Jerarquía de las operaciones (segunda parte)

Pueden presentarse casos donde las expresiones ya tienen los paréntesis ( ) que indican el orden en el

que se desea realizar las operaciones, u otros tipos de símbolos de agrupamiento o asociatividad,

como corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos es necesario conocer las reglas para aplicarlas

correctamente.

Si existe sólo un tipo de símbolos que denotan la asociatividad, primero se efectúan las

operaciones dentro de esos símbolos, siguiendo las reglas ya explicadas (primero

multiplicación y división y luego sumas y restas). Después se llevan a cabo las operaciones

señaladas.

Ejemplo:

Si existen varios símbolos de asociatividad, uno dentro de otro, primero se realizan las

operaciones de los símbolos interiores y luego las de los exteriores.

Ejemplo:

Cuando un signo de

multiplicación está junto a un

paréntesis, el signo se puede

suprimir. Ejemplo:6•(4 + 8)

puede quedar como 6 (4 + 8).

DivisibilidadPara hablar de divisibilidad debemos primero recordar qué significa el factor de un número natural (lo vimos en la multiplicación). Analicemos los casos siguientes:Entonces ¿qué es un factor?Un número es un factor de otro cuando al dividirlo, la división es exacta, o sea, cuando el residuo es cero. En los casos anteriores, 3 es factor de 12 porque el 3, al dividir al 12, da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.4 es factor de 12 porque al dividirlo da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.Lo mismo sucede con 3 y 7 en relación al 21.De acuerdo a lo señalado, podemos afirmar que si un número natural es factor de otro, también es su divisor. Así vemos que la división está ligada con la multiplicación. Analiza el ejemplo: 3 • 4 = 12; 3 y 4 son factores de 12 y también son sus divisores. Comprobemos:La divisibilidad es una parte de la aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir dos números naturales para que uno de ellos divida al otro de forma exacta. Esas condiciones se llaman criterios de divisibilidad y aquí abordaremos algunos que te permitirán obtener divisores de una manera más fácil, rápida, y eficiente. Los criterios de divisibilidad te indicarán si un número natural se puede dividir entre 2, o entre 3, o entre 5, de manera exacta.Divisibilidad entre 2

Un número natural es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par. (Te acuerdas que los números naturales terminados en 2, 4, 6 y 8 son pares, ¿verdad? Los terminados en 1, 3, 5 y 7 son impares).

Ejemplos: 620 y 432. Al dividir 620 entre 2 da como resultado 310 y el residuo es cero. Al dividir 432 entre 2 da 216 y el residuo es cero. Vemos que el 620 y el 432 son divisibles entre 2 (es decir, se divide entre 2 y el residuo es 0).

Divisibilidad entre 3

Un número natural es divisible entre 3 si al sumar sus cifras se obtiene un número divisible entre 3.

Ejemplos:

1) 111

Al sumar sus cifras (1+1+1) se obtiene 3. Entonces seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 37 y el residuo es cero.

2) 54 132

Al sumar sus cifras se obtiene 15, 15 entre 3 es 5 y el residuo es cero. Entonces el 54 132 seguro se puede dividir exactamente entre 3, ¿lo hacemos? En este caso el cociente resultante es 18 044 y el residuo es cero.

3) 321 000

Al sumar sus cifras se obtiene 6, que sí es divisible entre 3, ya que da 2 y el residuo es cero. Entonces el 321 000 seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 107 000 y el residuo es cero.

Muy importante

¿Qué pasaría si el número fuera 321 001? Al sumar sus cifras se obtiene 7. Siete no es divisible entre 3, porque la división no es exacta, ya que el residuo no es cero, por lo tanto, 321 001 no se puede dividir exactamente entre 3. Es importante que entiendas que al hablar de divisor o divisible se está dando a entender que la división debe ser exacta, o sea que el residuo debe ser cero. Esto no significa que existen divisiones que no se pueden hacer, podemos afirmar que las divisiones siempre se pueden hacer, aunque no siempre son exactas. Los casos de las no exactas se estudiarán en el tema de números racionales. Te recordamos que estamos en la unidad relativa a números naturales, o sea, números enteros y positivos.

Divisibilidad entre 5

Si la última cifra del número es 0 ó 5, entonces el número es divisible entre 5.

Ejemplos:

1) 655 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 131 y el residuo es cero.

2) 2 345 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 469 y el residuo es cero.

3) 311 210 es divisible entre 5, ya que termina en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es cero.

Pero 311 214 no es divisible entre 5, porque este número no termina en 5 ni en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es 4.

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados, hasta que entiendas bien los criterios de divisibilidad. Compara tu resultado con el presentado.

Máximo Común Divisor (MCD)

Problema

Una tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando de los cortes que vende, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo largo, sin que le sobre o le falte tela y evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de 240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos, porque la tela tiene un ancho que puede usarse para pañuelos. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del mismo largo?

Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres números, ya que éste es la respuesta del problema. El Máximo Común Divisor (MCD) llamado también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números es el más grande de sus divisores (o factores)

comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo común múltiplo (mcm) que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso de los pañuelos.

Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que ésta determina cuántos divisores tiene cada uno de estos números. Esta descomposición ya la sabemos hacer.

Segundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes llamados también factores comunes.

Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos.

240 = 2 4 • 3 • 5

168 = 2 3 • 3 • 7

48 = 2 4 • 3

Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7 no son comunes a los tres números en consideración.

Tercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. ¿Por qué 23?. Vemos que en los tres casos hay 23 y también 3 (en 240, 168 y 48 tenemos 23 • 3). Fíjate que 5 y 7 sólo están presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes.

Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en 24 cm. de longitud.

¿Cuántos pedazos de 24 cm de largo saldrían de cada retazo? Es importante contestar esta pregunta para comprobar que no falta ni sobra tela que se desperdicie.Respuesta:

Del retazo de 240 cm salen exactamente 10 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.

Del retazo de 168 cm salen exactamente 7 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.

Del retazo de 48 cm salen exactamente 2 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.

¿Te das cuenta de la importancia de saber obtener el MCD?

Mínimo común múltiplo (mcm) de un natural

Contesta la siguiente pregunta ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8?

Como su nombre lo indica, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Para contestar la pregunta, necesitamos conocer, en primer lugar, cuáles son los múltiplos de cada uno de estos números.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,…4n… ¿Cómo se obtiene? Multiplicando el 4 por n, es decir, si n vale 1, 4n=4; si n vale 2, 4n=8; si n vale 3, 4n=12; si vale 1 000 sería 4 000; que por supuesto es múltiplo de 4.

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…6n,…

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…8n…

Ya sabemos cuáles son los múltiplos del 4, 6 y 8 y cómo se obtienen. Ahora, vamos a fijarnos cuáles son los 3 primeros múltiplos comunes de estos tres números.

Primeros tres múltiplos comunes de estos tres números: 24, 48 y 72.

Finalmente, ¿cuál es el mínimo (el menor) común múltiplo de estos tres números? El 24.

Conclusión: el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es el 24.

Otra forma de obtener el mcm es eligiendo cada uno de los factores primos de estos números, una vez que cada uno se ha factorizado. Si alguno aparece varias veces, se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca. El producto de estos factores constituye el mcm.

Ejemplo: Tenemos los números 4, 6 y 8; 4 = 2 2 ; 6 = 2 • 3; 8 = 2 3. Se elige cada uno de los factores primos del 4, 6 y 8, pero como el 2 aparece varias veces se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca en todos, es decir, en este caso se elige 2 3. Además aparece el 3, por lo que el mcm de 4, 6 y 8 es: 2 3 • 3 = 24.

Observa que el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números debe ser divisible entre cada uno de ellos. Recuerda que ser divisible significa que al dividirse, la división debe ser exacta, o sea el residuo debe ser cero.

Lo comprobamos 24: 4 = 6 y el residuo es cero.

24: 6 = 4 y el residuo es cero.

24: 8 = 3 y el residuo es cero.

Las aplicaciones de mínimo común múltiplo las manejaremos en el tema de números racionales.

Actividad

Ahora te pedimos que envíes a tu asesor los siguientes problemas con tus procedimientos y respuestas que sólo requieren del uso de números naturales. Tu asesor te comentará a vuelta de correo sobre tu desempeño y calificará este trabajo. Si tienes dudas en su resolución te recomendamos revises el siguiente tema que se refiere precisamente a la resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales.

Dos amigos salen en bicicleta de sus casas situadas a 16 kilómetros una de la otra. Caminan sobre el periférico en sentidos opuestos para encontrarse. Uno de ellos va a 7 km por hora, el otro a 9 km por hora. Si salieron a las 6 de la mañana. ¿A qué hora se encontrarán? Recuerda que distancia es igual a velocidad por tiempo (d=v•t).

Una papelería tenía cierta cantidad de mochilas al inicio del ciclo escolar. Vendió 115 , y recibió 137 de la bodega. Después vendió 70 mochilas. Si en este momento le quedan 204 mochilas ¿cuántas tenía al principio?

Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $1 800 por cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $120 diarios, ¿cuál es el salario diario de su compañero?

Un propietario posee tres terrenos separados, con una extensión de 425 m2, 850 m2, 1 700 m2 respectivamente. Él desea venderlos a una empresa constructora que dividirá los terrenos en partes exactamente iguales. ¿Cuál es la mayor medida que deben tener los terrenos para que todos tengan la misma superficie?

Comparación de números cuando ninguno de los dos es cero

Primer caso. Comparación de dos enteros positivos distintos

¿Quién es más joven, tú o tu papá?

En el caso de los enteros positivos (los naturales), su orden ya lo estudiaste y prácticamente desde pequeños sabemos distinguir cuándo un entero positivo es menor que otro (tu edad o la de tu papá). En Matemáticas, este hecho se formaliza de la siguiente manera:

Si a y b son dos enteros positivos distintos,sabemos que a < b cuando b - a > 0Es decir, a es menor que b cuando la diferencia b - a es positiva

Es claro que si tú eres menor que tu papá, él es mayor que tú. En el recuadro siguiente se describe el caso análogo:

Si a y b son dos enteros positivos distintos,sabemos que a > b cuando a - b > 0Es decir, a es mayor que b cuando la diferencia a - bes positiva

El menor es el más lejano

Probablemente pensaste en frases como las siguientes:

"Un número negativo es menor que otro si está a su izquierda" o bien, "cuando tengo dos números negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero".

Ambas son correctas. La primera la estipulamos para ubicar los números en la recta real. La segunda nos habla de "lejanía" respecto al cero. No obstante, en las dos seguimos dependiendo de la recta numérica.

Exploremos la idea de "lejanía" de la segunda frase, que involucra el concepto de distancia en la recta numérica. Seguramente encontraremos formas alternativas (qué podamos representar con símbolos) para determinar cuándo un número negativo es menor que otro.

Valor absoluto de un número

Una forma de calcular la distancia de un número entero al cero u origen de la recta real, sin tener que calcular el número de "pasos", consiste en obtener su valor absoluto, es decir, asignar el valor que representa ese número sin importarnos en qué dirección está.

El valor absoluto de un número a se representa como |a| y nos indica la distancia que hay del número a al cero.

Así, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de - 3 es también 3, ya que ambos se encuentran a tres "pasos" del cero. En símbolos tenemos:

|3| = 3 y |-3| = 3

Para otros números, se tiene una situación análoga:

Nota: Recuerda que la notación que vas a manejar a lo largo del curso para cantidades grandes es: 1_000 o sea con un espacio 1 000.

Por ejemplo: |1 000| = 1 000 y |-1 000| = 1 000 ¡ya no tenemos que contar 1 000 sobre la recta numérica!