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Matemáticas Financieras y Analíticos

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Objetivos:

En este módulo se aprenderá sobre los siguientes conceptos: Los principios de la valuación de bonos El concepto de “Yield to Maturity” ¿Por qué existe el riesgo de reinversión? ¿Cómo se pueden calcular los pagos de cupón y sus intereses

acumulados? Valuación de bonos entre cupones Análisis de Rendimiento Total Bootstraping de tasas cero a partir de una curva Spot Cálculo de tasas forward spot a partir de la curva spot Arbitraje a partir de “Strips” Arbitraje con Bonos

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Introducción a la valuación de Bonos

En la primera sección de este módulo, se examinará la forma en que se valúan los bonos, cubriendo: Principios básicos sobre la valuación de bonos. “Yield to Maturity” Relación entre el precio de un bono y tasa de interés. Relación entre el precio de un bono y su plazo. Problema de reinversión de cupones y riesgo de reinversión. Forma de cálculo de cupones bajo diferentes convenciones de

fechas. Precio “sucio” y precio “limpio” de los bonos.

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Principios sobre la valuación de un Bono

El diagrama muestra los flujos de efectivo que genera la inversión en un bono.

Supongamos que el bono tiene un valor nominal de F y una tasa cupón de c, y el pago de cupón se realiza anualmente.

El inversionista inicialmente paga un precio P. Posteriormente, el inversionista va a recibir un cupón anual de c x F y recibe el valor nominal F al vencimiento.

Intuitivamente, el inversionista está deseoso de pagar un precio P que es equivalente al valor de los flujos futuros de efectivo.

Estos flujos de efectivo se entregarán en el futuro, por lo que es necesario estimar el valor presente de cada uno de los flujos.

Hoy Vencimiento

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Fórmula de valuación de un bono

El valor presente de un flujo de efectivo esta dado por:

Donde:

i tasa anual de interés

t tiempo entre dada período

n número total de períodos

P valor presente

F Valor futuro

Para un bono que paga cupones anuales,

Donde:

i tasa anual de interés

n número de periodos de cupón

c tasa cupón anual

P valor presente del bono

F valor nominal del bono

|

Hoy Vencimiento

ntiF

P

1

nn i

F

i

Fc

i

Fc

i

Fc

i

FcP

11111 321

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Más fórmulas de valuación

Si un bono paga intereses k veces al año (k puede ser 2 para un bono con corte de cupón semestral), se tiene que ajustar la fórmula considerando que ahora el pago de cupón será cF/k en lugar de ser simplemente cF, y la tasa de interés en cada período es de i/k en lugar de ser i:

Existen dos formas simplificadas de esta fórmula.

Es posible utilizar la notación de sumatoria, la cual es la simplificación de una serie aritmética.

Podemos utilizar la fórmula de valor presente de una anualidad.

nn

it ki

F

ki

kcFP

/1/1

/

1

n

n

k

i

F

k

ik

i

k

cFP

1

1

11

Con sumatoriaCon anualidad

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Yield To Maturity (YTM)

En las fórmulas de valuación de bonos y en todos los ejemplos que acabamos de ver, se utiliza una tasa anual para descontar los flujos futuros de efectivo con el fin de traerlos a valor presente.

En la valuación de bonos, esta tasa de interés recibe un nombre especial: Yield to Maturity (YTM)

La YTM es la tasa de rendimiento que el inversionista va a recibir si compra el bono y lo conserva hasta su vencimiento.

Esta tasa toma en cuenta el hecho de que los bonos tienen cupones diferidos y pueden ser comprados a precios diferentes a su valor nominal.

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Ilustración de la YTM

Cada uno de los bonos ilustrados, tiene un vencimiento

de 4 años y paga un cupón anual del 10%.

Los precios son diferentes tal como se ve en la tabla

Por ejemplo, el bono que esta valuado en 85.7251 únicamente paga un cupón de 10%, cuando los inversionistas buscan un rendimiento del 15%.

Sin embargo, debido a que el bono está valuado a descuento, durante el período de 4 años, los inversionistas ganan la diferencia entre el precio de compra de 87.7251 y los 100 de valor nominal que se recibe al vencimiento.

Esta apreciación de valor incrementa el valor del rendimiento efectivo de 10% a 15%.

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Ganando la YTM Examinemos el bono de 4 años que ofrece

un cupón anual del 10% el cual se compró a descuento en 85.7251. ¿Realmente genera una YTM del 15%?

Después de un año, si el bono ganara 15%, el precio se apreciaría 15%, y el bono valdría esa cantidad. Sin embargo, el bono paga un cupón de 10 en ese momento, lo que hace que el precio del bono sea de 88.5839 mas un cupón de 10, haciendo un total de 98.5839.

Al final del segundo año, el bono debe de apreciarse otro 15%, aumentando su valor de 88.5839 a 101.8715, antes de pagar otro cupón de 10, bajando su valor a 91.8715

Siguiendo esta mecánica durante el período de vida del bono, podemos observar que si el bono aumenta 15% cada año, puede valer exactamente 100 al vencimiento.

Con esto comprobamos que el bono comprado a 85.7251 realmente gana la YTM de 15%.

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Cupón y Rendimiento

Con base en lo que hemos observado, podemos percatarnos de que existe una relación importante entre la tasa de rendimiento y la tasa cupón.

Relación entre Rendimiento y CupónLos bonos con cupón fijo no pueden ajustar los pagos de intereses regulares para ajustarse a las condiciones de las tasas de mercado. La única manera en la que estos bonos pueden ofrecer un rendimiento que se ajuste a las condiciones prevalecientes de mercado, es realizando un ajuste en el precio.

Cuando el cupón es menor que el rendimiento, se dice que está bajo par. Cuando el cupón es mayor que el rendimiento, se dice que está sobre par. Cuando el cupón es igual que el rendimiento, se dice que está a la par.

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Ejemplo: Para ilustrar lo anterior, observemos la tabla, la cual nos muestra los precios de tres

bonos con el mismo plazo (4 años) y valuados a una tasa de rendimiento del 8%. El primer bono tiene un cupón menor que su rendimiento, por lo que está valuado

bajo par, a un precio de descuento de 86.7515. El segundo bono tiene un cupón igual que su rendimiento, por lo que está valuado a

la par, a un precio de 100. El tercer bono tiene un cupón mayor que la tasa de rendimiento, por lo que está

valuado sobre par a un precio con premio de 113.2485.

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Precio y Rendimiento

Una relación aún mas importante es la que existe entre el precio y el rendimiento.

Conforme la YTM sube … … el precio del bono baja

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Rendimiento y Sensibilidad de Precios

Algunos bonos son menos sensibles a los cambios en la tasa de rendimiento.

Pre

cio

del

bo

no

Pre

cio

del

bo

no

En el gráfico podemos observar que el bono a 5 años (azul) tiene menos sensibilidad ante el cambio en las tasas que el bono de 30 años (verde)

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Sensibilidad de la tasa y plazo al vencimiento

Anteriormente observamos que el precio del bono de 30 años es mucho mas sensible al cambio en la tasa que el bono de 5 años.

Para estudiar mas a fondo la relación que existe entre el plazo al vencimiento del bono y la tasa con respecto al precio, la gráfica ilustra cómo cambia el precio de un bono con cupón de 8%

Cuando las tasas se mueven de 4% a 8% a 12% Para los vencimientos que van desde cero a 30 años.

Cuando la tasa de rendimiento se mueve desde 4% a 12%, el precio de un bono con vencimiento a un año sólo cambia de 96 a 104 (+/- 4%). Sin embargo, para el mismo cambio en la tasa de rendimiento, el precio de un bono a 30 años cambia de 68 a 170, 2.5 veces!

La duración y convexidad son piezas clave en esta relación.

Los bonos a Los bonos a mayor plazo mayor plazo son mas son mas sensiblessensibles

Los bonos a Los bonos a menor plazo menor plazo son menos son menos sensiblessensibles

Plazo al vencimiento (años)Plazo al vencimiento (años)

Pre

cio

de

l Bo

no

Pre

cio

de

l Bo

no

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Reinversión de cupones Siempre que un inversionista recibe el cupón

de un bono, tratará de invertir ese flujo de efectivo.

El problema para los inversionistas es que los rendimientos que pueden obtener de la inversión son desconocidos hasta que se conozca la tasa de interés vigente cuando se reciba el pago del cupón. Esto significa que el rendimiento total que se pueda tener puede variar con respecto a las expectativas iniciales.

Consideremos el ejemplo del bono a 4 años que paga un cupón de 10% y fue comprado a un precio de 85.7251 con una tasa del15%. Supongamos que las tasas de interés se mantienen constantes en 15% a lo largo de la vida del bono, de tal forma que los cupones recibidos se puedan invertir a esta tasa. La tabla muestra los resultados finales de la inversión que ascienden a 149.9337.

Si un inversionista encuentra una inversión que le garantice una tasa de 15% anual por 4 años, una inversión inicial de 85.7251 crecerá a 149.9337 (el mismo monto!)

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Riesgo de Reinversión

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¿Por qué la tasa realizada no es la YTM?

El cálculo con YTM tiene un supuesto implícito: los cupones pueden reinvertirse a la YTM.

Como podemos observar en la lámina anterior: Si los cupones pueden reinvertirse a la YTM, la

tasa realizada al vencimiento será la YTM Si los cupones no pueden reinvertirse a la YTM,

la tasa realizada al vencimiento diferirá de la YTM La siguiente gráfica muestra la tasa realizada

de dos bonos comprados a una tasa del 8%, sin embargo, las tasas de reinversión difieren con respecto a dicha tasa. Por ejemplo, si las tasas caen al 6% y permanecen en ese nivel, el bono a 30 años tendrá una tasa de 6.86% en vez de 8%.

Las implicaciones para los inversionistas que compran un bono a una YTM particular es que rara vez podrán realizar dicha tasa. El concepto de “Yield to Maturity” es poco apropiado

5 años

30 años

Tasa de reinversión (%)Tasa de reinversión (%)

Inte

rés

Re

aliz

ad

o

(%)

Inte

rés

Re

aliz

ad

o

(%)

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Convención de días

Los bonos utilizan una gran variedad de convenciones para realizar el cálculo de los fracciones de días, lo que afecta en el cálculo del tiempo entre el pago de cupones y el interés acumulado.

Existen tres convenciones principales para el numerados y tres convenciones principales para el denominador.

NumeradorNumerador DenominadorDenominador

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Convención “Actual Day”Convención “Actual Day”

Se cuenta el número actual de días calendario entre dos fechas.

Por ejemplo: del 15 de febrero de 2001 al 1 de julio de 2001 hay 136 días.

Convención “30 días”Convención “30 días” Regla SimpleRegla Simple

Asumir que cada mes tiene únicamente 30 días.

Por lo tanto, el 31 de enero acumula interés Sin embargo, se acumula interés el 30 de

febrero. Regla ExactaRegla Exacta

Escribir la fecha inferior como D1/M1/Y1 Escribir la fecha superior como D2/M2/Y2 Si D1 es 31, sustituir con 30 Si D2 es 31, y D1 fue 31 o 30, sustituir D2

con 30 Hacer el cálculo de días como: 360(Y2-Y1) +

30(M2-M1)+(D2-D1)

EjemplosEjemplos Del 30 de abril al 31 de mayo hay 30 días Del 1 de mayo al 31 de mayo hay 30 días Del 1 de mayo al 1 de junio hay 30 días

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Cálculo del pago de cupones

El importe del cupón pagado en la fecha del corte de cupón es:

Tasa cupón x Valor Nominal x Convención de Tasa cupón x Valor Nominal x Convención de FechasFechas

Donde la convención de fechas se estima con base en la convención especificada en el contrato del bono.

Para ilustrar esto supongamos el siguiente bono:

Tasa cupón 6%Frecuencia de pago semestralValor Nominal $100,000Fecha de último cupón 15/02/2001Fecha de siguiente cupón 15/08/2001

Posteriormente se evalúa el pago de cupón utilizando diferentes convenciones de fechas.

Ejemplo 1Ejemplo 1Convención de fechas: Act/ActDías en el período de cupón: 181Cupón6% x $100,000 x 181/(181 x 2)= $3,000

Ejemplo 2Ejemplo 2Convención de fechas: 30/360Días en el período de cupón: 180Cupón:6% x $100,000 x 180/360 = $3,000

Ejemplo 3Ejemplo 3Convención de fechas: Act/365Días en el período de cupón: 181Cupón:6% x $100,000 x 181/365 = $2,975.34

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Estimación del Interés Acumulado Conforme pasan los días, los bonos van

acumulando intereses para el inversionista. Este interés es ganado por el inversionista pero sólo se paga los días que paga cupón. Aunque un bono cambie de manos entre dos cortes de cupón, el comprador debe pagarle al vendedor el interés acumulado a dicha fecha.

El interés acumulado es calculado utilizando la misma fórmula que el cupón por si mismo.

Tasa Cupón x Valor Nominal x Fracción de tiempo Tasa Cupón x Valor Nominal x Fracción de tiempo en díasen días

En esta ocasión, la fracción de tiempo en días es la razón de (días transcurridos desde el último pago de cupón) a (días totales en el período de cupón), nuevamente, utilizando la convención de fechas estipulado en el contrato del bono.

Para ilustrar esto, se tomará como ejemplo el mismo bono de la diapositiva anterior, pero calcularemos el interés al 1 de abril de 2001

Ejemplo 1Ejemplo 1Convención de fechas: Act/ActDías transcurridos desde ult cup: 45Días en el período de cupón: 181Interés acumulado:6% x $100,000 x 45/(181x2)= $745.86

Ejemplo 2Ejemplo 2Convención de fechas: 30/360Días transcurridos desde ult cup: 46Días en el período de cupón: 180Interés acumulado:6% x $100,000 x 46/360= $766.67

Ejemplo 3Ejemplo 3Convención de fechas: Act/365Días transcurridos desde ult cup: 45Días en el período de cupón: 365Interés acumulado:6% x $100,000 x 45/365= $739.73

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Precio Sucio vs Precio Limpio

El precio limpio de un bono es el precio del bono excluyendo los intereses acumulados. Conforme un bono se acerca a su vencimiento, el precio limpio converge al valor nominal del bono.

El precio sucio de un bono es el precio total pagado, incluyendo cualquier interés acumulado. El interés se acumulará día a día, haciendo que el precio sucio crezca gradualmente. Cuando se paga un cupón, sin embargo, el interés acumulado se vuelve cero y comienza un nuevo ciclo.

La siguiente gráfica muestra la trayectoria del un bono con tasa cupón del 8% comprado 5 años antes de su vencimiento a una tasa del 4%.

Precio Sucio

Precio Limpio

Plazo al vencimiento (años)Plazo al vencimiento (años)

Pre

cio

de

l B

on

oP

rec

io d

el

Bo

no

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Cotización del Precio de los Bonos

Cuando un bono se está negociando, se publican los precios sucios, incluyendo el interés acumulado. Sin embargo, los precios de los bonos se cotizan a su precio limpio debido a que estos precios reflejan mas claramente el valor fundamental del bono.

El siguiente diagrama muestra el precio sucio y el precio limpio de un par de bonos. Si la tasa no cambia a lo largo del tiempo, el precio limpio permanece constante (como era de esperarse), sin embargo, el precio sucio fluctúa de acuerdo al ciclo del cupón.

Claramente, el precio limpio refleja fielmente el verdadero valor del bono, razón por la cual se utiliza para la cotización en el mercado.

PlazoPlazoP

reci

oP

reci

o

Precio sucio

Precio limpio

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Valuación entre pago de cupones

Cuando vimos la valuación de un bono, únicamente vimos el valor del bono en las fechas en donde corta cupón, es decir, no había intereses acumulados.

Para valuar un bono en otras fechas, es necesario seguir los siguientes pasos:

Calcular el precio limpio en el día de último pago de cupón.

Componer el precio limpio a la YTM utilizando

Tasa de interés compuesto Tomar en cuenta la convención de fechas

Esto nos da el precio sucio del bono a esa fecha

Restar el interés acumulado Esto nos da el precio limpio del bono

1. Precio limpio en la fecha del pago de cupón anterior

2. Composición del precio limpio a la YTM

3. Precio Sucio al Plazo Intermedio

5. Precio Limpio al Plazo Intermedio

Precio Limpio al siguiente pago de cupón4. Resta de

interés acumulado

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Análisis de Rendimiento Total (Total Return)

El rendimiento total de un activo o un portafolio de activos es la tasa anualizada de rendimiento que se alcanza. Se obtiene comparando el valor total de la inversión a una fecha determinada con el valor original de la inversión al inicio.

Money Out: Es el monto total de efectivo invertido al inicio. Cuando se compra un bono, éste normalmente se compone de el precio cotizado para un interés acumulado a la fecha del vencimiento.

Money In: Es el monto total de dinero recibido a lo largo de la vida de la inversión. Éste incluye el precio final que se realiza cuando se vende la inversión, los cupones por dividendos que se reciben mientras se tiene la inversión mas cualquier interés ganado en ese ingreso cuando se invierte.

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Cálculo de la Tasa Total de Rendimiento

Si nuestro horizonte de tiempo consiste en n años, entonces el TROR (Total Return of Return) se calcula utilizando la siguiente fórmula:

Ejemplo¿Cuál es la tasa de rendimiento total de un euro bono con una tasa cupón del 5% pagaderos anualmente y una YTM de 5% si es que se conserva a vencimiento suponiendo una tasa de reinversión del 2%?

Para determinar la tasa de rendimiento total, es necesario estimar el valor futuro y el valor presente.

El valor futuro consiste en: El valor futuro de los cupones. El valor futuro del valor nominal

1Pr_

_1

n

esenteValor

FuturoValorTROR

%73.41100

0202.126 5

1

TROR

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Curva de tasas a la par Un bono par es aquél que se negocia a la par. Para tal

bono, la tasa debe de ser igual a la tasa cupón. La curva de tasas a la par es una curva de tasas que

muestra las tasas a las cuales se negocian bonos a la par a diferentes plazos.

Por ejemplo, un bono a tres años se negocia al 7%. Esta curva de tasas únicamente nos dice cuáles

deberían ser las tasas de los diferentes bonos a la par. No nos dice la tasa de los instrumentos con diferentes flujos de efectivo, por ejemplo, instrumentos cupón cero. Sin embargo, es posible determinar una curva de tasas mostrando tasas cupón cero utilizando información de las tasas de los bonos a la par.

Para ver cómo funciona esto, consideremos un portafolio de 4 bonos cupón cero que consta de:

100 de valor nominal de un bono cupón cero a 3 años 7 de valor nominal de un bono cupón cero a 3 años 7 de valor nominal de un bono cupón cero a 2 años 7 de valor nominal de un bono cupón cero de 1 año

Estamos replicando el bono cuponado de tres años a la par con una tasa cupón del 7%. Ahora, para ver cómo podemos utilizar esta información para construir la curva cupón cero a partir de la curva a la par…

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Valuación de Bonos utilizando la curva par

Primero, veamos qué sucede si utilizamos las tasas de la curva par y valuamos el bono cuponado y el strip de bonos cupón cero.

Flujos de Efectivo

  Año 1 Año 2 Año 3 Tasa Par VP

Bono Par          

100 VN, 7% cupón, 3 años 7 7 107 7.00% 100.0000

           

Portafolio de Bonos          

100 VN, Cupón cero, 3 años 0 0 100 7.00% 81.6300

7 VN, Cupón cero, 3 años 0 0 7 7.00% 5.7140

7 VN, Cupón cero, 2 años 0 7 0 6.00% 6.2300

7 VN, Cupón cero, 1 año 7 0 0 4.00% 6.7310

Portafolio Agregado 7 7 107 6.88% 100.3050

El portafolio de bonos tiene exactamente los mismos flujos de efectivo que el bono individual. Aún cuando valuamos los flujos utilizando las tasas que nos da la curva par, tenemos un precio de 100.305 en lugar de 100. Esto representa una tasa de 6.88% para el portafolio comparado a la tasa del 7% del bono individual. Algo esta mal!

El problema es que estamos utilizando tasas a la par para descontar flujos de efectivo cupón cero. Lo que debemos hacer es utilizar la tasa spot de la curva cupón cero. Las tasas spot se pueden obtener a partir de la curva par y estas nos van a permitir valuar cualquier bono que no está a la par, de forma adecuada. Esto se debe, generalmente, a que cualquier bono se puede resumir en un strip de bonos cupón cero.

Page 29: Matemáticas Financieras y Analíticos

Bootstraping de tasas Spot a partir de la tasa par.

Tasa a 1 año

El primer punto en la curva es la tasa a un año a la par del 4%. Un inversionista que compra un bono que paga un cupón anual, recibe únicamente un pago – después de exactamente un año. Por lo tanto, la tasa spot (o tasa cero) a un año, es 4%. Llamémosle S1

Page 30: Matemáticas Financieras y Analíticos

Bootstraping de tasas Spot a partir de la tasa par.

Tasa a 2 años

Ahora, consideremos la tasa a la par de dos años de 6%. Los flujos de un bono que paga cupón anual pero tiene un vencimiento a dos años, consisten en 6 después de un año y 106 después de dos años.

Sabemos que necesitamos descontar el primer flujo a la tasa spot (o cero) del 4% y el segundo flujo a la tasa spot de dos años S2.

El valor presente de esos dos flujos debe sumar 100. Podemos expresarlo como:

Despejando obtenemos que S2=6.0612%

Page 31: Matemáticas Financieras y Analíticos

Bootstraping de tasas Spot a partir de la tasa par.

Tasa a 3 años

Finalmente consideremos la tasa a la par de tres años del 7%. Los flujos de un bono que paga cupones anuales y tiene una madurez de 3 años consisten en 7 durante los dos primeros años y 107 en el tercer año.

Sabemos que necesitamos descontar los primeros dos flujos con S1, S2 y S3.

Despejando obtenemos S3= 7.1217%

Page 32: Matemáticas Financieras y Analíticos

Después de realizar estos cálculos…

Flujos de Efectivo

  Año 1 Año 2 Año 3 Tasa Par VP

Bono Par          

100 VN, 7% cupón, 3 años 7 7 107 7.00% 100.0000

           

Portafolio de Bonos          

100 VN, Cupón cero, 3 años 0 0 100 7.12% 81.3520

7 VN, Cupón cero, 3 años 0 0 7 7.12% 5.6950

7 VN, Cupón cero, 2 años 0 7 0 6.06% 6.2230

7 VN, Cupón cero, 1 año 7 0 0 4.00% 6.7310

Portafolio Agregado 7 7 107 7.00% 100.0010

Lo que nos demuestra que podemos utilizar las tasas spot para descontar los flujos de efectivo de cualquier portafolio de bonos. También nos confirma que las tasas spot son consistentes con las tasas par.

Page 33: Matemáticas Financieras y Analíticos

¿Cómo se pueden comparar las tasas spot y las tasas par?

Consideremos qué pasa si nos encontramos en un ambiente de tasas a la alza. Para encontrar la tasa spot a tres años, la obtuvimos a partir de la siguiente ecuación

Los números en el numerador – cupones del bono a la par- se definen como la tasa a la par al vencimiento. Por lo que para un bono a la par a tres años, como en el ejemplo, los cupones son 7.

Sin embargo, en un entorno de tasas crecientes, la tasa spot para vencimientos cortos serán menores que su tasa a la par de 7%, simplemente debido a que la curva de tasas tiene pendiente positiva. Por lo tanto, los flujos de efectivo anteriores se descontarán a tasas menor al 7%.

Para que la suma de los flujos descontados nos de 100, la tasa spot que descuente el último flujo debe ser mayor que la tasa par.

Por lo tanto, en un ambiente de tasas a la alza, las tasas spot están un poco por encima de las tasas a la par.

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Treasury Strips

Estos Strips son bonos cupón cero creado a partir de instrumentos gubernamentales a través de hacer un strip de cupones.

Para dar un ejemplo, un bono recién emitido a 10 años, puede descomponerse en 20 pagos de cupón semestral (cada uno de ellos se les conoce como strip de cupón) y el principal de su cupón (llamado strip del principal), lo que resulta en 21 instrumentos individuales, también llamados “ceros”.

Bono gubernamental a 10 años

Strip del cupón de 6 meses

Strip del cupón de 1 año

Strip del cupón de 10 años

Strip del principal a 10 años

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Ejemplo de un Strip La metodología que se utiliza para analizar este tipo de Strips es idéntica a la del proceso de

bootstraping descrita en la sección anterior. La diferencia es que se van a ajustar los cupones de pago semestral y las cotizaciones de las tasas semestrales al vencimiento.

Normalmente, las tasas de los instrumentos gubernamentales a seis meses y un año se utilizan para iniciar con el proceso, ambas son tasas cero.

Supongamos que estos bonos están valuados a una tasa de 8% y 8.3% respectivamente y la tasa de los bonos cupón 8.5% a 18 meses está en 8.9% tal como se muestra en la siguiente tabla.

Plazo Tasa Cupón YTM Precio

0.5 años cero 8.00% 96.1540

1.0 años cero 8.30% 92.1900

1.5 años 8.50% 8.90% 99.4500

Page 36: Matemáticas Financieras y Analíticos

¿Qué sucede después?

Año 0.5 El bono negociado a 96.154 implica una YTM anual de 8.00%. Debido a que estamos hablando de un bono

cupón cero, la tasa spot a 0.5 años S0.5 también es 8.00% Esto significa que la tasa de seis meses del strip es 8.00%

Año 1.0 El bono negociado a 92.190 implica una YTM anual de 8.30%, suponiendo un pago de cupón semestral. Una vez

mas, la tasa spot a 1.00 año de un bono cupón cero S1.0 es también de 8.30% Esto significa que la tasa de 12 meses del strip es 8.30%

Año 1.5 El bono con cupón de 8.5% que se negocia en 99.45 implica una YTM anual de 8.90% (utilizando una

calculadora financiera o una hoja de cálculo). Esta tasa NO es la tasa spot, ya que las hojas de calculo le aplican esta tasa a todos los flujos de efectivo, no sólo al último.

La tasa spot puede determinarse despejando S1.5 de la siguiente fórmula:

lo que nos da que la tasa spot a 1.5 años S1.5 es 8.9305%

Page 37: Matemáticas Financieras y Analíticos

Arbitraje con Strips de Tesorería

Supongamos que un dealer de bonos gubernamentales compra un BONO M y lo desmenuza en strips, esperando vender los bonos cupón cero creados.

En otras palabras, él espera que la suma de las partes sea mayor que el total. Si ese fuera el caso, puede tener una ganancia libre de riesgo debido al arbitraje.

Contrariamente, si el dealer espera que el bono total valga mas que la suma de los bonos cupón cero, el dealer puede comprar los bonos cupón cero y reconstruir el Bono M y posteriormente venderlo como un BONO M, nuevamente, buscando hacer una ganancia.

En la práctica, este tipo de oportunidades casi no ocurren, permitiendo el spread entre el BID y el ASK. Una vez que se presenta algún tipo de oportunidad, la oferta y la demanda hacen que las tasas cero regresen a su nivel teórico spot y desaparezcan dichas oportunidades de arbitraje.

Page 38: Matemáticas Financieras y Analíticos

Tasas Forward Spot

Las tasas forward spot son tasas spot que comienzan en algún punto en el futuro. Un administrador de fondos debe, por ejemplo, utilizar la tasa forward spot para amarrar las tasas de reinversión de los cupones futuros de un bono.

Supongamos que tenemos las siguientes tasas spot:

S1 = 4%

S2 = 6.0612%

S3 = 7.1217%

¿Cuál debería ser el valor justo de mercado para F 1,2 (la tasa spot que comienza en un año)

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Estimación de la tasa forward

La tasa forward spot para cualquier tiempo en el futuro puede calcularse directamente a partir de las tasas spot inicial y final del período del que estemos hablando.

Por ejemplo, para calcular F2,3 (la tasa forward spot que empieza al final del año dos al final del año tres), necesitamos las tasas spot de 2 y 3 años.

Page 40: Matemáticas Financieras y Analíticos

Tasa forward F1,2

Un administrador de fondos puede amarrar la tasa a un año que va a estar vigente en un año a través de: Comprar un bono cupón cero a dos años, y por lo tanto fijando la tasa de

inversión de 6.0612% durante dos años. Vender un bono cupón cero al 4%, y por lo tanto, fijando la tasa dé préstamo a

4% por un año. Si el administrador de fondos invierte $100 en cada uno de sus posiciones

cortas y largas, al final del primer año tiene que pagar 104 y al final del segundo año recibirá 100(1.060612)2 = 112.49

Por lo tanto, él ha fijado una tasa forward spot de 112.49/104 – 1 = 8.16% por lo tanto, F1,2 = 8.16%

Page 41: Matemáticas Financieras y Analíticos

Tasa forward F2,3

Un administrador de fondos puede fijar la tasa que va a estar vigente en dos años durante un años mediante: Compra un bono cupón cero de 3 años, fijando la tasa de inversión de 7.1217%

durante 3 años. Venta de un bono cupón cero de 2 años al 6.0612%, fijando la tasa de

financiamiento de 6.0612% durante 2 años. Si el administrador de fondos invierte $100 en cada una de sus posturas

(larga y corta), entonces, al final del segundo año debe de pagar 112.49 y al final del tercer año va a recibir 100(1.071217)3 = 122.92

Por lo tanto, el ha fijado una tasa forward spot de 122.92 / 112.49 = 9.27% por lo que F2,3 = 9.27%

Page 42: Matemáticas Financieras y Analíticos

Fórmula general para estimar una tasa forward.

En general, para estimar Fj,k , es decir, la tasa forward spot que va del final del año j al final del año k, utilizamos las siguientes fórmulas:

Composición anual Composición semestral