1

a+2

q u e e s c o m p a t i b l e y t i e n e u n a i n n i d a d d e s o l u c i o n e s {(2 − s,s, 2) : s ∈ R}

s ó l o s i

1a+2 = 2 , e s d e c i r , s ó l o s i a =

−32 .

1 3 . D e m o s t r a r q u e l a t r a s p o s i c i ó n d e m a t r i c e s s a t i s f a c e l a s s i g u i e n t e s

p r o p i e d a d e s .

a ) ∀A ∈ M m×n(K) t(tA) = A.

D a d o (i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n}, a p l i c a n d o l a d e n i c i ó n

t(tA)(i, j) =t A( j, i) = A(i, j).P o r c o n s i g u i e n t e , a l s e r m a t r i c e s d e l m i s m o o r d e n ,

t(tA) = A.b )

∀A, B ∈ M m×n(K) t(A + B) =t A +t B.D a d o (i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n}, a p l i c a n d o l a d e n i c i ó n

t(A + B)(i, j) = (A + B)( j, i) = A( j, i) + B( j, i) == (tA)(i, j) + (tB)(i, j) = (tA +t B)(i, j).

c ) ∀A ∈ M m×n(K), ∀B ∈ M n× p(K) A · B ∈ M m× p(K)

, c o n l o q u e

t(A ·B) ∈ M p×m(K). P o r o t r a p a r t e

tB ∈ M p×n(K),t A ∈ M n×m(K), . c o n l o q u e



3 0 4 Á l g e b r a

(tB ·t A) ∈ M p×m(K), e s d e c i r , s o n m a t r i c e s d e l m i s m o o r d e n . D a d o a h o r a

(i, j) ∈ {1,...,m} × {1,...,n},a p l i c a n d o l a d e n i c i ó n

t(A · B)(i, j) = (A · B)( j, i) =n

k=1

A( j, k) · B(k, i) =

=n

k=1

(tA)(k, j) · (tB)(i, k) =n

k=1

(tB)(i, k) · (tA)(k, j) =

=

tB ·t A

(i, j).

1 4 . D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e , e n t o n c e s

t(A) ∈ M n(K)


t (A−1) = (tA)−1

.S i A · A−1 = I n y A−1 · A = I n, p o r l a s p r o p i e d a d e s v i s t a s e n e l p r o b l e m a

a n t e r i o r

t(A · A−1) =t I n = I n =t (A−1) · (tA)y

t(A−1 · A) =t I n = I n =(tA) ··t (A−1) , c o n l o q u e

t (A−1) = (tA)−1

.

1 5 . S i A = (aij) ∈ M n(K) , s e d e n o m i n a traza d e A a l a s u m a d e l o s

e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e A, e s d e c i r ,

T r(A) = a11 + ... + ann =

ni=1

aii.

D e m o s t r a r q u e ∀A,B,C ∈ M n(K):

a ) T r(A + B) = T r(A) + T r(B).

T r(A+B) =n

i=1

(aii +bii) =( p o r l a s p r o p i e d a d e s a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a

d e + ) = (a11 + ... + ann) + (b11 + ... + bnn) =

n

i=1

aii

+

n

i=1

bii

.

b ) T r(AB) = T r(BA) .

S i AB = C y BA = D, T r(AB) = n

i=1

cii = n

i=1

n

k=1

aikbki = nk=1

ni=1

aikbki

= ( p o r l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a d e

·) = =n

k=1

ni=1

bkiaik =n

i=1

dii

= T r(BA)

.



Á l g e b r a 3 0 5

P o n e r u n c o n t r a e j e m p l o q u e p o n g a d e m a n i e s t o q u e

T r(A.B) = T r(A) · T r(B).

S i A =

1 11 1

y B = I 2 =

1 00 1

, A.B =

1 11 1

= A, p o r l o

q u e T r(A.B) = T r(A) = 2;

s i n e m b a r g o T r(A) · T r(B) = 2 · 2 = 4.

c ) S i e n d o C = AtA,

T r(AtA) = T r(C ) =n

i=1

C (i, i) =n

i=1

(n

k=1

A(i, k)tA(k, i)) =

=n

i=1

(n

k=1

A(i, k)A(i, k)) =n

i=1

n

k=1

a2ik

.

1 6 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s s i m é t r i c a s i

tA = A. D e m o s t r a r

q u e u n a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u c i e n t e p a r a q u e e l p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s

s i m é t r i c a s A, B ∈ M n(K) d é c o m o r e s u l t a d o u n a m a t r i z s i m é t r i c a e s q u e

AB = BA.V e a m o s q u e e s c o n d i c i ó n n e c e s a r i a :

H i p ó t e s i s : A y B s i m é t r i c a s y AB s i m é t r i c a . ¾ E n e s t a s c o n d i c i o n e s e s

AB = BA?t(AB) = a l s e r AB s i m é t r i c a = AB;P e r o t a m b i é n

t(AB) = (tB)(tA) = ( A l s e r A y B s i m é t r i c a s ) = AB.V e a m o s a h o r a q u e e s c o n d i c i ó n s u c i e n t e :

H i p ó t e s i s : A

y B

s i m é t r i c a s y AB = BA.

¾ E s e n e s t a s c o n d i c i o n e s AB

s i m é t r i c a ? S i AB = BA, t e n d r e m o s q u e

t(AB) =t (BA) = (tA)(tB) =( A l

s e r A

y B

s i m é t r i c a s ) = AB,

c o n l o q u e AB

e s s i m é t r i c a .

1 7 . D e t e r m i n a r α ∈ Cy β ∈ C

p a r a q u e l a m a t r i z A =

2 11 2

∈

M 2(C) s a t i s f a g a l a e c u a c i ó n A2 + αA + βI 2 = (0).U t i l i z a n d o l a r e l a c i ó n a n t e r i o r , y s a b i e n d o q u e A e s i n v e r t i b l e , c a l c u l a r

A−1. 2 11 2

2 11 2

= 5 44 5

, l u e g o h a y q u e r e s o l v e r l a e c u a c i ó n

5 44 5

+ α

2 11 2

+ β

1 00 1

=

0 00 0

,



3 0 6 Á l g e b r a

d e d o n d e 5 + 2α + β 4 + α

4 + α 5 + 2α + β = 0 00 0 ,

y e n c o n s e c u e n c i a α =

−4y

β = 3.P o r c o n s i g u i e n t e A2−4A+3I 2 = (0). S u p o n i e n d o q u e A t i e n e i n v e r s a A−1,

m u l t i p l i c a n d o p o r d i c h a m a t r i z a a m b o s l a d o s d e e s a e c u a c i ó n , o b t e n e m o s

A−1( A2−4A + 3I 2) = A−1(0) = (0), d e d o n d e A−4I 2 + 3A−1 = (0), e s d e c i r ,

A−1 = 13

(4I 2 − A) = 13

2 −1−1 2

=

23

−13−1

323

.

1 8 . S e d i c e q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e s i A2 = A.D e m o s t r a r q u e s i A ∈ M n(K) e s i d e m p o t e n t e , e n t o n c e s B = I n − A e s

i d e m p o t e n t e . D e m o s t r a r t a m b i é n q u e AB = (0)

y q u e BA = (0).

B2 = (I −

A)(I −

A) = I −

A−

A+A2. A l s e r A i d e m p o t e n t e I −

A−

A+A2 =I − A = B,

l u e g o B e s i d e m p o t e n t e . P o r o t r a p a r t e

AB = A(I − A) = A − A2 = A − A = (0)

BA = (I − A)A = A − A2 = A − A = (0).

1 9 . E n u n a f e r i a d e g a n a d o u n g r a n j e r o c o m p r ó p o l l o s , c o n e j o s y t e r n e r o s .

L o s p o l l o s l o s c o m p r ó a 5 0 p t s . , l o s c o n e j o s a 1 0 0 0 p t s . y l o s t e r n e r o s a

5 0 0 0 p t s .

C o m p r ó 1 0 0 a n i m a l e s y g a s t ó 1 0 0 . 0 0 0 p t s .

S a b i e n d o q u e c o m p r ó a n i m a l e s d e l a s 3 c l a s e s , a v e r i g u a r e l n ú m e r o d e

a n i m a l e s q u e c o m p r ó d e c a d a c l a s e .H a y q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s

x + y + z = 10050x + 1000y + 5000z = 100000E l s i s t e m a a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a

x + y + z = 10019y + 99z = 1900H a c i e n d o z = λ, s e t i e n e q u e y = 100 − 99λ

19, x = 80λ

19. D e l a s c o n d i c i o n e s

d e l e n u n c i a d o s e s i g u e q u e l a s s o l u c i o n e s d e b e n s e r e n t e r a s y p o s i t i v a s , p o r

l o q u e λ d e b e s e r m ú l t i p l o d e 19. S i λ = 0, n o c o m p r a r í a t e r n e r o s . S i λ = 19,z = 19, y = 1, x = 80. E s t a e s l a ú n i c a s o l u c i ó n p o s i b l e , p u e s s i λ = 19n y

n > 1, ys e r í a n e g a t i v o .

2 0 . E n e l á m b i t o d e l a s c i e n c i a s d e l a c o m p u t a c i ó n u n a c a d e n a o s t r i n g

e s u n a s e c u e n c i a d e i t e m s ( d a t o s ) d e a l g ú n c o n j u n t o ( o d o m i n i o ) d e d a t o s

d a d o . E n t é r m i n o s m a t e m á t i c o s u n a c a d e n a e s u n a p a l a b r a a1...an d e l o n g i -

t u d n ≥ 0. P a r a n = 0 s e t r a t a d e l a c a d e n a v a c í a ( a l a q u e e n s u m o m e n t o



Á l g e b r a 3 0 7

d e n o t a m o s p o r λ) y p a r a n ≥ 1 l o s e l e m e n t o s a1,...,an p e r t e n e c e n a l m i s -

m o c o n j u n t o o a l f a b e t o

A.E l e j e r c i c i o c o n s i s t e e n c o n s t r u i r u n m o d e l o d e

t i p o a b s t r a c t o d e d a t o s a l q u e d e n o m i n a r e m o s c a d e n a o s t r i n g , t e n i e n d o

e n c u e n t a q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l o s d a t o s y l a s c a d e n a s d e d a t o s d e u n

c o n j u n t o A = {a1,...,ak} , q u e l a s c a d e n a s s o n e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A∗

( c o n j u n t o d e t o d a s l a s c a d e n a s o p a l a b r a s d e n i d a s s o b r e e l a l f a b e t o A o

l e n g u a j e u n i v e r s a l s o b r e A), q u e h a y q u e c o n s i d e r a r l a p a l a b r a v a c í a c o m o

u n a c o n s t a n t e , y q u e c o m o o p e r a c i o n e s s o b r e l a s c a d e n a s c o n s i d e r a m o s l a s

s i g u i e n t e s : construye, q u e a p a r t i r d e u n e l e m e n t o d e A c o n s t r u y e u n a l i s -

t a d e l o n g i t u d 1, l a o p e r a c i ó n concat, d e n i d a s o b r e p a r e s d e p a l a b r a s p o r

concat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm , y l a s o p e r a c i o n e s i a ñ a d e ( i a d d ) y d a -

ñ a d e ( d a d d ) q u e a ñ a d e n , r e s p e c t í v a m e n t e , u n e l e m e n t o a l a i z q u i e r d a o a l a

d e r e c h a d e u n a c a d e n a d a d a . ( N o t a : S o n s u c i e n t e s 5 e c u a c i o n e s ) .

CADENA =1. T i p o s : CADENA,ALFABETO

2. C o n s t a n t e s :

a1,...,an ∈ ALFABETO,vac í a ∈ CADENA

3. O p e r a c i o n e s :

concat : CADENA × CADENA → CADENAconstruye : ALFABETO → CADENAiadd : ALFABETO × CADENA → CADENAdadd : CADENA × ALFABETO → CADENA


∀c, c, c” ∈ CADENA,∀a ∈ ALFABETOconcat(c,vac í a) = cconcat(vac í a, c) = cconcat(concat(c, c), c”) = concat(c, concat(c, c”))iadd(a, c) = concat(construye(a), c)dadd(c, a) = concat(c, construye(a))



1 . E n c o n t r a r u n v e c t o r u d i f e r e n t e d e c e r o c u y o p u n t o i n i c i a l e s P =(−1, 3, −5)

t a l q u e

a ) u t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (6, 7, −3).

3 0 8 Á l g e b r a

b ) u t i e n e d i r e c c i ó n o p u e s t a a l a d e v = (6, 7, −3).

S e a u = P Q, d o n d e Q = (x,y,z ). E n t o n c e s u = (x + 1, y − 3, z + 5).S i

ut i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e

v,

u = kv ⇔ (x + 1, y − 3, z + 5) =(6k, 7k, −3k)

a ) S e a k > 0 y Q = (6k − 1, 7k + 3, −3k − 5).b ) S e a

k < 0y

Q = (6k − 1, 7k + 3, −3k − 5).

2 . S e a n u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8), y w = (6, −1, −4). E n c o n t r a r l o s

e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e

c1u+c2v+c3w = (2, 0, 4).(2, 0, 4) = c1u + c2v + c3w = c1(−3, 1, 2) + c2(4, 0, −8) + c3(6, −1, −4) =

= (−3c1, c1, 2c1) + (4c2, 0, −8c2) + (6c3, −c3, −4c3) =

= (−3c1 + 4c2 + 6c3, c1 − c3, 2c1 − 8c2 − 4c3).

E n t o n c e s , t e n e m o s q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a −3c1 + 4c2 + 6c3 = 2c1 − c3 = 0

2c1 − 8c2 − 4c3 = 4

L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e r í a l a s i g u i e n t e :

a p l i c a n d o l a t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 1 ←→ F 2, F 3 = 12

F 3, F 3 = F 3 −F 1, F 2 = F 2 + 3F 1, F 3 = F 3 + F 2, F 2 = 1

4F 2, F 3 = 12F 3,

F 1 = F 1 + F 3, F 2 = F 2−

3

4

F 3 a l a m a t r i z −3 4 6 21 0 −1 02 −8 −4 4

, s e o b t i e n e l a m a t r i z

1 0 0 20 1 0 −10 0 1 2

.

L a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a e s {c1 = 2, c2 = −1, c3 = 2} .

3 . D e m o s t r a r q u e n o e x i s t e n l o s e s c a l a r e s c1, c2, c3 t a l e s q u e c1(−2, 9, 6)+c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).

C o m o e n e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , t e n e m o s q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a

−2c1

−3c2 + c3 = 0

9c1 + 2c2 + 7c3 = 56c1 + c2 + 5c3 = 4

A p l i c a n d o l a t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s F 3 = F 3+3F 1, F 1 = −1

2F 1, F 3 =

−18F 3, F 2 ←→ F 3, F 3 = F 3 − 9F 1, F 1 = F 1 − 3

2F 2,



Á l g e b r a 3 0 9

F 3 = − 223F 3, F 3 = F 3 − F 2

a l a m a t r i z −2 −3 1 09 2 7 56 1 5 4

, s e o b t i e n e l a m a t r i z

1 0 1 34

0 1 −1 −12

0 0 0 346

.

E l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .

4 . S e a n P e l p u n t o (2, 3, −2)

y Q e l p u n t o (7, −4, 1).

a ) E n c o n t r a r e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P y Q.b ) E n c o n t r a r e l p u n t o s o b r e e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a

P y

Qy e s t á

a

34 d e l a d i s t a n c i a d e P a Q.

a ) S e a n

v = OP = (2, 3, −2)y

w = OQ = (7, −4, 1)y

v + w = OR =(9, −1, −1) . E l s e g m e n t o OR c o r t a e l s e g m e n t o P Q e n u n p u n t o M , q u e

e s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n e n t r e l a s d i a g o n a l e s d e l p a r a l e l o g r a m o OPRQ.E n t o n c e s M e s e l p u n t o m e d i o d e P Q y M = v+w

2 = (92 , −12 , −12 ).b ) E l p u n t o s o b r e e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e u n e a P y Q y q u e e s t á a

34

d e l a d i s t a n c i a d e P a Q s e r á d a d o p o r e l p u n t o m e d i o e n t r e M y Q, e s d e c i r

p o r N = 12( v+w

2 + w) = ( 234 , −94 , 1

4).

5 . S u p o n e r q u e l a t r a s l a c i ó n d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xy

s e h a c e p a r a

o b t e n e r u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xyc u y o o r i g e n O

t i e n e l a s c o o r d e n a d a s

(2, −3).a ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s

xy d e l p u n t o

P c u y a s c o o r d e n a d a s

xys o n

(7, 5).b ) E n c o n t r a r l a s c o o r d e n a d a s xy d e l p u n t o Q c u y a s c o o r d e n a d a s xy

s o n

(−3, 6).c ) T r a z a r l o s e j e s d e c o o r d e n a d a s xy y xy

y l o c a l i z a r l o s p u n t o s P y

Q.

L a s e c u a c i o n e s d e t r a s l a c i ó n d e S = (O,x,y)

a S = (O, x, y)

y d e S =

(O, x, y)a

S = (O,x,y)s o n :

x = x − 2y = y + 3

y

x = x + 2y = y − 3

.

a ) P = (5, 8) e n S = (O, x, y).

b )

Q = (−1, 3)e n

S = (O,x,y).6 . D e m o s t r a r g e o m é t r i c a m e n t e q u e s i u y v s o n v e c t o r e s e n e l e s p a c i o

b i d i m e n s i o n a l o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l , e n t o n c e s

u + v ≤ u + v .



3 1 0 Á l g e b r a

U t i l i z a n d o l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o p a r a d e n i r u + v, l a d e s i g u a l d a d

u + v ≤ u + v s e s i g u e d e q u e l a l o n g i t u d d e u n o d e l o s l a d o s d e u n

t r i á n g u l o e s s i e m p r e m e n o r o i g u a l a l a s u m a d e l a s l o n g i t u d e s d e l o s o t r o s

d o s l a d o s .

7 . a ) D e m o s t r a r q u e v = (a, b) y w = (−b, a) s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s .

v · w = −ab + ba = 0.b ) U s a r e l r e s u l t a d o d e l i n c i s o a ) p a r a e n c o n t r a r d o s v e c t o r e s q u e s e a n

o r t o g o n a l e s a v = (2, −3).S e a v = (2, −3) = (a, b). E n t o n c e s , s e s i g u e d e l a p a r t e a ) q u e l o s v e c t o r e s

w1 = (−b, a) = (3, 2)y w2 = −w1 = (b, −a) = (−3, −2)

s o n o r t o g o n a l e s

a v.c ) E n c o n t r a r d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s q u e s e a n o r t o g o n a l e s a (−3, 4).S e a v = (a, b) = (−3, 4). C o m o e n l a p a r t e b ) , l o s v e c t o r e s w1 = (−b, a) =

(−4, −3)y

w2 = −w1 = (b, −a) = (4, 3)s o n o r t o g o n a l e s a

v.E n t o n c e s l o s

v e c t o r e s

u1 = w1

w1 = (−45

, 35

)y

u2 = w2

w2 = (45

, −35

)s o n u n i t a r i o s y o r t o g o n a l e s a

v.

8 . E x p l i c a r p o r q u é c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s c a r e c e d e

s e n t i d o .

S i u,v,w s o n v e c t o r e s e n e l p l a n o o e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l y k e s u n

n ú m e r o r e a l ,

a ) u · (v · w) :e l p r o d u c t o e s c a l a r e s t á d e n i d o e n t r e v e c t o r e s y

(v · w)e s

u n e s c a l a r .

b ) (u·v)+w :

l a s u m a e s t á d e n i d a e n t r e d o s v e c t o r e s o e n t r e d o s e s c a l a r e s ,

n o e n t r e u n e s c a l a r y u n v e c t o r .

c ) u · v :

l a n o r m a e s u n a f u n c i ó n d e n i d a s o b r e u n v e c t o r , n o u n

e s c a l a r .

d ) k · (u + v) :

e l p r o d u c t o e s c a l a r e s t á d e n i d o e n t r e v e c t o r e s y k

e s u n

e s c a l a r .

9 . S e a n v e c t o r e s i, j y k u n i t a r i o s a l o l a r g o d e l o s e j e s p o s i t i v o s x, y y z d e u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l . S i

v = (a,b,c)e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o , e n t o n c e s l o s á n g u l o s

α,β,y

γ e n t r e

v y l o s v e c t o r e s i, j y k , r e s p e c t i v a m e n t e , s e d e n o m i n a n á n g u l o s d i r e c t o r e s d e

v, y l o s n ú m e r o s

cos(α), cos(β )y

cos(γ )s e d e n o m i n a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e

v.

Á l g e b r a 3 1 1

a ) D e m o s t r a r q u e cos(α) = av .

cos(α) =i

·v

iv =a

v .( Y a q u e i = 1

)

b ) E n c o n t r a r cos(β ) y

cos(γ ).cos(β ) = j·v

jv = bv . ( Y a q u e

j = 1)

cos(γ ) = k·vkv = c

v .( Y a q u e

k = 1)

c ) D e m o s t r a r q u e

vv = (cos(α), cos(β ), cos(γ )).

vv = (a,b,c)

v = ( av , b

v , cv) = (cos(α), cos(β ) , cos(γ )).

d ) D e m o s t r a r q u e cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = 1.

cos2(α) + cos2(β ) + cos2(γ ) = vv 2= ( v

v)2 = 1.

1 0 . D e m o s t r a r q u e s i v e s o r t o g o n a l t a n t o a w1 c o m o a w2 , e n t o n c e s v e s

o r t o g o n a l a k1w1 + k2w2 p a r a t o d o s l o s e s c a l a r e s k1 y k2.

U t i l i z a n d o l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o e s c a l a r y q u e v·w1 = 0 y v·w2 = 0,s e o b t i e n e q u e v · (k1w1 + k2w2) = k1(v · w1) + k2(v · w2) = k10 + k20 = 0.

1 1 . E n c o n t r a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s

p u n t o s d a d o s .

a ) S e a n P = (5, −2, 4) y Q = (7, 2, −4).

L a r e c t a q u e p a s a p o r P

y Q

e s p a r a l e l a a l v e c t o r d e t e r m i n a d o p o r e l

s e g m e n t o

P Q = (2, 4, −8) y s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n : x = 5 + 2ky = −2 + 4kz = 4 − 8k

∞ < k < ∞

b ) S e a n P = (0, 0, 0)y Q = (2, −1, −3).

L a r e c t a q u e p a s a p o r P y Q e s p a r a l e l a a l v e c t o r d e t e r m i n a d o p o r e l

s e g m e n t o

P Q = (2, −1, −3) y s u s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s s o n : x = 2ky = −k

z = −3k∞ < k < ∞

3 1 2 Á l g e b r a

1 2 . D e m o s t r a r q u e l a r e c t a r : x = 0y = tz = t ∞

< t <∞

a ) p e r t e n e c e a l p l a n o π1 : 6x + 4y − 4z = 0 :∀t 6 · 0 + 4t − 4t = 0 ⇒ r ⊂ π1.

b ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π2 : 5x − 3y + 3z = 1y e s t á p o r a b a j o d e é s t e :

π2 ∩ r = ∅p o r q u é

∀t 5 · 0 − 3t + 3t = 0 = 1,e n t o n c e s

re s p a r a l e l a a

π2.A d e m á s O = (0, 0, 0) ∈ r y e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e π2 c o n e l e j e z e s

(0, 0, 13

).c ) e s p a r a l e l a a l p l a n o π3 : 6x + 2y − 2z = 1

y e s t á p o r a r r i b a d e é s t e :

π3 ∩ r = ∅p o r q u é

∀t 6 · 0 + 2t − 2t = 0 = 1,e n t o n c e s

re s p a r a l e l a a

π3.A d e m á s

O = (0, 0, 0) ∈ ry e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e

π3 c o n e l e j e z

e s

(0, 0, −12 ).

1 3 . E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π1 q u e p a s a p o r e l p u n t o P =(3, −6, 7) y e s p a r a l e l o a l p l a n o π2 : 5x − 2y + z − 5 = 0.

L a d i r e c c i ó n n o r m a l ( o r t o g o n a l ) a l p l a n o π1 e s t á d a d a p o r e l v e c t o r

n1 =(5, −2, 1).

L a e c u a c i ó n d e l p l a n o π2 e n f o r m a p u n t o - n o r m a l e s : 5(x − 3) − 2(y +6)+(z − 7)

y e n f o r m a g e n e r a l : 5x − 2y + z − 34 = 0.

1 4 . D e m o s t r a r q u e l a s r e c t a s

r1 :

x − 3 = 4ty − 4 = tz − 1 = 0

∞ < t < ∞y r2 :

x + 1 = 12sy − 7 = 6sz − 5 = 3s

, ∞ < s < ∞

s e c o r t a n y e n c o n t r a r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n .

r1 :

x = 3 + 4ty = 4 + t

z = 1∞ < t < ∞

y r2 :

x = −1 + 12sy = 7 + 6sz = 5 + 3s

, ∞ < s < ∞

T e n e m o s q u e e n c o n t r a r d o s v a l o r e s d e t y s t a l e s q u e

3 + 4t = −1 + 12s4 + t = 7 + 6s1 = 5 + 3s

.

E s t o s v a l o r e s s o n s = −4

3 y t = −5.

E l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n e s P =

(−17, −1, 1).

Á l g e b r a 3 1 3

1 5 . H a l l a r l a e c u a c i ó n d e l p l a n o π q u e c o n t i e n e l a s r e c t a s d e l e j e r c i c i o

1 5 .

E l p l a n o π t i e n e q u e p a s a r p o r e l p u n t o P = (−17, −1, 1) y s e r p a r a l e l o

a r1 y a

r2.S i n = (a,b,c) e s l a d i r e c c i ó n o r t o g o n a l a l p l a n o π, s e o b t i e n e q u e

π : a(x +17)+ b(y +1)+ c(z −1) = 0, d o n d e

n ·(4, 1, 0) = n ·(12, 6, 3) = 0,s i e n d o (4, 1, 0) y (12, 6, 3) d o s v e c t o r e s p a r a l e l o s a l a s r e c t a s r1 y r2, r e s p e c -

t i v a m e n t e .

L a r e l a c i o n e s n · (4, 1, 0) = n · (12, 6, 3) = 0 i m p l i c a n q u e 4a + b = 0 y

12a+6b+3c = 0. T o d o s l o s v e c t o r e s n = (a, −4a, 4a), ∞ < a < ∞, a = 0,s e r á n o r t o g o n a l e s a l a s d o s r e c t a s d a d a s . E n t o n c e s , π : (x +17) − 4(y + 1 ) +

4(z − 1) = x − 4y + 4z + 9 = 0.

1 6 . D e m o s t r a r q u e s i v e s u n v e c t o r d i f e r e n t e d e c e r o e n Rn, e n t o n c e s

vv

t i e n e l a n o r m a e u c l í d e a 1 .

U t i l i z a n d o u n a d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a n o r m a e u c l í d e a :

v

v = | 1

v | v = v v = 1.

1 7 . ¾ P a r a q u é v a l o r e s d e k s e c u m p l e q u e u y v s o n o r t o g o n a l e s ?

a ) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k).

u · v = 2 + 7 + 3k = 9 + 3k = 0 ⇐⇒ k = −3.b )

u = (k,k, 1), v = (k, 5, 6).u · v = k2 + 5k + 6 = 0 ⇐⇒ k = −2 o k = −3.

1 8 . D e m o s t r a r l a i d e n t i d a d u + v2 + u − v2 = 2u2 + 2v2

p a r a

v e c t o r e s e n Rn. I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e r e s u l t a d o e n

R2.

E l r e s u l t a d o e s u n a c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a d e l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s :

u + v

2 = (u + v)

·(u + v) = u

·u + u

·v + v

·u + v

·v =

u

2 +

v

2

u − v2 = (u − v) · (u − v) = u · u − u · v − v · u + v · v = u2 + v2E n

R2, u t i l i z a n d o l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o p a r a d e t e r m i n a r e l v e c t o r

u + v,l a i d e n t i d a d

u + v2 + u − v2 = 2u2 + 2v2s e p u e d e i n t e r p r e t a r

c o m o : l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l a s l o n g i t u d e s d e l a s d i a g o n a l e s d e u n



3 1 4 Á l g e b r a

p a r a l e l o g r a m o e s i g u a l a l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l a s l o n g i t u d e s d e s u s

l a d o s .

1 9 . D e m o s t r a r q u e s i u y v s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s e n Rn

t a l e s q u e

u = 1y

v = 1, e n t o n c e s

d(u, v) =√

2.I n t e r p r e t a r g e o m é t r i c a m e n t e e s t e

r e s u l t a d o e n R2.

d2(u, v) = u − v2 = (u − v) · (u − v) = u · u − u · v − v · u + v · v == u2 + v2 = 2 =⇒ d(u, v) =

√ 2.

E n R2

e s t e r e s u l t a d o e s u n a a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s a l t r i á n -

g u l o r e c t á n g u l o d e l a d o s u n i t a r i o s u y v.2 0 . S e a (

F (R,R), +, ◦) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l a s f u n c i o n e s d e R

e n R.

D e t e r m i n a r s i l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n o n o s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s d e

F (R,R) :a )

{f ∈ F (R,R) |∀x ∈ R f (x) = f (−x)} .b )

{f ∈ F (R,R) | f (1) = 0} .c )

{f ∈ F (R,R) | f (2) = f (3)} .

a ) H = {f ∈ F (R,R) |∀x ∈ R f (x) = f (−x)} . S í e s s u b e s p a c i o v e c t o r i a l ,

p u e s o b v i a m e n t e l a f u n c i ó n n u l a 0 ∈ H, p u e s ∀x ∈ R 0(x) = 0 = 0(−x) , y

s i f, g∈H y α, β ∈ R, (αf + βg)(x) = αf (x) + βg(x) =( p u e s t o q u e f, g∈H )

= αf (−x) + βg(−x) = (αf + βg)(−x).b )

H = {f ∈ F (R,R) | f (1) = 0} .S í e s s u b e s p a c i o v e c t o r i a l , p u e s o b -

v i a m e n t e l a f u n c i ó n n u l a 0 ∈ H, p u e s 0(1) = 0 , y s i f, g∈H y α, β ∈R, (αf + βg)(1) = αf (1) + βg(1) =

( p u e s t o q u e

f, g∈H ) = α0 + β 0 = 0.c ) H = {f ∈ F (R,R) | f (2) = f (3)} . S í e s s u b e s p a c i o v e c t o r i a l , p u e s o b -

v i a m e n t e l a f u n c i ó n n u l a 0 ∈ H, p u e s 0(2) = 0 = 0(3) , y s i f, g∈H y

α, β ∈ R, (αf + βg)(2) = αf (2) + βg(2) = ( p u e s t o q u e f, g∈H ) = αf (3) +βg(3) = (αf + βg)(3).

2 1 . D e m o s t r a r q u e e l s u b c o n j u n t o H f o r m a d o p o r t o d a s l a s n − tuplasd e n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e l o s e l e m e n t o s d e c a d a n − tupla f o r m a n u n a

p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a , e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Rn.

S i (a1,....,an) ∈ H, l o s e l e m e n t o s a1,....,an e s t á n e n p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a .

P o r c o n s i g u i e n t e , s i e n d o d

l a r a z ó n d e l a p r o g r e s i ó n ,

(a1, a2,....,an) = (a1, a1 + d,....,a1 + (n − 1)d)

O b v i a m e n t e (0, 0,..., 0) ∈ H

( p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a d e r a z ó n d = 0,

y

c u y o p r i m e r e l e m e n t o e s e l 0).



Á l g e b r a 3 1 5

S e a n (a1, a1 + d,....,a1 + (n − 1)d), (b1, b1 + d,....,b1 + (n − 1)d) ∈ H y

α, β ∈R

.E n e s e c a s o

α(a1, a1 + d,....,a1 + (n − 1)d) + β (b1, b1 + d,....,b1 + (n − 1)d) =

= (αa1 + βb1, (αa1 + βb1) + αd + βd, ...., (αa1 + βb1) + α(n − 1)d +

+ β (n − 1)d).

E s d e c i r , e s u n e l e m e n t o d e H, p u e s t o q u e e s u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a d e

r a z ó n αd + βdy c u y o p r i m e r e l e m e n t o e s αa1 + βb1 .

2 2 . S e d i c e q u e A ∈ M n(K) e s s i m é t r i c a s i

tA = A. S i d e n o t a m o s p o r

S n(K) a l c o n j u n t o d e l a s m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e o r d e n n, d e m o s t r a r q u e S n(K)e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M n(K).

V e á m o s l o u s a n d o l a o t r a c a r a c t e r i z a c i ó n d e l o s s u b e s p a c i o s v e c t o r i a l e s :

O b v i a m e n t e l a m a t r i z (0) e s s i m é t r i c a , p u e s

t(0) = (0), l u e g o (0) ∈ S n(K).

P o r o t r a p a r t e , s i A, B ∈ S n(K), s e v e r i c a q u e

t(A) = A y

t(B) = B.P e r o

t(A + B) =t (A) +t (B) = A + B y , e n c o n s e c u e n c i a , A + B ∈ S n(K),y s i A ∈ S n(K) y α ∈ K, t(αA) = αt(A) = αA.

R e c o r d e m o s q u e u n a m a t r i z A ∈ M n(K) e s a n t i s i m é t r i c a s i

tA = −A.¾ C o n s t i t u y e n l a s m a t r i c e s a n t i s i m é t r i c a s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e M n(K)?

J u s t i f í q u e s e l a r e s p u e s t a .

V e a m o s q u e s i : (0) e s a n t i s i m é t r i c a , p u e s

t(0) = (0) = −(0). S i A, Bs o n a n t i s i m é t r i c a s

t(A) =−

A y

t(B) =−

B, c o n l o q u e

t(A + B) =t (A) +t

(B) = −A + (−B) = −(A + B), y s i A e s a n t i s i m é t r i c a y α ∈ K, e n t o n c e s

t(αA) = αt(A) = α(−A) = −(αA).

2 3 . E n R4

s e c o n s i d e r a e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H = L(A) g e n e r a d o p o r e l

c o n j u n t o A d e v e c t o r e s A = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2, −1, 1, 0), (3, −3, 0, 0)}.¾ P e r t e n e c e e l v e c t o r (1, 1, 1, 0) a l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l H ?

C o m o h e m o s v i s t o , e x i s t e n v a r i a s f o r m a s d e r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a . L a

m á s d i r e c t a e s u t i l i z a r e l m é t o d o d e G a u s s :

c o n s i d e r e m o s l a m a t r i z d e c o o r d e n a d a s d e l o s 5 v e c t o r e s a n t e r i o r e s r e s p e c -

t o d e l a b a s e c a n ó n i c a , y m e d i a n t e t r a n s f o r m a c i o n e s p o r c o l u m n a o b t e n e m o s

u n a m a t r i z g a u s s i a n a : 1 0 2 3 1

−1 1 −1 −3 10 1 1 0 10 0 0 0 0

c3 = c3 − 2c1c4 = c4 − 3c1c5 = c5 − c1

→

1 0 0 0 0

−1 1 1 0 20 1 1 0 10 0 0 0 0



3 1 6 Á l g e b r a

c3 = c3−

c2c5 = c5 − 2c1 →

1 0 0 0 0

−1 1 0 0 0

0 1 0 0 −10 0 0 0 0

C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , l a m a t r i z e s g a u s s i a n a , c o n l o q u e s u r a n g o e s 3 .

S i n e m b a r g o , e l r a n g o c o r r e s p o n d i e n t e a l a m a t r i z f o r m a d a p o r l a s 4 p r i m e r a s

l a s e s 2 , c o n l o q u e l o s v e c t o r e s c o l u m n a c1, c2 y c5 c o n s t i t u y e n u n s i s t e m a

l i b r e . E l v e c t o r (1, 1, 1, 0)

n o p e r t e n e c e a l s u b e s p a c i o H.

2 4 . E n e l R − e.v. R3

c o n s u e s t r u c t u r a d e e s p a c i o v e c t o r i a l h a b i t u a l

d e t e r m i n a r s i l o s s i s t e m a s d e v e c t o r e s

(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 3), (2, 0, 1), (

−1, 2, 2)

s o n l i b r e s o l i g a d o s .

C o m o e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r , h a y v a r i a s f o r m a s d e r e s o l v e r l o . L a m á s

s e n c i l l a e s u t i l i z a r e l m é t o d o d e G a u s s , p e r o l o v a m o s a h a c e r d e d o s f o r m a s

d i s t i n t a s :

a ) M o d o 1 ) : S e a n α,β,γ ∈ R

t a l e s q u e

α(1, 1, 1) + β (1, 1, 0) + γ (1, 0, 0) = (0, 0, 0).

E n e s e c a s o

(α + β + γ, α + β, α) = (0, 0, 0),d e d o n d e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s , α = 0, β = 0, γ = 0. E s d e c i r ,

e l s i s t e m a { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}

e s l i b r e .

M o d o 2 ) : C o n s i d e r a m o s l a m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s

d e l o s v e c t o r e s r e s p e c t o d e u n a b a s e d e l e s p a c i o v e c t o r i a l c o n s i d e r a d o ( e n

e s t e c a s o l a b a s e c a n ó n i c a d e R3) y h a l l a m o s e l r a n g o d e e s a m a t r i z . S i e l

r a n g o d e l a m a t r í z c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e v e c t o r e s , e l s i s t e m a e s l i b r e . S i

a l h a c e r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s o b t e n e m o s u n a c o l u m n a

d e c e r o s , e l v e c t o r c o r r e s p o n d i e n t e a e s a c o l u m n a s e p u e d e e x p r e s a r c o m o

c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s a n t e r i o r e s y e l s i s t e m a e s l i g a d o . E n n u e s t r o c a s o : 1 1 11 1 01 0 0

e s l a m a t r i z . E s t á c l a r o q u e e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a . P o r

c o n s i g u i e n t e e l r a n g o e s 3 , y e l s i s t e m a d e v e c t o r e s e s l i b r e .

b ) L o h a c e m o s d e l s e g u n d o m o d o :



Á l g e b r a 3 1 7

1 2 −12 0 23 1 2 ; p u e s t o q u e n o e s g a u s s i a n a , l a c o n v e r t i m o s e n g a u s s i a n a

r e a l i z a n d o t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s : 1 2 −12 0 23 1 2

c3 = c3 − c1 → 1 2 −2

2 0 03 1 −1

c3 = c3 + c2 → 1 2 02 0 03 1 0

E s t á c l a r o q u e e l r a n g o d e l s i s t e m a d e v e c t o r e s e s 2 , y q u e e l c o r r e s -

p o n d i e n t e a l a ú l t i m a c o l u m n a s e e x p r e s a c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s

c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s d o s p r i m e r a s . P o r c o n s i g u i e n t e e l s i s t e m a e s l i g a d o .

2 5 . C o n s i d e r a m o s e l Z2− e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s b y t e s (

Z82, +, ·) c o n l a

s u m a y p r o d u c t o p o r e s c a l a r e s y a d e n i d o s . S e p i d e d e t e r m i n a r s i e l s i s t e m a

d e v e c t o r e s

(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

e s l i b r e o l i g a d o y h a l l a r e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e l c o n j u n t o d e

e s o s d o s v e c t o r e s .

E s o b v i o q u e e l s i s t e m a e s l i b r e , p u e s n i n g u n o d e l o s d o s v e c t o r e s q u e c o n s -

t i t u y e n e l s i s t e m a s e p u e d e e x p r e s a r e n f u n c i ó n d e l o t r o ( c o m o c o m b i n a c i ó n

l i n e a l d e l m i s m o ) . D e o t r o m o d o , s i α, β ∈Z2 s o n t a l e s q u e

α(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) + β (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),


(α, 0, 0, 0,α,α,α, 0) + (0, β , β , β , β , β , β , 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

d e d o n d e α = β = 0.E l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r e s t o s v e c t o r e s e s

H =

{(x1,...,x8)

∈Z82

|∃α, β ∈ Z2..(x1,...,x8) = α(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) + β (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)}.

2 6 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l P 4(C)

d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o

i g u a l q u e 4 c o n c o e c i e n t e s e n C

s e c o n s i d e r a e l p o l i n o m i o p(x) = x4−x2 + 2.



3 1 8 Á l g e b r a

D e m o s t r a r q u e e l s i s t e m a p(x), p(x), p(x), p(x) f o r m a d o p o r e l p o l i n o m i o

p(x)y s u s s u c e s i v a s d e r i v a d a s ( h a s t a l a t e r c e r a ) e s u n s i s t e m a l i b r e .

L o h a c e m o s p o r e l m é t o d o d e G a u s s :

p(x) = 4x3 − 2x, p(x) = 12x2 − 2, p(x) = 24xS i e n d o B = {1, x , x2, x3, x4}, l a m a t r i z d e c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l

s i s t e m a c o n s i d e r a d o e s 2 0 −2 00 −2 0 24

−1 0 12 00 4 0 01 0 0 0

; l a m a t r i z e s g a u s s i a n a , y p o r c o n s i g u i e n t e s u

r a n g o e s i g u a l a l n ú m e r o d e v e c t o r e s c o l u m n a n o n u l o s , e s d e c i r , 4. P o r t a n t o

u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o

H = L{ p(x), p(x), p(x), p(x)} e s

{ p(x), p(x), p(x), p(x)},

c o n l o q u e e l s i s t e m a { p(x), p(x), p(x), p(x)} e s l i b r e .

2 7 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l F (N,R) d e l a s s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r e a l e s ,

c o n l a s u m a y p r o d u c t o h a b i t u a l e s , c o n s i d e r a m o s e l c o n j u n t o

H = {(xn) ∈ F (N,R) |∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn}

a ) D e m o s t r a r q u e H e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e

F (N,R).

b ) C o m p r o b a r q u e dim(H ) = 2.a )

i)E v i d e n t e m e n t e l a s u c e s i ó n n u l a

(0) ∈ H,p u e s l a r e l a c i ó n

xn+2 =xn+1 + xn s e t r a d u c i r í a e n e s t e c a s o e n q u e 0 = 0 + 0, l o c u a l e s c i e r t o .

ii) S i (xn), (yn) ∈ H, t e n d r e m o s q u e

xn+2 = xn+1 + xn

yn+2 = yn+1 + yn

c o n l o q u e xn+2 + yn+2 = (xn+1 + yn+1) + (xn + yn),

e s d e c i r , l a s u c e s i ó n

(xn) + (yn) ∈ H.iii) F i n a l m e n t e , s i (xn) ∈ H y α ∈ R, v a m o s a v e r q u e α(xn) ∈ H :p u e s t o q u e

(xn) ∈ H, xn+2 = xn+1 + xn y e n c o n s e c u e n c i a , m u l t i p l i c a n d o

l o s d o s m i e m b r o s d e l a i g u a l d a d p o r α, αxn+2 = αxn+1 + αxn , e s d e c i r , l a

s u c e s i ó n

(αxn) = α(xn) ∈ H.b ) P a r a r e s o l v e r e s t e a p a r t a d o l o q u e h a y q u e t e n e r e n c u e n t a e s : s i l a

s u c e s i ó n (xn) ∈ H, ¾ c u á n t o s p a r á m e t r o s m e d e t e r m i n a n l a s u c e s i ó n ? . E s

o b v i o q u e s i ∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn,

c o n o c i d o s x1 y

x2,l a s u c e s i ó n q u e d a

c o m p l e t a m e n t e d e t e r m i n a d a , p u e s x3 = x1 + x2,....



Á l g e b r a 3 1 9

L u e g o s i c o n s i d e r a m o s l a s s u c e s i o n e s d e (xn), (yn) ∈ H q u e s a t i s f a c e n l a s

c o n d i c i o n e s x1

= 1x2 = 0 , y y

1= 0

y2 = 1 , d a d a c u a l q u i e r s u c e s i ó n (z n) ∈ H , s i z 1 = αz 2 = β

, r e s u l t a q u e

z 1 = αx1 + βy1

z 2 = αx2 + βy2, y , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e e s o s

d o s v a l o r e s d e t e r m i n a n l a s u c e s i ó n (z n) ∈ H, r e s u l t a q u e (z n) = α(xn) +β (yn).

P o r t a n t o {(xn), (yn)}

e s u n s i s t e m a g e n e r a d o r d e H.

P o r o t r a p a r t e ,

e s i n m e d i a t o q u e e s l i b r e , p u e s s i α(xn) + β (yn) = (0) ( s u c e s i ó n n u l a ) , e n

p a r t i c u l a r

αx1 + βy1 = 0αx2 + βy2 = 0

, d e d o n d e

α · 1 + β · 0 = 0α · 0 + β · 1 = 0

, e s d e c i r , α =

β = 0. P o r t a n t o ,

dim(H ) = 2.

2 8 . H a l l a r e l r a n g o d e l a s s i g u i e n t e s m a t r i c e s :

A =

1 3 22 1 10 2 0

, B =

1 3 0 2

−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0

, C =

1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1

.

A =

1 3 22 1 1

0 2 0

c2 = c2 − 3c1c3 = c3

−2c1

1 0 02 −5 −3

0 2 0

E l r a n g o d e A e s

3 .

B =

1 3 0 2

−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0

c2 = c2 + c1

c3 = c3 + 2c1c4 = c4 + c1

1 4 2 3

−1 0 0 02 4 7 21 7 4 35 6 11 5

c3 = c3 − 12

c2c4 = c4 − 3

4c2

1 4 0 0−1 0 0 02 4 5 −11 7 1

2−94

5 6 8 12

c4 = c4 + 15c3

1 4 0 0−1 0 0 02 4 5 01 7 1

2−4320

5 6 8 2110

E l r a n g o d e B

e s 4 .

C =

1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1

F 2 = F 2 − 2F 1F 3 = F 3 − F 1

1 0 1 7 1 10 1 0 −13 1 20 2 0 −6 2 0

3 2 0 Á l g e b r a

F 3 = F 3−

2F 1 1 0 1 7 1 10 1 0

−13 1 2

0 0 0 20 0 −4 E l r a n g o d e C e s 3 .

2 9 . E n c o n t r a r u n a b a s e y h a l l a r l a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o d e m a t r i c e s

t r i a n g u l a r e s s u p e r i o r m e n t e T n(K).T n(K) = { A = ( a ij )

∈ M n(K) | a ij = 0 s i j < i } .

P a r a t o d o s s = 1 , . . . , n y t = i , . . . , n , s e a E st ∈ M n(K) l a m a t r i z

d e n i d a p o r

E st =

0 s i (i, j) = (s, t)1

s i (i, j) = (s, t)

.

S e a B = {E st : s = 1, ..., n, t = s,...,n} . Q u e r e m o s v e r i c a r q u e B e s

u n a b a s e d e

T

n

(K

).B e s l i b r e y a q u e s i

s=1,...,n

t=s,...,n astE st = (0) ∈ M n(K)

, e n t o n c e s ,

p a r a t o d o i = 1 , . . . , n y j = i , . . . , n , s e v e r i c a q u e

s=1,...,n

t=s,...,n astE st(i, j) =

aijE ij(i, j) = aij = 0 .

B e s g e n e r a d o r y a q u e s i A = ( a st ) ∈ M n(K) , A =

s=1,...,n

t=s,...,n astE st.

P a r a t o d o s = 1 , . . . , n , e l n ú m e r o d e m a t r i c e s E st c o n t = s , . . . , n e s ( n - s + 1 ) ,

s e s i g u e q u e

e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e B e s n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + . . . + 2 + 1 = n ( n + 1 ) / 2 .

3 0 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l Z52,

h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

H = L({ 0 1 0 1 1 , 0 1 0 0 1 ,0 0 0 1 0

,

0 1 1 1 1}).

0 0 0 01 1 0 10 0 0 11 0 1 11 1 0 1

c2 = c2 + c1c4 = c4 + c1

0 0 0 01 0 0 00 0 0 11 1 1 01 0 0 0

c3 = c3 + c2

0 0 0 01 0 0 00 0 0 11 1 0 01 0 0 0



Á l g e b r a 3 2 1

L a d i m e n s i ó n d e H e s 3 y u n a b a s e e s

B = { 0 1 0 1 1 , 0 1 0 0 1 , 0 1 1 1 1 }3 1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l

R3, h a l l a r u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

H = L({(3, 2, −1), (1, 1, 1), (4, 3, 0)}). 3 1 42 1 3

−1 1 0

c3 = c3 − c1

3 1 12 1 1

−1 1 1

c3 = c3 − c2

3 1 02 1 0

−1 1 0

c2 = c2 + c1 3 4 02 3 0

−1 0 0

.

E n t o n c e s l a d i m e n s i ó n d e H e s 2 y u n a b a s e e s B = {(3, 2, −1), (1, 1, 1)}.



1 . R a z o n a r s i l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s s o n o n o l i n e a l e s ( e n c a d a u n o d e

l o s c o n j u n t o s c o n s i d e r a d o s s e c o n s i d e r a s u e s t r u c t u r a h a b i t u a l d e e s p a c i o


a) f : R3 → R

(x,y,z ) x + 2y − 3z b) f : R3 → R

(x,y,z ) xyz

c) f : R2 → R

(x, y) x2 + y

U n i c a m e n t e e s l i n e a l l a d e l a p a r t a d o

a).L a d e l a p a r t a d o

b)n o p u e s t o

q u e , p o r e j e m p l o , f ((1, 1, 1) + (1, 1, 1)) = f (2, 2, 2) = 2 · 2 · 2 = 8,

m i e n t r a s

q u e f (1, 1, 1) + f (1, 1, 1) = 1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 1 = 2.L a d e l a p a r t a d o

c)n o e s l i n e a l p u e s p o r e j e m p l o ,

f (2·(1, 1, 1)) = f (2, 2, 2) =6, m i e n t r a s q u e 2 · f (1, 1, 1) = 2(12 + 1) = 4.



3 2 2 Á l g e b r a

2 . D a d a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

f (1, 0) = (3, 4, 1), f (0, 1) = (−1, 0, 1),

d e t e r m i n a r f (3, 1)y f (2, −1).

(3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1), l u e g o , p u e s t o q u e f e s l i n e a l ,

f (3, 1) = f (3(1, 0) + 1(0, 1)) =

= 3f (1, 0) + f (0, 1) = 3(3, 4, 1) + (−1, 0, 1) =

= (9, 12, 3) + (−1, 0, 1) = (8, 12, 4).

A n á l o g a m e n t e , p u e s t o q u e (2, −1) = 2(1, 0) + (−1)(0, 1) ,

f (2, −1) = f (2(1, 0) + (−1)(0, 1)) =

= 2f (1, 0) + (−1)f (0, 1) = 2(3, 4, 1) + (1, 0, −1) =

= (6, 8, 2) + (1, 0, −1) = (7, 8, 1).

3 . D e t e r m i n a r s i l a f u n c i ó n T : M 2(R) → R, d o n d e

a ) T a b

c d = 3a

−4b + c

−d

b ) T

a bc d

= a2 + b2

e s u n a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l .

a ) S e a n k, l ∈ Ry A =

a1 b1c1 d1

, B =

a2 b2c2 d2

∈ M 2(R).

T

k

a1 b1c1 d1

+ l

a2 b2c2 d2

= T

ka1 + la2 kb1 + lb2kc1 + lc2 kd1 + ld2

=

= 3(ka1+la2)−4(kb1+lb2)+(kc1+lc2)−(kd1+ld2) = k(3a1−4b1+c1−d1)+

+l(3a2 − 4b2 + c2 − d2) = kT

a1 b1c1 d1

+ lT

a2 b2c2 d2

.E n t o n c e s

T

e s l i n e a l .

b ) S e a n k, l ∈ R

y A =

1 10 0

, B =

1 00 0

∈ M 2(R).

E n t o n c e s ,

T

1 10 0

+

1 00 0

= T

2 10 0

= 5

y



Á l g e b r a 3 2 3

T 1 10 0 = 2, T

1 00 0 = 1.

T n o e s l i n e a l y a q u e T (A) + T (B) =

T (A + B).4 . S e a T : R2 → R2

e l o p e r a d o r l i n e a l d e n i d o p o r l a e x p r e s i ó n T (x, y) =(2x − y, −8x + 4y).

¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n R(T )

?

a ) ( 1 , - 4 ) b ) ( 5 , 0 ) c ) ( - 3 , 1 2 )

T (x, y) = (2x − y, −4(2x − 4)).a ) T (0, 1) = (1, −4) ∈ R(T ).b )

(5, 0)n o p u e d e e s t a r e n

R(T )y a q u e

−4(5) = 0.c ) T (0, 3) = (−3, 12) ∈ R(T ).

5 . S e a

T :P2 →

P3

l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T ( p(x)) = xp(x).¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s e s t á n e n

Ker(T )?

a ) x3b ) 0 c ) 1 + x

a ) T (x3) = x4 = 0 → x3 /∈ Ker(T )b )

0 ∈ Ker(T )y a q u e

T e s l i n e a l .

c ) T (1 + x) = x + x2 = 0 → x3 /∈ Ker(T ).

6 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n p r o p o r c i o n a d a o b t e n e r l a n u -

l i d a d d e T .

a )

T : R5

→ R

7t i e n e r a n g o 3 , e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 5 - 3 = 2 .

b ) T : P4 → P3 t i e n e r a n g o 1 , e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 5 - 1 = 4 .

c ) T (R6) = R3,

e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 6 - 3 = 3 .

d ) T : M 2(R) → M 2(R) t i e n e r a n g o 3 , e n t o n c e s l a n u l i d a d d e T e s 4 - 3 = 1 .

7 . S e a T : R2 → R2l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e l a r e c t a y = x .

a ) E n c o n t r a r e l n ú c l e o d e T .

K e r ( T ) e s e l s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e R2

q u e t i e n e p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l

( 0 , 0 ) s o b r e l a r e c t a y = x . E n t o n c e s e s l a r e c t a y = - x .

b ) ¾ E s T u n o a u n o ? J u s t i c a r l a c o n c l u s i ó n .

T e s l i n e a l y s u n ú c l e o e s d i s t i n t o d e { 0 } , e n t o n c e s T n o e s i n y e c t i v a .

8 . E n c a d a i n c i s o , u s a n d o l a i n f o r m a c i ó n d a d a d e t e r m i n a r s i ( l a f u n c i ó n

l i n e a l ) T e s u n o a u n o .

a ) T : Rn → Rm; n u l i d a d ( T ) = 0 .

d i m ( K e r ( T ) ) = 0 , e n t o n c e s K e r ( T ) = { 0 } y T e s i n y e c t i v a .

3 2 4 Á l g e b r a

b ) T : Rn → Rn; r a n g o ( T ) = n - 1 .

d i m ( K e r ( T ) ) = n - ( n - 1 ) = 1 , e n t o n c e s K e r ( T )

={ 0 } y T n o e s i n y e c t i v a .

c ) T : Rm → Rn; n < m .

Y a q u e r a n g o ( T ) ≤

n , d i m ( k e r ( T ) ) = m - r a n g o ( T ) m - n > 0 , e n t o n c e s

T n o e s i n y e c t i v a .

d ) T : Rn → Rn; R ( T ) =

Rn.

d i m ( k e r ( T ) ) = n - r a n g o ( T ) = n - n = 0 , e n t o n c e s K e r ( T ) = { 0 } y T e s

i n y e c t i v a .

9 . S e a T : P2 → P1 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1) − (2a1 + 3a2)x.

a ) E n c o n t r a r l a m a t r i z p a r a T c o n r e s p e c t o a l a s b a s e s B 2 = { 1 , x , x

2} y

B 1 = { 1 , x } p a r a P2 y

P1.

T ( 1 ) = 1 , T ( x ) = 1 - 2 x , T ( x

2) = - 3 x . L a m a t r i z a s o c i a d a a T e s

A =

1 1 00 −2 −3

.

b ) C o m p r o b a r q u e l a m a t r i z ( T ) B2,B1 = M B1B2

(T ) o b t e n i d a e n e l i n c i s o a )

s a t i s f a c e l a f ó r m u l a : A ( p ( x ) ) B2 = ( T ( p ( x ) ) ) B2.

A ( p ( x ) ) B2 =

1 1 00 −2 −3

a0a1a2

=

a0 + a1

−(2a1 + 3a2)

= ( T ( p ( x ) ) ) B2.

1 0 . S e a T 1 : P1

→P2 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T 1(c0 + c1x) = 2c0 − 3c1x

y s e a T 2 : P2 → P3 l a t r a n s f o r m a c i ó n l i n e a l d e n i d a p o r

T 2(c0 + c1x + c2x2) = 3x(c0 + c1x + c2x2).

S e a n B 1 = { 1 , x } , B 2 = { 1 , x , x

2} y B 3 = { 1 , x , x

2,x

3} .

a ) E n c o n t r a r M B1B3

(T 2 ◦ T 1), M B2B3

(T 2), M B1B2

(T 1).

T 2◦T 1(1) = 6x, T 2◦T 1(x) = −9x2. E n t o n c e s M B1

B3(T 2◦T 1) =

0 06 00 −9

0 0

.

T 2(1) = 3x, T 2(x) = 3x2, T 2(x2) = 3x3. E n t o n c e s M B2B3

(T 2) =

0 0 03 0 00 3 00 0 3

.

Á l g e b r a 3 2 5

T 1(1) = 2, T 1(x) =−

3x. E n t o n c e s M B1

B2

(T 1) = 2 00

−3

0 0 .

b ) E s c r i b i r u n a f ó r m u l a q u e r e l a c i o n e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) .

M B1B3

(T 2 ◦ T 1) = M B2B3

(T 2)M B1B2

(T 1).

c ) C o m p r o b a r q u e l a s m a t r i c e s d e l i n c i s o a ) s a t i s f a c e n l a f ó r m u l a p l a n -

t e a d a e n e l i n c i s o b ) .

M B2B3

(T 2)M B1B2

(T 1) =

0 0 03 0 00 3 00 0 3

2 00 −30 0

=

0 06 00 −90 0

=

= M B1B3

(T 2 ◦ T 1).

1 1 . S e a n A y B m a t r i c e s s e m e j a n t e s . D e m o s t r a r l o s i g u i e n t e :

a ) A

ty B


b ) S i A y B s o n i n v e r t i b l e s , e n t o n c e s A

−1y B


P o r d e n i c i ó n d e r e l a c i ó n d e s e m e j a n z a , e x i s t e u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P t a l

q u e

B = P

−1A P .

a ) B

t= ( P

−1A P )

t= ( A P )

t( P

−1)

t= P

tA

t( P

−1)

t= P

tA

t( P

t)

−1

( u t i l i z a n d o l a p r o p i e d a d e s d e l a t r a n p o s i c i ó n v i s t a s a n t e r i o r m e n t e ) . Y a q u e

P

te s i n v e r t i b l e , A

ty B


b ) B

−1= ( P

−1A P )

−1= ( A P )

−1( P

−1)

−1= P

−1A

−1P . E n t o n c e s A

−1

y B


1 2 . ( T e o r e m a a l t e r n a t i v o d e F r e d h o l m ) S e a T : V →

V u n o p e r a d o r

l i n e a l s o b r e u n e s p a c i o v e c t o r i a l n d i m e n s i o n a l . D e m o s t r a r q u e s e c u m p l e

e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :

i ) L a e c u a c i ó n T ( x ) = b t i e n e u n a s o l u c i ó n p a r a t o d o l o s v e c t o r e s b e n

V .

i i ) N u l i d a d d e T > 0 .

S i n o s e v e r i c a i ) , e n t o n c e s e x i s t e u n v e c t o r b e n V t a l q u e b n o a p a r t e n e c e

a l i m a g e n d e l a f u n c i ó n l i n e a l T . E n t o n c e s e l r a n g o d e T e s e s t r i c t a m e n t e

m e n o r q u e n , R a n g o ( T ) < n , y N u l i d a d ( T ) = n - R a n g o ( T ) > n - n = 0 .

1 3 . S e a l a f u n c i ó n l i n e a l f : R4 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s

f (1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1), f (1, 0, 1, 0) = (1, 1, −1),

f (1, 1, 1, 0) = (0, 0, −1), f (−1, −2, 0, 0) = (1, 1, 1).



3 2 6 Á l g e b r a

a ) H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e R4

y

R3

.b ) L a d i m e n s i ó n y l a s e c u a c i o n e s d e Ker(f ) e Im(f ) r e s p e c t o d e l a s b a s e s


y R3.

a ) E l p r i m e r a p a r t a d o s e p u e d e h a c e r d e v a r i a s m a n e r a s . L a m a t r i z p e d i -

d a , M B4B3

(f ) e s l a q u e t i e n e p o r c o l u m n a s l a s (f (1, 0, 0, 0))B3,..., (f (0, 0, 0, 1))B3 .

P o r t a n t o n e c e s i t a m o s h a l l a r f (1, 0, 0, 0),...,f (0, 0, 0, 1). P a r a c a l c u l a r e s a s

i m á g e n e s , p o d e m o s e s c r i b i r l o s v e c t o r e s d e B4 c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s

v e c t o r e s q u e d e n e n f y d e s p u é s h a l l a r f (B4), o b i e n u t i l i z a r l a s m a t r i c e s

d e c a m b i o d e b a s e s e g ú n v i m o s e n l a p i z a r r a . L o h a c e m o s p o r e s t e s e g u n d o

p r o c e d i m i e n t o .

S i e n d o B ={

(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (−

1.−

2, 0, 0)}

u n a b a s e d e

R4,

M BB3(f ) =

0 0 1 10 0 1 11 −1 −1 1

C o m o l a m a t r i z q u e b u s c a m o s e s M B4

B3(f ), d i c h a m a t r i z s e o b t i e n e c o n s i -

d e r a n d o e l e s q u e m a :

B4 IdR

4 B f B3

R4

−→R4

−→R3 ,

c o n l o q u e M B4B3

(f ) = M B4B3

(f ◦ IdR

4) = M BB3(f ) · M B4

B (IdR

4). N e c e s i t a m o s ,

p u e s , h a l l a r M B4B (Id

R

4). P a r a e l l o , h a y q u e o b t e n e r l a s c o o r d e n a d a s d e l o s

v e c t o r e s d e l a b a s e c a n ó n i c a B4 r e s p e c t o d e B.

D e m a n e r a d i r e c t a , M BB4(Id

R

4) =

1 1 1 −11 1 0 −21 1 1 01 0 0 0

. S e g ú n s a b e m o s ,

M B4B (Id

R

4) = M BB4(Id

R

4)−1

. P o r l o t a n t o h a y q u e c a l c u l a r l a i n v e r s a d e l a

m a t r i z a n t e r i o r . 1 1 1 −11 1 0 −21 1 1 01 0 0 0

10 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0

0 0 0 1

F 1 ←→ F 4

1 0 0 01 1 0 −21 1 1 01 1 1 −1

00 0 1

0 1 0 0

0 0 1

0

1 0 0 0



Á l g e b r a 3 2 7

F 2 = F 2 − F 1

F 3 = F 3 − F 1F 4 = F 4 − F 1

1 0 0 00 1 0

−2

0 1 1 00 1 1 −1

00 0 1

0 1 0 - 1

0 0 1 - 1

1 0 0 −1

F 3 = F 3 − F 2F 4 = F 4 − F 2

1 0 0 00 1 0 −20 0 1 20 0 1 1

00 0 1

0 1 0 - 1

0 - 1 1 0

1 - 1 0 0

F 4 = F 4 − F 3

1 0 0 00 1 0 −20 0 1 20 0 0

−1

00 0 1

0 1 0 - 1

0 - 1 1

0

1 0 - 1 0

F 2 = F 2 − 2F 4F 3 = F 3 + 2F 4

F 4 = −F 41 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

00 0 1

- 2 1 2 - 1

2 - 1 - 1

0

- 1 0 1 0

E s d e c i r , M B4B (Id

R

4) =

M BB4(Id

R

4)−1

=

0 0 0 1

−2 1 2 −12 −1 −1 0

−1 0 1 0

, c o n l o

q u e l a m a t r i z b u s c a d a e s M B4B3

(f ) = M BB3(f ) · M B4

B (IdR

4) =

= 0 0 1 1

0 0 1 11 −1 −1 1

0 0 0 1−2 1 2 −12 −1 −1 0

−1 0 1 0

= 1 −1 0 0

1 −1 0 0−1 0 0 2

.

b ) U t i l i z a n d o e l a l g o r i t m o q u e v i m o s e n c l a s e :

1 - 1 0 0

1 - 1 0 0

−1 0 0 21

0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0

0 0 0 1

c4 =c4 + 2c1

1 - 1 0 2

1 - 1 0 2

−1 0 0 01

0 0 2

0 1 0 0

0 0 1

0

0 0 0 1

c4 =c4 − 2c2



3 2 8 Á l g e b r a

1- 1

00

1 - 1 0 0

−1 0 0 01 0 0 2

0 1 0 - 2

0 0 1

0

0 0 0 1

o b t e n e m o s q u e , r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e

R4y R3, Ker(f ) =

L({(0, 0, 1, 0), (2, −2, 0, 1)}) e Im(f ) = L({(1, 1, −1), (−1, −1, 0)}), p o r t a n t o

l a d i m e n s i ó n d e Ker(f ) = 2

y l a d i m e n s i ó n d e Im(f ) =

2 .

E n t o n c e s , r e s p e c t o d e l a s b a s e s c a n ó n i c a s d e R4

y R3

, l a s e c u a c i o n e s

p a r a m é t r i c a s d e Ker(f )

s o n :

u = (u1,u2,u3,u4) ∈ Ker(f ) ⇔ ∃ (a, b) ∈ R2t a l q u e

0 20 −21 00 1

ab

=

u1

u2

u3

u3

y l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e Im(f ) s o n :

v = (v1,v2,v3) ∈ Im(f ) ⇔ ∃ (a, b) ∈ R2t a l q u e

1 −11 −1−1 0

ab = v1v2

v3

.

1 4 . S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i ó n 3

y B = {e1, e2, e3} u n a b a s e

d e E. C o n s i d e r a m o s l a f u n c i ó n l i n e a l f : E → E t a l q u e s u m a t r i z a s o c i a d a

s e a

M BB (f ) =

15 −11 520 −15 88 −7 6

.

H a l l a r l a m a t r i z a s o c i a d a a f r e s p e c t o d e l a b a s e B ={

u1, u

2, u

3}, d o n d e

u1 = 2e1 + 3e2 + e3,

u2 = 3e1 + 4e2 + e3,

u3 = e1 + 2e2 + 2e3.



Á l g e b r a 3 2 9

L a m a t r i z d e f r e s p e c t o d e l a b a s e Be s l a m a t r i z a s o c i a d a a l a s i g u i e n t e

c o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s :

B IdE

B f B IdE

B

E −→ E −→ E −→ E

M B

B (f ) = M BB(IdE ) · M BB (f ) · M B

B (IdE ),

d o n d e

M B

B (IdE ) =

2 3 13 4 21 1 2

e s l a m a t r i z d e l a s c o o r d e n a d a s d e B

r e s p e c t o

d e

By

M BB(IdE ) = (M B

B (IdE ))−1 =

−6 5 −24 −3 11 −1 1

. E n t o n c e s ,

M B

B (f ) =

−6 5 −24 −3 11 −1 1

15 −11 520 −15 88 −7 6

2 3 13 4 21 1 2

=

=

1 0 00 2 00 0 3

.

1 5 . H a l l a r u n a b a s e d e l n ú c l e o y u n a b a s e d e l a i m a g e n d e l a s i g u i e n t e

f u n c i ó n l i n e a l :

f : R4 → R3d e t e r m i n a d a p o r l a s c o n d i c i o n e s :

f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1), f (0, 1, 0, 0) = (2, 1, −1),

f (0, 0, 1, 0) = (3, 0, −1), f (0, 0, 0, 1) = (1, 1, 1).

D e l a s c o n d i c i o n e s e n u n c i a d a s s e s i g u e q u e

M B4B3 (f ) = 1 2 3 1

0 1 0 11 −1 −1 1

U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e s a r r o l l a d o e n e l a u l a ( h e i n c l u i d o t o d a s l a s t r a n s -

f o r m a c i o n e s p o r c o l u m n a s e n u n s o l o p a s o ) , t e n d r e m o s q u e :



3 3 0 Á l g e b r a

1 2 3 10 1 0 11 −1 −1 11

11

1

c2 = c2 − 2c1c3 = c3 − 3c1c4 = c4 − c1c4 = c4 − c2c4 = c4 + 3

4c3

→

1 0 0 00 1 0 01 −3 −4 01 −2 −3 −5

4

1 −11 3

4

1

d e d o n d e

{(1, 0, 1), (0, 1, −3), (0, 0, −4)}e s u n a b a s e d e Im(f ) y (−5

4, −1, 3

4, 1)

e s u n a b a s e d e Ker(f ).1 6 . E n

R2s e c o n s i d e r a l a b a s e B = {u1, u2}, d o n d e

u1 = 2e1 + 3e2,

u2 = 3e1 + 4e2,

y B2 = {e1, e2} = {(1, 0), (0, 1)}. S i e n d o l a f u n c i ó n l i n e a l f : R2 → R2t a l

q u e s u m a t r i z a s o c i a d a r e s p e c t o d e Be s

M

B

B

(f ) = 3 15

2 10 ,

h a l l a r u n a b a s e d e Ker(f )

y u n a b a s e d e Im(f ).

E l a l g o r i t m o e s e l m i s m o q u e e l e m p l e a d o e n e l e j e r c i c i o 5, p e r o e n e s t e

c a s o t r a b a j a m o s c o n l a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e B :

3 152 101

1

c2 = c2 − 5c1 →

3 02 01 −5

1

.

L u e g o , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a s c o o r d e n a d a s −5

1 y 3

2 e s t á n e x -

p r e s a d a s r e s p e c t o d e l a b a s e B = {u1, u2}, t e n d r e m o s q u e e l v e c t o r

w = −5u1 + u2 = −5(2e1 + 3e2) + 3e1 + 4e2 =

= −7e1 − 11e2



Á l g e b r a 3 3 1

c o n s t i t u y e u n a b a s e d e Ker(f ), y

w = 3u1 + 2u2 = 3(2e1 + 3e2) + 2(3e1 + 4e2) == 12e1 + 17e2

c o n s t i t u y e u n a b a s e d e Im(f ). E n o t r a s p a l a b r a s , r e s p e c t o d e l a s c o o r d e n a d a s


, {(−7, −11)}

e s u n a b a s e d e Ker(f )

y {(12, 17)}

e s u n a b a s e

d e Im(f ).



1 . E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o R3c o n e l p r o d u c t o e s c a l a r u s u a l s e c o n s i -

d e r a e l s i s t e m a d e v e c t o r e s

{(1, 2, −1), (0, 1, 1)}.

S e p i d e o b t e n e r , m e d i a n t e e l m é t o d o d e G r a m - S c h m i d t , u n a b a s e o r t o n o r m a l

d e l s u b e s p a c i o

L({(1, 2, −1), (0, 1, 1)})

y l a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e l v e c t o r (1, 1, 1) s o b r e d i c h o s u b e s p a c i o .

S e a v1 = (1, 2, −1), v1 =√

1 + 4 + 1 =√

6 y s e a

v2 = (0, 1, 1) − (0, 1, 1), (1, 2, −1)6(1, 2, −1) =

= (0, 1, 1) − 1

6(1, 2, −1) = (−1

6,

2

3,

7

6),

v2 =

1

36+

16

36+

49

36=

11

6.

B = {w1 =v1

v1 , w2 =v2

v2} = {(1√

6,

2√ 6

,−1√

6), (

−1√ 66

,4√ 66

,7√ 66

)}

e s u n a b a s e o r t o n o r m a l d e H = L(

{(1, 2,

−1), (0, 1, 1)

}).

S e a u = ( 1 , 1 , 1 ) . L a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e u s o b r e H e s :

p⊥(u) = u, w1w1+u, w2w2 =2√

6w1 +

10√ 66

w2 = (2

11,

14

11,

59

11).



3 3 2 Á l g e b r a




p a r i d a d e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .

E l c ó d i g o d e p a r i d a d e s l i n e a l y a q u e p u e d e n s e r d e s c r i t o c o m o e l c o n j u n t o

d e s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n l i n e a l h o m o g é n e a

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 0 c o n xi ∈ Z2

y e n c o n s e c u e n c i a d i c h o c o n j u n t o e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e Z82.

U n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e p a r i d a d e s l a m a t r i z

1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1

U n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e p a r i d a d e s

1 1 1 1 1 1 1 1

y a q u e s u d i m e n s i ó n e s 1 × 8 y C e s e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n l i n e a l

f (x1, x2, x3, x4, x5, x6,x7, x8) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8.2 . O b t e n e r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a y u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e

r e p e t i c i ó n e x p u e s t o e n l o s a p u n t e s d e c l a s e .

E l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n e s l i n e a l y a q u e p u e d e n s e r d e s c r i t o c o m o e l c o m o

e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s d e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s :

x1 = x2

x2 = x3c o n

xi ∈ Z2

q u e e q u i v a l e a l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e a s : x1 + x2 = 0x2 + x3 = 0

c o n xi ∈ Z2.



Á l g e b r a 3 3 3

U n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n C = { ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) } e s :

111

U n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o d e r e p e t i c i ó n e s l a m a t r i z a s o c i a d a a l

s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s h o m o g é n e a s a n t e r i o r : 1 1 00 1 1

.

3 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z d e c o n t r o l d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a

e s :

G =

1 1 11 0 01 0 11 1 1

.

1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 01 1 1 0 0 0 1

F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 + F 1F 4 = F 4 + F 1

F 1 = F 1 + F 2F 2 = F 2 + F 3F 2 ↔ F 3

→

1 0 0 0 1 0 00 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 0 1

L u e g o l a m a t r i z d e c o n t r o l e s l a m a t r i z

H =

1 0 0 1

.

4 . D e t e r m i n a r u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z d e c o n t r o l

e s :

H =

1 0 1 01 1 1 1

U n a p o s i b l e s o l u c i ó n e s :



3 3 4 Á l g e b r a

1 0 1 01 1 1 11 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

c3 = c3 + c1

1 0 0 01 1 0 11 0 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

c4 = c4 + c2

1 0 0 01 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 00 0 0 1

l u e g o l a s i g u i e n t e m a t r i z e s g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o

G =

1 00 11 0

0 1

,

y a q u e s u s c o l u m n a s f o r m a n u n a b a s e d e l n ú c l e o d e l a f u n c i ó n l i n e a l c u y a

m a t r i z a s o c i a d a e s H .


l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o g e n e r a d o p o r l o s v e c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s

r e s p e c t o d e l a b a s e c a n ó n i c a d e Z42 s o n l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z :

0 1 11 1 01 0 10 1 1

O b s é r v e s e q u e , p u e s t o q u e l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z f o r m a n u n s i s t e m a

l i g a d o , p u e s c3 = c1 + c2, y d a d o q u e l a m a t r i z f o r m a d a p o r l a s d o s p r i m e r a s

c o l u m n a s d e l a m a t r i z d a d a e s u n a m a t r i z g a u s s i a n a s i n n i n g u n a c o l u m n a

n u l a , r e s u l t a q u e u n a m a t r i z g e n e r a d o r a d e l c ó d i g o e s l a m a t r i z f o r m a d a p o r

l a s d o s p r i m e r a s c o l u m n a s , e s t o e s :

G =

0 11 11 00 1

.

O p e r a n d o a h o r a c o n e l a l g o r i t m o e s t u d i a d o : 0 1 1 0 0 01 1 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1

F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 + F 2F 4 = F 4 + F 1F 2 ↔ F 1

→

1 0 1 1 0 00 1 1 0 0 00 0 1 1 1 00 0 1 0 0 1



Á l g e b r a 3 3 5


H = 1 1 1 01 0 0 1

y l a m a t r i z q u e p e r m i t e r e a l i z a r l a d e c o d i c a c i ó n e s l a m a t r i z

T =

1 1 0 01 0 0 0

.


l a d e c o d i c a c i ó n d e l c ó d i g o c u y a m a t r i z g e n e r a d o r a e s

G = 1 11 0

1 10 1

1 1 1 0 0 01 0 0 1 0 01 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1

F 2 = F 2 + F 1F 3 = F 3 + F 1F 4 = F 4 + F 2F 1 = F 1 + F 2

→

1 0 0 1 0 00 1 1 1 0 00 0 1 0 1 00 0 1 1 0 1


H = 1 0 1 01 1 0 1

y l a m a t r i z q u e p e r m i t e r e a l i z a r l a d e c o d i c a c i ó n e s l a m a t r i z

T =

0 1 0 01 1 0 0

.



1 . D e t e r m i n a r l a s u c e s i ó n d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r l a s c o n d i c i o n e s an+2 = 7an+1 − 12an

a1 = 1a2 = 3.



3 3 6 Á l g e b r a

L a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a h o m o g é n e a d a d a

e s

x2 − 7x + 12 = 0

c u y a s r a í c e s s o n x = 3 y x = 4. P o r c o n s i g u i e n t e , l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n

e s a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a s o n d e l a f o r m a :

α{3n} + β {4n}.

I m p o n i e n d o q u e s e s a t i s f a g a n l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s :

α3 + β 4 = 1α32 + β 42 = 3

d e d o n d e

3α + 4β = 19α + 16β = 3

, d e d o n d e β = 0

y α = 1

3,

c o n l o q u e l a s u c e s i ó n b u s c a d a e s

1

3{3n} = {3n−1}.

2 . E n c o n t r a r l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a

an+3 = 4an+2 − 5an+1 + 2an.

L a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a r e l a c i ó n d e r e c u r r e n c i a h o m o g é n e a d a d a

e s

x3 − 4x2 + 5x − 2 = 0

e c u a c i ó n q u e s e p u e d e e x p r e s a r d e l a f o r m a (x − 2) (x − 1)2 = 0 y q u e p o r

t a n t o t i e n e u n a r a i z x = 1 d e m u l t i p l i c i d a d 2 y o t r a r a i z x = 2 d e m u l -

t i p l i c i d a d 1. P o r c o n s i g u i e n t e , l a s s u c e s i o n e s q u e s a t i s f a c e n e s a r e l a c i ó n d e

r e c u r r e n c i a s o n d e l a f o r m a :

α{1n} + β {n1n} + γ {2n}.

3 . E n c o n t r a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

D2(f ) − 7D(f ) + 12f = e−t.



Á l g e b r a 3 3 7

L a e c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l h o m o g é n e a a s o c i a d a

a l a e c u a c i ó n d a d a e s :

x2 − 7x + 12 = 0

e c u a c i ó n q u e s e p u e d e e x p r e s a r d e l a f o r m a (x − 3) (x − 4) = 0. P o r c o n s i -

g u i e n t e , u n a b a s e d e l e s p a c i o d e s o l u c i o n e s

Ker(D2 − 7D + 12Id) = Ker((D − 3Id) ◦ (D − 4Id))

d e d i c h a e c u a c i ó n h o m o g é n e a s e r á

{e3t, e4t}.

C o m o p o r o t r a p a r t e e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n

(D + Id)(f ) = 0 ⇔ D(f ) + f = 0

p o d e m o s o b t e n e r u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r p o r e l m é t o d o d e l o s c o e c i e n t e s

i n d e t e r m i n a d o s : L a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n d a d a l o s e r á n t a m b i é n d e l a

e c u a c i ó n

((D + Id) ◦ (D − 3Id) ◦ (D − 4Id))(f ) = 0

C o m o l a s s o l u c i o n e s d e e s t a ú l t i m a e c u a c i ó n s o n d e l a f o r m a

αe3t + βe4t + γe−t,

i m p o n i e n d o q u e s a t i s f a g a n l a e c u a c i ó n o r i g i n a l d a d a t e n d r e m o s q u e

((D − 3Id) ◦ (D − 4Id))(αe3t + βe4t + γe−t) = e−t

d e d o n d e

(γe−t + 4γe−t + 3γe−t + 12γe−t) = e−t

e s d e c i r ,

(20γ e−t) = e−t

d e d o n d e 20γ = 1, e s d e c i r ,

γ =1

20 .

E n d e n i t i v a , l a s o l u c i ó n g e n e r a l d e l a e c u a c i ó n d a d a , c o n α y β c o n s t a n t e s

a r b i t r a r i a s e s

f (t) =1

20e−t + αe3t + βe4t



3 3 8 Á l g e b r a

4 . R e s o l v e r e l p r o b l e m a d e v a l o r i n i c i a l D(f ) − 2f = e2t

f (0) = 1.

B u s c a m o s l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a d a d a e m p l e a n d o e l

m é t o d o d e l o s c o e c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s :

P u e s t o q u e e2te s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

(D − 2Id) (f ) = 0,

b u s c a m o s n u e s t r a s s o l u c i o n e s e n t r e l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n

((D − 2Id) ◦ (D − 2Id))(f ) = 0.

L a s s o l u c i o n e s d e e s t a ú l t i m a e c u a c i ó n s o n d e l a f o r m a

f (t) = αe2t + βte2t,

p o r l o q u e , i m p o n i e n d o q u e

D(f ) − 2f = e2t

o b t e n e m o s

2αe2t + 2βte2t + βe2t − 2αe2t − 2βte2t = e2t,

e s d e c i r ,

βe2t = e2t ⇒ β = 1

d e d o n d e

f (t) = αe2t + te2t

f (0) = α = 1.

P o r c o n s i g u i e n t e l a s o l u c i ó n e s

f (t) = e2t + te2t = (t + 1)e2t.

5 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s x1 = 5x1 + 4x2

x2 = x1 + 2x2



Á l g e b r a 3 3 9

s u j e t o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x1(0) = 2, x2(0) = 3.

O b t e n e m o s l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o , l o s a u t o v e c t o r e s c o r r e s -

p o n d i e n t e s y l a i n v e r s a d e l a m a t r i z P d e p a s o , r e s u l t a n d o 15

−45

15

15

5 41 2

1 4

−1 1

=

1 00 6

.

A h o r a r e s o l v e m o s e l s i s t e m a , z 1(t) = z 1(t)z 2(t) = 6z 2(t)

e s d e c i r , z 1(t) = αet

z 2(t) = βe6t

s i e n d o x1(t)x2(t)

=

1 4

−1 1

z 1(t)z 2(t)

,

e s d e c i r , x1(t)x2(t)

=

1 4

−1 1

αet

βe6t

=

αet + 4βe6t

−αet + βe6t

.

I m p o n i e n d o n a l m e n t e l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s , t e n d r e m o s q u e 23

=

α + 4β −α + β

,

e s d e c i r : β = 1, α = −2, c o n l o q u e l a s o l u c i ó n s e r á x1(t)x2(t)

=

−2et + 4e6t

2et + e6t

.

6 . R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a ( e c u a c i o n e s e n d i f e -

r e n c i a s ) an+1 = 5an + 4bn

bn+1 = an + 2bn




3 4 0 Á l g e b r a

E l s i s t e m a p l a n t e a d o e n f o r m a m a t r i c i a l e s

an+1

bn+1

= 5 4

1 2 an

bn

U t i l i z a n d o l o s c á l c u l o s h e c h o s e n e l p r o b l e m a a n t e r i o r , t e n d r e m o s q u e

15

−45

15

15

5 41 2

1 4

−1 1

=

1 00 6

c o n l o q u e r e s o l v e r e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a i n d i c a d o e s e q u i -

v a l e n t e a r e s o l v e r e l s i s t e m a d e r e l a c i o n e s d e r e c u r r e n c i a

cn+1

dn+1

= 1 00 6

cn

dn

c o n

an

bn

=

1 4

−1 1

cn

dn

.

O b v i a m e n t e {cn}{dn}

=

α {1n}β {6n}

c o n l o q u e an

bn

= 1 4

−1 1

α6nβ

= α + 4 · 6nβ

−α + 6nβ

.

I m p o n i e n d o a h o r a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s : a1

b1

=

23

=

α + 24β −α + 6β

.

d e d o n d e

30β = 5 ⇒ β = 1

6

α = −2y , e n d e n i t i v a , l a s o l u c i ó n e s

an

bn

=

−2 + 4 · 6n−1

2 + 6n−1

.



Á l g e b r a 3 4 1

7 . C a l c u l a r l a p o t e n c i a n−é s i m a d e l a m a t r i z

A = 2 1 1

2 3 23 3 4

.

D e s p u é s d e h a l l a r l o s a u t o v a l o r e s , l o s a u t o v e c t o r e s y l a m a t r i z d e p a s o

l l e g a m o s a : 56

16

−1−1

313 0

−12

12

1

1 0 00 7 00 0 1

1 −2 11 1 10 −3

21

=

2 1 12 3 23 3 4

c o n l o q u e 2 1 1

2 3 23 3 4

n

=

56

16

−1−1

313 0

−12

12

1

1 0 00 7n 00 0 1

1 −2 11 1 10 −3

21

,

e s d e c i r ,

2 1 12 3 23 3 4

n

=

56

16

−1−1

313

0−1

212 1

1 0 00 7n 00 0 1

1 −2 11 1 10 −3

2 1

=

= 56 + 167n −16 + 167n −16 + 167n

−13 + 1

37n 23 + 1

37n −13 + 1

37n

−12

+ 12

7n −12

+ 12

7n 12

+ 12

7n

.



3 4 2 Á l g e b r a



A p é n d i c e A

N u e v o m é t o d o d e t r i a n g u l a c i ó n

p o r s e m e j a n z a

M o t i v a d o p o r e l h e c h o d e q u e l a r e l a c i ó n d e s e m e j a n z a c o n s t i t u y e e l m e c a -

n i s m o b á s i c o d e t r a n s f o r m a c i ó n d e l o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ,

v a m o s a e s t a b l e c e r o t r o a l g o r i t m o q u e n o s p e r m i t a c o n s t r u i r m a t r i c e s s e m e -

j a n t e s .

C o m o e s h a b i t u a l e n á l g e b r a l i n e a l , e l p r o c e d i m i e n t o q u e v a m o s a d i s -

c u t i r e s t á b a s a d o e n e l u s o d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s , q u e y a f u e r o n

i n t r o d u c i d a s e n e l c a p í t u l o 2 . R e c o r d e m o s c u a l e s s o n :

3 4 3



3 4 4 Á l g e b r a

T r a n s f o r m a c i ó n E j e m p l o

S u m a r a u n a c o l u m n a

u n m ú l t i p l o d e o t r a

1 00 1

−−−−−−−−−→c2 = c2 + 7c1

1 70 1

M u l t i p l i c a r u n a c o l u m n a

p o r u n n ú m e r o n o n u l o

1 70 1

−−−−−→c1 = 5c1

5 70 1

I n t e r c a m b i a r d o s c o l u m n a s

7 30 1

−−−−→c1 ↔ c2

3 71 0

S u m a r a u n a l a

u n m ú l t i p l o d e o t r a 1 0

0 1 −−−−−−−−−→f 2 = f 2 + 7f 1 1 0

7 1 M u l t i p l i c a r u n a l a

p o r u n n ú m e r o n o n u l o

1 05 1

−−−−−→f 1 = 7f 1

7 05 1

I n t e r c a m b i a r d o s l a s

7 03 1

−−−−−→f 1 ↔ f 2

3 17 0

S e g ú n v i m o s e n e l c a p í t u l o 2 y e n l a p r á c t i c a c o r r e s p o n d i e n t e , c a d a t r a s -

f o r m a c i ó n e l e m e n t a l s e c o r r e s p o n d e c o n l a o p e r a c i ó n d e m u l t i p l i c a r p o r u n a

c i e r t a m a t r i z i n v e r t i b l e , e n e l s e n t i d o d e l a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n .

P r o p o s i c i ó n A . 0 . 1 S e a A ∈ M n(K). S i

A − tc → A

In−tc → P,

d o n d e tc d e n o t a u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s , s e v e r i c a q u e

A = APy q u e l a m a t r i z

P ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e . A n á l o g a m e n t e , s i

A−

tf

→A

In−tf → P,

d o n d e tf d e n o t a u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r l a s , s e v e r i c a q u e

A =PA

y q u e l a m a t r i z P ∈ M n(K) e s i n v e r t i b l e .



Á l g e b r a 3 4 5

E s t e r e s u l t a d o n o s d a l a c l a v e p a r a e s t a b l e c e r u n m e c a n i s m o p a r a c o n s -

t r u i r m a t r i c e s s e m e j a n t e s . O b s e r v e m o s e l s i g u i e n t e e s q u e m a , d o n d e

tcr e p r e -

s e n t a u n a t r a n s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s y tf p o r l a s :

A − tc → tf → B

In−tc → P

In−tf → P

=⇒ B = PAP.

P a r a c o n s e g u i r q u e A

y B

s e a n s e m e j a n t e s , b a s t a a j u s t a r l a s t r a n s f o r m a c i o n e s

tc y tf p a r a q u e s u s c o r r e s p o n d i e n t e m a t r i c e s , P

y P, s e a n l a u n a i n v e r s a d e

l a o t r a . A h o r a b i e n , p a r a q u e P = P−1,

b a s t a c o n s e g u i r q u e

In−tc → tf → In,( A . 1 )

y a q u e e s t o q u e r r í a d e c i r q u e In = PInP = PP. E n l a s i g u i e n t e t a b l a a s o c i a -

m o s a c a d a t r a n s f o r m a c i ó n p o r c o l u m n a s s u c o r r e s p o n d i e n t e t r a n s f o r m a c i ó n

i n v e r s a p o r l a s :

C o l u m n a s : tc F i l a s : tf

ci = ci + λc j f j = f j − λf i

ci = λci f i =1

λf i

ci ↔ c j f i ↔ f j

P a r a c e r c i o r a r s e d e q u e e s t a t a b l a e s t á b i e n c o n s t r u i d a b a s t a c o m p r o b a r

( A . 1 ) .

A p a r t i r d e e s t e m o m e n t o , a s u m i r e m o s e l s i g u i e n t e c o n v e n i o d e n o t a c i ó n :

s i t d e n o t a a u n a t r a s f o r m a c i ó n e l e m e n t a l p o r c o l u m n a s o p o r l a s , t−1 d e -

n o t a r á a l a c o r r e s p o n d i e n t e t r a n s f o r m a c i ó n i n v e r s a r e s p e c t i v a m e n t e p o r l a s

o p o r c o l u m n a s . P o r e j e m p l o (ci = ci + λc j)−1 = (f j = f j − λf i).

F i n a l m e n t e , u t i l i z a d o e s t a n o t a c i ó n , p o d e m o s c o n c l u i r q u e e n e l s u p u e s t o

d e q u e t1, . . . tr s e a n t r a n s f o r m a c i o n e s p o r c o l u m n a s :

A

t1

−→·· ·tr

−→t−11

−→·· ·t−1r

−→ AIn

t1−→ P1.

.

.

Intr−→ Pr

⇒ A = (P1 · . . . · Pr)−1 A (P1 · . . . · Pr) .



3 4 6 Á l g e b r a

P a r a v e r l o b a s t a t e n e r e n c u e n t a l o a n t e r i o r y q u e

(P1 · . . . · Pr)−1

= P−1r · . . . · P−11 .A s í m i s m o , s i p r i m e r o r e a l i z a m o s l a s t r a n s f o r m a c i ó n e s p o r l a y l u e g o p o r

c o l u m n a s , t a m b i é n o b t e n e m o s :

At−11−→·· · t−1r−→ t1−→·· · tr−→ A

Int1−→ P1

.

.

.

Intr−→ Pr

⇒ A = (P1 · . . . · Pr)−1 A (P1 · . . . · Pr) ,

l u e g o , e n p a r t i c u l a r , A = A.A h o r a y a t e n e m o s u n m e c a n i s m o q u e n o s p e r m i t e c o n s t r u i r m a t r i c e s s e -

m e j a n t e s , q u e c o n s i s t e b á s i c a m e n t e e n c o m p e n s a r c a d a t r a n s f o r m a c i ó n e l e -

m e n t a l p o r c o l u m n a s c o n s u c o r r e s p o n d i e n t e i n v e r s a p o r l a s o v i c e v e r s a .

P e r o a d e m á s , a t r a v é s d e l s i g u i e n t e e s q u e m a p o d e m o s t a m b i é n o b t e n e r l a

m a t r i z d e p a s o :

At1−→·· · tr−→ A · P

t−11−→·· · t−1r−→ P−1·A · P

Int1−→·· · tr−→ P P.

P o r e j e m p l o , c o m o : 1 3 22 1 10 2 0

1 0 00 1 00 0 1

c2 = c2 − 3c1c3 = c3 − 2c1

→

1 0 02 −5 −30 2 0

1 −3 −20 1 00 0 1

f 1 = f 1 + 3f 2f 1 = f 1 + 2f 3

→

→

7 −11 −92 −5 −3

0 2 0

1 −3 −2

0 1 00 0 1

,




Á l g e b r a 3 4 7

1 −3 −2

0 1 00 0 1 −1

·1 3 2

2 1 10 2 0 ·1 −3 −2

0 1 00 0 1 = 7 −11 −9

2 −5 −30 2 0 .

L a d e m o s t r a c i ó n d e l s i g u i e n t e t e o r e m a c o n s t i t u y e u n a l g o r i t m o q u e p e r -

m i t e l a o b t e n c i ó n d e l a m a t r i z t r i a n g u l a r s e m e j a n t e a u n a m a t r i z d a d a

A ∈ M n(C) .

T e o r e m a A . 0 . 2 S i A

e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n c o n c o e c i e n t e s

c o m p l e j o s , e x i s t e u n a m a t r i z s e m e j a n t e a e l l a T

q u e e s t r i a n g u l a r .

D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n c o n s i s t e e n p r o b a r q u e s e p u e d e c o n s t r u i r

u n a c a d e n a d e m a t r i c e s

A = T0 → T1 → · · · → Tn = T,

c a d a u n a s e m e j a n t e a l a a n t e r i o r ( y e n c o n s e c u e n c i a t o d a s e l l a s s o n s e m e j a n t e s

e n t r e s í ) y d e t a l m o d o Ti

e s d e l a f o r m a

Ti =

An−i 0

Ri×n−i

λi 0.

.

.

.

.

.

· · · · λ1

,

d o n d e An−i e s u n a m a t r i z c u a d r a d a d e o r d e n n − i y

Ri×n−i e s u n a m a t r i z

r e c t a n g u l a r d e o r d e n i × (n − i) . P a r a e l l o b a s t a v e r e l p r o c e d i m i e n t o p a -

r a a ñ a d i r u n n u e v o e s l a b ó n a l a c a d e n a . A s í p u e s s u p o n g a m o s q u e h e m o s

c o n s t r u i d o l a c a d e n a h a s t a Ti, v e a m o s c ó m o a ñ a d i r e l e s l a b ó n

Ti+1.

P u e s t o q u e t r a b a j a m o s c o n c o e c i e n t e s c o m p l e j o s e l p o l i n o m i o c a r a c t e -

r í s t i c o

P An−i(X ) = |An−i − X In−i|

t i e n e a l m e n o s u n a r a í z , a l a q u e p o r c o n v e n i e n c i a d e n o t a r e m o s c o n λ.

S i

a h o r a r e s t a m o s λIn a l a m a t r i z Ti

o b t e n e m o s :



3 4 8 Á l g e b r a

Ti − λIn = An−i − λIn−i 0

Ri×n−i

λi

−λ 0

.

.

.

.

.

.

· · · · λ1 − λ

y , p u e s t o q u e

|An−i − λIn−i| = 0, l a s c o l u m n a s d e l a s u b m a t r i z An−i − λIn−i

s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o , s e g ú n s a b e m o s , e s p o s i b l e a p l i -

c a r u n a s e r i e d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s s o b r e l a m a t r i z

An−i − λIn−i d e t a l m o d o q u e e n l a m a t r i z r e s u l t a n t e ( u n a m a t r i z g a u s s i a n a )

a p a r e c e r á a l g u n a c o l u m n a n u l a . A d e m á s m e d i a n t e u n a p e r m u t a c i ó n , p o d e -

m o s c o l o c a r d i c h a c o l u m n a a l n a l . L u e g o s a b e m o s d e t e r m i n a r u n a s e r i e d e

t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s p o r c o l u m n a s t1, t2, . . . , tk ( m á s a d e l a n t e v e r e -

m o s u n e j e m p l o ) q u e a p l i c a d a s s o b r e An−i − λIn−i g e n e r a u n a m a t r i z d e l

t i p o : α11 · · · 0.

.

.

.

.

.

αn−i1 · · · 0

.

P o r t a n t o , s i a p l i c a m o s e s t a s m i s m a s t r a n s f o r m a c i o n e s s o b r e l a m a t r i z Ti −

λn−iIn n o s q u e d a u n a m a t r i z c u y a f o r m a e s :

α11 · · · 0.

.

.

.

.

.

αn−i1 · · · 0

0

Ri×n−i

λi − λ 0.

.

.

.

.

.

· · · · λ1 − λ

. ( A . 2 )

L a s t r a n s f o r m a c i o n e s t1, t2, . . . , tk q u e h e m o s e m p l e a d o , ú n i c a m e n t e a f e c -

t a n a l a s p r i m e r a s n − i c o l u m n a s , p o r t a n t o l a s c o r r e s p o n d i e n t e s t r a n s f o r -

m a c i o n e s i n v e r s a s t−11 , t−12 , . . . , t−1k ú n i c a m e n t e a f e c t a n a l a s p r i m e r a s n

−i

l a s y a q u e , p a r a c u a l q u i e r j ∈ {1, . . . , k} s i :

t j =

cr = cr + λcs

cr = λcr

cr ↔ cs

, c o m o 1 ≤ r, s ≤ n − i, ⇒



Á l g e b r a 3 4 9

⇒t−1 j

= f s = f s − λf rf r = 1

λ

f rf r ↔ f s

c o n 1≤

r, s≤

n−

i.

E s t o q u i e r e d e c i r q u e s i a p l i c a m o s l a s t r a n s f o r m a c i o n e s t−11 , t−12 , . . . , t−1k s o b r e

l a m a t r i z ( A . 2 ) , o b t e n d r e m o s u n a m a t r i z T

c u y a f o r m a e s :

T =

α11 · · · 0

.

.

.

.

.

.

αn−i1 · · · 0

0

Ri×n−i

λi − λ 0.

.

.

.

.

.

· · · · λ1 − λ

.

( O b s é r v e s e q u e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s t−11 , t−12 , . . . , t−1k n o h a n p o d i d o a l t e r a r

l o s c e r o s q u e a p a r e c í a n e n l a c o l u m n a n − i d e l a m a t r i z ( A . 2 ) ) A h o r a b i e n ,

e n e s t e m o m e n t o t e n e m o s q u e T

e s s e m e j a n t e a Ti − λn−iIn, e s d e c i r e x i s t e

u n a m a t r i z i n v e r t i b l e P

t a l q u e

T = P−1 · (Ti − λn−iIn) · P.

P e r o e n t o n c e s T = (P−1 · Ti · P) − λn−i(P−1 · In · P) = P−1 · Ti · P − λn−iIn,

y e n c o n s e c u e n c i a P−1 · Ti · P = T + λn−iIn, e s d e c i r

P−1 · Ti · P =

α11 + λ · · · α

1n−i−1.

.

.

.

.

. 0

αn−i1 · · · α

n−i,n−i−1 λ 0

ri,n−i λi

Ri×n−i−1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

rn,n−i · · · · λ1

y e s t a m a t r i z e s p r e c i s a m e n t e

Ti+1.

O b s e r v a c i ó n 6 7 E l m é t o d o p r o p u e s t o e n l a d e m o s t r a c i ó n n o m o d i c a l a s

l a s u b m a t r i z t r i a n g u l a r o b t e n i d a h a s t a e l m o m e n t o . E s t o q u i e r e d e c i r q u e e l



3 5 0 Á l g e b r a

a u t o v a l o r d e An−i u t i l i z a d o p a r a a u m e n t a r e l t a m a ñ o d e l a s u b m a t r i z t r i a n -

g u l a r p e r m a n e c e h a s t a e l n a l , a p a r e c i e n d o e n l a d i a g o n a l p r i n c i p a l d e l a

m a t r i z T

. A h o r a b i e n , p o r s e r T

y A

s e m e j a n t e s s u s p o l i n o m i o s c a r a c t e r í s -

t i c o s c o i n c i d e n , y p o r s e r T

t r i a n g u l a r :

|T − X In| =

λn − X 0 · · · 0

a21 λn−1 − X · · · 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 · · · λ1 − X

=

= (λ1 − X ) · · · (λn−1 − X ) (λn − X ) .

E s t o q u i e r e d e c i r q u e e l a u t o v a l o r d e An

−i u t i l i z a d o n e c e s a r i a m e n t e e s u n

a u t o v a l o r d e A q u e n o h a s i d o u t i l i z a d o p r e v i a m e n t e .

E j e m p l o A . 0 . 3 T r i a n g u l a r p o r s e m e j a n z a y h a l l a r l a m a t r i z d e p a s o c o r r e s -

p o n d i e n t e a l a m a t r i z

A =

−2 0 33 −2 −9

−1 2 6

E n p r i m e r l u g a r d e t e r m i n a m o s l a s r a í c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o d e

l a m a t r i z : −2 − X 0 3

3 −2 − X −9−1 2 6 − X

= −X + 2X 2 − X 3 = (1 − X )2 (0 − X ).


s o n [1, 1, 0] . A c o n t i n u a c i ó n u t i l i z a m o s e l p r i m e r o

d e e l l o s p a r a c o n s t r u i r T1 :

−2 0 33

−2

−9

−1 2 61 0 00 1 00 0 1

−−−→−I3

−3 0 33

−3

−9

−1 2 51 0 00 1 00 0 1

c3 = c3 + c1−−−−−−−−−→



Á l g e b r a 3 5 1

−3 0 0

3 −3 −6−1 2 41 0 10 1 00 0 1

c3 = c3 − 2c2−−−−−−−−−−→

−3 0 0

3 −3 0−1 2 01 0 10 1 −20 0 1

−−−−−−−−−−−→f 1 = f 1 − f 3

f 2 = f 2 + 2f 3

−2 −2 01 1 0

−1 2 01 0 10 1

−2

0 0 1

−−−→+I3

−1 −2 01 2 0

−1 2 11 0 10 1

−2

0 0 1

A h o r a p a r a c o n s t r u i r T2

n o s q u e d a n l o s a u t o v a l o r e s [1, 0] . U t i l i c e m o s e l

p r i m e r o :

−1 −2 01 2 0

−1 2 11 0 10 1

−2

0 0 1

−−−→−I3

−2 −2 01 1 0

−1 2 01 0 10 1

−2

0 0 1

c2 = c2 − c1−−−−−−−−−→

−2 0 01 0 0

−1 3 01 −1 10 1 −20 0 1

−−−−−−−−−−→

f 1 = f 1 + f 2

−1 0 01 0 0

−1 3 01 −1 10 1 −20 0 1

−−−→+I3

0 0 01 1 0

−1 3 11 −1 10 1 −20 0 1

.



3 5 2 Á l g e b r a

C o m o T2

y a e s t r i a n g u l a r , h e m o s a c a b a d o y h e m o s o b t e n i d o q u e :

1 −1 10 1 −20 0 1

−1

· A · 1 −1 1

0 1 −20 0 1

=

0 0 01 1 0

−1 3 1

.