Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares1
Comprensión del ConCepto variable en estudiantes de nivel superior
María del Rosario Salmán ValdezUniversidad Autónoma de Sinaloa
Silvia Evelyn Ward BringasUniversidad Pedagógica del Estado de Sinaloa
Eneyda Rocha RuizUniversidad Autónoma de Sinaloa
Área temática: Educación en campos disciplinares.
Línea temática: El análisis cognitivo de la construcción, comunicación y desarrollo de conoci-
mientos disciplinares.
Tipo de ponencia: Reporte parcial.
Resumen:
En el presente trabajo se reflexiona sobre el concepto de variable, el cual es fundamental en la enseñanza
aprendizaje de la matemática, desde que iniciamos la vida escolar en el preescolar, implícitamente realizamos
tareas que tienen que ver con la variable, al resolver problemas de agregar y/o quitar los niños de preescolar
elaboran sus representaciones de las cantidades y usan la variable como letra evaluada o ignorada. Igualmente,
en la primaria al encontrar el número perdido los niños usan la variable como letra evaluada o ignorada,
además en problemas de geometría los niños de primaria pueden llegar a usar la variable como objeto según la
representación en la que realicen del problema. Es a partir de secundaria cuando se formaliza curricularmente
el concepto variable como incógnita específica y es en este período escolar que se plantea llegar a usarla como
cantidad que varía.
Los estudiantes de primer ingreso de la Universidad Autónoma de Sinaloa muestran serias deficiencias en
el manejo del lenguaje matemático, particularmente en el concepto variable, en nuestro estudio se busca
identificar los usos y representaciones semióticas del concepto variable que utilizan los estudiantes de nuevo
ingreso a licenciatura, bajo el marco teórico de Kücheman (1980) y las representaciones semióticas de Duval
(2004), para ello se aplicó un cuestionario a 16 estudiantes de nuevo ingreso a la licenciatura en Economía, de
los cuales se analizaron cualitativamente los usos y representaciones del concepto variable que utilizaron.
Palabras clave: Usos de la variable, comprensión, representaciones semióticas, estudiantes universitarios
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
2
Introducción
La variable es un concepto fundamental para la transición de la aritmética al álgebra (Schoenfeld y
Arcavi, 1988), además de ser esencial en cualquier rama de las matemáticas, sustituir a los números para
formar una expresión que nos sirva para solucionar problemas en cualquier contexto, así como para
expresar las propiedades de los números reales.
La variable se estudia formalmente desde secundaria, a pesar de esto, en los primeros cursos de
matemáticas de licenciatura son notorias las dificultades de los estudiantes al enfrentarse a cantidades
que varían. Sin embargo, la responsabilidad de las instituciones de educación superior inician al momento
que los estudiantes son aceptados al pasar por las pruebas de selección institucionales, ejemplo de esto
son CENEVAL, exámenes internos, entrevistas, etc., de tal forma que, como menciona Enfedaque (1990) la
detección de problemas en matemáticas ocurre cuando el maestro se da cuenta que el mayor problema es
cuando los estudiantes empiezan a sustituir los números por letras.
Por otra parte, la variable se define como un concepto polisémico y esto hace que se presenten dificultades
al utilizarla (Philipp, 1992). Por ejemplo, en la materia de cálculo al resolver problemas que tienen que ver con
álgebra, los estudiantes requieren el uso de variables como números generalizados o cantidad que varía
(Gray, Loud y Sokolowski, 2009).
Es importante señalar que la mayoría de las investigaciones que indagan sobre la comprensión del concepto
de variable de los estudiantes, se enfocan principalmente en el registro algebraico, sin tomar en cuenta
otros tipos de representaciones semióticas de la variable que el estudiante utiliza. Por ejemplo, considerar
el registro numérico, ya que como mencionan Carraher, Schliemann y Brizuela (Butto y Rojano, 2004, p.115)
“la aritmética es algebraica, porque proporciona elementos para construir y expresar generalizaciones”.
Desarrollo
Marco teórico
En nuestro estudio, con la finalidad de identificar los usos y representaciones semióticas del concepto
variable que utilizan los estudiantes universitarios nos centramos en los seis usos de la variable según
Küchemann desde letra evaluada hasta como cantidad que varía, y en las representaciones semióticas,
ya que en matemáticas es fundamental el uso de representaciones semióticas, pues con ellas se utilizan
símbolos, caracteres o signos que expresan una representación mental o un objeto real, con ellos se
reemplaza la imagen que se tiene mentalmente (Duval, 2004).
Küchemann (1978) identificó seis maneras en las cuales los estudiantes interpretan y utilizan las variables
como letra evaluada; letra no usada o ignorada; letra como un objeto; letra como incógnita; letra como
un número generalizado; y la variable como una cantidad que varía, además subrayó que el aprendizaje
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
3
de la variable es sistemático, esto es, no se puede utilizar el uso de la variable como cantidad que varía si
antes no la utilizó como número generalizado, y como generalizado si antes no la utilizó como incógnita
específica.
La letra evaluada se utiliza al asignar un valor numérico sin operar la letra; al usar la letra como ignorada
no se toma en cuenta la letra o en el mejor de los casos, reconocen su existencia pero no se le atribuye
un significado; la letra como objeto, se considera como una abreviatura de un objeto o bien la letra puede
ser pensada como un objeto; como incógnita específica, tiene un único valor pero desconocido y se puede
operar directamente sobre ella; como letra generalizada se considera que la letra representa o es capaz de
asumir distintos valores; y como letra que varía el cambio de la variable afecta a la otra variable.
Nos basamos en la teoría de representaciones semióticas de Duval, ya que solo podemos acceder a los
objetos matemáticos a través de ellas, al limitar a los estudiantes a utilizar un solo registro, Küchemann no
mide la comprensión de los estudiantes que utilizan otros registros, por lo que consideramos importante
tomar en cuenta los diferentes registros de representación semiótica, para complementar su trabajo.
Las representaciones semióticas tienen un papel esencial en la enseñanza de las matemáticas, debido a que
son ellas las que nos permiten acceder a los objetos matemáticos, a diferencia de las demás ciencias, las
matemáticas tienen objetos intangibles, como lo menciona Duval (2006) “la actividad matemática se realiza
necesariamente en un contexto de representación, cualquier actividad dentro de las matemáticas es una
representación” (p.144).
Una representación funciona verdaderamente como tal para un sujeto cuando se cumplen dos condiciones:
que se pueda disponer por lo menos de dos representaciones semióticas diferentes para producir una
representación de un objeto, de una situación o de un proceso; la segunda condición es poder convertir
espontáneamente de un sistema semiótico a otro las representaciones generadas, sin darse cuenta de ello
y cuando una de estas condiciones no se cumple la representación y el objeto representado se tienden a
confundir (Duval, 2004).
Cada sistema semiótico debe cumplir con tres funciones cognitivas: la identificación, el tratamiento y la
conversión, necesarias para la comprensión, es importante señalar que para Duval (2006) la comprensión
tiene lugar cuando es posible coordinar al menos dos diferentes registros; aunque no en todos los sistemas
se pueden llevar a cabo estas funciones, el lenguaje natural, algebraico, gráfico, las figuras geométricas,
entre otras si lo permiten.
Marco metodológico
Nuestro estudio se llevó a cabo dentro de la metodología cualitativa mediante un estudio de casos,
constituido por 16 estudiantes de la licenciatura en Economía del ciclo 2016 - 2017. Diseñamos un
cuestionario utilizando algunos de los ítems propuestos por Küchemann (1980) y considerando las distintas
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
4
representaciones semióticas de la variable. El cuestionario se aplicó al iniciar el primer semestre con la
finalidad de analizar la comprensión de los estudiantes al ingresar a licenciatura. Los datos se analizaron
en dos fases de acuerdo con la propuesta de Duval (2004, 2006), primero se identificaron tanto los usos
como las representaciones semióticas y después se analizó las formas en que los estudiantes pusieron a
funcionar las representaciones.
Resultados
En el ejercicio: Ana fue al mercado a comprar peras y manzanas, si sabemos que el triple de peras que
compró es igual al doble de manzanas, además el total de peras y manzanas es 15, ¿Cuántas hay de cada una?
Esta pregunta, se planteó en registro lenguaje natural, en las respuestas de los estudiantes se encontró
que de los 15 estudiantes que contestaron el ejercicio, todos ellos identificaron el registro de salida pues
escribieron alguna información que contenía el ejercicio, de ellos un estudiante trató de dar solución
dentro del mismo registro y ocho estudiantes más convirtieron sin congruencia a registro numérico y
algebraico, de acuerdo a la teoría de representaciones semióticas, estos nueve estudiantes realizaron la
función cognitiva de identificación.
Cabe destacar que un estudiante convirtió de manera congruente a registro algebraico sin realizar
tratamiento en el registro de llegada y convirtió a registro numérico sin congruencia. Los otros seis
estudiantes realizaron conversiones congruentes, de ellos, dos estudiantes convirtieron a registro
algebraico las condiciones sin terminar el ejercicio y los otros cuatro estudiantes convirtieron a los
registros numérico y algebraico, dos de ellos transitaron entre dos registros lenguaje natural y numérico
(LN↔N) y lenguaje natural y algebraico (LN↔A), de acuerdo a Duval (2016) cuando menciona que “la
comprensión matemática comienza cuando comienza la coordinación de registros” (p.89), se afirma que
estos dos estudiantes comprenden el concepto variable en los registros utilizados (LN↔N, LN↔A), en la
figura 1 podemos ver las funciones cognitivas que utilizó un estudiante.
Figura 1: Respuesta del estudiante 33 al primer ejercicio
En la figura 1 observamos que el estudiante identificó el registro de salida, dio tratamiento completo al
interpretar la información y convirtió de registro lenguaje natural a algebraico y viceversa, además de que
convirtió entre dos registros (LN↔A), utilizó el registro numérico para comprobar el resultado.
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
5
En relación a los usos de la variable, un estudiante utilizó la letra como ignorada, otros dos como incógnita
específica, ambos estudiantes solucionaron el ejercicio mediante el método de sustitución, encontraron
un valor para cada variable, y un estudiante más utilizó la letra como número generalizado, los otros diez
estudiantes no contestaron correctamente el ejercicio, sin embargo, se pudo observar que cuatro de ellos
al parecer quisieron utilizar la letra como ignorada, otros cuatro estudiantes pretendieron utilizar la letra
como objeto, un estudiante más como incógnita específica y otro como número generalizado.
El segundo ejercicio: Calcula el perímetro de un rectángulo, si su base mide 5 centímetros y la altura mide a
centímetros, se planteó en registro lenguaje natural. Se encontró que dos estudiantes no contestaron el
ejercicio, de los 14 estudiantes que contestaron el ejercicio, un estudiante trató de solucionar el ejercicio
dentro del mismo registro lenguaje natural y otros tres estudiantes convirtieron sin congruencia a los
registros numérico, algebraico y/o geométrico, todos ellos identificaron el registro de salida, ya que
señalaron información necesaria para realizar el ejercicio
Por otra parte, se observó que cinco estudiantes convirtieron congruentemente a registro geométrico
pero sin congruencia a registro algebraico ya que calcularon el área del rectángulo, es decir solo convierten
de manera congruente de registro lenguaje natural a geométrico, esto se pude observar en el ejemplo de
la figura 2.
Figura 2: Procedimientos realizados por el estudiante 10
La solución que se muestra en la figura 2 de uno de los estudiantes, es similar a la respuesta de los
cinco estudiantes que convirtieron con congruencia a registro geométrico y sin congruencia a registro
algebraico, ellos identificaron las unidades significativas en el registro de salida y de llegada a registro
geométrico, sin embargo, no las identificaron cuando el registro de llegada fue el registro algebraico por lo
que no convirtieron de manera coherente a este registro.
Más aún, entre los hallazgos se develó que los otros cinco estudiantes convirtieron de manera congruente
a otros registros, uno de ellos a registro geométrico y después a registro numérico y los otros cuatro
convirtieron a registro geométrico y algebraico. Es importante resaltar que todos los estudiantes que
convirtieron de manera congruente no convirtieron de regreso al registro de salida (LN). Lo importante en
este punto es subrayar que según la teoría de las representaciones semióticas, estos estudiantes no llegan
a comprender el concepto pues no coordinan dos registros de representación, por lo que podemos decir
según las respuestas de los estudiantes, que ninguno de los que respondieron este ejercicio comprende el
concepto variable.
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
6
En relación a los usos de la variable se encontró que uno de los estudiantes utilizó la letra como ignorada y
los otros nueve como objeto. Los otros cuatro estudiantes contestaron de manera incorrecta el ejercicio,
según sus respuestas al parecer un estudiante trató utilizarla como ignorada, otro estudiante como objeto
y dos más como incógnita específica.
La pregunta tres (Si a un número le restas 117 el resultado es 372 y si al mismo número le restas 118 el resultado
será:) se planteó en registro numérico, en las respuestas de los estudiantes, se encontró de los 15 estudiantes
que respondieron la pregunta, además, siete estudiantes que lograron la función de tratamiento ya que
encontraron la solución dentro del mismo registro numérico, es importante en este punto señalar que
de acuerdo con la teoría de las representaciones semióticas para que los estudiantes den tratamiento
es necesario que primero realicen la actividad cognitiva de identificar, así estos siete estudiantes logran
solo dos funciones cognitivas identifican y dan tratamiento quedándose en monoregistro pues no logran
convertir a ningún otro registro de representación; en la figura 3 se muestran un ejemplo de la solución de
uno de los estudiantes que transformó dentro del mismo registro, esto es, da tratamiento interno.
Figura 3: Procedimientos realizados por los estudiantes 10
Como se puede ver en la figura 3 el estudiante realizó operaciones aritméticas en el registro numérico
para encontrar la solución, cabe señalar que los siete estudiantes que llevaron a cabo las dos funciones
cognitivas (identificación y tratamiento) realizaron este tipo de operación aritmética.
Los otros cinco de los 15 estudiantes que respondieron, realizaron las tres funciones cognitivas debido a que
convirtieron congruentemente a registro algebraico y uno de estos cinco estudiantes además convirtió a
lenguaje natural; así de estos cinco estudiantes, tres convirtieron de ida y vuelta a otros registros, uno de
ellos a dos registros: lenguaje natural y algebraico, mientras que los otros dos estudiantes convirtieron a
registro algebraico, estos tres estudiantes tienen mayor comprensión del concepto variable según Duval
(2004) ya que transitan entre al menos dos registros de representación, en la figura 4 se presenta un
ejemplo de la solución de uno de los estudiantes que uso por lo menos dos registros de representación y
realizó las tres funciones cognitivas.
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
7
Figura 4: Procedimientos realizados por el estudiante 27
En la figura 4 se puede ver que el estudiante identificó, dio tratamiento y convirtió en dos ocasiones de
manera congruente, además se observa que el estudiante planeta y resuelve las ecuaciones que dan
solución a la pregunta usando coherentemente el registro algebraico, asimismo argumenta en lenguaje
natural el procedimiento y solución del problema. De manera similar respondieron la pregunta los cinco
estudiantes que realizaron las tres funciones cognitivas, por lo que de acuerdo con la teoría de Duval
(2016) consideramos que estos cinco estudiantes manifestaron en sus respuestas comprender el concepto
variable.
En relación a los usos de la variable según Küchemann se encontró tres estudiantes contestaron de
manera incorrecta el ejercicio. Los otros 12 estudiantes contestaron correctamente el ejercicio, uno de
ellos como letra ignorada, otros siete estudiantes usaron la letra como objeto y cuatro estudiantes más
como incógnita específica.
El cuarto ejercicio: el servicio básico mensual de teléfono cuesta 150 pesos, si L son las llamadas adicionales
del servicio de teléfono al mes y cada llamada adicional cuesta 2 pesos, ¿qué representa 2L+150? ¿cuánto
pagarías por 15 llamadas adicionales al servicio básico mensual? ¿cuál sería la representación gráfica?, se
plantea una situación algebraica, en los resultados que se obtuvieron de los estudiantes se encontró que
los 16 estudiantes contestaron el ejercicio. Respecto a las funciones cognitivas, en el análisis realizado a las
respuestas de los estudiantes de esta licenciatura, se ubicaron a nueve estudiantes en la función cognitiva
de identificación ya que reconocen el precio de las llamadas y el costo mensual; otros cuatro estudiantes
realizaron tanto conversiones congruentes como sin congruencia, las conversiones congruentes fueron
a los registros lenguaje natural, numérico y geométrico mientras que las conversiones sin congruencia
fueron a los registros numérico y geométrico. Es importante destacar que los otros tres estudiantes
realizaron conversiones congruentes a lenguaje natural, numérico y geométrico, a pesar de que los
estudiantes convirtieron congruentemente, en ninguna ocasión convirtieron de ida y vuelta entre dos
registros, es decir, aunque llevaron a cabo las tres funciones cognitivas, no lograron coordinar mediante
la transformabilidad externa por lo menos dos registros de representación, por lo que de acuerdo con la
teoría de las representaciones semióticas no logran la comprensión. En la figura 5 se muestra un ejemplo
de la solución de uno de los estudiantes que logra convertir a otros registros.
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
8
Figura 5: Procedimientos realizados por el estudiante 27
En la figura 5 podemos ver que el estudiante realizó las tres funciones cognitivas sin regresar al registro
de salida, identificó la información necesaria para solucionar el ejercicio, dio tratamiento interno completo
en registro algebraico al interpretar la información correctamente y convirtió congruentemente a los
registros numérico, geométrico y lenguaje natural, por lo que se considera que el estudiante comprende
el concepto variable.
Con respecto al uso de la variable, se encontró que ocho de los 16 estudiantes contestaron el ejercicio de
manera incorrecta, de ellos siete estudiantes trataron de utilizar la letra como objeto y uno como incógnita
específica. Los otros ocho estudiantes contestaron correctamente el ejercicio de ellos, un estudiante utilizó
la letra evaluada, cuatro más como incógnita específica, dos más como número generalizado y uno más
como cantidad que varía.
El ejercicio: Observe la secuencia siguiente:
a) ¿Cuántos puntos tendrá el término 3000? b) En palabras describe el método que utilizaste para
encontrar el número de puntos. c) Escribe una expresión algebraica para conocer el número de puntos en
cualquier término; se les presentó a los estudiantes en representación geométrica, en las respuestas que se
obtuvieron de los 15 estudiantes que respondieron la pregunta, un estudiante no terminó el ejercicio y otros
cinco estudiantes realizaron la primera de las funciones cognitivas, “identificar las unidades significantes en
el registro de partida” (Duval, 2004, p.745), ya que plasmaron alguna parte o toda la información que sirve
para resolver este ejercicio, además estos cinco estudiantes trataron de convertir a otros registros, en su
mayoría a registro numérico y algebraico.
En cuanto a las conversiones entre los hallazgos, dos estudiantes realizaron conversiones tanto
congruentes como sin congruencia, a ellos se les facilitó convertir a registro lenguaje natural y/o numérico.
Se encontró que solo siete estudiantes realizaron conversiones congruentes a otros registros, cuatro
XV CONGRESO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA– PONENCIA REPORTES PARCIALES O FINALES DE INVESTIGACIÓN
9
congruentemente a los registros numérico, geométrico y lenguaje natural, por lo que se considera
que el estudiante comprende el concepto variable.
Con respecto al uso de la variable, se encontró que ocho de los 16 estudiantes contestaron el
ejercicio de manera incorrecta, de ellos siete estudiantes trataron de utilizar la letra como objeto y
uno como incógnita específica. Los otros ocho estudiantes contestaron correctamente el ejercicio
de ellos, un estudiante utilizó la letra evaluada, cuatro más como incógnita específica, dos más
como número generalizado y uno más como cantidad que varía.
El ejercicio: Observe la secuencia siguiente:
a) ¿Cuántos puntos tendrá el término 3000? b) En palabras
describe el método que utilizaste para encontrar el número de puntos. c) Escribe una expresión
algebraica para conocer el número de puntos en cualquier término; se les presentó a los
estudiantes en representación geométrica, en las respuestas que se obtuvieron de los 15 estudiantes
que respondieron la pregunta, un estudiante no terminó el ejercicio y otros cinco estudiantes
realizaron la primera de las funciones cognitivas, “identificar las unidades significantes en el
registro de partida” (Duval, 2004, p.745), ya que plasmaron alguna parte o toda la información que
sirve para resolver este ejercicio, además estos cinco estudiantes trataron de convertir a otros
registros, en su mayoría a registro numérico y algebraico.
En cuanto a las conversiones entre los hallazgos, dos estudiantes realizaron conversiones tanto
congruentes como sin congruencia, a ellos se les facilitó convertir a registro lenguaje natural y/o
numérico. Se encontró que solo siete estudiantes realizaron conversiones congruentes a otros
registros, cuatro de ellos convirtieron a registro algebraico y después sustituyeron la variable por
3000 (ver figura 6), de ellos un estudiante también convirtió a lenguaje natural, y los otros tres
convirtieron a registro numérico registro algebraico.
12 3 4
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
9
de ellos convirtieron a registro algebraico y después sustituyeron la variable por 3000 (ver figura 6), de
ellos un estudiante también convirtió a lenguaje natural, y los otros tres convirtieron a registro numérico
registro algebraico.
Figura 6: Procedimientos realizados por el estudiante 15 en la pregunta 5.
En la figura 6 podemos ver que el estudiante realizó las tres funciones cognitivas, identificó, dio tratamiento
y convirtió a otros registros, para contestar la primera pregunta primero convirtió a registro algebraico
y después a registro numérico. Los 12 estudiantes que realizaron las tres funciones cognitivas ninguno de
ellos retornó al registro de salida, por lo que para Duval (2004) no logran comprender el concepto.
En relación a los usos de la variable, se encontró que un estudiante no contestó y mientras nueve de los 15
estudiantes que contestaron el ejercicio lo resolvieron favorablemente, seis estudiantes lo contestaron de
manera incorrecta; un estudiante de los que contestó incorrectamente pretendió utilizar la variable como
letra ignorada y los otros cinco como número generalizado. De los nueve estudiantes que contestaron
correctamente el ejercicio, uno de ellos uso la letra como evaluada, dos estudiantes más como ignorada, y
otros seis estudiantes como número generalizado.
El sexto ejercicio: Siendo G el dinero que Frida tiene guardado en el banco después de S semanas, como
lo podemos ver en la tabla siguiente, ¿Cuándo tendrá 190 pesos en el banco? Representa la tabla de otra
maneraS G1 25(1)+402 25(2)+403 25(3)+404 25(4)+40
Se presenta en registro numérico, en las respuestas que emitieron los estudiantes se encontró que todos
encontraron la solución del ejercicio. En relación a las funciones cognitivas que realizaron los estudiantes se
pudo conocer que cinco de los 16 estudiantes realizaron dos de las tres funciones cognitivas, identificaron
las unidades significativas en el registro de salida y transformaron al interior del mismo registro ya que
continuaron con la tabla numérica o realizaron la operación para la sexta semana.
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
10
Otros diez estudiantes realizaron las tres funciones cognitivas ya que transformaron a otros registros, ocho
de ellos convirtieron a registro lenguaje natural, un estudiante de estos 10 convirtió a registro geométrico
por medio de una gráfica y el otro de ellos utilizó los cuatro registros, sin embargo, solo uno de los diez
estudiantes, logró coordinar por lo menos dos registros, que de acuerdo con Duval (2016) este estudiante
comprende el concepto cuando convierte de numérico a lenguaje natural y viceversa.
En relación a los usos de la variable, un estudiante utilizó la letra como evaluada, otro estudiante como
letra ignorada, 11 estudiantes más como objeto, otros dos estudiantes como número generalizado y uno
más como cantidad que varía, en la figura 7 se muestra un ejemplo de la utilización de la variable por un
estudiante.
Figura 7: Procedimientos realizados por los estudiantes 27
En la figura 7 se puede ver que un primer estudiante utilizó la letra como objeto al continuar con las
operaciones para seguir con la tabla numérica, además utilizó la letra como incógnita específica al escribir
una ecuación, despejar el valor desconocido y encontrar la solución, también utilizó la letra como número
generalizado al trazar la gráfica y ubicar distintos puntos en ella y trazar la recta, de acuerdo a Küchemann
(1978; 1980) este estudiante fue capaz de representar a una serie de valores para la variable más que como
un valor específico.
La séptima pregunta se planteó en registro geométrico: De acuerdo a la siguiente gráfica selecciona, ¿cuál
de las siguientes expresiones describe mejor los puntos graficados? Argumenta tu respuesta.
a) x b) x2 c) 2x d) x3
De acuerdo a las respuestas que emitieron los estudiantes, se encontró que dos no contestaron este
ejercicio, de los 14 que respondieron la pregunta, un estudiante llevó a cabo la función de identificación, los
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
11
demás estudiantes dieron tratamiento interno, tres de ellos realizaron conversiones con y sin congruencia
a otros registros, dos de las conversiones congruentes fueron a registro algebraico y una a registro
numérico sin lograr coordinar los registros, en la figura 8 se observa un ejemplo de esto.
Figura 8: Procedimientos realizados por el estudiante 24
En la figura 8 podemos ver que el estudiante llevó a cabo la identificación de las unidades significativas en el
registro de salida así como en el registro de llegada por lo que podemos decir que el estudiante convirtió a
distintos registros, sin coordinar dos de ellos; es importante señalar que solo un estudiante transitó entre
el registro algebraico y lenguaje natural y de acuerdo con Duval (2016) este estudiante tiene una mayor
comprensión del concepto pues utiliza los cuatro registros y coordina dos de ellos.
Con respecto a los usos de la variable, se observó que dos estudiantes no contestaron el ejercicio, además
que otros cuatro estudiantes lo respondieron incorrectamente; dos de ellos al parecer pretendieron usar
la variable como ignorada y otros dos como cantidad que varía. En relación a las respuestas de los diez
estudiantes que contestaron correctamente se encontró que dos estudiantes utilizaron la letra como
objeto, otros tres como letra ignorada, uno más como número generalizado y cuatro como cantidad que
varía.
Conclusiones
La mayoría de los estudiantes utilizó la letra como objeto, además que utilizan tres registros
representación y convierten por lo menos a tres registros, y logran dar tratamiento en el registro de
llegada, sin embargo, en su mayoría los estudiantes no regresan al registro de partida, principalmente
utilizan los registros lenguaje natural, numérico y algebraico.
Al conocer los resultados de los estudiantes, se observó que a pesar que los estudiantes cursaron el nivel
básico y medio superior, aproximadamente 14 años de estudio, en los que se ven materias relacionadas con
las matemáticas, ingresan a universidad sin utilizar a la variable como cantidad que varía en sus diferentes
representaciones.
El conocer el nivel de comprensión que tienen los estudiantes que recién ingresan al nivel superior, nos
permite contar con insumos empíricos para el diseño de intervenciones pedagógicas y también surgieron
Área temÁtica 06. educación en campos disciplinares
Acapulco, Guerrero 2019
12
algunas interrogantes, una de ellas es ¿qué estamos haciendo como profesores para que nuestros
estudiantes se encuentren en ese nivel de comprensión del concepto variable? Que podemos reflexionar y
analizar en futuras investigaciones.
Referencias
Butto, C., & Rojano, T. (2004). Introducción temprana al pensamiento algebraico: abordaje basado en la geometría. Educación
matemática,16(1).
Duval, R. (2004).Semiosis y pensamiento humano: registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Colombia: Universidad del
Valle, Grupo de Educación Matemática.
Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación. La
Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 9(1), 143-168.
Duval, R. (2016). Comprensión y aprendizaje en matemáticas: perspectivas semióticas seleccionadas. Bogotá: Universidad
Distrital Francisco José de Caldas.
Enfedaque, J. (1990). De los números a las letras. SUMA, 5, 23-34.
Gray, S., Loud, B., & Sokolowski, C. (2009).Calculusstudents’ use and interpretation of variables: Algebraic vs. Arithmeticthinking.
Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 9(2), 59-72.
Küchemann, D. (1980).The understanding of generalised arithmetic (algebra) by secondary school children. 1980. 232h. (Tesis
Doctoral en Filosofía sin publicar), University of London.
Küchemann, D. (1978). Children’s understanding of numerical variables. Mathematics in school, 23-26.
Philipp, R. (1992).The many uses of algebraic variables. The mathematics teacher, 557-561.
Schoenfeld, A. & Arcavi, A. (1988). On the meaning of variable. The mathematics teacher, 420-427.
Top Related