55
UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA
ObjetivosdelaUnidad: Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.
MATEMÁTICAUnidad5
Descripción del proyecto
Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su nivel medio.
Funciones trigonométricas
Círculo trigonométrico
Ángulos de referencia
Signos de lasvariables
Ángulos cuadrantales
Números reales
Gráficos
RangoDominio
Período
Características
Amplitud Desfase
a partir del utilizando
utilizando sus
son determinando
Segundo Año - Matemática 57
Quinta Unidad Lección1EL CÍRCULO TRIGONOMéTRICO y fUNCIONES dE
áNGULOS CUAdRANTALESMotivación
Indicadores de logro
En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se llama lado terminal del ángulo.
Si la rotación del lado inicial al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del reloj, el ángulo es positivo.
El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de las agujas del reloj.
Construirás con interés y precisión el círculo unitario. Determinarás y explicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas
en el círculo trigonométrico a partir del punto (x, y).
Deducirás y calcularás con interés las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales.
Pedro y Juan trotan sobre una pista circular. Agarrados de una cuerda que los une al centro de la pista.Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un cuarto de círculo.¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado por la cuerda de Pedro?¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda de Juan?
Signo de los ángulos
Lado inicial
Lado inicial
Lado terminalLado terminal
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj.
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido delmovimiento de las agujas del reloj.
Lado inicial
Lado inicial
Lado terminalLado terminal
Ángulo positivo: rotación en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj.
Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido delmovimiento de las agujas del reloj.
B
A
58 Matemática - Segundo Año
UNIDAD 5
Ejemplo 1
Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º
Solución
d)
c)
b)
Ubicación de θ en los cuadrantes
Ángulo de referencia θ’ es igual a
I θII 1800 – θIII θ – 1800
IV 3600 – θ
El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.
a)El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x, hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con respecto al eje y.
Ángulos coterminales o equivalentes
Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección: ¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda de Pedro? Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450° son ejemplos de ángulos llamados coterminales.
Ángulo de referencia
En general si θ está en el cuadrante I, θ = θ’
En general si θ está en el cuadrante II, θ’ = 180º – θ
Si θ está en el cuadrante III, θ’ = θ – 180º
Si θ está en el cuadrante IV, θ’ = 360º – θ
y
xθ
θ1
y
x
θ = 75�
y
xθ =120�
θ1=180�−120�
=60�
En general, tienes que si dos ángulos poseen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se llaman coterminales.
Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo, sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo. Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de ángulos coterminales o equivalentes:
θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,…..
Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º, 270º, y 360º son ángulos cuadrantales.
y
x
=45�θ1=360�−315�
y
x
θ =210�
θ1 = 210� −180�
=30�
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 59
Ejemplo 2
Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º
Solución:
a) 100º = 100º+ 360º = 460ºb) 100º = 100º + 2(360º) = 820ºc) 100º = 100º – 360º = – 260º d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º
Ejemplo 3
Simplifica el ángulo θ = 5248º
Solución:
Comienzas averiguando cuántas veces contiene el ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene a 360.
Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo 5248 le restas 14 veces 360º.
5248º – 14 (360º) 5248º – 5040º = 208º
Concluyes entonces que las dos formas más simples o valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º
Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo
Sea θ un ángulo en posición normal o estándar: Su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje x positivo.
Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa, al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se definen así:
seny
dordenadadistancia
θ = = cosabscisa
distanciaθ = =
xd
tanordenada
abscisaθ = =
yx
cot
abscisaordenada
θ = =xy
secdistanciaabscisa
θ = =dx
cscdistanciaordenada
θ = =dy
Ejemplo 4
Determina en forma gráfica las funciones de a) 135º b) 210º
Solución
a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es de 45º.
En la figura de la derecha se representa la situación, donde: x = –1, y = 1; d = 2
b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º.
Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde: x = − 3 ; y = –1; d = 2
Con estos valores defines las funciones de 210º
y
xθ
d
x
P(X;Y)
y
x-1
1(-1,1)
135�45�
2
y
x
-1
210�
30�
2
P (- 3,-1 )
UNIDAD 5
60 Matemática - Segundo Año
El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la unidad.
1. Copia en tu cuaderno y traza el ángulo de referencia θ’ del ángulo θ.
Actividad 1
2. Encuentra dos ángulos positivos y dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º.
3. Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 3500º entre 0º y 360º y represéntalos en el plano cartesiano.
4. Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia y determina su valor si:
a) θ = 45º c) θ = 3500ºb) θ = 150º d) θ = 300º
5. La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de 40 cm, y la trasera 60 cm ¿Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes?
6. Determina gráficamente las funciones dea) 150º b) 300º c) 225º
x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 12, x2 + y2 = 1
En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así d = r = 1.
1. seny
dy
yθ = = =1
4. csc θθ
= =1 1y sen
2. cos θ = = =xd
xx
1 5. sec
cosθ
θ= =
1 1x
3. tancos
θ θθ
= =yx
sen 6. cot
cosθ θθ
= =xy sen
Círculo trigonométrico o unitario
y
x
y
x
y
x
220ºθ
150º
y
x
(0,-1)
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
P(x,y)r=1
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 61
Mediante él, puedes calcular con buena aproximación las funciones de un ángulo.
sen 37º = 0.6 sen 225º = –0.7cos 37º = 0.8 cos 225º = –0.7
Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora.
sen 37º = 0.601815 sen 225º = –0.7071068cos 37º = 0.7986355 cos 225º = –0.7071068
Funciones de ángulos cuadrantales
Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y. Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º.
Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero.
Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno.
Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1
Luego:sen y
xsen
ºº
ºº
90 190 0
9090
= == =
=
cos
tanccos
cotcos
º(infinito)
ºº
9010
9090
= = ∞
=ssen º
ºº
9001
0
90190
10
= =
= = = ∞seccos
((infinito)
ºº
csc 90190
11
1= = =sen
Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y 360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las funciones trigonométricas (cos θ, sen θ)
y
x 90�
(0,1)
y
x
P(x,y)
1
θ
y
x
(0,1)
225�
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(0.8, 0.6)
Q(-0.7, -0.7)
37�
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
θ
y
x
(0,1)
180�
(-1,0) (1,0)
UNIDAD 5
62 Matemática - Segundo Año
x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º
Luegosen y
xsen
ºº
º
180 0180 1
180
= == = −
=
cos
tanºº
ºº
180180
01
0
180180
cos
cotcos
=−
=
=sen º
ºº
1801
0
1801180
11
=−
= −∞
= =−
seccos
== −
= = = 짧
1
1801180
10
cscsen
x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º
Luegosen y
xsen
ºº
º
270 1270 0
270
= = −= =
=
cos
tanºº
ºº
270270
10
270270
cos
cotcos
=−
= −∞
=senn º
ºº
2700
10
2701270
10
=−
=
= = =seccos
ºº
∞
= =−
= −csc 2701270
11
1sen
En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que la función es indeterminada.
x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º
Luegosen y
xºº
º
360 0360 1
36001
= == =
= =
cos
tan
ºº
º
0
3601360
10
3601360
csc
seccos
= = = ∞
=
sen
ºº
º
= =
= = ∞
11
1
36010
cot
Ejemplo 5
Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de las cuerdas?
ToA ToB
A B
100 kg
0
30º 60º
y
x
(0,1)
270�
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
y
x
(0,1)
360�
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 63
Resumen
Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario.
Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal. Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno.
Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0) respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º.
Solución:
Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de fuerzas tendremos:
Ya sabes que F→
∑ = 0 , por lo cual éstas forman un triángulo y se aplica la siguiente igualdad ToA
SenToB
SenP
Sen30 60 90º º º= =
Punto de apoyo
1. Basándote en las coordenadas del círculo trigonométrico correspondiente a 0º, 90º, 180º, 270º y 360º = 0º, determina por simple inspección el valor de:
a) sen 0º i) tan 0ºb) sen 90º j) tan 90ºc) sen 180º k) tan180ºd) sen 270º l) tan 270ºe) cos 0º m) cot 0ºf) cos 90º n) cot 90ºg) cos 180º 0) cot 180ºh) cos 270º p) cot 270º
2. Un cuerpo de 200 lb. pende de dos cuerdas que forman ángulos de 50° y 40° con la horizontal. Calcula la tensión a la que está sometida cada cuerda.
Actividad 2
y
x
(0,1)
(1,0) (0,-1)
(0-1)
90º
180º
270º
360º = 0
ToASen
PSen
ToAP senSen
Kg30 90
3090
100º º
ºº
=
= =× 0 5
150
.= kg
ToBSen
PSen
ToBP senSen
Kg60 90
6090
100°=
°
=°°
=×
=8 7
187
.Kg
ToA
A B
100 kg
0
30º 60º
PToB
60º
30º
La tensión de la cuerda A es = 50 kgLa tensión de la cuerda B es = 87 kg
UNIDAD 5
64 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
Soluciones1. c. 2. d. 3. b. 4. b.
¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas es indeterminada?a) cos 90ºb) tan 90ºc) cot 90ºd) csc 90º
4 El valor de tan 150º es
a) −13
b) − 3
c) −3
3
d) a y c son correctos
2
1 El ángulo equivalente a 400º esa) – 40ºb) 80ºc) 40ºd) 320º
3 El valor de cos 180º es a) θb) –1c) ∞d) ninguna de las anteriores
Las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son de gran importancia en el gráfico de funciones y en el análisis de otros fenómenos como las
mareas, el sonido, etc.
Así una representación gráfica de las mareas es :
LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES
120 24
tiempo (h)
Segundo Año - Matemática 65
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
Para resolver el problema anterior, estudiarás previamente algunos conceptos. El valor de una función trigonométrica de un número real “t” es el valor de un ángulo de “t” radianes.
Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente, sen 3 ≠ sen 30
Concluyes entonces, que los valores de las funciones trigonométricas de números reales, éstos representan radianes.
Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de la función seno. Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de la
función seno.
Determinarás con perseverancia la periodicidad en la función seno. Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma:
y = a sen [b(x + c)] + d, y = a cos [b(x + c)] + d determinando su período con seguridad.
La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas, clima, estaciones, reproducción de los animales, cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos. Estos ciclos han existido desde el principio de la vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y estadísticamente que la naturaleza humana sigue una variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos se denominan biorritmos, y existen diferentes biorritmos que afectan nuestro comportamiento en distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha comprobado estadísticamente que la energía física se comporta cíclicamente en períodos de 23 días (mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio). Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente alterna. Considera lo siguiente: un generador de corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la
GRáfICO dE LA fUNCIóN SENO
Lección2
Definición de las funciones trigonométricas de números reales
Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales mediante calculadora, usas el modo en radianes. O sea que:
Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe estar expresado en radianes.
Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las siguientes equivalencias.
expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el tiempo en segundos. Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente? Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1 segundo?
UNIDAD 5
66 Matemática - Segundo Año
Grafica la función y = sen x, donde x es un número real.
Debes encontrar los pares ordenados de números reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x. Una manera de hallar dichos pares es mediante la calculadora científica. Así halla los valores del rango asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0 tienes: y = sen 0 = 0.
Así, el par (0, 0) pertenece a la función.
Ejemplo 1
Convierte: a) 2
3π rad a grados; b) 150º a radianes
Solución:
a) 123
360
2
2
3
360
2
º ºrad rad= =
=
ππ
ππ; º120
b) 1 150 1502
360
2
360º
ºº º
º= =
π πrad rad;
=
56π rad
En lo posible se expresará el ángulo en radianes en términos de π.
2 π rad = 360º
Despejando 1 radián: 13602
ºrad =
π
Para convertir radianes a grados, multiplicas por 360º y divides entre 2π
Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 12
360º =
π rad
Para convertir grados a radianes, multiplicas por 2π y divides entre 360º.
Completa en tu cuaderno por simple inspección los cuadros siguientes:
a)
b)
Actividad 1
θ ( rad ) 0 π4
π2
34
π π 54
π 32
π 74
π 2π
θ ( grados ) 0 450
θ ( rad ) 0 π3
23
π π 43
π 53
π 2π
θ ( grados ) 0 450
Gráfico de y = sen x
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
1x
P(cos x, sen x)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 67
Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede simplificarse al observar como varía el punto (cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo trigonométrico o unitario.
Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los resultados de la figura de la par, complementándolos con
valores de ángulos múltiplos de π4
tomados de la tabla que completaste.
Ejemplo 2
Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico.
a) sen − =
π4
0 ( rad ) 0 π4
π2
34
π π 54
π 32
π 74
π 2π
y = sen x 0 1.71 1 1.71 0 –1.71 –1 –1.71 0
b) sen − =
π6
Sen Sen
Sen
− = − +
=
π π π
π
4 42
74
= −2
2
Observa que: Senπ4
22
= ,
luego Sen Sen− = −
π π4 4
Sen Sen
Sen
− = − +
=
π π π
π
6 62
116
= −12
Observa que: Senπ6
12
= ,
luego Sen Sen− = −
π π6 6
y
x2ππ0.5π 1.5π
0
1.711
-1-1.71
y
x
74π
-1 1
22
,2
2
−π
4
22
,− 22
y
x
114π
-1 1
32
,12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
32
,−12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−π6
UNIDAD 5
68 Matemática - Segundo Año
Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes. Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n.
Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas.
La parte de la gráfica de la función seno correspondiente a 0 < x < 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo como una onda senoidal.
Como la función es periódica con período 2π, para completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la derecha en intervalos de 2π.
Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1 y 1, entonces, Rf = [–1, 1]
c) Sen Sen
Sen
− = − +
=
π π π
π
3 32
53
=
Observa que: Senπ3
=
d) Sen Sen
Sen
− = − +
=
32
32
2
2
π π π
π
=
Observa que: Sen32π
=
¿Qué puedes observar o concluir de los resultados anteriores?
e) Encuentra Sen Sen−
43
43
yπ π La función y = sen x es una función impar, porque cumple: sen (–x) = –sen x
y
x0
0
1
-1
-1π-2π-3π-4π 1π 2π 3π 4π
Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,…
y
x-1 1
12
,3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
,−3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−π3
y
x-1 1
32π
(0,1)
(0,-1)
−π2
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 69
Amplitud, período y desfase
Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x.
Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta función? El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A.
En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de
y sen x=13
? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas?
Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x.
En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período? En el gráfico de y = sen 2x
observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p = =2
2
π π .
Es decir, la onda y = sen 2x se completa en [0, π].
En general, si y = sen Bx, el período está dado por
pB
=2 π
y
x0
1
A y=A Senx
y=Senx
0 0.25π 0.5π 0.75π π 1.25π 1.50π 1.75π 2π
y
x
2πB
2ππ
UNIDAD 5
70 Matemática - Segundo Año
El gráfico anterior muestra una onda senoidal desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual
a C =π2
. Si C es negativo, el desplazamiento es a la
derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos?
B es el coeficiente de x.
Observa que sucede si B ≠ 1.
En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C),
cuando Bx + C = 0, xCB
= − y cuando Bx + C = 2π,
xC
B=
−2 π . En este caso el desfase “d” es −CB
.
En forma gráfica:
Ejemplo 3
Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el gráfico con la función y = sen x.
Solución:
Puedes ver que la amplitud es A = 3; además,
pB
= = =2 2
4 2π π π .
Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en
el intervalo 02
,π
. O sea que el intervalo 02
,π
cabe 4 veces en [0, 2π].
Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud
es 30, y el periodo es 2120 60π π
= .
Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es
igual a 60
19 11π
= . ciclos por segundo.
Desfase de la onda Seno
Observa el gráfico de la función y sen x= +
π2
¿De qué valor de x parte la función anterior?
Si ésta hubiera sido y sen x= +
π4
¿De qué valor de x partiría?
Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C),
la amplitud es A, el período 2 π
B y el desfase es
dCB
= −
y
x
0.5π π 1.5π 2π
y=3 Sen 4x
1
2
3
y
x2ππ0.5π 1.5π-0.5π
0
0.5
1
-0.5
-1
y=Sen x
y =Sen x+
π2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y
x0
A
-A 2πB
2ππ0.5π-0.5π 0
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 71
Resumen
La función seno está dada, en su forma más simple, por la expresión y = sen x.
El gráfico que resulta se llama onda seno u onda senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su período es 2π. Su dominio son todos los números reales y su rango es el intervalo [–1, 1].
En su forma general, la función seno está dada por la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la
amplitud, 2πB
el período p y −CB
el desfase d.
C = π B = 2 A = 2
C = 2 B = 3 A = 2
C = 4 B = 2 A = 3
1. Grafica sin tabular las siguientes funciones.
a) y = sen xb) y = sen 3xc) y = 3 sen 2xd) y sen x= −
3 2
2π
2. Dada la función y = 4 sen 24
x −
π determina.
a) La amplitudb) El períodoc) El desfase
3. Un peso de 6 lb., que cuelga de un resorte se estira 13
de pie
por debajo de la posición de equilibrio y después se suelta. La distancia “y” en que el peso se desplaza de su punto de equilibrio con respecto al tiempo t en segundos, está dada
por y sen t=13
8 .
Determina la amplitud y el periodo de la función y grafícala para el intervalo 0 ≤ t ≤ π.
Actividad 2
y
x2ππ0.5π-0.5π
0
1
0 1.5π
2
-1
-2
y=Sen x
y=3 Sen(2x+4)
3
-3
Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es
−CB
y el nuevo período es 2 π
B.
y
x2ππ0.5π-0.5π
0
1
0 1.5π
2
-1
-2
y =2sen(2x+π )
y=Sen x
y
x2ππ0.5π-0.5π
0
1
0 1.5π
2
-1
-2
y=Sen x
y=2 Sen(3x+2)
UNIDAD 5
72 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
4 Para convertir cm2 a dam2:a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000
2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.0010 m2
1 La unidad básica de superficie del SI es:a) El km2
b) El cm2
c) El m2
d) El hm2
3 10,000 m2 equivalen a
a) 1 km2
b) 2 km2
c) 1 dam2
d) 1 hm2
Cuando la actividad cardíaca se traduce a imágenes mediante el electrocardiógrafo,
que es el aparato usado para hacer electrocardiogramas, se obtiene un patrón
repetitivo como el de la gráfica. Este comportamiento repetitivo es característico de las funciones trigonométricas, y puede
analizarse mediante éstas.
Este es el principio de los electrocardiógrafos y de los monitores cardíacos. Estos últimos son aparatos que sirven para dar seguimiento a
pacientes graves o en procesos de recuperación.
1. c. 2. c. 3. d. 4. a. Soluciones
4 El desfase de la función y = 2 sen (3x + π) es:
a) −π3
b) 2
c) 2
3
π
d) 3
2 El rango de y = 3 sen 2x es:a) [– 1, 1]b) [– 2, 2]c) [– 3, 3]d) [0, 2π]
1 La amplitud de la función y = 4 sen 3x es:a) 3b) – 3c) 4d) – 4
3 El período de la función y = 2 sen (3x + π) es:
a) 3 c) 3
2
π
b) 2 d) 2
3
π
ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA
Segundo Año - Matemática 73
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la función seno: sólo observas como varía P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico.
Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de las seis funciones trigonométricas.
Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de las seis funciones trigonométricas.
Determinarás con perseverancia la periodicidad en las funciones trigonométricas.
Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma: y = A cos (Bx +C) determinando su período con seguridad.
En una playa del litoral salvadoreño, la marea sube 1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea.Con estos datos puedes construir el gráfico que relaciona la altura de la marea y el tiempo.
GRáfICO dE LAS fUNCIONES COS x, TAN x, COT x, SEC x, y CSC x
Lección3
Gráfico de y = cos x
x 0 π2
π 32
π 2π
y = cos x 1 0 –1 0 1
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(cos x, sen x)
y
xπ0.25π-0.25π
0
0.5
0 2π
1
-0.5
-1
1.5
-1.5
0.5π 0.75π 1.25π 1.5π 2.5π
UNIDAD 5
74 Matemática - Segundo Año
y
x
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
(a,a)(-a,a)
(-a,-a) (a,-a)
Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la función coseno que corresponde a 0 ≤ x < 2 es un ciclo llamado onda cosenoidal.
Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la onda senoidal.
En la gráfica del coseno se observa que la onda cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada
π2
rad
a la izquierda, es decir: y = cos x = sen x +
π2
La función y = cos x equivale a sen x +
π2
.
Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es
la amplitud, 2 π
B es el período y −
CB
es el desfase.
Ejemplo 1
Grafica la función y x= −( )1
24cos π
Solución
Amplitud: A =1
2
Período: pB
= = =2 2
4 2π π π
Desfase: − = − =
−CB
π π4 4
y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo, cos (–π) = cos π
Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1]
Como el desfase es positivo, significa que el desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es:
Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala con la siguiente:
Gráfico de y = tan x y y = cot xObserva como varía el valor de la tangente para diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo trigonométrico.
y
x0
0
1
-1
-3π-4π 5π2π 3π 4ππ-π-2π-5π
y=Cos xy
x
0.25π-0.25π
0
0.5
0
1
-1
0.5π 0.75π-0.5π
-0.5
π2P=
π4
d =
y
x0-5 2 4 6 8 10 12-10-15
51015
tiempo (h)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 75
En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la siguiente figura.
Para valores positivos de un ángulo múltiplos
de π4
radianes, tienes
Para valores negativos de un ángulo múltiplos
de −−π4
radianes, tienes
x (rad) tan x x rad tan x
0 0
10= 0 tan 0
0
10= =
π4
aa
= 1 −π4
tan − =
−= −
π4
1a
a
224
π π
=
1
0= ∞ −
π2
tan−
=
−= −∞
π2
10
3
4π
aa−= −
1 −
3
4π tan
− −−
= +
=
3
41π
aa
44
π π
=
0
10
−=
–π tan −( ) =
−=π
01
0
5
4π
−−
=
aa
1 −5
4π tan
−
=
−= −
54
1πaa
6324
π π
=
−= − ∞
1
0−
3
2π tan
−
= = ∞
32
10
π
7
4π
−= −
aa
1 −7
4π tan
−
= =
74
1πaa
8 24
π π
=
0
10= –2π tan −( ) = =2
0
10π
y
x1
-1
π2
3π2
UNIDAD 5
76 Matemática - Segundo Año
Como cottan
xx
=1
, para graficar y = cot x
simplemente se toman los valores recíprocos de los valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito.
Al estudiar el comportamiento de tan xba
= en el
intervalo −
π π2 2
, , puedes ver que cuando x se
aproxima a π2
por la izquierda, a se aproxima a cero
mediante valores positivos, mientras que b se aproxima a 1. O sea, tan x
ba
= crece indefinidamente; es decir,
tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima
−π2
por la derecha, a se aproxima a cero por medio de
valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa
que tan xba
= decrece indefinidamente, o sea, tan x
tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico.
Si procedes de la misma manera para los intervalos entre otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura, sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica hasta donde se desee. Graficando en base a los valores anteriores, tendremos:
En este gráfico observas las siguientes características:
El período es π
Dominio: Todos los números reales excepto los
múltiplos de π π2+ k , k entero.
Rango:
.
Función impar y simétrica con respecto al origen.
Discontinua en π π2+ k ; k entero.
Función creciente entre las asíntotas.
Gráfico de y = tan x
y
x00
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-11
Asíntota vertical
Asíntota vertical
y
x2ππ0.5π-0.5π
00 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π
2
4
6
-2
-4
-6
y=Tan x
y
x00
2
4
-2
π
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 77
Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende a menos infinito. Esta situación se da en todos los intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x desde –2π hasta 2π obtienes:
De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la gráfica de y = tan x, haces
csc seccos
yx xxsen x
= =1 1
Observa que cos x = 0, si x vale −π π π2 2
32
, , , .etc..
Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en un intervalo sec x hace exactamente lo contrario.
Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e y = cos x, respectivamente.
Características de y = cot x
Período: π
Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con k entero.
Rango:
.
Función impar y decreciente entre las asíntotas.
Discontinua en kπ, k entero
Características de y = sec x
Período: 2π
Dominio: Todos los números reales excepto
π π2+ k , k entero
Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
Función par (simétrica con respecto al eje y)
Discontinua: en π π2+ k , k entero
Características de y = csc x
Período: 2π
Dominio: Todos los números reales excepto kπ,k entero
Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[
Función impar (simétrica con respecto a π/2)
Gráfico de y = cot x
Gráfico de y = sec x
Gráfico de y = csc x
y
x0
2
4
6
-2
-4
-6
y=Cot x
2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π
y
xy=Cos x
Cos x1y=sec x =
00.5
1
1.5
-0.5-1
-1.5
-2
2
2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π
y
x0.5π-0.5π
00 1.5π 2.5π-1.5π-2.5π
0.5
1
1.5
-0.5
-1-1.5
-2
2
y=Sen x
y=Csc x =Sen x
1
2ππ-π-2π
UNIDAD 5
78 Matemática - Segundo Año
La figura siguiente será muy útil en muchos de los problemas de este ejercicio.
1. Completa la siguiente tabla, en tu cuaderno.
FunciónValor en x
0 π2
π 3
2
π 2π
sen x 0cos x 0tan x 0cot xsec x No esta definidacsc x –1
2. Considera P(a, b) = (cos x, sen x) sobre el círculo trigonométrico o unitario (observa la figura anterior) y completa en tu cuaderno la tabla siguiente, ( significa crecimiento y significa decrecimiento):
Significa que: y = sen x En 02
,π
es positiva y creciente
En π π2
,
es positiva y decreciente
En π π,32
es positiva y creciente
¿Cómo es y = sen x en 32
2π π,
? Muy bien, negativa y creciente
Actividad1
Funciónx varia de
0 a π2
x varia de π2
a π
x varia de
π a 3
2
πx varia de 3
2
π a 2 π
+ – + – + – + –
y = sen x = by = cos x = a
y = tan x = b/ay = cot x = a/b
b
a
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
P(cos x, sen x)
cos x
sen xx rad
R=1
a b
x unidades
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 79
Resumen
El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y periódicas.
Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y son discontinuas.
UNIDAD 5
80 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
4 Para convertir cm2 a dam2:a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000
2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:
a) 1 m2
b) 0.01 m2
c) 0.10 m2
d) 0.0010 m2
1 La unidad básica de superficie del SI es:a) El km2
b) El cm2
c) El m2
d) El hm2
3 10,000 m2 equivalen a
a) 1 km2
b) 2 km2
c) 1 dam2
d) 1 hm2
1. d. 2. b. 3. d. 4. b.
Las funciones trigonométricas tienen mucha aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio. Por ejemplo en el movimiento de una partícula en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho vibrar o en un resorte que se ha comprimido y
luego se pone a oscilar.
De acuerdo a la vibración del instrumento musical, así es el sonido emitido por éstos. Además hay que hacer notar que la misma vibración en dos instrumentos musicales
diferentes como guitarra y violín pueden producir sonidos diferentes.
Soluciones
4 Para construir el gráfico de y = sec x se parte del inverso de la función.a) sen xb) cos xc) tan xd) csc x
2 El período de la función anterior es:a) 2b) π
c) π2
d) 3
1 La amplitud de la función y = 3 cos (2x + π) es:a) 2b) πc) – 3d) 3
3 La función y = tan x es creciente en el intervalo:
a) − −
5
2
3
2
π π,
b) − −
3
2 2π π
,
c) −
π π2 2
,
d) Todas las anteriores
VIBRACIONES MUSICALES
Segundo Año - Matemática 81
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
r
r
BP
A C
θ
d
d
Lección4
¿Cómo haces para comprobar que son idénticos?
Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas recíprocas, con seguridad y confianza.
Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas de cociente, con seguridad y confianza.
Deducirás, explicarás y aplicarás las identidades pitagóricas, con seguridad y confianza.
Transformarás una expresión trigonométrica a una que contenga solamente seno y coseno, con precisión.
Verificarás las identidades trigonométricas aplicando las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas, con interés.
Resolverás problemas utilizando identidades trigonométricas, mostrando respeto a la opinión de los demás.
Un ingeniero civil está diseñando la curva de una intersección. Las dos autopistas se cruzan formando un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse con dos puntos A y B por medio de un arco de circunferencia tangente a las autopistas en esos dos puntos. El ingeniero necesita determinar la relación entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo en donde se muestra que A y B son los puntos de tangencia de la circunferencia con las autopistas.
IdENTIdAdES TRIGONOMéTRICAS
Identidades trigonométricas fundamentales
En matemática el concepto de “identidad” equivale a “igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2 – 25, es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x. Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los números reales que desees. En esta lección estudiarás las principales identidades trigonométricas.
Por definición de las razones trigonométricas tienes:
a) senyh
θ = d) csc θ =hy
b) cos θ =xh
e) sec θ =hx
c) tan θ =yx
f) cot θ =xy
h y
x
θ
UNIDAD 5
82 Matemática - Segundo Año
Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x entonces:
tancos
θ θθ
= = ( )yx
sen4 cot
cosθ θθ
= = ( )xy sen
5
Éstas son las funciones de cociente. Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al origen es la unidad, esto es x y2 2 1+ = . Además se indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en el círculo trigonométrico que le corresponde.
Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto del círculo unitario que le corresponde, entonces se tiene que x2+ y2 = 1, pues las expresiones en ambos lados de la igualdad son positivos; como en el círculo trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene:sen 2 2 1 6θ θ+ = ( )cos
De la relación anterior se obtienen otras dos identidades:
sen sen2 2 2 21 1yθ θ θ θ= − = −cos cos .
Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre
sen2 θ, obtienes:sensen sen sen
2
2
2
2 2
1θθ
θθ θ
+ =cos
Recíprocas De cociente Pitagóricas
seccos
θθ
=1
csc θθ
=1
sen
cot θθ
=1
tan
tancos
θ θθ
=sen
cotcosθ θ
θ=
sen
sen 2 2 1θ θ+ =cos
1 2 2+ =cot cscθ θ
tan sec2 21θ θ+ =
Esta última expresión es equivalente a:1 72 2+ = ( )cot cscθ θSi los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre cos2 θ, obtienes:sen 2
2
2
2 2
1θθ
θθ θcos
coscos cos
+ =
Es decir: tan sec2 21 8θ θ+ = ( )
A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina, identidades trigonométricas pitagóricas:
sen 2 2 1 6θ θ+ = ( )cos
1 72 2+ = ( )cot cscθ θ
tan sec2 21 8θ θ+ = ( )
En tu cuaderno, prueba la identidad sen 2 2 1θ θ+ =cos para θ = 30º
O sea, sen 2 230 30 1º cos º+ =
En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones trigonométricas de suma importancia que reciben el nombre de Identidades Trigonométricas Fundamentales:
Otras identidades trigonométricas
Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones trigonométricas fundamentales son, las herramientas principales para simplificar expresiones trigonométricas, verificar identidades trigonométricas o resolver ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos son importantes porque la mayoría de los problemas de aplicación de la trigonometría requieren la resolución de al menos uno de ellos.
¿Cómo son las razones que aparecen a la par? Puedes ver que:
sensen
θθ
θθ
= = ( )1 11
csccsc
cos θθ
θθ
θ
= = ( )1 12
secsec
cos
tan = = ( )1 13
cotcot
tanθθ
θÉstas son las funciones recíprocas.
y
xθ
P(cos θ, sen θ)
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 83
Ejemplo 1
Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ .
Solución:
Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme en otra más simple. Recuerda que:
seccos
θθ
=1 , sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes:
cos sec cos .cos
coscos
θ θ θθ
θθ
= = =1
1 De manera que cos θ sec θ = 1
Ejemplo 2
Simplifica la expresión trigonométrica cscsec
xx
Solución:
Sabes que csc xsen x
=1
y seccos
xx
=1
; sustituyes en la expresión original y
obtienes: cscsec
cos
coscot
xx
sen x
x
xsen x
x= = =
1
1 de manera que es válida la igualdad
cscsec
cotxx
x=
En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin embargo las herramientas que se utilizan son las mismas.
Ejemplo 3
Simplifica la expresión trigonométrica ( cos )cot cossen
senθ θθ θ θ
+ −−
2 1
UNIDAD 5
84 Matemática - Segundo Año
Por tanto, verificas que la expresión ( cos )
cot cossen
senθ θθ θ θ
+ −−
2 1 es igual a la expresión 2 tan2 θ.
Solución:( cos )
cot cossen
sensenθ θ
θ θ θθ+ −
−=
2 21 + + −
−
2 12sen
sensen
θ θ θθθ
θ
cos coscos
cos
cos coscos
θ
θ θ θ θθ=
+( ) + −sen sen2 2 2 1
ssensen
senθ
θ θ
θ θθ
−
=+ −
cos
coscos
1 2 1−
=( )
sensen
sen sen
2
2
θ θθ
θ θ θθ
cos
coscos −
=−
sensen
sen
2
2
2
2θ θ
θ θθ θ
coscos
cos cos θθθ θ
θ θ
θθ
=−( )
=
21
2
2
2
2
2
sensen
sen
coscos
cos( ssen
sensen
=θ θθ θ θ
θ+ −−
cos )cot cos c
2 12
oostan
θθ
= ( )
222
Efectúas el producto notable en el numerador y
sustituyes en el denominador cot θ por cos θ
θsen.
Sustituyes en el numerador a sen2 θ + cos2 θ por 1 y en el denominador efectúas la diferencia.
Reduces términos semejantes en el numerador de la fracción compleja y efectúas el producto de los extremos y medios.
Multiplicas en el numerador y denominador por sen θ
Factorizas en el denominador aplicando factor común.
Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2 θ por cos2 θ
Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2 θ
Sustituyes sen θ
θcos por tan θ
Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del otro lado.
Ejemplo 4
Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1
Solución:
Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado derecho.
tan cot tanSustituyes =θ θ θ θ= 1
senccos
cotcos
coscos
y =θ
θ θθ
θθ
θsen
sensen⋅
θθCancelas los factores iguales=
=
1
1 1 Obtienes que la igualdad se cumpleLa identidad ha sido verificada.
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 85
Ejemplo 5
Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A
Solución:cos tan tanA A sen A ASustituyes= =
ssen AA
Asen A
Asen A Can
cos
coscos
= ccelas el factor cos A
sen A sen A= SSe verifica la identidadEjemplo 6
Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x.
Solución:cot cos csc cotSustituyesx x sen x x+ = xx
xsen x
xsen x
x sen x
=
⋅ + =
cos
coscos cscc
cos
Multiplicasx
xsen x
sen x2
+ = Efectuas la sumacsc x
Sustitcos
csc2 2x sen x
sen xx
+= uuyes 1cos
csc
2 2
1
x sen x
sen xx
+ =
= SSustituyes1
sen xx
x
=
=
csc
csc csc xx Se verifica la identidadAhora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección.
De la figura ∠ + =BCA ºθ 180 . Luego ∠ = −BCA º180 θ . Además, PA AC⊥ , ya que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a
∠BCA , por lo que ∠ = ∠ =−
= −PCA BCAº
º12
1802
902
θ θ
Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que ∠ = ∠ =A PCArd
º90 tan , de donde
dr
PCAd r PCA
d r º
=∠
= ∠
= −
tancot
cot 902θ
Y como cot tanº902 2
−
=
θ θ, entonces d r= tan
θ2
Una aplicación de esta identidad es: Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.
UNIDAD 5
86 Matemática - Segundo Año
Ejemplo 7
Calcula el valor exacto de sen 712π
Solución:
Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto
de las funciones trigonométricas para π π π π3 4 6 2
, , , ,
por lo tanto debe expresarse 712π
en términos de ellos,
como π π π4 3
712
+ = . Utilizando la fórmula del seno
para la suma de ángulos obtienes:
sen
sen
sen
712
4 3
4
π
π π
π
= +
=
.. cos cos
π π π3 4 3
+
sen
Fórmulas para la suma y la diferencia de ángulos
Además de las relaciones trigonométricas ya mencionadas, existen algunas expresiones que involucran la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β), tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es necesario conocer las equivalencias de estas expresiones.
Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β se representa en posición estándar en la figura dada. Se consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante, pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de α, tales que PQ OQ⊥ . Además considera PM OX⊥ , QN OX⊥ . Sea el punto R en PM tal que QR PM⊥ .
Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción, se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que en notación de ángulos, m significa medida y f significa ángulo.
Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la siguiente justificación:
Como PM = PR + RM y RM = QN
senPMOP
PR QNOP
PROP
QNOP
( )α β+ = =+
= +
= +
=
PR PQOP PQ
QN OQOP OQ
..
..
PPR PQPQ OP
QN OQOQ OP
.
...
+
a) Aproxima el radio del arco que une A y B.b) Determina la longitud del arco.
Solución:
Considera la fórmula que acabas de encontrar:
d r= tanθ2
en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º.
Debes determinar r, rd
=tan
θ2
rpies
º pies se lee aproxi=45
342
147 19tan
. mmadamente( )Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β.
Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de la siguiente forma:sen sen
sen
α β α β
α β
−( ) = + −( ) = −( )cos . + −( )= − +
sensen sen
α βα β α
. cos
cos . . cos
. cos cos .
βα β α β= −sen sen
Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x.Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen βEn forma análoga se puede obtener la expresión para cos(α + β) y para cos(α – β).cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen βcos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β
Q
P
R
M N
α
β
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 87
Resumen
1. Usando identidades trigonométricas determina:
a) sen 75ºb) cos
23
π rad
c) tan56
π rad
2. Comprueba para valores de ángulos internos α, β, γ de un triángulo no rectángulo, que , para calcular esos valores, se aplican las identidades.
Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las diferentes funciones trigonométricas y simplificas la expresión:
22
12
22
32
24
64
2 64
. .+ = + =+
de
donde el valor exacto de sen 712π
es
2 64+
.
Ejemplo 8
Calcula el valor exacto de cos 15º
Solución:
En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos cuyos valores para las funciones trigonométricas se conozcan: 15º = 45º – 30º cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º
Se sustituyen los valores de las diferentes funciones trigonométricas y se simplifica la expresión:
22
12
22
32
24
64
2 64
. .+ = + =+
Ejemplo 9
Calcula el valor exacto de tan 512π
Solución:
En la misma forma, se descompone 512π
en términos
de π π6 4
y como 512 6 4π π π
= + , luego se utiliza la
fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se obtiene:
tan tantan5
12 6 46π π ππ
= +
=
+ ttan
tan .tan
π
π π4
16 4
−
al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y simplificar la expresión obtienes:
33
1
13
31
3 33 3
6 3 126
2 3+
−=
+−
=+
= +.
Actividad 1
Por lo tanto, tan512
2 3π
= +
Estas son las identidades que has estudiado en esta lección
1. sensen
oθθ
θθ
= =1 1
csccsc
2. cosc
seccos
oθθ
θθ
= =1 1
se
3. tancot
cottan
oθθ
θθ
= =1 1
4. sen 2 2 1θ θ+ =cos
5. tan sec2 21θ θ+ =
6. 1 2 2+ =cot cscθ θ
7. sen sen senα β α β α β+( ) = +. cos cos .
8. sen sen senα β α β α β−( ) = −. cos cos .
9. cos cos . cos .α β α β α β+( ) = − sen sen
10. cos cos . cos .α β α β α β−( ) = + sen sen
11. tantan tan
tan tanα β α β
α β+( ) =
−1
UNIDAD 5
88 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
Al escribir tan x cos x únicamente en términos de sen θ, resulta:a) sen2 x
b) 1
sen x
c) sen x
d) 1
2sen x
4 El valor de sen 2 23
434
π π+ cos es:a) 0b) 1c) 0.71d) 0.87
2
La expresión cos 75º equivale a:a) cos( 90º – 15º)b) cos(90º + 15º)c) 1d) 0
3 Un ejemplo de identidad trigonométrica es:a) cos 60º = 0.5b) sen
π2
1=
c) tancos
θ θθ
=sen
d) cot θ =35
1
Las aplicaciones de las identidades trigonométricas se dan en muchas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de
corriente alterna con reactancia, la potencia es:
P = Vmáx Imáx cos θ t sen θ t
Mediante identidades trigonométricas se
demuestra que: PV ax
sen t=max Im
22ω
Donde: P = potencia V = voltaje
I = intensidad de la corriente
1. c. 2. b. 3. a. 4. c. Soluciones
POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA
Segundo Año - Matemática 89
Quinta Unidad
Motivación
Indicadores de logro
1
2
θ
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Si la ecuación trigonométrica es verdadera para todo valor posible de los ángulos, se llama identidad trigonométrica.
Por ejemplo la ecuación sen2 θ + cos2 θ = 1 es una identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta para todo valor del ángulo θ.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo.
Por ejemplo, la ecuación sen θ =12
, es una ecuación
condicional: es cierta para los valores θ π
º= =306
rad y θ πº= =150
56
rad ,
en el intervalo [0, 2π]
Compruébalo en tu cuaderno.
Identificarás, resolverás y explicarás, con seguridad y confianza, ecuaciones trigonométricas de una sola función.
Resolverás problemas, con perseverancia, utilizando ecuaciones trigonométricas.
En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar una pieza como la que aparece a la derecha.¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la pieza tenga las medidas que se indican?Este problema sugiere la ecuación sen θ =
12
¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación?
En esta lección aprenderás a calcular los valores del ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones trigonométricas.
ECUACIONES TRIGONOMéTRICAS
Lección5
Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S. Así para el ejemplo anterior,
S = { }π π6
56
, en [0, 2π].
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o ejercicio se especifique lo contrario.
Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica son similares a los utilizados para resolver ecuaciones algebraicas. Igual que en la verificación de identidades trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de algunas propiedades trigonométricas fundamentales. En la solución de una ecuación de este tipo se debe tomar en cuenta la periodicidad de las funciones trigonométricas.
¿Qué es una ecuación trigonométrica?
UNIDAD 5
90 Matemática - Segundo Año
Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre 0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π, según corresponda al período de las funciones que contiene la ecuación, para obtener las demás soluciones.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0
Solución:
Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene:
cos θ =12
¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a 12
? De
los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por
calculadora, obtienes: cosπ3
12
= , es decir, θ π=
3 es
solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y
θ π=
3 pertenece al primer cuadrante, la ecuación
tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
referencia es π3
, esta solución sería
θ π π π= − =2
353
Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos θ =12
en el intervalo [0, 2π], son θ π=
3 y θ π
=53
; es decir, el
conjunto solución de la ecuación es: S = { }π π3
53
,
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π]
Solución:
Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que tan π
41= y por ello θ π
=4
corresponde al ángulo de
referencia para las soluciones.
La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia
θ π=
4 es π π π
− =4
34
. Falta encontrar el ángulo
que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de
referencia es π4
, este es 24
74
π π π− = .
Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el
intervalo [0, 2π[ es S = { }34
74
π π,
1
12
1
θ θ
3
2
y
x
53π
π3-1 1
θ
y
00
2
34π
74π
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 91
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación 2 3 0sen θ + =
Solución:
Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: senθ = −3
2Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De la tabla de valores para las funciones trigonométricas,
sabes que sen π3
32
= y por ello θπ
=3
corresponde
al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia
es π π π+ =
34
3. Falta encontrar el ángulo que se
encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo
ángulo de referencia, este es 23
53
π π π− = .
Así, las soluciones de la ecuación 2 3 0sen θ + = , en
el intervalo [0, 2π], son θ π=
43
y θ π=
53
.
El conjunto solución de la ecuación dada es:
S = { }43
53
π π,
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo [0, 2π]
Solución:
La ecuación dada es equivalente a la ecuación sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes: sen θ(tan θ – 1) = 0
Las soluciones de esta ecuación corresponden a las soluciones de las ecuaciones sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0.
Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son θ = 0 y θ = π
Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero
la solución θ π=
4 en el
primer cuadrante, y como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo
de referencia es π4
, este es π π π+ =
454
Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo
[0, 2π] son π π4
54
y
y
x
54π
π4-1 1
En conclusión, el conjunto solución de la ecuación dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos ecuaciones anteriores, es decir,
S = { }04
54
, , ,π π π
y
00
2
43π
53π
θ
1
−
32
π 2π
UNIDAD 5
92 Matemática - Segundo Año
Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}.
Ejemplo 6
Resuelve la ecuación 2 4 1 0sen θ( ) − = , en el intervalo[0, 2π].
Solución:
Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen 412
θ( ) = .
¿Cuál es el ángulo x tal que sen x =12
?
Se cumple para x k= +π π4
2 , y x k= +34
2π π .
¿Cómo encuentras una solución sin restricciones?El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 sin poner restricciones es sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en el intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}.
Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π, el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al
intervalo [0, 2π], es S k k k Zcon= + ∈{ }π π π, ,4
.
Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones
particulares 0, π π π, ,
454
, que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1.
Ejemplo 5
Halla el conjunto solución de la ecuación cos2 θ = cos2θ
Solución:
¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2θ – 1?Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes:
cos cos –
cos cos
2 2
2 2
2 1
2
θ θθ θ
=
− + 11 0
1
Igualas a cero=
− coss
( cos
2 0
1
Reduces términos semejantesθ =− θθ θ Descompones en facto) ( cos )1 0+ = rres
1 01
− ==
cos ,cos ,
θθθ = 0 ,
1 0 Igualas a cero+ =cos θ ccada factorDespecos θ = − 1 jjas cos θ
θ π= Resuelves para θ
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 93
Sustituyes x = (4θ) y obtienes 44
2θ π π= + k y 43
42θ π π= + k
Al dividir por 4 los valores de θ son: θ π π= +
16 2k y θ π π
= +316 2
k
Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son:π π π π π π π16
316
916
1116
1716
1916
2516
27, , , , , , ,
ππ16
que corresponden a los ángulos en
[0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno.
Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de 24 2π π
= , y
así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2 soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total.
Ejemplo 7
Resuelve 3 sen θ = 2 cos2 θ. Expresa la solución en grados y radianes.
Solución:
Al usar la identidad fundamental cos2 θ = 1 – sen2 θ, la ecuación dada se transforma en la ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2 θ) = 2 – 2 sen2 θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2 θ.Resuelves esta ecuación y tienes:
2 3 2 02sen senθ θ+ − = Transpponiendo terminos
sen θ =− ± − ( ) −( )
( )3 3 4 2 2
2 2
2
Fórmula cuadrática para despejar seen
sen sen senluego y
θ
θ θ θ=− ±
= =3 5
412
− 2
Para resolver la ecuación sen θ =12
buscas el ángulo
de referencia, el cual es π6
ó 30º, y trasladas este
ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II).
Así, las soluciones en [0º, 360º[ son θ πº= =
630 θ π
º= =56
150
La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación sen θ = – 2.
El conjunto solución es S k k k Zcon= + + ∈{ }π π π π6
256
2; , que expresado
en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}
UNIDAD 5
94 Matemática - Segundo Año
Ejemplo 8
Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0
Solución:
Usas las fórmulas del ángulo doble: sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2 θ – sen2 θ
La ecuación dada es equivalente a: (2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2 θ – sen2 θ) = 0
Factorizando obtienes la ecuación: sen θ (2 cos2 θ + cos2 θ – sen2 θ) = 0
La cual es equivalente a sen θ (3 cos2 θ – sen2 θ) = 0.
Al usar la fórmula sen2 θ = 1 – cos2 θ, la última ecuación se transforma en la ecuación sen θ (4 cos2 θ – 1) = 0. Luego sen θ = 0 ó 4 cos2 θ – 1 = 0
Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno.
Ejemplo 9
En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en cierto período del año se aproxima mediante la ecuación
D t sen t( ) = −
+3
2365
79 12π
( ) , en donde t está
en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad?
Solución:
Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver la ecuación:
32365
79 12 10 5
32365
7
sen t
sen t
π
π
( ) .−
+ =
− 99 1 5( )
=− .
Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la ecuación:
sen t2365
7912
π( )−
= −
y
t
76π
π6
π6
116π
y
t
330º
210º
30º30º
Si se llama θ π= −
2365
79( )t la ecuación anterior se
escribe como sen θ = −12
el ángulo de referencia
es π6
y las soluciones buscadas están en el tercer y
cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos cuadrantes)
La solución en el tercer cuadrante es
θ π π π= + =
676
y la solución en el cuarto
cuadrante es θ π π π2= − =
611
6, estos dos valores
corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera, se deben determinar los valores t tales que:
2365
7976
2365
7911
6π π π π
t t−( ) = −( )ó =
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 95
Resumen
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.
Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo.
Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S.
Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna identidad que permita despejar la variable de interés.
La ecuación 2365
7976
π πt −( )= es equivalente a la
ecuación t − =797 365
6 2π
π( )
( ); si simplificas y luego
despejas el valor de t = + ≈2555
1279 292
La ecuación 2365
7911
6π π
( )t − = es equivalente a la
ecuación t − =7911 365
6 2π
π( )
( ) ; al simplificar y luego
1. Determina las soluciones de la ecuación cos x = −2
2.
2. Determina las soluciones de las ecuaciones:
a) sen x = −12
; b) tan θ = 1 en el intervalo [–π, π]3. Encuentra las soluciones de la ecuación csc x = –14.07 en el intervalo [0, 2 π [
4. Resuelve la ecuación sen2x = sen x en el intervalo [0, 2 π [
Actividad 1
despejar el valor de t obtienes:
t = + ≈
401512
79 414
El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día 414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero. ¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas?
UNIDAD 5
96 Matemática - Segundo Año
Autocomprobación
1. c. 2. a. 3. a. 4. b.
Al igual que las identidades, las ecuaciones trigonométricas se aplican en casi todas las áreas del conocimiento. Por ejemplo, el desplazamiento de un pistón puede
determinarse al sustituir los valores de π y t en la ecuación d = sen π t + cos π t.
En dicha ecuación tenemos:
d = desplazamiento
π = velocidad angular
t = tiempo
Soluciones
Al resolver 3tan x = 3, las soluciones para x son:
a) 0 62 2 10. , .{ } c) π π6
76
,{ }b)
π π4
74
,{ } d) 1 31 2 63. , .{ }
1 Al resolver 2cos θ = 0, la solución para θ es:
a) π π2
32
,{ } c) π π2 4
,{ }b) π , 0{ } d) π π
434
,{ }
3
Al resolver cos 42
2x = , las soluciones para x
son:a) 11 25 191 25. , . { }b) 180 191 25 , .{ }c) 11 25 150 8. , . { }d) 45 315 ,{ }
2 La solución de 2cos x = 3 es
a) π π3
53
,{ } c) π π4
34
,{ }b)
π π6
116
,{ } d) π π2
32
,{ }
4
DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN
Segundo Año - Matemática 97
Lección 1
Actividad 1: 2. 75 + 360 = 435º 75 + 2(360) = 795º 75 – 360 = – 285º 75 – 3(360) = –1005º
4. b) 180º – 150º = 30º d) 360º – 300º = 60º
Actividad 2: 1. a) sen 0º = 0 b) sen 90º = 1 j) tan 90º = ∞ o) cot 180º = –∞Lección 2:
Actividad 1: π2
rad = 90º; 34π rad = 135º ; π rad = 180º, etc.
Actividad 2: 1. a)
Solucionario
d)
2. a) A = 4 b) 22π π= c) −
=
−
= −C
B
ππ4
2 8
y
x-0.25π
0
1
0
2
3
-1
-2
-3
0.5π π 1.5π 2π
y
x0
1
0
2
3
-1
-2
-3
0.25π 1.25π 1.75π0.75π 2.25π
98 Matemática - Segundo Año
Lección 4
Actividad 1: b) Desarrollando cos 23π
asi:
cos 2 = cos π π3 3+
= cos
π3
cos π3
– sen π3
sen π3
c) Desarrollando tan 56
π asi:
tan tan
tan tan
56 2 3
2 3
1
π π π
π π
= +
=
− ttan tanπ π2 3
Lección 5
Actividad 1: 1. cos x = −2
2 está asociado con un triángulo de referencia de
45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son
3
454
π π,
2. b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a θ π=
4 rad y
7
4π
rad, pero como este último valor cae fuera del intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, − 3
4π
también es solución. 4. sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que
2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0 y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0,
lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x = 12
lo que implica x = π π3
53
, , por lo que x = 0, π, π π3
53
,
Solucionario
Segundo Año - Matemática 99
Proyecto
La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar:
a) La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m.
b) A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m
c) Trazar dos periodos de la gráfica.
Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación.
Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1
100 Matemática - Segundo Año
Recursos
BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990
FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991
JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna. Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972
http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal
UNIDAD 5
Segundo Año - Matemática 101
Colofón
UNIDAD 5
102 Matemática - Segundo Año
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