METODO DE INTEGRACION
POR SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
CALCULO INTEGRAL
𝑎2 − 𝑢2
PARA ESTE CASO, SE REALIZARÁ LA
SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO
“u” UNA NUEVA VARIABLE:
𝒂𝟐 − 𝒖𝟐 ⇒ 𝒖 = 𝒂 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝛽
𝑢2 − 𝑎2
PARA ESTE CASO, SE REALIZARÁ LA
SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO
“u” UNA NUEVA VARIABLE:
𝑢𝟐 − 𝑎𝟐 ⇒ 𝒖 = 𝒂 ∗ 𝑠𝑒𝑐 𝛽
𝑢2 + 𝑎2
PARA ESTE CASO, SE REALIZARÁ LA
SUSTITUCION SIGUIENTE UTILIZANDO COMO
“u” UNA NUEVA VARIABLE:
𝑢𝟐 + 𝑎𝟐 ⇒ 𝒖 = 𝒂 ∗ 𝑡𝑎𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + cos2 𝛽 = 1
𝑠𝑒𝑛2𝛽 = 1 − cos2 𝛽 cos2 𝛽 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛽1 + 𝑡𝑔2 𝛽 = sec 𝛽
𝑡𝑔2𝛽 = sec2 𝛽 − 1 sec2 𝛽 − 𝑡𝑔2𝛽 = 1
𝑠𝑒𝑛𝛽 =1
c𝑠𝑐 𝛽csc 𝛽 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛽 =1
sec 𝛽sec 𝛽 =
1
cos 𝛽
𝑡𝑔 𝛽 =1
𝑐𝑡𝑔 𝛽𝑐𝑡𝑔 𝛽 =
1
𝑡𝑔 𝛽
𝑑𝑥
9 − 𝑥232
SOLUCION:
AL ANALIZAR UN POQUITO DE ESTA INTEGRAL, VEMOS QUE TIENE DEL TIPO
𝑎2 − 𝑢2, DONDE SE REALIZARA LA SUSTITUCION SIGUIENTE:
𝑎2 = 9 𝑢2 = 𝑥2
𝑎 = 3 𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
ASI QUE, SUSTITUYENDO, SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
𝑑𝑥
9 − 𝑥232
= 𝑑𝑢
𝑎2 − 𝑢232
Y TAMBIEN REALIZAR LA SUSTITUCION SIGUIENTE PARA ESTE TIPO DE CASOS:
𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑑𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑑𝛽
Y POR LO TANTO:
𝑑𝑢
𝑎2 − 𝑢232
= 𝑑𝑢
𝑎2 − 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛽 232
= 𝑎 ∗ cos𝛽 𝑑𝛽
𝑎2 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛽32
= 𝑎 ∗ cos 𝛽 𝑑𝛽
𝑎2 cos2 𝛽32
= 𝑎 ∗ cos 𝛽 𝑑𝛽
𝑎232 cos2 𝛽
32
= 𝑎 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑑𝛽
𝑎3 𝑐𝑜𝑠3𝛽
=1
𝑎2
𝑑𝛽
cos2 𝛽=1
𝑎2 sec2 𝛽 𝑑𝛽 =
1
𝑎2𝑡𝑔 𝛽 + 𝐶
Y RECORDANDO LAS SUSTITUCIONES QUE SE REALIZARON EN EL PROCESO DE
LA SOLUCION DEL PROBLEMA, SE VUELVEN A DESPEJAR, QUEDANDO DE LA
SIGUIENTE MANERA:
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑢
𝑎
cos 𝛽 =𝑎2 − 𝑢2
𝑎
𝑡𝑔 𝛽 =𝑢
𝑎2 − 𝑢2
1
𝑎2𝑡𝑔 𝛽 + 𝐶 =
1
𝑎2∗
𝑢
𝑎2 − 𝑢2+ 𝐶
Y RECORDANDO QUE:𝑎2 = 9 𝑎 = 3𝑢2 = 𝑥2 𝑢 = 𝑥
1
𝑎2∗
𝑢
𝑎2 − 𝑢2+ 𝐶 =
1
9∗
𝑥
9 − 𝑥2+ 𝐶
𝑑𝑥
9 − 𝑥232
=1
9∗
𝑥
9 − 𝑥2+ 𝐶
𝑑𝑧
𝑧2 + 632
SOLUCION:𝑎2 = 6 𝑢2 = 𝑧2
𝑎 = 6 𝑢 = 𝑧𝑑𝑢 = 𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑧2 + 632
= 𝑑𝑢
𝑢2 + 𝑎232
𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑡𝑔 𝛽𝑑𝑢 = 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽
𝑑𝑢
𝑢2 + 𝑎232
= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽
𝑎 ∗ 𝑡𝑔 𝛽 2 + 𝑎232
= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽
𝑎2𝑡𝑔2𝛽 + 𝑎232
= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽
𝑎2 𝑡𝑔2 𝛽 + 132
= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽
𝑎2 sec2 𝛽32
= 𝑎 ∗ sec2 𝛽 𝑑𝛽
𝑎3 𝑠𝑒𝑐3𝛽=1
𝑎2 𝑑𝛽
sec 𝛽=1
𝑎2 cos𝛽 𝑑𝛽
=1
𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝐶
Y AL REALIZAR EL TRIANGULO RECTANGULO CON SUS RESPECTIVAS VARIABLES,
TOMAREMOS LO SIGUIENTE:
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑢
𝑢2 + 𝑎2
𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑎
𝑢2 + 𝑎2
tg 𝛽 =𝑢
𝑎
Y TAMBIEN RECORDAR QUE
𝑎2 = 6 𝑢2 = 𝑥2
𝑢 = 𝑥
1
𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝐶 =
𝑢
𝑎2 𝑢2 + 𝑎2+ 𝐶 =
𝑥
6 𝑥2 + 6+ 𝐶
∴ 𝑑𝑧
𝑧2 + 632
=𝑥
6 𝑥2 + 6+ 𝐶
𝑥2 − 25
𝑥𝑑𝑥
SOLUCION:
𝑢2 = 𝑥2 𝑎2 = 25𝑢 = 𝑥 𝑎 = 5𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥2 − 25
𝑥𝑑𝑥 =
𝑢2 − 𝑎2
𝑢𝑑𝑢
𝑢 = 𝑎 ∗ sec 𝛽𝑑𝑢 = 𝑎 ∗ sec 𝛽 𝑡𝑔 𝛽 𝑑𝛽
𝑢2 − 𝑎2
𝑢𝑑𝑢 =
𝑎2 sec2 𝛽 − 𝑎2
𝑎 ∗ sec 𝛽𝑎 ∗ sec 𝛽 ∗ 𝑡𝑔 𝛽 𝑑𝛽 = 𝑡𝑔 𝛽 𝑎2 sec2 𝛽 − 1 𝑑𝛽
= 𝑡𝑔 𝛽 𝑎2𝑡𝑔2𝛽𝑑𝛽 = 𝑎 𝑡𝑔 𝛽 ∗ 𝑡𝑔 𝛽 𝑑𝛽 = 𝑎 𝑡𝑔2 𝛽 𝑑𝛽 = 𝑎 (sec2 𝛽 − 1)𝑑𝛽
= 𝑎 𝑠𝑒𝑐2 𝛽 𝑑𝛽 − 𝑎 𝑑𝛽 = 𝑎 𝑡𝑔 𝛽 − 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶
Y AL ANALIZAR EL TRIANGULO, SUSTITUIMOS LO SIGUIENTE PARA “tg B”:
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑢2 − 𝑎2
𝑢
cos𝛽 =𝑎
𝑢
𝑡𝑔 𝛽 =𝑢2 − 𝑎2
𝑎
𝑎 𝑡𝑔 𝛽 − 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶 = 𝑎 ∗𝑢2 − 𝑎2
𝑎− 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶
PARA EL CASO DE “beta”, SE DESPEJARA CUALQUIERA DE ESAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS Y, POR LOGICA, SE TRANSFORMARAN A FUNCIONES
INVERSAS TRIGONOMETRICAS (ES DECIR, arc sen, arc cos y/o arc tg). PARA
OBTENER UNA FACILIDAD ALTA, DESPEJAREMOS BETA PARA LA FUNCION
“COS”, ES DECIR:
cos𝛽 =𝑎
𝑢⇒ 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐 cos
𝑎
𝑢
Y VOLVIENDO A LA SOLUCION:
𝑎 ∗𝑢2 − 𝑎2
𝑎− 𝑎 ∗ 𝛽 + 𝐶 = 𝑎 ∗
𝑢2 − 𝑎2
𝑎− 𝑎 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos
𝑎
𝑢+ 𝐶
Y SIN OLVIDAR QUE:
𝑎2 = 25 𝑢2 = 𝑥2
𝑎 = 5 𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑎 ∗𝑢2 − 𝑎2
𝑎− 𝑎 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos
𝑎
𝑢+ 𝐶 = 5 ∗
𝑥2 − 25
5− 5 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos
5
𝑥+ 𝐶
= 𝑥2 − 25 − 5 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos5
𝑥+ 𝐶
∴ 𝑥2 − 25
𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 − 25 − 5 ∗ 𝑎𝑟𝑐 cos
5
𝑥+ 𝐶
BIBLIOGRAFIAS
W. SWOKOWSKI, EARL, “CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA”, SEGUNDA
EDICION, E.U.A, 1097 PAGS.
Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas VDGETI, 1ra
Edición, 269-275 págs.
AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE CÁLCULO
INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 37-38.
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