Resumen razón de cambio promedio
La pendiente de la recta secante que
conecta dos puntos en la gráfica de una
función representa la razón de cambio
promedio en el intervalo (x, f(x)).
Esta razón se puede determinar con el
cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ =
∆ 𝑦
∆ 𝑥 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio
a) durante los 2 primeros segundos de la caída
b) del segundo 1 al segundo 2?
si la caída esta gobernada por la siguiente ecuación
f(t) = 5.1𝑡2, donde f(t) se mide en metros?
a) los primeros 2 segundos:
t
y
b) del segundo 1 al 2:
t
y
m/s2.10
02
01.521.522
12
11.521.522
m/s3.15
Razón de cambio promedio -aplicaciones
(1)Determinar la razón de cambio promedio de
𝑓 𝑥 entre x = -2 y x = -1.
•𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
• 𝑓 −2 =
• 𝑓 −1 =
•9−8
−2−(−9)=
9
8
-1
Razón de cambio promedio -aplicaciones
(2) Determinar la ecuación de la recta secante a
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3 entre x = -2 y x = -1. Como la razón de cambio promedio que calculamos en la parte 1 de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que
y = mx + b
y = -x + b
Sustituimos uno de los puntos:
9 = -(-2) + b
9 = 2 + b
9 – 2 = b
b = 7
La ecuación de la recta secante es: y = – x + 7 o y = 7 – x
Razón de cambio promedio -aplicaciones
Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio instantáneo
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
• Hasta ahora hemos
mirado razón de cambio
promedio.
• Para mirar la razón de
cambio instantánea,
calculemos la razón de
cambio promedio en una
vecindad pequeño
alrededor de 2, por la
izquierda.
Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio instantáneo
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
Razón de cambio promedio
en una vecindad pequeño
alrededor de 2, por la
izquierda…:
𝑓(1.97) − 𝑓(1.95)
0.02=
𝑓(1.98) − 𝑓(1.97)
0.01=
𝑓(1.99) − 𝑓(1.98)
0.01=
𝑓(1.999) − 𝑓(1.99)
0.009=
𝑓(1.9999) − 𝑓(1.999)
0.0009=
24.96
24.6
24.36
24.132
24.0132
Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio instantáneo
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
Calculemos la razón de cambio
promedio en una vecindad pequeño
alrededor de 2, por la derecha.
𝑓(2.1) − 𝑓(2.15)
−0.05=
𝑓(2.05) − 𝑓(2.1)
−0.05=
𝑓(2.01) − 𝑓(2.05)
−0.04=
𝑓(2.001) − 𝑓(2.01)
−0.009=
𝑓(2.0001) − 𝑓(2.001)
0.0009=
21
22.22
23.28
23.87
23.99
Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio instantáneo
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
La razón promedio en una vecindad
pequeña alrededor de x=2 (por la
izquierda y por la derecha) se acerca
al mismo número. Por lo tanto, la
razón de cambio instantáneo en x=2
es 24 metros/segundo.
DEFINICION:
La razón de cambio instantánea de
f(x) en x es un límite.
m limh0
f x h f x h
.
El Límite de la cociente de diferencias
La razón de cambio instantánea
de f(x) es la pendiente de la
recta
tangente en (x, f(x)).
DEFINICION: Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama una
línea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curva
suave: una línea tangente toca una curva en un solo punto.
L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva.
Rectas tangentes
Identifique las rectas tangentes en la figura.
.
Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de la
curva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una línea
tangente es posible en cualquier punto dado.
Rectas tangentes
m=0
m=0
m<0
m>0 m<0
En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene
pendiente positiva, en
los de decrecimiento la
tiene negativa.
Rectas tangentes
Calcular razón de cambio instantánea
La velocidad promedio en el intervalo es
Como no se puede
resolver el limite por
sustitución por que no
podemos dividir entre
0, hacemos una tabla
con h = 0.05, 0.1, 0.01,
0.001 y 0.0001 para
explorar el límite.
h
tht22
1.51.5
Los valores tienden 20.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑚
𝑠𝑒𝑔
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡2, donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad de la piedra en t =2.
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ
La velocidad instantánea en t = 2 es
h
tht
h
22
0
1.51.5lim
La velocidad es 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Calcular razón de cambio instantánea
La velocidad promedio en el intervalo es
Podemos también
investigar el límite
con métodos
algebraicos:
h
tht22
1.51.5
10.2(2) = 20.4 , por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑚
𝑠𝑒𝑔
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡2, donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad instantánea de la piedra en t =2.
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ
La velocidad instantánea en t = 2 es
h
tht
h
22
0
1.51.5lim
h
ththt
h
222
0
1.521.5lim
h
ththt
h
222
0
1.51.52.101.5lim
h
hth
h
1.52.10lim
0
hth
1.52.10lim0
t2.10
Ejemplo 1: Para hallar .
Luego, hallar y .
f x
f 3 f 4
El Límite de la cociente de diferencias
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 1
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
3 𝑥 + ℎ 2 + 1 − (3𝑥2 + 1)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
3(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 1 − (3𝑥2 + 1)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 1 − 3𝑥2 − 1
ℎ
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 1 − 3𝑥2 − 1
ℎ
Ejemplo 1: Para hallar .
Luego, hallar y .
f x
f 3 f 4
El Límite de la cociente de diferencias
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 1
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
ℎ(6𝑥 + 3ℎ )
ℎ
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
6𝑥 + ℎ
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥
𝑓′ −3 = 6 −3 = −18
𝑓′ 4 = 6 4 = 24
DEFINICION:
Para una función y = f (x),
la pendiente de la recta
tangente en un valor de x=a se
conoce como la derivada de
f(x) en x=a.
Se denota f’(x) (f prima de x).
siempre y cuando el límite
exista.
f x limh0
f x h f x h
El Límite de la cociente de diferencias
Si f’(x) existe, entonces se dice
que f es diferenciable en
x=a.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto con coordenada en x = a.
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1.2x+1.5
y=-1.3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el símbolo
𝑓´ 𝑎 que se lee “f prima de a”
𝑓´ 4.5 = −3
2 porque la
tangente en x = 4.5 tiene
pendiente −3
2.
𝑓´ −2 = 0
𝑓´ 2 = 1.2
𝑓´ 4 = 0
𝑓´ 6 = −1.3
Determinar la pendiente de la recta tangente a
𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3.
Necesitamos la razón de
cambio instantánea en x = 3.
Necesitamos el
Simplificar este límite algebraicamente envuelve álgebra pesada.
¿De qué otra forma podemos investigar el límite?
Derivada -aplicaciones
h
xhx
h
4)(4lim
0
Determinar la pendiente de la recta tangente a
𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3.
Utilicemos una tabla con h,
la distancia de x = 3 aproximando a 0:
Derivada -aplicaciones
5.0
34)5.03(4
h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001
f(x)
5.04)(4
lim0
h
xhx
h
1.0
34)1.03(4
1.0
34)1.03(4
-0.5859 -0.5132 -0.5013 -0.5001 -0.50001
h
xhx
h
4)(4lim
0
¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0?
Solución:
Según la definición de derivada una función es diferenciable en un
punto si la derivada existe en el punto.
Derivada -aplicaciones
f x limh0
f x h f x h
h
xhx
h
lim
0
h -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001
f(x)
h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001
f(x) -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1
1lim0
h
xhx
h
1lim0
h
xhx
h
¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0?
Solución: (continuación)
Según la definición de derivada una función es diferenciable en un
punto si la derivada existe en el punto.
Por lo tanto, la función no es diferenciable en x = 0.
Derivada -aplicaciones
.diferentes sonderecha la por y
izquierda la por límites los que ya existe No
lim0
h
xhx
h
1lim0
h
xhx
h
1lim0
h
xhx
h
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