MMII_CV_c2: Condiciones necesarias de primer y segundo orden del
modelo bsico y mtodos de integracin de la ecuacin de Euler.
Guin:
En esta clase se realiza una aproximacin distinta para obtener las cn10(ol),
as como se justifican las condiciones necesarias de segundo orden de ptimo
local.
La segunda parte de la clase se dedica a los mtodos de integracin del
modelo bsico del Clculo de Variaciones (CV).
Bibliografa recomendada: Adems del Elsgortz para esta leccin se debe
consultar el libro de problemas Clculo Variacional de Krasnov, Makarenko y
Kiseliov, tambin de la Editorial Mir.
Ejercicio recomendado: Opt. 2
2
1
( ) '(1 ')J y y x y que pase por los puntos:
A(1,3) y B(2,5).
______________________________________________________________________
Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a
clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararn las dudas y se subsanaran
posibles erratas, y a la consulta de la bibliografa recomendada.
OBTENCIN DE LAS CN10(OL) MEDIANTE EL ANLISIS FUNCIONAL
Las cn10(ol) equivalen a que la derivada de Gateaux del funcional, en el
supuesto de existir, debe ser nula: 0
( ) 0,d
J J y h h Vd
lo que se puede poner,
2
1
0( , , ' ' ) 0,
x
x
df x y h y h h V
d
derivando, 2
1
' ' 0,
x
y y
x
f h f h h V , que enlaza con la aproximacin utilizada
en la clase anterior para definir las condiciones necesarias de primer orden de
mnimo local.
CONDICIN NECESARIA DE SEGUNDO ORDEN PARA MNIMO LOCAL
Definiciones de mnimo local/global, fuerte o dbil:
y mnimo local dbil (mld): ' a prximo ' ; a prximo ; ', yyyyVyyJ 10
y mnimo local fuerte (mlf): ' ; a prximo ; ', yyyVyyJ 10
y mnimo global (mg): 1J 0 y,y ' V
Fijarse que para obtener en estas y en las definiciones siguientes condiciones para el mximo local (Ml) es suficiente con cambiar el signo de las desigualdades. Vimos que un mnimo local se poda expresar como:
2 3
1 2 ( ) 0,J J J o h V
J 0 , h V cn1o(ol)
2 J 0 h V cn2o(ml)
Las variaciones de segundo orden vimos estn definidas por:
2
1
2 2
2 ' ' '2 ' ' 0 x
yy yy y yx
J h f hh f h f h V
2 2
2
11 1
x xx2 2
yy' yy ' x yy ' 1 2x x
2hh' f h f h f ' , pues h(x ) h(x ) 0 , ya que h V
0
Vhfhffhx
xyyyyyy ')'( ''' 0
2
1
22
El tercer trmino, se demuestra que, tiene mayor peso cuando las pertubaciones tienden a cero, con lo que obtenemos la cn20(ml), tambin
llamada Condicin de Legendre (CL): 210 xxxf yy , ''
Condicin necesaria de 2 orden de mnimo local (cn2o(ml)): los extremales que verifiquen la condicin de Legendre son candidatos a mnimo local.
Mtodos de integracin del modelo bsico:
1. f depende solo de x e y: ),( yxf
cn1o(ol): 0),( yxf y ecuacin que determina )(xy , que no tiene porqu
cumplir las condiciones de contorno solucin del problema de
contorno, salvo que de la casualidad que las condiciones de contorno
verifiquen la sol.
Ejemplo 1:1
1
2( )x
xJ x y ; 2( ) 0 ,yf x y y x no existe solucin,
salvo que las condiciones de contorno se establezcan justo en dicha recta.
2. f depende solo de y: )'(yf
1 2
y'y' y 'y ' iy ' y 'y '
i 2
y '' 0 y C x C d
f (y ') 0 Races de f : y ' kf (y ') 0 f y '' 0dx
y k x C incluidos en el caso anterior
21 CxCy :Solucin
Ejemplo 2: 2
1
21x
xyJ ' ; es el funcional distancia en el plano, cuyo
extremal sabemos que es la recta. La solucin es: 21 CxCy .
3. f depende solo de x e y: )',( yxf
y' y' y' 1
df ' f (x,y ') 0 f C
dx Integral primera
Ejemplo 3: 2
1
22 xyJ '
Resolvemos por dos mtodos: usando la integral primera y sin usarla:
a) 2 1y' 1 2
Cf 2y ' x C y C , x 0
x
Si las condiciones de contorno fueran: )()(
)(
xy
y
y 112
12
01
b) 02402 22 ''')''( yxyxxy edo de 2, que conduce al mismo
resultado, slo que el camino puede ser ms largo.
4. f depende solo de y e y: )',( yyf
10 Cfyffyfdx
dff yyyy ''' '')'( Integral primera, veamos:
0''''''''''''''' ''''''''' yffyfyyfyyfyfyfyfyfyfdx
dyyyyyyyyyyyyy
Ejemplo 4: 4
0
22/
)'( yyJ ; 10)(y ; 224 /)/(y
Tenemos dos mtodos, como antes:
a) 122
1
22 2 CyyCyyyyfyf y '''' ' . Completar como ejercicio.
b) xCxCyyyyyff yy sencos'')''()'( ' 210022
con las cond cont: xyCCy
Cycos
///)/(
)(
02222224
10
22
1
Si las cond cont fueran: 221
1
1
10CxCxy
Cy
Cy, sencos
)(
)(
es decir, existen infinitas soluciones.
Si las condiciones de contorno fueran: y(0) 1
soluciny( ) 1
5. f lineal en y: '),(),( yyxByxAf
' ( ) ' ' ' 'y y y y x y y xA B y B A B y B y B y A B
5a) y xA B : Estamos en el caso considerado cuando f(x,y).
5b) ( ') ( ) ( )y xA B fdx A By dx Adx Bdy d u , o la integral no
depende del camino y el modelo del CV carece de sentido (o existen infinitas
soluciones todas con el mismo valor).
Ejemplo 5: Opt. 'xyy : Ay = 0 Bx = y. solucin .
Ejemplo 6: Opt. 'y xy : Ay = 1 = Bx : f = y dx + xdy =d(xy) soluciones
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