ESTRUCTURAS
EL METODO GENERAL
MODULO INSTRUCCIONAL
MI-E4
Ing.N.VILLASECA C.
Anlisis Estructural
Mdulo Instruccional 4 Ing N. Villaseca C. 2
Trabajo elaborado bajo la coordinacin, orientacin y
supervisin del Autor, con la participacin de:
Responsable : Ing. N.Villaseca C.
Los derechos de autor son de propiedad exclusiva del mencionado profesional. Prohibida la
reproduccin parcial o total , mediante cualquier dispositivo, sin la autorizacin escrita del
autor.
FICHA CATALOGRAFICA
PERU, NVC
Estructuras: El Mtodo General
Lima Peru, 1995
21 pginas Anlisis Estructural Anlisis Estructural Anlisis Estructural ( Mdulo
Instruccional No. 4)
Material Didactico Escrito-Capacitacin por Mdulos
Anlisis Estructural
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INGENIERIA CIVIL
ESTRUCTURAS
METODO GENERAL
MI-E4
N. VILLASECA C.
Anlisis Estructural
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INDICE
INTRODUCCION 5
OBJETIVOS 6
EVALUACION DE ENTRADA 7
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1 CONCEPTOS GENERALES 8
EVALUACION 1 11
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 2 APLICACION DEL METODO 12
Problemas propuestos como ejercicios 17
Clave de respuestas de ejercicios 18
EVALUACION 2 19
EVALUACION DE SALIDA 20
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 21
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INTRODUCCION
El estudio del presente mdulo, le permitir adquirir los conceptos bsicos para el
entendimiento de los mtodos de anlisis de estructuras, el mdulo se ha organizado en
funcion a que Ud.. adquiera primero los conceptos necesarios sobre el tema y luego los
aplique, en este ltimo caso se ha tenido cuidado en seleccionar las aplicaciones con objeto
de reforzar los conocimientos adquiridos.
PRE-REQUISITO
Para que Ud. aproveche de mojor manera el presente material, Ud debe haber estudiado el
Modulo MI-E3 Teoremas de Castigliano Betti-Maxwell
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OBJETIVOS
Este Mdulo Instruccional pretende orientarlo a lograr los siguientes objetivos
instruccionales:
1. Mediante el estudio de los Conceptos explicados en este mdulo, Ud. podr explicar las
bases generales del Mtodo General, para el Anlisis Estructural.
2. Usando el Mtodo General explicado en este mdulo, Ud. podr resolver problemas
relacionados al Anlisis de Estructuras, efectuando el planteamiento de los problemas que
se le propongan, sin errores .
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EVALUACION DE ENTRADA
Despus de examinar los objetivos de este mdulo Instruccional usted puede haber llegado
a una de las siguientes conclusiones:
NO Vaya a la unidad de Aprendizaje 1
pg. 8 luego vuelva a Inicio
Inicio soy capaz de desempear el
objetivo No. 1? NO
Vaya a la unidad de Aprendizaje2
pg. 12 SI soy luego vuelva a Inicio
capaz de desempear el
objetivo N0. 2?
SI Efecte la
Evaluacin de Salida Pg.20
*
* Resultado: Si es menor que el patrn determinado en los Objetivos, revise nuevamente el material. Si el resultado es igual al patrn de los objetivos permtanos felicitarlo, y contine en su plan de estudios
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 1
EL METODO GENERAL
1.1 Generalidades
El presente mtodo de anlisis de estructuras se emplea para el clculo de deflexiones en
general, abarca tanto a giros como a deformaciones lineales como angulares, adems se
emplea para estudiar las estructuras indeterminadas. Las estructuras indeterminadas se
emplean con mayor frecuencia en la actualidad debido al desarrollo de los procesos
constructivos y de los materiales, los cuales permiten crear estructuras contnuas y de
variadas formas, para atender los diferentes requerimientos de los usuarios, por lo que el
mtodo se constituye en una herramienta interesante al permitir el anlisis general de todo
tipo de estructura con redundantes hiperestticas.
1.2. Conceptos
El mtodo general, es conocido tambin como el Mtodo de la Fuerza Unidad, a continuacin presentamos a manera de recordar algunos conceptos relacionados con el tema:
Fuerza .-
Salvo que se especifique lo contrario, el trmino fuerza , se emplear en este mdulo para indicar en forma general a fuerzas internas que se desarrollan en la estructura a la solicitacion de las cargas, en ese sentido
podemos indicar un carcter de fuerza generalizada.
Hiperestaticidad .- Se refiere en el campo del anlisis esttico lineal, a las acciones presentes a la estructura que exceden las
condiciones mnimas para establecer la valides de las condiciones de equilibrio de la esttica.
1.3 PLANTEAMIENTO DEL METODO GENERAL
EL MTODO GENERAL El mtodo general permite calcular deflexiones con mayor comodidad dado que el estudiante en este
nivel estar familiarizado con los diagramas de solicitaciones internas de las estructuras, pero su mayor ventaja se observa en el establecimiento de ecuaciones de COMPATIBILIDAD que se emplean para analizar estructuras
indeterminadas. El mtodo es conocido tambin, como el mtodo de distorsiones congruentes o desplazamientos congruentes, se
acredita a Clerk Maxwell, Otto Morh y Heinrich Muller-Breslau.
Las ecuaciones de condicin para coherencia geomtrica de una estructura se obtienen por superposicin
de desplazamientos causados por cargas aplicadas, los esfuerzos y reacciones redundantes individuales. Los coeficientes de estos esfuerzos y reacciones redundantes son las deflexiones debidas a reacciones y esfuerzos
unitarios, y estas deflexiones se pueden encontrar por cualquier mtodo.
El primer paso en el anlisis de estructuras indeterminadas por el Mtodo General, es el de suprimir los esfuerzos y/o componentes de reaccin redundantes y , al hacer esto, reducir o "cortar" la estructura a una
condicin de determinacin y estabilidad. Cualquier combinacin de esfuerzos y/o reacciones redundantes se puede suprimir. Las ecuaciones de condicin de deflexin se escriben entonces, una para cada punto de aplicacin
de una componente de esfuerzo o reaccin redundante. Cuando se resuelven estas ecuaciones, proporcionarn las magnitudes y sentidos de componentes redundantes de esfuerzos y/o reacciones.
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El Mtodo de la Fuerza Unitaria:(M. carga unitaria simulada)
En el Mtodo General, una de las fases de trabajo es el clculo de deformaciones. Si consideramos el
empleo de los Teoremas de Castigliano encontrbamos la necesidad de evaluar:
Es la derivada parcial de una ecuacin representa la rapidez de cambio del momento de flexin ( en este caso ) , con
la carga P. Es igual al momento de flexin m producido por una carga unitaria generalizada, aplicada en el punto en donde se va a medir la deformacin y en la direccin de la deformacin. Por ello la expresin para calcular
deformaciones por efectos de flexin puede escribirse:
W
P=
.
=M
EI*
M
P*ds
.
El termino:
.
M
P
P
P
0
L
i
0
L
i
i
1
n
=M * m
EI* ds
.
.
En el caso general:
.
=Mm
EIds+
Nn
AEds+
.
+KVv
GAds+
Tt
JGds
.
.
Para el caso de cerchas:
.
=NnL
AE
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OBSERVACIONES PARA SIMPLIFICAR CALCULOS
1. En la estructura a analizar se debe evaluar cuales son las solicitaciones a tener en cuenta para el clculo, esto
permite simplificar el trabajo al considerar los mecanismos que son determinantes o significativos en la estructura en particular.
2. Se debe tener en cuenta que los elementos que no presentan solicitaciones significativas, por las cargas reales o
por las cargas unitarias supuestas, no intervienen en el clculo de las deformaciones.
3. Considere las simplificaciones propias de las cargas, elementos, geometra y casos de simetra.
4. Considere la aplicacin del principio de superposicin para combinaciones de carga.
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EVALUACION 1
1. Qu propsitos tiene el estudio del Mtodo General? 2. Explique las bases conceptuales del Mtodo General 3. Explique los factores a tener en cuenta en el Mtodo General 4. Explique las caractersticas de las formulaciones del Mtodo General 5. Explique la relacin entre el Mtodo General y Los Teoremas de Castigliano
Resuelva esta evaluacin, busque a su Orientador o tutor para su verificacin. Si
alcanza el patrn exigido como satisfactorio, contine con el estudio, si no lo
alcanza debe reestudiar los contenidos de su Actividad de Aprendizaje 1 y
reforzar los errores detectados en su evaluacin.
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 2
APLICACION DEL METODO
Para proceder al estudio de la aplicacion del metodo hemos ordenado una serie de
ejercicios en los cuales aplicamos los conceptos involucrados en la unidad de aprendizaje
anterior los cuales son considerados en orden de menor a mayor grado de dificultad.
Aplicacion No. 1
En la estructura mostrada debajo, se desea calcular el desplazamiento horizontal, vertical ,
y el giro del extremo en volado, cuando en el tramo horizontal actua una carga distribuida
de 2 t/m. Los elementos de la estructura tienen una Inercia de 3x 104 cm4 y el material
que los conforma presenta un modulo elastico E= 2x106 kg/cm2
2 t/m
4
3 m
La resolucion del problema se inicia con la identificacin de la solicitacin que es
significativa para la estructura, en este caso el mecanismo de deformacin por flexin.
Por lo anterior la formulacin a emplear es la siguiente:
EI = M m dx
Observando la expresin anterior, llegamos a concluir que requerimos conocer las leyes de
variacin de los momentos flectores por cargas reales (M) y por Carga Unitaria (m), asi
mismo que estas funciones sean dependientes de la variable de posicin (x) , esta variable
puede ser elegida convenientemente tanto para facilitar la integracin como por
comodidad.
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Efectuamos los diagramas de Momentos flectores:
M
DMF CARGAS REALES
Como segundo paso calcularemos la deflexin vertical del extremo en voladizo para lo cual
se requiere aplicar una carga unitaria en el punto en que se desea calcular la deformacin,
esta carga se aplicar adicionalmente en la direccin en que se desee calcular el referido
desplazamiento.
Para el caso que tenemos planteado la carga unitaria aplicada y el correspondiente
diagrama de momentos se muestran acontinuacin:
P=1
B A
mv
Diagrama de momentos
flectores por carga unitaria
vertical en A
C
La aplicacin cuenta con dos tramos a integrar el tramo A B y el tramo B C, de lo que se
tiene:
EI = 3(x2)x dx + 4 (9) (3) dx
0 0
EI = 20,25 + 108,0 = 128,25
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Por lo que reemplazando por los valores de EI = 6 000,0 t.m2 , obtenemos
= 0,021 m = 2, 1 cm
Para el segundo caso, consistente en calcular la deflexin horizontal del mismo extremo
el diagrama de momentos y carga aplicada se indican a continuacin:
P=1
B A
mh
Diagrama de momentos
flectores por carga unitaria
horizontal en A
C
La aplicacin cuenta con un solo tramo a integrar el tramo A B , dado que el tramo B C no
presenta momentos flectores por accin de la carga unitaria, observe que basta que un tramo
no presente momentos flectores para que no sea necesario incluirlo el el calculo, de lo
anterior tenemos:
EI = 4(9)x dx
0
EI = 72,0
Por lo que reemplazando por los valores de EI = 6 000,0 t.m2 , obtenemos
= 0,012 m = 1,2 cm
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Para concluir con este caso, calculemos el giro en el extremo, siendo as lo que debemos
aplicar como fuerza unitaria es un momento flector concentrado en el punto a evaluar
obteniendo un esquema como el que se muestra a continuacin:
M=1
B A
m
Diagrama de momentos
flectores por carga unitaria
giro en A
C
La aplicacin cuenta con dos tramos a integrar el tramo A B y el tramo B C, de lo que se
tiene:
EI = 3(x2)1 dx + 4 (9) (1) dx
0 0
EI = 9,0 + 36,0 = 45,0
Por lo que reemplazando por los valores de EI = 6 000,0 t.m2 , obtenemos
= 0,0075 rad
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Aplicacin No. 2
En la estructura mostrada debajo, se desea calcular el desplazamiento horizontal del nudo
nmero 4 como resultado de la aplicacin de una carga aplicada en el nudo numero 5 de 18
toneladas, vertical y hacia abajo y dos cargas horizontales de 6 toneladas aplicadas en los
nudos 2 y 3. Los elementos de la estructura tienen un Area=35 cm2 y el material que los
conforma presenta un modulo elastico E= 2x106 kg/cm2
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Resuelva los ejercicios propuestos a continuacin , confrontando sus
respuestas con las que aparecen en la siguiente pgina.
E.1 En una viga simplemente apoyada , de luz igual a 12 m, con EI = 3 000,0 t.m2 . Se le
aplica una carga distribuida de 2 t/m2 a todo lo largo y una carga puntual de 3,58 tn
aplicada a 2,7 m del apoyo izquierdo , se desea calcular la deflexin del punto central.
E.2 Para la cercha indicada se desea calcular el desplazamiento total del nudo 3,
considerando que todos los elementos son de acero y tienen un area de 23,0 cm2. Para ello
calcule el desplazamiento horizontal y luego el vertical del referido nudo.
5,0 t
2
2 5,0 t
3
2
1 4 5
4 4 m
E3 Considerando como incognita hiperesttica la reaccin del apoyo B, calcular el valor de
esta reaccin por el mtodo general.
3,5 t/m
EI B 2EI 2EI
3m
6 m 6 m
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CLAVE DE RESPUESTAS
Para ejercicios correspondientes a la actividad de aprendizaje N. 2
Problema Respuesta
E1 2,2, cm hacia abajo
E2 4,3 cm
E3 5,67 t hacia arriba
Si Ud. ha solucionado adecuadamente los problemas
anteriores proceda a resolver la Evaluacin No. 2 de la
siguiente pgina, en caso contrario revise el material
correspondiente a la unidad de aprendizaje No. 2
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EVALUACION No. 2
E.1 En una viga contnua de dos tramos, de luz igual a 12 m cada uno, con EI = 3 000,0 t.m2
. Se le aplica una carga distribuida de 2 t/m2 a todo lo largo del primer tramo y una carga
puntual de 4 tn aplicada en el centro del segundo tramo , se desea calcular la deflexin del
punto central del primer tramo.
E.2 Para la cercha indicada se desea calcular el desplazamiento total del nudo 3,
considerando que todos los elementos son de acero y tienen un area de 23,0 cm2. Para ello
calcule el desplazamiento horizontal y luego el vertical del referido nudo.
5,0 t 5 t
2
5 t 5,0 t
3
3,5 m
1 4 5
1,5 1,5 1,5m 2 2 m
E3 Considerando como incognita hiperesttica la reaccin del apoyo B, calcular el valor de
esta reaccin por el mtodo general.
3 t/m
EI B 2EI 2EI
3m
2EI
5 m 4 m
Resuelva esta evaluacin, busque a su Orientador o tutor para su verificacin. Si alcanza el patrn exigido
como satisfactorio, contine con el estudio, si no lo alcanza debe reestudiar los contenidos de su Actividad de Aprendizaje 2 y reforzar los errores detectados en su evaluacin.
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EVALUACION DE SALIDA
Ud. en este momento debe estar en condiciones de comprobar los OBJETIVOS del
presente mdulo instruccional. Si desea relea los objetivos indicados en la pg. ...
Si considera que puede seguir adelante , desarrolle la Evaluacin de Salida, en caso que no
sea as, efectu una revisin de la materia y despus realice la referida evaluacin.
Esta evaluacin tiene por propsito verificar sus capacidades en relacion a los Objetivos
del presente Mdulo Instruccional.
1. Explique las bases generales del Metodo General 2. Explique las diferencias de aplicacin del Metodo general a una estructura tipo portico
y al de una del tipo cercha.
3. Explique el procedimiento a aplicar para calcular una deformacin lineal y la diferencia que existe cuando se desea calcular un giro en un punto determinado.
4. Explique el procedimiento para el calculo de una estructura hiperesttica. 5. En la siguiente estructura calcular el giro en B, asi como el desplazamiento horizontal en A, considere solo deformaciones por flexin y considere que es una estructura
hiperesttica de 1er grado.
3,0 t/m B A 4EI 2EI
4,5m
C
6 m 6 m
Resuelta la prueba, remtala al Profesor del curso y espere su
resultado.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
ANALISIS DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS KINNEY
ANALISIS DE ESTRUCTURAS YUANG
ANALISIS ESTRUCTURAL LUTHE