TRABAJO ENCARGADO

EJERCICIOS

EJERCICIO # 01

1. TITULO DEFLEXION DE UNA VIGA

2. BREVE FUNDAMENTO TEORICOMuchas estructuras se construyen usando trabes o vigas y estas vigas se flexionan o deforman bajo su propio peso o por la influencia de alguna fuerza externa. Como veremos a continuacin, esta deflexin y(x) esta gobernada por una ecuacin diferencial lineal de cuarto orden relativamente simple.

Ademas, el momento de flexin M(x) es proporcional a la curvatura k de la curva elstica

Donde E e I son constantes, E es el Modulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una seccin transversal de la viga (respecto a un eje conocido como el eje neutro). El producto EI se llama rigidez flexional de la viga.Ahora del calculo, la curvatura esta dada por . Cuando la deflexin y(x) es pequea, la pendiente , y por tanto . Si se permite que .La ecuacin se convierte en:

Su segunda derivada es:

3. PROBLEMA

3.1 Fundamentacin del problema

CURVA ELSTICALa curva elstica o elstica es la deformada por flexin del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a momentos, fuerzas y cargas distribuidas aplicadas sobre la viga.

ECUACIN DE LA ELSTICALa ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elstica. Concretamente la ecuacin de la elstica es una ecuacin para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elstico lineal sometido a pequeas deformaciones la ecuacin diferencial de la elstica viene dada por:

Donde : representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posicin sin cargas. : la ordenada sobre la viga.: el momento flector sobre la ordenada . : el segundo momento de inercia de la seccin transversal. : el mdulo de elasticidad del material.

3.2 Estrategias de solucin del problema

Las aplicaciones de ecuaciones diferenciales de viga de doble integracin son las ms conocidas y usadas. Este tipo de mtodo es til cuando se trata de vigas de a lo mucho con 3 tramos, de all ya no es exacta. Cundo se tiene ms de una flexin mxima se toma la mayor sin importar el signo. Para encontrar ms soluciones no solo existe este mtodo, tambin se puede calcular con el:

Mtodo Matricial Mtodo de la viga conjugada Mtodo de reas Mtodo de CrossAplicamos estaica y resolvemos con ecuacions diferenciales

5.4 Determinacin de la solucin

Sumatoria de momentos

Sumatoria de fuerzas

Ecuacin de diagrama de momentos

Transformacin de Laplace

Aplicamos la Inversa Laplace:

Deflexin:

5.5 Explicacin o interpretacin de la solucinDespus de calcular la inversa Laplace, remplazamos nuestra Inercia y Elasticidad y obtenemos y, que seria nuestra variacin de deflexin de nuestra viga

EJERCICIO # 02

1. TITULO

PANDEO DE COLUMNA

2. INTRODUCCION:

En tales problemas se debenhallar parmetros crticos adicionales que determinen si es posible una configuracin o patrn de desplazamientos dado para un sistema particular.

3. OBJETIVOS

Determinar el Pandeo de columna, con la ayuda de la ecuacin de la deflexin de viga

4. BREVE FUNDAMENTO TEORICO DEL PROBLEMA

PANDEO El pandeo es un fenmeno de inestabilidad elstica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparicin de desplazamientos importantes transversales a la direccin principal de compresin. En ingeniera estructural el fenmeno aparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparicin de una flexin adicional en el pilar cuando se halla sometido a la accin de esfuerzos axiales de cierta importancia. [pic] La aparicin de deflexin por pandeo limita severamente la resistencia en compresin de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresin, denominada carga crtica de pandeo, puede producirse una situacin de inestabilidad elstica y entonces fcilmente la deformacin aumentar produciendo tensiones adicionales que superarn la tensin de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Adems del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elstica provocado por un momento torsor excesivo.

Entonces, como se hiciera en la ecuacin (9.4), tomando , tenemos

Es fcil ver que esta ecuacin es la parte homognea de la ecuacion para una viga columna con extremos articulados. Su solucin es:

Donde las constantes arbitrarias C1 y C2 se deben determinar a partir de las condiciones de contorno, que son

y

La ecuacin se puede satisfacer tomando C1 = 0. Como esto corresponde a la condicin sin pandeo, esta solucin es trivial. Alternativamente la ecuacin (9.23) tambin se satisface si

Pudimos ver que entre mas esbelta sea una columna menor ser su resistencia al pandeo.Requiere que:

Se supondr en este caso que n puede ser cualquier nmero entero. Sin embargo, puesto que el inters se centra en el valor mnimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crtica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es

Donde I debe ser el momento de inercia mnimo del rea transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental.Substituyendo la ecuacin (9.24) en la (9.22), sabiendo que C2 es cero, se obtiene el modo o forma de pandeo de la columna:

Esta es la funcin caracterstica o autofuncin de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un nmero infinito de tales funciones. En esta solucin linealizada la amplitud C1 del modo de pandeo permanece indeterminada. Para n = 1, la curva elstica es media onda de una sinusoide. Esta forma, junto con los modos correspondientes a n = 2 y n = 3, se muestran en la Figura 9.7.c-e. Los modos de orden superior no tienen significado fsico en el problema de pandeo, puesto que la carga crtica mnima ocurre en n = 1.

Una solucin alternativa del problema anterior se puede obtener utilizando la ecuacin diferencial igualada a cero. De la ecuacin tal ecuacin es

Para el caso considerado (articulado en ambos extremos), las condiciones de borde son:

5. PROBLEMA

5.1 Presentacin del problemaUna columna articulada de2m de longitud y seccin cuadrada debe hacerse de madera. Suponiendo E=13 Pa y un Opemn=12MPa y usando un factor de seguridad de 2g para calcular la car la carga critica de pandea de Euler, determine tamao de la seccin transversal si la columna debe soportar:

a) una carga de 100KNb) una carga de 200KN

5.2 Fundamentacin del problema

Ecuacion diferencial de la flexin es igual al momento entre la rigidez de la columna

Momento en este caso

Remplazamos los valores:

La ecuacin se puede satisfacer tomando C1 = 0. Como esto corresponde a la condicin sin pandeo, esta solucin es trivial. Alternativamente la ecuacin (9.23) tambin se satisface si

Pudimos ver que entre mas esbelta sea una columna menor ser su resistencia al pandeo.Requiere que:

Se supondr en este caso que n puede ser cualquier nmero entero. Sin embargo, puesto que el inters se centra en el valor mnimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crtica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es

5.3 Estrategias de solucin del Problema

Determinamos la direccin de pandeo que va a sufrir la columna, debido a los momentos de inercia tanto en x y y . Y siempre el momento de inercia mas dbil se utilizara para realizar el pandeo

Aplicamos el pandeo de Euler, Carga de trabajo y el factor de seguridad. Despejando y encontrando incognitas, resolvemos

5.4 Determinacin de la SolucinSolucin a) P=100KN Calcular el ancho de a de la columna por pandeo

Carga de trabajo

Ancho necesario para resistir la compresin Resp. Del inciso a: 98.34m.m se tomara 100 m.m x 100 m.m

b) P=200KN

Ancho necesario para resistir la compresin Resp. Del inciso a: 98.34m.m se tomara 130m x 130m.m

5.4 Explicacin o interpretacin de la solucin

Obtenemos las dimensiones de la columna tanto de una carga de 100KN y una carga de 200KN,para que resista la comprensin de la columna

EJERCICIO # 03

1. TITULO

EL SALITRE, UNO DE LOS ENEMIGOS DEL CONCRETO ARMADO

2. OBJETIVOS:

Uno de los objetivos fundamentales es que se pueden calcular varios tipos de incremento, incrementos de poblaciones que pueden ser objetos, personas, animales o cosas siempre y cuando este crecimiento est en funcin del tiempo. Reconocer el tipo de problema o fenmeno para poder aplicar las distintas ecuaciones aprendidas en el curso, aplicados a la profesin.

3. BREVE FUNDAMENTO TEORICOSea el numero de individuos en el timpo . La ley de Malthus de crecimiento de poblaciones dice que la razon de cambio de la poblacin es proporcional al numero de individuos en ese tiempo, es decir:

4. PROBLEMA

5.1 Presentacion del problema

Sea la cantidad de salitre que hay en das. De ah que y y es la velocidad a la que se incrementa el salitre.

4.2 Estrategias de solucin

Aqu se puede aplicar la ley de Malthus para as encontrar el porcentaje que haba originalmente de salitre, ya que el mencionado salitre incremente en funcin del tiempo

4.3 Determinacin de la solucin

Sea la cantidad de salitre que hay en das. De ah que y y es la velocidad a la que se incrementa el salitre.Por la ley de maltusiana este problema se formula de la siguiente manera:

Cuya solucin integrada es conocida:

Como se tiene que:

Cuando resulta:

La ecuacin resultante quedara:

Hallan , si

La ecuacin resultante quedara de la siguiente forma:

5.4 EXPLICACIN O INTERPRETACIN DE LA SOLUCIN

El porcentaje que habia inicialmente aproximadamente es de 9.9213 por ciento

EJERCICIO # 04

1. TITULO

TEMPERATURA DE LOS MATERIALES

2. OBJETIVOS:

Como es de saber, en lo que consta a los materiales empleados para construcciones estos presentan determinados parmetros (Temperatura, humedad, ndices de deformacin, etc.), por lo tanto es necesario calcular los cambios o fenmenos que puedan ocurrir entre estos.

3. BREVE FUNDAMENTO TERICO:En un cuerpo que se est enfriando la tasa de cambio de temperatura T (t) con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T (t) y la temperatura TA del medio que lo rodea. Esto es:

Si sabemos que k es una constante de proporcionalidad entonces procederemos a integrar la ecuacin con la otra condicin tambin que la Temperatura Ambiente tambin es constante.

Obtenemos la relacin lineal siguiente:

4. PROBLEMA

4.1 Presentacin del problema

Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 100F se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0F. Despus de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50F.a) Cunto tiempo tardara la barra para llegar a una temperatura de 25F?b) Cul ser la temperatura de la barra despus de 10 minutos?

4.2 Estrategia para la solucin del problema:Sea T (t) la temperatura de la barra al tiempo t, luego T (0) = 100F y T (20) = 50F. La temperatura del medio ambiente, TA es TA= 0F. Ntese que dT/dt es la velocidad a la que se enfra la barra. Aplicamos la ley de enfriamiento de Newton 4.2 Determinacin de la solucin

. Aplicamos la ley de enfriamiento de Newton

Y como previamente se dijo que la TA=0, la ecuacin diferencial queda de la siguiente manera:

Con T (0) = 100F y con T (20) = 50FTeniendo la solucin general:

Entonces como sabemos tambin que la T (0) = 100F, entonces tenemos la siguiente ecuacin:

Cuando T (20) = 50F obtenemos lo siguiente:

Ya que tenemos el valor del cambio a razn constante (k=-0.03465) la ecuacin diferencial es:

Ahora que tenemos la ecuacin diferencial ya resuelta podemos resolver las incgnitas que nos pide el problema.a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de 25F

La barra tardara 40 minutos en alcanzar una temperatura de 25Fb) La temperatura de la barra despus de 10 minutos es:

4.3 Explicacin o interpretacin de la solucin

La temperatura de la barra despus de 10 minutos en el cuarto es aproximadamente 71F

EJERCICIO # 05

1. TITULO

OFERTA Y DEMANDA

2. INTRODUCCIN

Supongamos que se tiene un bien comn que ofrece una gran oferta y demanda en la poblacin, por ejemplo, el petrleo. Se desea saber el valor de venta de este producto en un determinado tiempo.Para esto, sea el precio del bien por alguna unidad especificada en cualquier tiempo , por ejemplo, un barril de petrleo. Entonces se puede pensar que es el precio que acta en funcin del tiempo .

Donde g es la funcin de demanda.La ecuacin de la oferta asume que los productores usan la tasa de cambio de precio en tiempo t, esto es, , para decidir sobre la oferta que est disponible. Esto es una aproximacin a la realidad, puesto que en la prctica hay una demora entre el tiempo de produccin real y el mercadeo al consumidor.

No se considera los precios de otros bienes o el ingreso.3. BREVE FUNDAMENTO TEORICOEl principio econmico de la oferta y la demanda nos dice que si la oferta S excede a la demanda D, hay una tendencia para que los precios se ajusten a s mismos en el sitio de mercado hasta que la oferta se reduzca para igualar la demanda, esto es, hasta que S = D.

Naturalmente surge ahora la pregunta sobre qu formas deberan tomar f y g en la ecuacin diferencial de primer orden. Las ms simples son funciones lineales en y esto es,

Reemplazando en la ecuacin (1)

Asumamos que ,

Resolviendo esta ecuacin lineal de primer orden sujeta a en

Caso 1

Entonces , por lo tanto los precios permanecen constantes en todo tiempo.Caso 2

El precio tiende a como el lmite cuando t crece, asumiendo que este lmite es positivo. En este caso tenemos estabilidad de precio, y el lmite se llama el precio de equilibrio.Caso 3

El preciocrece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que , tenemos inflacin continuada o inestabilidad de precio. Entonces el nmero de unidades ofrecidas por los productos y demandas de los consumidores entre t y estn dados aproximadamente por respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por trminos que involucran y mayores.As, cantidad acumulada en intervalo t a en trminos con y mayores

Tomando lmite cuando En el caso especial donde q es constante, tenemos S = D.Como una ilustracin, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementar el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En este caso

4. PROBLEMA4.2 Determinacin de la solucin

Usando en , da ; por lo tanto:

4.3 Explicacin o interpretacin de la solucinEl precio se incrementa de 8 al de equilibrio 12. Este precio de equilibrio tambin se obtiene al igualar la oferta y la demanda,

EJERCICIO # 06

1. TITULO

Vibraciones de una masa pendiente de un muelle2. BREVE FUNDAMENTO TEORICOPara formular la ecuacin diferencial de este problema se necesita dos leyes de la fsica, la segunda ley de newton y la ley de Hooke.La segunda ley de Hooke establece que la variacin de la cantidad de movimiento de un cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la fuerza resultante que acta sobre el cuerpo y su sentido es la de la fuerza resultante.Expresado en forma matemtica es:

Donde: masa del cuerpo velocidad del cuerpo fuerza resultante que acta sobre el cuerpo constante de proporcionalidad Si se considera constante, entonces:

De donde , donde ,

La ley de Hooke establece que la magnitud de las fuerzas necesarias para producir una cierta elongacin en un muelle es directamente proporcional la elongacin, supuesto que esta no es demasiado grane, en forma matemtica se tiene:

Donde: F magnitud de la fuerzas elongacin K constante de proporcionalidad (constante de muelle)

Ahora consideramos las fuerzas que actan sobre a masa

1. La fuerza de gravedad

2. la fuerza recuperadora del muelle, por la ley de Hooke se tiene por ser la fuerza recuperadora igual a la magnitud pero de sentido opuesto a las fuerzas de la gravedad, y que para la posicin se tiene:

Por lo tanto:

3. La fuerza de resistencia del medio llamado fuerza de amortiguamiento, que se expresa as:

4. Cualquier fuerza exterior que acta sobre la masa que ser expresado por , aplicando la segunda ley de Newton , donde se tiene:

De donde:

Que es la ecuacin diferencial del movimiento de la masa sujeta al muelle.

3. PROBLEMA

3.1 Presentacin del problemaAl extremo inferior de un muelle espiral suspendido del techo se sujeta un peso de 8 lbr. Que queda en reposo en su posicin de equilibrio con el muelle alargado 0.4 pies, se lleva entonces el peso 6 pulgadas por debajo de dicha posicin de equilibro y se abandona en . La resistencia del medio es, en libras, numricamente igual a , donde es la velocidad instantnea en pies por segundo.Determinar el desplazamiento en funcin del tiempo.

Reemplazando valores en (1)

12 UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA MATEMATICA IV