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Matemtica Financiera
Conceptos Bsicos
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Matemtica Financiera
Conceptos BsicosObjetivos de aprendizaje Definir la Matemtica Financiera. Explicar y medir el valor del dinero en el
tiempo. Describir el sistema financiero nacional. Graficar diagramas de flujo de caja.
Conceptos Bsicos
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Matemtica Financiera Es una rama de la Matemtica cuyo objeto de estudio son el clculo de las
variaciones cuantitativas que se producen por el uso u obtencin del dinero debido al transcurso del tiempo, mediante la aplicacin de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser:
de rgimen de inters simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan periodo a periodo y, por lo tanto, estos intereses no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses siempre se calculan sobre el valor actual y se acumulan al final de una operacin financiera.
de rgimen de inters compuesto cuando los intereses generados en el pasado s se acumulan al valor actual y generan, a su vez, periodo a periodo intereses en el futuro, los intereses se capitalizan periodo a periodo al valor actual que lo genero.
Segn el sentido en el que se aplica la ley financiera existen : operaciones de capitalizacin cuando se sustituye un valor actual por otro
valor futuro. operaciones de actualizacin o de descuento: cuando se sustituye un
valor futuro por otro valor actual.
Conceptos Bsicos
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Valor del Dinero en el Tiempo Las decisiones financieras se refieren a costos y beneficios que se distribuyen a
lo largo del tiempo. Por tanto, los encargados de tomar estas decisiones (en las familias, las
empresas y el gobierno) deben comparar los valores de cantidades de dinero en distintas fechas. Principio:
Unidades monetarias en ubicados en distintos puntos en el tiempo deben ser consideradas como monedas diferentes, es decir que no tienen el mismo valor
Por las siguientes razones:1. Podemos invertirlo hoy y ganar intereses.2. El poder adquisitivo puede cambiar.3. La incertidumbre respecto al futuro.
VF
0 n
VAConceptos Bsicos
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Equivalencia Financiera Debemos tener presente que lo racional es que el dinero aumente
en el tiempo, este aumento medido a travs del Inters o de la Tasa de Inters, vendra a ser el valor que le damos al dinero en el tiempo.
Principio:Dos capitales o flujos son equivalentes a una misma tasa de interes
si los valores actuales o valores futuros respectivos son iguales
VF
0 i n
VA
Conceptos Bsicos
Lic. A. Ramrez Guzmn Conceptos Bsicos 6
Operacin Financiera
Una operacin financiera representa un intercambio de dinero en diferentes fechas que son equivalentes a cierta tasa de inters.
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 7
Sistema Financiero
Intermediacin Financiera
Unidades Superavitarias
Inversin
Unidades Deficitarias
Financiacin
FINANCIAMIENTO DIRECTO
FINANCIAMIENTO INDIRECTO
Mercado de ValoresMercado PrimarioMercado Secundario
BancarioNo Bancario
Ahorrista Prestatario
Inversionista Emisor
Depsito Prstamo
Desintermediacin Financiera
DineroDin
ero
Dinero
Ttulos ValoresDeuda : InteresesCapital: Dividendos
Tasa
Pasiva
Tasa Activa
InstrumentosFinancieros
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Instrumentos Financieros Es todo producto de naturaleza financiera que es objeto de
transaccin u operacin financiera en el Sistema Financiero. Estos instrumentos adoptan la forma de ttulos valores o formas contractuales como operaciones bancarias.
Ttulos valores: Letras de Cambio Bonos Acciones
Operaciones Bancarias: Ahorros Sobregiros Prstamos
Conceptos Bsicos
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Flujo de Caja Flujo de Caja (FC): Cuando se evala la
conveniencia de una determinada alternativa de financiamiento o inversin, debe realizarse dicha evaluacin en trminos de su flujo de caja (FC), definindose esta como el conjunto de ingresos (I) y egresos (E) de dinero que se generaran en el tiempo como consecuencia directa de elegir tal alternativa.
Flujo de Caja Neto (FCN): Es la diferencia de los ingresos y egresos en cada unidad de tiempo.
FCN = Ingresos Egresos (en cada unidad de tiempo)
Conceptos Bsicos
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Diagrama de Flujo de CajaSon representaciones grficas de un FC, de los movimientos de efectivo (ingresos y egresos) que se generan en una operacin financiera. Elementos:-El Horizonte temporal.-Los ingresos o ahorros (flecha hacia arriba en diagramas o signo positivo + en Excel).-Los egresos o prdidas (flecha hacia abajo en diagramas o signo negativo - en Excel)
0 1 2 n - 1 n
Inicio del periodo 1
Final del periodo 1 e inicio del periodo 2
Final del periodo 2 e inicio del periodo 3
Periodo 1 Periodo 2 Periodo n
Final del periodo n-1 e
inicio del periodo n
Fin del periodo n
Conceptos Bsicos
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Flujo de CajaClasificacin
Por el comportamiento de los flujos de efectivo: Flujo de Caja convencional:
consiste en un egreso (ingreso) inicial seguido de una serie de ingresos (egresos) de efectivo.
Flujo de Caja No convencional: consiste en un egreso (ingreso) inicial seguido de una serie de ingresos (egresos) intermitentes de efectivo.
Conceptos Bsicos
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Operaciones de Inversin: Tasa de Rentabilidad
Punto de Vista de Inversin
Operaciones de Financiamiento: Tasa de Costo
Punto de Vista de Financiacin
i Tasa de Rentabilidad
i Tasa de Costo
Flujo de CajaClasificacin
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Medicin del Valor del Dinero en el TiempoMedicin Absoluta
Inters (I): mide de manera absoluta la variacin del dinero por unidad de tiempo, se le calcula restndole al valor final el valor actual de una operacin financiera, debido a ello el inters se expresa en unidades monetarias.
Dado que es una medida absoluta, no siempre nos indicara la alternativa financiera correcta.
VAVFI =
Conceptos Bsicos
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Medicin del Valor del Dinero en el TiempoMedicin Relativa
La Tasa de Inters (i): mide de manera relativa la variacin del dinero por unidad de tiempo, se le calcula dividiendo el inters (I=VF-VA) entre el valor actual de una operacin financiera. Nos informa cuanto es el inters que se genera por cada unidad monetaria en la operacin financiera.
La Tasa Porcentual de Inters (i%): Es la expresin porcentual de la tasa de inters, se le calcula multiplicando a esta ultima por 100%.
1===VAVF
VAI
VAVAVFi
%1001%100%100
==
=
VAVF
VAI
VAVAVFi
Conceptos Bsicos
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Tipos de Transformacin delValor del Dinero en el Tiempo
Para analizar y valuar el proceso de transformacin del dinero en el tiempo se utilizan las siguientes regimenes:Rgimen de Inters de capitalizacin Simple.Rgimen de Inters de capitalizacin Compuesto.Rgimen de Inters de capitalizacin Continua.
Conceptos Bsicos
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Tasas de Inters
Regimenes de Crecimiento del Dinero en el Tiempo
Inters simpleTasa Nominal
Inters compuesto Tasa Nominal Tasa Efectiva (con periodo de capitalizacin)
Tasa Efectiva
Conceptos Bsicos
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Unidad de Tiempo
Se considera convencionalmente el ao bancario de 360dias o meses de 30 das.
Cuando en una operacin financiera intervienen fechas se considerara meses calendario.
Unidad N Unidades en un Ao (m) N dias por UnidadAo 1 360
Semestre 2 180Cuatrimestre 3 120
Trimestre 4 90Bimestre 6 60
Mes 12 30Quincena 24 15
Dia 360 1
El tiempo y sus equivalencias
Conceptos Bsicos
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Periodo de Tiempo comprendidoentre dos fechas
Es la Fecha de Vencimiento (FV) menos Fecha Inicial (FI) de la operacin financiera.
Para que una operacin financiera genere intereses es necesario que por lo menos haya transcurrido un da, por lo que para calcular el periodo de Tiempo comprendidoentre dos fechas la primera fecha (FI) se excluye y la ultima fecha (FV) se incluye.
FI FV
Conceptos Bsicos
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Periodo de Tiempo comprendidoentre dos fechas
Entre el 17/08/12 y el 18/08/12 1 Da
Entre el 17/08/12 y el 31/08/12 14 Das
Entre el 17/08/12 y el 25/10/12 14+30+25 = 69 Das
Entre el 23/09/12 y el 23/12/12 7+31+30+23 = 91 Das
Entre el 10/11/12 y el 23/03/13 20+31+31+28+23 = 133 Das
Conceptos Bsicos
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Porcentajes Una fraccin representa en trminos relativos, un cociente o
razn, cuanto un nmero representa de otro (X/Y). Puede expresarse como fraccin o decimal o porcentaje (tanto por ciento). 50/100 = 0.50 = 0.50 x 100% = 50 % 10/100 = 0.10 = 0.10 x 100% = 10 % 5/100 = 0.05 = 0.05 x 100% = 5 % 125/100 = 1.25 = 1.25 x 100% = 125 % 1/100 = 0.01 = 0.01 x 100% = 1 % 0.5/100 = 0.005 = 0.005 x 100% = 0.5% 20/80 = 0.25 = 0.25 x 100% = 25% 125/50 = 2.5 = 2.5 x 100% = 250% 48/73 = 0.6575 = 0.6575 x 100% = 65.75%
En la Matemtica Financiera se utiliza la notacin decimal o de fraccin para el calculo financiero y la notacin porcentual usualmente en las preguntas y respuestas.
Conceptos Bsicos
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Mapa Conceptual Valor del Dinero en el Tiempo
Valor del Dinero en el Tiempo
Regimenes
Absoluta Relativa
Medicin
Inters Simple VA, VF
Inters Compuesto
VA, VF
I = VF-VA
Descuento
d Nom
Rentas Amortizacin
Constante
Variable
i Nom
Descuento
d Nom, Dcto
i Nom, Cap
i Efect
i
i %
Conceptos Bsicos
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Bibliografa Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica
Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo I.
Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 1.
Valera Moreno, Rafael. Matemtica Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edicin, Piura. 2001: Captulo I.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo I.
Conceptos Bsicos
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Inters Simple
Matemtica para las Finanzas
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Matemtica Financiera
Inters SimpleObjetivos de aprendizaje Definir el Inters Simple Graficar flujos de caja Formular ecuaciones de valor equivalente a
inters simple. Resolver ecuaciones de valor equivalente a
inters simple con tasa constante y tasa variable para hallar VA, VF, I, i y n
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Inters Simple Una operacin financiera esta sujeta a rgimen de
inters simple cuando el Valor Actual VA (capital inicial P), que es el importe que genera los intereses; permanece constante periodo a periodo, en el plazo total de vigencia de la transaccin financiera. Los intereses devengados periodo a periodo se generan aplicando la tasa de inters peridica sobre dicho valor actual. La adicin de los intereses calculados al valor actual se realiza al trmino de la vigencia de la operacin financiera, conformando el Valor Futuro VF (capital final S).
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Inters Simple
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Tasa de Inters Tasa Nominal (j) Es una tasa de inters de referencia y es la que va a
proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) segn la periodicidad del horizonte temporal. Usualmente el periodo de referencia de esta tasa es Anual, pero puede indicarse para otros plazos: TNA TNS TNT TNB TNM TND
Tasa Proporcional (i) Es la tasa de inters que se aplicara por periodo dentro del plazo de vigencia de la operacin financiera. Se determina de la siguiente manera:
donde: m es el numero de periodos contenidos en el plazo de la TN. Cabe resaltar que el periodo de aplicacin de la tasa de inters proporcional debe
ser homogneo con los periodos del horizonte temporal. Asimismo, cuando enlas operaciones de inters simple multiplicamos o dividimos una tasa nominal, la tasa resultante tambin ser nominal.
100%jim
=
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Valor Futuro en el Inters Simple Si a un Valor Actual (VA) se le adiciona el inters total I que este
ha generado durante n periodos, a una tasa i por periodo, se obtiene como resultado el Valor Futuro (VF) de dicho valor actual.
(1 )VF VA i n= + niVAI =
VA i VA i VA i VA i VA i
0 1 2 3 4 n-1 n
VA IVAVF +=
niVAVAVF +=
)1( niVAVF +=
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Valor Actual en el Inters Simple Si a un Valor Futuro (VF) se le sustrae el inters total I que este ha
generado durante n periodos, a una tasa i por periodo, se obtiene como resultado el Valor Actual (VA) de dicho valor futuro.
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Tasa de Inters (i) y el Tiempo (n) en el Inters Simple en funcin de VF y VA
iVAVF
nn
VAVF
i11
=
=
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 31
Inters Simple (I) con Valor Actual y Tasa Nominal Constante
niVAI =
IVAi n
=
IiVA n
=
In
VA i=
Inters Simple (I) con Tasa Nominal Constante en funcin de VA
[ ]1)1()1(
+=
+=
=
+=
niVAIVAniVAI
VAVFIIVAVF
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Inters Simple con Valor Actual Constante y Tasa Nominal Variable
kk niVAniVAniVAniVAniVAI +++++= ..............44332211)..............( 44332211 kk nininininiVAI +++++=
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Valor Futuro con Valor Actual Constante y Tasa Nominal Variable
IVAVF +=
)..............( 44332211 kk nininininiVAVAVF ++++++=)..............1( 44332211 kk nininininiVAVF ++++++=
Valor Actual en funcin del Valor Futuro y Tasa Nominal Variable
)..............ii(1 44332211 kk nininninVFVA
+++++++=
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Inters en funcin del Valor Futuro y Tasa Nominal Variable
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 35
Inters con Valor Actual Variable y Tasa Nominal Constante
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 36
Valor Futuro con Valor Actual Variable y Tasa Nominal Constante
IVAVF +=)..............()..........( 221121 kkK nVAnVAnVAiVAVAVAVF +++++++=
)1(...)1()1()1( 332211 kk niVAniVAniVAniVAVF ++++++++=
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Inters y Valor Futuro (o Valor Actual) con Valor Actual (o Valor Futuro) Variable y
Tasa Nominal VariableCuando en el horizonte temporal de la operacin financiera se presentan varios VA (o VF) y se tienen variaciones en la tasa deinters nominal en distintos momentos en el tiempo; el importe por intereses y el valor futuro (o VA) se obtiene efectuando los clculos de inters simple por tramos segn como se presenten las variaciones, aplicando las relaciones antes expuestas.
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Tasa de inters vencida (i) en el rgimen de inters simple
La tasa de inters vencida i es la tasa de inters aplicada a un valor actual, el cual devenga al vencimiento del plazo de la operacin financiera pactada.
Ecuaciones de Valor Equivalente a Inters Simple Una ecuacin de valor equivalente a inters simple se obtiene
igualando en una fecha de comparacin o fecha focal, la suma (a valor actual y/o valor futuro) de un conjunto de ingresos (egresos) con otra de un conjunto de egresos (ingresos) considerando en ambos la misma tasa de inters.
En el inters simple, si dos conjuntos de importes son equivalentes en una fecha focal no necesariamente son equivalentes en otra fecha focal.
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 39
Mapa Conceptual Inters Simple
Inters Simple
Valor Futuro Inters Valor Actual n, i
Valor ActualConstanteVariable
Valor FuturoConstanteVariable
iNomConstanteVariable
)1( niVFVA
+=)1( niVAVF +=
)...1( 332211 kk ninininiVAVF +++++= )...1( 332211 kk ninininiVFVA
+++++=
)...( 332211 kk ninininiVAI ++++=niVAI =
IVAVF +=
VAVFI =
IVFVA =
In
VA i=
iVAVF
n
1=
nVAIi
=
n
VAVF
i1
=
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 40
Bibliografa Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un
enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 2.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo I.
Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo II.
Valera Moreno, Rafael. Matemtica Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edicin, Piura. 2001: Captulo I.
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 41
Matemtica Financiera
Inters Compuesto
Lic. Armando Ramrez Guzmn
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 42
Matemtica Financiera
Inters CompuestoObjetivos de aprendizaje Definir el Inters Compuesto Graficar flujos de caja Formular ecuaciones de valor equivalente a
inters compuesto. Resolver ecuaciones de valor equivalente a
inters compuesto con tasa constante y tasa variable para hallar VA, VF, I, i y n
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 43
Matemtica Financiera
Inters Compuesto En el inters compuesto los intereses generados
en el periodo anterior se acumulan al valor actual y generan, a su vez, periodo a periodo intereses en el futuro, los intereses se suman periodo a periodo al valor actual que lo genero.
Este proceso de acumulacin de intereses periodo a periodo al valor actual que lo genero se denomina capitalizacin.
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 44
Inters Compuesto
niVAVF )1( += )1(...)1()1()1( iiiiVAVF ++++=
1)1( iVA + 2)1( iVA + 3)1( iVA + )1()1( iiVA ++ )1()1( 2 iiVA ++ )1()1( 1 iiVA n ++
iVAVA + iiVAiVA +++ )1()1( iiVAiVA +++ 22 )1()1( iiVAiVA nn +++ 11 )1()1( iVA iiVA + )1( iiVA + 2)1( iiVA n + 1)1( (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 4 ...... n-1 n
VA
i por periodo niVAVF )1( +=
VAVFI = VAiVAI n += )1( [ ]1)1( += niVAItambin:
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 45
Inters Compuesto Tasas de Inters
Tasa Nominal Junto con el perodo de capitalizacin al cual est asociado constituyen slo una forma indirecta de informar una tasa efectiva.
Tasa Efectiva Mide el verdadero crecimiento proporcional del dinero en el tiempo, con sta se halla la tasa (o el factor) de capitalizacin para cada perodo.
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Transformacin Equivalente de Tasa Nominal a Tasa EfectivaSe multiplica o divide
Tasa Nominal Tasa Efectiva
En este caso, se transforma la tasa nominal en forma proporcional al periodo de capitalizacin, siendo la tasa resultante efectiva.
30% TNA capitalizable mensualmenteief mensual = 0.30/12 = (0.30/12) x 1 = (0.30/360) x 30 = 0.025 = 2.5% TEM
18% TNA capitalizable trimestralmenteief trim = 0.18/4 = (0.18/12) x 3 = (0.18/360) x 90 = 0.045 = 4.5% TET
54% TNA capitalizable semestralmenteief semestral = 0.54/2 = (0.54/12) x 6 = (0.54/360) x 180 = 0.27 = 27% TES
7.5% TNT capitalizable bimestralmenteief bim = 0.075/1.5 = (0.075/3) x 2 = (0.075/90) x 60 = 0.05 = 5% TEB
6% TNM capitalizable diariamenteief diaria = 0.06/30 = (0.06/30) x 1 = 0.002 = 0,2% TED
13.5% TNS capitalizable bimensualmenteief bim = 0.135/3 = (0.135/6) x 2 = (0.135/180) x 60 = 0.045 = 4.5% TEB
1.25% TNM capitalizable trimestralmenteief trim = 0.0125x3 = (0.0125/1)x3 = (0.0125/30)x90 = 0.0375 = 3.75% TET
2% TNT capitalizable semestralmenteief trim = 0.02x2 = (0.02/90)x180 = 0.04 = 4% TES
5% TNB capitalizable cada 77 Dasief mensual = (0.05/60)x77 = 0.0642 = 6.42% TE77Das
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 47
Transformacin Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva
Operacin exponencial
Tasa Efectiva 1 Tasa Efectiva 2
Hallar la Tasa Efectiva 2, debe ser entendido como el proceso de trasformar equivalentemente el factor de capitalizacin de la Tasa Efectiva 1.
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 48
Expresin general:
Tasa Efectiva2 = (1 + Tasa Efectiva1) n2/n1 - 1Donde:n1 = perodo de la Tasa Efectiva 1n2 = perodo de la Tasa Efectiva 2
Transformacin Equivalentede Tasa Efectiva a Tasa Efectiva
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 49
Ejemplos: Tasas efectivas equivalentes a otra tasa efectiva 18% TEA
ief mens = (1,18) (1/12) -1 = (1,18) (30/360) -1 = 1,3888% TEMief trim = (1,18) (3/12) -1 = (1,18) (90/360) -1 = 4,2247% TETief bim = (1,18) (2/12) -1 = (1,18) (60/360) -1 = 2,7970% TEBief diaria = (1,18) (1/360) -1 = 0,0460% TED
7.5% TETief bim = (1,075) (2/3) -1 = (1.075) (60/90) -1 = 4.9395% TEB ief anual = (1,075) (12/3) -1 = (1,075) (360/90) -1 = 33,5469% TEAief mens = (1,075) (1/3) -1 = (1,075) (30/90) -1 = 2,434% TEMief diaria = (1,075) (1/90) -1 = 0,0804% TED
4.25% TE127Dasief bim = (1.0425) (60/127) -1 = 1.9858% TEB
ief anual = (1,0425) (360/127) -1 = 12.5225% TEAief mens = (1,0425) (30/127) -1 = 0.9880% TEMief diaria = (1,0425) (1/127) -1 = 0,0328% TED
5% TEBief 19Das = (1.05) (19/60) -1 = 1.557% TE19Das
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 50
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Constante
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 51
Valor Futuro en el Inters Compuesto con Tasa Constante
IVAVF +=
[ ]1)1( ++= niVAVAVFniVAVF )1( +=
)1(...)1()1()1( iiiiVAVF ++++=
niVAVF )1( +=
o tambin:
n factores
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 52
Valor Actual en el Inters Compuesto con Tasa Constante
IVAVF +=
IVFVA =[ ]1)1( += niVAVFVA
niVFVA )1( +=
)1(...)1()1()1( iiiiVFVA
++++= ni
VFVA )1( +=o tambin:
n factores
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 53
Inters con Valor Futuro y Tasa Constante
IVAVF += VAVFI =
niVFVFI )1( +=
+=
niVFVFI )1(1
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 54
Inters con Valor Actual Constante y Tasa Constante
11
=
n
VAVFi
IVAVF += VAVFI =
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
VAiVAI n += )1( [ ]1)1( += niVAITasa de Inters (i) y el Tiempo (n)
)1( iLogVAVFLog
n+
=
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 55
Tasa Efectiva (ie)
niVAVF )1( +=
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 1 2 3 n
VA
ie
%100
=
VAVAVFi
%100)1(
+
=
VAVAiVAi
n
e[ ] %1001)1( += ne ii
Por lo tanto, reemplazando y despejando convenientemente:
por periodo
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 56
Inters Devengado entre Periodos con Tasa Constante
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 0 k-1 k z n
VA
i por perodo
11 )1( += kk iVAVF zz iVAVF )1( +=
1 = kzkz VFVFI1)1()1(
++= kzkz iVAiVAI
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 57
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
VF
(1+i1) .. (1+i1) (1+i2) .. (1+i2) (1+i3) .. (1+i3) .. (1+ik) .. (1+ik) 0
VA
...
1i 2i 3i ki 1n 2n 3n kn
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 58
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
Valor Futuro de un Valor Actual Constante con Tasa Variable
Valor Actual de un Valor Futuro con Tasa Variable
knk
nnn iiiiVAVF )1(.....)1()1()1( 321 321 ++++=
knk
nnn iiiiVFVA )1(.....)1()1()1( 321 321 ++++
=
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 59
Valor Futuro y Valor Actual con Tasa Variable
Inters con Valor Actual Constante y Tasa Variable
Inters con Valor Futuro y Tasa Variable
IVAVF +=
VAVFI =
VAiiiiVAI knknnn
++++= )1(.....)1()1()1( 321 321
[ ]1)1(.....)1()1()1( 321 321 ++++= knknnn iiiiVAI
++++=
knk
nnn iiiiVFI )1(.....)1()1()1(
11321
321
knk
nnn iiiiVFVFI )1(.....)1()1()1( 321 321 ++++
=
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 60
Valor Futuro (o Valor Actual) con Valor Actual (o Valor Futuro) Variable y Tasa Variable
Cuando en el horizonte temporal de la operacin financiera se presentan varios VA (o VF) y se tienen variaciones en la tasa de inters en distintos momentos en el tiempo; el importe por intereses y el valor futuro (o VA) se obtiene efectuando los clculos de VF (o VA) por tramos segn como se presenten las variaciones, aplicando las relaciones antes expuestas.
Tambin puede hallarse el VF (o VA) calculando el VF (o VA) de los ingresos y restndole el VF (o VA) de los egresos, a las correspondientes tasas de inters.
Inters Devengado entre Periodos con Tasa Variable Para determinar el inters devengado de un VA entre el periodo k-simo
y el periodo z-simo incluidos del horizonte temporal se debe restar el VFz del VFk-1 calculados a sus correspondientes tasa de inters.
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Ecuaciones de Valor Equivalente a Inters Compuesto
En el inters compuesto un flujo de ingresos y un flujo de egresos ubicados en diferentes periodos de un horizonte temporal son equivalentes, si a una fecha determinada o fecha focal, sus respectivos valores actualizados, capitalizados, o uno actualizado y otro capitalizado, etc.; aplicando en todos los casos la misma tasa de inters, son iguales.
VA(Ingresos) = VA(Egresos) VF(Ingresos) = VF(Egresos)
Propiedades Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos son
equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluacin, tambin lo sern en cualquier otra fecha focal.
Si un flujo de ingresos y un flujo de egresos no son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluacin, tampoco lo sern en cualquier otra fecha focal.
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Mapa Conceptual Inters Compuesto
Inters Compuesto
Valor Futuro Inters Valor Actual n, i
Valor ActualConstanteVariable
Valor FuturoConstanteVariable
iNom, Capie
ConstanteVariable
niVFVA )1( +=
niVAVF )1( +=kn
knnn iiiiVAVF )1(...)1()1()1( 321 321 ++++=
[ ]1)1( += niVAI
IVAVF +=
VAVFI =
IVFVA =
)1( iLogVAVFLog
n+
=
[ ]1)1(...)1()1()1( 321 321 ++++= knknnn iiiiVAI
knk
nnn iiiiVAVA )1(...)1()1()1( 321 321 ++++
=
11
=
n
VAVFi
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Bibliografa
Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 3.
Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo III.
Valera Moreno, Rafael. Matemtica Financiera: conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. 2da Edicin, Piura. 2001: Captulo II.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo II.
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Matemtica Financiera
Clasificacin de las tasas de inters en el sistema financiero
nacional
Lic. Armando Ramrez Guzmn
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Matemtica Financiera
Clasificacin de las tasas de inters en el sistema financiero nacional
Objetivos de aprendizaje Clasificar las tasas de inters en el SF Definir las tasas de inters en el SF Formular ecuaciones de valor equivalente con las tasas
de inters en del SF. Resolver ecuaciones de valor equivalente con las tasas
de inters en del SF para hallar VA, VF, I, ITM, iDev y iReal
Valor Futuro e Inters Total en MoraTasa de Inters Compensatoria y Moratoria
Tasa de inters compensatoria: es la pagada (cobrada) por el uso del dinero.
Tasa de inters moratoria: indemnizacin por el incumplimiento del reembolso del prstamo (o cuota). Es adicional al inters compensatorio.
En caso de incumplimiento, hay que calcular el valor futuro en mora: al importe de valor vencido se le suma el importe de inters compensatorio adicional y el importe de inters moratorio, ambos por el plazo en mora. El calculo de inters se realiza utilizando:
VAiVAI n += )1(
Bibliografa
Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 5 y 6.
Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo V.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo VII.
Tasa de Devaluacin y Tipo de Cambio Tipo de Cambio: Es el precio de la ME en trminos de la MN.
Directo: Cuantos soles debemos pagar (cobrar) por cada dlar: 2.90 S/US $ (t0) Indirecto: Cuantos dlares debemos pagar (cobrar) por cada sol: 1/2.90 = 0.345 US $/S
(29/12) Devaluacin (Depreciacin): Si este precio se incrementa por unidad de tiempo
(da, mes, trimestre, etc.): 2.95 S/US $, (t1). Revaluacin (Apreciacin): Si este precio se decrementa por unidad de tiempo
(da, mes, trimestre, etc.): 2.85 S/US $, (t1). Tasa de devaluacin (iDev): Mide el incremento proporcional del tipo de cambio
por unidad de tiempo. Es una tasa de inters compuesto, es decir se capitaliza, por lo tanto es efectiva.
Tasa de revaluacin (iRev): Mide el decremento proporcional del tipo de cambio por unidad de tiempo. Es una tasa de inters compuesto, es decir se capitaliza, por lo tanto es efectiva.
MensualiTCTC
TCTCTCi Dev
I
F
I
IFDev %7241.1190.2
95.290.2
90.295.21 =====
MensualiDev %4482.3190.280.2
90.290.280.2
==
=
TE en soles equivalente a una TE en dlares
2. En (1.) si que se espera una tasa de devaluacin S/US $ de 1% mensual hallar iS/. TEA. 42.1964% TEA
3. Qu es mas conveniente endeudarse en S/. o en US $, si se sabe que la tasa de prestamos bancarios en S/. es de 30% TEA y en US $ es de 20% TEA y que se espera una tasa de devaluacin S/US $ de 1% mensual?
4. En la pregunta anterior Cul seria la mxima TEA US $ en aceptar pagar para que me resulte conveniente endeudarme en US $ antes que en S/.
1)1()1(1)1()1(
$/$./
/
++=
++=
USSdUSS
MEMNdMEMN
iiiiii
TEAiS %2190.351)126825.01()20.01(./ =++=Anualid %6825.121)01.01( 12 =+=
TEAii USUS %36.151)126825.01()30.01(1)126825.01()1(30.0 $$ =+
+=++=
Tasa de Inters Real e Inflacin Inflacin: Crecimiento sostenido de los precios de los bienes y
servicios de la economa en un periodo determinado, calculado sobre la base de una canasta bsica de consumo familiar.
Tasa de inflacin ( ): Indicador de este crecimiento. Es medida relacionando dos Indices de Precios. Es una tasa de inters compuesto, es decir se capitaliza, por lo tanto es efectiva.
4. El PGR se ha elaborado considerando 10% de inflacin anual de que magnitud tendra que ser la inflacin mensual promedio para lograr este objetivo?
pi
%7974.01)10.01( 121
=+=Mensualpi
10
1
0
01=
=
IPIP
IPIPIP
pi
Tasa de Inters Real5. Cul ser la inflacin acumulada en el ao, si se
sabe que la inflacin mensual ha sido de 0.5% en promedio?
6. Si la tasa de inflacin para los meses de enero, febrero y marzo ha sido de 0.45%, 0.50% y 0.75% respectivamente
Cul ser la inflacin acumulada para el trimestre pasado?
Cul ser la inflacin promedio mensual para el trimestre pasado?
%1678.61)005.01( 12 =+=Anualpi
%7094.11)0075.01()005.01()0045.01( =+++=Trimpi
%3678.01)017094.01( 31
=+=Mensualpi
Tasa de Inters Real ir : Todos los conceptos anteriores de tasa de inters, dejan de
lado la inflacin, es decir, consideran solo el valor nominal del dinero sin tener en cuenta la perdida del poder adquisitivo del mismo por el incremento generalizado de los precios de los bienes y servicios. Cuando se desea trabajar en trminos de poder adquisitivo se debe trabajar con la tasa de inters real.
7. En (2.) si que se espera una tasa de inflacin de 7.5% anual hallar iS/. real mensual. 32.2757% Anual, 2.3584% Mensual
8. Calcular el inters real mensual que se pagaba el ao pasado, si se sabe que el banco cobra 3% TEM y la tasa de inflacin fue de 6% anual.
1)1()1(
)1()1()1(
+
+=
+
+=+
pipie
re
r
iiii
Mensual%4868.01)06.01( 121
=+=pi Mensualir 5010.21)004868.01()03.01(
=
+
+=
Tasa de Inters Real9. Si se desea obtener una rentabilidad real del 1% mensual, y se
espera que la inflacin anual sea del 7% a cuanto tendra que ascender la tasa de rentabilidad efectiva ?
10. Si un banco pagaba 9.5% TEA por un deposito a plazo fijo y el inters real obtenido es de 3.5% anual a cuanto ascendi la inflacin mensual promedio?
Anualir %6825.121)01.01( 12 =+=
TEAie %5703.201)07.01()126825.01( =++=
%7971.51)035.01()095.01(
)1()095.01()035.01( =
+
+=
+
+=+ Anual
Anual
pipi
%4707.01)057971.01( 121
=+=Mensualpi
Bibliografa
Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 5 y 6.
Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo V.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo VII.
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 75
Matemtica Financiera
Descuento Compuesto
Lic. Armando Ramrez Guzmn
Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Simple 76
Matemtica Financiera
Descuento CompuestoObjetivos de aprendizaje Definir las operaciones de Descuento Compuesto Graficar un flujo de caja de una operacin de
descuento compuesto Formular ecuaciones de valor equivalente de
descuento compuesto. Resolver ecuaciones de valor equivalente de descuento
compuesto con tasa constante y tasa variable para hallar VA, VF, D, d y n
Descuento 7777
Descuento Bancario Compuesto El descuento (D) se obtiene de la diferencia entre el
valor futuro de una operacin financiera y su valor actual.
VF: Es el Valor Futuro en este caso toma el nombre de Valor Nominal (VN).
VAVFD =
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Descuento 7878
Descuento Bancario A Inters Compuesto (Db) Con tasa nominal con periodo de descuento, Fija o Variable Con tasa efectiva adelantada, Fija o Variable
Valor a Recibir y Valor Nominal en el Descuento Bancario con Tasa Fija d
Valor a Recibir de un Valor Nominal con Tasa Fija d
Valor Nominal de un Valor a Recibir con Tasa Fija d
Descuento Bancario con Tasa Fija d
n
B dVFVA )1( =
n
B
dVA
VF )1( =
n
B dVFVFD )1( =
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Descuento 7979
Descuento Bancario A Inters Compuesto (DB)Valor a Recibir y Valor Nominal en el Descuento Bancario con
Tasa Variable d Valor a Recibir de un Valor Nominal con Tasa Variable d
Valor Nominal de un Valor a Recibir con Tasa Variable d
Descuento Bancario con Tasa Variable d
knk
nnn
B ddddVFVA )1(...)1()1()1( 321 321 =
kn
knnn
B
ddddVAVF )1(...)1()1()1( 321 321
=
kn
knnn
B ddddVFVFD )1(...)1()1()1( 321 321 =
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Descuento 8080
Descuento Comercial (Dc) Descuento Comercial Unitario
Precio Rebajado o Precio de Contado con Descuento Comercial Unitario
Descuento Comercial Sucesivo Precio Rebajado o Precio de Contado con descuentos sucesivos
Descuento Comercial Sucesivo
cD c PL=
cPC PL D= PLcPLPC =
1 2 3(1 ) (1 ) (1 ) ............... (1 )kPC PL c c c c=
[ ]1 2 31 (1 ) (1 ) (1 ) ........ (1 )c kD PL c c c c=
)1( cPLPC =
=
)1()1(..........)1()1()1( 1321 kk cccccPLPLD
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Descuento 81Lic. A. Ramrez Guzmn Inters Compuesto 81
Bibliografa
Aliaga Valdez, Carlos. Matemticas Financieras: Un enfoque practico. Prentice Hall Pearson Educacin. 1 Edicin, Colombia. 2002: Captulo 4.
Aliaga Valdez, Carlos. Manual de Matemtica Financiera: Texto, Problemas y Casos. Universidad del Pacifico. 1 Edicin, Lima. 1994: Captulo IV.
Vento Ortiz, Alfredo. Finanzas Aplicadas. Universidad del Pacifico. 6ta Edicin, Lima. 2004: Captulo II.
Clasificacin de las Tasas de Inters Utilizadas en el Sistema Financiero
Fuente: Manual de Matemtica Financiera, Carlos Aliaga Valdez. UP
ActivaPasiva
Segn el balance bancario
Nominal y proporcionalEfectiva y equivalente
Por el efecto de la capitalizacin n
VencidaAdelantada
Segn el momento del cobro de intereses
CompensatoriaMoratoriaTasa de Inters Total en Mora
De acuerdo al cumplimiento de la obligacin
TAMN Tasa Activa Moneda NacionalTAMEX Tasa Activa Moneda Extranjera Segn el tipo de monedaTIPMN Tasa de Inters Pasiva M.N.TIPMEX Tasa de Inters Pasiva M.E.De InflacinRealCorregida por inflacin (inflada)
Considerando la prdida del poder adquisitivo
DiscretaContinua
Por el tipo de capitalizacin
ExplcitaImplcita
De acuerdo a su anuncio en la operacin
Tasa de Inters LegalTasa de Inters Moratorio TIM
Para operaciones no financieras
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