Medidas de Sensibilidad
Profesor: Miguel Ángel Martín Mato
Gestión de Riesgos
Duración de Macaulay
rofesor: Miguel Angel Martín
DURACIÓN DE MACAULAY (Frederik Macaulay 1938)
Es el periodo de tiempo en el que la reinversión de los flujos futuros de fondos de un instrumento de renta fija compensa exactamente la variación en el precio del mismo derivada de una oscilación en los tipos de interés. Toma los supuestos de la TIR
Que las tasas de rendimiento se mantiene Se realizan reinversiones de los flujos a dicha tasa
Asume que los movimientos en la curva de rendimiento son paralelos
rofesor: Miguel Angel Martín
Duración de Macaulay
La ecuación de Duración calcula el valor actual de cada uno de los flujos de efectivo y pondera cada uno por el tiempo hasta que se reciba.
Todos estos flujos de efectivo ponderados se suman y la suma se divide entre el precio actual del bono.
Precio
)1(Macaulay deDuración 1
n
ttr
tFlujos
rofesor: Miguel Angel Martín
Duración de Macaulay
Ejemplo:Bono con cupón del 9% que tiene 4 años de vida, y que paga los intereses anuales, y que está cotizando al 96,83% y con una TIR de 10%.
La sensibilidad de este activo a variaciones del tipo de interés es de 3,52 años. Tienen que pasar 3,52 años para que la reinversión de los cupones compense la variación en el precio ocasionada por un movimiento en los tipos de interés.
añosD 52,383,96
)1,1(
4109
)1,1(
39
)1,1(
29
1,1
19432
rofesor: Miguel Angel Martín
Similitud con un Bono Cupón Cero La Duración de Macaulay nos da la equivalencia que
tiene un instrumento de renta fija con un homólogo que sea cupón cero (es decir, aquel que nos dé todos los cupones juntos a una determinada fecha).
Un bono a 4 años que cada año paga 9€ y cuesta 96.83€ con un rendimiento a vencimiento de 10%.
Un bono a 3,53 años que a su vencimiento paga 36€ de cupones y cuesta también 96,83€, cuyo rendimiento también será de 10%.
añosD 52,383.96
)10,1(
4109
)10,1(
39
)10,1(
29
10,1
19432
9%cupón
añosD 52,383.96
)10,1(
52,313652,3
cerocupón
rofesor: Miguel Angel Martín
Duración como punto de equilibrio
rofesor: Miguel Angel Martín
América LeasingTC: 7%(TEA) Yield: 10%(TEA)
0
50
100
150
200
250
1 2 3 4 5 6
Cupón
Nominal
t Nominal cupón Flujos VP VPxt0.5 200 34.41 234.41 223.50 111.75
1 200 27.53 227.53 206.84 206.841.5 200 20.64 220.64 191.25 286.88
2 200 13.76 213.76 176.66 353.332.5 100 6.88 106.88 84.22 210.55
3 100 3.44 103.44 77.72 233.15Precio 960.19 1402.50
Dur.Años 1.46
rofesor: Miguel Angel Martín
1ª PROPIEDAD
La Duración de Macaulay de un bono es mayor cuando la tasa de cupón es más baja.
0.05 0.1 0.15 0.2Cupón
12.5
15
17.5
20
22.5
25
27.5
30
DMac
Bono con un vencimiento de 30 años y con un rendimiento de 5%
rofesor: Miguel Angel Martín
2ª PROPIEDAD
La Duración de Macaulay de un bono incrementa con el tiempo a vencimiento
20 40 60 80Años
5
10
15
20
DMac
Bono con una tasa de cupón de 5%, un valor nominal de 1000€ y un rendimiento 5%
rofesor: Miguel Angel Martín
Duración vs. TC vs. Tiempo
10
2030
40
Tiempo0
0.020.04
0.060.08
0.1
T.C.
0
10
20
30
40
DMac
10
2030
40
Tiempo
0
10
20
30
40
DMac
rofesor: Miguel Angel Martín
3ª PROPIEDAD
La Duración de Macaulay es más alta cuando la tasa de rendimiento es más baja
0.05 0.1 0.15 0.2Rend
8
10
12
14
16
18
20
DMac
un bono que tiene 30 años, una tasa de cupón de 5% y un nominal de 1000€
rofesor: Miguel Angel Martín
Duración vs. Rendimiento vs. Tiempo
0.020.04
0.060.08
0.1Rend10
20
30
Tiempo
0
5
10
15
20
DMac
0.020.04
0.060.08
0.1Rend
rofesor: Miguel Angel Martín
Relación de la Tasa de Cupón vs. Rendimiento
Según la primera propiedad a mayor tasa de cupón menor es la duración, y según la tercera propiedad a menor tasa de rendimiento mayor es la duración. Ahora va a analizarse como confluyen los dos efectos, el de la tasa de cupón y el del rendimiento sobre la Duración de Macaulay.
00.02
0.040.06
0.08 Rend
00.05
0.10.15
0.2T.C.
10
15
20
25
30
DMac
00.02
0.040.06
0.08 Rend
10
15
20
25
30
DMac
rofesor: Miguel Angel Martín
rofesor: Miguel Angel Martín
Duración: Elasticidad-Precio
La duración Modificada mide la variación que tiene el precio del bono ante movimientos de la yield.
La Duración se puede expresar como la negación de la elasticidad–precio del bono con relación a un cambio en el factor de descuento.
)1(
)1(
r
rP
P
D
Pr
rDP
)1(
)1(
)1(
Macaulay Dur.Modificada Dur.
r
P
r
tF
r
t
)1(
)1(
1
rofesor: Miguel Angel Martín
La Duración de una cartera de bonos
La Duración de una cartera de bonos vendrá dada por la suma de las duraciones ponderadas de los activos que la componen.
nnC wDwDwDwDD 332211
n
iiiC wDD
1
n
nC
D
D
wwD 1
1
Convexidad
rofesor: Miguel Angel Martín
La Duración es la Tangente al precio del bono
rofesor: Miguel Angel Martín
Convexidad
Tasa de Cupón Vencimiento Rendimiento DuraciónBono A 10% 30 añosBono B 3% 14 años
10% 10.3 años
- 0.04 - 0.02 0.02 0.04DR
- 0.2
0.2
0.4
0.6
D%P
Bono A línea gruesa
Bono B línea delgada
rofesor: Miguel Angel Martín
rofesor: Miguel Angel Martín
Principios de la convexidad
Existen dos principios básicos de la convexidad: Aspecto 1: Al igual que la unidad de medida de la
duración es en años, la unidad de medida de la convexidad es en años al cuadrado.
Es lógico porque se aprecia en la fórmula de cálculo que cada flujo es ponderado por t*(t+1), lo que hace que la dimensión de la Convexidad sea en años al cuadrado.
Aspecto 2: La Convexidad es siempre positiva. Esta propiedad es debida a que la tasa de variación del precio respecto al rendimiento se da una tasa creciente.
rofesor: Miguel Angel Martín
bono a 14 años con una tasa de cupón de 3% y un rendimiento de 10%, siendo su nominal 1000€
(1) (2) (3) (4) Tiempo F. Descuento
t tx(t+1) Flujo 1/(1+r)^t (3)x(4) (2)x(3)x(4) 1 2 30 0.909 27.273 54.55 2 6 30 0.826 24.793 148.76 3 12 30 0.751 22.539 270.47 4 20 30 0.683 20.490 409.81 5 30 30 0.621 18.628 558.83 6 42 30 0.564 16.934 711.24 7 56 30 0.513 15.395 862.11 8 72 30 0.467 13.995 1007.66 9 90 30 0.424 12.723 1145.06
10 110 30 0.386 11.566 1272.29 11 132 30 0.350 10.515 1387.96 12 156 30 0.319 9.559 1491.19 13 182 30 0.290 8.690 1581.57 14 210 1030 0.263 271.231 56958.55
Total 484.332 67860.04
rofesor: Miguel Angel Martín
1ª PROPIEDAD
Cuanto mayor sea el tiempo que tiene un bono hasta su vencimiento mayor es la Convexidad.
La Convexidad es una medida cuadrática del tiempo ya es una media ponderada de t*(t+1), lo que implica que a mayor sea el t mayor será la Convexidad
5 10 15 20 25 30Tiempo
50
100
150
200
250
300
350
Cvx
bono con tasa de cupón y tasa de rendimiento de 5% y un valor nominal de 1000
rofesor: Miguel Angel Martín
2ª PROPIEDAD
La tasa de cupón tiene una fuerte incidencia en la Convexidad, pero en este caso la relación es inversa. A mayor tasa de cupón menor es la Convexidad
0.05 0.1 0.15 0.2Cupón
300
400
500
600
700
800
Cvx. bono con un rendimiento de 5%, un vencimiento de 30 años y un valor nominal de 1000
rofesor: Miguel Angel Martín
Tasa de cupón con duración fija
Entre bonos que tienen la misma duración de Macaulay a menor tasa de cupón la Convexidad es menor.
Bono A cupón cero a 16.14 años con un rendimiento de 5%
Bono B a 30 años con tasa de cupón de 5% y un rendimiento también del 5%
Bono A Bono B Cupón 0 5 Vencimiento 16.14 años 30 años Duración 16.14 años 16.14 años Convexidad 250.92 años2 350.46 años2
rofesor: Miguel Angel Martín
3ª PROPIEDAD
A mayor tasa de rendimiento, la Convexidad decrece
0.05 0.1 0.15 0.2Rend
100
200
300
400
500
Cvxbono de 30 años con una tasa de cupón de 5% y un valor nominal de 1000
rofesor: Miguel Angel Martín
Aplicación del T. De Taylor
rDModP Duración) Efecto(%
2)(2
1Convexidad Efecto rConvexidad
P
)1(
)1(
)1(
1Convexidad
t
2
r
ttF
r
2)(2
1Total Efecto rConvexidadrDMod
rofesor: Miguel Angel Martín
- 0.04 - 0.02 0.02 0.04Dr
- 0.75
- 0.5
- 0.25
0.25
0.5
0.75
D% P
Efecto Duración
Efecto Convexidad
bono a 30 años con una tasa de cupón de 5% y con un valor nominal de 1000
rofesor: Miguel Angel Martín
Aproximación por la Exp. De Taylor
- 0.04 - 0.02 0.02 0.04Dr
- 0.5
0.5
1
1.5
D%P
Variación Real
Efecto Total Exp. Taylor
rofesor: Miguel Angel Martín
00.025
0.05
0.075
0.1Cupón
0
10
20
30
Tiempo
0
200
400
600
800
Cvx
00.025
0.05
0.075
0.1Cupón
Convexidad Vs Tasa de Cupón y Tiempo a Vencimiento
rofesor: Miguel Angel Martín
Limitaciones
Effective DurationUtiliza variaciones promedio de los precios.
Duración
Modified Duration
Asume que cambios en el rendimiento no varían los
cash flow esperados
Effective Duration
Reconoce que cambios en el rendimiento pueden cambiar los cash flow
esperados
rofesor: Miguel Angel Martín
Inmunización de carteras
Una de las formas más simples de inmunización es adecuar la Duración de Macaulay de una cartera al horizonte planeado de inversión.
Un inversor tiene una riqueza de 1000€ y desea invertir en bonos durante 7 años
Tasa de Cupón Vencimiento Rendimiento DuraciónBono A 9% 7 años 9% 4.2 añosBono B 9% 10 años 9% 7 añosBono C 9% 15 años 9% 10 años
rofesor: Miguel Angel Martín
Inmunización
Capital que se espera obtener
Resultados si el rendimiento sube a 11%
Venta
de Precio
nesreinversio
y CuponesFinal Riqueza
8
18
7
0 )09.1(
1000
)09.1(
90(1.09)90
tt
t
t
Si R=11%Precio de
VentaCupones y
reinversionesRiqueza
FinalVariación
Bono A 1000.00 880.49 1880.49 52.45Bono B 951.13 880.49 1831.62 3.58Bono C 897.08 880.49 1777.57 -50.47
04.1828)09.1(1000 7
04.1828100004.828
rofesor: Miguel Angel Martín
Inmunización
1,650
1,750
1,850
1,950
2,050
3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%Rendimiento
Riqueza Final
Bono A
Bono B
Bono C