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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
Técnico Superior en Didáctica de la Matemática
Módulo Instruccional
Didáctica de la enseñanza de la Geometría
Nombre del Participante
_______________________
Facilitador
Magister. Abraham González Morales
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
VISIÓN
Ser un Instituto Laboral de excelente proyección social, elevada calidad y reconocimiento nacional en la formación de jóvenes y adultos con innovaciones tecnológicas adecuadas al entorno social y empresarial.
MISIÓN
El Instituto Laboral Nueva Luz es una entidad privada innovadora con proyección social, creada para formar y capacitar jóvenes y adultos con calidad humana, emprendedores con las competencias esenciales para continuar estudios universitarios en cualquier instituto superior pública o privada.
VALORES
Responsabilidad Cooperación Honestidad
Sensibilidad Social Innovación Creativa
Respeto Diversidad Solidaridad
Equidad
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LECTURA REFLEXIVA
IMPORTANCIA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
La enseñanza de la Geometría tradicionalmente ha tenido un enfoque deductivo dándose
prioridad a la memorización de conceptos, teoremas y fórmulas. Estas limitaciones formales,
simbólicas y algebraicas iban en perjuicio de la intuición como una primera manera de
acceder al conocimiento geométrico pues la manipulación, el tacto, la vista y el dibujo deben
permitir al alumno habituarse a las figuras, formas y movimientos de su entorno para
posteriormente establecer las abstracciones precisas. Así pues, se formaban excelentes
calculistas de medida, alumnos teóricos que en el contexto del aula eran capaces de resolver
complicados problemas geométricos pero que en la práctica de la vida cotidiana dudaban
cuando tenían que resolver un problema geométrico elemental. En los contenidos actuales
de la enseñanza-aprendizaje de la Geometría se pretende establecer una serie de destrezas
cognitivas de carácter general que puedan ser utilizadas en muchos casos particulares y que
contribuyen por sí mismas a desarrollar las capacidades del conocimiento de los alumnos.
Estos contenidos se caracterizan por tener una visión práctica del aprendizaje, valorando y
aplicando los alumnos sus conocimientos dentro y fuera del aula. Se pasa de inventar
problemas y de suponer datos sobre la pizarra a resolver ejemplos reales que desarrollen la
creatividad, el ingenio y la iniciativa de los alumnos promoviendo unos contenidos intuitivos
que sienten las bases para su análisis posterior. Estos contenidos potencian también la
elaboración y utilización de estrategias personales que muestran al profesor la manera de
pensar y actuar de sus alumnos, de forma que pueda adaptar o modificar estas estrategias,
cuando sea necesario, para realizar un aprendizaje más preciso y significativo. En este
sentido, la línea general es trabajar la Geometría desde una metodología de resolución de
problemas o una metodología de laboratorio mediante las que el alumno además de realizar
actividades, sobretodo aprende. Estas metodologías, parten de una concepción
constructivista del aprendizaje basada en que aquellos conocimientos construidos por los
propios alumnos son realmente operativos, duraderos y generalizables a diferentes contextos.
Por el contrario, los conocimientos que simplemente se transmiten a los alumnos, no
construidos por ellos, no quedan integrados en sus estructuras lógicas y sólo pueden
aplicarlos en situaciones similares a las del aprendizaje. Es precisamente en la Secundaria
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cuando el profesor debe aprovechar los conocimientos empíricos de los alumnos para
transformarlos en otros más estructurados y rigurosos sin olvidar, en esta etapa, los
planteamientos experimentales pues el alumno todavía puede seguir manipulando y
aprendiendo intuitivamente.
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
CONTRATO DE APRENDIZAJE
Me comprometo a asistir con puntualidad a las sesiones de la materia Didáctica de la
enseñanza de la Geometría.
Participaré activamente en las actividades propuestas en clases, tales como talleres,
presentaciones, charlas.
Utilizaré un lenguaje adecuado en muestra de mi formación y educación integral.
Participaré de los trabajos grupales con esmero y creatividad.
Respetaré las opiniones de mis compañeros.
Desarrollaré mis asignaciones y las entregaré en las fechas establecidas a fin de obtener una
buena evaluación.
Pensamiento
La realización plena de un educador en la vida depende del caudal de información que medie
con sus estudiantes y no de las comodidades efímeras con las que cuente
Abraham González
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Descripción del Curso
El curso Didáctica de la enseñanza de la Geometría está fundamentado en el desarrollo de la
teoría sobre el significado e importancia de la enseñanza de la Geometría mediante estrategias
innovadoras que permitan al estudiante interactuar de manera efectiva en la enseñanza de
ésta asignatura
El módulo contiene una amplia teoría sobre las demostraciones y sus aplicaciones en el
ámbito escolar, de tal manera que al leerla podrás actualizar tus conocimientos y así poner
en práctica lo aprendido
El curso está diseñado para que de manera autodidáctica también puedas profundizar durante
las sesiones no presenciales.
Las actividades propuestas te ayudarán a comprender y verificar lo que has aprendido en el
desarrollo de la asignatura.
Usaremos la evaluación formativa (puntualidad en la entrega de las asignaciones) y sumativa
mediante la evaluación del contenido de los talleres y las tareas asignadas.
La evaluación del curso será de la siguiente forma
Asistencia (visita puntual a la plataforma y reuniones …………………………….10%
Talleres ( 3 ) 10% cada uno………………………………………………………...30%
Trabajo en casa ( 2 tareas, # 1, 13%, # 2, 12% )…………………………………..25%
Prueba final…………………………………………………………………………35%
Total………………………………………………………………………………..100%
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Orientaciones generales para el estudio y desarrollo del
módulo
El módulo está estructurado de tal forma que los contenidos se puedan entender de forma
clara y precisa, con el propósito de que tu aprendizaje sea significativo con miras a lograr los
objetivos establecidos.
Entre las recomendaciones para que logres este aprendizaje te podemos señalar las siguientes.
El desarrollo del módulo se hará en cuatro sesiones, según el cronograma establecido por el
Instituto de Educación Superior Nueva Luz, para alcanzar los objetivos señalados en el
módulo es importante que administres tu tiempo de forma correcta, lo cual debes hacer con
la responsabilidad debida.
Te recomendamos el uso de técnicas de estudio tales como: resúmenes, subrayados,
conversatorios heurísticos, lectura comprensiva, análisis crítico entre otras
Al final del módulo se presentan las actividades que debes realizar para cumplir con el
proceso de evaluación
Para tus consultas me puedes escribir al correo: [email protected] o llamar
al celular 6284 – 1415, también mediante la plataforma virtual y los teléfonos de la institución
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Evaluación
Este curso cuya modalidad es a distancia/virtual, es decir que no existirá contacto personal
con el facilitador, es por ello que se proponen actividades para realizar con el apoyo del
módulo. Te recomendamos que puedes profundizar los conceptos que tu así lo decidas en los
diferentes medios para hacerlo.
Cada actividad tiene una fecha de entrega las cuales han sido establecidas de manera tal que
cubran las cuatro semanas que demora el curso, las actividades ( talleres, tareas ) las
encontrarás al final del módulo con los detalles y fecha de entrega al igual que los criterios
de evaluación de cada una de ellas
Realizaremos dos reuniones vía web, haciendo uso del meet, las cuales tendrán el siguiente
horario:
1. Domingo 14 de marzo de 2021
1. Hora: de 8:00 a.m – 10:00 m
2. Temas a tratar
a. Importancia de la enseñanza de la Geometría
b. Experiencias personales
c. Aplicabilidad en las clases virtuales
3. Aclarar dudas e información sobre las actividades asignadas
2. Domingo 28 de marzo de 2021
1. Hora: de 8:00 a.m – 10:00 m
2. Temas a tratar
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a. Estrategias innovadoras, juegos y programas interactivos
b. Experiencias personales
c. Aplicabilidad en las clases de Geometría
3. Aclarar dudas e información sobre las actividades asignadas
4. Indicaciones para la prueba final
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Instituto de Educación Superior Nueva Luz
Técnico Superior en Didáctica de la Matemática
Curso: Didáctica de la Enseñanza de la Geometría
Modalidad: Virtual y modalidad a distancia
Duración: 4 sesiones (domingos)
Objetivo General
Utilizar herramientas didácticas para desarrollar la geometría y poderlas trasmitirla a los
estudiantes
Objetivos Específicos
✓ identificar los tipos de conceptos geométricos.
✓ Comprender la necesidad de realizar programaciones de aula, adaptadas al
grupo-clase para poder desarrollar la geometría.
✓ Desarrollar habilidades necesarias para reconocer los aspectos relacionados
con la geometría.
✓ Desarrollar un pensamiento crítico y reflexivo, para reconocer los aspectos
primordiales que influyen e intervienen en el desarrollo de la geometría al
momento de trasmitir esos conocimientos a los estudiantes.
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Índice
Misión, visión, valores del Instituto Superior Nueva Luz…………………………...…. 2
Lectura reflexiva…………………………………………………………………….…. 3
Contrato de aprendizaje y pensamiento………………………………………………... 5
Descripción del curso..…………………………………………………………............ 6
Orientaciones generales para el estudio y desarrollo del módulo……………………... 7
Evaluación……………………………………………………………………………… 8
Objetivos…………………………………………………………………………….…. 10
Didáctica de la Geometría y su importancia………………………..……………..…… 12
Materiales didácticos concretos para la Geometría de séptimo grado…………………. 14
Principios de la enseñanza de la Geometría…..…………….……….…………………. 15
Habilidades esperadas en la enseñanza de la Geometría……………………………….. 18
Grupo de materiales didácticos usados en la Geometría……………….………………. 22
Taller 1…………………………………………………………………….………....… 36
Tarea 1………………………………….……………………………………….……… 37
Taller 2 …………………………………………….…………..…………….………… 38
Taller 3………………………………………………….……………………………… 39
Tarea 2…………………………………………………………….…………………… 40
Trabajo final…….……………………………………………………………………. 41
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DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Y SU IMPORTANCIA
Es de interés internacional el problema de la enseñanza de la Geometría, de tal manera
la preocupación por mejorar la enseñanza de esta asignatura. Los resultados didácticos
obtenidos no son del todo halagadores, de este modo, podemos destacar las siguientes
carencias en la enseñanza de la Geometría:
1. Ausencia de generalización.
2. Desaparición de métodos de razonamiento propios de esta rama de las matemáticas.
3. Predominio prácticamente total de la geometría métrica.
4. Olvido de otros tipos de geometría.
5. Inexistencia de clasificaciones al nivel de las figuras elementales que crea un estado
de inseguridad a la hora de establecer relaciones intrafigurales entre los elementos
geométricos e incluso transfigurales al nivel de consideración de estructuras más
globales.
6. Aritmetización de la geometría al limitarse muchas veces la enseñanza – aprendizaje
de la misma a un cálculo incosciente sobre fórmulas justificadoras de todo el
entramado geométrico elemental.
7. Generación de un lenguaje pseudo – científico.
¿Cuáles son las posibles causas que nos llevan a esta situación?
1. El diseño curricular adolece de indeterminación casi siempre y, en ciertas ocasiones,
de falta de rigor en el planteamiento o estructuración de los conceptos geométricos,
contribuyendo a la confusión lingüística y conceptual denunciada.
2. Los manuales escolares, imponen una concepción de la geometría en la que se ha
operado una transposición didáctica claramente reduccionista y generadora de efectos
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ligados al contrato didáctico. La geometría que se observa en estos manuales no se
encuentra sobre todo sostenida por una base espacial suficientemente sólida.
3. La adopción del libro de texto como elemento determinante del currículo, determina,
en la mayoría de las ocasiones un agravamiento de la visión simplista propuesta de
antemano, con la consiguiente generación, en el alumno, de cláusulas implícitas en
el contrato didáctico que el docente no habrá imaginado jamás que llegaran a
generarse.
4. La ausencia carencial o intencionada de materiales didácticos específicos para la
construcción de los conceptos geométricos se convierte en una fuente inagotable de
obstáculos didácticos que convierten e aprendizaje de esta materia en algo falto de
consistencia y rigor.
5. El cambio brusco que se produce respecto a la introducción del espacio que se hace
en educación infantil, lo que genera la falta de una base fuerte de geometría que debe
constituir una buena construcción previa del espacio.
¿Qué podemos hacer?
Así como mencionamos algunas de las principales causas de que no exista un buen
aprendizaje de la geometría, señalamos algunas posibles soluciones. Claro está que no
tenemos soluciones mágicas, pero podemos analizar las siguientes:
1. Una geometría dinámica frente a una geometría estática tradicional.
2. Una geometría interfigural e intrafigural frente a una geometría exfigural propia de
una enseñanza tradicional.
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3. Una geometría que tenga en cuenta el carácter deductivo intrínseco al razonamiento
geométrico pero también un carácter inductivo que pueden generar los diversos
procesos o materiales propuestos para el desarrollo de la misma.
4. La geometría caracterizada por los grupos invariantes ( topológicos, proyectivos o
métricos ) considerados de antemano, sin establecimiento de prelación alguna en las
secuencias didácticas organizadas al efecto.
5. Una geometría fundada en procesos de percepción, de representación, de
construcción, de reproducción y de designación de los entes geométricos
considerados en cada caso.
Proponemos para el cambio el uso de materiales diversos tales como: poliminós,
geoplanos, tangrams, tiras de mecano, policubos, programas educativos (CABRI, GEO
GEBRA)
Materiales didácticos concretos en Geometría en séptimo año
En este módulo se propone identificar y caracterizar los materiales didácticos concretos que
pueden utilizarse en la enseñanza de los contenidos geométricos en séptimo grado de la
Educación Secundaria. Además, interesa reconocer las habilidades geométricas que tales
materiales permiten desarrollar al ser aplicados. Se distinguen siete grandes grupos de
materiales: modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas geométricos, tangram, geoplano,
transformaciones dinámicas, origami o papiroflexia, objetos del entorno real. Los mismos,
dependiendo de la intencionalidad didáctica, favorecen el desarrollo de variadas habilidades
geométricas. Sobre esto, surgen los siguientes interrogantes: ¿Cuáles son los materiales
didácticos concretos que se pueden utilizar para la enseñanza de los contenidos geométricos
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en séptimo grado de la Educación Secundaria (alumnos de 13 años de edad)? ¿Qué
habilidades geométricas permite desarrollar la utilización de estos materiales?
La Educación Matemática Realista refleja un determinado punto de vista sobre la Matemática
como asignatura, sobre cómo la aprenden los estudiantes y sobre cómo deberían enseñarla
los docentes. Es posible caracterizar esta perspectiva en términos de seis principios donde
cada uno refleja una parte de la identidad de la enseñanza de la Geometría
PRINCIPIOS DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
Principio de actividad:
Los alumnos aprenden Matemática haciendo y son tratados como participantes activos en el
proceso educativo, donde desarrollan toda clase de herramientas y discernimientos
matemáticos por sí mismos.
Principio de realidad.
Resulta fundamental el uso de contextos y situaciones realistas, en el sentido de realizables
o imaginables, no sólo como dominio de aplicación, sino también y sobre todo como punto
de partida para la matematización.
Principio de niveles.
Al aprender Matemática los estudiantes pasan por diversos niveles de comprensión:
capacidad para inventar soluciones informales relacionadas con un contexto (nivel
situacional), creación de diversos niveles de atajos y esquematizaciones (nivel referencial),
desarrollo mediante la exploración, reflexión y generalización de las esquematizaciones,
superando la referencia al contexto (nivel general), adquisición de una comprensión de los
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principios subyacentes y el discernimiento de relaciones más amplias (nivel formal). La
génesis y el desarrollo de modelos matemáticos a partir de la organización de situaciones
realistas cumplen la función de puentes entre los distintos niveles (de informales a formales)
de matematización.
Principio de reinvención guiada.
Se trata de un proceso de aprendizaje por medio del cual el conocimiento matemático formal
en sí mismo puede ser reconstruido. La Educación Matemática, mediante los profesores, debe
dar a los estudiantes una oportunidad de re-inventar la Matemática.
Principio de interrelación.
Resolver problemas de contexto rico suele involucrar la aplicación de una amplia variedad
de herramientas matemáticas. La fuerte interrelación de los distintos ejes y unidades
curriculares da una mayor coherencia a la enseñanza desde la Educación Matemática Realista
y posibilita distintos modos de matematizar las situaciones.
Principio de interacción.
Se considera al aprendizaje de la Matemática como una actividad social, donde los
estudiantes dan a conocer, unos a otros, sus estrategias e inventos. Al escuchar lo que otros
averiguan y comentar estos hallazgos, los estudiantes nutren sus ideas y mejoran sus
estrategias. La interacción lleva a la reflexión de los alumnos, favoreciendo así una
comprensión más profunda.
La Geometría sólo puede tener sentido si explota su relación con el espacio vivenciado. Si el
educador elude este deber, desperdicia una ocasión irrecuperable. La Geometría es una de las
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mejores oportunidades que existen para aprender a matematizar la realidad. Es una ocasión
única para hacer descubrimientos. Los descubrimientos realizados por uno mismo, con las
propias manos y con los propios ojos, son más convincentes y sorprendentes.
Hasta que de alguna forma se puede prescindir de ellas, las figuras espaciales son una guía
indispensable para la investigación y el descubrimiento.
En el Séptimo grado de la Educación Secundaria se requiere desarrollar las ideas de formas
geométricas y favorecer al máximo la intuición espacial, apuntando hacia una imaginación
de formas espaciales originales que trascienda la mera identificación de figuras y cuerpos
regulares.
Lo anterior se pretende lograr a través del reconocimiento, la producción, el análisis y la
construcción de figuras y cuerpos geométricos, argumentando en base a propiedades, en
situaciones problemáticas que requieran: determinar puntos que cumplan condiciones
referidas a distancias y construir circunferencias, círculos, mediatrices y bisectrices como
lugares geométricos; explorar diferentes construcciones de triángulos y argumentar sobre
condiciones necesarias y suficientes para su congruencia; construir polígonos utilizando regla
no graduada y compás, a partir de diferentes informaciones, y justificar los procedimientos
utilizados en base a datos o propiedades de las figuras; formular conjeturas sobre las
relaciones entre distintos tipos de ángulos a partir de propiedades del paralelogramo y
producir argumentos que permitan validarlas (opuestos por el vértice, adyacentes y los
determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal); analizar afirmaciones
sobre propiedades de las figuras y argumentar su validez, reconociendo los límites de las
pruebas empíricas.
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A la enseñanza de la Geometría se puede acceder por dos vertientes: lógica-racional, la cual
define a la Geometría como una teoría axiomática que se desarrolla bajo leyes rigurosas de
razonamiento deductivo, o la más intuitiva y experimental, basada en la búsqueda,
descubrimiento y comprensión por parte del sujeto que aprende de los conceptos y
propiedades geométricas en función de explicarse aspectos del mundo en que vive (Bressan,
Bogisic y Crego, 2000). La más cercana a las posibilidades y necesidades cognitivas de los
alumnos de la Educación Secundaria es la segunda. Asimismo el docente debe saber que su
meta en este nivel es crear las condiciones para que el alumno pueda avanzar, en estudios
posteriores, hacia la primera.
La enseñanza de la Geometría debe orientarse al desarrollo de habilidades específicas. Según
Hoffer (1981), las habilidades básicas que una buena enseñanza de la Geometría debería
ayudar a desarrollar son clasificadas en cinco áreas: visuales, de comunicación, de dibujo y
construcción, lógicas o de razonamiento y de aplicación o transferencia.
HABILIDADES ESPECÍFICAS EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
1. Habilidades visuales: Visualizar implica tanto representar lo mental a través de formas
visuales externas como representar a nivel mental objetos visuales. El proceso de
visualización requiere de dos tipos de habilidades globales: captación de representaciones
visuales externas y procesamiento de imágenes mentales. A su vez, comprende siete
habilidades específicas que son consideradas como básicas: coordinación visomotora,
percepción figura-fondo, constancia perceptual o constancia de forma tamaño y posición,
percepción de la posición en el espacio, percepción de relaciones espaciales entre objetos,
discriminación visual y memoria visual. Muchos conceptos en Geometría no pueden ser
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reconocidos y comprendidos a menos que el estudiante pueda percibir visualmente ejemplos
e identificar figuras y propiedades por asociación con conocimientos previos. El proceso de
aprendizaje de la Geometría requiere de la capacidad de distinguir las características
esenciales de una configuración particular que aparece dibujada en concreto o mentalmente,
a partir de las características accidentales o irrelevantes. Resulta sumamente importante dar
a los alumnos variedad en los estímulos visuales para que puedan generalizar sus imágenes
y conceptos acerca de las propiedades geométricas, dejando de lado los aspectos no
matemáticos e irrelevantes para el problema planteado (Bressan, Bogisic y Crego, 2000).
2. Habilidades de comunicación: Abarcan la competencia del alumno para leer, interpretar
y explicar, en forma oral y escrita, información (en este caso geométrica), usando el
vocabulario y los símbolos del lenguaje matemático en forma adecuada. Habilidades de
comunicación son: escuchar, localizar, leer e interpretar información geométrica presentada
en diferentes formas, así como denominar, definir y comunicar información geométrica en
forma clara y ordenada, utilizando los lenguajes natural y simbólico apropiados. Resulta
esencial que los alumnos y el docente analicen diversos significados e interpretaciones de las
palabras, frases y símbolos, de manera que cada uno sepa claramente lo que el otro entiende
y quiere decir al utilizar determinadas expresiones lingüísticas. De allí la necesidad de que el
docente interprete el vocabulario que usan sus alumnos, pero al mismo tiempo tienda a
mejorarlo y rigorizarlo, proveyéndoles de mejores herramientas para expresar sus
pensamientos.
3. Habilidades de dibujo y construcción: Están ligadas a las de uso de representaciones
externas, como son: una escritura, un símbolo, un trazo, un dibujo, una construcción, etc.,
con las cuales se puede dar idea de un concepto o de una imagen interna relacionada con la
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Matemática. Estos conceptos e imágenes de los que trata la Matemática son objetos mentales
con existencia real pero no física. Ni los cuerpos que confeccionamos ni las figuras que
dibujamos son las “figuras geométricas” de las que trata la Geometría. Son sólo modelos más
o menos precisos de las ideas que tenemos respecto de ellas. Las representaciones o modelos
geométricos externos confeccionados por el docente o realizados por los propios alumnos no
sólo sirven para evidenciar conceptos e imágenes visuales internas, sino también se
constituyen en medios de estudio de propiedades geométricas, sirviendo de base a la intuición
y a procesos inductivos y deductivos de razonamiento. En su aprendizaje de la Geometría,
los alumnos deben desarrollar habilidades de dibujo y construcción relacionadas con: la
representación de figuras y cuerpos, la reproducción a partir de modelos dados y la
construcción sobre la base de datos dados. El docente ha de tener especial cuidado al
representar conceptos geométricos, ya que a menudo representaciones únicas o demasiado
imprecisas suelen conducir a errores.
4. Habilidades lógicas o de razonamiento: Están relacionadas con las habilidades
necesarias para desarrollar un argumento lógico. Habitualmente en Matemática, cuando se
habla de razonamiento se hace referencia al razonamiento lógico. Las habilidades lógicas a
desarrollar con el estudio de la Geometría en el período escolar de interés son: abstracción
de características o propiedades de las relaciones y de los conceptos geométricos; generación
y justificación de conjeturas; argumentación; formulación de contraejemplos; seguimiento
de una serie de argumentos lógicos; realización de deducciones lógicas. Reconociendo que
las habilidades lógicas son relevantes en el desarrollo del razonamiento matemático, no
pueden dejarse de lado las habilidades de creación, como por ejemplo: crear, inventar,
imaginar, intuir situaciones, explorar y descubrir conceptos, regularidades y relaciones.
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5. Habilidades de aplicación o transferencia: Se espera que los alumnos sean capaces de
aplicar lo aprendido no sólo en el mismo contexto geométrico, sino también que modelen
geométricamente situaciones del mundo físico, de otras disciplinas o de la vida misma. Al
aprender Geometría los alumnos están en condiciones de desarrollar habilidades de
aplicación o transferencia relacionadas con: sensibilización acerca de los aspectos visuales y
geométricos del mundo que los rodea; interrogación acerca de por qué las cosas tienen esa
forma o guardan tal o cual relación; representación, descripción y explicación de ideas o
imágenes en términos geométricos (verbales, visuales o simbólicos); análisis de
representaciones para ver si se ajustan al concepto, imagen o problema planteado. Tishman,
Perkins y Jay (1995) sostienen que si no existe una transferencia rica y plena de lo que los
alumnos aprenden, la educación no cumple su deber. Sin transferencia no existe un proceso
rico de aprendizaje sino yuxtaposición de conocimientos fragmentados, aplicables sólo a
casos particulares y previsibles. Aprender a transferir o aplicar conocimientos, estrategias y
actitudes de un contexto en otro y a buscar relaciones entre ellos es un proceso que hay que
enseñar, ya que por lo general no se realiza de manera espontánea. Son recursos para enseñar
a transferir: la búsqueda de analogías y generalizaciones entre situaciones y formas de
solución; el uso de distintas estrategias para un mismo problema; el descubrimiento de
aplicaciones de un contenido en diferentes contextos; el establecimiento de relaciones entre
lo que se conoce informalmente y lo que se trata en la clase; etc.
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Grupos de materiales didácticos concretos que pueden ser utilizados en la enseñanza
de los contenidos geométricos de Séptimo grado de la Educación Secundaria
1. Modelo 1. Modelos fijos 2D y 3D
Modelos fijos 2D y 3D: Bloques lógicos de Dienes, Cuerpos geométricos rígidos.
Actividad 1: “Adivina qué es”
Momento 1.1: Comentarios iniciales
Se necesitan: dos conjuntos iguales de cuerpos geométricos rígidos (uno de ellos se
exhibe con sus respectivos nombres y el otro se coloca en una bolsa que no permita ver
en su interior), tarjetas con las definiciones de cuerpo redondo y cuerpo poliédrico
convexo (poliedro convexo).
Momento 1.2: Explora y contesta
Colocados en grupos de dos personas, resuelve:
a. Por turno, cada integrante del grupo extrae un cuerpo geométrico de la bolsa y sin
mirarlo lo describe oralmente. Su compañero registra las características mencionadas
e intenta identificarlo. De esta manera se continúa hasta terminar con todos los cuerpos.
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b. Propongan alguna clasificación entre los cuerpos explorados y justifíquenla.
Compartan dicha clasificación con el resto de la clase.
c. Tomen las tarjetas con las definiciones, interprétenlas y compárenla con la
clasificación realizada en el ítem anterior.
d. Busquen ejemplos de su alrededor que sean representados por los cuerpos
geométricos estudiados.
Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, constancia
perceptual y memoria visual); de comunicación (recolección e interpretación de
información, denominación, definición, escucha, registro, lectura y localización de datos
y objetos); lógicas o de razonamiento (clasificación, comparación y justificación); de
aplicación o transferencia (sensibilización).
2. Modelo 2. Rompecabezas geométricos
Rompecabezas geométricos: Poliominós y poliamantes, Rompecabezas de la T, de la H,
de la casita o la cruz griega, Rompecabezas de las cuatro T, Rompecabezas de piezas
idénticas, Cubos y policubos, Demostraciones dinámicas, Rompecabezas de mosaicos
de Van Hiele, Rompecabezas por cuadratura.
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Actividad 2: “Construye con cubos”
Momento 2.1: Comentarios iniciales
Los policubos son cuerpos geométricos formados por cubos iguales encajados o pegados
por medio de sus caras. Se pueden considerar diferentes colecciones de agrupaciones de
cubos, entre ellas una de las más conocidas es el cubo Soma, formado por siete
agrupaciones diseñado por el danés Piet Hein (1905 – 1997) en el año 1936. El objetivo
de este rompecabezas es colocarlos de manera que todos juntos formen un cubo 3x3x3.
Momento 2.2: Antes de comenzar
Observa los policubos con los que está formado el cubo de soma:
a. Utilizando los cubos representa cada uno de ellos.
b. ¿Por cuántos cubos está formado cada uno de los siete policubos del cubo de Soma?
Momento 2.3: Investiga y luego responde
Con la ayuda de los cubos descubre cuántos policubos diferentes se pueden formar con
tres (tricubos), cuatro (tetracubos) y cinco unidades (pentacubos). ¡En este último caso
hay 29 disposiciones distintas!
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c. Construye dos figuras idénticas a la que aparece en la figura siguiente, utilizando
cuatro cubos para cada una. Observa que se pueden encajar una en otra para formar
un cubo de tamaño 2x2x2
d. Hay otras dos figuras que se pueden construir con cuatro cubos cada una y que
reunidas forman un cubo 2x2x2. Descúbrelas.
e. Piensa: ¿Cuál es el motivo por el que al ubicar de determinada manera estas
disposiciones forman un cubo?
Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, percepción
figura- fondo, discriminación visual, constancia perceptual y percepción de la posición
en el espacio y de relaciones espaciales entre objetos);de dibujo y construcción
(representación y reproducción de figuras a partir de modelos dados); de comunicación
(denominación y definición); lógicas o de razonamiento (creación, invención y
exploración de figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de
representaciones).
3. Modelo 3. Tangram
Tangram: Chino, de Fletcher, Cardiotangram, Hexagonal, Pentagonal, Triangular, de
Lloyd, Pitagórico, de Brügner, Stomachion, Ovoide, Espacial.
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Actividad 3: “Juega y aprende con el Tangram”
Momento 3.1: Conociendo el Tangram
El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa
"juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Es un rompecabezas que consta
de 7 piezas y requiere de
ingenio, imaginación y, sobre todo, paciencia. Estas piezas son llamadas Tans y las
figuras obtenidas mediante su composición Tangramas. Todas ellas juntas forman un
cuadrado.
Sus piezas son las siguientes: “cinco triángulos de diferentes tamaños”, “un cuadrado”,
y “un paralelogramo”. Las reglas del juego son muy simples:
1. Con dichos elementos, ni uno más ni uno menos, se deben construir figuras. Es decir,
al momento de formar las distintas figuras no debe quedar ninguna pieza sin utilizar.
2. Las piezas no deben superponerse.
3. El tangram (que estamos utilizando ahora) es un juego planimétrico, es decir, todas
las figuras deben estar contenidas en un mismo plano.
4. Se tiene libertad total para elaborar las figuras, por lo cual no es necesario seguir un
orden.
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Momento 3.2: Construcción y reconocimiento del juego
a. Construye tu propio juego de Tangram mediante el doblado de papel, siguiendo
los pasos que se detallan a continuación:
b. Algunas de las figuras que pueden construirse son las que se presentan a
continuación. Como verás se pueden representar figuras humanas, animales y
muchos objetos. Inténtalo.
c. Las figuras construidas son las soluciones de los correspondientes tangramas. El
objetivo de este juego es que tú solo puedas encontrar dichas soluciones. Aquí
tienes algunos para que pongas en juego tu ingenio:
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Momento3.3: Investiga y luego responde
d. Toma uno de los triángulos pequeños y clasifícalo.
e. Toma el otro triángulo pequeño y con ellos forma diferentes figuras geométricas.
f. Las figuras formadas, ¿se parecen a alguna otra pieza del Tangram?
g. ¿Qué podemos concluir acerca de sus áreas?
Acabas de descubrir el: “Principio de conservación de la cantidad y no necesariamente
de la forma”
A estas figuras se las llama equivalentes. En particular si conservan la misma superficie,
se las llama equisuperficiales. Por lo tanto, los tangramas
son……….………………………………………
h. Piensa y justifica, ¿las figuras equisuperficiales tendrán el mismo perímetro
(isoperimétricas)?
i. Piensa, averigua y completa: Cuando tenemos dos o más figuras geométricas, éstas
pueden ser:
Figuras congruentes:……………………… Figuras semejantes: ………………………
Figuras equivalentes: ……………………… Figuras diferentes: ………………………
j. Identifica entre las piezas del Tangram un par de figuras que se correspondan a cada
una de las clasificaciones anteriores.
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Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, percepción
figura- fondo, discriminación visual, constancia perceptual, rotación mental,
percepción relaciones espaciales entre objetos); de dibujo y construcción
(representación y reproducción de figuras a partir de modelos dados); de comunicación
(escucha, localización, lectura, interpretación, denominación y definición); lógicas o de
razonamiento (abstracción de características y propiedades, invención y exploración de
figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de representaciones).
4. Modelo 4. Geoplano
Geoplano: Cuadrado u ortogonal, Triangular o isométrico, Circular.
Actividad 4: “Comprueba relaciones entre los ángulos en una circunferencia”
Momento 4.1: Comentarios iniciales
Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquél cuyo vértice está sobre la
circunferencia y sus lados determinan cuerdas sobre la misma. Un ángulo central de
Página 30
una circunferencia es aquél cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son
dos radios de la misma.
a. Construye en tu geoplano un ángulo inscrito y un ángulo central cualquiera.
b. Investiga cuánto mide el ángulo central más pequeño de lados no coincidentes que
puede hacerse en tu geoplano e indica por qué.
c. Según lo anterior, ¿serías capaz de calcular cuánto miden los ángulos inscrito y
central que has construido?
d. Vas a descubrir ahora el modo de calcular ángulos inscritos en la circunferencia. A
continuación tienes un ángulo y otros que tienen los lados paralelos al primero: mídelos
y anota las medidas junto a cada uno.
¿Qué relación existe entre ellos?
d. ¿Cómo puedes aplicar la relación anterior al cálculo de la amplitud de un ángulo
inscrito en la circunferencia?
Página 31
Momento 4.2: Investiga y luego responde
f. En tu geoplano, construye dos ángulos inscritos que abarquen el mismo arco de
circunferencia. ¿Cómo son sus amplitudes? Prueba con varios ejemplos. ¿Puedes
extraer alguna conclusión?
g. Ahora, construye un ángulo central y un ángulo inscrito que abarquen el mismo arco.
¿Cómo son sus amplitudes? Prueba con varios ejemplos. ¿Puedes extraer alguna
conclusión?
h. Por último, construye un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia. ¿Cuál
es su amplitud? Justifica.
Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora); de dibujo
y construcción (representación de figuras y cuerpos); de comunicación (lectura,
interpretación, denominación y definición); lógicas o de razonamiento (abstracción de
características y propiedades, argumentación y exploración de figuras); de aplicación o
transferencia (interrogación y análisis de representaciones).
5. Modelo 5. Transformaciones dinámicas
Transformaciones dinámicas: Poliformas, Varillas de mecano, Retículas, Desarrollos
planos.
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Actividad 5: “Construye y clasifica cuadriláteros”
Momento 5.1: Antes de comenzar
Si construyes un triángulo, con las varillas de mecano, comprobarás que esta figura
geométrica es rígida; es decir, aunque se haga presión sobre los vértices, el triángulo no
se deforma, no se mueve. Esta propiedad, la indeformabilidad o bien la estabilidad, es
una característica propia de los triángulos y es por lo que se los utiliza en diferentes
construcciones. En cambio, las figuras de cuatro lados, los cuadriláteros, no gozan de
esta propiedad.
Momento 5.2: Investiga y luego responde
Toma cuatro varillas de mecano, todas de distinta longitud, y construye un
cuadrilátero. La construcción, ¿es siempre posible?, ¿qué resulta necesario?
Presionando sobre un vértice se comprueba que puede lograrse que dos lados lleguen a
ser paralelos. Así se obtiene un………………………………………………………
a. Si conservamos fija la posición de tres de sus varillas y hacemos girar una alrededor
de una mariposa, vemos que es posible obtener una infinidad de trapecios y que en un
momento determinado obtenemos un ……………………………
b. ¿Qué puedes concluir?
1. Toma cuatro varillas de mecano, dos de las cuales sean iguales entre sí, lo mismo para
las otras dos, aunque no sean iguales a las dos primeras. Únelas para formar un
rectángulo.
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c. Presionando en uno de los vértices o en los lados, el rectángulo se transforma en un
………
d. ¿Qué puedes concluir?
e. Observa y anota lo que ocurre con los elementos de un rectángulo (lados, ángulos,
diagonales) durante la transformación de aquél en paralelogramo.
2. Vimos que las diagonales de un rectángulo son iguales y se cortan en el punto medio.
Esta propiedad nos permite hacer la siguiente construcción: toma dos piezas iguales de
mecano y únelas por su punto medio. Luego, pasa un hilo elástico por los cuatro
agujeros que hay en los extremos de las varillas y separa las varillas. Se forman
distintos………………………………………………….
f. Observa lo que sucede cuando las diagonales son perpendiculares y anótalo.
g. ¿Qué puedes concluir?
3. Toma cuatro varillas de mecano iguales y ponlas de manera que formen un cuadrado.
h. Realiza una leve presión sobre uno de los vértices o sobre uno de los lados, para ver
que un cuadrado no es rígido, sino que se transforma en
un………………………………………………..
i. ¿Qué puedes concluir?
j. Observa y anota lo que ocurre con los elementos de un cuadrado (lados, ángulos,
diagonales) durante la transformación de aquél en rombo.
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4. Une, por su punto medio, dos varillas de mecano de distinta longitud y pasa luego el
hilo elástico por los cuatro agujeros extremos. Abriendo las piezas tendremos
un…………………………
k. Observa lo que sucede cuando las diagonales son perpendiculares y anótalo.
l. ¿Qué puedes concluir?
Momento 5.3: Extrayendo conclusiones
5. Intenta resumir las actividades anteriores en una red conceptual que muestre la
clasificación de los cuadriláteros realizada.
Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, constancia
perceptual, percepción de la posición espacial y discriminación visual); de
comunicación (escucha, lectura, interpretación y diálogo entre pares y con el docente);
de dibujo y construcción (representación y construcción sobre la base de datos dados);
lógicas o de razonamiento (argumentación, clasificación de objetos geométricos por sus
atributos abstracción de propiedades, comparación de conceptos y propiedades).
6. Modelo 6. Origami o Papiroflexia: Modelos sin corte de papel, Con cortes de
papel, Con apoyo de materiales adicionales, Multi-capas, Multi-hoja,
Desarrollados partir de módulos, Decorados, Con técnica de encorvado.
La actividad considerada en tangram también involucra la técnica del origami.
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Objetos del entorno real: Entornos natural, artificial y artístico.
Actividad 6: “La Geometría nos rodea”
Momento 6.1: Antes de comenzar
Ubicado en pequeños grupos de 2 o 3 personas, recorre distintos ámbitos escolares y
toma fotografías de ellos. Puedes tomar distintas fotografías de un mismo objeto desde
diferentes lugares.
Momento 6.2: A trabajar sobre ellas
a. Describe, desde el punto de vista geométrico, las fotografías tomadas.
b. Fundamenta en base a tus conocimientos la descripción anterior.
Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (percepción figura-fondo,
discriminación visual, constancia perceptual, percepción de la posición espacial y de la
relación entre objetos); de comunicación (recolección e interpretación de información,
denominación); de dibujo y construcción (obtención de distintas vistas de un mismo
objeto); lógicas o de razonamiento (Argumentación, abstracción de propiedades); de
aplicación y transferencia (identificación de formas y relaciones geométricas en el
mundo natural y artificial, análisis de las formas n relación con el objeto en donde se
encuentran).
Página 36
Taller # 1 ( 40 puntos ) ( 10% )
Fecha de entrega: 17 de marzo de 2021
1. Haga un cuadro comparativo de las carencias en la enseñanza de la Geometría, con
la realidad vivida por usted como estudiante.
2. Justifique sus respuestas con vivencias o anécdotas.
3. Entregar el cuadro comparativo al profesor.
Evaluación
1. Puntualidad 3 puntos
2. Ortografía 3 puntos
3. Creatividad 4 puntos
4. Contenido ( Mínimo 5 páginas )
4.1. Letra arial 12
4.2. Doble espacio
Página 37
Tarea # 1 ( 40 puntos ) ( 13% )
Fecha de entrega: 22 de marzo de 2021
1. Elaborar una planificación didáctica sobre un tema de Geometría plana
2. Elaborar material didáctico que sustente la planificación hecha por usted, para
la explicación del tema.
Evaluación
1. Puntualidad 3 puntos
2. Ortografía 3 puntos
3. Creatividad y coherencia 8 puntos
4. Contenido (26 puntos )
4.1. Letra arial 12
4.2. Doble espacio
Página 38
Taller # 2 ( 40 puntos ) ( 10% )
Fecha de entrega: 27 de marzo de 2021
Asignaciones.
1. Elabore un texto paralelo sobre cómo la aprenden Geometría los estudiantes y sobre
cómo deberían enseñarla los docentes.
2. Presente por escrito las principales ideas de dos de los principios presentados en el
módulo
Evaluación
1. Puntualidad 3 puntos
2. Ortografía 3 puntos
3. Creatividad 4 puntos
4. Contenido ( Mínimo 5 páginas )
4.1. Letra arial 12
4.2. Doble espacio
Página 39
Taller # 3 ( 40 puntos ) ( 10% )
Fecha de entrega: 31 de marzo de 2021
Asignaciones.
1. Elabore un texto paralelo del desarrollo de habilidades específicas en la enseñanza de
la Geometría, según Hoffer.
2. Sustente su posición.
3. Entregar al profesor el texto paralelo.
Evaluación
1. Puntualidad 3 puntos
2. Ortografía 3 puntos
3. Creatividad 4 puntos
4. Contenido ( Mínimo 5 páginas )
4.1. Letra arial 12
4.2. Doble espacio
Página 40
Tarea # 2 ( 40 puntos ) ( 12% )
Fecha de entrega: 3 de abril de 2021
Asignación: Cada estudiante escogerá uno de los modelos del 1 al 6 y lo presentará
utilizando cualquier herramienta didáctica, debe usar su creatividad para la
confección de su modelo.
Evaluación
1. Puntualidad 3 puntos
2. Ortografía 3 puntos
3. Creatividad 4 puntos
Página 41
Trabajo Final ( 100 puntos ) ( 35% )
Fecha de entrega: 6 de abril de 2021
Utilizando el software geométrico CABRI GEOMETRA o GEOGEBRA, diseña actividades
donde el estudiante pueda manipular, dibujar, hacer conjeturas sobre temas de Geometría que
presenta el Programa de Matemática del Nivel Medio. ( Mínimo 20 páginas de contenido ).
A continuación te presento un ejemplo para que elabores tu trabajo final, sea creativo y
objetivo al diseñar su trabajo.
Evaluación
1. Puntualidad 3 puntos
2. Ortografía 3 puntos
3. Creatividad 4 puntos
4. Contenido ( Mínimo 10 páginas )
4.1. Letra arial 12
4.2. Doble espacio
Página 42
La ventana de CABRI GEOMETRA
Barra de Menú
Barra de Herramientas
Describiremos brevemente cada elemento.
BarradeMenú:
contiene los menús comunes del interfase gráfico de usuarios para la
gestión y edición de archivos, así como las opciones de CABRI II.
Archivo:
Órdenes para abrir, cerrar, guardar o imprimir construcciones.
Edición:
Órdenes para seleccionar o copiar objetos, actualizar la ventana de diseño o
reproducir construcciones.
Opciones:
Órdenes para configuraciones de menú, mostrar / ocultar atributos, preferencias.
Ayuda:
Opciones de ayuda.
Página 43
Barra de Herramientas: contiene las herramientas que permiten generar construcciones. En
total hay 11 cuadros de herramientas y para acceder a uno de ellos debes mantener pulsado
el botón izquierdo del ratón sobre el icono respectivo.
Puntero: herramienta de selección o transformación a mano alzada.
Ver: herramienta para incluir anotaciones en las construcciones o animar.
Medir: herramienta para medidas o cálculos.
Comprobar propiedades: herramienta para comprobar propiedades
Macro: herramienta para crear macros.
Transformar: herramienta geometría de transformaciones
Construir: herramienta para construcciones de geometría euclidiana.
Curvas: herramienta para construir circunferencias, arcos o cónicas.
Rectas: herramienta para construir objetos lineales.
Puntos: herramienta para construir puntos.
Página 44
Herramientas que contiene cada cuadro de herramientas
Dibujo: herramienta para cambiar el aspecto de los objetos.
Página 45
TALLER
CONSTRUYENDO CONCEPTOS GEOMÉTRICOS CON EL CABRI –
GEOMETRA
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
1. CONSTRUIR Y NOMBRAR PUNTOS.
1.1. Desde la barra de herramientas selecciones PUNTO.
1.2. Mueva el cursor a cualquier localización del plano y haga Click, inmediatamente escribe
el nombre del punto. ( A, B, C ).
1.3. Repite este proceso para construir cinco puntos con sus respectivos nombres.
1.4. Utilizando PUNTERO mueve los puntos de una posición a otra en el plano.
Observación: si se te olvida nombrar un punto, selecciona ETIQUETA de la barra de
herramientas, mueve el cursor cerca del punto y cuando aparezca el mensaje “este punto”
haga Click, inmediatamente aparecerá un rectángulo. Escribe entonces el nombre que deseas
darle al punto.
1.5. Limpie la pantalla, para esto puede elegir cualquiera de las siguientes opciones:
1.5.1. Haga Click en EDICIÓN y después en SELECCIONAR TODO, luego presione la
tecla DELETE o SUPR.
1.5.2. Presiona y mantén la tecla CTRL. Y escriba A, luego presiona la tecla DELTE o
SUPR.
2. CONSTRUCCIÓN DE UNA RECTA.
2.1. Selecciona RECTA.
2.2. Haga click para crear un punto de la recta.
Página 46
2.3. Mueva el cursor a otra posición del plano, por donde desea que pase la recta y haga
Click. De esta manera queda construida una recta.
2.4. Nombra esta recta r.
2.5. Utilizando PUNTERO señale un punto de la recta y mueva ese punto. ¿Qué observa
usted?. _
2.6. Utilizando PUNTERO señale otro punto cualquiera de la recta y mueva la recta. ¿Qué
observa usted?.
2.7. Limpie la pantalla.
3. CONSTRUCCIÓN Y MEDIDAS DE SEGMENTOS.
3.1. Construya segmentos en el plano. Para ello, utilizando SEGMENTO haga clic para
crear el extremo inicial del segmento, inmediatamente nombre el punto. Seguidamente
mueva el cursor a la posición del extremo final, haga clic y nombre el punto. Repita
este proceso varias veces.
3.2. Construya un segmento y nómbrelo AB.
3.3. Utilizando PUNTERO mueve un extremo del segmento. ¿Qué observa usted?.
3.4.Utilizando PUNTERO señala una parte del segmento y muévelo.¿Qué observa usted?. _
3.5. Limpie la pantalla.
3.6. Construya cinco segmentos de distintos tamaños y en diferentes posiciones, nómbrelos.
3.7. Utilice DISTANCIA Y LONGITUD para medir los segmentos, esto lo puede hacer de
dos formas:
3.7.1. Haga clic sobre el punto inicial y luego otro clic sobre el extremo final o,
3.7.2. Señale con el cursor una parte del segmento y haga clic cuando aparezca el mensaje.
3.8. Limpie la pantalla.
Página 47
4. ELIMINAR OBJETOS DE LA PANTALLA.
4.1. Construye tres puntos en el plano, nómbralos M; N, R.
4.2. Construye una recta r.
4.3. Construye los segmentos AB, CD y EF.
4.4. Selecciona PUNTERO y haga clic sobre el punto B, cuando empiece a parpadear
presiona la tecla DELETE o SUPR.
4.5. Haga clic sobre el segmento CD, cuando empiece a parpadear presione la tecla
DELETE o SUPR.
5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.
5.1. Selecciona TRIÁNGULO.
5.2. Haga clic para marcar un punto, llámelo A, mueva el cursor, haga clic y marque el
segundo punto llámelo B, mueva el cursor y haga nuevamente clic para marcar el tercer
punto, llámelo C. De esta manera queda construido el triángulo ABC.
5.3. Utilizando PUNTERO mueva un punto del triángulo. ¿Qué observas?.
5.4. Utilizando PUNTERO señala un lado del triángulo y muévelo. ¿Qué observas?.
6. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS.
6.1. Selecciona POLÍGONO.
6.2. Haga clic para crear un vértice del polígono.
6.3. Haga tantos clic como lados quiere que tenga el polígono. Para cerrar el polígono haga
doble clic en el último punto.
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7. CONSTRUCCIÓN DE CIRCUNFERENCIAS.
7.1. Selecciona CIRCUNFERENCIA.
7.2. Haga clic para marcar el centro de la circunferencia, nómbrelo C.
7.3. Mueva el cursor para determinar la longitud del radio, luego haga clic.
Es hora de resolver la ACTIVIDAD Nº 1.
8. CONSTRUCCIÓN DE PERPENDICULARES.
8.1. Construye una recta llámala r.
8.2. Marca un punto P fuera de la recta r.
8.3. Usando RECTA PERPENDICULAR haga clic sobre la recta r y luego haga clic sobre
el punto P. De esta manera queda construida la perpendicular a la recta r que pasa por el
punto P.
8.4. Limpia la pantalla.
9. CONSTRUCCIÓN DE PARALELAS.
9.1. Construye una recta llámala t.
9.2. Marca un punto P fuera de la recta t.
9.3. Usando RECTA PARALELA haga clic sobre la recta t y luego haga clic sobre él punto
P. De esta manera queda construida la paralela a la recta t que pasa por él punto P.
10. CONSTRUCCIÓN DE MEDIATRICES.
10.1. Construye un segmento AB.
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10.2. Usando MEDIATRIZ haga clic sobre el segmento AB, de esta manera queda construida
la mediatriz del segmento AB.
11. CONSTRUIR, NOMBRAR Y MEDIR UN ÁNGULO.
11.1. En la barra de herramientas selecciona SEMIRRECTA.
11.2. Haga clic en cualquier parte del plano y nombre el punto O, luego mueve el cursor a
otra posición y haga nuevamente clic.
11.3. Haga nuevamente clic sobre el punto O y luego mueva el cursor a otra posición y haga
clic, de esta manera queda construido el ángulo.
11.4. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO marca un punto sobre cada uno de los lados del
ángulo, llámalos A y B respectivamente.
11.5. Repite los pasos anteriores varias veces.
11.6. Limpia la pantalla.
11.7. Construye un ángulo y llámalo MON.
11.8. Utilizando ANGULO haga clic en el punto M, luego clic en el vértice O y por último
clic en el punto N, de esta manera se determina la medida del ángulo MON.
11.9. Limpia la pantalla.
12. Utilizando SEMIRRECTA construye tres semirrectas distintas con el mismo origen.
12.1. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO construye en cada semirrecta un punto.
12.2. Utilizando ETIQUETA, denota sucesivamente cada punto sobre las semirrectas con
las letras A, B, C. El origen común denótalo con la letra O.
12.3. Mida la amplitud de los ángulos AOB y BOC.
12.4. Mida ahora la amplitud del ángulo AOC. ¿Qué observas?.
Página 50
12.5. ¿Puedes sugerir una conclusión?.
13. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
El comando BISECTRIZ permite construir la bisectriz de un ángulo determinado por tres
puntos. El segundo punto define el vértice del ángulo a través del cual la bisectriz pasa.
13.1. Construye un ángulo AOB.
13.2. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO marca los puntos A y B respectivamente sobre
cada semirrecta.
13.3. Selecciona BISECTRIZ y haga clic sobre los puntos A, O, B. El segundo punto
seleccionado debe ser el vértice del ángulo.
13.4. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO marca el punto C sobre la bisectriz.
13.5. Utilizando ÁNGULO mide la amplitud de los ángulos AOC y COB. ¿Qué observas?.
13.6. Limpia la pantalla.
Es hora de resolver la ACTIVIDAD Nº 2
14. En esta actividad podrá investigar la relación entre los segmentos especiales en
triángulos: bisectriz, mediana y altura.
14.1. Construya un triángulo ABC.
14.2. Usando BISECTRIZ, biseque uno de los ángulos del triángulo.
14.3. Construya el punto de intersección de la recta bisectriz y el lado opuesto del ángulo
bisecado.
14.4. Oculte la recta bisectriz, para esto use OCULTAR / MOSTRAR.
Página 51
14.5. Construya el segmento desde el vértice del lado opuesto hasta el punto de intersección
sobre el lado opuesto.
14.6. Utilizando ÁNGULO mida ambos ángulos del ángulo bisecado.
14.7. Utilizando DISTANCIA Y LONGITUD mida ambos segmentos del lado opuesto al
ángulo bisecado. Utilizando PUNTERO coloque los números en lugares apropiados.
14.8. Utilizando PUNTERO mueva los vértices del triángulo. Observe el movimiento de la
bisectriz.
14.9. ¿La bisectriz siempre biseca el ángulo del triángulo?. ________________.
14.10. . ¿La bisectriz siempre biseca el lado opuesto del ángulo?. _____________.
14.11. Usando PUNTO MEDIO construya el punto medio del lado opuesto al ángulo
bisecado.
14.12. Construya el segmento desde el vértice del ángulo bisecado al punto medio. Este
segmento es la mediana. Marque en rojo este segmento, use COLOR para esto.
14.13. Utilizando DISTANCIA Y LONGITUD mida los otros dos lados del triángulo.
Mueva las medidas a un lugar apropiado.
14.14. Use PUNTERO para mover los vértices del triángulo. ¿Bajo qué condiciones la
bisectriz y la mediana coinciden? _______________________________________.
14.15. Utilizando RECTA PERPENDICULAR construya una recta desde el vértice del
ángulo bisecado que sea perpendicular al lado opuesto. Construya el segmento desde el
vértice del ángulo bisecado hasta la intersección de la perpendicular y el lado opuesto. Esta
es la altura. Pinte de verde este segmento.
14.16. Use PUNTERO para mover los vértices del triángulo, a medida que usted cambia la
forma del triángulo, uno de los segmentos siempre se encuentra sobre o entre los otros dos,
¿cuál es este segmento?. ____________________.
Página 52
14.17. Limpia la pantalla.
15. Construya el triángulo ABC.
15.1. Construya las medianas AX, BY y CZ del triángulo.
15.2. Usando PUNTERO mueva los vértices. ¿En cuántos puntos se cortan las medianas?
15.3. Llama N a la intersección de las medianas y mide los segmentos AN y NX ; BN y
NY ; CN y NZ.
15.4. Mueve los puntos A, B y C. ¿Qué pasa con las medidas?. __________________
15.5. Limpia la pantalla.
Es hora de desarrollar las ACTIVIDADES PARA DESCUBRIR.
16. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
16.1. Utilizando CIRCUNFERENCIA construya una circunferencia.
16.2. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO construya cinco puntos sobre la circunferencia.
16.3. Utilizando SEGMENTO construya los radios que van del centro de la circunferencia a
cada uno de los puntos recién construidos.
16.4. Utilizando DISTANCIA Y LONGITUD determina la distancia del centro de la
circunferencia a cada uno de los puntos marcados sobre la circunferencia.
16.5. ¿Qué observa usted?. ¿Puede sugerir una definición de la circunferencia?
________________________________________________________________________.
17. TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA.
Una recta puede intersecar una circunferencia en cero, uno o dos puntos. Una recta que
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interseque a una circunferencia en exactamente un punto se llama tangente a la
circunferencia. El punto de intersección se llama punto de tangencia. Una recta que
interseque a una circunferencia en dos puntos se llama secante a la circunferencia.
17.1. Construye una circunferencia. Usa CIRCUNFERENCIA.
17.2. Usando PUNTO SOBRE OBJETO construye dos puntos sobre la circunferencia
17.3. Usando ETIQUETA denomina el centro de la circunferencia con la letra A y los puntos
sobre la circunferencia con las letras B y C respectivamente.
17.4. Usa SEGMENTO para construir el segmento AB, radio de la circunferencia.
17.5. Usa RECTA y construye la secante BC, para ello primero haga clic en el punto B y
luego en el punto C.
17.6. Mida el ángulo ABC, use ANGULO.
17.7. Use PUNTERO para mover el punto C sobre la circunferencia en dirección al punto B.
17.8. ¿Qué observas en relación al ángulo ABC cuando el punto B se aproxima al punto C?.
________________________________________.
17.9. ¿Cuál es la medida del ángulo ABC cuando el punto B está justo sobre el punto C?.
______. En esta situación la recta interseca a la circunferencia en un solo punto, es
decir es tangente a la circunferencia.
17.10. ¿Cuál es la relación entre una tangente y el radio en el punto de tangencia?
18. CIRCUNFERENCIA INSCRITA.
Si una circunferencia es tangente a los tres lados de un triángulo, entonces decimos que
la circunferencia está inscrita en el triángulo y que el triángulo está circunscrito a la
circunferencia.
18.1. Construye un triángulo ABC.
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18.2. Usa BISECTRIZ y construye las bisectrices de los ángulos A, B, C. ¿Qué observas?.
18.3. Usa PUNTERO y mueve cada uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?.
18.4. Marca la intersección de las tres bisectrices y llámalo P.
18.5. Oculta las bisectrices.
18.6. Determina la distancia del punto P a cada uno de los lados del triángulo, para ello utiliza
RECTA PERPENDICULAR construye las perpendiculares desde el punto P a cada lado del
triángulo.
18.7. Usa PUNTO DE INTERSECCIÓN y marca la intersección de estas perpendiculares y
los lados del triángulo. Oculta las perpendiculares. Usa SEGMENTO para construir los
segmentos que tienen por extremo a P y los pies de las perpendiculares desde P a los lados
del triángulo. ¿Qué observas?.
18.8. Usa PUNTERO y mueve uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?. Sugiere
una conjetura. __________________________________________.
18.9. Usando COMPAS construye la circunferencia de centro P y radio igual a la distancia
de P a los lados del triángulo. Para ello haga clic sobre uno de los radios y luego sobre
P. La circunferencia construida está inscrita en el triángulo.
19. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.
Si una circunferencia pasa por los tres vértices de un triángulo, entonces decimos que
la circunferencia está circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la
circunferencia.
19.1. Construye u7n triángulo ABC.
19.2. Construye las mediatrices de los lados del triángulo. ¿Qué observas?. Sugiere una
conjetura. ___________________________________________________.
19.3. Usa PUNTO DE INTERSECCIÓN y marca la intersección de las mediatrices,
llámalo P.
Página 55
19.4. Usa SEGMENTO para construir los segmentos que van de P a los vértices del
triángulo y usando DISTANCIA Y LONGITUD determina la distancia del punto P
a cada uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?. __________________.
19.5. Usa PUNTERO y mueve uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?.
19.6. Usa COMPÁS y construye la circunferencia de centro P y radio igual a PA. Para
ello haga clic sobre el segmento PA y luego sobre el punto P. La circunferencia
construida está circunscrita al triángulo.
20. ÁNGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA.
20.1. Usa CIRCUNFERENCIA y construye la circunferencia de centro O.
20.2. Construye un diámetro de la circunferencia, para ello utiliza RECTA haciendo clic
en O y después en un punto cualquiera. Use PUNTO DE INTERSECCIÓN para
construir los puntos de intersección de la circunferencia y la recta. Oculte la recta.
Use SEGMENTO y construya el segmento que une los puntos de intersección. Este
es un diámetro de la circunferencia. Llama los extremos A y B.
20.3. Usa PUNTO SOBRE OBJETO y construye un punto sobre la circunferencia,
llámelo P.
20.4. Usando SEGMENTO construya los segmentos PA y PB.
20.5. Usando ÁNGULO mida el ángulo APB. ¿Qué observas?. _________________.
20.6. Usando PUNTERO mueve el punto P. ¿Qué observas?. Sugiere una conjetura.
Resuelva las actividades para reflexionar.
CREACIÓN DE MACROS
21. En muchas ocasiones mientras se estudia o se investiga una propiedad geométrica se
requiere realizar construcciones más simples y que son usadas con cierta frecuencia. En
tales ocasiones es muy apropiado ( entre otras razones porque se ahorra tiempo ) disponer
de un comando que permita construir la figura simple requerida. El programa CABRI provee
Página 56
de facilidades al usuario para que pueda crear sus propios comandos según sus necesidades.
Estos comandos se denominan en términos generales MACROS.
21.1. Creación de una macro para construir un cuadrado sobre un segmento o sobre los lados
de un polígono.
21.2. Utilizando SEGMENTO construya un segmento.
21.3. Usa RECTA PERPENDICULAR y construya una perpendicular en cada extremo del
segmento.
21.4. Use COMPÁS y construya una circunferencia con centro en un extremo del segmento y
con radio igual a la longitud del segmento.
21.5. Marque la intersección de la circunferencia con la recta perpendicular.
21.6. Usando RECTA PERPENDICULAR construya otra perpendicular a través de la intersección
de la circunferencia y la perpendicular, marque el punto de intersección.
21.7. Conecte los cuatro vértices del cuadrado usando POLÍGONO.
21.8. Seleccione OBJETOS INICIALES en el menú macro y entonces selecciones el segmento
original del dibujo. Selecciones OBJETOS FINALES en el menú macro y entonces seleccione
el polígono cuadrado. Selecciones DEFINIR MACRO. NOMBRE SU MACRO COMO
CUADRADO, HAGA CLIC EN LA CAJA ok.
21.9. Pruebe su macro, para ello limpie la pantalla y utilizando SEGMENTO construya un
segmento, seleccione su macro cuadrado y haga clic sobre el segmento.
TRABAJA CON LAS ACTIVIDADES DE MACRO Y APRENDE REPASANDO
ACTIVIDAD Nº 1
1. Construye dos rectas que se corten o intersequen, llámalas r y t respectivamente.
1.1.Construye un punto sobre la recta r y nómbralo A. Para ello selecciona PUNTO
SOBRE OBJETO, mueve el cursor hacia la recta r hasta que aparezca el mensaje
alusivo y entonces haga clic.
1.2.Construye el punto de intersección de las dos rectas y nómbralo I. Para ello selecciona
PUNTO DE INTERSECCIÓN. Señala el punto de intersección con el cursor y
cuando aparezca el mensaje haga clic.
Página 57
1.3.Utilizando puntero trate de mover todos los puntos que aparezcan en el plano. ¿Qué
observa usted?. _______________________________________________.
1.4.Limpia la pantalla.
2. Construye un segmento y nómbralo AB.
2.1.Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO construye un punto C sobre el segmento AB.
2.2.Mida la longitud del segmento AC y CB utilizando DISTANCIA Y LONGITUD.
2.3.Mida la longitud del segmento AB.
2.4.Usando PUNTERO coloca las medidas adecuadamente sobre cada segmento.
2.5.Usando PUNTERO mueve el punto C sobre el segmento AB. ¿Qué observas?.
___________________________________________________
¿Puedes sugerir una conclusión. __________________________________
2.6.¿En qué situación el segmento AC es igual al segmento CB?. _________________
2.7.Limpia la pantalla.
3. Construye un segmento y nómbralo CD.
3.1.Construye el punto medio del segmento CD y nómbralo M. Para ello selecciona
PUNTO MEDIO y haga clic sobre el segmento o haga clic en cada uno de los
extremos del segmento.
3.2.Usando DISTANCIA Y LONGITUD mide los segmentos CM y MD. ¿Qué
observas?. ____________________________________________________.
3.3.Usando PUNTERO mueve el punto D. ¿Qué observas?. _____________________
3.4.¿Qué puedes decir del segmento CM con relación al segmento CD?. ___________.
3.5.Limpia la pantalla.
ACTIVIDAD Nº 2
1. Construye una perpendicular a la recta m, por un punto R sobre la recta m.
1.1. Limpia la pantalla.
Página 58
2. Construye un triángulo ABC.
2.1. Construye un punto P exterior al triángulo ABC.
2.2. Construye una paralela al lado AB que pase por el punto P.
2.3. Limpia la pantalla.
3. Construye una recta s y un punto P fuera de s.
3.1. Construye una recta t perpendicular a s que pase por P.
3.2. Marca la intersección de las rectas s y t, llámala I.
3.3. Mide los ángulos que se forman al cortarse las dos rectas.
3.4. ¿Puedes sugerir una conclusión?. __________________________________.
3.5. Limpia la pantalla.
4. Construye el segmento AB.
4.1. Construye un punto C exterior a AB.
4.2. Construye la recta paralela a AB que pase por C.
4.3. Traza la recta AC, llámala r.
4.4. Construye una recta paralela a r que pase por B.
4.5. Marca el punto de intersección entre las rectas que son paralelas a AB y a r.
4.6. Llama D al punto de intersección.
4.7. Construye el paralelogramo ABCD. Utiliza SEGMENTO.
4.8. Oculta las rectas que construiste, para ello usa OCULTAR / MOSTRAR.
4.9. Marca el ángulo CAB.
4.10. Mide el ángulo CAB.
4.11. Marca los ángulos restantes y mídelos.
4.12. Mide los segmentos AB, BD, DC y AC.
4.13. Usando PUNTERO mueve los puntos A y B. ¿Qué observas?.
_______________________________________________________________.
4.14. Limpia la pantalla.
5. En la siguiente actividad vas a encontrar algunas propiedades de la figura que se
forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos en un cuadrilátero.
Página 59
5.1. Usando POLÍGONO construye un cuadrilátero.
5.2. Usando PUNTO MEDIO construye el punto medio de cada lado del cuadrilátero.
5.3. Usando SEGMENTO une los puntos medios de los lados consecutivos del
cuadrilátero.
5.4. Usando DISTANCIA Y LONGITUD mide estos segmentos.
5.5. ¿Qué puedes decir de los lados opuestos de la figura formada?:
______________________________________________________________.
5.6. Usa PUNTERO para mover los vértices los vértices del cuadrilátero. Observa la
medida de los lados opuestos. ¿Qué ocurre?. _____________________________.
5.7. Escribe una propiedad de la figura que se formó.
___________________________________________________________________
5.8. Usa PUNTERO y borra las medidas de los lados del paralelogramo.
5.9. Traza una diagonal en el paralelogramo. ¿Cuántos triángulos se forman?. ________
5.10. Usando DISTANCIA Y LONGITUD mide los lados de los triángulos. ¿Qué
puedes decir de ellos?. _____________________________________.
Generaliza sobre la diagonal de un paralelogramo.
ACTIVIDADES PARA DESCUBRIR
❖ Ángulo recto: es aquel cuya amplitud es de 90º.
❖ Ángulo obtuso: es aquel cuya amplitud es mayor de 90º pero menor de 180º.
❖ Ángulo agudo: es aquel cuya amplitud es menor de 90º.
1. Construye un triángulo ABC.
1.1. Mide todos los ángulos del triángulo ABC.
1.2. Investiga la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC a la vez que mueves
los vértices.
1.3. Investiga el número de ángulos obtusos que puede tener un triángulo. __________.
1.4. Investiga el número de ángulos agudos que puede tener un triángulo. __________.
1.5. Investiga el número de ángulos rectos que puede tener un triángulo. __________.
1.6. Limpia la pantalla.
Página 60
2. Construye el segmento AB.
2.1. Construye una recta perpendicular al segmento AB a través de B.
2.2. Construye el punto C sobre la recta perpendicular.
2.3. Construye el segmento BC.
2.4. Construye el segmento AC.
2.5. Oculta la recta perpendicular.
2.6. Construye el punto medio de AC, nómbrelo D.
2.7. Mida las distancias desde D a cada vértice. ¿Qué ocurre?. __________________.
2.8. Limpia la pantalla.
Propiedad de las alturas de un triángulo.
Definición: la altura correspondiente a un lado es el segmento perpendicular a la recta
que contiene a ese lado, trazado desde el vértice opuesto.
Actividad: verificar que las tres rectas que contienen a las alturas de cualquier triángulo,
se cortan en un punto. A este punto se le llama ortocentro.
3. Construya un triángulo cualquiera, llámelo ABC.
3.1. Usando RECTA PERPENDICULAR construya las tres alturas del triángulo y
llámelas: hC, hA, hB.
3.2. Marque el punto de intersección de las tres alturas, para ello use PUNTO DE
INTERSECCIÓN, llámelo O.
3.3. Verifique que el punto O pertenece a las tres alturas, para esto use PERTENECE.
3.4. Utilizando ÁNGULO obtenga la medida de los ángulos interiores del triángulo.
3.5. Usando PUNTERO mueva cualquiera de los vértices del triángulo y observe lo que
sucede con el punto O. Use esta visualización para contestar las siguientes preguntas:
¿El punto O se encuentra siempre en el exterior del triángulo?. ¿Cómo es el triángulo
cuando se encuentra el punto O en el exterior del triángulo?. ¿Cuándo se encuentra
en el interior del triángulo?. ¿En algún caso O coincide con algún vértice del
triángulo?. ¿Cómo es el triángulo es ese caso?.
Página 61
Propiedad de las medianas y del baricentro de un triángulo
Definición: las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el
punto medio del lado opuesto.
Actividad: verificar que las tres medianas de cualquier triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro y que la distancia del baricentro a cada vértice es el doble de la distancia
del baricentro al punto medio del lado opuesto.
4. Construya un triángulo cualquiera, llámelo ABC.
4.1. Marque el punto medio de cada lado del triángulo, para esto use PUNTO MEDIO,
llámelos de la siguiente forma: M el opuesto al ángulo A, N el opuesto al ángulo B
y P el opuesto al ángulo C.
4.2. Usando SEGMENTO trace las medianas AM, NB y PC.
4.3. Marque el punto de intersección de las tres medianas, para ello use PUNTO DE
INTERSECCIÓN, llámelo Q.
4.4. Verifique que el punto Q pertenece a las tres medianas, para esto use PERTENECE.
4.5. Usando PUNTERO mueva cualquiera de los vértices del triángulo y observe lo que
sucede con la posición del punto Q. ¿El punto Q se encuentra siempre en el interior
del triángulo?. __________.
4.6. Utilice DISTANCIA Y LONGITUD y mida la distancia entre los puntos M y Q y
entre Q y A. ¿Qué relación observa entre las medidas halladas?.
4.7. Repite el procedimiento realizado en el paso 4.6. con las otras medianas NB y PC.
¿Qué conclusión puedes obtener?. _____________________________________.
ACTIVIDADES PARA REFLEXIONAR
1. En esta actividad, usted aprenderá a construir una circunferencia inscrita en un triángulo.
Una circunferencia está inscrita en un triángulo cuando es tangente a cada lado del
triángulo.
Página 62
1.1. Construye un triángulo.
1.2. Construya una circunferencia. Use PUNTERO para mover el centro y ajustar el
tamaño de la circunferencia de manera tal que la circunferencia quede inscrita en el
triángulo. Cambie la forma del triángulo y entonces inscriba la circunferencia otra
vez. Sólo con suerte la circunferencia que usted hizo es tangente a cada lado del
triángulo. Usted necesita encontrar una construcción exacta que automáticamente se
ajuste a los cambios del triángulo. El primer paso para lograr esta construcción es
inscribir la circunferencia en un ángulo más bien que en un triángulo.
1.3. Limpie la pantalla.
1.4. Construya un ángulo. Use SEMIRRECTA para esto.
1.5. Construya cuatro circunferencias de diferentes tamaños. El radio puede medir entre
1 cm a 5 cm.
1.6. Use PUNTERO para mover los centros y ajustar los tamaños de las circunferencias
de manera tal que queden inscritas en el ángulo.
1.7. Oculte las circunferencias pero no sus centros utilizando OCULTAR / MOSTRAR.
¿Qué observa en relación a los centros de las circunferencias inscritas?.
1.8. Construye un rayo con SEMIRRECTA con su punto extremo en el vértice del ángulo
y que pase a través de los centros de las cuatro circunferencias. Usando ÁNGULO
mide los ángulos formados por los tres rayos. ¿Qué puedes decir en relación al rayo
que contiene los centros de las circunferencias circunscritas? _____.
1.9. ¿Cómo podría usted encontrar un punto para el centro de una circunferencia que sea
tangente a dos lados ( de un ángulo ), de un triángulo.?
1.10. ¿Cómo podría usted encontrar el punto para el centro de una circunferencia
inscrita en un triángulo?. _____________________________
1.11. Trate de construir una circunferencia inscrita en un triángulo usando la
respuesta anterior. ¿Qué otra información necesita para que sea posible construir la
circunferencia.. ______________________________________________.
Encontrando el centro de la circunferencia inscrita, aún no se ha completado la
construcción, usted necesita definir el radio. Use el hecho de que una tangente a una
circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.
Página 63
2. Construye una circunferencia.
2.1. Construye una cuerda de la circunferencia, usando SEGMENTO haga clic sobre la
circunferencia dos veces en posiciones diferentes.
2.2. Construye una perpendicular desde la circunferencia a la cuerda.
2.3. Marca el punto de intersección de la cuerda y la perpendicular a ella.
2.4. Mide las distancias del punto de intersección a los extremos de la cuerda. ¿Qué
observas?. _______________________________________________
2.5. Usa PUNTERO y mueve uno de los extremos de la cuerda. ¿Qué observas?. Sugiere
una conjetura. ___________________________________________.
3. Construye una circunferencia.
3.1. Construye una cuerda de la circunferencia.
3.2. Construye el punto medio de la cuerda.
3.3. Usando SEGMENTO construye el segmento que va del centro de la circunferencia
al punto medio de la cuerda.
3.4. Usa ÁNGULO y mide el ángulo entre el segmento recién construido y la cuerda.
¿Qué observas?. ________________________________________.
3.5. Usa PUNTERO y mueve uno de los extremos de la cuerda. ¿Qué observas? Sugiere
una conjetura. ______________________________________________.
4. Construye una circunferencia.
4.1. Construye una cuerda de la circunferencia.
4.2. Usando MEDIATRIZ construye la perpendicular bisectriz de la cuerda. ¿Qué
observas con relación a por donde pasa la perpendicular bisectriz.
4.3. Construye otras dos cuerdas y repite lo anterior. Sugiere una conjetura.
________________________________________________________.
5. Investiga en que tipo de triángulo el circuncentro, ortocentro y baricentro coinciden.
Página 64
6. Trazar la circunferencia que pase por tres puntos no alineados A, B y C.
ACTIVIDADES DE MACRO
1. Utilizando SEGMENTO construye un segmento.
1.1. Usa COMPÁS y construye una circunferencia con centro en un extremo del
segmento y con radio igual a la longitud del segmento. Repite esta construcción pero
para una circunferencia con centro en el otro extremo del segmento.
1.2. Utilizando TRIÁNGULO conecte los dos extremos del segmento u uno de los
puntos de intersección de las dos circunferencias.
1.3. Seleccione OBJETO INICIAL en el menú macro y entonces selecciones el
segmento original en el dibujo. Seleccione OBJETO FINAL en el menú de macro y
entonces seleccione el polígono triángulo . Seleccione DEFINA MACRO y nombre
su macro triángulo. Haga cilc en la caja ok.
1.4. Pruebe su macro. Para ello, limpie la pantalla y construya un segmento, seleccione
su macro triángulo y haga clic sobre el segmento.
2. Construya un triángulo rectángulo. Para ello use SEGMENTO y construya un
segmento. Usando RECTA PERPENDICULAR construya una perpendicular en un
extremo del segmento. Use PUNTO SOBRE OBJETO y construya un punto sobre la
perpendicular al segmento, use MOSTRAR / OCULTAR para ocultar la
perpendicular. Usando TRIÁNGULO conecte los extremos del segmento y el punto
construido sobre la perpendicular.
2.1. Utilizando la macro cuadrado construya los cuadrados externos a los tres lados del
triángulo rectángulo.
2.2. Coloree los cuadrados, para ello seleccione el comando RELLENAR y seleccione
un color de la paleta de colores y luego haga clic sobre los cuadrados que están
Página 65
construidos sobre los catetos, vuelva a seleccionar otro color de la paleta y haga clic
cobre el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
2.3. Utilizando el comando ÁREA calcule el área de los cuadrados, para ello haga clic
sobre cada cuadrado.
2.4. Compara el área del cuadrado sobre la hipotenusa con la suma de las áreas de los
cuadrados sobre los catetos del triángulo rectángulo.
2.5. Prueba este teorema con la macro triángulo.
2.6. ¿Qué observas?.
APRENDE REPASANDO
1. Construir un triángulo isósceles cuyo lado no congruente ( base ) mida 7.4 cm y cuya altura
mida 4.2 cm. Marcar y medir sus ángulos. Obtener su perímetro. Determinar su área. Medir
sus lados congruentes. Modificar la medida de la base (observe como se modifica el
triángulo y todas las medidas calculadas ).
1.1. Selecciona COMENTERIOS, haga clic sobre una esquina de la pantalla y escribe la
base mide:
1.2. Selecciona EDICIÓN NUMÉRICA, haga clic al lado del comentario recién escrito
y escriba el número 7.4 ( medida de la base ). Repita estos mismos pasos para escribir
La altura mide: y a continuación el número 4.2.
1.3. Dibuja una semirrecta, para ello usa SEMIRRECTA. Para transportar la medida de
la base sobre esa semirrecta selecciona TRANSFERENCIA DE MEDIDAS, haga
clic sobre 7.4, luego sobre el origen de la semirrecta y por último sobre la semirrecta.
Obtendrás un punto situado a 7.4 cm del origen de la semirrecta.
1.4. Traza el segmento AB que une el origen de la semirrecta y el punto recién obtenido,
este segmento es la base del triángulo.
1.5. Traza la altura, usa MEDIATRIZ para encontrar la mediatriz del segmento AB.
1.6. Marca el punto de intersección M entre el segmento y la mediatriz.
1.7. Transfiera la medida de la altura ( como hizo anteriormente ) a partir del punto M (
en cualquier dirección ), obtendrás el punto S.
1.8. Traza la circunferencia con centro en M y que pase por S.
Página 66
1.9. Obtenga el punto de intersección C entre la circunferencia y la mediatriz.
1.10. Trace el segmento MC ( altura ).
1.11. Una los puntos A, B, C usando TRIÁNGULO.
1.12. Oculta todos los elementos que usaste para construir el triángulo.
1.13. Marca los ángulos usando MARCA DE ÁNGULO.
1.14. Mide los ángulos.
1.15. Para obtener el perímetro selecciona DISTANCIA Y LONGITUD, haga clic
sobre el triángulo, cuando aparezca el número que representa el perímetro agrega la
leyenda Perímetro:
1.16. Para obtener el área selecciona ÁREA, haga clic sobre el triángulo, cuando
aparezca el número que representa el área agrega la leyenda Área:
1.17. Para medir los lados marca primero los segmentos y luego con la herramienta
DISTANCIA Y LONGITUD mida dichos segmentos.
1.18. Para cambiar la medida de la base haga clic sobre el número 7.4 y luego con
las flechas modifique el número.
2. Propiedad del triángulo con un lado igual al diámetro y vértice en la circunferencia.
2.1. Construye una circunferencia.
2.2. Construye una recta que pase por el centro de la circunferencia.
2.3. Marca los puntos de intersección, llámalos A y B respectivamente.
2.4. Usando PUNTO SOBRE OBJETO marca el punto C sobre la circunferencia.
2.5. Usando TRIÁNGULO construye uno que tenga como vértices los puntos de
intersección entre la recta y la circunferencia y el punto C de la circunferencia.
2.6. Mide el ángulo ACB. ¿Qué observas?.
2.7. Usa PUNTERO y mueve el punto C sobre la circunferencia. ¿Qué observas?.
3. Construye un triángulo ABC.
3.1. Construye la recta que contiene a la altura correspondiente al lado AB, usando
RECTA PERPENDICULAR, llama hc a esta recta.
3.2. Repite este procedimiento para construir las rectas perpendiculares que contienen a
las otras alturas y llama hb y ha a esta rectas.
Página 67
3.3. Verifica que estas tres rectas se cortan en un punto, para lo cual marca la intersección
de las tres rectas y llámalo O.
3.4. Para verificar que este punto está sobre cada una de la rectas, seleccione
PERTENECE, indique el punto O y luego la recta haciendo un clic aparecerá la
leyenda “ este punto está sobre el objeto”, lo cual corrobora que O es el punto de
intersección de las rectas ha, hb y hc.
3.5. Con ÁNGULO, mide los ángulos ABC, ACB y BAC.
3.6. Mueve con PUNTERO cualquiera de los tres vértices del triángulo y observa lo que
sucede con el punto O. Usa esta visualización que te permite el programa CABRI
para contestar las siguientes preguntas.
1. ¿El punto O se encuentra siempre en el exterior del triángulo? ________.
2. ¿Cómo es el triángulo cuando se encuentra el punto O en el exterior del
triángulo?. ______________________________.
3. ¿Cómo es el triángulo cuando se encuentra el punto O en el interior del
triángulo?. ______________________________.
4. ¿En algún caso O coincide con algún vértice del triángulo?. __________.
5. ¿Cómo es el triángulo en este caso?. _______________________.
4. Dado un segmento AB, una recta b no paralela a AB y dos puntos cualesquiera del
plano M y N. Construir:
a. La recta que pasa por M y paralela a b.
b. La recta que pasa por N y perpendicular a b.
c. NQ congruente a AB y paralelo a AB.
d. MP congruente a AB y paralelo a b.
5. CONSTRUCCIÓN DE MACROS.
5.1. Macro para el baricentro (punto de intersección de las tres medianas de un triángulo
).
5.2. Construya un triángulo.
5.3. Busque el punto medio de cada lado del triángulo, use PUNTO MEDIO.
5.4. Usando SEGMENTO construya las medianas del triángulo. ( unión del vértice con
el punto medio del lado opuesto ).
Página 68
5.5. Marque la intersección de las tres medianas, use PUNTO DE INTERSECCIÓN.
5.6. Seleccione OBJETO INICIAL en el menú macro y entonces seleccione el triángulo
en el dibujo. Seleccione OBJETO FINAL en el menú de macro y entonces seleccione
el punto de intersección de las tres medianas. Selecciones DEFINA MACROS.
Nombre su macro BARICENTRO. Haga clic en la caja ok.
5.7. Pruebe su macro, para ello limpie la pantalla y construya un triángulo, seleccione su
macro BARICENTRO y haga clic sobre el triángulo.
6. Atendiendo al caso anterior, construye una macro para:
1. El ortocentro. (punto de intersección de las tres alturas de un triángulo).
2. El circuncentro. (punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo).
3. El incentro. (punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo)
Página 69
Bibliografía
Dinora ... [et Al.] Azcárate Jiménez. Didáctica de la Geometría.
González, Javier Juan. Modelos geométricos para una mejor enseñanza de la Geometría
Stan, Hikary. La Geometría y los juegos
.
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