Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1
Manuel Mazo QuintasDaniel Pizarro Pérez
Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.Email:[email protected],[email protected]
VISIÓN POR COMPUTADOR
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ContenidoContenido
Transformaciones geométricas de imágenes.
Histograma de una imagen
Mejora (realce, suavizado) de imágenes.
Transformaciones geométricas de imágenesTransformaciones geométricas de imágenes
Traslación, Giros, Zoom, Escalado
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasGeneralidadesGeneralidades
Las trasnformaciones geométricas se utilizan para investigar ciertas zonas o regiones dentro de una imagen (regiones de interés).
Para ello se realizan operaciones que modifican las coordenadas espaciales de la imagen: operaciones geométricas.
El objetivo de una operación geométrica es transformar los valores de una imagen tal como podría observarse desde otro punto de vista.
Algunas de estas transformaciones son: rotar, trasladar, zoom. Las imágenes son discretas (entre dos píxeles no existen valores de
intensidad) formando una rejilla, donde las coordenadas de cada celda son números enteros.
Al someter la imagen original a un desplazamiento, giro o zoom, en general para un píxel, no se va a obtener de la imagen original un valor entero en la imagen destino.
Es necesario un algoritmo de interpolación que determine el nivel de intensidad de la imagen final a partir de uno o varios píxeles de la imagen original.
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasTranslaciónTranslación
Dado un píxel f(u,v) si se desplaza ud,vd el píxel correspondiente en la imagen de salida será g(u+ud, v+vd), siendo f=g (se mantiene la intensidad).
En coordenadas homogéneas:
Donde uf y vf son las coordenadas finales, ui y vi las iniciales, y ud y vd el desplazamiento
u
v
u
v
u
vf
f
d
d
i
i
1
1 0
0 1
0 0 1 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasGirosGiros
Se utiliza para producir efectos estéticos, y para simular la rotación de la cámara o del propio objeto.
Los parámetros necesarios para simular la rotación son el ángulo de giro y las coordenadas del centro de rotación.
La rotación, respecto a un centro genérico (ud, vd) viene dada por:
u
v
u
v
sen
sen
u
v
u
vf
f
d
d
d
d
i
i
1
1 0
0 1
0 0 1
0
0
0 0 1
1 0
0 1
0 0 1 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
cos
cos
θ θθ θ
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasZoomZoom
Zoom: Se trata de seleccionar una parte de la imagen (subimagen), separarla del resto de la imagen original y realizar mediante un proceso de expansión.
La expansión se puede hacer de muchas formas. Una forma de expansión frecuente: interpolación lineal
Se pasa de imágenes de NxN a imágenes de (2N-1)x(2N-1) y se puede repetir las veces que se quiera
5 3 5
2 12 4
6 8 10
5 4 3 4 5
2 7 12 8 4
6 7 8 9 8
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥→
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Imagen original Imagen con filas expandidas Imagen con filas y columnas expandidas
(5+3)/2 5 4 3 4 5
35 55 7 5 6 4 5
2 7 12 8 4
4 7 10 85 6
6 7 8 9 8
. . . .
.
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasZoomZoom
Otra forma de expansión: promedio del entorno de vecindad.
I I=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
→ =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
2 6 48 10 24 6 8
0 0 0 0 0 0 00 2 0 6 0 4 00 0 0 0 0 0 00 8 0 10 0 2 00 0 0 0 0 0 00 4 0 6 0 8 00 0 0 0 0 0 0
exp
h =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
14
12
14
12
12
14
12
14
1 I h Izoom =
− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
*
. .
exp
05 1 2 3 2 5 2 11 2 4 6 5 4 2
1ª. Expandir:
2º. Promediar (convolución):
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasEjemplo de zoom: interpolación linealEjemplo de zoom: interpolación lineal
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasEscaladoEscalado
De la imagen original se toma un fragmento y se amplia hasta ocupar el espacio deseado.
n
N
mM
u
v
N n
M m
u
vf
f
i
i
1
0 0
0 0
0 0 1 1
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
//
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasInterpolación: Vecino más próximoInterpolación: Vecino más próximo
Es el método más sencillo. Para cada píxel de la imagen final se realiza la transformación inversa y se redondean los valores, o lo que es lo mismo se le asigna el píxel más cercano de la imagen original.
Llamando p(u,v) a un píxel de la imagen destino:
dv=bdu=a
p(i,j) p(i,j+1)
p(i+1,j+1)p(i+1,j)
u
v
p(u,v)
p(u,v) tomaría el valor de p(i,j)
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Transformaciones geométricasTransformaciones geométricasInterpolación bilinealInterpolación bilineal
Da mejores resultados, pero tiene mayor coste computacional. Asigna un valor medio ponderado de las intensidades de los cuatro
píxeles que le rodean. Los factores de ponderación vienen dados por la distancia entre el píxel
y los del entorno:
( )( ) ( )
( )
p u v a p i j a p i j a p i j a p i j
a du dy a du dv
a du dv a dudv
u v du dv
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
;
;
; ,
= + + + + + + +
= − − = −
= − =
= = ≤ ≤
1 2 3 4
1 2
3 4
1 1 1 1
1 1 1
1
1 0 1Δ Δ
HistogramaHistograma
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HistogramaHistogramaConceptoConcepto
Una imagen muestra la distribución espacial de los niveles de gris. El histograma de una imagen descarta la información espacial y muestra la frecuencia de
ocurrencia de los valores de gris. Una imágen tiene un solo histograma, pero un histograma puede tener infinitas imágenes.
2 4 5 4 5 5
1 6 3 6 3 5
0 7 5 7 0 4
5 6 3 7 1 2
3 4 3 5 5 4
4 2 4 2 4 3
Imagen
Codificada con 3 bits (0, 1,…, 7)MxN =6x6
Nivel de gris
Nº de píxeles
Frecuencia relativa
0
1
2
3
4
5
6
7
2
4
4
5
7
8
4
2
Σ=36
2/36=0.06
4/36=0.11
4/36=0.11
5/36=0.14
7/36=0.19
8/36=0.22
4/36=0.11
2/36=0.06
Σ =1
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Histograma de una imagenHistograma de una imagenDefiniciónDefinición
Para una imagen de dimensiones MxN
y niveles de gris (intensidad) en el rango f0 a fk
H f MxNii
i k
( )=
=
∑ =0
0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
8
Núm
ero
de p
íxel
es
Nivel de grisf
H(f)
Nº de píxeles con intensidad 0: 2Nº de píxeles con intensidad 1: 4Nº de píxeles con intensidad 2: 4 Nº de píxeles con intensidad 3: 5Nº de píxeles con intensidad 4: 7Nº de píxeles con intensidad 5: 8Nº de píxeles con intensidad 6: 4Nº de píxeles con intensidad 7: 2
Definición 1: El histograma de una imagen se puede definir como una función discreta que representa el número de píxeles en la imagen en función de los niveles de intensidad.
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Definición 2: El histograma de una imagen es la función discreta de la frecuencia relativa de ocurrencia de los píxeles de una imagen en función de los niveles de intensidad. La frecuencia relativa del histograma se puede interpretar como una función de distribución de probabilidad.
P(f)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Fre
cuen
cia
rela
tiva
Nivel de grisf
P fH f
MxN
H f N de pixels con ensidad f
MxN Tamaño imagen
P f ii
k
( )( ) ( ): º int
:
( )
=⎧⎨⎩
==∑0
1
La función P(f) se conoce como función de distribución acumulativa
Histograma de una imagenHistograma de una imagenDefiniciónDefinición
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Histograma de una imagenHistograma de una imagenPropiedades EstadísticasPropiedades Estadísticas
Media: Es el valor medio de los niveles de gris. Aporta información sobre el brillo de una imagen.
f f P fMxN
f i j L numero total de niveles de grisj
N
i
M
f
L
= ⋅ = ====
−
∑∑∑ ( ) ( , ),1
000
1
Varianza: Mide la dispersión de los alrededores de la media (da idea del contraste)
Entropía: Informa sobre la distribución de los niveles de gris
Asimetría sobre la media en la distribución de los niveles de gris:
σ 2 2
0
1
= −=
−
∑ ( ) ( )f f P ff
L
a f f P ff
L
= −=
−
∑( ) ( )3
0
1
E P f P ff
L
=−=
−
∑ ( ) log [ ( )]20
1
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Histograma de una imagenHistograma de una imagenEjemplosEjemplos
1241
0 256
1693
0 256
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Histograma de una imagenHistograma de una imagenEjemplo de imagen en colorEjemplo de imagen en color
Mejora (realce, suavizado) de imágenes Mejora (realce, suavizado) de imágenes
Modificación del brilloModificación del contraste
Modificación del histogramaReducción de ruido
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Mejora de imágenesMejora de imágenes
Objetivo: mejorar la “calidad” de las imágenes. Para la perspectiva humana. Para posteriores operaciones de procesamiento
Dos alternativas: Técnicas en el dominio del espacio.... Operando
directamente sobre los píxeles de la imagen. Técnicas en el dominio de la frecuencia...Operando
sobre la transformada de Fourier (por ejemplo) de la imagen.
No existe una teoría general para definir la “calidad visual” Se asume: si parece mejor, es mejor
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La transformación T puede ser: Puntual: píxel a píxel Área: área local a píxel Global: imagen entera a píxel
Entornos de un píxel (u,v) Típicamente rectangulares Típicamente de tamaño impar: 3x3, 5x5, etc Centrados sobre el píxel f(u,v)
Métodos en el dominio del espacioMétodos en el dominio del espacio
f(u,v)
Entorno
g(u,v)
g(u,v)= T[f(u,v)]
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntuales Idea generalIdea general
Función de transferencia T
f(u,v)
g1(u1,v1)
f1(u1,v1)
0 2550
255
Tf(u,v) g(u,v)
g(u,v) = T[f(u,v)]
g(u,v)
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesUmbralizaciónUmbralización
0 T 255
255
0f(u,v)
g(u,v)
f(u,v) g(u,v) para T=89
g u xf u v T
f u v T( , )
, ( , )
, ( , )=
<≥
⎧⎨⎩
01
T=Umbral
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesModificación de brilloModificación de brillo
g(u,v)
f(u,v)0 2550
255
T
g(u,v)
f(u,v)0 2550
255
T
f(u,v)0 2550
255
T
g(u,v)
0 100 200
0
2000
4000
0 0.5 1
0
2000
4000
0 0.5 1
0
2000
4000
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g(u,v)
f(u,v)0
255
255
g(u,v)
f(u,v)0
255
255
f(u,v)
g(u,v)
Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesInversa, intervaloInversa, intervalo
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado (contracción del histograma)Escalado (contracción del histograma)
g(u,v)
f0 fk L f(u,v)
Rango de variación del nivel de
gris de la imagen de entrada: [f0, fk]
Rango deseado de la variación del
nivel de gris de la imagen de salida: [g0, gk]
g u vg g
f ff u v f g m f u v nk
k
( , ) [ ( , ) ] ( , )=−−
− + = ⋅ +0
00 0
gk
g0
L
0
L: número total de niveles de gris posibles
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado (expansión del histograma)Escalado (expansión del histograma)
g u vf u v f
f fL
k
( , )( , )
=−
−0
0
gk
g0
L
0
g(u,v)
f0 fk L f(u,v)
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0 255
255
f(u,v)
g(u,v)
Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesExpansión (Estiramiento)Expansión (Estiramiento)
f(u,v) g(u,v)
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEjemplo de contracción de histogramaEjemplo de contracción de histograma
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEjemplo de expansión de histogramaEjemplo de expansión de histograma
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEjemplosEjemplos
luminosidad oscurecer
Magnificar los píxeles oscuros
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado no linealEscalado no lineal
g(u,v)/L
f(u,v)/L
α<1
α=1
α>1
g(u,v)=[f(u,v)]α
α=0.50 1
1
α <1: Aumenta el contraste en zonas oscuras
α> 1: Aumenta el contraste en zonas claras
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesEscalado no linealEscalado no lineal
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
α=3.0
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Transformaciones puntualesTransformaciones puntualesCColorolor
Todas las transformaciones puntuales se pueden aplicar a imágenes en color. La misma función para todas las bandas de color Diferentes funciones para las diferentes bandas de color
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma DesplazamientoDesplazamiento
g u v f u v DES( , ) ( , )= +
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma EcualizaciónEcualización
El histograma de una imagen consta de picos, valles y zonas planas bajas Picos = muchos píxeles concentrados en unos pocos niveles de gris Zonas planas = un número pequeño de píxeles distribuidos sobre un
amplio rango de niveles de gris.
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización UniformeEcualización Uniforme
La ecualización uniforme es una de las técnicas más utilizadas para la mejora del contraste de una imagen.
El objetivo es modificar los niveles de una imagen de tal forma que el histograma de la imagen resultante sea plano. Expandiendo los píxeles en los picos sobre un amplio rango de niveles de gris. “Apretando” las zonas planas de píxeles en rangos estrechos de niveles de gris.
Utiliza todos los niveles de gris por igual.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314150
200400600800
100012001400160018002000
Nú
mer
o d
e p
íxel
es
Niveles de gris
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150
50
100
150
200
250
300
Nú
mer
o d
e p
íxel
es
Niveles de gris
Imagen original [f(u,v)] Imagen con ecualización uniforme [g(u,v)]
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización (general)Ecualización (general)
Dada una imagen f(u,v) de MxN píxeles, con una escala de niveles de gris f0- fk e histograma Hf(f).
Sea g(u,v) la imagen de salida deseada (Imagen ecualizada), con una escala de niveles de gris g0 -gk e histograma Hg(g).
Tratando el histograma como una función de densidad de probabilidad:
Las sumas pueden ser interpretadas como funciones de distribución discretas.
Si g(u,v)= T[f(u,v)]. ¿Cuál es la función T que consigue
el objetivo de ecualización?
f
Hf(f)
f0 fk
g
Hg(g)
g0 gk
H f H g MxNf i g ii
k
i
k
( ) ( )= ===∑∑00
Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 40
Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización (general)Ecualización (general)
Denominando por pf(fi) y pg(gi), las probabilidades por cada nivel de gris fi y gi, en las imágenes de entrada y salida, respectivamente, entonces:
p fH f
MxNp g
H g
MxNf i
f i
g i
g i( )
( ), ( )
( )= =
En el dominio continuo, si se supone que T es una función de transformación monótona creciente y no multivaluada, entonces:
Esta es la ecuación general de ecualización. Hay que tener presente que en el dominio discreto no pueden existir funciones uniformes ideales.
p s ds p r drg ff
f
g
g
( ) ( )=∫∫00
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización UniformeEcualización Uniforme
En este caso, lo que se busca es:
H gMxN
g gK gg i
ki( ) ,=
−= ∀
0
Aplicando la función general de ecualización:
MxN
g gds H r dr
kf
f
f
g
g
−=∫∫
0 00
( )
MxN
g gg g H r dr g T f
g g
MxMH r dr g
kf
kf
f
f
f
f
−− = → = =
−+∫∫
00
00
00
( ) ( ) ( ) ( )
g T f g gH i
MxMg g g p i gk
f
i f
f
k fi f
f
= = − + = − += =∑ ∑( ) ( )
( )( ) ( )0 0 0 0
0 0
Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 42
g T f dondeo g g p i gn k fi
fn
= = − +=∑( ) Re {( ) ( ) }00
0
f
Pf(f)=Hf(f)/(MxN)
f0 fkg
Pg(g)=Hg(g)/(MxN)
g0 gkfngn
“Todos los píxeles con valor fn en la imagen f(u,v) se
les asigna un valor gn en la imagen de salida g(u,v)”
Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización UniformeEcualización Uniforme
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ejemplo de Ecualización UniformeEjemplo de Ecualización Uniforme
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización exponencialEcualización exponencial
En este caso lo que se busca es que (0≤γ≤1):
p g g gg ( ) exp[ ( )]= − −γ γ 0
Aplicando, de nuevo, la función general de ecualización:
γ γ⋅ − − =∫∫ exp[ ( )] ( )s g ds p r drff
f
g
g
0
00
− − − + − = → = = − −∫∫exp( )[ exp( ) exp( )] ( ) ( ) ln[ ( ) ]γ γ γγ
g g g p r dr g T f g p r drf ff
f
f
f
0 0 0
11
00
g T f g p ifi f
f
= = − −=∑( ) [ln ( )]0
11
0γ
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ecualización exponencialEcualización exponencial
f
Pf(f)=Hf(f)/(MxN)
f0 fkfng
Pg(g)=Hg(g)/(MxN)
g0 gkgn
“Todos los píxeles con valor fn en la imagen f(u,v) se
les asigna un valor gn en la imagen de salida g(u,v)”
g T f dondeo g p ifi f
f
= = − −=∑( ) Re { [ln ( )]}0
11
0γ
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Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Ejemplo de Ecualización ExponencialEjemplo de Ecualización Exponencial
Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 47
Operaciones con el HistogramaOperaciones con el Histograma Otras EcualizacionesOtras Ecualizaciones
Propuesta de Low (1991). Ejemplo: niveles de gris: L = 8 {0,1,2,3,5,6,7}, MxN = 2400
g round
H i
MxN
L
fi
f
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=∑
max ,( )
0 10
fi Hf(fi) ΣHf(fi) g
0
1
2
3
4
5
6
7
100
800
700
500
100
100
100
0
100
900
1600
2100
2200
2300
2400
2400
0
2
4
6
6
7
7
7800
600
400
200
0
0 1 2 3 4 5 6 8
ideal
800
600
400
200 0
0 1 2 3 4 5 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
Manuel Mazo, Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 48
Ejemplos de ecualizaciónEjemplos de ecualización
0 50 100 150 200 250
0
2000
4000
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
0 50 100 150 200 250
0
2000
4000
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Comparación: Comparación: escalado no lineal (escalado no lineal (αα=3), =3), y ecualización uniformey ecualización uniforme
Imagen original (f(u,v)
α=3
Ecualización uniforme del histograma
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Histograma localHistograma local y operaciones locales y operaciones locales
• Hasta ahora se ha hablado de operaciones sobre el histograma global de una imagen: “los píxeles se modifican mediante una función de transformación que se basa en la distribución de intensidad sobre TODA la imagen”.
• En casos prácticos, los histogramas globales no suelen dar buenos resultados.
• Es más frecuente realizar operaciones locales: Cada píxel se modifica en función de los píxeles de su entorno ( modificaciones por ventanas).
• Para cada píxel en la imagen original se toma una ventana a su alrededor, se realizan las operaciones que procedan con esa ventana (ecualización del histograma de la ventana, etc), y el valor que resulte para el píxel bajo consideración será el que se le asigne en la imagen de salida
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Reducción de ruido Reducción de ruido ¿Qué es el ruido? ¿Cómo se puede reducir?
– Actuando sobre su origen– Realizando operaciones sobre el entorno de cada píxel
• Filtros lineales (paso bajo, paso alto)• Filtros no lineales (mediana).
ruidoimagen
+ =
image con ruido
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RuidoRuidoOrigenOrigen
Fuente de ruido: sensor CCD. Fluctuación de la señal en el detector. Causada por energía térmica. Peor en los sensores de infrarrojos. Electrónica. Transmisión.
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RuidoRuidoModelo GausianoModelo Gausiano
ηπσ
μσ
( ) exp( )
xx
= −−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
1
22
2
2σ
μ
La distribución típica de ruido es Gaussiana
Con μ=0Desviación típica: σ
Gausiana bidimensional
0 50 100 150 200 250
0
500
1000
1500
2000
2500
2σ
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Otros tipos de ruidoOtros tipos de ruido
El ruido Gaussiano produce pequeñas variaciones en la imagen. Tiene su origen: diferencias de ganancia del sensor , ruido de digitalización, perturbaciones en la transmisión, etc
Ruido Impulsional: El ruido tiene un gran efecto sobre los píxeles (el ruido impone el valor del píxel). Se presenta, por ejemplo, cuando se trabaja con objetos a altas temperaturas (problemas con infrarrojos).
Ruido frecuencial: La imagen es la suma de la imagen ideal y otra señal, la interferencia.
Ruido Multiplicativo: La imagen obtenida es fruto de la multiplicación de dos señales.
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Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Promediado del entorno de vecindadPromediado del entorno de vecindad
h u v( , )
/ / /
/ / /
/ / /
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1 9 1 9 1 91 9 1 9 1 91 9 1 9 1 9
19
1 1 11 1 11 1 1
f(u,v)
g u v h u v f u vS
f i j h u i v jmxn ji
( , ) ( , ) * ( , ) ( , ) ( , )= = − −∑∑1
g(u,v)
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Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Promediado de imágenesPromediado de imágenes
g u v f u vK
f u vii
K
( , ) ( , ) ( , )= ==∑11
σ σg nu vK
u v2 21( , ) ( , )=
Considerando una imagen ruidosa f(u,v), está se puede expresar como:
f(u,v) = fsin_ruido(u,v) +n(u,v), siendo n(u,v), que se supone está incorrelado,
es gausiano, de media cero y varianza σn2.
La media de varias imágenes, captadas en las mismas condiciones:
La varianza de los píxeles en la imagen resultante g(u,v) viene dada por
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Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Reducción de ruidoReducción de ruido
70 80 90 100 110 120 130 140
160
170
180
190
200
210
220
230
Imagen limpia
Imagen + ruido
Imagen + ruido - promediado
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La reducción de ruido puede conllevar la desaparición de detalles finos en la imagen
Imagen original Imagen con reducción de ruido
Ruido: filtros lineales Ruido: filtros lineales Efecto sobre detalles con la reducción de ruidoEfecto sobre detalles con la reducción de ruido
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Ruido: filtros no lineales Ruido: filtros no lineales MedianaMediana
x1 x2 x3 ….. x(N-1)/2 …….. xN-2 xN-1 xN
N imparmenor mayor
mediana
Unidimensional (Nx1)
Bidimensional (NxN): mediana: valor central de la ordenación de menor a mayor(N-1)/2
x xxx
xxx
x x
(N-1)/2
(N-1)/2
xxx xx
(N-1)/2
(N-1)/2
xx
x
x
x
(N-1)/2
Preserva los bordes verticales y horizontales
Preserva los bordes inclinados
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Original Filtro paso bajo Mediana
RuidoRuidoFiltros lineales y no linealesFiltros lineales y no lineales
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RuidoRuidoOtros tipos de filtros no linealesOtros tipos de filtros no lineales
Filtro de Kuwahara
Principio:Dividir la máscara del filtro en cuatro regiones (a, b, c, d). En cada una calcular la media de nivel de gris y la varianza El valor de la salida del píxel central (abcd) en la ventana es el valor medio de la región que tiene la varianza más pequeña
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RuidoRuidoOtros tipos de filtros no linealesOtros tipos de filtros no lineales
Filtro Gausiano:
G u vu v
( , ) exp( )
= −+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12 22
2 2
2πσ σ
Fijado un valor de σ2 la función G(u,v) de puede aproximar por una máscara, cuyas dimensiones depende del valor de σ2 :
G(0,0) G(1,0)
G(-1,-1) G(1,-1)G(0,-1)
G(0,+1)G(-1,1)
G(-1,0)
G(1,1)
Se van dando pares de valores a u y v. El tamaño de la máscara se trunca cuando los valoresde G(u,v) sean despreciables frente a los otros .Los valores de G(u,v) se pueden escalar (multiplicar por una constante) y redondeandoal entero más próximo.
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RuidoRuidoOtros tipos de filtros no linealesOtros tipos de filtros no lineales
σ2 = .25 σ2 = 1.0 σ2 = 4.0
G u vu v u v
( , ) exp exp exp= −+⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥= −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥⋅ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
12 2
12 2
12 22
2 2
2
2
2
2
2πσ σ πσ σ πσ σ
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RuidoRuidoFiltos gausianosFiltos gausianos
σ = 0.391
12 4
1 14
41
4
1
σ = 0.625
1 2 3 2 1
2 7 11 7 2
3 11 17 11 3
2 7 11 7 2
1 2 3 2 1
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RuidoRuidoEjemplos con filtros gausianosEjemplos con filtros gausianos
Máscara Gausiana 7x7 Máscara Gausiana 15x15
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RuidoRuidoFiltros gausianosFiltros gausianos
G u v f u v G u G v f u v( , ) * ( , ) ( ) *{ ( ) * ( , )}=
g1(u,v)= G(v)*f(u,v) g(u,v)= G(u)*g1(u,v)
Ejemplos de G(u) y G(v) (máscaras lineales). Escalado:
G(u): [3 28 135 411 800 1000 800 411 135 28 3], para σ=1.5
G(u): [1 3 11 28 65 135 249 411 606 800 945 1000 945 800 606 411 249 135 65 28 11 3 1], para σ=3.0
G(u): [3 28 135 411 800 1000 800 411 135 28 3]T, para σ=1.5
G(u): [1 3 11 28 65 135 249 411 606 800 945 1000 945 800 606 411 249 135 65 28 11 3 1]T, para σ=3.0
Equivalente a dos convoluciones con máscaras unidimensionales
[]T =traspuesta
1
21000
σ πK =
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Suavizado Binario de imágenesSuavizado Binario de imágenes
En imágenes binarias (niveles de gris de 0 ó 255), el ruido produce irregularidades en los contornos, pequeños huecos, presencia de puntos aislados, etc.
Supondremos que un punto blanco (nivel de gris 255) se le asigna el valor binario “0” y a los puntos negros (nivel de gris 0) el valor binario “1”
El suavizado de estas imágenes binarias tiene los siguientes efectos:
1. Rellenar los pequeños huecos de un píxel (píxeles blancos) en zonas oscuras.
2. Rellena pequeños cortes y muescas en segmentos de lados rectos.
3. Elimina los puntos blancos (píxeles de valor 255=“1”) aislados.
4. Elimina las pequeñas protuberancias a lo largo de los segmentos de lados rectos.
5. Repone los puntos perdidos de las esquinas
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Suavizado Binario de imágenesSuavizado Binario de imágenes
Supóngase un píxel genérico “p” y denominemos los pixeles que le rodean por las letras a, b, c, d, e, f, g,h .
Procedimientos 1 y 2:
Partiendo de la imagen original, cada píxel (“p”) se le asigna en la imagen de salida el valor dado por:
Es importante tener en cuenta que la ecuación anterior se aplica a todos los píxeles simultáneamente, y que todos los píxeles de la imagen de salida se actualizan a la vez
a b c
d p e
f g h
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
B p b g d e d e b g OR AND1 = + • • + + • • + + ≡ • ≡( ) ( ); " " ;
B1
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Suavizado Binario de imágenesSuavizado Binario de imágenes
Procedimientos 3 y 4:
Partiendo de la imagen original, cada píxel (“p”) se le asigna en la imagen de salida el valor dado por:
Al igual que en el caso anterior, se aplica a todos los píxeles simultáneamente y todos los píxeles de la imagen de salida se actualizan a la vez
B p a b d e g h b c e d f g2 = • + + • + + + + + • + +[( ) ( ) ( ) ( )]
B2
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Suavizado Binario de imágenesSuavizado Binario de imágenes
Para la recuperación de la esquina superior derecha se utiliza la expresión:
Las esquinas inferior derecha, superior izquierda e inferior izquierda se recuperan usando las expresiones
B p d f g a b c e h p3 = • • • • + + + + +( ) ( )
B3,B4, B5, B6
B p a b d c e f g h p
B p e g h a b c d f p
B p b c e a d f g h p
4
5
6
= • • • • + + + + +
= • • • • + + + + +
= • • • • + + + + +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )