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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Versión: 3 Edición: 1 Año: 2016
Modalidad Presencial
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Misión de UTEPSA:
“Lograr que cada estudiante desarrolle una
experiencia académica de calidad, excelencia,
con valores, responsabilidad social, innovación,
competitividad, y habilidades emprendedoras
durante su formación integral para satisfacer las
demandas de un mercado globalizado.”
Esto se sintetiza en:
“Educar para emprender y servir”
Visión de UTEPSA: “Ser una universidad referente y reconocida por su calidad académica, investigación y compromiso con la comunidad, en la formación de profesionales íntegros, emprendedores e innovadores, según parámetros y normativas nacionales e internacionales”.”
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¿Qué es la Guía MAAP?
Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos,
orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento.
Esta herramienta, otorga autoestudio y autoaprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras actividades
que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar diferentes
competencias.
I. Recordatorios y Recomendaciones
A su servicio Aunque las normas generales están claramente
establecidas, si a usted se le presenta una situación
particular o si tiene algún problema en el aula, o en
otra instancia de la Universidad, el Gabinete
Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para
ayudarlo.
Asistencia y puntualidad
Su asistencia es importante en TODAS las clases.
Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el
Reglamento de la Universidad se contemplan tres
faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del
Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted
sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA
ASIGNATURA.
Se considera “asistencia” estar al inicio, durante
y al final de la clase. Si llega más de 10 minutos
tarde o si se retira de la clase antes de que esta
termine, no se considera que haya asistido a
clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y
la puntualidad los días de evaluación.
Comportamiento en clases
Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna
circunstancia comen o beben dentro
el aula y tampoco organizan festejos
u otro tipo de agasajos en estos espacios,
para este fin está el Patio de Comidas.
Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los
espacios identificados para fumadores.
También se debe evitar la desconcentración o
interrupciones molestas por el uso indebido de
equipos electrónicos como teléfonos y tablets.
Cualquier falta de respeto a los compañeros, al
docente, al personal de apoyo o al personal
administrativo, será sancionada de acuerdo al
Reglamento de la Universidad.
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II. Orientaciones para el aprendizaje
La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con algunos
símbolos.
La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:
Símbolo Actividad Descripción
Preguntas A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas.
Prácticos y/o Laboratorios
Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.
Casos de Estudio y ABP
Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.
Investigación Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.
Innovación y/o Emprendimiento
A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.
Aplicación
Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.
Ética Responsabilidad Social
Formación Internacional Idioma Ingles
Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.
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III. Datos Generales
ASIGNATURA: Probabilidad y Estadística SIGLA: BMA-303 PRERREQUISITO: Ninguno
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:
El estudiante adquiere herramientas que le brindaran la capacidad de recolectar, organizar y
analizar datos, para poder determinar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables
basadas en tal análisis. Valora los métodos y técnicas estadísticas generales y propias del
campo de la especialidad en el aprendizaje del profesional en formación. Resume e interpreta
la información contenida en un conjunto de datos observados.
TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas Teóricas
Horas Prácticas
# de Clases
Unidad I Introducción a la ciencia estadística 4 1 2
Unidad II Procesamientos datos 1 7 3
Unidad III
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Medidas de forma
2
10
4
Unidad IV Análisis de regresión y correlación 1 4 2
Unidad V Introducción a las probabilidades 2 6 3
Unidad VI Distribuciones de probabilidad 1 7 3
Unidad VII Teoría del muestreo 2 4 2
ESTRUCTURA TEMÁTICA
Unidad Temas
I
INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD Y
ESTADISTICA
1.1. Presentación de la materia y sus actividades
1.2. Conceptos Básicos.
1.2.1. Definiciones Estadística Descriptiva
1.2.2. Definiciones Estadística Inferencial
1.2.3. Tipos de variables
1.3. Pasos para realizar una investigación estadística
descriptiva
1.4. Muestreo y tipos de muestreo
1.5. La encuesta y el diseño de cuestionarios
II
PROCESAMIENTOS DATOS (Variables
2.1. Procesamiento de datos de variables Cualitativas
2.1.1. Cuadro de distribución de frecuencias
2.1.2. Gráficos e interpretaciones
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Cualitativas – Variables Cuantitativas)
2.2. Procesamiento de datos de variables Cuantitativas
2.2.1. Cuadro de distribución de frecuencias
2.2.2. Gráficos e interpretaciones
III
MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
MEDIDAS DE
DISPERSION
MEDIDAS DE
FORMA
3.1. Definición de Medidas de Tendencia Central
3.2. Clasificación
3.2.1. Media
3.2.2. Mediana
3.2.3. Moda
3.2.4. Fractiles
3.2.4.1. Cuartiles
3.2.4.2. Deciles
3.2.4.3. Percentiles
3.2.5. Diagrama de Caja o boxplots
3.3. Definición de Medidas de Dispersión
3.4. Clasificación
3.4.1. Rango
3.4.2. Desviación media
3.4.3. Rango semi Intercuartil
3.4.4. Desviación Típica
3.4.5. Varianza
3.4.6. Coeficiente de Variación
3.5. Definición de Medidas de Forma
3.5.1. Sesgo o Asimetría
3.5.2. Kurtosis o Apuntamiento
IV
ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION
4.1. Definición
4.2. Calculo a través de mínimos cuadrados de la
Regresión y Correlación
4.3. Usos del análisis de Regresión
V
INTRODUCCION A LAS
PROBABILIDADES
5.1. Concepto de Probabilidad.
5.1.1. Experimento
5.1.2. Espacio Muestral
5.1.3. Evento
5.2. Modelos de Probabilidad.
5.3. Reglas de Probabilidad.
5.3.1. Suma
5.3.2. Multiplicación
5.4. Teorema de Bayes.
5.5. Aplicaciones de Probabilidad y Aplicaciones del
Teorema de Bayes.
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VI
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
6.1. Tipos de distribuciones probabilísticas
6.1.1. Distribución Binomial de Probabilidades.
6.1.2. Distribución de Poisson.
6.1.3. Distribución Normal de Probabilidades.
6.2. Aplicaciones de las distribuciones probabilísticas
VII
TEORÍA DEL MUESTREO
6.1. Tipos de Muestreo.
6.2. Cálculos para determinar el tamaño de la muestra
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Mínimo tres libros COMPLEMENTARIA ….
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4. Sistema de Evaluación
A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:
NÚM. TIPO DE
EVALUACIÓN UNIDADES A EVALUAR PUNTOS SOBRE 100
1 PRUEBA PARCIAL Unidades 1 a 3 15
2 PRUEBA PARCIAL Unidades 4 a 7 15
3 TRABAJOS PRÁCTICOS (CASOS-EJERCICIOS –
TRABAJO FINAL)
Problemas ABP y solución de casos realizados en clases y en su domicilio
10
4 EVALUACIÓN FINAL Todos los temas de forma
integral Unidades 1 a 7 60
Descripción de las características generales de las evaluaciones:
PRUEBA PARCIAL 1
La primera evaluación está referida a conceptos generales de la asignatura y a problemas ABP de aplicación de estadística Descriptiva.
PRUEBA PARCIAL 2
La segunda evaluación está referida a la aplicación en problemas ABP de estadística Inferencial.
TRABAJOS PRÁCTICOS
Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje como el Trabajo Final de aplicación de Estadística Descriptiva, que los estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.
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EVALUACIÓN FINAL
El trabajo tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos aprendidos en clases. Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 4 estudiantes.
Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la materia. Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. De los 60 puntos de la casilla Examen Final: 40 corresponden al avance, contenido y entrega del informe escrito y 20 para la presentación y defensa del mismo.
Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20 del módulo. Los alumnos podrán decidir el orden de exposición de cada uno de sus integrantes, pero el docente podrá hacer preguntas de verificación a cada uno de los miembros del grupo.
5. Guía para el Trabajo Final
INSTRUCCIONES
Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.
El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características:
Hoja de papel boom tamaño carta.
Margen superior de 3 cm. Inferior de 3 cm. derecho de 4 cm. e inferior 2.5 cm.
Letra Arial 12, Interlineado de 1,5.
OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:
Llevar a la práctica los conocimientos adquiridos en la materia de probabilidad y estadística referente
a la Estadística Descriptiva en un caso real.
ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:
i) CARÁTULA
Nombre de la Universidad
Nombre de la Facultad a la que pertenece
Nombre de la Carrera
Nombre de la Materia
Nombre del Docente
Nombre de los Integrantes del grupo
Fecha y año
ii) CONTENIDO INTERNO
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ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN
Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio: Años de
funcionamiento, tipo de empresa, ubicación, tamaño de la empresa,
II. OBJETIVOS
2.1. Objetivo general Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo
2.2. Objetivos específicos Pasos a seguir para llegar al objetivo general
III. FUNDAMENTOS TEORICOS
Realizar mínimo 15 conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo.
IV. TABULACION DE DATOS
4.1. Recolección de Información a través de las encuestas ( mínimo 150 encuestas)
4.2. Cálculos
4.3. Tabla de datos (Realizar para cada una de las preguntas)
4.4. Gráficos e interpretaciones (Realizar para cada una de las preguntas)
V. CONCLUSIONES
Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en cada una de las interpretaciones
realizadas en el trabajo.
VI. RECOMENDACIONES
Propuestas de mejora sobre las actividades realizadas que se han analizado en el trabajo.
ANEXOS
Encuestas, tablas, gráfico, foto o elemento que no sea texto y que se refiera al trabajo.
6. Objetivos y Actividades de cada Unidad
Unidad No 1
Introducción a la Probabilidad y Estadística
OBJETIVOS:
Lograr que el estudiante comprenda la importancia y uso de la ciencia Estadística en las
actividades cotidianas.
Motivar a los estudiantes a la investigación y la comprensión de los diferentes términos
usados en la estadística
Lograr que el estudiante identifique con claridad cuando nos referimos a un estudio de
estadística descriptiva y cuando a un estudio de estadística inferencial.
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Lograr que el estudiante identifique sin problemas entre variables estadísticas cualitativas,
cuantitativas continuas y cuantitativas discretas que se utilizan en Estadística
Reconocer la necesidad de tomar muestras y valorar la representatividad de éstas.
Comprender el concepto de encuestas e identificar sus fases.
Actividades:
Realizar un cuestionario tomando diferentes conceptos relativos a la materia de Probabilidad y
Estadística.
a) Origenes y desarrollo de la ciencia estadistica b) Estadistica descriptiva c) Estadistica Inferencial d) Poblacion en terminos de estadistica e) Muestra en terminos de estadistica f) Cual es la finalidad de una encuesta g) Que es un cuestionario y como se lo elabora h) Pasos para realizar una encuesta i) Elaborar un cuestionario conpreguntas cerrdas de selección multiples con variables
Cualitativas y Cuantitativas.
Unidad No 2
Tabulación de variables cualitativas y cuantitativas
OBJETIVO:
Recordar los conceptos básicos y distinguir entre variable cualitativa ordinal y nominal
Construir e interpretar tablas estadísticas de frecuencias
Expresar en forma de gráfico la información contenida en tablas de frecuencias
Realizar los gráficos de la tabla de frecuencias e interpretarlos.
Reconocer la importancia del trabajo en equipo como medio para obtener datos de un
estudio estadístico y apreciar la colaboración del compañero, mostrando una actitud
flexible y abierta ante sus opiniones
Identificar los diferentes tipos de variables cuantitativas ( discreta y continua)
Valorar la utilidad de las herramientas matemáticas para interpretar correctamente
informaciones presentes en los medios de comunicación y que utilizan conceptos
estadísticos.
Problema ABP resuelto - Tbulación de Variables Cualitativas:
Usted y sus compañeros son el equipo de Ventas del Súper Mercado “Hipermaxi”, uno de los
líderes en este rubro dentro de Santa Cruz. En esta institución específicamente en la Sucursal
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Norte hay un descenso en las ventas muy significativo, el administrador está muy preocupado
y les ha encargado hacer un estudio. La primera decisión que ustedes tomaron fue realizar una
encuesta a todos los clientes que vienen con cierta regularidad. La pregunta realizada fue la
siguiente:
¿En qué cree que podemos mejorar para satisfacer mejor sus necesidades?
Opciones de las preguntas Frecuencia
(A) Poner precios más accesibles. 6
(B) Preparar mejor a los vendedores 4
(C) Distribuir mejor los productos. 2
(D) Atender más rápido en las cajas. 8
Total de encuestados = 20
TABLA I
¿En qué cree que podemos mejorar para satisfacer mejor sus necesidades?
OPCIONES RECUENTO f fr fr%
frec.abs frec relativa frec rel %
Poner precios mas accesibles 6 6 0,3 30
Preparar mejor a los vendedores 4 4 0,2 20
Distribuir mejor los productos 2 2 0,1 10
Atender mas rápido en cajas 8 8 0,4 40
TOTALES 20 20 1 100
Fuente: Elaboración propia (10/2/2015)
Gráfico I
OPCIONES PARA MEJORAR LAS NECESIDADES DE LOS CLIENTES
FINALES
Poner precios mas accesibles;
30
Preparar mejor a los vendedores;
20
Distribuir mejor los productos;
10
Atender mas rapido en cajas;
40 ¿En que cree que
podemos mejorar?
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Fuente: Elaboración propia (10/2/2015)
Interpretación: A través del Grafico de Barras observamos que el 40% de los clientes
encuestados de Hipermaxi Sur opinan que para mejorar deben atender más rápido en cajas y
un 10% opina que se deben distribuir mejor los productos.
Problema ABP resuelto - Tabulación de Variables Cuantitativas
INDUSTRIAS FINO, analiza las ventas de un nuevo aceite Fino
Vitaminas, correspondientes al mes de Junio de 2013. Se ha recopilado
información acerca de las ventas en miles de dólares de una sucursal.
Resuma la información en un cuadro de distribución de frecuencias.
Se pide:
a) Histograma y polígono de frecuencias
b) Interprete cada uno de los datos
c) Grafica histograma, polígono, grafico porcentual y ojivas.
Paso 1.- Ordenamos los datos en forma ascendente.
Paso 2.- Determinar el Mínimo y el Máximo.
Mínimo: 3 Máximo: 18
Paso 3.- Calculo del Rango
R = MAX - MIN
R = 18 – 3
R = 15
Paso 4.- Calculo del Numero de Filas o Intervalos
7 4 18 5 15 5 9 3 11 7
12 12 5 4 7 4 6 17 9 12
15 5 11 4 10 7 11 7 12 9
3 4 4 4 4 5 5 5 5 6
7 7 7 7 7 9 9 9 10 11
11 11 12 12 12 12 15 15 17 18
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I = 1 + 3,32 x log(n)
I = 1 + 3,32 x log(30)
I = 5,90
I 6
Paso 5.-Calculo de Amplitud
C =
C =15 / 6
C = 2,5
C 3
Paso 6.- Calculo del Rango Ideal
RI = I * C
RI = 6 x 3
RI = 18
Paso 7.- Calculo del margen de desplazamiento
MD = RI - R
MD = 18 – 15 =3
MD 3 (1, 2)
MD = 1
Margen de desplazamiento:
2 (arriba)
2
RRidealMD
31518 MD
1 (abajo)
“ojo” Si la diferencia en el numerador es par dividimos entre dos, pero si es impar solo compartimos en la
forma más equitativa en dos Números enteros.
Tomamos el número más pequeño. MD = 1 Condición: MD < C
Paso 7.- Calculamos el limites Inferior de la primera clase.
Li₁ = Min - MD
Li₁ = 3 – 1
Li₁ = 2
Paso 8.- Calculamos los demás limites inferiores
NOTA.-cuando el resultado de MD = RI –
R; es par se divide en 2 y se toma ese dato
como resultado, y si es impar también se
divide en dos partes una máxima y otra
mínima y se toma la mínima como
resultado.
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UTEPSA – Guía MAAP
Li₂ = Li₁ + C = 5
Li₃ = Li₂ + C = 8
Li₄ = Li₃ + C = 11
Li₅ = Li₄ + C = 14
Li₆ = Li₅ + C = 17
CUADRO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
TABLA I
VENTAS DEL ACEITE FINO VITAMINAS
Fuente: Aceite Fino S.A (Junio/2015)
GRAFICOS REPRESENTATIVOS DE LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Unidad No 3
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Medidas de forma
VENTAS (Fronteras)
16,5 - 19,5
13,5 - 16,5
10,5 - 13,5
7,5 - 10,5
4,5 - 7,5
1,5 - 4,5
Histograma de Frec. Absolutas
Fre
cue
nci
a A
bso
luta 12
10
8
6
4
2
0
22
7
4
10
5
VENTAS (Marcas de clase)
18,015,012,09,06,03,0
Poligono de Frec. Absolutas
Fre
cue
nci
a A
bso
luta 12
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Acum Menor que Acum Mayor que
# I
INTERV Limites Li Ls
FRONTERAS
Fi Fs
HOJA DE
REC
FREC. Absoluta
f
Marcas De clase
MC
Frec. Rel. fr
Frec. Rel. %
fr%
f. acum Fi (-)
fr. Acum Fr(-)
Fr. % Acum Fr%(-)
Fi Acum Fi(+)
Fr. Acum Fr(+)
Fr% Acum Fr%(+)
1 2 - 4 1.5 - 4.5 lIIII 5 3 0.167 16.7 5 0.167 16.7 30 1 100
2 5 - 7 4.5 - 7.5 lllllllllI 10 6 0.333 33.3 15 0.50 50 25 0.833 83.3
3 8 - 10 7.5 - 10.5 Illl 4 9 0.133 13.3 19 0.633 63.3 15 0.50 50
4 11 - 13 10.5 - 13.5 Illllll 7 12 0.233 23.3 26 0.867 86.7 11 0.367 36.7
5 14 - 16 13.5 - 16.5 Il 2 15 0.067 6.7 28 0.933 93.3 4 0.133 13.3
6 17 - 19 16.5 - 19.5 Il 2 18 0.067 6.7 30 1 100 2 0.067 6.7
n = 30 1 100%
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OBJETIVOS:
Calcular las medidas de tendencia central, para datos no agrupados y para datos
agrupados y su interpretación y su aplicación.
Calcular las medidas de Dispersión, para datos no agrupados y para datos agrupados
su interpretación y su utilidad.
Calcular las Medidas de Forma, su utilidad.
Medidas de tendencia central
MEDIA
Para datos agrupados Para datos no agrupados
∑
Calcular el promedio, como se hace normalmente.
MEDIANA
Para datos agrupados Para datos no agrupados
[
]
Ordenar los datos de menor a mayor y ubicar el valor o los valores, según
corresponda, a la mitad de los datos.
MODA
Para datos agrupados Para datos no agrupados
CFiMo
21
1
Buscar dentro de los datos el número que se repite mayor cantidad de
veces.
FRACTILES
C
f
1)-i fa(4
r.n
FiQr C
ifa
f
)1(10
r.n
FiDr C
iFa
f
)1(100
r.n
FiPr
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UTEPSA – Guía MAAP
Ejemplos para datos no Agrupados:
MEDIA:
Ejemplo: Obtener la media de los siguientes datos: 4, 7, 1, 9, 2, 5, 6.
Solución: La sumatoria es = 34 y la cantidad de datos = 7
La media o Promedio = 34/7 = 4,85
MEDIANA:
Número impar de datos ordenados de menor a mayor o de mayor a menor
Ejemplo impar: Obtener la mediana de los siguientes datos: 4, 7, 1, 9, 2, 5, 6.
Solución: Ordenando de forma ascendente: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9.
El valor que queda al centro es el 5
Ejemplo par: Obtener la mediana de los siguientes datos: -3, 5, 18, 4, 11, -6, 9, 10, -1, 2.
Solución: Ordenando de forma ascendente: -6, -3, -1, 2, 4, 5, 9, 10, 11, 18.
Los valores centrales son 4 y 5. Su media aritmética es: (4 + 5)/2 = 4.5
MODA:
Ejemplo: Obtener la moda de los siguientes datos: -3, 3, -2, 0, 3, -1, -2, 4, 5, -2, 0, 1.
Solución: Ordenando de forma ascendente: -3, -2, -2, -2, -1, 0, 0, 1, 3, 3, 4, 5. El valor que
más se repite es el -2, por lo tanto ese valor es su moda.
Ejemplos para datos agrupados:
Determine la media aritmética, la mediana y la moda correspondientes a las ventas de aceite
FINO VITAMINAS de INDUSTRIAS FINO:
# l Límites Fronteras
MC f fa(-) fr % fra (-) % Li Ls Fi Fs
1 2 4 1.5 4.5 3 5 5 16.67 16.67
2 5 7 4.5 7.5 6 10 15 33.33 50.00
3 8 10 7.5 10.5 9 4 19 13.33 63.33
4 11 13 10.5 13.5 12 7 26 23.33 86.66
5 14 16 13.5 16.5 15 2 28 6.67 93.33
6 17 19 16.5 19.5 18 2 30 6.67 100
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Calculo de la Media o Promedio:
∑
Interpretación:
Las ventas diarias de aceite alcanzan un promedio de 8,700 dólares
2. CALCULAR LA MEDIANA.
Me = Fi +
Me = 4.5 +
Me = 7.5
Interpretación:
50% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 7.500 dólares y el 50% se
encuentran por encima de dicha cantidad.
3. CALCULAR LA MODA
CFiMo
21
1
Mo = 4.5 +
* 3
Mo = 5.86
MC
3 6 9 12 15 18
5 10 4 7 2 2
15 60 36 84 30 36
30 261
Fi
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5
5 10 4 7 2 2
5 15 19 26 28 30
30
Fi
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5
5 10 4 7 2 2
30
19
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Interpretación: Lo más frecuente (lo más común) es que se venda diariamente 5,860 dólares
4. CALCULAR EL CUARTIL Q1.
Q1= Fi +
* C
Q1= 4.5 +
Q1= 5.25
Interpretación: 25% de las ventas diarias de aceite son iguales o están por debajo de los 5.25 miles de dólares.
5. CALCULAR CUARTIL Q3.
Q3= Fi +
* C
Q3 = 10.5 +
* 3
Q3 = 12 Interpretación: 75% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 12 mil dólares.
6. CALCULAR PORCENTIL P10.
P10= Fi +
* C
P10= 1.5 +
* 3
P10= 3.3
Interpretación: 10% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 3.3 miles de dólares.
7. CALCULAR PORCENTIL P90.
20
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P90= Fi +
* C
P90= 13.5+
* 3
P90= 15 Interpretación: 90% de las ventas diarias de aceite están por debajo de los 15 mil dólares.
Medidas de dispersión
3.1. RANGO
RANGO= MAX – MIN Para datos agrupados y no agrupados
3.2. DESVIACION MEDIA
∑| |
Para datos NO agrupados
∑| |
Para datos agrupados
3.3. RANGO SEMI-INTERCUARTIL
Pa datos agrupados y no agrupados
3.4. DESVIACION TIPICA
√∑
o √
∑
para datos agrupados
√∑
o √
∑
para datos no agrupados
3.5. VARIANZA
para datos agrupados y no agrupados
3.6. COEFICIENTE DE VARIACION
Nota. A. Si n < 30 se usa la formula
con el termino n-1. B. Si n ≥ 30 se usa la formula
con el termino n.
21
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para datos agrupados y no agrupados
Ejemplo (Para datos no agrupados)
Burger King-Santa Cruz analiza los tiempos de servicio, desea determinar
el cuál de la dos sucursales, el Cristo o la Blacutt, los tiempos de servicio
Están mejor controlados, esto debido a quejas de los clientes.
Para este efecto, se hace un pequeño estudio y se determinan los siguientes tiempos, en
minutos: SUC. EL CRISTO 12 15 14 15 9 8 7
SUC. BLACUTT 12 15 10 6 7 5 13
SUC. EL CRISTO
∑
√∑
SUC. PLAZUELA BLACUTT
∑
√∑
Como conclusión diremos que como el coeficiente de variación de la sucursal EL CRISTO es
el más pequeño los tiempos de servicio están mejor controlados o son más homogéneos en
22
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esta sucursal. Note que la variación se produce por la existencia de valores bajos y altos y que
esta no se puede evitar, pero si controlar.
Ejemplo (Para datos agrupados)
Calcular: La desviación media, el rango semi – inter cuartil, la desviación estándar y la
varianza correspondientes para laventa de aceite FINO VITAMINAS.
DESVIACION MEDIA
∑
∑| |
RANGO SEMI-INTERCUARTIL
DESVIACION ESTANDAR
∑
√∑
√
| |
3
6
9
12
15
18
5
10
4
7
2
2
15
60
36
84
30
36
28.5
27.0
1.2
23.1
12.6
18.6
261 111
1.5
4.5
7.5
10.5
13.5
16.5
5
10
4
7
2
2
5
15
19
26
28
30
3
6
9
12
15
18
5
10
4
7
2
2
15
60
36
84
30
36
162.45
72.9
0.36
76.23
79.38
172.98
261 564.3
23
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VARIANZA
3.7. DIAGRAMA BOX PLOT (DIAGRAMA DE CAJA)
Este es un diagrama muy usado para observar la dispersión de los datos.
Ejemplo: AT&T multinacional norteamericana, diseña un componente electrónico
para una nueva tarjeta de red. La empresa ha recopilado información acerca del tiempo de vida
útil de este componente en años. Resuma la información en un cuadro de distribución de
frecuencias. Grafique el BOX PLOT.
3 4 4 4 4 5 5 5 5 6
7 7 7 7 7 9 9 9 1
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
5
1
5
1
7 1
8
MIN=3
MAX=18
Ventas diarias
24
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Ventas diarias
Densidad y concentración de datos (medidas de forma) SESGO O ASIMETRIA (Cas)
s
Moda)-
_
x( Cas
s
Me)-
_
x3( Cas
Kurtosis o apuntamiento Coeficiente de Kurtosis (K)
10P
90P
RSI K
Interpretación:
K = 0.263 La curva es Mesocúrtica K > 0.263 La curva es Leptocúrtica K < 0.263 La curva es Platicúrtica Gráficamente:
AS = (+) AS = 0 AS = (-)
25
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8.7030
261
n
f*MCx
Ejemplo resuelto: Las Ventas de Aceite en dólares de la INDUSTRIAS de ACEITE FINO, Determinar el Coeficiente de Asimetría (Cas) y el coeficiente de Kurtosis (K)
CUADRO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
# I Limites Fronteras
MC fi Fi (-) fr%
Fr% (-)
Li Ls Fi Fs
1 2 4 1.5 4.5 3 5 5 16.67 16.67
2 5 7 4.5 7.5 6 10 15 33.33 50.00
3 8 10 7.5 10.5 9 4 19 13.33 63.33
4 11 13 10.5 13.5 12 7 26 23.33 86.66
5 14 16 13.5 16.5 15 2 28 6.67 93.33
6 17 19 16.5 19.5 18 2 30 6.67 100
Determinar el coeficiente de Asimetría (Cas)
MC fi MC*fi fxMC
2
3 5 15 162.45
6 10 60 72.9
9 4 36 0.36
12 7 84 76.23
15 2 30 79.38
18 2 36 172.98
261 564.3
Fi F fa
1,5 5 5
4,5 10 15
7,5 4 19
dólares de miles 34.4
30
564.3
n
.f2
xMCs
26
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dólares de miles .507310
515.54iMe
f
1)-i fa(2
n
CF
Reemplazando se tendrá:
s
Me)-
_
x3( Cas Cas = 83.0
34.4
)50.770.8(3
El coeficiente es positivo, por lo tanto la distribución es sesgada a la derecha. Determinar el Coeficiente de Kurtosis (K)
78.32
25.512
2
13
RSI
3.335
03.51
1)-fa(i100
10.n
Fi10
Pf
C
Reemplazando se tendrá:
10,5 7 26
13,5 2 28
16,5 2 30
Li fi FI
1.5 5 5
4.5 10 15
7.5 4 19
10.5 7 26
13.5 2 28
16.5 2 30 1237
1922.55.10
)1fa(4
3.n
Fi3
Qf
C
i
1532
26-2713,5
1)-fa(i100
90.n
Fi90
Pf
C
ca.Leptocurti esón distribuci la 0,32313.315
3.78
10P
90P
RSI K
25.5310
57.55.4
)1fa(4
1n
Fi1
Qf
C
i
27
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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Problemas ABP propuestos de medidas de dispersión
1. Dos obreros del mismo trabajo muestran los siguientes resultados en un periodo
determinado en minutos.
Medidas Obreros
A B
Tiempo promedio para el desarrollo de su trabajo 42 35
Desviación típica 8 6
Calcular:
a) ¿Cuál es el más regular en el desarrollo de su trabajo?
b) ¿Cuál es el más rápido en terminar el trabajo?
2. Supongamos que en acucioso empleado de SAGUAPAC, realiza una muestra de 60
usuarios del servicio, sobre los reclamos en los 2 últimos años por esas personas, con
los siguientes resultados:
Número de reclamos Números de usuarios
0
1
2
3
4
5
6
7
26
10
8
6
4
3
2
1
Se pide hallar:
a) El promedio de reclamos
b) La varianza y su desviación típica
c) El coeficiente de variación
1. Industria PIL, realiza diariamente un control de la calidad de temperatura en ºC con
que llega la leche a la planta procesadora, las mediciones de las últimas tres horas, ya
tabuladas, se muestran a continuación:
Intervalos de
temperatura Frecuencia
28
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A. Complete la tabla de distribución de frecuencias.
B. Determine la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación.
2. BANCO BISA, ha sacado al mercado un nuevo tipo de préstamo a una tasa de interés
accesible. La cantidad de dinero prestada, en miles de dólares, así como la cantidad de
clientes que han hecho los préstamos se detallan a continuación:
A. Complete la tabla de distribución de frecuencias.
B. Determine la desviación típica, la varianza y el coeficiente de variación.
3. En dos empresas petroleras se realizó un estudio del número de accidentes que se dan
por no usar ropa y accesorios de seguridad. Se quiere saber en cuál de ellas está mejor
controlada la seguridad y por qué.
4. El gerente de marketing de TIENDAS LEVI`S – SANTA CRUZ, analiza las ventas en
dos de sus sucursales. Indíquele Ud. en cuál de ellas las ventas son más homogéneas y
permiten hacer una planificación a futuro con objeto de ampliar la tienda. (Los datos
representan las ventas en cientos de dólares mensuales)
05 – 09 4
10 – 14 12
15 – 19 25
20 – 24 32
25 – 29 11
30 - 34 12
Monto de
los
préstamos
Nº de
clientes
01 – 30 95
31 – 60 114
61 – 90 10
91 - 120 1
BOLINTER 8 7 6 5 9 9 6 4 7 5
PETBOL 12 5 12 6 9 6 4 5 3 4
SUCURSAL1 42 40 46 45 39 39 38 44 51
SUCURSAL2 42 53 52 37 51 46 44 53 52
29
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5. A continuación presentamos los datos de una muestra de la tasa de producción diaria
de escobas de una empresa en el TORNO:
17, 21, 18, 27, 17, 21, 20, 22, 18, 23
El gerente de producción de la empresa siente que una desviación estándar de más de 4
escobas diarias indica variaciones de tasas de producción inaceptables. ¿Deberá preocuparse el
gerente por las tasas de producción de la empresa?
6. El número de cheque cobrados diariamente en una sucursal del BANCO NACIONAL
DE BOLIVIA durante el mes anterior tuvo la siguiente distribución de frecuencias:
El director de operaciones del banco, sabe que una desviación media en el cobro de cheques
mayor a 200 ocasiona problemas de personal y organización en la sucursal. ¿Deberá
preocuparse por la cantidad de empleados que va ha ocupar el siguiente mes?
7. FERROTODO analiza el desempeño de 3 de sus vendedores, se ha calificado la
coherencia en torno a los objetivos de venta establecidos. La calificaciones mostradas
son las de los últimos 5 meses:
LINDA KYLIE ANN
88 76 104
68 88 88
89 90 118
92 86 88
103 79 123
Cuál de las vendedoras ha sido más coherente.
8. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de 2
proveedores. Envía estas muestras a un laboratorio donde se realizan pruebas respecto
a la vida útil, con los siguientes resultados:
Duración de la vida útil (En
horas)
Muestra de:
Proveedor A Proveedor B
700 – 899 10 3
900 – 1099 16 42
1100 – 1299 26 12
CLASE f
0 – 199 10
200 – 399 13
400 – 599 17
600 – 799 42
800 - 999 18
30
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1300 - 1499 8 3
A. Las lámparas de qué proveedor tienen mayor promedio de duración.
B. Las lámparas de qué proveedor tienen mayor uniformidad, respecto a su vida útil.
Practico de cálculo del coeficiente de Asimetria Cas y el coeficiente de Kurtosis K
1. FABRICA DE BOMBAS DE COMBUSTIBLE
TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIA
Li Ls M*C Fi Fr Fp FI + FI - FR + FR -
31 36 33,5 8 0,2 20% 8 40 0,2 1
36 41 38,5 9 0,225 22,50% 17 32 0,425 0,8
41 46 43,5 10 0,25 25% 27 23 0,675 0,575
46 51 48,5 7 0,175 17,50% 34 13 0,85 0,325
51 56 53,5 2 0,05 5% 36 6 0,9 0,15
56 61 58,5 1 0,025 2,50% 37 4 0,925 0,1
61 66 63,5 3 0,075 7,50% 40 1 1 0,075
40 1 100%
3. PESOS DE LINGOTES DE ORO
TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
Li Ls MC fi fr fp FI+ FI- FR+ FR-
119 131 125 5 0,0833 8% 5 60 0,0833 1
131 143 137 7 0,1167 12% 12 55 0,2 0,9167
143 155 149 8 0,1333 13% 20 48 0,3333 0,8
155 167 161 10 0,1667 17% 30 40 0,5 0,6667
167 179 173 11 0,1833 20% 41 30 0,6833 0,5
179 191 185 10 0,1667 17% 51 19 0,85 0,3167
191 203 197 9 0,15 13% 60 9 1 0,15
60 1 100%
0
0
31
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UTEPSA – Guía MAAP
4. FABRICA DE LLANTAS PIRELLY
Unidad No 4
Análisis de regresión y correlación
OBJETIVO:
Identificar los diferentes métodos de ajuste.
Aplicar método de mínimos cuadrado
Determinar pronósticos en base a datos históricos.
Interpretar el grado de correlación entre dos variables.
Analizar los resultados mediante el coeficiente de correlación y sus aplicaciones
METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS:
Y=A + BX
Calculo de A y B:
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
Li Ls MC fi fr fp FI+ FI- FR+ FR-
91,55 92,25 91,9 2 0,04 4% 2 50 0,04 1
92,25 92,95 92,6 7 0,14 14% 9 48 0,18 0,96
92,95 93,65 93,3 6 0,12 12% 15 41 0,3 0,82
93,65 94,35 94 16 0,32 32% 31 35 0,62 0,7
94,35 95,05 94,7 10 0,2 20% 41 19 0,82 0,38
95,05 95,75 95,4 5 0,1 10% 46 9 0,92 0,18
95,75 96,45 96,1 4 0,08 8% 50 4 1 0,08
32
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UTEPSA – Guía MAAP
Fórmula para determinar el coeficiente de correlación R.
∑ ∑ ∑
√[ ∑ ∑ ] [ ∑ ∑ ]
Problema ABP resuelto:
1. Una Organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio de una
pila para radio de transmisores en función al número de duración de horas de la pila. Se compró
una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:
“Y” Precio 24 32 49 49 39 69 69 89 119 79 35
“X” Duración 5.4 4.8 6.3 7.2 6.3 6.8 6.8 10.2 13.1 9.2 6.0
a) Encuentre el diagrama de dispersión.
b) En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B.
c) Prediga el precio por fila si la duración de esta última es de 10 Hr.
d) Calcule el coeficiente de determinación e interprete su significado en este problema.
Operación auxiliar:
X Y X × Y
5.4 24 129.6 29.16 576
4.8 32 153.6 23.04 1024
6.3 49 308.7 39.69 2401
7.2 49 352.8 51.84 2401
6.3 39 245.7 39.69 1521
7.4 69 510.6 54.76 4761
6.8 69 469.2 46.24 4761
10.2 89 907.8 104.04 7921
13.1 119 1558.9 171.61 14161
9.2 79 726.8 84.64 6241
6.0 35 210 36 1225
∑X= 82.7 ∑Y= 653 ∑X×Y= 5573.7 ∑ ∑
33
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UTEPSA – Guía MAAP
a) Encuentre el diagrama de dispersión.
b) En el supuesto de una relación lineal, encontrar los coeficientes de la regresión A y B.
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
c) Prediga el precio por fila si la duración de esta última es de 10 Hr.
d) Calcule el coeficiente de determinación e interprete su significado en este
problema.
34
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
∑ ∑ ∑
[ ∑ ∑ ][[ ∑ ∑ ]
[ ][[ ]
% , de la variación del precio de la pilas se debe a la variación a las
horas de duración de cierta marca de pila.
Problemas ABP propuestos
1. EL gerente de una cadena de heladerías SAVORY quiere estudiar el efecto de la
temperatura ambiente sobre las ventas de la temporada de calor. Se selecciona una muestra
aleatoria de 10 días y los resultados se dan en la siguiente tabla:
Temperatura(C
o) 17 21 23 24 27 28 29 31 32 33
Ventas por heladería(en cientos de
dólares )
15 17 18 20 24 22 27 29 31 31
a) En la supuesto de una relación lineal encontrar los coeficientes de la regresión A y B
b) Prediga las ventas por heladería, por día cuanto la temperatura es de 21o; 38
o y 36
o
c) Calcule el coeficiente de determinación r e interprete su significado en este problema
2. Una economista que trabaja en el rubro de automóviles desea medir la relación del precio
de compra de los automóviles nuevos en función al ingreso familiar. Se selecciona una
muestra aleatoria de 9 personas que compraron autos nuevos con los resultados de la
siguiente tabla:
Ingreso familiar(miles de dólares) 10.2 14.4 16.3 20.0 24.3 11.6 32.8 9.4 26.7
Precio de compra (miles de dólares) 3.6 4.1 3.9 5.2 5.1 3.9 7.8 3.4 9.1
3. Realizar la proyección de la oferta de Leche (Lt.), para los próximos 5 años de acuerdo a
los siguientes datos.
Datos Históricos de la oferta de Leche “Pil “
(en miles)
Año 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Oferta (Lts.) 150 180 220 235 255 265
4. Encuentre la proyección de abastecimiento de frutilla de los valles cruceños para los
próximos 5 años a partir de la siguiente información.
35
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
año Producción de Frutilla (kilos)
2011 875
2012 905
2013 947
2014 972
2015 1007
5. Se sabe que la producción de naranja en la zona norte del departamento de Santa cruz, en
los últimos dos años fue de:
año Producción de Naranja
(kilos)
2014 975
2015 1005
Determinar la proyección para los siguientes 5 años siguientes
6. Una organización de estudio de consumidores desea determinar la relación entre el precio
de una pila para radio de transmisores en función al número de horas de duración de la pila.
Se compró una muestra de 11 pilas con los resultados dados en la siguiente tabla:
Precio(dólar) 24 32 49 39 69 69 89 119 79 35
Duración(horas) 5.4 4.8 6.3 7.2 6.3 7.4 6.8 13.1 9.2 6.0
a) Encuentre la curva de ajuste lineal b) Calcule el coeficiente de correlación r.
c) Cuando la vida útil es de 4 horas; 7 horas; 10 horas cuanto será su precio
7. En un estudio técnico económico se dispone de la siguiente información histórica de ventas
de BATERIAS TOYO, en miles de unidades, de fabricación Boliviana:
Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Ventas 12 14 15 13 16 19 18 20 22
Se desea efectuar la proyección de las ventas para los próximos tres años siguientes.
8. El gerente de personal de la CRE considera que puede haber una relación entre el
ausentismo y la edad y querría usar la edad de un empleado para predecir el número de días
de ausencia durante un año calendario. Se selecciona una muestra aleatoria de 11
empleados, con los resultados en la siguiente tabla:
Ausencia 15 13 6 10 18 9 7 14 11 5 8
edad 27 24 61 37 23 46 54 39 36 64 40
a) Encuentre la curva de ajuste lineal
b) Si un trabajador ha faltado durante 10 días. Qué edad podría tener
36
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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c) Cuantos días de ausencia se pronosticara un trabajador de 54 años
9. Un análisis toma una muestra aleatoria de 19 embarques recientes por camión realizados
por una empresa y registra la distancia en kilómetros y el tiempo de entrega al medio día
más cercano a partir del momento en que el embarque estuvo listo para su carga. Las
observaciones muéstreles de distancia de acarreo y tiempo de entrega de 10 embarques
aleatoriamente seleccionados se muestra en la siguiente tabla.
Embarque muestreado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distancia(en KM) 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215
Tiempo de entrega en días 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0
Se pide:
a. En el supuesto de una relación lineal utilice el método de los mínimos
cuadrados para calcular los coeficientes de regresión de A y B
b. ¿Cuántos días estimaría la entrega a partir del momento en que el embarque
está listo para su carga de un embarque de 1000 kilómetros?
c. Determine e interprete el coeficiente de correlación y determinación
Unidad No 5
Introducción a las probabilidades
OBJETIVOS:
El estudiante analiza información estadística utilizando la teoría de probabilidades.
Interpretar las definiciones básicas de los elementos de probabilidad.
Identifica el tipo de evento definido en el mismo espacio muestral.
Reconocer la importancia de la aplicación del Teorema de Bayes.
Desarrollar habilidades para resolver problemas de probabilidades.
Preguntas
a) Orígenes de la Estadística Inferencial
b) Aplicaciones de la estadística Inferencial
c) En un ejemplo real explique la aplicación de la Estadística Inferencial
d) ¿A que se denomina inferencia estadística?
e) ¿A que se denomina inducción estadística?
f) Que es probabilidad
g) Definición de Evento; Espacio muestral; Experimento.
h) Leyes de la Probabilidad
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PROBABILIDADES
Ejemplo: Según el enfoque de probabilidad clásica cuál es la probabilidad de que usted gane
un sorteo que tiene 100 números y compró 3 cupones.
Usted tiene un 3% de probabilidades de ganar el sorteo.
Calculo de la probabilidad de la Adición para eventos independientes
Ejemplo: Se tiene una baraja de cartas (52 cartas sin jokers), ¿ Cuál es la probabilidad de
sacar una Reina ó un As? Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces:
Calculo de la probabilidad de la Adición para eventos dependientes
Ejemplo: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par ó divisible por
tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Lo que primero hacemos es definir los sucesos:
Sea A = resultado par: A = {2, 4, 6}
Sea B = resultado divisible por 3: B = {3, 6} .
Ambos sucesos tienen intersección? ∩
∩
38
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Cálculo de una probabilidad Condicional.
Se tiene un grupo de 10 estudiantes, 4 son hombres y 6 damas, de los 4 hombres 1 estudia
economía y de las mujeres 3. Si se toma una persona al azar y es economista.
a) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer?
P (A/B) ∩
En nuestro caso sería:
P (mujer/economista) ∩
=
= 0,75 ---- 75%
Calculo de la probabilidad de la Multiplicación para eventos independientes
Ejemplo: La cafetería de la Universidad tiene un 20% de probabilidad de vender pizza y un
30% de probabilidad de vender refresco de piña. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente venga
y pida un pollo y un refresco de piña?
Como notamos no tienen relación el pollo y la piña, bien la persona puede pedir una
hamburguesa y una soda. Este ejercicio se resuelve muy fácil.
El Evento A es la compra de la Pizza.
El Evento B es la compra del Refresco de Piña.
La probabilidad de dos eventos independientes:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
P(A ∩ B) = (0,2 x 0,3) = 0,06 ------ 6%
Se tiene un 6% de probabilidad que la persona compre una pizza y un refresco de piña.
Calculo de la probabilidad de la Multiplicación para eventos dependientes
Ejemplo: El gerente de crédito de la Cooperativa Jesús Nazareno recolecta datos de 100 de sus
clientes. De los 60 hombres, 40 tienen tarjetas. De las 40 mujeres, 30 tienen tarjetas. Diez de
los hombres tiene saldos vencidos, mi entras que 15 de las mujeres tienen saldos vencidos. El
gerente quiere determinar la probabilidad que un cliente seleccionado al azar sea.
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a) Una mujer con tarjeta.
La probabilidad de dos eventos dependientes:
P (A ∩ B) = P(A) x P (B/A) En nuestro caso:
P (Mujer ∩ Tarjeta) = P (Mujer) x P (Tarjeta dado que es mujer)
P (Tarjeta dado que es mujer) = ∩
P (Mujer ∩ Tarjeta) = 0,4 x 0,75 = 0,3------30%
Tenemos un 30% de probabilidades de seleccionar una persona al azar y sea una mujer con
tarjeta.
b) Una mujer con saldo.
P (Mujer ∩ Saldo) = P (Mujer) x P (Saldo dado que es mujer)
P (Saldo dado que es mujer) = ∩
P (Mujer ∩ Saldo) = 0,4 x 0,375 = 0,15------15%
Tenemos un 15% de probabilidades de seleccionar un encuestado al azar y sea una Mujer con
saldo.
Ejemplo 2: Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta
que el producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación masiva en
ciertos sectores estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva
soda? Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia.
Sector Regular Buena Excelente Total
Centro 20 40 100 160
Urubó 30 60 120 210
Urbarí 25 80 80 185
Equipetrol 0 20 50 70
Plan 3000 15 20 40 75
Polanco 15 30 100 145
Banzer 30 45 80 155
Total 135 295 570 1000
40
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Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?
a) ¿Qué opine que el sabor es Excelente?
→ 57%
El 57% opinan que el sabor es excelente
b) ¿Qué sea de Equipetrol?
→ 7%
El 7% de los degustadores son de equipetrol
c) ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?
∩
→8%
El 8% de los degustadores son de Urbari y creen que el sabor de la soda es bueno.
d) ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?
∩
→ 3%
El 3% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es regular.
e) ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?
→23,5%
El 23,5% de los degustadores son del centro o del plan 3000.
f) ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?
→35,5%
El 35,5% de los degustadores son de polanco o del urubo.
g) ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?
∩
→40,5%
El 40,5% de los degustadores son de la Banzer y piensan que el sabor es bueno.
h) ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?
∩
→ 59%
El 59% de los degustadores tienen una opinión excelente o son de Equipetrol.
i) ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?
(
)
∩
→14,84%
El 14,81% son del centro dado que dicen que el sabor es regular.
j) ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?
(
)
∩
→12,5%
El 12,5% de los degustadores dicen que el sabor es regular dado que son del centro de la
ciudad.
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UTEPSA – Guía MAAP
Teorema de Bayes:
Ejemplo: La planta de cerveza Real está en Warnes, cuenta con 5 máquinas para
producirla, la primera produce 1000 latas por hora y solo 50 salen con desperfectos, la
segunda produce 1500 latas solo el 2% salen en muy mal estado, la tercera produce el doble
que la primera y 200 salen en condiciones no muy buenas, mientras que la cuarta produce lo
mismo que la segunda y el mismo porcentaje defectuoso que la primera. La quinta es una
maquina nueva y de tecnología de punta, esta produce 1000 latas por hora y todas salen en
buen estado. La primera trabaja 5 horas al día, la segunda 3, la tercera 10, y la cuarta y la
quinta 8. Ayer llego un cliente protestando porque tomo una lata con desperfectos.
Producción √ x Hrs.*día Producción
Total Proporción
Maquina 1 1000 0,95 0,05 5 5000 0,1010
Maquina 2 1500 0,98 0,02 3 4500 0,0909
Maquina 3 2000 0,90 0,10 10 20000 0,4040
Maquina 4 1500 0,95 0,05 8 12000 0,2424
Maquina 5 1000 1 0 8 8000 0,1616
Ʃ49500 Ʃ1
Arbol de Probabilidades
0,1010 maq 1
0,95 √
Ʃ=1
0,05 x
0,0909 maq 2
0,98 √
Ʃ=1
0,02 x
Ʃ = 1 0,4040 maq 3
0,90 √
Ʃ=1
0,10 x
0,2424 maq 4
0,95 √
Ʃ=1
0,05 x
0,1616 maq 5
1 √
Ʃ=1
0 x
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida por la segunda maquina?
→3,06%
Existe un 3,06% de probabilidad que la lata defectuosa la haya producido la maquina 2.
b) Pedro tiene en la mano una lata en buen estado ¿Cuál es la probabilidad que haya
sido producida por la tercera o la quinta maquina?
→ 38,65%
→17,18%
Se tiene un 55,83% de probabilidad que la lata en buen estado haya sido producida por la
tercera o la quinta máquina
Problemas ABP propuestos:
1. Si se saca una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuáles de las siguientes parejas de
eventos son mutuamente excluyentes o no?
A = Que sea una carta roja
B = Que sea una carta de corazón
C = Que sea un numero par
D = Que sea un 3 de espadas
A y B…………….. B y C……………….
A y C……………. B y D………………..
A y D…………….. C y D……………….
2. Si se lanzan dos dados a la vez y se quiere analizar la suma de los dos resultados.
Determinar si los siguientes eventos son ME o NME.
A=La suma de los dos resultados sea un numero par
B=La suma es un número cinco
3. Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que
ambas sean corazones?
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
4. El mes pasado en la Universidad UTEPSA se aplicó una encuesta para conocer a profundidad.
¿Cuántas personas utilizaban facebook y con qué objetivo lo hacían?, los resultados fueron
escalofriantes. De los 380 encuestados, 370 tenían una cuenta, 300 admitieron que lo usan todos
los días, y 230 admiten estar conectados más de 2 horas diarias, 103 alumnos ingresan por el mero
hecho de solo estar informado de la vida de otros y 68 comentan que lo utilizan con fines
académicos. De todos los que ingresan solo para socializar el 40% es de sexo masculino y de los
que están más de 2 horas diarias el 74% son mujeres.
También se realizó una encuesta en la UDABOL. En dicha institución se entrevistaron a
360 estudiantes y 302 de ellos admitió tener una cuenta en el facebook, lo curioso es que
el 90% de los que tienen cuenta admiten entrar todos los días y de estos el 80% más de 2
horas.
Teniendo en cuenta esta información conteste las siguientes preguntas.
a) Del total de los encuestados. ¿Qué porcentaje utiliza facebook.com?
b) Del total de usuarios del facebook. ¿Qué porcentaje lo utiliza todos los días?
c) Del total de usuarios diarios de UTEPSA. ¿Qué porcentaje permanece conectado más de 2
horas?
d) Del total de usuarios del facebook de UTEPSA. ¿Qué porcentaje ingresan con fines
académicos?
e) ¿Qué cantidad de hombres representan el 40% de los usuarios que ingresan al facebook
solo para socializar en la UTEPSA?
f) ¿Qué cantidad de mujeres representa el 74% de las personas que se conectan más de 2
horas por día en UTEPSA?
g) ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que utilizan el facebook?
h) ¿Qué Universidad tiene más porcentaje de estudiantes que ingresan al facebook todos los
días?
i) De todos los encuestados en ambas universidades. ¿Qué cantidad de estudiantes
representa el porcentaje de estudiantes que están conectados más de 2 horas por día?
5. La Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz (UTEPSA) cuenta con una población de
10.000 estudiantes, cada uno con sueños y metas diferentes pero con una misma misión, aprender a
formar un negocio propio. Usted como analista de información de la Universidad necesita conocer
las proporciones por sexo de las Facultades y el departamento de Sistemas le muestra el siguiente
cuadro. Teniendo en cuenta la información que en este se encuentra y que usted se encontró un
estudiante en la calle. Responda las siguientes preguntas.
Facultades. Hombres Mujeres
Facultad. Ciencias Empresariales. 1500 2500
Facultad. Ciencias Tecnológicas. 2500 1000
Facultad. Ciencias Jurídicas. 500 1000
Facultad. Relaciones Internacionales. 500 500
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
Preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea mujer?
b) ¿Cuál es la probabilidad que este estudiante sea de la Facultad de Ciencias
Tecnológicas?
c) ¿Cuál es la probabilidad que sea hombre y de la Facultad de Relaciones
Internacionales?
d) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer y estudie en la Facultad de Tecnología?
e) Bajo el supuesto que el estudiante fue hombre. ¿Cuál es la probabilidad que estudie
en la facultad de Ciencias Empresariales?
f) Bajo el supuesto que el estudiante pertenece a la Facultad de Tecnología. ¿Cuál es la
probabilidad que sea Mujer?
g) ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer ó de la Facultad de Relaciones
Internacionales?
h) ¿Cuál es la probabilidad que sea Hombre ó de la Facultad de Tecnología?
i) ¿Cuál es la probabilidad que sea de la Facultad de Ciencias Empresariales ó
Tecnológicas?
j) ¿Cuál es la probabilidad que sea de cualquier Facultad menos la de Ciencias
Jurídicas?
6. Usted es gerente comercial de la nueva soda “Guaraná Conti” teniendo en cuenta que el
producto no ha entrado al mercado local usted realizó una degustación masiva en ciertos
sectores estratégicos de la Ciudad preguntando ¿Qué le parecía el sabor de esta nueva
soda? Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia.
Sector Regular Buena Excelente
Centro 20 40 100
Urubó 30 60 120
Urbarí 25 75 83
Equipetrol 10 23 50
Plan 3000 15 25 40
Polanco 35 35 110
Banzer 36 45 80
Si se selecciona un encuestado al azar ¿Cuál es la probabilidad?
b) ¿Qué opine que el sabor es Excelente?
c) ¿Qué sea de Equipetrol?
C. ¿Qué sea de Urbarí y crea que el sabor de la soda es bueno?
D. ¿Qué sea de la Banzer y piense que el sabor es Regular?
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
E. ¿Qué sea del centro ó del Plan 3000?
F. ¿Qué sea de Polanco ó del Urubó?
G. ¿Qué sea de la Banzer ó tenga una opinión Buena del Sabor?
H. ¿Qué tenga una opinión excelente ó sea de Equipetrol?
I. ¿Qué sea del centro dado que dice que el sabor es Regular?
J. ¿Qué diga que el sabor es regular dado que es del Centro de la Ciudad?
7. Usted es el nuevo gerente Comercial del taller mecánico “Páez”, al mismo asisten muchos
clientes con autos de tres clases. Nissan, Toyota y Ford. A cada uno de los clientes que
vino el mes pasado se le hizo una encuesta preguntándole por la calidad del servicio del
taller. Los resultados se muestran a continuación en una tabla de contingencia.
Toyota Nissan Ford
Pésima 18 32 25
Regular 30 15 10
Buena 35 25 20
Excelente 23 17 60
a) ¿Qué porcentaje de los clientes vino con un auto Ford?
b) ¿Qué porcentaje de los clientes opina que la atención es Regular y vino en Nissan.
c) ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Nissan ó Toyota?
d) ¿Qué porcentaje de los clientes vino en Ford ó el servicio le pareció excelente?
e) ¿A qué porcentaje de los clientes que vinieron en Toyota y la atención les pareció
excelente?
f) Qué porcentaje de cliente trajeron vehículos Nissan y Ford?
g) ¿A qué porcentaje de los clientes la atención le pareció Regular?
h) Teniendo el criterio de Excelente. ¿Cuál es la marca de auto que más satisfecha salió
del taller?
i) ¿Qué porcentaje de los clientes vinieron con Ford dado que la atención les pareció
pésima?
8. Usted es el gerente Comercial de la empresa de Investigación de Mercados
“Mercadeando”, su último cliente “VIVA” tiene algunas preguntas acerca del estudio que
se hizo de su marca.
Insatisfecho Indiferente Satisfecho
Norte 50 120 200
Sur 150 85 60
este 60 115 70
Oeste 40 30 20
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Preguntas:
a) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Sur de la Ciudad?
b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del este ó el oeste?
c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte y están insatisfechos?
d) ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos ó son del sur?
e) ¿Qué porcentaje de los encuestados creen tiene una opinión por lo menos indiferente?
f) ¿Qué porcentaje de los encuestados son del Norte dado que están satisfechos?
g) ¿Qué porcentaje de los encuestados están insatisfechos y son del este?
9. Usted es el Gerente Comercial del Café 24, local de distracción del centro de la Ciudad, el mismo
es frecuentado por cruceños, pero está enfocado en ser el lugar de pasada por excelencia de los
extranjeros y visitantes de otros departamentos. Usted está preocupado por la atención que reciben
los clientes y decide hacer una encuesta a las diversas personas que asisten al boliche
preguntándole. ¿Qué le ha parecido la atención? Los resultados se muestran a continuación.
Cruceños Turistas
Nacionales
Turistas
Extranjeros.
Pésima 20 3 23
Regular 12 13 0
Buena 8 24 14
Muy buena 15 12 12
Excelente 15 13 16
a) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Cruceños?
b) ¿Qué porcentaje del total de encuestados son Extranjeros y la atención les pareció Buena?
c) ¿Qué porcentaje de los Cruceños la atención le pareció excelente?
d) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas (nacionales y extranjeros)
e) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales ó la atención le pareció Muy
Buena?
f) ¿Qué porcentaje de los encuestados son Turistas Nacionales dado que la atención les pareció
Regular?
g) ¿A qué porcentaje de los encuestados el trato le pareció Bueno?
10. Usted es el gerente comercial de la empresa distribuidora de Bebidas “Bodegas El
buen gusto”, uno de los tantos productos con que cuenta la empresa es la Soda que se
importa de Brasil. Para penetrar el mercado usted debe hacer degustación en diversos
puntos de la Ciudad y recoger opiniones. Los siguientes datos muestran las opiniones
del sabor de los encuestados.
Opinión Regular Buena Excelente
Zona Norte 20 30 10
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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Zona Sur 15 45 30
Zona Este 20 25 50
Zona Oeste 10 15 30
a) Si usted debe comenzar por la zona que más aceptación tuvo el producto. ¿Por qué
zona comenzaría la distribución?
b) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Sur y la soda le parece Buena?
c) ¿Qué porcentaje de los encuestados son de la zona Este ó la soda le pareció
Excelente?
d) ¿Qué porcentaje de los encuestados el producto le pareció por le menos buena?
e) ¿Cuál es la probabilidad que un encuestado sea de la zona oeste dado que tiene una
opinión Regular?
Problemas ABP propuestos del Teorema de bayes
1. La materia de Investigación de Mercados la dictan 4 profesores, Ana, Evelio, Carlos y
Juan, de los 15 grupos que se van a abrir Ana tiene asignado 2, Evelio 3, Carlos 4 y
Juan 6 , los comentarios la han llegado que con Ana el 80% aprueba, con Evelio un
75%, con Carlos un 60% y con Juan un 90%.
Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante haya cursado con Evelio sabiendo que
reprobó?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se sabe que
reprobó?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante halla pasado con Juan si se sabe que
aprobó?
2. Usted es propietario de la imprenta “Sirena”, por carnavales la producción de volantes
ha aumentado muchísimo, las dos máquinas que tiene son muy buenas pero cada 1000
impresiones la primera saca 40 con fallas y la segunda de cada 2000 impresiones la
pasa lo mismo. Un cliente vino ayer a quejarse que sus volantes estaban mal hechos,
¿Cuál es la probabilidad que lo haya impreso la segunda máquina?
3. Una constructora está considerando la posibilidad de construir un condominio en la zona
de la carretera a Porongo. Si el consejo municipal aprueba la construcción del nuevo
puente a Porongo, hay posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el condominio
en tanto, que, si no es aprobado la construcción del nuevo puente al Piray, la probabilidad
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
es de solo 0.20 que construya el condominio. Basándose en la información disponible, el
gerente de la constructora estima que hay probabilidad de 0.60 que la construcción del
puente sea aprobada, por parte del Consejo Municipal.
a) Cuál es la probabilidad de que la compañía al aprobarse la construcción del puente,
construya el condominio?
b) Cuál es la probabilidad de que la compañía no construya el condominio dado que se
aprueba la construcción del puente?
4. La fábrica de tasas del oriente boliviano tiene 3 máquinas, la primera produce 230
unidades por día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que
la primera y 3 unidades más que la primera máquina tienen algún tipo de desperfecto,
la tercera máquina produce 290 unidades por día y el 99% de los mismos salen en buen
estado. Se toma una tasa al azar y está en buen estado.
a) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la segunda máquina?
b) ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la tercera maquina dado que salió
con algún defecto?
5. Una compañía petrolera, debe decidir, si taladra o no un lugar determinado que tiene bajo
contrato. Por investigaciones geológicas practicadas, se sabe que existe una probabilidad de
0.45 que una formación tipo I se extiende debajo del lugar prefijado para taladrar, y de 0.30 de
probabilidad que existe una formación de tipo II para taladrar, finalmente se tiene una
probabilidad de 0.25 para que sea una formación de tipo III, para realizar la taladrada.
Estudios anteriores indican que el petróleo se encuentra en un 30% de las veces en las
formaciones tipo I, un 40% en las de tipo II y aseguran que en un 80% no se encuentra
petróleo en las formaciones de tipo III.
a) Determinar la probabilidad que si no se encontró petróleo, la perforación fue hecha en la formación del tipo I?
b) Cuál es la probabilidad que la perforación haya sido realizada por la formación tipo III dado que si encontraron petróleo?
6. La fábrica de vasos “La Estrella” tiene 3 líneas de producción, la primera produce 150
unidades por día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que
la primera y 18 de ellos tienen algún tipo de desperfecto, la tercera línea de producción
produce 300 unidades por día y el 18% de los mismos salen rotos. Se toma un vaso al
azar y está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido en la
tercera línea de producción?
49
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
7. La fábrica de tasas del oriente boliviano tiene 4 máquinas, la primera produce 120
unidades por día y una décima parte son defectuosos, la segunda produce el doble que
la primera y 15 de ellos tienen algún tipo de desperfecto, la tercera máquina produce
310 unidades por día y el 20% de los mismos salen rotas y la cuarta maquina produce
lo mismo que la segunda pero con un 5% de defectuosos. Se toma una tasa al azar y
está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producido por la cuarta
máquina?
8. Los datos de producción de la Guaraná Conti la empresa se los mandó de Brasil, en sí
son cinco las máquinas que producen dicha soda. La primera produce 1000 cajas por
día y 50 salen en mal estado, la segunda produce el doble que la primera y la misma
proporción de desperfectos que la cuarta. La tercera produce la mitad que la quinta y
el 2% sale en mal estado, la cuarta produce el triple que la primera y la misma
proporción de desperfectos que la tercera, mientras que la quinta produce el cuádruple
que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Bolivia fue la
producción total del mes pasado. La máquina uno trabajó los 30 días, la dos y la tres 25
días, la cuatro 20 días y la cinco 22 días. Preguntas:
a) Si un cliente se quejó porque una caja estaba en mal estado ¿Cuál es la
probabilidad que haya sido producida por la cuarta máquina?
b) Si una caja está en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad que haya sido producida
por la tercera máquina?
Unidad No 6
Distribuciones de probabilidades importantes
OBJETIVOS:
Identificar los componentes de la teoría combinatoria.
Identificar las distribuciones de probabilidades más importantes.
Resolver las distribuciones de probabilidades más importantes (Probabilidad Binomial,
Probabilidad de Poisson y Probabilidad Normal).
DISTRIBUCIONES BINOMINAL:
Las probabilidades se calculan a través de la siguiente formula:
50
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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n! x n-x
P(X =x)=____ ___ p q
X!(n-x)!
Problema ABP resuelto de Probabilidad Binomial:
1. Un examen consta de diez preguntas, cada pregunta es de solución múltiple con tres opciones de las
cuales solo una es correcta. Un estudiante que desconoce la materia intenta resolver el examen
respondiendo las preguntas al azar:
a) Si necesita responder como mínimo 5 preguntas correctas para aprobar el examen. Cuál es
la probabilidad de que el estudiante apruebe?
n! x n-x
P(X = x) =________ p q
X!(n-x)!
Datos: n=10 p = 0,33 q = 0,67
x = 5, 6, 7, 8, 9, 10
10! 5 10-5
P(X =5)=________ 0,33 0,67
5!(10-5)!
P (x = 5) = 0.1332 = 13.32%
10! 6 10-6
P(X =6)=________ 0,33 0,67
6!(10-6)!
P (x = 6) = 0.0547 = 5.7%
10! 7 10-7
P(X =7)=________ 0,33 0,67
7!(10-7)!
= 0.0154 = 1.54%
10! 8 10-8
P(X =8)=________ 0,33 0,67
8!(10-8)!
= 0.028 = 0.28%
10! 9 10-9
P(X =9)=________ 0,33 0,67
9!(10-9)!
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= 0.0003 = 0.03%
10! 10 10-10
P(X =10) =________ 0,33 0,67
10!(10-10)!
= 0 .0000 = 0%
P (X ≥ 5) = P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10)
P (X ≥ 5) = 0.1332 + 0.0547 + 0.0154 + 0.0028 + 0.0003 + 0.0000
P (X ≥ 5) = 0.2064 = 20.64%
La probabilidad de que un estudiante apruebe es de 20.64%
b) Cuál es la probabilidad de que conste al menos 3 preguntas correctas?
X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Utilizando la tabla se puede determinar directamente la probabilidad para cada uno
P (X =3) = 0.02614; P (X = 4) = 0.2253; ………… P(X=10) = 0.0000
P (X ≥ 3) = P (X =3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X=9) +
P(X=10)
P (X ≥ 3) = 0.02614 + 0.2253 + 0.1332 + 0.0547 + 0.0154 + 0.0028 + 0.0003 + 0.0000
P (X ≥ 3) = 0.6931 = 69.31%
La probabilidad de que conste al menos 3 preguntas correctas es de 69.39%
Distribución de Poisson:
Formula de la distribución de Poissson:
Problema ABP resuelto de la Distribución de Poisson:
!x
xλ
λ-e
x)P(X
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1. Un gerente comercial está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen
durante la siguiente hora (ó en cualquier hora del día) laboral. La observación simple de las últimas
80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado a la tienda. Por tanto “u” es 10 por hora.
El mismo ejercicio se lo puede resolver utilizando la Tabla que está al final de la Guía.
Como vemos el resultado es el mismo. 3,78%
Distribución Normal:
Fórmula de Aplicación de la Distribución Normal de Probabilidades.
Para entender mejor este tema veamos un ejercicio de Aplicación.
Problema ABP resuelto de la Distribución Normal:
1. En una carrera pedestre de estudiantes se tiene los siguientes datos la media de llegada es de 35
min. Con una desviación de 14 min. Determinar:
a) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 20 a 35 minutos?
σ
μ-xz
Datos: u= 10
x= 5
e= 2.71828
P(5) =
P(5) = 0.0378 --------3.78%
Existe un 3.78% de probabilidad de que exactamente 5 clientes ingresen en la tienda durante la siguiente hora.
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→P = 0.85769 = 85.77 %
b) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 15 a 53 minutos?
→1- 0.92220 →P = 0.0778
→P = 0.89973
P = 82,19%
c) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 41 minutos?
→0.66275
P = 1 – 0.66275 = 33,72%
d) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega en más de 19 minutos?
20 35
15 35 53
35 41
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→P = 0.87286 → P = 87,29%
e) ¿Qué porcentaje de los estudiantes llega de 21 a 33 minutos?
→P = 0.84134 → P = 1 – 0.84134 = 0.15866
→P = 0.55567 P = 1 – 0.55567 = 0.44433
P = 0.44433 – 0.15866 = 28,56 %
Problemas ABP propuestos de distribuciones de probabilidades:
1. En un banco llegan un promedio de 60 personas para hacer alguna operación en las cajas de
atención al público. Cuál es la probabilidad de que en 15 minutos:
a) Lleguen 20 personas.
b) El número de clientes que llegan sea como mínimo 12.
c) El número de clientes este entre 13 y 18.
19 35
21 33 35
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2. El número de casos admitidos de emergencia en cierto hospital durante 1 hora es una variable
aleatoria con una distribución de poisson con un promedio de 3 personas. Determinar la
probabilidad de que en cierta hora:
a) Ningún caso de emergencia es admitido.
b) Más de 4 casos de emergencia son admitidos.
c) Por lo menos 2 casos sean admitidos.
3. La probabilidad de acertar en el blanco es 0.3, si se dispara 6 veces.
a) Cual es la probabilidad de que se acierte exactamente en cinco ocasiones?
b) Cual es la probabilidad que le acierto más de 3 ocasiones
c) Cual es la probabilidad que le acierte menor a 2 ocasiones
4. Un examen consta de siete preguntas, cada pregunta es de solución múltiple con cuatro
opciones de las cuales solo una es correcta. Un estudiante que desconoce la materia intenta
resolver el examen respondiendo las preguntas al azar:
a) Si necesita responder como mínimo 5 preguntas correctas para aprobar el examen.
¿Cuál es la probabilidad que apruebe?
b) Cuál es la probabilidad de que conteste al menos 3 preguntas correctas?
c) Cuál es la probabilidad de que conteste como máximo 4 preguntas correctas, y
repruebe el examen?
5. Supongamos que un avión tiene cuatros motores. cada motor trabaja de forma
independiente y la probabilidad de falla de cada motor es de 0.15.
Determinar cuál, es la probabilidad de que en un vuelo cualquiera:
a) No ocurra ninguna falla en ninguno de los motores?
b) Cuál es la probabilidad que ocurran fallas mínimo en un motor?
c) Cuál es la probabilidad que fallen máximo 2 motores
6. Al cajero que se encuentra frente al Mercado de la Mutualista del BNB entran 10 personas por
hora.
a) Cuál es la probabilidad que en la próxima hora entren a la tienda 6 personas?
b) Cuál es la probabilidad de que entren Menos de 3 personas usen la caja durante una hora
aleatoriamente seleccionada?
c) Cuál es la probabilidad que no ingrese ninguna persona?
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7. Al cajero del Banco BCP, que se encuentra en el Mercado de la Mutualista entran en promedio 7
personas por hora. ¿Cuál es la probabilidad que en la próxima hora entren al cajero máximo 5
personas?
8. La probabilidad de que haya un accidente sobre el tercer anillo interno a la salida de la
UTEPSA es de 0,3 por cada día.
a) ¿Cuál es la probabilidad de tener 1 accidentes en un día cualquiera?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran menos de 2 accidentes?
c) Calcular la probabilidad de que no ocurra ningún accidente?
d) Cual es la probabilidad que ocurran más de 2 accidentes al día?
9. Supongamos que un libro de 585 páginas contiene 41 errores de ortografía distribuidos
aleatoriamente. Cuál es la probabilidad que en diez páginas seleccionadas al azar:
a) Ninguna página tenga errores.
b) Hayas 23 páginas con errores.
c) Como máximo 3 paginas tengas errores.
10. La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,2 cada vez que se viaja, si se
realizan 300 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
11. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,1. ¿Cuál es la probabilidad de que
entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?
12. Usted es el Gerente Comercial en Santa Cruz de la Sierra de Laboratorios Inti. Un estudio
previo a su gestión mostró que el consumo promedio de mentisan de los habitantes del
departamento era de Bs. 100 anual con una desviación de 11 Bs. Teniendo en cuenta estos
datos, responda las siguientes preguntas.
a) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran de 70 a 110 Bs?
b) ¿Qué porcentaje de todos los que compran mentisan compran Más de 130 Bs?
13. Se sabe que el 30% de los habitantes de una ciudad depende del asma. Determinar la
probabilidad de que en una muestra aleatoria de 4 personas.
a) Ninguna padezca de agua.
b) más de 2 sufran de asma.
14. Dado la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media de 6.4 y desviación
tipica de 2.3, encontrar:
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a) P(4< X <5) =
b) P(X> 2) =
c) P(X≤ 2) =
15. Las esturas de 1000 estudiantes están distribuidas normalmente con una medida de 174
centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros ¿qué porcentaje de estudiantes:
a) Miden menos de 160cm.
b) Entre 171 y 182cm.
c) Mayor o igual a 188cm.
16. Un súper mercado almacena 30kg de queso fundido cada semana. Si la demanda semanal
de queso fundido esta normalmente distribuida con una medida de 24 kg una desviación
estándar de 5 kg. Determinar la probabilidad de queso en un semana cualquiera.
17. Los gastos mensuales de comida de familias de cuatro miembros promedian $us 420 con
una desviación estándar de $us 80. Suponiendo que los gastos mensuales de comida se
distribuyen normalmente.
a) ¿Qué porcentaje de estos gastos son inferiores a $us 360?
b) ¿Qué porcentaje de estos gastos están entre $us 260 y $us 360?
c) ¿Qué porcentaje de estos gastos están entre $us 260 y $us 460?
d) ¿Qué porcentaje de estos gastos son superiores a $us 360?
18. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 Kg y la desviación típica 3
Kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes
pesan:
a) Entre 60 Kg y 75 Kg
b) Más de 90 Kg
c) Menos de 64 Kg
19. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con una
media 78 y desviación típica 36. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una
calificación superior a 72?
b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72. ¿Cuál es la
probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?
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20. La policía está investigando los accidentes de tránsito que ocurren en las calles Seoane y
Libertad según sus registros presenta una mediante 5 accidentes mensuales en dichas
calles. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución poisson.
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Unidad No 7
Calculo del tamaño de la muestra
OBJETIVOS:
Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas.
Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas.
Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita.
Resolver problemas de aplicación a la economía.
Fórmulas para el cálculo del tamaño de la muestra “n”
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Problema ABP resuelto del calculo del tamaño de la muestra:
1. Se desea estimar la proporcion de losestudiantes de la UTEPSA, con un nivel de aprendizaje de
excelencia, para ellose define los siguientes criterios:
Nivel de confianza = 95% (z = 1.96)
Proporcion de estudiantes = 0.15, como referencia
Error maximo tolerable = 5%
Para poblaciones infinitas:
Problemas ABP propuestos del cálculo del tamaño de la muestra:
1. Determinar el tamaño de la cantidad de estudiantes que se va a encuestar si se tiene una desviación
de 20 y un nivel de confianza de 90% y un error de 3, para conocer el nivel de excelencia educativa
de la UTEPSA si se conoce que el total de estudiantes inscritos es de 10000 estudiantes.
2. Se desea estimar la calificación promedio de aprobación de los estudiantes del módulo
anterior, de la UTEPSA, para ello se realizó una prueba piloto donde se encuesto 40
personas de las cuales 25 aseguraron haber aprobado la materia que le había tocado el
anterior modulo.
a) Con los siguientes criterios determinar el tamaño de la muestra que se debe tomar para
realizar dicho estudio, con un nivel de confianza del 95% y un error del 7%.
b) Cuanto seria esta muestra si conocemos que la población de la UTEPSA es
aproximadamente de 9000 estudiantes.
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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016
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3. Se desea estimar el ingreso promedio de las familias en santa cruz, para ello se definen los
siguientes criterios un nivel de confianza del 90% y una desviación estándar de 1200 Sus.
Con un error máximo tolerable de 200 Sus.
a) Cuál será el tamaño de la muestra que se debe tomar para realizar dicho estudio.
b) Considerando una población total de 480000 familias cuanto seria la muestra a tomar para
realizar dicho estudio.
4. Se desea estimar la proporción de estudiantes de la UTEPSA con un nivel de aprendizaje de
excelencia, para ello se define los siguientes criterios un nivel de confianza del 95% una
probabilidad de estudiantes que aprueban con excelencia de 10% y un error de 6%
determinar el tamaño de la muestra que se deberá tomar para realizar dicho estudio
considerando que la UTEPSA tiene una población de 10000 Estudiantes.
Investigación
Aplicación de lo aprendido
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