IES DE ORTIGUEIRA PROF: MERCEDES RAMONDE
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO REPASO PARA EL EXAMEN DE SEPTIEMBRE
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 1
Dpto de Matemáticas Curso 2019/20
PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 3º ESO ACADÉMICAS
Los alumnos/as que no hayan superado la asignatura de Matemáticas de 3º ESO en
la evaluación final ordinaria, deberán recuperarla en la evaluación extraordinaria de
septiembre (debe estar pendiente de la publicación de la fecha y hora).
A continuación, se detallan los criterios trabajados desde el principio de curso que
el alumno/a debe recuperar:
1. Resolver problemas numéricos, geométricos, funcionales y estadístico-
probabilísticos de la realidad cotidiana, desarrollando procesos y utilizando leyes de
razonamiento matemático; asimismo, analizar y describir de forma oral o mediante
informes, el proceso seguido, los resultados, las conclusiones, etc., a través del
lenguaje matemático. Además, comprobar, analizar e interpretar las soluciones
obtenidas, reflexionando sobre la validez de las mismas y su aplicación en
diferentes contextos, valorar críticamente las soluciones aportadas por las demás
personas y los diferentes enfoques del mismo problema, trabajar en equipo,
superar bloqueos e inseguridades y reflexionar sobre las decisiones tomadas,
aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.
2. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de
aprendizaje, buscando y seleccionando información relevante en Internet o en
otras fuentes para elaborar documentos propios, mediante exposiciones y
argumentaciones y compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la
interacción. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas para realizar cálculos
numéricos y estadísticos; realizar representaciones gráficas y geométricas y
elaborar predicciones, y argumentaciones que ayuden a la comprensión de
conceptos matemáticos, a la resolución de problemas y al análisis crítico de
situaciones diversas.
3. Utilizar los números (enteros, decimales y fracciones), sus operaciones y
propiedades para recoger, interpretar, transformar e intercambiar información
cuantitativa y resolver problemas de la vida cotidiana. Aplicar la jerarquía de las
operaciones, elegir la forma de cálculo más apropiada en cada caso (mental, escrita,
mediante medios tecnológicos…), valorar críticamente las soluciones obten idas,
analizar su adecuación al contexto y expresarlas con la notación y la unidad de
medida adecuada y según la precisión exigida (aproximaciones por exceso o
defecto, redondeo, truncamiento, notación científica…) calculando el error
cometido cuando sea necesario.
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 2
Contenidos
✓ Significado y uso de las potencias de números racionales con exponente entero.
✓ Aplicación de las potencias de base 10 para la expresión de números muy pequeños.
Operaciones con números expresados en notación científica.
✓ Expresión decimal de raíces cuadradas no exactas.
✓ Transformación de expresiones radicales y operaciones entre ellas.
✓ Transformación de fracciones en decimales y viceversa
✓ Cálculo de la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos.
✓ Operaciones con fracciones y decimales aplicando la jerarquía de operaciones
✓ Cálculo aproximado y redondeo. Cálculo del número de cifras significativas y del error
absoluto y relativo.
4. Utilizar el lenguaje algebraico para operar con expresiones algebraicas y obtener
los patrones; todo ello con la finalidad de resolver problemas contextualizados
mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas, contrastando e
interpretando las soluciones obtenidas, valorando otras formas de enfrentar el
problema y describiendo el proceso seguido en su resolución de forma oral o escrita.
Contenidos
✓ Investigación de regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de
números. Expresión algebraica
✓ Resolución algebraica y gráfica de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
✓ Transformación de expresiones algebraicas. Uso de las igualdades notables. Operaciones
elementales con polinomios.
✓ Planteamiento y resolución de problemas reales mediante la utilización de ecuaciones.
Análisis crítico de las soluciones.
✓ Uso y evaluación crítica de diferentes estrategias para la resolución de ecuaciones.
5. Sucesiones numéricas. Sucesiones recurrentes Progresiones aritméticas y
geométricas.
Contenidos
✓ Obtención de términos de una sucesión dado su término general. Obtención del término
general conociendo algunos términos.
✓ Progresiones aritméticas. Concepto. Identificación. Relación entre los distintos elementos de
una progresión aritmética. Obtención de uno de ellos a partir de los otros.
✓ Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.
✓ Progresiones geométricas. Concepto. Identificación. Relación entre los distintos elementos
de una progresión geométrica. Obtención de uno de ellos a partir de los otros. Suma de
términos consecutivos de una progresión geométrica.
✓ Resolución de problemas de progresiones
6. Funciones
Contenidos
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 3
✓ Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno
cotidiano y de otras materias.
✓ Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la
gráfica correspondiente.
✓ Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y
enunciados.
✓ Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes
ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la
representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
✓ Expresiones de la ecuación de la recta.
✓ Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Utilización para representar situaciones
de la vida cotidiana.
7. Geometría. Geometría del plano y del espacio.
Contenidos
✓ Rectas y ángulos en el plano. Relaciones entre los ángulos definidos por dos rectas que se
cortan.
✓ Lugar geométrico: mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo.
✓ Polígonos. Circunferencia y círculo. Perímetro y área.
✓ Teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales.
✓ Teorema de Pitágoras. Aplicación a la resolución de problemas.
✓ Movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías.
✓ Poliedros, poliedros regulares. Vértices, aristas y caras. Teorema de Euler.
✓ Planos de simetría en los poliedros.
✓ La esfera. Intersecciones de planos y esferas
✓ El globo terráqueo. Coordenadas geográficas y husos horarios. Longitud y latitud de un
punto.
8. Analizar e interpretar la información estadística que aparece en los medios de
comunicación, valorar su representatividad y fiabilidad, y comparar distribuciones
estadísticas. Asimismo, planificar y realizar, trabajando en equipo, estudios
estadísticos sencillos relacionados con su entorno y elaborar informaciones
estadísticas para describir un conjunto de datos mediante tablas y gráficas,
justificar si las conclusiones son representativas para la población, y calcular e
interpretar los parámetros de posición y de dispersión de una variable estadística.
Contenidos
✓ Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Significado y distinción de
población y muestra. Reconocimiento de variables estadísticas: cualitativas, discretas y
continuas.
✓ Métodos de selección de una muestra estadística. Estudio de la representatividad de una
muestra.
✓ Obtención de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. Agrupación de datos en
intervalos.
✓ Elaboración e interpretación de gráficas estadísticas.
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 4
✓ Cálculo, interpretación y propiedades de parámetros de posición.
✓ Cálculo de parámetros de dispersión.
✓ Elaboración e interpretación del diagrama de caja y bigotes.
✓ Interpretación conjunta de la media y la desviación típica.
✓ Planificación y realización de estudios estadísticos. Comunicación de los resultados y
conclusiones.
10. Realizar una estimación de la probabilidad de un suceso asociado a un
experimento aleatorio sencillo, en situaciones de juego o en la vida cotidiana, y
comprobar la estimación realizada mediante el cálculo de probabilidades a partir de
su frecuencia relativa, la regla de Laplace o los diagramas de árbol, identificando los
elementos asociados al experimento. Desarrollar conductas responsables respecto
a los juegos de azar.
Contenidos
✓ Identificación de experiencias aleatorias, sucesos y espacio muestral.
✓ Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace.
✓ Uso de diagramas de árbol.
✓ Significado y aplicación de permutaciones y factorial de un número.
✓ Utilización de la probabilidad para la toma de decisiones fundamentadas en diferentes
contextos.
Para superar el examen de septiembre se recomienda:
• Diseñar un plan de trabajo diario durante los meses de verano.
• Realizar esquemas de las unidades trabajadas.
• Utilizar el libro de texto como material de consulta e internet como recurso.
• Realizar los ejercicios que se proponen en este plan de recuperación y otros
similares a los realizados durante el curso.
Aprovechamos para desearle a todo el alumnado, padres y madres un feliz verano.
Atte: El profesor/a responsable
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 5
Unidad didáctica 1: Números racionales y decimales
Ejercicio: Resuelve las operaciones:
a) [(–7 + 5 – 2) – (6 – 8) + 5] : (–3) = Sol: -1
b) [(–5) · (–3) · 4 + 12] : [–12 – (–3)] = Sol: -8
c) –4 + 6 · (–2 + 5) : (–9) + 2 · 3 = Sol: 0
d) –18 – [4 + (–6)] : 2 + 5 = Sol: -12
e) {[–4 + 6 · (–2 + 5)] : (–7) + 2} · 3 = Sol: 0
f) 18 : [6 – 3 · (–4 : 2 + 1)] – 3 = Sol: -1
g) (–5) – (–9) – 4 · (–3) : (–2) : (–6) = Sol: 5
h) 3 – 6 : 2 · (–3) : [–2 + (–1)] = Sol: 0
i) [(–4 + 6 : 3 + 1)·(6 – 4 : 2) + 8] : (–2) = Sol: -2
j) 2 + 4 : 2 – 3 · (–5) + 6 – 3 : (5 – 2 · 3) = Sol: 28
k) (–2) · [8 – 6 · (–3 + 12 : 2) : (–3) + 1] + (–3) = Sol: -33
l) |– 5 + 2| – 8 : [– 2 + 3 · (– 3 + 1)] + 1 + 6 : (– 2) = Sol: 2
m) 25 : [– 7 – (– 2)] – (– 5) · 4 · |– 2| = Sol: 35
Ejercicio: Calcula la fracción irreducible de:
a) 24
36 b)
60
25 c)
540
320 d)
120
90
Solución:
a) 24
36= ⏟
2412⁄
3612⁄=2
3m.c.d.(24,36) = 12
b) 60
25= ⏟605⁄
255⁄=12
5m.c.d.(60,25) = 5
c) 540
320= ⏟
54020⁄
32020⁄=27
16m.c.d.(540,320) = 20
d) 120
90= ⏟
12030⁄
9030⁄=4
3m.c.d.(120,90) = 30
Ejercicio: Reduce a común denominador: 𝟏
𝟑 , 𝟐
𝟓 ,
𝟏
𝟒 ,
𝟕
𝟔 ,
𝟏
𝟏𝟎
Solución: Como: m.c.m. (3, 5, 4, 6, 10) = 60:
1
3=(60/3=20).1
60=20
60
2
5=(60/5=12).2
60=24
60
1
4=(60/4=15).1
60=15
60
7
6=(60/6=10).7
60=70
60
1
10=(60/10=6).1
60=
6
60 I.E
.S. DE O
RTIGUEIR
A
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 6
Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones:
a) 5
3- (2
5.7
2)-1
3
b) (2
3.5-
3
4) .
7
2
c) (𝟓
𝟒−𝟑
𝟖.𝟒
𝟗)−
𝟒
𝟓. 𝟐
d) 𝟓
𝟑− (
𝟐
𝟓.𝟕
𝟐−𝟏
𝟑)
e) [(−𝟕
𝟑) .𝟒
𝟓−𝟐] .
𝟓
𝟑
f) −𝟑.𝟒
𝟏𝟓− (
𝟕
𝟖. 𝟓 − 𝟗)
g) 𝟒
𝟓−𝟕
𝟐+ [(
𝟑
𝟐)𝟐
+𝟒−𝟏
𝟖]
h) (𝟏
𝟓+𝟕
𝟐)+ [(
𝟑
𝟐−𝟏
𝟕)+ 𝟔𝟑]
i) (−𝟐)𝟑.𝟏
𝟐−𝟓
𝟑+ (−𝟒:
𝟏
𝟖. 𝟑)
j) 𝟐 +(𝟐𝟓−𝟏
𝟑).(𝟑−
𝟏
𝟐)
(𝟐:𝟒
𝟓).(𝟏
𝟑−𝟏
𝟔)+𝟏
𝟒
−𝟐
k) (𝟐
𝟑−𝟏
𝟐).(𝟐−
𝟏
𝟐)𝟐
(𝟏
𝟐:𝟒
𝟑).(𝟏
𝟐−𝟏
𝟒)+𝟏:𝟏
𝟐
Solución:
a) 5
3−(
2
5.7
2) −
1
3=5
3−(
7
5)−
1
3=5
3−7
5−1
3=25−21−5
15=−1
15
b) (2
3. 5 −
3
4) .7
2= (
10
3−3
4) .7
2= (
40−9
12).7
2=31
12.7
2=217
24
c) (5
4−3
8.4
9)−
4
5. 2 = (
5
4−1
6) −
4
5. 2 = (
15−2
12)−
4
5. 2 =
13
12−4
5. 2 =
13
12−8
5=65−96
60=−31
60
d) 5
3− (
2
5.7
2−1
3) =
5
3−(
7
5−1
3) =
5
3−(
21−5
15) =
5
3−(
16
15) =
25−16
15=
9
15=3
5
e) [(−7
3) .4
5−2] .
5
3= [−
28
15−2] .
5
3= [
−28−30
15] .5
3= [
−58
15] .5
3=−58
9
f) −3.4
15−(
7
8. 5 − 9) = −3.
4
15−(
35
8−9) = −3.
4
15− (
35
8−9) = −3.
4
15−(
35−72
8) =
= −3.4
15− (−37
8) = −3.
4
15+37
8=−12
15+37
8=153
40
g) 4
5−7
2+ [(
3
2)2
+4 −1
8] =
4
5−7
2+ [
9
4+ 4−
1
8] =
4
5−7
2+ [
18+32−1
8] =
4
5−7
2+ [
18+32−1
8] =
=4
5−7
2+49
8=32− 140+245
40=137
40
h) (1
5+7
2)+ [(
3
2−1
7)+ 63] = (
1
5+7
2) + [(
3
2−1
7) + 216] = (
2+35
10)+ [(
21−2
14) + 216] =
= (37
10)+ [(
19
14)+ 216] = (
37
10)+ [
19
14+ 216] =
37
10+3 043
14=15474
70=7737
35
i) (−2)3.1
2−5
3+ (−4:
1
8. 3) = (−8).
1
2−5
3+ (−32.3) = −4 −
5
3+ (−96) = −4 −
5
3−96 =
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 7
=−12− 5− 288
3=−305
3
j) 2+(2
5−1
3).(3−
1
2)
(2:4
5).(1
3−1
6)+1
4
− 2 =(2
5−1
3).(3−
1
2)
(2:4
5).(1
3−1
6)+1
4
=(1
15).(5
2)
(5
2).(1
6)+1
4
=16⁄
5
12+1
4
=16⁄
23⁄=1
6.3
2=1
4
k) (2
3−1
2).(2−
1
2)2
(1
2:4
3).(1
2−1
4)+1:1
2=
(1
6).(3
2)2
(1
2.3
4).(1
4)+1:1
2=
1
6.9
4
(3
8).(1
4)+1:1
2=
3
83
32+1:1
2=
3
835
32
:1
2=
=3
8.32
35:1
2=12
35:1
2=12
35. 2 =
24
35
Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones:
a) 1
9+3
9.7
4-1
2.5
6= Sol:
5
18 f) (
𝟗
𝟖−𝟏
𝟒)𝟐
+(𝟓
𝟐+ 2) (𝟏 −
𝟑
𝟒) = Sol:
121
64
b) 𝟐𝟐−6
4:
3
2:
1
3+ (
𝟑
𝟒)𝟐= Sol:
25
16 g)
𝟓
𝟏𝟐+𝟏
𝟑+ [𝟐 − (
𝟑
𝟓+𝟒
𝟔)]− (
𝟏
𝟐)𝟐
= Sol: 37
90
c) 𝟗
𝟏𝟔− √
𝟐𝟓
𝟒+𝟕
𝟐.𝟖
𝟑−𝟓
𝟒:𝟏
𝟑= Sol:
175
48
d) 𝟓
𝟖−𝟑
𝟖.𝟏
𝟗+ (
𝟑
𝟐)𝟐
: 𝟓
𝟒−𝟏 = Sol:
71
24
e) 𝟏𝟕
𝟐+𝟑
𝟐. (𝟑
𝟓)𝟐
−𝟔. √𝟏
𝟒+𝟐 = Sol:
201
25
Problemas de aplicación de fracciones
Ejercicio: En un hotel, la mitad de las habitaciones están en el primer piso; la
tercera parte, en el segundo piso, y el resto, en el ático, que tiene diez
habitaciones. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
Solución: Como entre el 1.er y 2.° piso hay un total de: 1/2 +1/3 =5/6 de las
habitaciones.
En el ático quedan: 1 – 5/6 =1/6 de las habitaciones, que son 10 habitaciones.
En total hay 60 habitaciones.
Así, en el primer piso hay 30 habitaciones, en el segundo, 20 habitaciones y en el
ático 10.
I.E
.S. DE O
RTIGUEIR
A
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 8
Ejemplo: Cada mes, cuando Iván cobra su nómina, separa el dinero de la
siguiente forma:
La mitad para el alquiler de la casa, la cuarta parte del resto para la comida, la
sexta parte de lo que queda para el transporte, y los tres octavos del resto para
otros gastos de la casa.
¿Qué fracción conserva aún a principios de septiembre?
Solución:
Ejemplo: El primer día después del Diluvio se escaparon la mitad de los
animales del Arca de Noé. Al día siguiente, un tercio de los que quedaban, y el
tercer día se escaparon un cuarto de los que aún quedaban. ¿Qué fracción de
los animales que había inicialmente permaneció en el Arca?
Solución:
Ejercicio: Los 3/4 de los empleados de una empresa tienen contrato indefinido;
2/3 del resto tienen contrato temporal, y los demás son eventuales. ¿Qué
fracción suponen los eventuales?
Solución:
La fracción de eventuales es 1/12.
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 9
Ejercicio: Un embalse está lleno a principios de verano. En julio pierde 3/7 de
su contenido, y en agosto, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Qué fracción conserva
aún a principios de septiembre?
Solución:
La fracción que conserva a principios de septiembre es 1/7.
Ejercicio: Obtén la fracción generatriz de:
a) 0,25
b) 10,482
c) 0,0042
d) 12,35̂
e) 7,425̂
f) 14,04̂
g) 0,1�̂�
h) 1,𝟐�̂�
Solución:
a) 0,25 = 25
100=1
4
b) 10,482 = 10482
1000=5241
500
c) 0,0042 = 42
10000=
21
5000
d) 12,35̂ =1235−123
90=1112
90
e) 7,425̂ =7425−74
990=7351
990
f) 0,004̂=4−0
900=
4
900=
1
225
g) 0,16̂=16−1
90=15
90=1
6
h) 1,24̂=124−1
99=123
99=41
33
Ejercicio: Opera utilizando fracciones generatrices:
a) 𝟎,�̂�−𝟎,𝟒�̂�
𝟎,𝟓 b)
𝟏,�̂�−𝟏,𝟐�̂�
𝟎,𝟑 d)
𝟐,�̂�−𝟏,𝟑�̂�
𝟎,𝟓
Solución:
a) 0,3̂-0,47̂
0,5=
3
9-
43
905
10
=-
13
901
2
=-13
45
b) 1,3̂-1,21̂
0,3=
12
9-
109
903
10
=
11
903
10
=11
27
d) 2,3̂−1,32̂
0,5=
21
9−119
905
10
=91
901
2
=91
45
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 10
Ejercicio: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones combinadas
con números decimales:
Para resolver ejercicios con operaciones combinadas hay que tener presente
las mismas normas que usábamos en números enteros:
a) 16,05 x (8 - 4,5) =
b) (36,49 + 4,32 + 18,2) : 3 =
c) 5,007 + 4,32 - 3,073 =
d) 0,4 :(0,6 + 0,2) - 0,3 =
e) 6,05 x 0,02 - 0,001 : 0,5 =
f) 0,58 : 0,29 x 4 - 0,48 x 0,2 =
g) 4,41 : (3,5 + 2,8) + 24,5 =
h) 6,2 x 0,4 + 3,4 x 3,6 =
i) 12,6 + 0,4 - 0,2 x 0,2 =
j) 3,06 :0,2 + 3,8 x 0,5 =
k) 15,04 x 0,6 + 12,6 :6,3 =
l) 4,26 x (9,5 + 3,5) - 6,4 x 3,8 =
m) 6,28 :(2,04 - 1,54) x 2,58 =
Ejercicio: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones combinadas
con números decimales:
a) 23,04 × (9 - 3,5) =
h) 12,4 × 0,6 + 6,8 × 9,2 =
b) (72,36 + 12,18 + 6,3) ÷ 3 =
i) 16,2 + 0,6 - 0,4 × 0,7 =
c) 28,004 + 14,72 - 8,072 =
j) 4,07 ÷ 0,5 + 16,2 ÷ 5,4 =
d) 4,8 ÷ (0,8 - 0,4) - 0,86 =
k) 23,02 × 0,4 + 43,2 ÷ 4,8 =
e) 3,06 × 0,04 - 0,02 ÷ 0,4 =
l) 6,43 × (8,5 + 3,5) - 8,2 × 4,6 =
f) 0,125 ÷ 0,25 × 6 - 0,24 × 0,2 =
m) 4,26 ÷ (3,04 - 2,54) × 4,27 =
g) 8,82 ÷ (2,8 + 3,5) - 26,5 =
n) (2,76+7,24)×0,02+(5,06+7,94)÷0,05=
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 11
Unidad didáctica 2: Potencias y Raíces
Ejercicio: Opera y expresa como potencias de base número primo:
a) 54 . 253
b) 84 . 162
c) 63 . 125
d) 47 . 32
e) (-12)3 . 185
f) (-63)5 . 212
g) 322 . (-24)3
h) -722 . (-4)7
i) 75 : 73
j) 128 : 125
k) (-9)6 : (-9)3
l) (-6)7 : (-6)
Solución:
a) 54 .(52)3 =54 .56=54+5= 510
b) (23)4 . (24 )2= 212.28=212+8 = 220
c) (2.3)3 . (22.3)5=23.33.210.35 = 23+10 . 33+ 5= 213. 38
d) (22)7 . 25 = 214.25= 214+5 = 219
e) (-1)3 . (22 . 3)3 . (2 . 32)5 = (-1) . 26 . 33.25.310 =(-1). 211 . 313= -211 . 313
f) (-1)5 . (32 . 7)5 . (3 .7)2 = (-1) . 310 . 75. 32 . 72=(-1) . 312 . 77
g)( 25)2 . (-1)3 . (23. 3)3 =210. (-1) . 29 . 33= (-1).219. 33= -219. 33
h) (-1)2 . (23 . 32)2 .(-1)7 . (22)7 = 23 . 34.(-1).214=(-1).217.34= -217.34
i) 75-3=72
j) 128-5 =123= (22.3)3=26.33
k) (-9)6-3 = (-9)3 = (-1)3. (32)3=(-1).36= -36
l) (-6)7-1 = (-6)6 = (-1)6(2.3)6=26. 36
Ejercicio: Reduce usando operaciones entre potencias:
a) a2.b
-3.a-5
a5.b-8 b)
x-5.y7.z-3
z . x4 c) a6:(b2.a-2):a2
Solución:
a) a2.b-3.a-5
a5 .b-8 =a-3.b-3
a5.b-8 =a-8.b5
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 12
b) x-5.y7.z-3
z . x4=x-9.y7.z-4
c) a6:(b2.a-2).a2=a8.b-2.a2=a10.b-2
Ejercicio: Simplifica usando operaciones entre potencias, llegando a bases que sean
números primos:
a) 405.(-3)7
102.92.82
b) (−𝟐𝟐)
𝟑.(−𝟒)𝟐
(−𝟐)𝟑.𝟏𝟔𝟐
c) 𝟖𝟐 .𝟖𝟏−𝟐.𝟗𝟑
𝟐−𝟐 .𝟔−𝟐 .𝟒𝟑 .𝟑
d) 𝟑𝟔𝟐.𝟒𝟑 .𝟖𝟐 .𝟑−𝟑
𝟐𝟕𝟐 .𝟐−𝟒 .𝟏𝟐𝟑
e) 𝟐−𝟓 .𝟒𝟑 .𝟏𝟔𝟐.𝟗−𝟑
𝟐𝟕𝟐 .𝟐𝟓−𝟒 .𝟏𝟓𝟔
f) 𝟐𝟒 .𝟒𝟑 .𝟐𝟓𝟐 .𝟐𝟒−𝟑
𝟖𝟏𝟐 .𝟓−𝟒 .𝟏𝟔𝟔
Solución:
a) 405.(-3)7
102.92 .82 =(23.5)
5.(-1.3)7
(2.5)2.(32)2.(23)2=215.55.(-1)7.37
22.52.34.26 =
215.55.(-1)7.37
28.52.34 = (-1)7 .27 .33 .53
b) (−22)
3.(−4)2
(−2)3.162=(−1.22)
3.(−1.22)
2
(−1.2)3.(24)2=(−1)3.(22)
3.(−1)2.(22)
2
(−1)3.23.(24)2=(−1)5.210
(−1)3.211= (−1)2. 2−1 =
1
2
c) 82 .81−2.93
2−2 .6−2 .43 .3=(23)2 .(34)−2 .(32)3
2−2 .(2.3)−2 .(22)3.3=
26 .3−8 .36
2−2 .2−2 .3−2 .26 .3=26 .3−2
22 .3−1= 24. 3−1 =
24
3
d) 362.43.82.3−3
272.2−4.123=(22.32)
2.(22)
3.(23)
2.3−3
(33)2.2−4.(22.3)3=24.34.26.26.3−3
36.2−4.26.33=216 .31
39.22= 214. 3−8 =
214
38
e) 2−5.43.162.9−3
272.25−4.156=2−5.(22)
3.(24)
2.(32)
−3
(32)2.(52)−4.(3.5)6=2−5.26.28.3−6
34.5−8.36.56=
29.3−6
310.5−2= 29 . 3−16. 52
f) 24.43.252.24−3
812.5−4.166=24.26.54.2−9.3−3
38.5−4.224=
21.54.3−3
38.5−4.224= 2−23. 3−11. 58 =
54
311 .223
Ejercicio: Simplifica las siguientes expresiones:
a) 3√20-2√12-2√45+4
5√75
b) 1
3√27-√8-√3+
2
3√18+√2
c) −𝟐√𝟖+ 𝟒√𝟕𝟐− 𝟓√𝟑𝟐
d) 4.√50-3.√8-4.√128+2.√162
e) 3.√245-3.√20-7.√45+2.√3
Solución:
a) 3√20-2√12-2√45+4
5√75=3√22.5-2√22.3-2√32.5+
4
5√3.52=6√5-4√3-6√5+4√3=0
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 13
b) 1
3√27-√8-√3+
2
3√18+√2 =
1
3√33-√23-√3+
2
3√2.32+√2=√3-2√2-√3+2√2+√2=√2
c) -2√8+4√72-5√32=-2√23+4√23.32-5√25=-4√2+24√2-20√2=0
d) 4.√50-3.√8-4.√128+2.√162=4.√2.52-3.√23-4.√27+2.√2.34=20.√2-4.√2-32.√2+18.√2=
=2.√2
e) 3.√245-3.√20-7.√45+2.√3=3.√5.72-3.√22.5-7.√32.5+2.√3=21.√5-6.√5-21.√5+2.√3=
=-6.√5+2.√3
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 14
Unidad didáctica 3: Proporcionalidad numérica
3.1. Regla de tres simple
La regla de 3 simple relaciona dos magnitudes proporcionales. La
proporcionalidad puede ser directa o inversa.
Ejemplo:
Sabemos que por cada 100 gramos de harina hay que echar 10 gramos de cacao.
Podemos aumentar o disminuir las cantidades, pero si queremos seguir la
receta, estas cantidades deben guardar una proporción.
Pensamos: si echásemos el doble de harina de lo que dice la receta, tendríamos
que duplicar también la cantidad de cacao. Y si echásemos el triple de harina de
lo que dice la receta, también habría que triplicar la cantidad de cacao.
Es decir, si la cantidad de harina crece, también debe crecer proporcionalmente
la cantidad de cacao. En este problema, la harina y el cacao son cantidades
directamente proporcionales.
Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple
directa:
Ejemplo:
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 15
Sabemos qué si funcionan 2 casetas, se forman 30 kilómetros de cola en cada
una. Pero, si hubiese abiertas el doble de casetas, y teniendo en cuenta que
habría la misma cantidad de coches en el peaje, ¿habría más o menos coches
por cada caseta? Habría menos coches, porque se repartirían entre más
casetas.
Es decir, si aumenta el número de casetas, disminuye la longitud de la cola de
coches, y viceversa: si hubiese el doble de casetas habría la mitad de cola, y si
hubiese la mitad de casetas, habría el doble de cola. Vemos que estas
cantidades son inversamente proporcionales.
Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple
inversa:
3.2. Regla de tres compuesta
La diferencia de la regla de 3 simple con la regla de 3 compuesta es que en la
primera se relacionan dos magnitudes y en la segunda se relacionan tres o más
magnitudes. Aunque sólo resolveremos problemas con 3 magnitudes, la forma
de resolver los problemas con más magnitudes es la misma.
Ejemplo: Hemos ido a la fuente del pueblo para recoger agua. Sabemos
que 5 botellas de agua, de 2 litros cada una, pesan 10 kilos. ¿Cuánto
pesan 2 botellas de 3 litros cada una?
Solución: Las tres magnitudes que tenemos en el problema son: botellas,
litros y kilos. Escribimos la relación entre ellas sabiendo que:
5 botellas, 2 litros, 10 kilos
2 botellas, 3 litros, X kilos
Ahora tenemos que averiguar la relación entre las magnitudes, comparando
siempre con la magnitud donde esté la incógnita X.
✓ Comparamos botellas con kilos: Si hay menos botellas entonces pesarán menos. Tienen proporcionalidad directa.
✓ Comparamos litros con kilos: Si hay más litros entonces pesarán más. Tienen
proporcionalidad directa.
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 16
Ahora, escribimos las relaciones en forma de fracción para poder despejar la
incógnita X. La primera fracción es donde está la incógnita (esto no es
obligatorio, pero ayuda para después resolverlo). Después, igualamos a la
multiplicación de las dos fracciones:
Y resolvemos:
Podemos despejar la X haciendo los productos cruzados:
2 botellas, de 3 litros cada una, pesan 6 kilos.
Ejemplo: En 4 días, 6 impresoras han impreso 100 libros.
¿Cuántos días tardarán en imprimir 50 libros si tenemos 4
impresoras?
Solución: Las magnitudes que tenemos en el problema son: días, impresoras
y libros. La relación entre ellas es:
4 días, 6 impresoras, 100 libros.
x días, 4 impresoras, 50 libros.
Vemos la proporcionalidad entre las magnitudes:
✓ Si hay que hacer menos libros entonces se necesitan menos
días. Proporcionalidad directa. ✓ Si hay menos impresoras entonces se necesitan más días.
Proporcionalidad inversa.
Ahora, escribimos las relaciones en forma de fracción para poder despejar la
incógnita X. ¡OJO! La magnitud que es inversa debemos invertirla, es decir, el
denominador pasa a ser numerador y el numerador pasa a ser denominador.
Ahora resolvemos como el problema anterior, por el método de los productos
cruzados.
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 17
Para imprimir 50 libros, 4 impresoras tardan 3 días.
3.3. Repartos proporcionales
Ejemplo: Dos socios forman una empresa, para lo cual uno aporta 1.000
euros y el otro aporta 1.500 euros. Al cabo de un año han obtenido un
beneficio de 750 euros. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Solución: Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más aportó
más recibirá:
x=”€ que recibe el socio que aportó 1000 metros”
y=”€ que recibe el socio que aportó 1500 metros”
entonces:
x
1000=
y
1500=
x+y
2500=
750
2500=
3
10 ⇒ {
x
1000=
3
10 ⇒ x=300 €
y
1500=
3
10 ⇒ y=450 €
Ejemplo: Tres obreros cobran 1200 € por construir un camino de 24
metros, sin embargo, no construyeron la misma cantidad cada uno. Juan
construyó 10 metros, Pedro 8 metros y Carlos sólo 6 metros. ¿Cómo
deben repartirse el dinero para que lo que le toque a cada uno sea
proporcional al trabajo realizado?
Solución: Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más trabajó
más recibirá:
x=”€ que recibe Juan que construyó 10 metros”
y=”€ que recibe Pedro que construyó 8 metros”
z=”€ que recibe Carlos que construyó 6 metros”
entonces:
x
10=
y
8=
z
6=
x+y+z
24=
1200
24=50 ⇒
{
x
10=50 ⇒ x=500 €
y
8=50 ⇒ y=400 €
z
6=50 ⇒ z=300 €
Ejemplo: Tres carpinteros, Juan, Alberto y Luis, se encargaron de hacer
6 mesas iguales, por lo que recibieron un total de 600 euros. Juan hizo
una mesa, Alberto hizo 2 mesas y Luis 3 mesas. ¿Cuánto dinero
corresponde a cada uno?
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 18
Solución:
Solución: Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más mesas
hizo más recibirá.
x=”€ que recibe Juan que construyó 1 mesa”
y=”€ que recibe Alberto que construyó 2 mesas”
z=”€ que recibe Luis que construyó 3 mesas”
entonces:
x
1=
y
2=
z
3=
x+y+z
6=
600
6=100 ⇒
{
x
1=100 ⇒ x=100 €
y
2=100 ⇒ y=200 €
z
3=100 ⇒ z=300 €
Ejemplo: Se venden tres máquinas por 1700€, de forma inversamente
proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10, 20 y 50 años
respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?
Solución: Si hacemos común denominador en las fracciones: 1
10,1
20 𝑦
1
50,
tenemos las equivalentes: 10
100,5
100 𝑦
2
100. Trabajamos el reparto directo con los
valores dados por los numeradores: 10, 5 y 2.
Entonces:
x
10=
y
5=
z
2=
x+y+z
17=
1700
17=100 ⇒
{
x
10=100 ⇒ x=1000 €
y
50=100 ⇒y=5000 €
z
20=100 ⇒z=2000 €
Ejemplo: Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, de forma
inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que
son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Solución: Si buscamos las fracciones equivalentes con común denominador a
las inversas: 1
2,1
5 𝑦
1
8, tenemos las equivalentes:
20
40,8
40 𝑦
5
40. Trabajamos el
reparto directo con los valores dados por los numeradores: 20, 8 y 5.
Entonces: I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 19
x
20=
y
8=
z
5=
x+y+z
33=
100
33 ⇒
{
x
20=
100
33 ⇒ x=60,6 €
y
8=
100
33 ⇒y=24,24 €
z
5=
100
33 ⇒z=15,15 €
Ejemplo: Se va a repartir un premio de 940 € entre los 3 porteros de un
equipo, que jugaron la misma cantidad de minutos. El reparto se hará de
forma inversamente proporcional a la cantidad de goles que recibieron.
Juan recibió 10 goles, Pedro recibió 8 y Carlos recibió 6.
Solución: Vamos a calcular cómo repartir, pero lo importante aquí es primero
entender que el reparto será inversamente proporcional, es decir, mientras
más goles recibieron, menos dinero les toca.
Si buscamos las fracciones equivalentes con común denominador a: 1
10,1
8 𝑦
1
6,
tenemos las equivalentes: 12
120,15
120 𝑦
20
120. Trabajamos el reparto directo con los
valores dados por los numeradores: 12, 15 y 20.
Entonces:
x
12=
y
15=
z
20=
x+y+z
47=
940
47=20 ⇒
{
x
12=20 ⇒ x=240 €
y
15=20 ⇒y=300 €
z
20=20 ⇒z=400 €
Ejemplo: Cuatro amigos se reparten 35 pasteles de forma inversamente
proporcional a sus pesos, que son respectivamente 60kg, 80kg, 90kg y 120kg.
¿Cuántos pasteles corresponden a cada uno?
Solución: Volvemos a trabajar con dos magnitudes inversamente proporcionales, ya
que si aumenta el peso disminuimos el número de pasteles. Hacemos entonces un
reparto indirecto o inverso:
1º) Calculamos las fracciones equivalentes con común denominador a las inversas
de las cantidades que nos indican el reparto a realizar, es decir a: 1
60,
1
80, 1
90y
1
120 :
como: {
60=22.3.580=24.5
90=2.32.5120=23.3.5
, entonces: m.c.m (60, 80, 90, 120)=24.3.5=720
así, tenemos las siguientes equivalencias: 1
60=
12
720 ;
1
80=
9
720 ;
1
90=
8
720 ;
1
120=
6
720
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 20
2º) Hacemos reparto directo del total en función de los numeradores obtenidos,
que son en este caso: 12, 9, 8 y 6:
x=”pasteles que recibirá el amigo de 60kg”
y=”pasteles que recibirá el amigo de 80kg”
z=”pasteles que recibirá el amigo de 90kg”
t=”pasteles que recibirá el amigo de 120kg”
Por la relación directa se verifica que: x
12=
y
9=
z
8=
t
6=
x+y+z+t
12+9+8+6=
35
35=1, siendo:
x
12=1
despejando x⇒ x=12 pasteles
y
9=1
despejando x⇒ y=9 pasteles
x
8=1
despejando x⇒ z=8 pasteles
t
6=1
despejando x⇒ x=6 pasteles
Sumamos y verificamos que esta suma es igual a la cantidad de pasteles a repartir.
3.4. Porcentajes
Ejemplo: De los 684 lanzamientos que realizó Alberto, falló 513. ¿Qué
porcentaje de lanzamientos fallidos tiene Alberto?
Solución: Identificamos 684 con el 100%:
Aplicamos una regla de tres:
El porcentaje de lanzamientos fallidos de Alberto es el 75%.
Ejemplo: Lara acertó el 85% de las preguntas del test de inglés. Si el test
tenía un total de 160 preguntas, ¿en cuántas preguntas no acertó?
Solución: Identificamos 160 con el 100%.
Como acertó el 85%, no acertó el 15% porque la suma de aciertos y no aciertos debe
ser el total de preguntas. Por tanto, calculamos el 15% de 160:
Aplicamos una regla de tres:
Lara no acertó 24 preguntas.
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 21
También, podíamos haber calculado el número de preguntas acertadas y restar el
resultado al número total de preguntas.
Ejemplo: El 18% de los árboles del jardín de la plaza mayor son almendros
y el resto son naranjos. Si en la plaza 45 almendros, ¿cuánto árboles hay
en total en la plaza?
Solución: Sólo tenemos que identificar el 18% con 45 para calcular el 100%:
Aplicamos una regla de tres:
En la plaza hay un total de 250 árboles.
Ejemplo: Daniel tenía 260€ en su hucha y en dos meses consiguió ahorrar
otro 55% del dinero que ya tenía. ¿Cuánto dinero ahorró en los dos meses?
Solución: En este problema no queremos saber el total al añadir el 55%, sino calcular
el 55% del dinero inicial:
Daniel ahorró 143€ en esos dos meses.
Ejemplo: La población de una ciudad pasó de 10 millones de habitantes a
9 millones en tan solo un año. ¿Qué porcentaje de decrecimiento
poblacional hubo?
Solución: El número de habitantes inicial es el 100%.
Como el decrecimiento fue de 1 millón, calculamos el porcentaje que representa esta
cifra sobre el total:
Aplicamos una regla de tres:
Hubo un decrecimiento del 10%.
Ejemplo: Camila quiere comprar un abrigo de 320€, pero sólo dispone de
144€, así que tiene pensado esperar a que lleguen las rebajas. ¿Qué
porcentaje de descuento debe tener el abrigo para que Camila pueda
pagarlo?
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 22
Solución: El precio inicial del abrigo es el 100%.
Al aplicar un descuento, el precio debe ser 144€.
Calculamos el porcentaje que puede pagar Camila:
Para que el precio baje hasta el 45%, debe aplicarse un descuento del 55% sobre el
precio inicial del abrigo.
Ejemplo: Silvia se disponía a pagar 20€ por una camiseta, pero la
dependienta le aplicó un descuento que no esperaba, con lo que Silvia
pago sólo 8€. ¿Qué porcentaje de descuento se aplicó?
El 100% es el precio inicial. Calculamos el porcentaje que pagó Silvia:
Como Silvia pagó el 40%, se aplicó un descuento del 60%.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 23
Unidad didáctica 4: Progresiones
4.1. Progresiones aritméticas
Definición:
Ejemplo: Determina si estas sucesiones son o no progresiones
aritméticas:
a) 7, 11, 15, 19, 23, 27,...
b) 10, 7, 4, 1, -2, -5, ...
c) 3, 5, 8, 10, 13, 15, ...
Como:
Vemos por tanto que los dos primeros apartados se tratan de progresiones
aritméticas mientras que el tercero no lo es.
Fórmula del término general de una progresión aritmética:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 24
Ejemplo: Encuentra el término general de esta progresión aritmética:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ... ¿Cuál es el término 12?
1º) El primer término de la progresión aritmética es: a1 = 5
2º) La diferencia es: d = a2 - a1 = 8 - 5 = 3
3º) Por tanto, sustituyendo en la expresión del término general, tenemos
que:
an = a1+ (n - 1)·d = 5 + (n - 1 ) · 3
El término a12 lo obtenemos sustituyendo n=12 en el término general:
a12 = 5 + (12 - 1) · 3 = 5 + 33 = 38
Ejemplo: Sabiendo que a5 = -1 y a9 = 1, calcular el término general de
dicha progresión geométrica.
Al ser una progresión aritmética, el término general es: an = a1 + (n -1)·d.
Sustituyendo los datos del enunciado tenemos:
a5 = -1 ⟶ -1 = a1+(5-1) .d ⟶ -1 = a1+4 d
a9 = 1 ⟶ 1 = a1+(9-1) .d ⟶ 1 = a1+8 d} ⇒⏟
resolviendo el sistema
⇒ a1 = -1-4d
1 = (-1-4 d)+8d} ⇒
a1 = -1-4d
d = 24
=12
} ⇒ a1 = -3
d = 12
}
El término general de la sucesión es: an = - 3 + ( n - 1 ) ·1/2
Ejemplo: El primer término de una progresión aritmética es: 11 y la
diferencia es: -4. ¿Qué lugar ocupa el término an=-45 ? ¿Y el am=- 17 ?
Cómo el término general de la progresión aritmética es: an =11 + (n - 1)·(- 4).
Entonces:
an = -45 ⟶ -45 = 11+(n-1) .(-4) ⟶ -45 = 11-4n+4⟶ n = 604
=15
am = -17 ⟶ -17 = 11+(m-1) .(-4) ⟶ -17 = 11-4m+4⟶ m = 324 =8
El término que vale -45, es el término que ocupa la posición 15 en la
progresión y el término que vale -17, es el término que ocupa la posición 8 en
la progresión.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 25
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión
geométrica:
Ejemplo: Dada la progresión aritmética de término general: an =7+(n-1)·5.
Calcula la suma de los 20 primeros términos.
Cómo la fórmula se la suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética viene dada por:
Sn = (a1+an).n
2⟶ S20 =
(a1+a20).20
2
entonces: a1 = 7+(1-1).5=7
a20 = 7+(20-1).5=102 } ⇒ S20=
(7+20).20
2= 270
Ejemplo: Calcula la suma de los 15 primeros términos de la progresión
aritmética: 6, 10, 14, 20, 24, 30, ...
Cómo la fórmula se la suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética viene dada por:
Sn = (a1+an).n
2⟶ S15 =
(a1+a15).15
2
Necesitamos tener los términos a1 y a15 de la progresión aritmética. Nos van el
primer término de ella, así sabemos que: a1 =6.
Vamos entonces a hallar el término general, para obtener después a 15
La diferencia de esta progresión es cómo dice la teoría, la diferencia entre
dos términos consecutivos, por ejemplo, entre a1 y a2, así: d= a2-a1=10-6=4
diferencia de la progresión.
Por ello, el término general es: an = a1+(n-1)d=6+(n-1)4 → a15= 6+(15-1)4=62 y
tenemos la suma pedida:
Sn = (a1+an).n
2 ⟹ S15 =
(6+62).15
2= 510
Ejemplo: Alicia quiere comprarse una bicicleta, y para ello ahorra la
primera semana 5 € y cada una de las siguientes semanas ahorra 5
€ más que la semana anterior. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo
de 20 semanas?
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 26
Partimos de un ahorro inicial de a1=5€, y además cada semana suma 5€ más, así
d=5, por tanto, tenemos una progresión aritmética de término general:
an = a1+(n-1)d=5+(n-1)5
esta expresión nos daría el ahorro en cada semana n. Si queremos saber cuanto
ahorra en total al llegar a la semana 20, tenemos que sumar el ahorro desde la
semana 1 hasta la 20 incluida. Así:
Sn = (a1+an).n
2 ⟹ S20 =
(a1+a20).20
2
Obtenemos a20: a20= 5+(20-1)5=100 y tenemos la suma pedida:
Sn = (a1+an).n
2 ⟹ S20 =
(a1+a20).20
2=(5+100).20
2= 1050 €
4.2. Progresiones geométricas
Definición:
Ejemplo: Determina si la sucesión dada es una progresión geométrica:
a) 7, 21, 63, 189 ,567, 1701, ...
b) 3, -12 , 48, -192 , 768 , -3072, ...
c) 8, 4, 2, 1 , 1/2 , 1/4 , ...
d) 4, 8, 10, 20, 22, 44, ...
Como:
Vemos por tanto que los tres primeros apartados se tratan de progresiones
geométricas mientras que el cuarto no lo es.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 27
Fórmula del término general de una progresión geométrica:
Ejemplo: Si tienes una progresión geométrica en la que el primer
término vale 4 y la razón es 3. Indica su término general.
Tenemos que: a1 = 4 y r = 3. Usando la fórmula del término general:
an =a1.rn-1 ⟹ an = 4. 3n-1
Ejemplo: Determina los seis primeros términos de una progresión
geométrica si los dos primeros términos son: 2 y 5.
Tenemos que: a1 = 2 y a2 = 5. Usando la definición de progresión geométrica,
sabemos que: a2 = r. a1 , por lo que la razón de la progresión geométrica es:
r=a2
a1=5
2
El término general, según nos indica la teoría es:
an =rn-1. a1 ⟹ an =2.(5
2)
n-1
=5n-1
2n-2
por tanto, los términos de la progresión geométrica que nos piden son:
Ejemplo: El quinto término de una progresión geométrica es: 9 y su
razón es: 3. Calcula el valor del primer término.
Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica
tenemos que:
an =a1. rn-1 ⟹ a5 = a1. 3
5-1 ⟹ 9 = a1. 34 ⟹ 9 = a1. 81 ⟹ a1=
9
81=
1
9
Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión
geométrica:
Ejemplo: Halla la suma de los 10 primeros términos de una progresión
geométrica cuya razón es dos y su primer término es cinco.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 28
Vamos a aplicar la fórmula de la suma de los n términos de la progresión, para
n=10:
Sn =a1. r𝑛− 1
r-1 ⟹ S10 =5.
210-1
2-1=5. 1023= 5115
Ejemplo: Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión
geométrica: ¼, ½, 1, ….
Tenemos que: a1 = 1/4 y a2 = 1/2. Usando la definición de progresión
geométrica, sabemos que: a2 = r. a1 , por lo que la razón de la progresión
geométrica es:
r=a2
a1=12⁄
14⁄=4
2= 2
Así la suma de los 8 primeros términos de la progresión, una vez halla la razón y
el primer término, es:
Sn =a1. r𝑛 − 1
r-1 ⟹ S8 =
1
4.
28-1
2-1=
1
4. 255= 63,75
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 29
Unidad didáctica 5: Lenguaje algebraico
Solución:
Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras (parte literal),
números y signos de operaciones.
• Un número → x
• Su siguiente → x+1
• El doble de su siguiente → 2(x+1)
• El triple de un número → 3x
• El doble de un número menos su mitad → 2x-(x/2)
• La mitad de un número menos cinco → (x/2)-5
• El cuadrado de un número mas su triple → x2 +3x
• Un número mas su anterior → x + (x-1)
• La mitad de un número mas seis unidades →(x/2) + 6
• Un número tres unidades menor que otro → x-3
5.1. Monomios
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 30
Solución:
Suma y resta de monomios semejantes
Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Para sumar o
restar monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja
la misma parte literal.
Solución:
Reducir monomios semejantes
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 31
Solución:
4.2.Polinomios
Suma de polinomios
Para sumar polinomios agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen
la misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 32
Solución:
Resta de polinomios
Para restar polinomios, escribimos entre paréntesis el polinomio que vaya restando,
con un signo menos delante del paréntesis. Quitamos este paréntesis aplicando la
regla de los signos. Agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la
misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 33
Solución:
Producto de un polinomio por un monomio
Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos cada término del
polinomio por el monomio. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de
las x (producto de potencias de la misma base).
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 34
Solución:
Solución:
Solución:
División de polinomios
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 35
Solución: El dividendo y el divisor deben estar ordenados. En este caso ya nos los
dan ordenados.
Se divide el monomio 3x2 entre el monomio x.
El resultado 3x se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de
signo se suma al dividendo.
Se divide -4x entre x.
El resultado -4 se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de
signo se suma al nuevo dividendo (-4x-8). El cociente es 3x-4 y el resto 0. Es una
división exacta.
Comprobar: Dividendo = divisor · cociente + resto
3x2 + 2x -8 = (x+2)· (3x-4) + 0
Solución:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 36
Solución:
Solución:
Cuando al hacer la división nos da de resto cero podemos factorizar el dividendo.
Dividendo = divisor · cociente → (x3-x) = (x2-1)x
4.3. Identidades notables
Cuadrado de una suma
El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el doble
del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 37
Solución:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 38
Cuadrado de una diferencia
El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero menos
el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Solución:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 39
Suma por diferencia
La suma de dos números multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus
cuadrados.
Solución:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 40
Factorizar para obtener la identidad notable
Las igualdades notables las aplicamos para factorizar polinomios y para simplificar
fracciones algebraicas.
Solución:
Simplificar fracciones algebraicas
Cuando tengamos productos notables los factorizamos. Los factores obtenidos
quedan multiplicando en el numerador y en el denominador, si son iguales los
podemos simplificar.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 41
Solución:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 42
4.4.División de polinomios: regla de Ruffini
Aplicamos la regla de Ruffini para dividir polinomios por binomios del tipo x±a.
Obtenemos los coeficientes del cociente y el valor del resto.
Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor
grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.
Ejemplo:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 43
Ejercicios
Solución: El divisor de Ruffini debe ser tipo: x±a, a es un número. En este ejemplo
a=-2.
- Multiplicamos 2 por 1, el resultado 2 lo colocamos debajo del
0 y sumamos.
- Multiplicamos 2 por 2, el resultado 4 lo colocamos debajo del
1 y sumamos. El 5 es el resto.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 44
Solución:
-Multiplicamos -1 (valor que anula el divisor) por el primer
coeficiente del dividendo 1. El resultado -1 se suma al segundo
coeficiente del dividendo.
- Con el valor obtenido -1 se repite el proceso hasta llegar al
final. El último número obtenido 0 es el resto de la división; los
otros números son los coeficientes del polinomio cociente.
3. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de estas divisiones.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 45
Formas de factorizar un polinomio
Para descomponer en factores un polinomio seguimos estos pasos:
1. Sacamos factor común si se puede.
2. Si no, comprobamos si es una ecuación de 2º grado
3. Y si no es ecuación de segundo grado, hacemos Ruffini.
Ejemplo:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 46
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 47
6. Saca factor común e identifica expresiones notables en cada caso:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 48
7. Descompón en factores:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 49
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 50
Para simplificar fracciones, se extrae el factor común del numerador y del
denominador por separado. Luego se simplifican los factores iguales en el numerador
y en el denominador.
UNIDAD DIDÁCTICA 6: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
6.1. Ecuaciones de primer grado
Ojo: Recordad que, para trabajar estas ecuaciones, el orden de las operaciones es
el siguiente:
1º) Eliminamos denominadores.
2º) Operamos los paréntesis.
3º) Situamos las incógnitas en un miembro de la ecuación y en el otro las
constantes.
4º) Despejamos la incógnita.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 51
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. Eliminamos los paréntesis multiplicando sus sendos contenidos por el número que
tienen delante. No hay que olvidar que si el número de delante es negativo, también
hay que cambiar los signos:
En cada lado, sumamos los monomios según su parte literal:
2. Pasamos las “x” a la izquierda y los números a la derecha:
Sumamos los monomios:
Hemos obtenido una igualdad que siempre se cumple: 0 = 0. Esto significa que la
ecuación se cumple siempre, independientemente del valor de x.
Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones (x puede ser cualquier número y hay
infinitos números).
Podemos expresarlo como “x es cualquier real”: x∈R
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
Los números que multiplican a los paréntesis son negativos, con lo que al multiplicar
su contenido por éstos, todos los elementos cambian de signo.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 52
1. Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, que es 6:
De este modo, al efectuar la división, desaparecen los denominadores.
2. Ahora nos deshacemos de los paréntesis: el primero está multiplicado por 3, por lo
que multiplicamos por 3 su contenido; el segundo por -2, por lo que multiplicamos por
-2 (no olvidar el signo):
3. Finalmente, agrupamos las x a un lado y los números al otro:
Tenemos 0 = -2, lo cual es una igualdad falsa. Por tanto, la ecuación no tiene solución
porque sea cual sea el valor de x, llegamos a una relación (igualdad) absurda.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. Como tenemos denominadores, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común
múltiplo de estos, que es 30:
2. Sólo tenemos un paréntesis, que está multiplicado por 15. Para quitarlo,
multiplicamos su contenido por 15:
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 53
Multiplicaremos la ecuación por 2 para eliminar los denominadores:
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. En la ecuación tenemos paréntesis anidados (unos dentro de otros) y
multiplicados por fracciones. Pero antes de ocuparnos de esto, multiplicamos toda
la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 6:
2. Ahora vamos a los paréntesis:
En la izquierda hay dos, pero lo tratamos como si fuera sólo uno. Es decir,
multiplicamos todo su contenido por -2. Al mismo tiempo, en la derecha,
multiplicamos el contenido por 9:
Nos queda un paréntesis, que está multiplicado por 6:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 54
Nota: Resuelve tú las siguientes ecuaciones:
a) 5[2x-4(3x+1)]=-10x +20 c) 5(2x
3-
3x
5) +1=2x-2(x-1)
b) x+4[3-2(x-1)]=5[x-3(2x-4)]+1 d) 1
3=
3
5-x
1+3
5x
6.2. Ecuaciones de segundo grado
Ojo: Recordad que, tenemos que distinguir tres casos. Sea: ax2+bx+c=0, la
ecuación de segundo grado a resolver:
Caso I: Si c=0:
1º) Sacamos factor común: ax2+bx=0 ⇒ x.(ax+ b)=0
2º) Igualamos cada factor del producto a cero y despejamos la incógnita:
x.(ax+b)=0 ⇒ {x=0
ax+b=0 ⇒x=-b
a
Caso II: Si b=0:
1º) Despejamos x2 : ax2+c=0 ⇒ x2=-c
a
2º) Comprobamos el signo de -c
a: {
Si -c
a>0 ⇒ x=±√
-c
a
Si -c
a<0 ⇒ no existe solución real
Caso III: Caso general:
1º) Aplicamos la fórmula de solución de las ecuaciones de 2º grado:
x=-b±√b2-4ac
2a
2º) Comprobamos el signo del discriminante: b2-4ac, de modo que:
o Si b2-4ac > 0, entonces tenemos las dos soluciones reales calculadas.
o Si b2-4ac < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones reales.
o Si b2-4ac = 0, entonces tenemos una única solución real, la denominamos doble.
Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+4x=0
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 55
Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+3x+2 =0
Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: 5x2-20x+15=0
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 56
Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: 2x2+5x+2 =0
Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+1=0
No hay solución real
Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2-2x+2=0
No hay solución real
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 57
Nota: Resuelve ahora las siguientes ecuaciones:
a) 6x2-x-1=0
b) 2x2-11x+5=0
c) (2x-4) 2-2x(x-2)=48
d) 2x2-18=0
e) -x2+12x=0
f) -3x2+5x-9=0
g) (x-1)(x-2)=6
h) (x-1)2
2-(1+2x)2
3=-2-
(2x-1)(2x+1)
3
6.3. Ecuaciones de grado mayor que dos
Ojo: Recordad que, tenemos que:
1º) Sacar factor común, en caso de que sea posible.
2º) Utilizar el método de Ruffini, para hallar las raíces de la ecuación hasta llegar
a una ecuación de 2º grado, que trabajaremos aparte.
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3+3x2-x-3=0
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3+2x2+2x+1=0
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3+3x2-4x-12=0
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 58
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: x3-x2-x+1=0
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: 6x3+7x2-9x+2=0
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: 2x4-5x3+5x-2=0
Ejemplo: Resolver la ecuación siguiente: 8x3-x2+7x-1=0
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 59
Nota: Calcula las soluciones de estas ecuaciones:
a) 6x3-12x2=0
b) (5x2+14)(x2-5x)=0.
c) (x-2)(4x2-8)(x2+3)=0
d) x3-2x2-x+2=0
e) x4 −13x2+36=0
6.4. Ecuaciones bicuadradas
Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado incompleta:
Los números a≠0 y b son los coeficientes y c es el término independiente. Como se trata
de una ecuación de cuarto grado, puede tener hasta cuatro soluciones reales distintas.
Resolución de ecuaciones bicuadradas
1º) Cambiar: 𝑡 = x2 .
2º) Resolver la ecuación de 2º grado que se obtiene.
3º) Deshacemos el cambio de: 𝑡 = x2, despejando el valor de x.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. Cambiamos x2 por t y x4 por t2:
2. Resolvemos la ecuación cuadrática:
3. Calculamos las soluciones de la ecuación bicuadrada haciendo la raíz cuadrada:
Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene 4 soluciones.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. Cambiamos x2 por t y x4 por t2:
2. Resolvemos la ecuación cuadrática:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 60
3. Calculamos las soluciones de la ecuación bicuadrada haciendo la raíz cuadrada:
Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene 3 soluciones.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. Cambiamos x2 por t y x4 por t2:
2. Resolvemos la ecuación cuadrática:
3. Calculamos las soluciones de la ecuación bicuadrada haciendo la raíz cuadrada:
Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene 2 soluciones.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada:
1. Cambiamos x2 por t y x4 por t2:
2. Resolvemos la ecuación cuadrática:
3. Calculamos las soluciones de la ecuación bicuadrada haciendo la raíz cuadrada:
Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene 1 solución.
Nota: Resuelve tú las siguientes ecuaciones:
a) x4 + 2x2+3=0
b) 2x4 -8=0
c) 5x2 = (6+x2)(6-x2)
d) (x-3)(x+3) = (20
𝑥)2
e) (x2+4)(x+4)(x4+2x2-8)=0
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 61
6.5. Ecuaciones irracionales
Ojo: Recordad que, para resolverlas lo que hacemos es:
1º) Despejamos la raíz.
2º) Aplicamos cuadrados a ambos miembros de la ecuación.
3º) Resolvemos la ecuación obtenida.
4º) Ojo: En este tipo de ecuaciones las soluciones deben ser comprobadas
siempre, ya en muchas ocasiones no siempre lo son de la ecuación inicial
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √x+4=7
1. La raíz ya esta despejada en este caso.
2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + 4 = 49
3. Resolvemos la ecuación obtenida: x = 45 entones tenemos la posible solución
4. Comprobación: 45 + 4 = 7
Luego la solución de la ecuación es x = 45
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √3x+1𝟑 = -2
1. La raíz ya está despejada en este caso.
2. Elevamos al cubo ambos miembros: 3x + 1 = - 8
3. Resolvemos la ecuación obtenida : 3x + 1 = - 8 ⇒ 3x = - 9 ® x = -3
entones tenemos la posible solución
4. Comprobación: √3x+13
= -2 ⇒ √-9+13
= -2 ⇒ √-83
= -2
Luego la solución de la ecuación es x = -3
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √x+7=2x-1
1. La raíz ya está despejada en este caso.
2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: x + 7 = (2x-1)2 ⇒ x+7 = 4x2+1-4x
3. Resolvemos la ecuación obtenida: x+7 = 4x2+1-4x ⇒ 4x2-5x-6=0 ⇒ x =5±√52+4.4.6
2.4
⇒
x=2 y x =-3/ 4 son las posibles soluciones
4. Comprobación:
Si x=2: √x+7=2x-1⇒ √2+7=2.2-1, así x=2 es solución
Si x=-3/4: √x+7=2x-1⇒ √-3/4+7≠2.(-3/4)-1, así x=-3/4 no es solución
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 62
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: √x+36= 2 + √𝐱
1. Tenemos despejada una raíz de las dos que intervienen en la ecuación.
2. Elevamos al cuadrado los dos miembros: x + 36 = (2+ √x)2 = 4 + x + 4 √x
3. Volvemos a despejar la otra raíz y operamos:
x + 36 = 4 + x + 4 √x ⇒ -4 √x = -32 ⇒ √x = 8 ⇒ x = 64
4. Comprobación: √x+36= 2 + √x ⇒ √64+36= 2 + √64 ⇒ √100= 2 + 8 ,
cómo se cumple, entonces: x=64 solución de la ecuación.
Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación irracional: x-√25-x2= 1
1. Despejamos la raíz: x-√25-x2= 1 ⇒ √25-x2= x- 1
2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: 25-x2 = (x-1)2 ⇒ 25-x2 = x2+1-2x
3. Resolvemos la ecuación obtenida: 25-x2 = x2+1-2x ⇒ 2x2-2x-24= 0 ⇒ x2-x-12 = 0 ⇒
⇒ x=4 y x =-3 son las posibles soluciones
4. Comprobación:
Si x=4: x-√25-x2= 1 ⇒ 4-√25-42= 1 ⇒ 4-√9= 1 ⇒ 1=1, así x=4 es solución
Si x=-3: x-√25-x2= 1 ⇒ -3-√25-(-3)2= 1 ⇒ -3-√16= 1 ⇒ -7≠1, así x=-3 no es
solución
Nota: Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) x=6-√x
b) x+√5x+10=8
c) √2x+x2-x-2=0
d) 2x-√3x-5=4
Resolución de problemas usando ecuaciones
Para resolver un problema mediante una ecuación, hay que traducir al lenguaje
algebraico las condiciones del enunciado, usando tan sólo una incógnita y después
resolver la ecuación planteada. Comienza por leer detenidamente el enunciado
hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que
te dan. Una vez resuelta la ecuación no te olvides de dar la solución al problema.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 63
Ejemplo: En el colegio de Martín hay un total de 1230 estudiantes (alumnos
y alumnas). Si el número de alumnas supera en 150 al número de alumnos,
¿cuántas alumnas hay en total?
La incógnita x del problema es el número total de alumnas. Como hay 150 alumnas
más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas menos 150. Es
decir, x−150.
El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de
alumnos: x+(x−150)=1230. Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que
es la suma del número de alumnos y del de alumnas.
Resolvemos la ecuación:
x+x−150=1230 → 2x−150=1230 → 2x=1230+150 → 2x=1380 → x=1380/2=690
Por tanto, el número de alumnas es 690.
Ejemplo: Buscar un número positivo x de modo que al sumarlo con su doble
se obtenga el triple de dicho número. ¿Cuántos números x cumplen lo
anterior?
El doble del número x que buscamos es 2x y el triple es 3x. Queremos que la
suma de x y de su doble 2x sea exactamente 3x:
x+2x=3x → 3x=3x → 0 = 0
La ecuación x+2x=3x tiene infinitas soluciones. Es decir, todos los números la
cumplen. Cualquier número positivo más su doble tiene como resultado al triple
de dicho número.
Ejemplo: Una cuerda de 180m se corta en 3 trozos: trozo A, trozo B y trozo
C. Calcular cuánto miden los trozos sabiendo que el trozo B y el trozo C
miden el doble y el triple que el trozo A, respectivamente.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 64
La incógnita x es la longitud del trozo A.
El trozo B mide el doble: 2x.
El trozo C mide el triple: 3x.
La cuerda mide 180m: x+2x+3x=180 → 6x=180 → x=180/6 = 30
El trozo A mide 30 m, el B mide 60 m y el C mide 90 m.
Ejemplo: Se tiene un rectángulo cuya base mide 5 unidades más que la
altura. Calcular la altura y la base del rectángulo sabiendo que su
perímetro es 54m.
La incógnita x es la altura del triángulo. La base mide x+5.
El perímetro del rectángulo es la suma del doble de la altura y del doble de la
base:
2x+2(x+5)=54 → 2x+2x+10=54 → 4x=54−10 → 4x=44 → x=44/4 =11
La altura mide 11m y la base mide 16m.
Ejemplo: Encontrar un número de tres cifras que cumpla:
• la segunda y la tercera cifra son el doble de la primera
• la segunda y la tercera cifra suman 12
El número tiene 3 cifras. Llamamos x a la primera. Entonces, la segunda cifra y la
tercera cifra son 2x.
La suma de la segunda y la tercera cifra suman 12: 2x+2x=12 → 4x=12 →
x=12/4=3
La primera cifra es 3. La segunda y la tercera cifra es 2 ⋅3=6.
Por tanto, el número de 3 cifras buscado es 366.
Ejemplo: La edad de Javier es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años
será el doble. ¿Qué edad tiene el hijo de Javier?
La incógnita x es la edad del hijo. Como la edad Javier es el triple que la del hijo,
su edad es 3x.
La edad que tendrán dentro de 10 años se calcula sumando 10 a las edades
actuales. El hijo tendrá x+10 y Javier tendrá 3x+10.
Además de esto, la edad de Javier será el doble que la de su hijo: 3x+10=2⋅(x+10)
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 65
Resolvemos la ecuación:
3x+10=2⋅x+2⋅10
3x+10=2x+20
3x−2x=20−10
x=10
Por tanto, la edad actual del hijo de Javier es 10.
Ejemplo: Aurora tiene gatos y pájaros en su casa, siendo 24 el número total
de sus patas. Si en total tiene 9 animales, ¿cuántos gatos tiene
Aurora?
La incógnita x es el número de gatos.
Como los animales que no son gatos son pájaros, el total menos el número de
gatos es el número de pájaros. Es decir, el número de pájaros que tiene Aurora
es 9−x.
Como los gatos tienen 4 patas, suman un total de 4x patas.
Como los pájaros tienen 2 patas, el total de patas de pájaros es (no olvidéis el
paréntesis): 2(9−x)
Como el número total de patas es 24, la ecuación del problema es: 4x+2(9−x)=24
Resolvemos: 4x+18−2x=24 → 2x=24−18 → 2x=6 → x=6/2=3
Por tanto, Aurora tiene 3 gatos.
Ejemplo: En un aparcamiento hay el doble de ciclomotores (2 ruedas) que de
triciclos (3 ruedas). Si la suma de las ruedas de todos los
vehículos es 112, ¿cuántos vehículos hay en total?
La incógnita x es el número de triciclos. Entonces, el de
ciclomotores es 2x. El total de vehículos es: 2x+x=3x
Como cada triciclo tiene 3 ruedas y hay x triciclos, el total de ruedas de triciclos
es 3x.
Como cada ciclomotor tiene 2 ruedas y hay 2x ciclomotores, el total de ruedas de
ciclomotores es: 2⋅2x=4x
El número total de ruedas es 112: 3x+4x=112 → 7x=112 → x=112/7=16
El número de triciclos es 16 y el de ciclomotores es 32 (el doble). Por tanto, hay
un total de 48 vehículos.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 66
Ejemplo: Tenemos dos garrafas de agua de la misma capacidad, pero una
de ellas se encuentra al 20% y la otra al 30%. Calcular la capacidad de las
garrafas si tenemos un total de 12 litros de agua.
La incógnita x es la capacidad de las garrafas.
Un porcentaje también es una fracción del total.
El 20% de x es la fracción: (20/100)⋅x
El 30% de x es la fracción: (30/100)⋅x
La suma de estas dos fracciones es 12: (20/100)⋅x+(30/100)⋅x=12
Multiplicamos la ecuación por 100: 20x+30x=1200 → 50x=1200 →
x=1200/50=24
La capacidad de las botellas es de 24 litros (cada una).
Ejemplo: Marta tiene 100€ para realizar una compra. Primero compra unas
zapatillas y luego, con la mitad del dinero que le sobra, compra un
pantalón. Si el precio del pantalón es 10€, ¿cuánto dinero le queda?
La incógnita x es el precio de las zapatillas. Como tiene 100€ y compra las
zapatillas, le quedan: 100−x. Con la mitad de este dinero se compra un pantalón.
Es decir, el precio del pantalón es: (100−x)/2.
Como el precio del pantalón es 10€: (100−x)/2=10
Multiplicamos la ecuación por 2: 100−x=20 → 100−20=x → x=80
Marta tenía 100€ y se gasta primero 80€ y luego 10€. Por tanto, le quedan 10€.
Ejemplo: Daniel se compra unas deportivas con la mitad de su dinero y con
la tercera parte del dinero que le queda se compra una mochila de deporte.
Si en total ha gastado 80 euros, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?
La incógnita x es la cantidad inicial de dinero que tenía Daniel.
Con la mitad del dinero se compra unas deportivas. Así que le queda la otra mitad:
x/2
Con la tercera parte de este dinero se compra la mochila, es decir, se gasta en la
mochila: (1/3)⋅(x/2) = x/6
El dinero gastado en las deportivas más el gastado en la mochila es 80:
x/2+x/6=80
Multiplicamos la ecuación por 6: 3x+x=480 → 4x=480 → x=480/4=120
Daniel tenía inicialmente 120 euros.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 67
Ejemplo: Un tren de alta velocidad tarda 45 minutos en recorrer una
distancia de 240 kilómetros. ¿Cuál es su velocidad?
Escribimos el tiempo en horas para obtener la velocidad en
kilómetros por hora (en lugar de kilómetros por minuto): 45 min = 0.75 h
Como x=v⋅t: 240=v⋅0.75
Despejamos la velocidad: v=2400.75=320km/h
La velocidad del tren es 320km/h.
Ejemplo: Si un avión vuela a velocidad de 1040km/h y tarda 2 horas y 45
minutos en hacer una ruta, ¿cuál es la longitud de la
ruta?
De la fórmula x=v⋅t, conocemos v y t.
Como el tiempo es en horas y minutos, debemos escribirlo solo en horas. Los 45
minutos son: 45min=4560h=0.75h. El tiempo en horas es 2.75h.
Sustituimos en la fórmula: x=1040⋅2.75 = 2860km
Ejemplo: Si Leonardo y Francisco tardan 1h en construir una pared con 750
ladrillos y Francisco trabaja el doble de lento
que Leonardo, ¿cuánto tardarían en construir
la misma pared por separado?
Si Francisco pone x ladrillos en 1h, Leonardo pone
2x porque Francisco es el doble de rápido.
La suma de los ladrillos que ponen debe ser 750: x+2x=750 → 3x=750 → x=750/3 =
250
Por tanto, Francisco pone 250 ladrillos en 1h y Leonardo pone 500 (el doble).
Si la tarea la realizan por separado, cada uno tiene que poner 750 ladrillos.
Como Francisco pone 250 cada hora, tardará 3 horas, ya que: 750/250=3.
Como Leonardo pone 500 cada hora, tardará 1h y 30 minutos (1.5 horas), ya que:
750/500=3/2=1,5.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 68
Unidad didáctica 7: Sistemas de ecuaciones
7.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b,
y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias
incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.
Nosotros trabajaremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Por ejemplo:
Una solución es todo par de números que cumple la ecuación. Es decir, una solución
de un sistema de ecuaciones lineales no es más que un par de valores x e y, de tal
manera que se verifiquen las ecuaciones planteadas.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 69
Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de
soluciones:
• Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son
dos rectas que se cortan en un punto.
• Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son
dos rectas que coinciden.
• Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.
Existen diferentes métodos de resolución:
• Sustitución.
• Reducción.
• Igualación.
Ejemplo 1: Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2,
utilizando los tres métodos:
Método de Reducción
El método de eliminación consiste en realizar la suma o resta de ambas ecuaciones
con la finalidad de que alguna de las incógnitas desaparezca en el resultado de dicha
operación.
Por lo general, es necesario realizar una serie de pasos pertinentes para que ambas
ecuaciones lo permitan.
Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.
Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso
optamos por eliminar a la variable x.
Analicemos: en la Ecuación 1, la variable x viene representada por un 2x. Esto
implica que para eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 2, esta última
debería tener un -2x con el cual cancelarse o eliminarse.
Por lo tanto, es pertinente multiplicar la Ecuación 2 por un factor de -2 de la
siguiente manera:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 70
Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones:
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante:
Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se
resuelve. En este caso elegimos reemplazar en la Ecuación 2:
Método de Igualación
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones. En
este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar la
otra variable:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 71
Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación
con una incógnita:
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita.
Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos expresiones
del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la ecuación 2:
Método de sustitución
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las
ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 2
Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor
de una de las incógnitas:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 72
Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso:
Ojo: Para cualquier método, acabaremos con un paso 5 muy importante:
Paso 5. Verificación de la solución del sistema. Nuestra solución:
Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas
ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:
Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas ecuaciones.
Ejemplo 2: Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2,
utilizando los tres métodos:
{x + y = 7
5x - 2y = -7
Método de sustitución
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las
ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 1:
x+y=7 ec. 1 → x= 7-y
Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. En este caso
sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la x :
5x-2y=-7 ec. 2 → 5.(7-y)-2y=-7
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor
de una de las incógnitas. En este ejemplo, despejamos la y:
35-5y-2y=-7 → 35-7y=-7 → -7y=-7-35 → -7y=-42 → y=-42/-7=6 → y=6
Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso. Por tanto,
utilizamos el valor de y para hallar el valor de x:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 73
x= 7-y → x=7-6=1 → x=1
La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.
Método de Reducción
Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.
Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso
optamos por eliminar a la variable y.
Analicemos: en la Ecuación 2, la variable y viene representada por un -2y. Esto
implica que para eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 1, esta última
debería tener un 2y con el cual cancelarse o eliminarse.
Por tanto, en este ejemplo multiplicamos la Ecuación 1 por 2 de la siguiente manera:
Ec. 1: x+y=7 → multiplicamos por 2 la Ec.1: 2(x+y=7)
Ec. 2: 5x-2y=-7 → no modificamos la Ec. 2: 5x-2y=-7
Así, el sistema se queda:
{2x + 2y = 145x - 2y = -7
Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones. Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos
desaparece:
Ec. 1: 2x + 2y = 14
Ec. 2: 5x - 2y = -7
7x = 7
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría:
7x=7 → x=7/7=1 → x=1
Paso 4. Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra
incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
En este caso reemplazamos el valor de x en la Ecuación 1
Ec. 1: x+y=7 → 1+y=7 → y=7-1=6 → y=6
La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.
Método de Igualación
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones.
En este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar
la otra variable. La despejamos en ambas ecuaciones:
Ec. 1: x+y=7 → x=7-y
Ec. 2: 5x-2y=-7 → 5x=2y-7 → x=(2y-7)/5
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 74
Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación
con una incógnita:
7-y=(2y-7)/5
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita:
7-y=(2y-7)/5 → 5(7-y=(2y-7)/5) → 35-5y=2y-7 → 42=7y → y=42/7=6 → y=6
Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos
expresiones del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la
ecuación 1:
x=7-y → x=7-6=1 → x=1
La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6
Ojo: Para cualquier método, acabaremos con un paso 5 muy importante:
Paso 5. Verificación de la solución del sistema.
Nuestra solución: x=1 e y =6
Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas
ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:
Ec. 1: x+y=7 → 1+6 =7
Ec. 2: 5x-2y=-7 → 5.1 – 2.6 = 5-12 =-7
Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas ecuaciones.
Ejemplo 3: Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2,
utilizando los tres métodos:
{ -10x-5y = 021x-7y = 28
Método de sustitución
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las
ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable y de la Ecuación 1:
-10x-5y=0 ec. 1 → -5y= 10x → y= 10
-5 x → y= -2x
Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. En este caso
sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la y:
12x-7y= 28 ec. 2 → 12x-7. (-2x)= 28
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 75
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor
de una de las incógnitas. En este ejemplo, despejamos la y:
21x-7. (-2x)= 28 → 21x+ 14x= 28 → 35x= 28 → x= 28
35=
4
5 → x =
4
5
Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso. Por tanto,
utilizamos el valor de x para hallar el valor de y:
y= -2x → y= −2.4
5=-
8
5 → y =
− 8
5
La solución de nuestro sistema es: x = 4
5 e y =
− 8
5.
Método de Igualación
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones.
En este caso vamos a elegir despejar la variable y, por ejemplo. La despejamos en
ambas ecuaciones:
Ec. 1: -10x-5y= 0 → -5y = 10x → y = -2x
Ec. 2: 21x-7y = 28 → -7y = 28-21x → y= 28-21x
-7 → y= -4+3x
Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación
con una incógnita:
-2x= -4+3x
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita:
-2x= -4+3x → -2x-3x = -4 → -5x = -4 → x= 4
5
Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos
expresiones del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la
ecuación 1:
y = -2x → y= -2. (4
5) = -
8
5 → y=
− 8
5
La solución de nuestro sistema es: x = 4
5 e y =
− 8
5.
Método de Reducción
Paso 1. Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los
coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Se preparan
las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.
Para ello elegimos arbitrariamente la incógnita queremos eliminar, en este caso
optamos por eliminar a la variable y:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 76
Ec. 1: -10x-5y= 0
Ec. 2: 21x-7y = 28
Multiplicamos la primera ecuación por 1/5 y la segunda por -1/7 para conseguir que el
coeficiente de la incógnita x tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones:
Ec. 1: -10x-5y= 0 la multiplicamos por 1/5 → Ec. 1: -2x-y= 0
Ec. 2: 21x-7y = 28 la multiplicamos por -1/7 → Ec. 2: -3x +y = -4
Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones. Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos
desaparece:
Ec. 1: -2x -y = 0
Ec. 2: -3x +y = -4
-5x = -4
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría: -5x = -4 → x =4
5
Paso 4. Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra
incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de x
en la Ecuación 1:
Ec. 1: -10x-5y= 0 → -10.( 4
5 )-5y= 0 → -5y= 8 → x =−
8
5
La solución de nuestro sistema es: x = 4
5 e y =
− 8
5.
Paso 5. Verificación de la solución del sistema.
Nuestra solución: x = 4
5 e y =
− 8
5.
Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas
ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:
Ec. 1: -10x-5y= 0 → -10( 4
5 )-5. (−
8
5)= 0 se cumple la ecuación 1
Ec. 2: 21x-7y = 28 → 21. ( 4
5 ) – 7( −
8
5) = 28 se cumple la ecuación 2
Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas ecuaciones.
Ejemplo 4: Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2,
utilizando los tres métodos:
{
x
3+
y
5 =
2
7x
2+
y
10 =
3
7
Ojo: Como tenemos denominadores, podemos eliminarlos si queremos
obteniendo un sistema equivalente, más cómodo:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 77
1º) Multiplicamos la primera ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.
Ec. 1: x
3+
y
5 =
2
7 →⏟
↑m.c.m(3,5,7)=3.5.7=105
105 x
3+
105 y
5 =
105. 2
7 → 35x+21y=30 Ec. 1
2º) Multiplicamos la segunda ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.
Ec. 2: x
2+
y
10 =
3
7 →⏟
↑m.c.m(2,10,7)=2.5.7=70
70 x
2+
70 y
10 =
70. 3
7 → 35x+7y=30 Ec. 2
Trabajamos el nuevo sistema equivalente:
{
x3 +y
5 = 27
x2 + y
10 = 37
≈ { 35x+21y=3035x+7y=30
Método de sustitución
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las
ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 1
35x+21y=30 ec. 1 → 35x=30 - 21y → x= 30 -21y
35
Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. En este caso
sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la x :
35x+7y=30 ec. 2 → 35 (30 -21y
35)+7y=30 → (30 -21y)+7y=30
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor
de una de las incógnitas. En este ejemplo, despejamos la y:
(30 -21y)+7y=30 → 30 -21y+ 7y= 30 → -14y= 0 → y = 0
Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso. Por tanto,
utilizamos el valor de y para hallar el valor de x:
x= 30 -21y
35 → x=
30
35=
6
7 → x =
6
7
La solución de nuestro sistema es: x = 6
7 e y = 0.
Método de Igualación
Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 78
En este caso vamos a elegir despejar la variable x, por ejemplo. La despejamos en
ambas ecuaciones:
Ec. 1: 35x+21y=30 ec. 1 → 35x=30 - 21y → x = 30 -21y
35
Ec. 2: 35x+7y=30 ec. 1 → 35x=30 - 7y → x = 30 -7y
35
Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación
con una incógnita:
30 -21y
35=
30 -7y
35
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita:
30 -21y
35=
30 -7y
35 → 30-21y = 30-7y → -21y + 7y = 30 - 30 → -14y = 0 → y=0
Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos
expresiones del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la
ecuación 1:
x= 30 -21y
35 → x=
30
35=
6
7 → x =
6
7
La solución de nuestro sistema es: x = 6
7 e y = 0.
Método de Reducción
Paso 1. Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los
coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Se preparan
las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.
Para ello elegimos arbitrariamente la incógnita queremos eliminar, en este caso
optamos por eliminar a la variable x, ya que tienen directamente el mismo
coeficiente:
Ec. 1: 35x + 21y= 30
Ec. 2: 35x + 7y= 30
Sólo nos queda multiplicar por ejemplo la segunda por -1, para tener coeficientes
iguales pero de distinto signo:
Ec. 1: 35x + 21y= 30 → Ec. 1: 35x + 21y = 30
Ec. 2: 35x + 7y = 30 la multiplicamos por -1 → Ec. 2: -35x - 7y = -30
Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones. Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos
desaparece:
Ec. 1: 35x + 21y = 30
Ec. 2: -35x - 7y = -30
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 79
14y = 0
Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría: 14y = 0 → y = 0
Paso 4. Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra
incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de y
en la Ecuación 1:
Ec. 1: 35x + 21y= 30 → 35x= 30 → x= 30
35=
6
7 → x =
6
7
La solución de nuestro sistema es: x = 6
7 e y = 0.
Paso 5. Verificación de la solución del sistema. Nuestra solución: x = 6
7 e y = 0.
Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas
ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:
Ec. 1: 35x+ 21y= 30 → 35( 6
7 )+c21. (0)= 30 se cumple la ecuación 1
Ec. 2: 35x-7y = 30 → 35. ( 6
7 ) – 7( 0) = 30 se cumple la ecuación 2
Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas ecuaciones.
Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando
cualquier método:
a) { x+6y = 625x+y = 78 solución: x=14, y=8
b) { 2y +5 = xx-y = 51 solución: x=97, y=46
c) { x- y = 20
2x+2y = 172 solución: x=53, y=33
d) { x+ y = 80
5y+9x = 600 solución: x=50, y=30
e) { x- y = 70
2x+2y = 112 solución: x=63, y=-7
f) { x+ y = 50
10x- y = 478 solución: x=48, y=2
g) { x+ y = 15
5x+20y = 210 solución: x=6, y=9
h) { x+ y = 32-2x+y = 8 solución: x=8, y=24
i) { x+ y = 10x- y = 8 solución: x=9, y=1
j) { x+ y = 44
3x+2y = 188 solución: x=100, y=-56
k) { x+ y = 65
4x+ y = 104 solución: x=13, y=52
l) { 4x+3y = 1802x+ 5y = 188 solución: x=24, y=28
m) { x+ y = 50
2x+ 4y = 134 solución: x=33, y=17
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 80
7.2. Sistemas de ecuaciones no lineales
Recordad que, tenemos dos formas para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones y
dos incógnitas:
1ª Forma: Sustitución, seguimos los siguientes pasos:
1. Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y
una variable que sea fácil de despejar).
2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez
que esta variable aparezca.
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la
otra variable.
Ejemplo: Vamos a resolver el sistema no lineal usando sustitución: {x2-y=0
x2+y=18
1. En este caso, ambas ecuaciones tienen la variable y fácil de despejar, lo
hacemos por ejemplo en la primera de ellas: y=x2
2. Sustituimos en la segunda: x2+y=18 ⇒ x2+x2=18 ⇒ 2x2=18 ⇒ x2=9
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación: x2=9 ⇒ x =±3
4. Sustituimos las soluciones del paso 3 en la expresión del paso 1, para
encontrar la otra variable: y=x2⇒ 𝑦 = (±3)2 = 9
Por tanto, soluciones: (3,9) y (-3, 9)
2ª Forma: Reducción, seguimos los siguientes pasos:
1. Multiplicar ninguna, o una, o las dos ecuaciones por una constante para que los
coeficientes de una de las variables sean iguales pero con signo distinto.
2. Restar las ecuaciones para eliminar una de las variables.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Sustituir la solución del paso 3 en una de las ecuaciones originales para
encontrar la otra variable.
Ejemplo: Vamos a resolver el sistema no lineal usando reducción: {x2+y2=58
x2-y2=40
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 81
1. Ya tenemos dos coeficientes iguales con signo distinto para la variable y2.
2. Sumamos las ecuaciones para eliminar la variable y:
Ec. 1: x2+y2=58
Ec. 2: x2-y2=40
2x2=98
3. Resolvemos la ecuación resultante: 2x2=98 ⇒ x2=49 ⇒ x =±7
4. Sustituimos la solución del paso 3 en una de las ecuaciones originales para
encontrar la otra variable, por ejemplo, en la primera ecuación:
x2+y2=58 ⇒ y2=58-x2=58-49 = 9 ⇒ x=±3
Por tanto, soluciones: {(3,7),(3,-7),(-3,7),(-3,-7)}
Ejemplo: Resuelve el sistema no lineal: { 2x+y = 4x2+y = 7
Ejemplo: Resuelve el sistema no lineal: { y-x = 0
2x2+y2 = 147
7.3. Resolución de problemas usando sistemas
Para resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje
algebraico las condiciones del enunciado, usando cómo mucho dos incógnitas y
después resolver el sistema planteado. Comienza por leer detenidamente el
enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los
datos que te dan. Una vez resuelto el sistema no te olvides de dar la solución al
problema.
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 82
Ejemplo: Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es
12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda.
Si x es la primera cifra e y es la segunda, entonces tenemos el sistema:
Resolvemos el sistema por sustitución:
Calculamos x sustituyendo y:
Por tanto, el número es 93.
Ejemplo: Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de
Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la
suya.
Si la edad de Alberto es x y la de su padre es y, sabemos que:
Dentro de 15 años, la edad de Alberto será x+15 y la de su padre será y+15. Si para
entonces la edad del padre es el doble que la de Alberto:
El sistema de ecuaciones es:
Resolvemos el sistema por sustitución. Como tenemos despejada la y en la primera
ecuación, sustituimos en la segunda:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 83
Por tanto, Alberto tiene 10 años.
Ejemplo: La semana pasada compramos berenjenas a un precio de 2,7€/kg y
patatas a un precio de 0,7€/kg pagando por ellas un total de 15,1€.
Sin embargo, esta semana hemos pagado 18€ por una compra con la misma
cantidad de estas hortalizas a un precio de 2€ por kilo de berenjenas y 1,2€ por
kilo de patatas.
Calcular la cantidad de hortalizas que se compran.
Si x e y son las cantidades de berenjenas y patatas, respectivamente, la compra de la
semana pasada puede descomponerse como:
Y la de esta semana como:
El sistema del problema es:
Como en ambas ecuaciones hay números con decimales, las multiplicamos por 10 para
que los números sean enteros y trabajar más cómodamente:
Resolvemos el sistema por igualación despejando la x en las dos ecuaciones para
igualarlas.
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
Igualamos las incógnitas x y resolvemos la ecuación:
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 84
Calculamos la otra incógnita usando alguna de las ecuaciones anteriores:
Por tanto, las cantidades de hortalizas son 3kg de berenjenas y 10kg de patatas.
Ejemplo: Una parcela rectangular tiene un perímetro de 320 m. Si mide el triple
de largo que de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
Llamamos: x al ancho e y al largo
El largo es triple que el ancho: y=3x
El perímetro es 320: 2x+2y=320
El sistema es:
Que resolvemos por sustitución: 2·3x+2x=320 → 6x+2x=320 → 8x=320 → x=40 m
y=3x → y=120 m
La parcela mide 40 m de ancho por 120 m de largo.
Por si quieres practicar:
Ejemplo: Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor
es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.
Solución: 14 y 8
Ejemplo: Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la
diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51 ,¿de qué números se trata?
Solución: 97 y 46
Ejemplo: La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el
perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Solución: 52 y 33
Ejemplo: En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último
examen de matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90
% de los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?
Solución: 50 chicos y 30 chicas
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO
MERCEDES RAMONDE SIXTO 85
Ejemplo: La base de un rectángulo mide 70 dm más que su altura. Si el
perímetro mide 412 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Solución: 138 y 68
Ejemplo: Juan ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha
dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada
respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se
resta un punto, ¿cuántas preguntas ha contestado bien y cuántas ha
contestado mal?
Solución: 48 bien y 2 mal
Ejemplo: Paco tiene en su monedero 210€ en billetes de 5 y 20 euros. Si
dispone de 15 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?
Solución: 6 de 5€ y 9 de 20€
Ejemplo: La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8
años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen
ambos?
Solución: Luisa tiene 8 y Miguel 24 años
Ejemplo: Encontrar un número de dos cifras sabiendo que suman 10 y que si le
restamos el número que resulta al intercambiar sus cifras el resultado es 72.
Solución: 91
Ejemplo: Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro
mide 88cm y que el triple de la base más el doble de la altura es igual a 118.
Solución: La base 30 y la altura 14 cm
Ejemplo: La suma de las edades de Raquel y Luisa son 65 años. La edad de Luisa
más cuatro veces la edad de Raquel es igual a 104. ¿Qué edades tienen ambos?
Solución: Luisa tiene 52 y Raquel 13 años
Ejemplo: En un corral hay gallinas y conejos: si se cuentan las cabezas, son 50,
si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales de cada clase hay?
Solución: 33 gallinas y 17 conejos
[email protected] Avenida da Constitución, S/N 15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |
Modelo 1 de examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:
Ejercicio 1: Operar y simplificar, dando el resultado como fracción irreducible:
[0,3 ̂.(
3
4−
1
2)]∶
2
3
0,3+ 1
5 +
1
4
= (1,5 puntos)
Ejercicio 2:
a) Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de números
primos:
184.25−5.8−8
36−2.153.81−2 (1 punto)
b) Simplifica lo máximo posible:
6. √20 − 5. √180 −1
2. √5 −
1
4. √45 (1 punto)
Ejercicio 3: Un campamento de 30 personas tiene provisiones para 12 días, de 1200
gramos cada provisión. ¿Cuántos gramos tendrá cada provisión si el campamento dura 12 días más y es de 40 personas? (1,5 puntos)
Ejercicio 4: De una progresión geométrica se sabe que dos términos consecutivos
son 54 y 81. Si el primer término de la progresión vale 24, calcular el lugar que ocupa el término de valor 54 en la progresión. (1,5 puntos)
Ejercicio 5:
a) Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 + 2𝑥2 − 2 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 1, calcula: i) 𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)
ii) 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)
b) Aplicar las igualdades notables:
i) (2𝑥 − 4𝑦)2 = (0,25 puntos)
ii) (√2𝑎 − 𝑏)2
= (0,25 puntos)
iii) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (0,25 puntos) iv) 𝑎2 − 𝑏2 = (0,25 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N 15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |
Ejercicio 6: Factoriza los polinomios que aparecen y simplifica todo lo posible:
x3−3x2+3x−1
x2−1.
x+1
x2−2x+1.
x−1
x−1 (2 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |
Modelo 1 de examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:
Ejercicio 1: Operar y simplificar, dando el resultado como fracción irreducible:
(
1
8−
3
4) .
3
4
1+ 1
2
+ 3
4 . (
3
4−
1
8)
2− 1
2
+0,2̂
0,3̂= (1,5 puntos)
Ejercicio 2:
a) Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de números
primos:
(9−4.75−2.8−3
21−3.49−3.98−2)2
(1 punto)
b) Simplifica lo máximo posible:
1
2. √28 −
1
4. √63 +
1
2. √7 −
1
4. √343 + √(√7)
2 (1 punto)
Ejercicio 3: Los tres camareros de la discoteca Ink, Armando, Brasilio y Calixto, han
estado enfermos durante 3, 6 y 9 días respectivamente, durante el mes de noviembre. Como han recibido 275€ de propina durante este mes, la han de repartir de manera inversamente proporcional a los días no trabajados ¿Cuántos euros les corresponden a cada uno? (1,5 puntos)
Ejercicio 4: Para rodar un anuncio se ha contratado a un gran número de personas
que deben colocarse en 51 filas. En cada fila hay dos personas más que en la anterior. En la vigesimosexta hay 57 personas. Averiguar cuántas personas hay en la primera fila, en última y en total. (1,5 puntos)
Ejercicio 5:
a) Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 3𝑥6 + 3𝑥2 − 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥, calcula: i) 𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)
ii) 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) = (0,25 puntos)
b) Factorizar aplicando varias veces la regla de Ruffini:
𝑥5 − 9𝑥4 + 31𝑥3 − 51𝑥2 + 40𝑥 − 12 (1 punto)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |
Ejercicio 6: Factoriza los polinomios que aparecen y simplifica todo lo posible:
x4−2x3+x2
x4−𝑥2 .x−1
x2−2x+1.
x+1
x−1 (2 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |
Examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:
Alumn@: Fecha:
Curso: 2019/2020 Matemáticas 3º ESO Grupo:
• No se permite el uso de calculadora.
• Se debe realizar con bolígrafo y sin usar típex. Los ejercicios realizados con lápiz no se corregirán.
• No sólo se valora el resultado final, también el desarrollo de todos los ejercicios.
Ejercicio 1: Operar y simplificar, dando el resultado como fracción irreducible:
1 + 1
2 . (
2
3−
1
4):
1
6
1+ 1
2+
1
4−
3
8
−1
12⁄
+ 0, 12̂ = (1,5 puntos)
Ejercicio 2:
a) Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de números
primos:
274. 1253. 16−6
28−2. 106. 812 (1 punto)
b) Simplifica lo máximo posible:
7. √98 − 5. √50 + 9. √2 −1
4. √18 (1 punto)
Ejercicio 3: Una profesora de Matemáticas del IES de Ortigueira, desesperada por
las malas notas de sus alumnos, quiere repartir 7300€ entre los tres estudiantes que han quitado las mejores calificaciones, de forma inversamente proporcional a sus edades, las cuales son 12, 14 y 16 ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos? (1,5 puntos)
El examen sigue por detrás
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2, 3, 4 y 5 |
Ejercicio 4: De una progresión aritmética se sabe que 𝑎3 = 7 y 𝑎10 = 21 . Hallar el
término general y la suma de los doce primeros términos. (1,5 puntos)
Ejercicio 5:
a) Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 3𝑥6 + 3𝑥2 − 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥, calcula: i) 𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥) = (0,5 puntos)
ii) 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) = (0,5 puntos)
b) Factorizar el siguiente polinomio utilizando la regla de Ruffini sucesivas veces:
𝑅(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 12𝑥2 − 12𝑥 + 4 (1 punto)
Ejercicio 6: Factoriza los polinomios que aparecen y simplifica todo lo posible:
x3−2x2+x
x2−1.
x2+x−2
x3+2x2+x (1,5 puntos)
Firma del alumn@:
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |
Modelo 1 de examen unidades 1, 2 y 3
Ejercicio 1: Simplifica las expresiones siguientes:
a) 2 +(
2
5−
1
3).(3−
1
2)
(2:4
5).(
1
3−
1
6)+
1
4
− 2 = (1,5 puntos)
b) 0,3̂−0,47̂
0,5= (1 punto)
Ejercicio 2: Dos albañiles, Alberto y Brais, tardan dos horas para hacer un muro. Si
lo hace únicamente Alberto, éste tarda seis horas. ¿Cuánto tardará Brais en hacerlo solo? (1,5 puntos)
Ejercicio 3: Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de
números primos:
82.81−2.93
2−2.6−2.43.3 (1 punto)
Ejercicio 4: Simplifica lo máximo posible las siguientes expresiones:
a) √√√𝑥101. 𝑦202. 𝑧30355
(1 punto)
b) 4. √50 − 3. √8 − 4. √128 + 2. √162 (1 punto)
Ejercicio 5: Escribir en notación científica el resultado de esta operación:
80,2 . 106 + 23,1 . 105 = (1 punto)
Ejercicio 6: Una granja de 30 vacas tiene provisiones de pienso para 24 días, siendo
cada provisión de 12 kg. ¿Cuántos kg tendrá cada provisión si el granjero compra 10 vacas más y quiere que las provisiones le duren el doble de días? (2 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 2 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |
Modelo 2 de examen unidades 1, 2 y 3
Ejercicio 1: Simplifica las expresiones siguientes:
a) (
2
3−
1
2).(2−
1
2)
2
(1
2:4
3).(
1
2−
1
4)+1
:1
2= (2 puntos)
b) 1,3̂−1,21̂
0,3= (1 punto)
Ejercicio 2: De una cuenta bancaria se retira, en primer lugar, 3/7 del dinero y,
posteriormente 3/5 de lo que quedaba. El saldo actual es de 240 €. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente en la cuenta? (1,5 puntos)
Ejercicio 3: Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de
números primos:
(
1
2)
3.(
3
8)
2.92
(1
2)
−2.4−2.
1
3
= (1 punto)
Ejercicio 4: Simplifica lo máximo posible las siguientes expresiones:
a) √√√𝑥28. 𝑦54. 𝑧30333
(1 punto)
b) 3. √245 − 3. √20 − 7. √45 + 2. √3 (1 punto)
Ejercicio 5: Escribir en notación científica el resultado de esta operación:
(2,2 . 106) . (4 . 105) = (0,5 puntos)
Ejercicio 6: Tres dependientes de una zapatería, Antonia, Belén y Carla, han estado
enfermas durante 3, 6 y 9 días respectivamente, en el mes de octubre. Durante ese mes han recibido 275 € de comisiones que se han de repartir de manera inversamente proporcional a los días no trabajados. ¿Cuántos euros le corresponden a cada una? (2 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |
Examen unidades 1, 2 y 3:
Alumn@: Fecha:
Curso: 2019/2020 Matemáticas 3º ESO Grupo:
• No se permite el uso de calculadora.
• Se debe realizar con bolígrafo y sin usar típex. Los ejercicios realizados con lápiz no se corregirán.
• No sólo se valora el resultado final, también el desarrollo de todos los ejercicios.
Ejercicio 1: Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) (
6
7.5
4−
2
7:1
2)
3
(1
2−
1
3.1
4:1
2)
−5
7= (1,5 puntos)
b) 𝑝5. 𝑞−2: (𝑝.𝑞−5
𝑞−6.𝑝4) = (0,5 puntos)
c) 1,51
1,32̂+2,2̂= (1 punto)
Ejercicio 2: En una cesta de manzanas pudren 2/3 y las tiramos, nos comemos las
4/5 del resto y los 25 restantes las usamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta? (1,5 puntos)
Ejercicio 3: Simplifica, expresando el resultado como producto de potencias de
números primos:
362.43 .82.3−3
272.2−4.123 = (1 punto)
El examen sigue por detrás
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Examen de matemáticas 3º ESO unidades 1, 2 y 3 |
Ejercicio 4: Simplifica lo máximo posible las siguientes expresiones:
a) √32. 𝑥5 . 𝑦−10. 𝑧−355 (1 punto)
b) −2. √27 + 3. √75 + √273
(1 punto)
Ejercicio 5: Escribir en notación científica el resultado de esta operación:
22,2 . 1012: 2 . 108 − 1,22. 103 = (0,5 puntos)
Ejercicio 6: (2 puntos) En una Olimpiada Europea de Matemáticas se conceden tres
premios inversamente proporcionales a los tiempos empleados en la resolución de los ejercicios. Los tiempos de los tres primeros concursantes han sido 3, 5 y 6 horas. Calcula cuánto dinero recibe cada uno si hay 42.000 euros para repartir.
Firma del alumn@:
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 1 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 6 y 7 |
Modelo 1 de examen unidades 6 y 7
Ejercicio 1: Indica las soluciones de siguientes ecuaciones:
a) 3
𝑥−
𝑥2+3
𝑥= 𝑥3 (1 punto)
b) 𝑥 − √25 − 𝑥2 = 1 (1 punto)
c) 𝑥3 − 7𝑥 + 6 = 0 (1 punto)
d) 2𝑥4 − 𝑥2 + 1 = 0 (1 punto)
Ejercicio 2: Las dos cifras de un número suman siete y si se invierten de orden se
obtiene otro número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata? (1,5 puntos)
Ejercicio 3: Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60km/h. Dos horas
más tarde sale en su persecución un coche a 100 km/h ¿cuánto tardarán en encontrarse? (1,5 puntos)
Ejercicio 4: Resuelve el sistema lineal usando los tres métodos:
3(𝑥−2)
4+
2(𝑦−3)
5=
2
52(𝑦−4)
3+
3(𝑥−1)
2=
3
2
} (3 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Modelo 2 Examen de matemáticas 3º ESO unidades 6 y 7 |
Modelo 2 de examen unidades 6 y 7
Ejercicio 1: Indica las soluciones de siguientes ecuaciones:
a) 4𝑥
𝑥−3− 2 =
2𝑥
𝑥+1 (1 punto)
b) 𝑥(𝑥 − 3) −𝑥(𝑥−2)
2=
3𝑥2−𝑥
4 (1 punto)
c) √3 − 2𝑥 − 𝑥 = 6 (1 punto)
d) 2𝑥4 − 3𝑥2 − 20 = 0 (1,5 punto)
e) 3𝑥4 − 22𝑥3 − 47𝑥2 + 18𝑥 = 0 (1,5 punto)
Ejercicio 2: En casa de Lucía hay 3 cajas con la misma cantidad de bombones: caja
A, caja B y caja C. Para ahorrar espacio, Lucía reparte de forma equitativa los bombones de la caja C entre las otras dos cajas. Posteriormente, Lucía se come la mitad de los bombones que hay en la caja A. Si en total quedan 27 bombones, ¿cuántos bombones había inicialmente? (2 puntos)
Ejercicio 3: Resuelve el sistema no lineal:
𝑥2 − 𝑦 = 0𝑥 − 𝑦 = 0
} (2 puntos)
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
[email protected] Avenida da Constitución, S/N
15330, Ortigueira
A Coruña Telf: 881930407- 881930414
Examen de matemáticas 3º ESO unidades 6 y 7 |
Examen unidades 6 y 7:
Alumn@: Fecha:
Curso: 2019/2020 Matemáticas 3º ESO Grupo:
• No se permite el uso de calculadora.
• Se debe realizar con bolígrafo y sin usar típex. Los ejercicios realizados con lápiz no se corregirán.
• No sólo se valora el resultado final, también el desarrollo de todos los ejercicios.
Ejercicio 1: Indica las soluciones de siguientes ecuaciones:
a) 2𝑥−4(𝑥−5)
2− 𝑥 =
2(5𝑥−4)
3+ 2 (1 punto)
b) 2 − √2𝑥 + 6 = 𝑥 + 7 (1 punto)
c) 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0 (1 punto)
d) 6𝑥4 + 5𝑥2 + 1 = 0 (1 punto)
Ejercicio 2: (1 puntos) Laura tiene caramelos de fresa, de limón y de menta.
Inicialmente, tiene 5 caramelos más de limón que de fresa y 10 caramelos más de menta que de limón. Durante la semana se come todos los caramelos de fresa, la mitad de los caramelos de limón y la tercera parte de los caramelos de menta. Si ahora le quedan 30 caramelos, ¿cuántos había inicialmente?
Ejercicio 3: Resuelve el sistema no lineal:
𝑥2 − 4𝑥 − 𝑦 = 54𝑥 + 2𝑦 = 6
} (2 puntos)
Ejercicio 4: Resuelve el sistema lineal usando los tres métodos:
3(𝑥−2)
4+
2(𝑦−3)
5=
2
52(𝑦−4)
3+
3(𝑥−1)
2=
3
2
} (3 puntos)
Firma del alumn@:
I.E.S. D
E ORTIG
UEIRA
Top Related