Facultad de Ciencias
Escuela de Ciencias
Profesor Patrocinante: Dr. Marius Schaefer
Instituto de Ciencias Fısicas y Matematicas
Facultad de Ciencias
Profesora Informante: Dra. Carolina Dominguez
Instituto de Ciencias Fısicas y Matematicas
Facultad de Ciencias
Profesor Informante: Dr. Wilhelm Gerber
Instituto de Ciencias Fısicas y Matematicas
Facultad de Ciencias
Modelamiento Numerico de la Dinamica de la Capa de Hielo
Mocho-Choshuenco
Seminario de Graduacion presentado
como parte de los requisitos para optar
al Grado de Licenciado en Ciencias
Mencion Fısica.
EDUARDO ELIAS FLANDEZ GUERRERO
VALDIVIA-CHILE
2017
Agradecimientos
Al Fondo Newton-Picarte RCUK-CONICYT, proyecto MR/N026462/1 “Glacial Hazards in
Chile: Processes, Assessment, Mitigation, and Risk Management Strategies”por el financiamiento.
Al Dr. Marius Schaefer del Instituto de Ciencias Fısicas y Matematicas de la UACh, por ser
mi profesor guıa, y por su apoyo durante mis estudios de pregrado, ası como permitirme colabo-
rar en varios terrenos cientıficos de glaciologıa. Tambien al Dr. Ralf Greve del Institute of Low
Temperature Science, Hokkaido University, Sapporo, Japon, por ofrecerme trabajar con su modelo
SICOPOLIS y su buena disposicion para resolver mis consultas. Al Dr. Pablo Iribarren del Instituto
de Ciencias de la Tierra UACh, por la ayuda con el modelo de elevacion digital. A Pablo Paredes
por su ayuda con Matlba, a Jorge Hernandez, Sebastian Cisternas y Thomas Loriaux por compartir
material de glaciologıa para estudiar.
Del Instituto de Ciencias Fısıcas y Matematicas UACh, a mis profesores informantes, la Dra.
Carolina Dominguez y el Dr. Willy Gerber. Tambien quiero agradecer de manera especial a la Dra.
Judit Lizoni por su constante apoyo, y al Dr. Sourya Ray por ensenarme a perseverar.
A la Dra. Susan Hess, Directora de la Escuela de Ciencias, por permitirme ingresar a esta her-
mosa carrera y su constante apoyo durante mis estudios.
A Tere, por ser mi companera, contenerme y darme su apoyo.
A mis hermanas Inge y Javi, por creer en mı.
Finalmente a Marta, mi madre por regalarme el libro del sistema solar y sus juegos creativos
que fueron despertando en mi el interes por la ciencia.
II
Resumen
El estudio de los glaciares es importante, ya que estos son indicadores de cambio climatico. La
dinamica de los cuerpos de hielo no solo es influenciada por factores climaticos, la topografıa del
lecho juega un rol fundamental. En este trabajo se busca simular el espesor y la extension de la
Capa de Hielo Mocho-Choshuenco.
Primero, se basa en las ecuaciones de conservacion de la masa y momentum de la mecanica
de fluidos. Posteriormente se estudian los principios fısicos de los cuerpos de hielo, los esfuerzos
y deformaciones, la fluencia del hielo, para llegar a la ecuacion de continuidad integrada vertical-
mente, el perfil de velocidades, y finalmente la ecuacion de evolucion del espesor de hielo.
Se utiliza la Aproximacion de hielo delgado (SIA), la cual facilita los calculos numericos, y
considera el glaciar como una loza de hielo infinito, despreciando el esfuerzo cortante en la super-
ficie. Se utiliza el codigo SICOPOLIS (SImulation COde for POLItemal Ice Sheets), que se basa
en el metodo de las diferencias finitas. Se realizan 6 simulaciones, en las que se varıa la altitud de
la lınea de equilibrio (ELA) y la parametrizacion del deslizamiento basal.
Se observa que al aumentar la ELA, el area de la capa de hielo y su espesor medio disminuyen.
Permitiendo el deslizamiento basal de la capa de hielo se observo que la simulacion reproducıa de
manera similar el espesor real, en particular la simulacion con un ELA a 2000 metros sobre en nivel
del mar [msnm], pero con un mayor volumen del real.
Finalmente basado en las proyecciones climaticas para la region, se espera que la ELA aumente,
y con ello las dimensiones de la capa de hielo se reduzcan. A su vez, se concluye que el desliza-
miento basal juega un rol fundamental en su dinamica, al redistribuir la masa hacia las zonas de
menor altitud, contribuyendo de esta manera a los procesos de ablacion.
III
Abstract
The study of glaciers is important, as these are indicators of climate change. The dynamics of
the ice bodies is not only influenced by climatic factors, the topography of the bedrock plays a
fundamental role. In this work we seek to simulate the thickness and the extension of the Mocho-
Choshuenco Ice Cap.
First, it is based on the conservation equations of the mass and momentum of fluid mechanics.
Subsequently, the physical principles of ice bodies, stresses and deformations, ice creep are studied
to arrive at the vertically integrated continuity equation, the velocity profile, and finally the equa-
tion of evolution of the thickness of ice, which is the equation to solve in this work.
The Shallow Ice Approximation (SIA) is used, which yield the numerical calculations, and con-
siders the glacier as an infinite ice slab, neglecting the shear stress on the surface. The SICOPOLIS
code (SImulation COde for POLItemal Ice Sheets) is used, which is based on the finite difference
method. Six simulations are carried out, in which the altitude of the equilibrium line (ELA) and the
parameterization of the basal slip are varied.
It is observed that when increasing ELA, the area of the ice cap and its average thickness de-
crease. Allowing the basal slide of the ice cap it was observed that the simulation reproduced in a
similar way the real thickness, in particular the simulation with an ELA at 2000 meters above sea
level masl, but with a greater volume of the real one.
Finally based on the climate projections for the region, it is expected that the ELA will increase,
and with this the dimensions of the ice cap will be reduced. At the same time, it is concluded that
the basal sliding plays a fundamental role in its dynamics, by redistributing the mass towards the
lower altitude zones, contributing in this way to the processes of ablation.
IV
Indice general
1. Introduccion 1
1.1. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. La Fısica las Ciencias de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Modelamiento de glaciares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Los glaciares y el cambio climatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4. Balance de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5. Glaciares de la region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6. Capa de hielo Mocho-Choshuenco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Deformacion del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2. Ley de Glen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3. Esfuerzos de conduccion y resistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4. Perfil vertical de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.5. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.6. Ecuacion del espesor del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.7. Aproximacion hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.8. Aproximacion de hielo delgado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. Hipotesis y Objetivos 39
2.1. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
V
INDICE GENERAL VI
3. Material y metodos 41
3.1. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. SICOPOLIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3. Mapa del lecho rocoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Transformacion sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5. Grilla C de Arakawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6. Discretizacion de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.1. Velocidad horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.2. Velocidad vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6.3. Evolucion de la superficie del hielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7. Esquema sobre implıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4. Resultados 52
4.1. Descripcion de la simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1. Parametros constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2. Parametros variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Estabilidad de la capa de hielo simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1. Tiempo de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2. Resolucion espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.1. Variacion de la ELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.2. Simulaciones con deslizamiento basal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.3. Variacion del volumen total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5. Discusion 65
5.1. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A. Glosario 71
INDICE GENERAL VII
B. Metodo de diferencias finitas 75
B.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B.1.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B.1.2. Metodo de Euler implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.1.3. Metodo de Cranck Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.2. Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.3. Cuadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C. Ecuacion de continuidad para fluidos incompresibles 84
Bibliografıa 85
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Planteamiento del Problema
1.1.1. La Fısica las Ciencias de la Tierra
El planeta Tierra esta conformada por capas con propiedades fısicas distintas: corteza, manto,
un nucleo externo lıquido y un nucleo interno solido. Esto se sabe gracias al trabajo de Inge Leh-
man, quien trabajando con ondas sısmicas descubrio la discontinuidad que lleva su nombre, la cual
separa el nucleo externo del nucleo interno (Lehmann, 1936).
La Tierra tiene una edad aproximada de 4.600 millones de anos durante los cuales el clima ha
cambiado, han transcurrido perıodos frıos en los cuales la Tierra ha estado cubierta por grandes
extensiones de hielo, conocidos como perıodos glaciales, y tambien perıodos de temperaturas mas
calidas, los perıodos interglaciales, como en el que nos encontramos en la actualidad. Fue el ma-
tematico Milutın Milanvovic, quien pudo relacionar los cambios de larga duracion del clima en el
ultimo millon de anos, con variaciones de la orbita terrestre alrededor del sol (Milankovitch, 1930).
La fısica se define como la ciencia natural que estudia la materia, la energıa, el tiempo y el
espacio (Tipler, 2005), permite a traves del uso de la logica, las matematicas y ciertos principios
fundamentales de la naturaleza, entender como funciona el universo. Esto por cierto, tiene aplica-
ciones a las ciencias de la tierra, de la atmosfera y el universo.
1
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 2
1.1.2. Modelamiento de glaciares
La importancia de hacer modelamiento numerico de los fenomenos naturales, esta en que nos
permite encontrar la solucion de algun problema, cuando la solucion analıtica no existe o esta
requiere de un desarrollo complejo. Cuando analizamos los resultados de un modelo, hay que con-
siderar que no estamos tratando con el objeto real, sino que con un objeto teorico, sobre el cual
hemos hecho caso omiso de algunas variables, para ası poder abordar de manera simplificada cier-
tos problemas.
La era moderna de los estudios de glaciares se origino en el perıodo de 1950 a 1970 gracias a los
trabajos de Nye, Glenn, Hutter, Paterson, (por mencionar algunos); al integrar los principios fısicos
con la evidencia experimental, los analisis explicaron muchos aspectos de la forma, la temperatura,
el flujo, la evolucion y la dinamica de los glaciares (Cuffey and Paterson, 2010).
Una caracterıstica comun de los cuerpos de hielo es que fluyen por causa de la gravedad, lo
que se denomina flujo glacial, sostenido por el lecho rocoso subyacente. Esto conduce al adelgaza-
miento y a la dispersion horizontal, esencialmente compensada por la acumulacion de nieve en las
areas mas altas (interiores), y fusion y desprendimiento (o calving) en las areas inferiores. Cual-
quier desequilibrio de este balance dinamico conduce a las masas de hielo a crecer o a encogerse
(Greve and Blatter, 2009).
El hielo fluye como un fluido viscoso, cuya velocidad es mayor en la parte central y disminuye
progresivamente hacia cada lado, y se mueve mas rapidamente en la superficie que en la profun-
didad. Por otro lado los vectores de velocidad no son paralelos a la superficie del glaciar, mas
bien estos se inclinan ligeramente hacia abajo en las partes superiores del glaciar como muestra
la figura1.1, donde la nieve se acumula y ligeramente hacia arriba en los tramos inferiores para
compensar el hielo perdido por fusion (Cuffey and Paterson, 2010).
1.1.3. Los glaciares y el cambio climatico
La parte de la superficie de la Tierra donde el agua se encuentra congelada se denomina Crios-
fera. Esta incluye: nieve, glaciares, capas de hielo, el hielo marino, campos de hielo, el permafrost,
y los casquetes polares de Groenlandia y Antartica (Greve and Blatter, 2009).
Nieve: es una precipitacion en forma de hielo de agua cristalina, que consiste en una multitud
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3
Figura 1.1: Vista esquematica de vectores de velocidad en un glaciar de montana (Cuffey and
Paterson, 2010)
de copos de nieve, que se acumulan en el suelo a una densidad aparente significativamente menor
que la del hielo (Bishop et al., 2011).
Casquete de hielo polar (ice sheets): son masas de hielo cuya superficie es superior a 50.000
km2, que yace sobre lecho rocoso firme (Cuffey and Paterson, 2010).
Hielo marino (ice shelves): por otro lado los consiste en hielo flotante en los oceanos polares,
nutrido por el flujo de hielo de una capa de hielo adyacente, nevadas, y recongelamiento de hielo
marino desde abajo, y que es tıpicamente estabilizado por grandes bahıas (Bishop et al., 2011).
Capa de hielo (Ice cap): se define como grandes masas de hielo con una superficie inferior a
50.000 km2 que estan alojadas sobre lecho rocoso. Son esencialmente las enormes masas de gla-
ciares que casi sumergen la topografıa subyacente (Bishop et al., 2011).
Glaciar: es una masa de hielo que se origina en la superficie terrestre por acumulacion, compac-
tacion y recristalizacion de la nieve, mostrando evidencias de flujo en el pasado o en la actualidad
Cuffey and Paterson (2010), limitado por caracterısticas topograficas (por ejemplo, un valle de
montana) (Greve and Blatter, 2009).
Permafrost: es el suelo que permanece congelado a 0◦C por al menos dos anos consecutivos
(Bishop et al., 2011).
Tanto los casquetes polares, plataformas de hielo, capas de hielo y glaciares tienen en comun
que muestran un flujo de fluencia impulsado por la gravedad (“flujo glacial”), sostenido por la tierra
subyacente (Greve and Blatter, 2009).
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 4
Segun Hooke (2005), los cuerpos de hielo tambien se clasifican por sus caraterısticas termicas:
1. Frıos o polares: su temperatura esta por debajo de la temperatura de fusion del hielo en
todas partes, excepto posiblemente en el lecho. A su vez estos se subdividen en Tipo I que
son aquellos que estan congelados en su base, y como Tipo II aquellos que presentan agua de
deshielo en la base. Estos responden de manera mas lenta a los cambios climaticos.
2. Politermales o subpolares: son glaciares que tienen un regimen termico basal mixto. Estos
glaciares tienen hielo temperado (a 0◦C) en su interior donde el hielo es grueso y se calienta
hasta el punto de fusion de presion, y hielo frıo (por debajo de 0◦C) alrededor de sus margenes
donde el hielo es delgado y en su superficie (Bishop et al., 2011).
3. Temperados: aquellos que estan a la temperatura de fusion (a 0◦C) en todo momento. Es-
tos son mas sensibles y responden rapido a cambios climaticos y tambien a cambios en la
dinamica del hielo. Ejemplos son la capa de hielo del volcan Mocho-Choshuenco y glaciares
de la Patagonia.
Por otro lado, segun el Quinto Informe (AR5), capıtulos 2,3, y 4 del Panel Intergubernamental
de Expertos sobre el Cambio Climatico (IPCC), contribucion del Grupo de Trabajo I (Stocker et al.,
2013), el calentamiento del sistema climatico es inequıvoco, y desde la decada de 1950 muchos de
los cambios observados son sin precedentes durante decadas o milenios. La atmosfera y el oceano
se han calentado, las cantidades de nieve y hielo han disminuido, el nivel del mar ha aumentado y
las concentraciones de gases de efecto invernadero han aumentado. Algunas conclusiones de este
informe son:
• A nivel atmosferico las ultimas tres decadas han sido mas calidas que cualquiera de las ante-
riores desde 1850. El promedio combinado de temperatura terrestre y oceanica global, mues-
tra un calentamiento de 0,85 ◦C para el perıodo comprendido entre 1880 a 2012.
• El aumento de la temperatura superficial del oceano (75 m) fue de 0,11 ◦C por decada durante
los anos 1971 a 2010.
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 5
• La tasa promedio de perdida de hielo de los glaciares en todo el mundo, excluyendo los
glaciares en la periferia de las capas de hielo, fue de 226 gigatoneladas por ano (desde ahora
Gt a−1) durante el perıodo de 1971 a 2009.
• La tasa de aumento del nivel del mar desde mediados del siglo XIX ha sido mayor que la tasa
media durante los dos milenios anteriores. Durante el perıodo 1901 a 2010, el nivel medio
global del mar aumento 0,19 m.
Los glaciares tienen un rol importante como indicadores de cambio climatico. Segun Jacob et al.
(2012) entre los anos 2003 a 2010, a nivel global las contribuciones al aumento del nivel del mar
por parte glaciares y capas de hielo fue de 0,41± 0,08 milımetros por ano (desde ahora mma−1), el
aporte de Groenlandia fue de 0,61 ± 0,02 mma−1 y de Antartica una tasa de 0,46 ± 0,20 mma−1.
Por otro lado, el quinto informe del IPCC, AR5 (Fifth Assessment Report), capıtulo 13, estima
una contribucion de los glaciares y capas de hielo de 0,76 ± 0,37mma−1, luego para Groenlandia
una tasa de 0,43 ± 0,09 mma−1, y finalmente para Antartica 0,27 ± 0,11 mma−1 (Church et al.,
2013).
1.1.4. Balance de masa
Cada ano un glaciar (y los otros cuerpos de hielo) gana hielo de las nevadas pero tambien
pierde hielo por derretimiento y otros procesos. Si las ganancias y las perdidas no son iguales,
el tamano del glaciar (sus dimensiones y la masa de hielo que contiene) cambiara con el tiempo
(Cuffey and Paterson, 2010). El balance de masa es un concepto muy importante, permite evaluar
dichos cambios y buscar una comprension de los procesos involucrados. En terminos sencillos es
el cambio en la masa de un glaciar, o parte de este, durante un lapso de tiempo establecido (Cogley,
2011). Los procesos involucrados son la acumulacion de masa y la ablacion.
Acumulacion: Representa una entrada o ganancia de masa (Cogley, 2011), y segun (Bishop et al.,
2011) suministro de masa principalmente por deposicion de nieve. Dentro de los procesos que
influyen en la acumulacion estan la precipitacion de nieve (la cual aumenta con la elevacion),
la redistribucion de nieve por viento (mas importante en cuerpos de hielo pequenos que en los
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 6
grandes), redistribucion de nieve por avalancha, y recongelamiento, el cual puede llegar a ser de
un 60 % en la zona de acumulacion (Cuffey and Paterson, 2010).
Ablacion: Involucra todos los procesos que reducen la masa del glaciar. Los principales procesos
de ablacion son el derretimiento y el desprendimiento o “calving”. Tambien contribuyen la erosion
por viento, y avalanchas (Cogley, 2011).
Cuando la acumulacion es mayor que la ablacion se habla de un balance de masa positivo, por
el contrario cuando la ablacion predomina ante la acumulacion hablamos de un balance negativo.
El balance de masa en un punto en especıfico tambien depende del flujo de hielo. El flujo de
hielo redistribuye la masa en un glaciar. Mirando la figura 1.2 el balance de masa de la zona A, no
solo depende de los intercambios de masa sumados a la zona, sino tambien de la transferencia de
masa por flujo. La zona A pierde masa por flujo glaciar abajo, mientras que la zona B gana masa
por flujo desde arriba.
Al aumentar el flujo de glaciar hacia abajo, este se expande hacia la zona de bajas altitudes
donde la fusion es mas fuerte y como consecuencia se pierde masa (Cuffey and Paterson, 2010).
Figura 1.2: Flujo de hielo desde la zona A hacia la B. La X representa una columna vertical de
hielo de area horizontal unitaria (Cuffey and Paterson, 2010)
.
Observado nuevamente la figura 1.2, la letra X que aparece, indica una columna vertical de area
horizontal unitaria. Los intercambios de masa que ocurren en la superficie, dentro del glaciar, y
en su base aumentan o disminuyen la masa en la columna. Este cambio de masa por unidad de
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 7
superficie es lo que se conoce como balance de masa especıfico.
Balance de masa especıfico (B): representa el cambio de masa por unidad de area, se mide en
kg/m2. En un punto especıfico del glaciar, el balance de masa local designa la suma de acumula-
cion y ablacion . El balance de masa local (especıfico) puede ser positivo si domina la acumulacion,
o negativo si domina la ablacion. El signo del balance de masa especıfico determina completamente
el cambio local de espesor de hielo o el cambio local de masa en una columna vertical a traves del
glaciar. Esto se debe a que el balance de masa especıfico se puede compensar, por la entrada/perdida
de masa debido a un gradiente del flujo de hielo horizontal (Cuffey and Paterson, 2010).
Tasa de balance de masa especıfico (B): es el balance de masa especıfico dividido por ano (a),
sus unidades son (kg/m2a) (Cuffey and Paterson, 2010).
Es comun utilizar como sinonimos tasa de balance especıfico y balance especıfico, ya que en
ocasiones el balance de especıfico se mide durante un ano, (pero no necesariamente).
El balance especıfico de la columna X se puede dividir como:
B = Bs + Be + Bb
donde Bs es el balance superficial, Be es el balance intraglacial y Bb es el balance basal. En la
practica muchas veces solo se mide el Bs, haciendo la aproximacion B ≈ Bs.
Balance de masa superficial (Bs) : Domina en balance de masa en la mayorıa de los glaciares,
seguido por el calving. Esta dado por:
Bs = as + aa − ms + ar − s+ aw
donde as representa las nevadas, aa deposicion por avalanchas, ms el derretimiento, ar el reconge-
lamiento de agua, s la sublimacion, y aw la deposicion por viento (Cuffey and Paterson, 2010).
En la mayorıa de los glaciares montanosos fuera de los tropicos, el balance superficial varıa
considerablemente a lo largo de las estaciones, dominado por la acumulacion en invierno y la
ablacion en verano (Cuffey and Paterson, 2010).
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 8
Gradiente de balance de masa m0: se espera que el balance de masa vaya aumentando con la
elevacion, debido a que las temperaturas disminuyen y las precipitacion solida aumenta.
Mediante el balance de masa local se pueden identificar dentro de un glaciar la zona de abla-
cion, la zona de acumulacion y la lınea de equilibrio. El ano hidrologico comienza en marzo/abril,
y corresponde al perıodo de tiempo en que se mide el balance de masa.
Zona de acumulacion: La parte del glaciar donde la acumulacion excede la ablacion en mag-
nitud, es decir, donde el balance de masa acumulada con relacion al inicio del ano de balance de
masa es positivo (Cogley, 2011).
Zona de ablacion: la parte del glaciar donde la ablacion excede a la acumulacion en magnitud,
es decir, donde el balance de masa acumulativo relativo al inicio del ano hidrologico es negativo
(Bishop et al., 2011).
Lınea de equilibrio: la lınea de equilibrio, marca el area o zona en un glaciar que separa la
zona de acumulacion de la zona de ablacion y representa donde la acumulacion anual y la ablacion
son iguales durante un perıodo de un ano (Cuffey and Paterson, 2010).
Figura 1.3: Variacion estacional del balance superficial especıfico, a traves de un glaciar (Cuffey
and Paterson, 2010)
La altitud de la lınea de equilibrio (desde ahora ELA), esta determinada por las condiciones
climaticas locales, pero tambien es un buen indicador del clima regional debido a que las fluctua-
ciones del balance de masas de los glaciares se correlacionan fuertemente con las distancias a 500
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
km (Bishop et al., 2011). Mucha superficie en la ELA implica que el balance de masa del glaciar
es mas sensible a cambios de temperatura.
El Balance de masa superficial (Bs), se define como la diferencia entre la precipitacion de nieve
(acumulacion) y fusion (ablacion). Se emplea una parametrizacion simple con tres parametros, el
balance de masa superficial maximo (S0), gradiente altitudinal del balance superficial (m0) y la
altitud de la lınea de equilibrio (ELA) como muestra la figura (1.4) (Greve and Blatter, 2009).
Bs (h, t) = min [S0 (t) ,m0 (h− ELA (t))] (1.1)
“Ecuacion del balance de masa superficial”
Figura 1.4: Parametrizacion del balance de masa superficial como una funcion de la elevacion de
la superficie h. Los tres parametros son: el balance de masa superficial maximo S0, el gradiente
altitudinal del balance de masa superficial m0 y la altura de la lınea de equilibrio ELA. (Greve and
Blatter, 2009)
Por otro lado, uno de los metodos que se utilizan para medir el balance de masa, es el Metodo
Glaciologico el cual consiste en la instalacion de una red de balizas (estacas) en el glaciar per-
forandolo con un taladro a vapor “heucke steam drill”(Heucke, 1999), las cuales sirven para medir
la diferencia de elevacion de superficie de nieve o hielo a traves del tiempo. A su vez se cava un
pozo estatrigrafico o calicata, en el cual se extraen muestras de nieve para calcular la densidad de
esta (Hubbard and Glasser, 2005). Para el balance de masa se utiliza la unidad metros equivalentes
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 10
de agua (meter water equivalent, desde ahora m w.e.). Ası 1 m w.e significa que si se derrite dicha
cantidad de nieve, se obtiene un metro cubico de agua.
1.1.5. Glaciares de la region
Desde el siglo pasado los glaciares de la Patagonia, han experimentado una drastica recesion
respecto al area (Masiokas et al., 2009). Un ejemplo ilustrativo es el glaciar San Rafael cuyo re-
troceso muestra la figura 1.5. Esto se condice con las tendencias lineales de los registros anuales
y estacionales de temperaturas y precipitaciones promediados a nivel regional en Patagonia que
indican un calentamiento significativo y una disminucion de la precipitacion entre 1912 y 2002
(Masiokas et al., 2008).
Segun Rignot et al. (2003) la contribucion de los glaciares de la Patagonia al aumento del nivel
del mar durante el perıodo 1968/1975 - 2000 fue a una tasa de 0,042± 0,002 milımetros por ano
[mma−1]. Por otro lado, segun Jacob et al. (2012) la tasa fue de 0,06 mma−1, entre 2003 a 2010.
Es probable que la diferencia entre ambos trabajos sea por los distintas fuentes de informacion uti-
lizadas, (Rignot et al., 2003) utilizo datos de STRM (Shuttle Radar topography mission), mientras
que (Jacob et al., 2012) utilizo informacion de la mision satelital GRACE (Gravity Recovery and
Climate Experiment), y por otro lado a los diferentes intervalos de ambos estudios.
Las proyecciones de balance de masa para Campos de hielo norte, NPI (Northern Patagonian
Ice Field), muestran un fuerte aumento en la ablacion a partir de 2050 y una reduccion de la precipi-
tacion solida a partir de 2080, debido a temperaturas mas altas (Schaefer et al., 2013). Suponiendo
que no existan cambios significativos de perdida de masa por desprendimientos (calving), se estima
una perdida total de masa de 617 ± 50 gigatoneladas [desde ahora Gt] de hielo en el siglo 21, lo
cual podrıa corresponder a un aumento en el nivel del mar de 1,71 ± 0,14 mm (Schaefer et al.,
2013).
1.1.6. Capa de hielo Mocho-Choshuenco
La Capa de hielo delVolcan Mocho-Choshuenco se ubica en la ladera suroeste del volcan
homonimo (39◦55′S, 72◦02′W ) cercano a las localidades de Neltume y Choshuenco, en la XIV
Region de los Rıos, Chile (ver figura1.6), y esta conformado por hielo temperado segun extraccio-
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 11
Figura 1.5: Retroceso del Glaciar San Rafael, (Andres Rivera, www.glaciologia.cl)
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 12
nes de testigos de hielo (Kohshima et al., 2008).
El glaciar principal del volcan esta situado en el flanco sureste del cono, con una superficie total
de 4,8 km2. La temperatura media anual en un nunatak del Glaciar Mocho a una elevacion de ±
2000 m, fue de +2,6 ◦C en 2006-15 y la precipitacion media anual en Puerto Fuy (13 km del glaciar,
a una altitud de 600 m) fue de 4000 mm durante el mismo perıodo (Schaefer et al., 2017).
Figura 1.6: Ubicacion del area de estudio y delimitacion de cuenca monitoreada desde 2003 (Schae-
fer et al., 2017)
En el ano 2003 hubo una reduccion del 40 % de la superficie original de 28,4 km2 que habıa en
el ano 1976. Se observo una disminucion del area a una tasa de 0,45 km2a−1 entre 1987 y 2003.
Con el fin de analizar la respuesta de los glaciares a las condiciones climaticas que afectan a esta
region, se inicio en 2003 un programa mensual de balance de masa y se han realizado mediciones
continuamente hasta la fecha.
El promedio de los balances anuales de masa del glaciar medidos en los cuatro anos hidrologi-
cos 2009/10 - 2012/13 fue de -0,90 m w.e. a−1 ano. La simulacion del balance de masa anual
promedio del glaciar entre 2006/07 - 2014/15 fue de -1,05 m w.e. a−1. La ablacion distribuida ob-
1.2. MARCO TEORICO 13
servada muestra una clara dependencia altitudinal mientras que la acumulacion esta determinada
por patrones de deriva de nieve (Schaefer et al., 2017).
Por lo anteriormente expuesto, en este seminario contribuire al entendimiento de la dinamica
del glaciar Mocho-Choshuenco, simulando la variacion temporal del espesor del hielo glaciar, para
comprender los impactos de los futuros climas mas calidos proyectados para la Region de los Rıos.
1.2. Marco teorico
En un glaciar de valle el hielo fluye gobernado por una ley basica: fluye hacia abajo por causa
de la gravedad. La friccion en la base y a los lados intentan mantener el hielo en su lugar, y este
contraste de fuerzas es el origen de tensiones internas que desencadenan una deformacion plastica,
que se traduce en grietas (Oerlemans, 2001). La forma en que el flujo redistribuye la masa determina
la forma de un glaciar, y tambien la rapidez con la que los glaciares responden al cambio climatico.
El flujo ademas redistribuye la energıa interna del glaciar y por tanto afecta la distribucion de
temperatura (Hooke, 2005). Segun Oerlemans (2001), en la descripcion del flujo glacial se pueden
distinguir dos tipos de movimientos:
1. Deformacion interna, que involucra el desplazamiento contınuo de cristales entre sı. En los
glaciares mas grandes, el tipo de deformacion se aproxima a un flujo cortante simple, en el
cual la velocidad del hielo es mas o menos paralela al lecho y aumenta con la altura sobre
el lecho y con la distancia desde las paredes del valle (ver figura 1.7). La deformacion de
capas de hielo paralelas (ficticias) induce esfuerzos de corte en la interfase de las capas. Este
esfuerzo cortante debe aumentar con la profundidad, ya que tiene que mantener mas y mas
hielo en equilibrio (la columna entera de hielo sobre la que la fuerza del cuerpo, la gravedad,
esta actuando).
2. Deslizamiento sobre el lecho. Debido al tamano finito y a las irregularidades presentes en el
lecho, el deslizamiento tambien implica deformacion del hielo, de lo contrario el glaciar no
podrıa mantener su forma.
Tambien el hielo deforma el lecho.
1.2. MARCO TEORICO 14
En glaciares templados se estima que las contribuciones del deslizamiento y de la defor-
macion de la columna de hielo, al flujo total de masa son comparables.
Figura 1.7: Incremento de la velocidad , desde el lecho hacia la superficie libre y desde las paredes
del valle hacia el centro del glaciar (Oerlemans, 2001).
1.2.1. Deformacion del hielo
Cuando se aplica un esfuerzo sobre el hielo, este se comporta como un fluido viscoso defor-
mandose lenta y continuamente, bajo un proceso llamado fluencia (creep) (Cuffey and Paterson,
2010). Esto explica el flujo dentro del hielo, y su deslizamiento sobre el lecho rocoso (bedrock). De
esta manera existe una “relacion de fluencia”, tambien llamada “ley de flujo”, la cual es un tipo de
relacion constitutiva que relaciona la deformacion con el esfuerzo.
Si la relacion de fluencia entre el esfuerzo y la deformacion es lineal, el fluido se denomina
“viscoso newtoniano”.
La “plasticidad perfecta” es un caso lımite de fluencia, en el que al aumentar el esfuerzo gra-
dualmente no se produce deformacion hasta un valor crıtico, el lımite elastico, y comienza la defor-
macion. El esfuerzo nunca puede exceder el lımite elastico, pero la deformacion puede continuar
de todos modos. La fluencia del hielo glacial sigue una ley que se encuentra entre los dos ejemplos
anteriores, la viscosidad newtoniana y la plasticidad perfecta (Cuffey and Paterson, 2010).
Considerando un cuerpo de hielo deformandose continuamente como un fluido. Definiendo el
vector de velocidad del flujo del hielo como v cuyas componetes son [u, v, w]. El gradiente espacial
1.2. MARCO TEORICO 15
de velocidad determina la tasa de deformacion, descrita por el tensor tasa de deformacion εxz de la
siguiente forma:
εxz =1
2
[∂u
∂z+∂w
∂x
](1.2)
εxx =∂u
∂x(1.3)
Ası se obtiene una matriz de 9 elementos, donde las componentes diagonales εxx, εyy, εzz des-
criben el estiramiento (positivo) o compresion (negativo) paralela a los ejes.
La suma εxx + εyy + εzz da la tasa fraccional de cambio de densidad del hielo deformado. Este
numero se llama primer invariante de ε, simbolizado por εI .
Como el hielo glaciar se asume incompresible, la ecuacion de continuidad de masa
∂ρ
∂t+∇ · (ρv) = 0 (1.4)
para fluidos incompresibles es
∇ · v = 0 (1.5)
Luego, el primer invariante de ε es
εI =∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0 (1.6)
La figura 1.8 ilustra la proyeccion de un bloque de hielo en el eje x− z, inicialmente cuadrado,
el cual se deforma cuando se mueve en un glaciar al lado de un lımite rıgido. Dos situaciones im-
portantes se muestran en el plano xz. El primero solo implica compresion y extension y se conoce
como cizallamiento puro; esto significa εxx = −εzz y εxz = εzx = 0. El segundo es cizallamiento
simple, para el cual εxz = εzx 6= 0, pero εxx = εzz = 0 (Cuffey and Paterson, 2010).
Para un material incompresible como el hielo, las deformaciones no dependen del esfuerzo
maximo T, sino de las desviaciones del esfuerzo desde un estado isotropico. La magnitud del
1.2. MARCO TEORICO 16
Figura 1.8: Cizallamiento puro y cizallamiento simple (Cuffey and Paterson, 2010)
esfuerzo isotropico corresponde al esfuerzo normal medio, simbolizado por
σM =1
3[σxx + σyy + σzz]
La presion P conmunmente indica los valores de σM , siendo positivos para la compresion ; ası
P = −σM . Los σii son las componentes diagonales del tensor de esfuerzos T, donde la matriz de
este tensor es dada por:
T =
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzz σzy σzz
(1.7)
Los esfuerzos normales se definen como positivos en tension. Las desviaciones son llamadas
esfuerzo desviador, simbolizados por TD:
TD =
τxx τxy τxz
τxy τyy τyz
τxz τyz τzz
=
σxx − σM σxy σxz
σxy σyy − σM σyz
σxz σyz σzz − σM
Por definicion las componentes normales del desviador de esfuerzos suman cero (Cuffey and Pa-
terson, 2010):
τxx + τyy + τzz = 0 (1.8)
1.2.2. Ley de Glen
El fısico John Glen experimentalmente demostro que al aplicar esfuerzos entre 50 a 150 kPa en
el flujo normal del hielo, la relacion entre el esfuerzo cortante dominante τ y la tasa de deformacion
ε, esta dada por una ley de potencias conocida como “Ley de Glen”:
1.2. MARCO TEORICO 17
ε = Aτn (1.9)
donde n es el exponente de fluencia , cuyo valor es constante, pero el parametro de fluencia
“A”, depende de la temperatura y de la composicion del hielo. La forma de esta ley de potencia es
un ajuste empırico de los datos de laboratorio y de campo para las condiciones tıpicas de glaciares
(Glen, 1955).
Se han obtenido diferentes valores para A en diferentes experimentos; a una determinada tension
y temperatura, las velocidades de deformacion medidas difieren en aproximadamente un factor de
diez. Los valores aceptados van de n entre 2 a 4 segun los experimentos, con un promedio de 3
(Weertman, 1983). Debido a que un valor de 3 tambien es mas consistente con los datos de terremo,
para los analisis de la dinamica de los glaciares se asume n = 3. Un valor tan alto para n significa
que el flujo del glaciar difiere marcadamente del de un fluido viscoso newtoniano. Un exponente
n >1 implica que cada componente de tension actua para reducir la viscosidad del hielo y, por
lo tanto, aumenta las velocidades de deformacion de todas las orientaciones (Cuffey and Paterson,
2010).
El analisis de los esfuerzos en glaciares es complejo; el esfuerzo de corte actua combinado con
el esfuerzo normal en tres dimensiones. La relacion de fluencia dada por la ecuacion (1.9) se aplica
a casos simples con solo un componente de esfuerzo aplicado. Para glaciares se debe encontrar
una relacion mas general, basada en las propiedades de tensores de segundo orden (Cuffey and
Paterson, 2010). Mas tarde el fısico John Nye, se enfoco en esta tarea, para ello asumio que el hielo
era incompresible, e isotropico (Nye, 1957).
Asumio que cada componente de la tasa de deformacion εjk es proporcional a su componente
del esfuerzo desviador correspondiente τjk:
εjk = λτjk (1.10)
con j, k = x, y, z. En el hielo isotropico, la viscosidad efectiva no depende de la orientacion de
la deformacion. Por lo tanto, la constante de proporcionalidad λ tiene el mismo valor para todos
los componentes, aunque esta varıa de un lugar a otro dependiendo de factores como el esfuerzo τ
y la temperatura (Cuffey and Paterson, 2010).
1.2. MARCO TEORICO 18
Se deduce de las ecuaciones (1.8) y (1.10) que
εxx + εyy + εzz = 0 (1.11)
Ası la ecuacion (1.10) contiene el criterio de incompresibilidad.
Ademas esta constante λ debe ser invariante, ya que la relacion de fluencia no puede ser afectada
por algun cambio en los ejes. Ası, los tensores de segundo orden como τ y ε tienen tres invariantes.
El primer invariante es que la suma de las componentes diagonales de los tensores τ y ε es cero,
ecuaciones (1.6) y (1.8). El segundo invariante es una medida aditiva de la magnitud total, analoga
a la longitud de un vector, llamados segundos invariantes de τ y ε la esfuerzo efectivo τE y la tasa
de deformacion efectiva εE (Cuffey and Paterson, 2010).
ε2E ≡1
2
[ε2xx + ε2yy + ε2zz
]+ ε2xz + ε2xy + ε2yz (1.12)
τ 2E ≡1
2
[τ 2xx + τ 2yy + τ 2zz
]+ τ 2xz + τ 2xy + τ 2yz (1.13)
Una relacion de fluencia para sistemas de esfuerzo complejos debe conectar cantidades que des-
criban el estado general de esfuerzo y la tasa de deformacion. Nye (1957) propuso que el esfuerzo
efectivo y la tasa de deformacion obedecen al comportamiento de una ley de potencia, ecuacion
(1.9), y estarıa dada de manera general por:
εE = AτnE (1.14)
De las ecuaciones (1.10), (1.12), y (1.13) se tiene que
εE = λτE (1.15)
y por (1.14)
λ = Aτn−1E (1.16)
Luego reemplazando λ de la ecuacion (1.16), en la ecuacion (1.10), se obtiene finalmente la
“Ley de Glen generalizada o Ley Isotropica de Nye-Glen”, ası las tasas de deformacion dependen
de los esfuerzos desviatorios segun
1.2. MARCO TEORICO 19
εjk = Aτn−1E τjk (1.17)
Eligiendo n = 3, la Ley de Glen generalizada muestra que cada componente de la tasa de
deformacion es proporcional al desviador de esfuerzos y al cuadrado del esfuerzo efectivo (Cuffey
and Paterson, 2010).
La relacion de fluencia se puede escribir de forma inversa como
τjk = 2ηεjk (1.18)
donde η es la viscosidad efectiva. En contraste con un fluido newtoniano, para el cual n = 1 y la
viscosidad no varıa con el esfuerzo, para η el hielo varıa como
η =1
2
[Aτn−1E
]−1 (1.19)
Es decir, el hielo se ablanda a medida que aumenta la magnitud del desviador de esfuerzo.
Esta no linealidad (n = 3) implica que las tasas de deformacion en un glaciar aumentan fuer-
temente a medida que el esfuerzo efectivo aumenta a aproximadamente 100 kPa (ver figura 1.9).
Con este nivel de esfuerzos, los glaciares fluyen lo suficiente como para redistribuir la masa y evitar
que los esfuerzos gravitatorios se eleven mucho mas. Por lo tanto, a veces es util idealizar el hielo
como un material perfectamente plastico, en el que un esfuerzo que aumenta de manera constante
no causa deformacion hasta que τE alcanza un lımite de fluencia “τ 0” (Cuffey and Paterson, 2010).
En este punto el hielo se deforma facilmente el esfuerzo no puede aumentar mas, y la tasa de
deformacion toma un valor determinado por otros factores, como restricciones cinematicas en el
flujo. El lımite elastico τ0 para el hielo es del orden de 100 kPa (este aumenta para hielo mas frıo).
Finalmente podemos ver en la figura 1.9 que la relacion de potencia con n=3, apropiada para el
hielo, es intermedia entre el comportamiento viscoso lineal (n = 1) y perfectamente plastico.
Volviendo al parametro A de la ecuacion (1.17), a cierto esfuerzo dado, un mayor valor de
A, significa mayor deformacion. Las variables que afectan a A son la temperatura, la presion hi-
drostatica, el contenido de agua, la densidad del hielo, el tamano del grano.
1.2. MARCO TEORICO 20
Figura 1.9: Comparacion de diferentes tipos de relaciones de fluencia, viscoso lineal y plasticidad
perfecta (Cuffey and Paterson, 2010)
• Temperatura: experimentalmente se ha estimado que A aumenta aproximadamente un fac-
tor de diez entre -30◦C y -10◦C, y luego por otro factor de cinco o diez hasta el punto de
fusion. En todo el rango de temperaturas en el hielo terrestre, A varıa en un factor de 103.
Una sensibilidad tan grande significa que las temperaturas deben conocerse bien para prede-
cir las tasas de deformacion.
Para temperaturas inferiores a -10◦C, la dependencia de temperatura puede ser descrita por
una relacion simple de Arrhenius:
A = A0exp
(− Q−
RTh
)(1.20)
donde Th es la temperatura (en kelvin), ajustada para la depresion del punto de fusion; si
el punto de fusion es menor que el valor estandar 273,15 en una cantidad δTm, entonces
Th = T + Tm. Luego A0 es una constante, y Q− la energıa de activacion a baja temperatura
para la fluencia, que es distinta de la energıa de activacion efectiva por encima de 10◦C, que
llamaremos Q+. Las mediciones en laboratorio dan valor de Q−= 59 kJ mol−1 (Weertman,
1983).
En el rango de -10 a 0 ◦C, los datos de laboratorio pueden aproximarse aumentando la energıa
de activacion aparente a un valor Q+ = 152kJmol−1 (Weertman, 1983). En resumen usando
1.2. MARCO TEORICO 21
valores de Q+ en el rango de 80 a 150 kJmol−1 da un rango de valores de A en el punto de
fusion que esta acorde a las mediciones de campo (Cuffey and Paterson, 2010).
• Presion hidrostatica: La presion hidrostatica deprime el punto de fusion del hielo. Para la
presion P (positiva en compresion), el punto de fusion disminuye por PB, donde B = 7 ×
10−8KPa−1. Por lo tanto la ecuacion (1.20) se puede escribir en terminos de la temperatura
real T y la presion P como:
A = A0exp
(−QR
1
[T +BP ]
)El cambio de temperatura BP es de aproximadamente 2 ◦C por debajo de 3 km de hielo,
por lo que una presion alta puede causar un ablandamiento pequeno pero no despreciable del
hielo, a una temperatura determinada, en las capas profundas de hielo (Cuffey and Paterson,
2010).
• Contenido de agua: El agua ablanda el hielo policristalino al facilitar los ajustes entre los
granos vecinos con diferentes orientaciones. Dentro de los glaciares templados, el contenido
de agua varıa debido a las diferencias en la porosidad, la velocidad de fusion y el drenaje.
Ası el porcentaje del contenido de agua W afecta al parametro A
A = [3, 2 + 5, 8W ]× 10−24
unidades [Pa−3s−1] (Cuffey and Paterson, 2010).
• Densidad: Para densidades mas bajas que ρ=830 kg m−3, la porosidad adicional conduce
a un ablandamiento significativo del hielo. Las tasas de deformacion aumentan en un factor
de aproximadamente diez para una disminucion de la densidad de 150 kgm−3 (Cuffey and
Paterson, 2010).
• Tamano del grano: Para el hielo de grano fino, la viscosidad depende del tamano del grano,
especialmente a temperatura muy por debajo del punto de fusion y temperaturas cercanas a
0◦C. Pero la alta sensibilidad de la viscosidad del hielo a la temperatura y a la estructura,
no deja entender claramente cuales son los efectos del tamano de grano en la mayorıa de los
estudios en terreno (Cuffey and Paterson, 2010).
1.2. MARCO TEORICO 22
• Acrecentamiento (E): El termino acrecentamiento proporciona una manera conveniente de
hablar sobre las variaciones de la velocidad de deformacion que no se explican por el esfuerzo
y la temperatura, en la relacion de fluencia de Nye-Glen. Para una velocidad de deformacion
medida εm, el acredentamiendo E se define como
E ≡ εmε0
(1.21)
donde ε0 es la tasa de deformacion dada por la ecuacion (1.17) (Cuffey and Paterson, 2010).
Finalmente, las relaciones de fluencia isotropica recomendadas, con T en kelvin, Q en J mol−1,
P en Pa, y R=8,314 J mol−1K−1 son:
εjk = AE∗τn−1E τjk (1.22)
A = A∗exp
(−Qc
R
[1
Th− 1
T∗
])(1.23)
con n=3; T∗=263+7×10−8P ; Th = T × 10−8P ; Qc = Q−1 = 6 × 104 si Th < T∗; y
Qc = Q+ si Th > T∗.
Para valores calibrados se recomienda: A=2,4×10−24Pa−3s−1, a temperaturas de 0◦C,
Q+= 115 kJ mol−1 E∗ ≥ 4.
1.2.3. Esfuerzos de conduccion y resistentes
El hielo fluye principalmente por dos razones:
1. Porque establece gradientes de presion en el glaciar.
2. Porque el glaciar descansa sobre un lecho inclinado (pendiente). En ambos casos actua la
gravedad.
Considerando como primer modelo de un glaciar, una losa de hielo de lados paralelos, espesor H ,
que descansa sobre un plano rugoso inclinado con pendiente α (ver figura 1.24a).
La longitud y el ancho de la losa son mucho mayores en comparacion con el espesor H . Con-
siderando una columna de hielo perpendicular al plano y de area igual a 1. El peso de la columna
tiene una componente ρgHsenα paralelo al plano, donde ρ es la densidad y g la aceleracion de
1.2. MARCO TEORICO 23
Figura 1.10: Fuerzas gravitacionales que componen el esfuerzo de conduccion: a) la componente de
pendiente descendente del peso, b) la fuerza del gradiente de presion, y c) la combinacion. (Cuffey
and Paterson, 2010)
gravedad (figura 1.24a). Esta componente es el esfuerzo de conduccion τd.
Por condicion de equilibrio, las fuerzas de resistencia deben equilibrar el esfuerzo de conduc-
cion. La mayor fuerza de resistencia es el arrastre basal, que es el esfuerzo cortante τb a traves de
la base de la columna. Ası
τd = ρgHsenα y τb = f ′τd (1.24)
con f ′ un factor de correccion de orden 1, del cual se hablara mas adelante, ecuacion (1.29) (Cuffey
and Paterson, 2010).
Una mejor representacion de un casquete de hielo o de la zona mas baja de un gran glaciar de
montana, es el de una masa de hielo con una pendiente de superficie α, pero que descansa sobre
un plano horizontal, (figura 1.24b). Consideremos el equilibrio de una columna ABCD de espesor
unitario en la direccion normal al plano xz.
Como el hielo se comporta como un fluido, hay una presion normal que actua sobre AB y CD.
El esfuerzo de corte en el hielo no afecta esta aproximacion, siempre que los planos de corte sean
horizontales. Hay aumento de la presion de cero en B a ρgH en A, donde AB = H . La integracion
de la presion da la fuerza normal en AB, o 12ρgH2. La fuerza normal en CD por lo tanto, asciende
a 12ρgH2 + d/dx
[12ρgH2
]δx. La diferencia entre los dos es una fuerza horizontal hacia la derecha
1.2. MARCO TEORICO 24
(el esfuerzo de conduccion), otra vez equilibrado por la resistencia basal:
τd = −ρgH dH
dx= ρgHtanα y τb = f ′τd (1.25)
Estos dos modelos anteriores, no reproducen un glaciar real, pero la formal real influye poco en
la fuerza que impulsa el flujo. En las partes profundas en cualquier glaciar, siempre hay un gradien-
te horizontal de la altura hidrostatica proporcional a−dS/dx = tanα, donde S es la elevacion de la
superficie del hielo y α la pendiente de la superficie. De esta manera una columna vertical siempre
sera empujada por un esfuerzo de conduccion horizontal de magnitud τd = ρgHtanα, indepen-
dientemente de la pendiente del lecho. Ası la gravedad siempre empuja un glaciar horizontalmente,
en la direccion de la pendiente de la superficie hacia abajo. La componente horizontal del arras-
tre basal y otras fuerzas de resistencia deben equilibrar el τd horizontal (Cuffey and Paterson, 2010).
Considerando ahora el equilibrio de fuerzas paralelo al lecho en una seccion en forma de cuna
con lados perpendiculares al lecho del glaciar (figura 1.24c). Supongamos una pequena pendien-
te del lecho, y sea H perpendicular a este. En la direccion descendente, la componente de peso
ρgHsinβδx, se suma a la fuerza del gradiente hidrostatico ecuacion (1.25), −ρgHdH/dx, para
originar una fuerza motriz τdδx. Nuevamente, τd esta equilibrado en parte por la resistencia basal
ascendente τbδx:
[ρgHsinβ] δx− ρgH [dH/dx] δx = f ′τbδx (1.26)
Para angulos pequenos se puede hacer la aproximacion : dH/dx ≈ β − α y senβ ≈ β, luego
[ρgH] (β − β + α) = f ′τb
ρgHα = f ′τb
haciendo la aproximacion tanα ≈ α y por (1.25), finalmente tenemos
τd ≈ ρgHtanα y τb = f ′τd (1.27)
Por lo tanto, siempre que las pendientes sean pequenas, τd es igual tanto para una losa de lados
paralelos como para un lecho plano, siempre que α se refiera a la pendiente de la superficie. Las
pendientes superficiales en los glaciares rara vez exceden los 20◦ y la mayorıa son mucho mas
1.2. MARCO TEORICO 25
pequenas (Cuffey and Paterson, 2010).
Esto implica que:
• El esfuerzo de conduccion, y por lo tanto el esfuerzo cortante en el lecho, estan determinados
por la pendiente de la superficie. Por lo tanto, el hielo tiende a fluir en la direccion de la
pendiente maxima de la superficie, incluso si el lecho desciende en la direccion opuesta
(Cuffey and Paterson, 2010).
• El esfuerzo de conduccion se puede calcular a partir de las mediciones del espesor H del
hielo y la pendiente α de la superficie, utilizando ρ = 917kgm−3. Los valores tıpicos de τd
son aproximadamente de 100 kPa, con un rango entre 50 y 200 kPa (Cuffey and Paterson,
2010).
• Los esfuerzos de conduccion medidos proporcionan una estimacion aproximada de la resis-
tencia basal τb porque, en la mayorıa de las situaciones, el valor de f ′ esta entre 0, 5 < f ′ <
1, 5, (la excepcion son las plataformas de hielo flotantes, para las cuales f’ ≈ 0.) Debido a
que los valores de τb estimados a partir de τb = τd, estan en el rango de 50 a 200 kPa, se
puede aproximar el flujo lento del glaciar como un proceso de deformacion plastica perfecta,
con τb en todas partes igual a τ0, el lımite de fluencia para el hielo, generalmente ajustado a
τ0=100 kPa (Cuffey and Paterson, 2010).
• Si asumimos plasticidad perfecta podemos asumir:
H =1
f ′τ0ρigα
Si τ0 = 100 kPa y f ′= 1, entonces τ0/ρig = 11 m. Con este valor, se puede tener una esti-
macion rapida del espesor de hielo desde mediciones de la pendiente de la superficie. Esta
ecuacion implica un valor aproximadamente constante para Hα. Por lo tanto, un glaciar es
relativamente delgado donde la superficie es empinada y grueso donde la superficie se aplana.
• Con una densidad constante, el esfuerzo de conduccion τd que actua a una profundidadH−z
dentro del glaciar, aumenta linealmente desde cero en la superficie, hasta τd en la base:
τd(z) = τb
[1− z
H
](1.28)
1.2. MARCO TEORICO 26
Para el equilibrio, la suma de las resistencias debe ser igual a la fuerza impulsora, luego
τd = τb + τW + τL
los tres terminos en el lado derecho como esfuerzos de arrastre o de resistencia, donde τW es la
resistencia lateral o de la pared y τL la resistencia longitudinal. Resulta conveniente tomar el factor
de correccion f ′, de τb = f ′τd, tal que
f ′ = 1− τW + τLτd
(1.29)
En la mayorıa de los glaciares montanosos y en amplias regiones de las capas de hielo, f ′ esta
dentro del rango de 0,5 a 1,5 (Cuffey and Paterson, 2010).
La rapidez con la que fluye el glaciar depende entonces de la eficacia con que las fuerzas
resistentes inhiben el movimiento. Un mecanismo de restriccion es la deformacion por fluencia
del hielo, por cizallamiento o corte cerca del lecho del glaciar y por los margenes laterales, y por
estiramiento o compresion a lo largo de la direccion del flujo. Cada una de estas deformaciones
da lugar a esfuerzos desviadores τ de acuerdo con la relacion de fluencia para el hielo. Para una
velocidad de deformacion dada, los esfuerzos desviadores aumentan con la viscosidad efectiva η.
Las deformaciones dadas como tasas de deformacion, corresponden a los gradientes de velocidad
dentro del hielo (ver ecuacion (1.2)) (Cuffey and Paterson, 2010).
El lecho del glaciar tambien restringe el flujo. La magnitud de la resistencia basal, τb, depende
de la velocidad a la que el glaciar se desliza en su lecho ub. Para una magnitud dada de resistencia
basal, el deslizamiento aumenta el flujo total, a veces por una cantidad muy grande.
El hielo es un fluido bastante rıgido, con una viscosidad efectiva de aproximadamente 1014Pas,
a un esfuerzo de 100 kPa y una temperatura de -10 ◦C. El control mas importante sobre el movi-
miento del hielo, es a menudo la naturaleza del lecho (Cuffey and Paterson, 2010).
1.2.4. Perfil vertical de velocidad
Para calcular la velocidad del hielo es necesario relacionar el esfuerzo cortante con la tasa de
deformacion, es decir, necesitamos una ley de flujo. El modelo mas simple asume las deformaciones
1.2. MARCO TEORICO 27
del glaciar en el cizallamiento simple; es decir, el unico componente de desviador de esfuerzos
distinto de cero es τxz. Las lıneas de flujo son por lo tanto paralelas, flujo laminar. Se deduce que la
componente vertical de la velocidad w es igual a cero, por lo que la ecuacion (1.2) da (Oerlemans,
2001)
˙εxz =1
2
du
dz(1.30)
La relacion anterior junto con la Generalizacion de Nye (1.17) da:
1
2
du
dz= Aτnxz (1.31)
Segun ecuacion (1.28), se puede asumir un incremento lineal del esfuerzo cortante con la pro-
fundidad, ası τb es el valor de τxz en el lecho, donde z = 0 nos queda
τxz = τb
[1− z
H
](1.32)
sustituyendo ecuacion (1.32) en (1.31)
du
dz= 2Aτnb
[1− z
H
]n(1.33)
Integrando desde el lecho b hacia arriba z, se obtienen las velocidades
u(z) = ub +2A
n+ 1τnb H
[1−
[1− z
H
]n+1]
(1.34)
us = ub +2A
n+ 1τnb H (1.35)
donde us es la velocidad en la superficie, y ub la velocidad en la base, y u(z) es la velocidad a
cierta profundidad H − z (Oerlemans, 2001).
Esto solo da la deformacion dentro del hielo y no da informacion sobre la velocidad de desli-
zamiento us. La ecuacion (1.34) muestra que la velocidad aumenta continuamente con la altura y,
dado que n≈3, la mayor parte del aumento tiene lugar en las capas proximas al lecho.
Una segunda integracion, ahora de la ecuacion (1.34) desde el lecho hasta la superficie, da el
flujo y la velocidad promedio u como:
Q = ubH +2A
n+ 2τnb H
2 = uH (1.36)
1.2. MARCO TEORICO 28
El parametro de fluencia A se trato como una constante en este analisis y sera tomado como
valor constante en los calculos posteriores, basado en que los glaciares templados (como el Mocho-
Choshuenco) son por definicion casi isotermicos. En otros glaciares, las temperaturas mas altas,
y por lo tanto los valores mas altos de A, se encuentran en las capas basales. Esto concentra la
deformacion por cizallamiento aun mas cerca de la base que en un glaciar templado. Debido a que
A multiplica la tension elevada a la potencia n ecuacion (1.31), las velocidades son sensibles al
valor de A cerca del lecho, pero insensibles a su valor en la mitad superior del espesor del hielo.
Las velocidades en profundidad se pueden determinar midiendo la velocidad a la cual se inclina
un pozo. La figura 1.11 ilustra varios perfiles de velocidad obtenidos de esta manera. Se compara
las curvas teoricas para n=3 y para n=1 con un perfil medido del glaciar Worthington, Alaska
(Cuffey and Paterson, 2010) . El glaciar de Worthington es templado y por lo tanto casi isotermico.
Como es tıpico para perfiles medidos en glaciares, la curva viscosa lineal (n = 1) encaja mal las
observaciones, y aparecen irregularidades cerca del lecho (Cuffey and Paterson, 2010).
Figura 1.11: Perfil de velocidad de un glaciar temperado, glaciar Worthington (Cuffey and Paterson,
2010).
1.2.5. Condiciones de borde
Se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas, se considera la Tierra como plana, donde los
ejes x e y estan en el plano horizontal, encima del lecho rocoso, y z es positivo hacia arriba. La
1.2. MARCO TEORICO 29
superficie libre es dada por la funcion z = h(x, y, t), la base del hielo por z = b(x, y, t). Se asume
que la superficie de la litosfera y la de la base de hielo son iguales (Greve and Blatter, 2009).
Algunos valores considerados como tıpicos para casquetes de hielo son:
Extension horizontal tıpica [L] = 100 km
Extension vertical tıpica [H] = 1 km
Velocidad horizontal tıpica [U ] = 100 ma−1
Velocidad vertical tıpica [V ] = 0,1 ma−1
Presion tıpica [P ] = ρg[H] ≈ 10 MPa
La relacion de aspecto R, se define como la proporcion de extensiones y velocidades verticales
y horizontales, respectivamente
R =[H]
[L]=
[W ]
[U ]= 10−3 (1.37)
Superficie libre
Se considera como una superficie simple, lisa y plana. El flujo de volumen de hielo a traves de la
superficie libre es el balance de masa superficialBs. Los esfuerzos provocados por la atmosfera son
pequenos, en comparacion con los esfuerzos tıpicos en un casquete de hielo. Luego la condicion
libre de esfuerzo es dada por
σ · n = 0 (1.38)
donde n es el vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia la atmosfera. Esta es la
condicion de borde dinamica para la superficie libre (Greve and Blatter, 2009).
Base del hielo
El flujo de volumen a traves de la base, es el balance basal Bb, llamado tambien tasa de derreti-
miento basal.
Respecto a los esfuerzos, estos son continuos a traves de la intefaz del hielo, por tanto no se
tiene una condicion lımite para el esfuerzo basal en el hielo. Sin embargo, una ley de deslizamiento
empırica servira como condicion de borde dinamica.
Si la temperatura en la base del hielo Tb es menor que la temperatura en el punto de fusion de
1.2. MARCO TEORICO 30
presion Tm, se asume que el hielo esta congelado, y por tanto, no hay deslizamiento basal.
Por el contrario, si la Tb es igual a Tm, se espera que haya deslizamiento basal, y la cantidad de
deslizamiento esta relacionada con la resistencia o arrastre basal τb y el esfuerzo normal basal Nb,
a traves del “deslizamiento de tipo Weertman”, donde la velocidad de deslizamiento basal v b es
dada por:
v b =
0, si Tb < Tm,
−CbτpbNq
b, si Tb = Tm,
(1.39)
donde p y q son los exponentes de deslizamiento basal, Nb es la componente normal del vector
tension, τb es el arrastre basal, y Cb es el coeficiente de deslizamiento basal.
Si se eligen los valores (p, q) = (1, 0) para deslizamiento suave queda:
vb = −Cbτb (1.40)
1.2.6. Ecuacion del espesor del hielo
La descripcion de los cambios que experimenta un glaciar a traves del tiempo en funcion de la
variacion de los factores climaticos es un problema de continuidad de masa (Oerlemans, 2001).
Para grandes casquetes de hielo se puede considerar que la velocidad horizontal es mucho
mayor que la velocidad vertical. El flujo de hielo se puede considerar como cuasi bidimensional, el
cual deberıa ser capaz de describir la evolucion de un casquete de hielo. Un modelo bidimensional
de un casquete de hielo puede ser construido integrando la ecuacion de conservacion de masa, sobre
el eje vertical. El vector velocidad es v, cuyas componentes en x, y, z son respectivamente u, v, w
(Oerlemans and Van Der Veen, 1984).
A modo de ejemplo se puede considerar que el hielo fluye solo en una coordenada horizontal
(eje x), ver la figura 1.12. Por unidad de tiempo, el cambio en el espesor de hielo promedio entre los
puntos x0 y x1 deberıa igualar la diferencia entre el flujo de volumen (Q1−Q0), mas la ganancia o
perdida en la superficie, el balance de masa especıfico B. En el caso ilustrado, la divergencia de la
masa por el flujo de hielo es compensada en parte por la ganancia en la superficie (B > 0).
Para el espesor de hielo H , donde H = H(x, y, t) = h(x, y, t) − b(x, y, t), donde b es la base
del hielo y h es la altura, la evolucion de un glaciar a traves del tiempo t es descrita en terminos de
1.2. MARCO TEORICO 31
Figura 1.12: Continuidad en un modelo de flujo de hielo integrado verticalmente, en direccion del
eje x, (Oerlemans, 2001)
una ecuacion diferencial del tipo:∂H(x, y)
∂t(1.41)
donde el termino que aparecera al lado derecho de 1.41 saldra desde la ecuacion de continuidad de
masa integrada verticalmente.
Asumiendo constante la densidad del hielo, podemos escribir la ecuacion de continuidad para
fluidos incompresibles1 en terminos de sus componentes:
∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0 (1.42)
integrando desde la base de hielo (z = b) hasta la superficie libre del glaciar (z = h)∫ h
b
∂u
∂xdz +
∫ h
b
∂v
∂ydz +
∫ h
b
∂w
∂zdz = 0 (1.43)
Utilizando la regla integral de Leibniz para diferenciacion bajo el signo integral en las dos
primeras integrales
∂
∂x
∫ h
b
udz =
∫ h
b
∂u
∂xdz + u(h)
∂h
∂x− u(b)
∂b
∂x
⇒∫ h
b
∂u
∂xdz = u(b)
∂b
∂x− u(h)
∂h
∂x+
∂
∂x
∫ h
b
udz (1.44)
1El desarrollo lo puede ver en el Apendice C
1.2. MARCO TEORICO 32
similarmente ∫ h
b
∂v
∂ydz = v(b)
∂b
∂y− v(h)
∂h
∂y+
∂
∂y
∫ h
b
vdz (1.45)
y la tercera integral queda ∫ h
b
∂w
∂ydz = w(h)− w(b) (1.46)
Reemplazando las ecuaciones (1.44), (1.45) y (1.46) en la ecuacion de continuidad integrada verti-
calmente (1.43) queda
u(b)∂b
∂x− u(h)
∂h
∂x+
∂
∂x
∫ h
b
udz + v(b)∂b
∂y− v(h)
∂h
∂y+
∂
∂y
∫ h
b
vdz + w(h)− w(b) = 0 (1.47)
Las velocidades en la superficie y en la base son por definicion (Oerlemans, 2001):
w(h) =dh
dt− B =
∂h
∂t+ u(h)
∂h
∂x+ v(h)
∂h
∂y− Bs (1.48)
w(b) =db
dt− B =
∂b
∂t+ u(b)
∂b
∂x+ v(b)
∂b
∂y− Bb (1.49)
donde Bb y Bs son las tasas de balance especıfico en la base (derretimiento) y en la superficie,
respectivamente. Sustituyendo la ecuaciones (1.48) y (1.49) en (1.47) se obtiene
∂h
∂t− ∂b
∂t+ Bb + Bs +
∂
∂x
∫ h
b
udz +∂
∂y
∫ h
b
vdz = 0 (1.50)
Introduciendo el flujo volumetrico Q como la velocidad horizontal integrada verticalmente
(Greve and Blatter, 2009), como
Q =
Qx
Qy
=
∫ hb udz∫ hbvdz
(1.51)
y sutituyendo en (1.50)∂h
∂t= −∂Qx
∂x− ∂Qy
∂y+ Bs − Bb +
∂b
∂t(1.52)
donde la divergencia del flujo volumetrico es dada por:
∂Qx
∂x+∂Qy
∂y= ∇Q (1.53)
ası se obtiene finalmente la “Ecuacion de evolucion del espesor de hielo”
∂h
∂t= −∇Q+ Bs − Bb +
∂b
∂t(1.54)
De este modo, cuando se conocen el balance especıfico y la velocidad media vertical, el cambio
en el espesor del hielo puede calcularse con la ecuacion (1.54). Esta ecuacion se usa en todos los
modelos numericos que calculan la evolucion de las casquetes de hielo (Oerlemans, 2001).
1.2. MARCO TEORICO 33
1.2.7. Aproximacion hidrostatica
Se puede tener un sistema simplificado de ecuaciones para la dinamica de casquetes de hielo a
gran escala (Greve and Calov, 2002). Partiendo de la ecuacion del balance del momento
ρdvdt
= ∇ · T + f (1.55)
donde la aceleracion puede despreciarse, y la fuerza de cuerpo f es la gravedad, f = ρg
∂σxx∂x
+∂σxy∂y
+∂σxz∂z
= 0 (1.56)
∂σyx∂x
+∂σyy∂y
+∂σyz∂z
= 0 (1.57)
∂σzx∂x
+∂σzy∂y
+∂σzz∂z
= −ρg (1.58)
Los esfuerzos de corte σzx y σzy en un casquete de hielo son pequenos (≤ 100KPa) en com-
paracion con el esfuerzo normal vertical σzz, que es aproximadamente igual a la presion P , ası
[σzz] ≈ [P ] = ρg[H] ≈ 10MPa (Greve and Blatter, 2009). Por lo tanto despreciando estos esfuer-
zos en la ecuacion (1.58) , ası se reduce a un balance entre el esfuerzo vertical y la gravedad.
∂σzz∂z
= −ρg (1.59)
integrando (1.59)
σzz = −ρg(h− z) (1.60)
evidentemente el esfuerzo vertical normal σzz es hidrostatica.
Con este resultado, la presion P es
P = P − τxx − τyy − τzz = −τxx − τyy − σzz (1.61)
P = ρg(h− z)− τxx − τyy (1.62)
Ası, los esfuerzos normales horizontales σxx y σyy se pueden expresar como
σxx = −P + τxx = 2τxx + τyy − ρg(h− z)
σyy = −P + τyy = 2τyy + τxx − ρg(h− z) (1.63)
1.2. MARCO TEORICO 34
Insertando esto en las ecuaciones (1.56) y (1.57)
2∂τxx∂x
+∂τyy∂x− ρg∂h
∂x+∂σxy∂y
+∂σxz∂z
= 0
2∂τyy∂y
+∂τxx∂y− ρg∂h
∂y+∂σxy∂x
+∂σyz∂z
= 0 (1.64)
1.2.8. Aproximacion de hielo delgado
La relacion de componentes del gradiente velocidad es
∂w
∂x/∂u
∂z,
∂w
∂y/∂v
∂z∼ [W ]
[L]/
[U ]
[H]=
[W ]
[U ]
[H]
[L]= R2 ∼ 10−6 (1.65)
ası las derivadas horizontales de la velocidad vertical son insignificantes comparandolas con las
derivadas verticales de velocidad horizontal.
Esta es una aproximacion hidrostratica simplificada, contiene solo las componentes horizontales
de la velocidad u y v. Una vez calculada la velocidad horizontal, la velocidad vertical se puede
obtener integrando la ecuacion (1.42) desde z = b a z (Greve and Blatter, 2009)
w = wb −∫ z
b
(∂u
∂x+∂v
∂y
)dz (1.66)
Se puede considerar el flujo en los casquetes de hielo como laminar, de corte simple y paralelo
al lecho, excepto en las regiones proximas a la cupula del casquete donde el flujo es vertical hacia
abajo, lo que produce una compresion vertical y una extension horizontal (ver figura 1.13). Ademas
cerca de los margenes, las pendientes superficiales pueden ser grandes, mientras que en el resto de
la superficie del casquete y en la base son pequenas (Hutter, 1983).
De esta manera se pueden hacer simplificaciones adicionales a la de la aproximacion hidrotati-
ca, llamandose esta “Aproximacion de hielo delgado” (SIA: Shallow Ice Approximation) (Hutter,
1983). Todos los esfuerzos normales son iguales a la presion negativa
σxx = σyy = σzz = −P (1.67)
Luego el balance de momento vertical (1.59) queda
∂P
∂z= −ρg (1.68)
1.2. MARCO TEORICO 35
Figura 1.13: Regimen de flujo en un casquete de hielo (Greve and Calov, 2002)
integrandola se obtiene la presion hidrostatica
P = Phyd = ρg(h− z) (1.69)
Las componentes horizontales (1.64) se simplifican
∂σxz∂z
=∂P
∂x= ρg
∂h
∂x
∂σyz∂z
=∂P
∂y= ρg
∂h
∂y(1.70)
debido a que las pendientes en la superficie son pequenas, y como no hay esfuerzos en la superficie
P |z=0 = 0, σxz|z=h = 0, σyz|z=h = 0 (1.71)
Integrando (1.70)
σxz = −ρg(h− z)∂h
∂x
σyz = −ρg(h− z)∂h
∂y(1.72)
Las ecuaciones (1.69) y (1.72) indican que en la SIA, lo esfuerzos, cuyos unicos componentes
no despreciables son P, σxz, σyz esta completamente determinado si se conoce la geometrıa del
casquete de hielo (Hutter, 1983). El esfuerzo efectivo τE es definido por
τE =√σ2xz + σ2
yz
1.2. MARCO TEORICO 36
sustituyendo segun (1.72)
τE = ρg (h− z)
((∂h
∂x
)2
+
(∂h
∂y
)2)1/2
= ρg (h− z) |∇h| (1.73)
La Ley de Glen generalizada (1.17), se puede escribir como
1
2
(∂u
∂z+∂w
∂u
)= Aτn−1E σxz (1.74)
En este caso se consideraraA constante aunque esta depende de varios factores. Luego sustituyendo
(1.72) y (1.73) en (1.74)
1
2
(∂u
∂z+∂w
∂u
)= −A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h
∂x
1
2
(∂v
∂z+∂w
∂y
)= −A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h
∂y(1.75)
Considerando los ordendes de magnitud de (1.65), las derivadas horizontales de la velocidad
vertical son despreciables (∂w/∂u = ∂w/∂u ∼= 0).
De esta manera (1.75) queda
∂u
∂z= −2A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h
∂x∂v
∂z= −2A[ρg(h− z)]n|∇h|n−1∂h
∂y(1.76)
Para conocer las velocidades horizontales, se debe integrar (1.76) desde la base z = b hasta una
posicion arbitraria z
u = ub − 2A(ρg)n|∇h|n−1∂h∂x
∫ z
b
(h− z)ndz
v = vb − 2A(ρg)n|∇h|n−1∂h∂y
∫ z
b
(h− z)ndz (1.77)
donde ub y vb son las componentes de la velocidad de deslizamiento basal vb (Greve and Blatter,
2009).
Debido a que las pendientes del lecho son del mismo orden de magnitud que las pendientes de
la superficie∂b
∂x,∂b
∂y∼ [H]
[L]= R (1.78)
1.2. MARCO TEORICO 37
el plano tangencial en la base y en la superficie son similares.
La resistencia basal τb = tbeσ es dada por
τb = −
σxz|z=bσyz|z=b
= ρgH
∂h∂x
∂h∂y
(1.79)
ası
tb = ρgH |∇h| (1.80)
eσ =1
|∇h|
∂h∂x
∂h∂y
=∇h|∇h|
(1.81)
El esfuerzo normal en la base Nb
Nb = ρgH (1.82)
Sustituyendo (1.79), (1.80), (1.81) , (1.82) en (1.40) queda
vb = −Cb(ρgH∇h)p∇h|∇h|
1
ρgH
ub = −Cb(ρgH)p−1(∇h)p−1∂h
∂x
vb = −Cb(ρgH)p−1(∇h)p−1∂h
∂y(1.83)
Introduciendo el vector de velocidad horizontal
v h =
uv
(1.84)
y la funcion escalar C definida como
C = Cb(ρgH)p−q|∇h|p−1 + 2A(ρg)n|∇h|n−1∫ z
b
(h− z)ndz (1.85)
ası las velocidad horizontal (1.77) se puede expresar comouv
= −C
∂h∂x
∂h∂y
, o vh = −C∇h (1.86)
Ası en la SIA el hielo siempre fluye por la pendiente de la superficie mas empinada, indepen-
dientemente de la topografıa del lecho.
La velocidad vertical esta dada por la ecuacion (1.66)
1.2. MARCO TEORICO 38
Para formular la ecuacion de espesor de hielo en la SIA, calculamos el flujo de volumen Q , ver
ecuacion (1.53), con las velocidades horizontales (3.2), integrandoQx
Qy
= −∫ h
b
Cdz
∂h∂x
∂h∂y
(1.87)
llamando D como
D =
∫ h
b
Cdz (1.88)Qx
Qy
= −D
∂h∂x
∂h∂y
(1.89)
donde la funcion D es
D = CbH(ρgH)p−q|∇h|p−1 + 2A(ρg)n|∇h|n−1∫ h
b
(h− z)n+1dz (1.90)
Luego insertando el volumen de flujo (1.89) con la funcion D (1.90) en la ecuacion de espesor de
hielo (1.54), se obtiene
∂h
∂t=
∂
∂x
(D∂h
∂x
)+
∂
∂y
(D∂h
∂y
)+Bs −Bb +
∂b
∂t(1.91)
Matematicamente, esta es una ecuacion de difusion no lineal (porque la funcion D depende
de h). La SIA simplifica drasticamente el problema de flujo de casquetes de hielo a gran escala.
Los esfuerzos estan dados por expresiones analıticas simples (1.69),(1.72), (1.73) y la velocidad
depende unicamente de la geometrıa del casquete de hielo, y temperatura por (3.2) y (1.66), El
trabajo restante es hallar la solucion de la ecuacion de evolucion del espesor de hielo en la forma
(1.91).
Capıtulo 2
Hipotesis y Objetivos
2.1. Hipotesis
Debido a que el flujo de la capa de hielo Mocho-Choshuenco, esta influenciada tanto por facto-
res topograficos como la pendiente y geometrıa del lecho, y por factores climaticos como precipi-
taciones y temperaturas, los cambios del clima pronosticados para el sigo XXI nos hacen esperar,
que el espesor y extension de esta capa de hielo disminuyan durante los proximos 100 anos. La
modelacion del flujo de hielo nos entrega informacion sobre donde estara el glaciar en el futuro, y
cual sera su volumen.
2.2. Objetivo general
Realizar una simulacion numerica de la capa de hielo Mocho-Choshuenco para reproducir su
comportamiento observado, tal como su adelgazamiento y variacion del volumen, utilizando el
codigo SICOPOLIS, (SImulation COde for POLythermal Ice Sheets).
39
2.3. OBJETIVOS ESPECIFICOS 40
2.3. Objetivos especıficos
1. Aprender el lenguaje de programacion fortran que utiliza el modelo SICOPOLIS
2. Obtener datos de balance de masa superficial, del monitoreo mensual de balizas del glaciar
ubicado en la cuenca sureste.
3. Generar un mapa del lecho de la capa de hielo, en base a los datos de espesor obtenidos con
mediciones de radar realizadas en terrenos previos.
4. Calibrar el codigo SICOPOLIS, realizando simulaciones del comportamiento del glaciar,
comparandolas con el comportamiento real que tiene.
5. Estimar el comportamiento de la capa de hielo con los resultados obtenidos, para los proxi-
mos 100 anos.
Capıtulo 3
Material y metodos
3.1. Material
1. Computador portatil: Sony Vaio, modelo PCG − 61911U , Procesador: Intel Core i5-2450,
CPU 2.5 GHz, Memoria RAM: 6 Gb
2. Sistema operativo: GNU/Linux Ubuntu 16.04 lts
3. Sistema de informacion Geografica QGIS version 2.18.7 Las Palmas
4. Modelo de elevacion digital1 (DEM, digital elevation model).
5. GeoTIFF2, con la informacion de las mediciones de radar aereo de 25 MHz y de radar terres-
tre de 9 MHz.
6. Modelo SICOPOLIS (SImulation COde for POLythermal Ice Sheets).
7. NetCDF3 version 4.4.4.1Un modelo digital de elevacion es una representacion visual y matematica de los valores de altura con respecto al
nivel medio del mar, que permite caracterizar las formas del relieve y los elementos u objetos presentes en el mismo.2Metadatos de domino publico que permite que informacion georreferenciada sea almacenada en un archivo de
imagen de formato TIFF3NetCDF es un conjunto de bibliotecas de software y formatos de datos autodescriptivos e independientes de la
maquina, que admiten la creacion, el acceso y el uso compartido de datos cientıficos orientados a arreglos.
41
3.2. SICOPOLIS 42
8. Netcdf View, programa para visualizar archivo .nc.
9. MATLAB version R2017a.
10. Hojas de papel recicladas y lapices.
3.2. SICOPOLIS
El Codigo de simulacion para casquetes de hielo politermales “SICOPOLIS”(SImulation CO-
de for POLythermal Ice Sheets) es un modelo dinamico/termodinamico en tres dimensiones, que
simula la evolucion de casquetes de hielo. Es un software libre de codigo abierto el cual se puede
descargar de manera gratuita desde el sitio http://www.sicopolis.net/. Fue creado por el Dr. Ralf
Greve (Institute of Low Temperature Science, Hokkaido University, Sapporo, Japan) en el ano
1995 en una version para el casquete de hielo de Groenlandia (Greve, 1997). Desde entonces, SI-
COPOLIS se ha desarrollado continuamente y se ha aplicado a problemas de glaciaciones pasadas,
presentes y futuras de Groenlandia (Greve et al., 2011), Antartica (Bernales et al., 2017), todo el
hemisferio norte, los casquetes polares del planeta Marte (Greve, 2006).
El modelo resuelve la ecuacion de evolucion del espesor del hielo, usando la Aproximacion de
hielo delgado (SIA) (Hutter, 1983). Se codifica en lenguaje de programacion Fortran 90, y utiliza
la discretizacion del Metodo de diferencias finitas en una grilla C de Arakawa (Arakawa and Lamb,
1977), cuyos componentes de velocidad se toman entre puntos de grilla. Los datos de entrada del
modelo son: el balance de masa superficial Bs, el lecho rocoso, la temperatura media anual del aire
sobre el hielo, el flujo de calor geotermico. Los datos de salida en funcion de posicion y tiempo
son: la extension y el grosor de la capa de hielo, la velocidad, la temperatura, el contenido de agua
(regiones templadas), la edad del hielo.
3.3. Mapa del lecho rocoso
Para poder modelar el flujo de la capa de hielo, es necesario tener informacion sobre la topo-
grafıa subyacente. Para esto se utilizo un Modelo de elevacion Digital (DEM) y mediciones de
3.4. TRANSFORMACION SIGMA 43
radar4, en formato GeoTIFF, del estudio de la Direccion General de Aguas (DGA) del ano 2014
(DGA, 2014). El DEM entrega informacion de la elevacion a la que se encuentra la superficie del
area en estudio con respecto al nivel del mar, incluye la superficie de la capa de hielo, la topografıa
adyacente, valles, etc. Sin embargo, este no entrega informacion sobre la topogafıa del lecho roco-
so, ya que este esta cubierto por la capa de hielo.
El espesor de hielo es un parametro esencial para determinar el estado actual de los glaciares
y proyectar cambios futuros. El metodo geofısico utilizado para la determinacion del espesor del
hielo utilizado fue el Radio Eco Sondaje (RES) (DGA, 2014).
De esta manera se procedio a restarle al archivo DEM (que contenıa la elevacion de la superfi-
cie) el archivo con datos de radar utilizando la herramienta “calculadora raster” de QGIS.
Finalmente se obtuvo un archivo con la informacion de lecho rocoso subyacente a la capa de
hielo. Este archivo tiene muy alta resolucion (10 m), se bajo la resolucion a grillas de 200 y 100 m
en QGIS en formato ASCII, los cuales fueron llamados: mochoBed200.asc y mochoBed100.asc,
los cuales fueron poteriormente utilizados como datos de entrada en los headers (o archivos de ca-
becera) del modelo SICOPOLIS, para modelar la dinamica de la capa de hielo Mocho-Choshuenco.
3.4. Transformacion sigma
Esta grilla no coincide exactamente con un casquete de hielo. Para evitar estas dificultades, es
conveniente introducir un terreno que siga la transformacion de coordenadas que mapea el espesor
del hielo local a la unidad:
x = ξ, y = ϕ,z − b(x, y, t)H(x, y, t)
= ζ (3.1)
donde (ξ, ϕ, ζ) son las coordenadas curvilıneas transformadas. Esta es conocida como transfor-
macion sigma la cual mapea la superficie de hielo h = h(x, y, t) a ζ = 1 y la base del hielo
b = b(x, y, t) a ζ = 0. En el dominio transformado, una cuadrıcula rectangular regular con espa-
ciamientos ∆ξ,∆ϕ y ∆ζ puede definirse facilmente de tal manera que la capa mas superior de los
puntos de la grilla coincide con la superficie del hielo y la capa mas inferior con la base del hielo
(Greve and Blatter, 2009).4Este radar opera a un frecuencia de 25 MHz
3.5. GRILLA C DE ARAKAWA 44
Figura 3.1: transformacion sigma de las coordenadas del terreno (Greve and Blatter, 2009)
Algunas dificultades de las transformacion sigma son que debido a que esta no cambia las
coordenadas horizontales, es posible que los margenes del hielo no coincidan con los puntos de la
grilla. Ademas en el margen del hielo y fuera del casquete de hielo se asigna un espesor igual a 0,
lo que indefine la expresion 1H
en la ecuacion (3.1).
3.5. Grilla C de Arakawa
Las variables se distribuyen en la grilla de acuerdo con el esquema C de Arakawa (Arakawa
and Lamb, 1977), una grilla tridimensional regular (figura3.2). Las ecuaciones se vuelven a escribir
para cada punto de la grilla reemplazando las ecuaciones diferenciales por diferencias entre puntos
de grilla vecinos (Greve and Blatter, 2009).
Figura 3.2: Grilla tridimensional C de Arakawa para el modelo SICOPOLIS (Greve and Calov,
2002)
3.6. DISCRETIZACION DE ECUACIONES 45
El modelo numerico SICOPOLIS utiliza el metodo de diferencias finitas con discretizaciones:
xi = x0 + i∆x, i = 0(1)imax
yj = y0 + j∆y, j = 0(1)jmax
tn = t0 + n∆t, n = 0(1)nmax
Esto significa que avanza de i a imax dando pasos de tamano igual a 1.
En la grilla de Arakawa las componentes u, v, w de la velocidad estan definidas entre los puntos
de grilla. Por otra parte la superficie del hielo h se toma en los puntos (Ψ) de la grilla (figura 3.2).
De esta manera el modelo calcula tridimensionalmente la evolucion temporal de la extension del
hielo, el espesor, la velocidad del hielo (Greve and Calov, 2002).
La grilla C de Arakawa consta de I + 1 puntos en la direccion ξ, J + 1 puntos en la direccion ϕ
y K + 1 puntos de grilla en la direccion ζ ( i = 0, ..., I, j = 0, ..., J, k = 0, ..., K ). Se asume
que todo la capa de hielo esta cubierta por la grilla, donde el espesor del hielo, las componentes de
la velocidad, y esfuerzos son igual a 0, en i = 0, i = I, j = 0, j = J , ası k = 0 corresponde a la
base del hielo (ζ = 0) y k = K corresponde a la superficie libre (ζ = 1) (Greve and Blatter, 2009).
Por estabilidad del esquema numerico, la velocidad y el flujo se definen en una grilla secundaria
o grilla escalonada que va entre la grilla principal (figura 3.3). Las lıneas principales de la grilla
son numeradas con numeros enteros , mientras que las lıneas de la grilla escalonada por numeros
semi-enteros (Greve and Blatter, 2009).
El origen del dominio esta dado por ξ0, ϕ0, luego las siguientes posiciones estan dadas por:
ξi = ξ0 + i∆ξ, ϕi = ϕ0 + j∆ϕ, ζk = k∆ζ =k
K
3.6. Discretizacion de ecuaciones
Las ecuaciones anteriormente presentadas son complicadas para resolver analıticamente, por
esta razon resulta muy util utilizar tecnicas del calculo numerico para encontrar soluciones numeri-
cas para dichas ecuaciones. La mayorıa de los modelos de casquetes de hielo utilizan el metodo de
las diferencias finitas
3.6. DISCRETIZACION DE ECUACIONES 46
Figura 3.3: Grillas principal y escalonada del esquema C de Arakawa (Greve and Blatter, 2009)
3.6.1. Velocidad horizontal
La velocidad horizontal es:uv
= −C
∂h∂x
∂h∂y
, o vh = −C∇h (3.2)
Solo por simplicidad para que los calculos se vean claros, se puede considerar que el hielo fluye
solo en el plano x− z, y no tomar en cuenta la direccion en y
u = −C∂h∂x
(3.3)
donde C es una funcion escalar dada por:
C =
2A(ρg)n
∣∣∂h∂x
∣∣n−1 ∫ zb
(h− z)ndz, si Tb < Tm
Cb(ρgH)p−q∣∣∂h∂x
∣∣p−1 + 2A(ρg)n∣∣∂h∂x
∣∣n−1 ∫ zb
(h− z)ndz, si Tb = Tm
(3.4)
Aplicando la transformacion sigma de la coordenadas del terreno a (3.3) y (3.4) se obtiene
u = −C∂h∂ξ
(3.5)
y
C =
2A(ρg)n
∣∣∣∂h∂ξ ∣∣∣n−1H ∫ ζ0 (1− ζ ′)ndζ ′, si Tb < Tm
Cb(ρgH)p−q∣∣∣∂h∂ξ ∣∣∣p−1 + 2A(ρg)n
∣∣∣∂h∂ξ ∣∣∣n−1H ∫ ζ0 )(1− ζ ′)ndζ ′, si Tb = Tm
(3.6)
3.6. DISCRETIZACION DE ECUACIONES 47
La velocidad horizontal se define en los puntos de la grilla escalonada
ui± 12,k,n (3.7)
La derivada ∂h/∂ξ de (3.6) se aproxima por diferencias centrales, de la siguiente manera,
∂h
∂ξ
∣∣∣∣i,n
∼ hi+1,n − hi−1,n2∆ξ
(3.8)
y la integral de (3.6) se aproxima utilizando la regla trapezoidal∫ ζ
0
A(1− ζ ′)n dζ ′|i,k,n ∼
[1
2A+ A
k−1∑k′=1
(1− k′∆ζ)n
+1
2A(1− k∆ζ)n
]∆ζ (3.9)
Finalmente la velocidad horizontal queda como
ui+ 12,k,n = −Ci+ 1
2,k,n
hi+1,n − hi,n∆ξ
(3.10)
3.6.2. Velocidad vertical
Similarmente la velocidad vertical esta dada por:
w = w|z=b −∫ z
b
(∂u
∂x+∂v
∂y
)dz (3.11)
Nuevamente, considerando por simplicidad que solo fluye en el plano x− z sin considerar el eje y
w = w|z=b −∫ z
b
∂u
∂xdz′
w = u|z=b∂b
∂x−∫ z
b
∂u
∂xdz′ (3.12)
Aplicando la transformacion sigma a las coordenadas del terreno de (3.12)
w = u|ζ=0∂b
∂ξ−H
∫ ζ
0
(∂u
∂ξ−
(1− ζ ′) b,ξ + ζ ′h,ξH
∂u
∂ζ ′
)dζ ′ (3.13)
Abreviando el integrando5 de (3.13) de la siguiente manera
U =∂u
∂ξ−
(1− ζ ′) b,ξ + ζ ′h,ξH
∂u
∂ζ ′(3.14)
5La notacion de coma compacta denota derivados parciales: b,ξ = ∂b/∂ξ
3.6. DISCRETIZACION DE ECUACIONES 48
luego este es discretizado por diferencias centrales
Ui,k,n =ui+ 1
2,k,n − ui− 1
2,k,n
∆ξ−(1− k∆ζ) (bi+1,n − bi−1,n) + k∆ζ (hi+1,n − hi−1,n)
2∆ξHi,n
×ui,k+1,n − ui,k−1,n2∆ζ(3.15)
Debido a la geometrıa escalonada de la grilla, la integracion numerica de la ecuacion (3.13) se hace
con la cuadratura Gaussiana, y la velocidad vertical finalmente es
wi,k+ 12,n = ui,0,n
bi+1,n − bi−1,n2∆ξ
−Hi,n
[1
2Ui,0,n +
k∑k′=1
Ui,k′,n
]∆ζ (3.16)
3.6.3. Evolucion de la superficie del hielo
La ecuacion del espesor del hielo describe los cambios en el espesor del hielo y su extension en
el tiempo (Greve and Calov, 2002)
∂h
∂t=
∂
∂x
(Dh
∂h
∂x
)+
∂
∂y
(Dh
∂h
∂y
)+ bs − bb +
∂b
∂t(3.17)
Nuevamente considerando que fluye en el plano x− z
∂h
∂t=
∂
∂x
(D∂h
∂x
)+ bs (3.18)
con la difusividad
D =
∫ h
b
Cdz (3.19)
Aplicando la transformacion sigma de coordenadas a (3.18) y (3.19)
∂h
∂t=
∂
∂ξ
(D∂h
∂ξ
)+ bs (3.20)
D = H
∫ 1
0
Cdζ (3.21)
Luego para la derivada ∂h/∂t de (3.20) se emplea el paso adelante de Euler
∂h
∂t
∣∣∣∣i,n
∼ hi,n+1 − hi,n∆t
(3.22)
Utilizando la regla trapezoidal se calcula la difusividad Di,n
Di,n = Hi,n
[1
2Ci,0,n +
K−1∑k=1
Ci,k,n +1
2Ci,K,n
]∆ζ (3.23)
3.7. ESQUEMA SOBRE IMPLICITO 49
lo cual permite ademas el calculo del flujo de volumen Q
Qi+ 12,n = −Di+ 1
2,n
hi+1,n − hi,n∆ξ
(3.24)
El termino de difusion no lineal en (3.20) se aproxima por diferencias centrales,
∂
∂ξ
(D∂h
∂ξ
)∣∣∣∣i,n
∼ 1
∆ξ
[(D∂h
∂ξ
)∣∣∣∣i+ 1
2,n
−(D∂h
∂ξ
)∣∣∣∣i− 1
2,n
], (3.25)
donde (D∂h
∂ξ
)∣∣∣∣i+ 1
2,n
∼ Di+ 12,n
hi+1,n − hi,n∆ξ(
D∂h
∂ξ
)∣∣∣∣i− 1
2,n
∼ Di− 12,n
hi,n − hi−1,n∆ξ
(3.26)
3.7. Esquema sobre implıcito
Definiendo el siguiente operador de tiempo adelantado
(δth)ni,j =hn+1i,j − hni,j
∆t
y los operadores de espacio central
(δ2xh)n(+1)
i,j=
1
∆x2
((D)ni+ 1
2,j
(hn(+1)i+1,j − h
n(+1)i,j
)− (D)ni− 1
2,j
(hn(+1)i,j − hn(+1)
i−1,j
))(δ2yh)n(+1)
i,j=
1
∆y2
((D)ni,j+ 1
2
(hn(+1)i,j+1 − h
n(+1)i,j
)− (D)ni,j− 1
2
(hn(+1)i,j − hn(+1)
i,j−1
))ademas las difusividades se toman en el tiempo anterior tn y se evaluan como
(D)ni± 12,j =
1
2
((D)ni,j + (D)ni±1,j
)(D)ni,j± 1
2=
1
2
((D)ni,j + (D)ni,j±1
)Podemos ası obtener un esquema general de diferencias finitas como se muestra a continuacion:
(δth)ni,j = ωx(δ2xh)n+1
i,j+(1− ωx)
(δ2xh)ni,j
+ωy(δ2yh)n+1
i,j+(1− ωy)
(δ2yh)ni,j
+(Bs)ni,j−(Bb)
ni,j+
(∂b
∂t
)ni,j
(3.27)
3.7. ESQUEMA SOBRE IMPLICITO 50
donde los indices toman los valores: i = 1(1)imax − 1, j = 1(1)jmax − 1, n = 0(1)nmax − 1 .
La elevacion de la superficie hni,j es predeterminada para las condiciones de borde i = 0, imax, j =
0, jmax y para el tiempo inicial n = 0.
De esta manera se puede variar las ponderaciones de ωx y ωy. De esta manera si se escoge:
1. ωx = ωy =: ω = 0, el esquema (3.27) es “explicito” (EXPL) 6
2. ωx = ωy =: ω = 1, el esquema (3.27) se vuelve “implicito” (IMPL)7.
3. ωx = ωy =: ω = 0, 5, (3.27) es de tipo Cranck Nicholson8.
4. ωx = 0, ωy = 1 en un paso de iteracion y ωx = 1, ωy = 0 en el paso siguiente, produce un
esquema “implıcito de direccion alternante”, ADI (Alternanting Direction Implicit scheme).
5. ωx = ωy =: ω > 1, esquema “sobre implicito”, OVI (over-implicit) propuesto por Hind-
marsh (2001).
Asumiendo que no hay derretimiento basal Bb = 0, El esquema implıcito queda dado por:
hn+1i,j − hni,j
∆t=
1
2∆ξ2([Dni,j +Dn
i+1,j
] (hn+1i+1,j − hn+1
i,j
)−[Dni,j +Dn
i−1,j] (hn+1i,j − hn+1
i−1,j))
+1
2∆ϕ2
([Dni,j +Dn
i,j+1
] (hn+1i,j+1 − hn+1
i,j
)−[Dni,j +Dn
i,j−1] (hn+1i,j − hn+1
i,j−1))
+(Bs)ni,j +
bn+1i,j − bni,j
∆t
(3.28)
Por otro lado el esquema explıcito es:
hn+1i,j − hni,j
∆t=
1
2∆ξ2([Dni,j +Dn
i+1,j
] (hni+1,j − hni,j
)−[Dni,j +Dn
i−1,j] (hni,j − hni−1,j
))+
1
2∆ϕ2
([Dni,j +Dn
i,j+1
] (hni,j+1 − hni,j
)−[Dni,j +Dn
i,j−1] (hni,j − hni,j−1
))+(Bs)
ni,j +
bn+1i,j − bni,j
∆t
(3.29)
6Para entender de que se trata el metodo ver el Apendice B.1.17Ver Apendice B.1.28Ver Apendice B.1.3
3.7. ESQUEMA SOBRE IMPLICITO 51
El esquema sobre implıcito, es un esquema de combinacion de las discretizaciones explıcita e
implıcita similar al metodo de Cranck-Nicholson, Sin embargo mientras que en Cranck-Nicholson
se utiliza 0, 5×explicito+0, 5× implicito, el sobre explicito OVI, utiliza 1, 5× implicito−0, 5×
explicito. Este motro ser mas estable incluso que el implıcito y este es el esquema utilizado por
SICOPOLIS (Greve and Calov, 2002).
Capıtulo 4
Resultados
4.1. Descripcion de la simulacion
El paso siguiente en la investigacion, es testear la hipotesis planteada en la seccion 2.1. Para esto
se diseno un conjunto de simulaciones, en las que se vario la altitud de la lınea de equilibrio (ELA) a
1900 2000 y 2100 m.s.n.m, en un primer caso considerando que la capa de hielo no experimentaba
deslizamiento basal, y posteriormente se hicieron las simulaciones considerando deslizamiento ba-
sal. De esta manera algunos parametros se mantuvieron constantes y otros variaron, como muestran
las tablas a continuacion.
4.1.1. Parametros constantes
En las simulaciones se mantuvieron constantes los siguientes parametros:
• Modo isotermico con temperatura del hielo T constante: TEMP − CONST
• Ley de flujo de Glen con exponente de esfuerzo, n=3: FLOW − LAW
• Factor de fluencia: A, en tabla 4.1, se indica el valor base recomendado para hielo de 0◦C
por Cuffey and Paterson (2010).
• Topografıa inicial libre de hielo: ANF −DAT
52
4.1. DESCRIPCION DE LA SIMULACION 53
Campo Parametro Valores Ecuacion
Termodinamicos TEMP − CONST -0.001◦C headers
Ley de flujo FLOW − LAW (1) headers
Ley de flujo A 2, 4× 10−24s−1Pa−3 (1.17)
Condiciones iniciales ANF −DAT (2) headers
Temp. sup y SMB S0 5.0 m a−1 (1.1)
Temp. sup y SMB m0 23.0 m a−1km−1 (1.1)
Salida de datos OUT − TIMES (1) headers
Salida de datos NETCDF (2) headers
Tabla 4.1: Parametros de entrada constantes utilizados en las simulaciones.
• Balance de masa superficial maximo1: S0
• Gradiente altitudinal del balance de masa superficial: m0.
• Salida de tiempos en todos los archivos, en anos SICOPOLIS: OUT − TIMES
• Archivos de division de tiempo en formato netCDF (.nc) y escritura de un archivo de serie
temporal extendida(ser.nc) en formato netCDF: NETCDF
4.1.2. Parametros variables
Estos parametros son:
• Espacio de grilla horizontal en: DX
• Numero de puntos de grilla en la direccion x [i = 0...IMAX]: IMAX + 1
• Numero de puntos de grilla en la direccion y [j = 0...JMAX]: JMAX + 1
• Paso del tiempo en anos para el calculo de la velocidad y la topografıa: DTIME
1Tanto S0 como m0 fueron obtenidos empıricamente de las mediciones en terrenos realizadas por el Dr. Marius
Schaefer en el glaciar ubicado en la ladera sureste de la Capa de hielo Mocho-Choshuenco.
4.1. DESCRIPCION DE LA SIMULACION 54
Campo Parametro Valores Ecuacion
Resolucion espacial DX 0.2, 0.1 km headers
Resolucion espacial IMAX 117, 236 headers
Resolucion espacial JMAX 105, 211 headers
Tiempo DTIME 0.1-0.2 a headers
Tiempo DTIME − SER 0.1-0.2 a headers
Tiempo TIME − END 1000, 300 a headers
Condiciones iniciales ZL0− FILE ’MochoBed200.asc’ ,
’MochoBed100.asc’ headers
Temp. sup y SMB ELA 1.9 , 2.0 , 2.1 km (1.1)
Deslizamiento Basal C − SLIDE 0.0 , 0.0001 m/a× Pa (1.40)
Deslizamiento Basal GAMMA− SLIDE 0.0 , 1.0 K headers
Salida de datos DTIME −OUT 1000 300 a headers
Tabla 4.2: Parametros de entrada variables utilizados en las simulaciones.
• Paso del tiempo en anos para escribir datos en los archivos de series de tiempo: DTIME −
SER
• Tiempo final de simulacion en anos: TIME − END
• Nombre del archivo que contiene la topografıa de la superficie de la listosfera (lecho donde
yace la capa de hielo): ZL0− FILE
• Altitud de la lınea de equilibrio: ELA
• Coeficiente de deslizamiento: C − SLIDE
• Coeficiente de deslizamiento de subfusion: GAMMA− SLIDE
• Paso de tiempo en anos para escribir datos de division de tiempo DTIME −OUT
4.2. ESTABILIDAD DE LA CAPA DE HIELO SIMULADA 55
4.2. Estabilidad de la capa de hielo simulada
4.2.1. Tiempo de simulacion
Se comenzo realizando una simulacion con tamano de grilla de 200 m como dato de entrada,
tiempo de simulacion de 1000 anos. En los datos de serie de tiempo para el espesor maximo de
hielo (Hmax), curva azul en la figura 4.1, se observa que la simulacion se hace estable a partir de
los 100 anos, llegando a un valor de Hmax aproximado de 290 m.
En base a esta observacion se decide acortar el tiempo de simulacion a 300 anos. Al acortar el
tiempo de simulacion se obtuvo un valor de Hmax = 290 m (ver Figura 4.1).
La curva roja indica la variacion del valor del espesor calculado, respecto al valor anterior.
Figura 4.1: Serie de tiempo a 300 anos y su variacion para el espesor maximo de hielo (Hmax)
4.3. SIMULACIONES 56
4.2.2. Resolucion espacial
Como se menciono en la subseccion anterior, la primera simulacion se realizo con una resolu-
cion de 200 m. (ver Figura 4.2a). Luego se cambio el tamano de grilla a 100 m, manteniendo el
resto de parametros igual que en la simuacion previa, se obtiene (ver Figura 4.2b).
La curva gris, indica el borde o frontera de la capa de hielo actual. Se muestra en el eje de las
abscisas la coordenada Este en coordenadas UTM2 WGS 843, y en el eje de las ordenadas el Norte.
Se concluye que al aumentar la resolucion a 100 m, no hay diferencias significativas en cuanto al
espesor y extension del hielo, solo se aprecian fluctuaciones menores, y la simulacion converge sin
problemas. Por esta razon los seis experimentos se mantendran con una resolucion de 200 m, para
acortar el tiempo de simulacion.
4.3. Simulaciones
4.3.1. Variacion de la ELA
El primer experimento consistio en variar la altitud de lınea de equilibrio (ELA) tomando los
valores de 1900 m.s.n.m , 2000 m.s.n.m y 2100 m.s.n.m, considerando situaciones sin deslizamien-
to basal.
La figura 4.3a muestra la simulacion del espesor de hielo con una ELA de 1900 msnm, vista
desde arriba.
Las zonas de color rojo, indican zonas donde el espesor de hielo es mayor, entre 300 y 350 m.
Las regiones de color azul oscuro indican espesores menores, entre 0 a 50 m de espesor. Tal como
se espera en los margenes de la capa de hielo el espesor es menor, ası como en el cono volcanico
2La sigla UTM ubicada en la esquina superior derecha significa Universal Transverse Mercator; es un sistema de
coordenadas basado en la proyeccion transversa de Mercator. Al lado derecho de UTM aparece 18s, esto hace referencia
al HUSO UTM. Se divide la Tierra en 60 husos de 6 ◦ de longitud, la zona de proyeccion de la UTM se define entre los
paralelos 80◦ S y 84◦ N. Cada huso se numera con un numero entre el 1 y el 60. La letra N se utiliza para el hemisferio
norte y la S para el sur.3WGS84 son las siglas en ingles de World Geodetic System 84 (que significa Sistema Geodesico Mundial 1984)
4.3. SIMULACIONES 57
(a) Grillas de 200 m
(b) Grillas de 100 m
Figura 4.2: Espesor de hielo con ELA a 1900 msnm
4.3. SIMULACIONES 58
(a) ELA a 1900 msnm
(b) ELA a 2000 msnm
(c) ELA a 2100 msnm
Figura 4.3: Espesor de la capa de hielo sin deslizamiento basal
4.3. SIMULACIONES 59
Simulacion ELA S0 M0 C γ
msnm m/a m/a× km m/a× Pa K
1a 1900 5 23 0 0
1b 1900 5 23 0.0001 1
2a 2000 5 23 0 0
2b 2000 5 23 0.0001 1
3a 2100 5 23 0 0
3b 2100 5 23 0.0001 1
Tabla 4.3: Simulaciones. Variacion de ELA asignado por numeros: 1, 2 y 3. Deslizamiento asignado
por letras: (a): caso sin deslizamiento y (b): caso con deslizamiento.
de este.
En la figura 4.3b se muestra la simulacion con ELA a 2000 msnm. Se puede apreciar que el
area de la capa de hielo simulada se aproxima mas al area real de la capa de hielo que la simulacion
con ELA de 1900 m (figura 4.3a).
Con una ELA a 2100 msnm, la simulacion muestra ahora menos area cubierta con hielo.
4.3.2. Simulaciones con deslizamiento basal
Una comparacion muy importante para testear la hipotesis, es considerando una situacion ideal
en que que no hay deslizamiento basal (C = 0 m/a× Pa y γ = 0K), con otra donde si hay des-
lizamiento basal (C = 0,0001 m/a× Pap−q y γ = 1K ). Se realizaron en total seis simulaciones
enumeradas como (1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b), como muestra la tabla 4.3.
La primera comparacion se realiza con una ELA de 1900 msnm. Al observar la figura 4.4, se
aprecian variaciones en el espesor de la capa de hielo, disminuyendo dicho espesor en la simulacion
con deslizamiento basal (figura 4.4b), lo que se aprecia levemente, por ejemplo, al comparar las
zonas rojas de ambas figuras. Ademas se observa una reduccion en el area para la situacion con
deslizamiento (figura 4.4b).
En las simulaciones con ELA a 2000 msnm se observa algo similar. Menores espesores en el sur
4.3. SIMULACIONES 60
de la capa de hielo en el caso con deslizamiento (figura 4.5b) respecto a lo simulado en la situacion
sin deslizamiento (figura 4.5a). Resultado similar se puede apreciar al observar el caso con una
ELA a 2100 msnm. Si se observa al noroeste del crater del volcan (ver figura 4.6b), se aprecia una
reduccion en el espesor en la situacion que considera deslizamiento basal.
4.3. SIMULACIONES 61
(a) sin deslizamiento basal
(b) con deslizamiento basal
Figura 4.4: Espesor de la capa de hielo con una ELA a 1900 msnm
4.3. SIMULACIONES 62
(a) sin deslizamiento basal
(b) con deslizamiento basal
Figura 4.5: Espesor de la capa de hielo con una ELA a 2000 msnm
4.3. SIMULACIONES 63
(a) sin deslizamiento basal
(b) con deslizamiento basal
Figura 4.6: Espesor de la capa de hielo con una ELA a 2100 msnm
4.3. SIMULACIONES 64
4.3.3. Variacion del volumen total
Luego se analizaron los valores entregados por las simulaciones, respecto al volumen total
en la serie de tiempo de 300 anos. Un primer analisis importante es ver como varıa el volumen
total de la capa de hielo respecto al aumento de la altitud de la lınea de equilibrio. Luego, para
entender la importancia de la dinamica, se graficaron las situaciones con deslizamiento basal y sin
deslizamiento basal.
Comparando los resultados obtenidos por las simuaciones con y sin deslizamiento. La lınea negra
de la figura 4.7 indica el volumen medido por GEOESTUDIOS en el ano 2014 (DGA, 2014).
Figura 4.7: Variacion del volumen total a distintas ELA, sin deslizamiento basal y con deslizamien-
to basal
Capıtulo 5
Discusion
5.1. Discusion
El hecho de que la capa de hielo sea temperada o frıa es determinante, ya que la presencia de
agua de fusion condiciona los resultados del metodo de Radio Eco sondaje (RES). El agua inhibe
la penetracion de las ondas electromagneticas de radar en el hielo, ya que el agua dentro cuerpos de
hielo temperados como el Mocho, ejerce una mayor aborcion y dispersion de dichas ondas (Lowrie,
2007), (Hubbard and Glasser, 2005).
Por otra parte lo que reproduce la simulacion no es la capa de hielo Mocho-Choshuenco en la
actualidad, sino que una capa de hielo modelada sobre un lecho rocoso libre de hielo, asumiendo
cierto balance de masa superficial. Al termino de las iteraciones, arroja como resultado una capa de
hielo estable, en equilibrio con el clima, basada en los parametros ingresados al modelo (ver tablas
4.1 y 4.2). Por esta razon no debe esperarse que la simulacion coincida a la perfeccion con la capa
de hielo real.
La resolucion de la grilla utilizada para representar la dimension espacial de la capa de hielo,
no influye de manera considerable en su comportamiento durante la simulacion. El aumentar la
resolucion a 100 m, no mostro diferencias significativas respecto a utilizar la grilla de 200 m.
El espesor H del glaciar simulado, se mostro estable en la serie de tiempo despues de 100 anos de
simulacion. De esta manera se ahorra tiempo de simulacion, acortando el tiempo total de simulacion
a 300 anos. En ese sentido la simulacion muestra un buen comportamiento tanto en la resolucion
65
5.1. DISCUSION 66
Area H medio H max Volumen hielo Vol. eq. agua
km2 m m 106m3 106m3
15,22 68,2 262 1038 934
Tabla 5.1: Mediciones de radar obtenidas para la DGA, Vn. Mocho-Choshuenco (DGA, 2014)
espacial como temporal utilizada.
Para conocer que tan real es la simulacion, se debe comparar con los resultados obtenidos de la
mediciones en terreno.
Segun el informe de la DGA, “Estimacion de volumenes de hielo mediante sondajes de radar
en zonas norte, centro y sur”(DGA, 2014), realizado por la empresa Geoestudios LTDA, la tabla
5.1 muestra los resultados para la capa de hielo Mocho-Choshuenco.
Tomando en consideracion el espesor medido con radar aereo, utilizando el metodo de radio
eco sondaje (ver figura 5.1), se puede ver que la simulacion que mas se le asemeja en la cuenca
sureste es la 1.b, que corresponde a una ELA de 1900 msnm y con deslizamiento basal (ver figura
4.4b).
Sin embargo basado solo en los datos tomados en terreno hay que considerar tambien una ELA
de 2000 msnm con deslizamiento basal (ver figura 4.5b), porque cercana a esta altura se encontrarıa
la lınea de equilibrio.
Esto se condice con la teorıa, el factor mas importante sobre el movimiento del hielo es el lecho.
Un glaciar templado como el Mocho-Choshuenco, debe experimentar deslizamiento basal (Cuffey
and Paterson, 2010). Al haber deslizamiento basal, el flujo de hielo hacia las zonas menos elevadas
provoca que dismunuya el espesor H de la capa de hielo. Ademas, al haber mas masa de hielo a
menor altitud, esto puede ocasionar que haya mayor ablacion.
Tanto en las simulaciones con deslizamiento como las sin deslizamiento, al aumentar la ELA,
el espesor y volumen de la capa de hielo disminuyen ( ver figuras 4.3 y 4.7).
Las fluctuaciones en la ELA proporcionan un indicador importante de la respuesta de los gla-
ciares al cambio climatico. Segun Bishop et al. (2011) la ELA esta muy relacionada con el clima
local, particularmente con la precipitacion invernal y la temperatura del aire de verano. Por lo tanto,
las variaciones en la ELA pueden atribuirse a los cambios de estas dos variables. Si el balance de
5.1. DISCUSION 67
Figura 5.1: Espesor medido con Radar Informe DGA DGA (2014)
masa anual de la capa de hielo como un todo es negativo, la ELA aumenta, y cuando el balance es
positivo, la ELA disminuye.
Esto nos hace pensar que dado las proyecciones climatica para los proximos anos (Stocker
et al., 2013), el aumento en la temperatura como la disminucion de las precipitaciones para la zona,
la altitud de la linea de equilibrio aumente. Las simulaciones muestran la sensibilidad del glaciar
ante las variaciones en la ELA. Las simulaciones 3.a y 3.b, dan una idea de donde se encontrara el
glaciar cuando la ELA llegue a los 2100 msnm (ver figura 4.6).
La hipsometrıa1 del glaciar, determina que tan sensible es el glaciar a cambios en el clima.
Mucha superficie en la ELA implica que el balance de masa del glaciar es mas sesible a cambios
en la temperatura.
Por otro lado, es importante considerar que las mediciones de terreno Schaefer et al. (2017), en
la cuenca sureste, para la ELA son cercanos a los 2000 msnm. Esto es una aproximacion, ya que
no se cuenta con mediciones en terrero del balance superficial, en el resto de la capa de hielo, se
esperarıa por tanto, dado que laderas como la norte estan expuestas a la radiacion solar de manera
1Relacion entre el area del glaciar con la altura
5.1. DISCUSION 68
directa, tengan la lınea de equilibrio a mayor altitud.
En la figura 4.5a, se aprecia que la simulacion resultante no muestra espesor de hielo en el
sureste de la capa de hielo, siendo que en el glaciar real, representado por la lınea de color gris, si
hay hielo en esa area. Del mismo modo, la figura 4.5b muestra mayor area sin espesor de hielo.
Esto quiere decir que la simulacion arroja un balance negativo en zonas en que este es positivo. Lo
contrario ocurre en el norte y oeste de la simualacion, esta arroja un balance de masa positivo, en
zonas donde no hay glaciar.
Basado en la teorıa, se presume que esto puede ser debido a que como datos de entrada, se
ingreso a SICOPOLIS el balance de masa superficial maximo S0 , y el gradiente altitudinal del
balance de masa superficial m0 de las mediciones en terreno realizadas en el glaciar ubicado en la
cuenca sureste, y con estos parametros el modelo calculo el balance de masa para el resto de la capa
de hielo, con la ecuacion (1.1). No se cuenta hasta la fecha con mediciones del balance de masa,
del resto de la capa de hielo, por tanto serıa provechoso iniciar el monitoreo en el resto de la capa,
ası ingresar estos nuevos parametros a la simulacion.
Comparando el volumen mostrado en el informe de la DGA, con los resultados de las simula-
ciones mostradas en la figura 4.7, se ve que simulaciones con deslizamiento basal muestran valores
menores a aquellas sin deslizamiento basal. Esto se debe a que al haber deslizamiento basal, el es-
pesor de la capa de hielo disminuye, al estirarse pendiente abajo por efecto de la gravedad. Ademas,
al tener menor espesor, y tener mayor cantidad de masa producto del aumento del flujo, en altitudes
mas bajas, serıa mas sensible al derretimiento.
Si se observa la figura 4.4, en el sureste la simulacion muestra una extension del glaciar Mocho-
Choshuenco, a traves de un valle. Ademas en el norte muestra dos lenguas mas, y en general a lo
largo de todo el perımetro de la capa de hielo. Esta gran pendiente google earth, esfuerzo causante.
Esto significa que, con los valores de los parametros S0 y m0 ingresados, SICOPOLIS calcular un
balance de masa positivo, para estas regiones. Ademas, si se pone atencion en este brazo del glaciar
en el sureste, se puede observar que existen grietas transversales. Segun lo visto en terreno, esta
zona efectivamente es una zona de desprendimiento, de pendiente pronunciada (Figura 5.2. Esto se
5.2. CONCLUSIONES 69
debe a que los esfuerzos de conduccion superan a los esfuerzos resistentes. El modelo toma esta
pendiente, mas el balance de masa y recrea la situacion en la cual el glaciar fluye por ese valle.
Figura 5.2: Zona en la que la simulacion muestra una de las extensiones de glaciar que no existe,
(Google Earth, 2017)
5.2. Conclusiones
Con el fin de comprender la dinamica de la Capa de hielo Mocho-Choshuenco, en este Semi-
nario de Investigacion, se comenzo con los principios de conservacion de la masa y conservacion
del momento de la dinamica de fluidos. El resultado de esto son ecuaciones para el flujo de hielo,
esfuerzos de conduccion y resistentes, el perfil de velocidades, la ecuacion de continuidad integrada
verticalmente, la aproximacion de hielo delgado, para llegar finalmente a la ecuacion de evolucion
del espesor de hielo. La ley de Glen generalizada cuantifica la tasa de deformacion y el esfuerzo de
corte para el hielo. Para poder hacer una simulacion, se deben discretizar las ecuaciones, realizando
una transformacion sigma para las coordenadas del terreno (Greve and Blatter, 2009). Se discretizan
las ecuaciones de velocidad horizontal, vertical y evolucion del espesor del hielo. Posteriormente
se utiliza el metodo de diferencias finitas para resolver numericamente estas ecuaciones utilizando
5.2. CONCLUSIONES 70
el modelo SICOPOLIS. Se realizan seis simulaciones en las cuales se variaron parametros como la
altitud de la lınea de equilibrio, el deslizamiento basal.
Finalmente luego de realizar las simulaciones y analizar los datos obtenidos, se concluye que
la geometrıa del glaciar esta determinada por la altitud de la linea de equilibrio. Como muestra
la figura (4.7), al aumentar la altitud de la lınea del equilibrio, disminuye el volumen total. La
ELA depende de las precipitaciones invernales y la temperatura estival. Teniendo en cuenta los
pronosticos climaticos para la region (Stocker et al., 2013), el aumento en las temperaturas como
la disminucion de las precipitaciones, junto con los resultados obtenidos en la simulaciones, en que
muestran la sensibilidad de la capa de hielo al aumento en la ELA, tanto en su volumen como en el
espesor, se espera que las dimensiones de la capa de hielo Mocho-Choshuenco disminuyan en los
proximos 100 anos.
Sin embargo, no solo los factores climaticos influyen en el balance de masa y en la dinamica
glaciar en general. Uno de los factores mas importantes es la topografıa subglacial. Mayores pen-
dientes, generan mayores esfuerzos de conduccion, y ası a un mayor flujo glaciar, hacia abajo, el
cual provoca que se redistribuya masa hacia altitudes mas bajas, donde los procesos de ablacion
son predominantes. Como se puede ver en los experimentos realizados con deslizamiento basal (ver
figuras 4.4, 4.5 y 4.6), que mostraron menor espesor respecto a los experimentos sin deslizamiento
basal, esto reduce la cantidad de hielo presente en el glaciar. Usando SICOPOLIS se puede estimar
donde se encontrara en glaciar en el futuro.
Finalmente, se considera necesario seguir monitoreando la capa de hielo Mocho-Choshuenco,
y contar con datos de la altitud de la lınea de equilibrio de toda la capa de hielo o utilizar modelos
para esto, el grandiente altitudinal del balance de masa, ası como un mayor rango de tiempo de me-
diciones, para poder ası realizar simulaciones mas fidedignas. Sin embargo con las simulaciones
expuestas en este Seminario de Licenciatura, de este glaciar teorico, nos permiten entender en parte
la dinamica de la Capa de hielo Mocho-Choshuenco.
Apendice A
Glosario
Letra Significado
a ano
A parametro de fluencia ( 2,4×10−24Pa−3s−1 )
aa deposicion por avalanchas
ar el recongelamiento de agua
as representa las nevadas
aw deposicion por viento
α pendiente del lecho rocoso
B tasa de balance de masa especıfico (kg/m2a)
B balance de masa especıfico, se mide en [kg/m2]
Bs balance de masa superficial
Be balance de masa intragracial
Bb balance de masa basal◦C grados celcius
Cb coeficiente de deslizamiento basal
εI primer invariante de la deformacion
εij tasa de deformacion
εE tasa de deformacion efectiva
Sigue en la pagina siguiente.
71
72
Letra Significado
E acrecentamiento
η viscocidad efectiva
f fuerza aplicada a un cuerpo
Gt giga toneladas
g aceleracion de gravedad
H espesor del hielo
h altura de la superficie del hielo
K Kelvin
Kg kilogramos
km kilometros
m metros
ms derretimiento
m0 gradiente altitudinal del balance de masa superficial
m.w.e. metros equivalente de agua (meter water equivalent)
mm milimetros
ms derretimiento
m.s.n.m metros sobre el nivel del mar
Nb esfuerzo normal basal
n vector unitario normal a la superficie
n exponente de fluencia (n=3)
∇ operador nabla
P presion
Pa pascal
p, q exponentes de deslizamiento basal
Q flujo del hielo
ρ densidad del hielo ( 830 - 923 kg m−3)
σ componentes del tensor de esfuerzos T
Sigue en la pagina siguiente.
73
Letra Significado
σm esfuerzo normal medio
σb esfuerzo cortante en la base
S0 balance de masa superficial maximo
T tensor de esfuerzos
TD desviador de esfuerzos
τ componentes del tensor desviador de esfuerzos TD
τE esfuerzo efectivo
τd esfuerzo de conduccion
τb resistencia basal
τL resistencia longitudinal
τW resistencia lateral
τ0 limite de fluencia del hielo (100 Kpa)
Th temperatura ajustada para la depresion del punto de fusion
Tb temperatura en la base del hielo
Tm temperatura en el punto de fusion de presion
t tiempo
u, v, w componentes del vector v
us velocidad del hielo en la superficie
ub velocidad del hielo en la base
u(z) velocidad del hielo a cierta profundidad (H − z)
v velocidad del flujo de hielo
vh velocidad horizontal
vb velocidad de deslizamiento basal
x, y, z coordenadas cartesianas
Tabla A.1: Glosario
74
Acronimo Significado
ADI Esquema implıcito de direccion alternante
AR5 Fifth Assessment Report
DGA : Direccion General de Aguas
DEM Modelo de elevacion digital
ELA Altitud de la lınea de equilibrio
EXPL Esquema de Euler explıcito
IMPL Esquema de Euler implıcito
GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment
IPCC Panel Intergubernamental de Expertos sobre Cambio Climatico
OV I esquema sobre implıcito
NPI Campos de hielo patagonico norte
RES Radio eco sondaje
SIA Aproximacion de hielo delgado
SICOPOLIS : Simulation code for polythermal glaciers
STRM : Shuttle Radar Topography Mission
Tabla A.2: Acronimos
Apendice B
Metodo de diferencias finitas
B.1. Metodo de Euler
Las ecuaciones del tipody
dx= f (x, y)
son Ecuaciones diferenciales ordinarias (Simmons et al., 1993). La solucion numerica de este tipo
de ecuaciones es de forma general:
Nuevo valor = valor actual + pendiente× tamano de paso
o en terminos matematicos:
yi+1 = yi + φh
Lo anterior quiere decir que, conociendo el valor de la pendiente estimada φ y el valor en el
paso anterior yi, se puede extrapolar el nuevo valor yi+1 en una distancia h . Esta formula se aplica
paso a paso y se traza la trayectoria de la solucion (Chapra et al., 2007). De esta manera en el
metodo de diferencias finitas pasamos de una ecuacionn diferencial a una ecuacion en diferencias
donde se sustituyen derivadas por incrementos.
dy
dx−→ ∆y
∆x
Hay varios metodos que utilizan este principio, y solo difieren en la forma en que se calcula la
pendiente.
75
B.1. METODO DE EULER 76
Figura B.1: Ilustracion grafica del metodo de un paso de la solucion numerica (Chapra et al., 2007)
B.1.1. Metodo de Euler
Uno de estos metodos es el Metodo de Euler, en el que se usa la ecuacion diferencial para
estimar la pendiente. La primera derivada ofrece una estimacion directa de la pendiente en xi (figura
B.2).
φ = f(xi, yi)
Figura B.2: Estimacion de la pendiente utilizando la primera derivada (Chapra et al., 2007)
donde f(xi, yi) es la ecuacion diferencial evaluada en xi y yi. Sustituyendo la estimacion, se
obtiene la formula conocida como metodo de Euler:
yi+1 = yi + f (xi, yi)h
Con el que se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el
B.1. METODO DE EULER 77
valor original de x) para extrapolar linealmente sobre el tamano de paso h (Chapra et al., 2007).
Como se puede apreciar en la figura B.2 este metodo muestra errores, los cuales pueden ser:
1. Error de truncamiento, el que a su vez puede ser
a) Local: que ocurre por aplicar el metodo mencionado en un paso.
b) Propagado: que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos.
La suma de los errores anteriores da el error global
2. Error de redondeo
Se aplica la serie de Taylor para obtener estimaciones exactas del error en el metodo de Euler.
Una forma de reducir el error local y global, es disminuyendo el tamano del paso. Pero al hacer
esto el metodo de Euler, requiere de muchos calculos (mucho tiempo) para obtener niveles de error
aceptables. El metodo dara como resultado predicciones sin error si la funcion que se analiza es
lineal, ya que la segunda derivada de una lınea es cero. Por esta razon se conoce al metodo de Euler
como un metodo de primer orden . Pero a pesar de su ineficiencia, la simplicidad del metodo de
Euler lo hace una opcion extremadamente atractiva para muchos problemas (Chapra et al., 2007).
A modo de ejemplo, consideremos la ecuacion de conduccion del calor dada por:
k∂T 2
∂x2=∂T
∂t(B.1)
la ecuacion de conduccion del calor requiere aproximaciones de la segunda derivada en el es-
pacio, y de la primera derivada en el tiempo. La segunda derivada se representa mediante una
diferencia dividida finita centrada:
∂2T
∂x2=T li+1 − 2T li + T li−1
∆x2(B.2)
los superındices l se utilizan para denotar tiempo.
Una diferencia dividida finita hacia adelante sirve para aproximar a la derivada con respecto al
tiempo∂T
∂t=T l+1i − T li
∆t(B.3)
B.1. METODO DE EULER 78
Sustituyendo las ecuaciones (B.2) y (B.3) en la ecuacion (B.1), se obtiene
kT li+1 − 2T li + T li−1
(∆x)2=T l+1i − T li
∆t(B.4)
de donde resulta
T l+1i = T li + λ
(T li+1 − 2T li + T li−1
)(B.5)
con
λ = k∆t/(∆x)2 (B.6)
Es decir, si conocemos la distribucion de temperatura como una funcion de la posicion en un tiempo
inicial, es posible calcular la distribucion en un tiempo futuro, basada en la ecuacion (B.5).
Convergencia significa que conforme ∆x y ∆t tiendan a cero, los resultados de la tecnica por
diferencias finitas se aproximaran a la solucion verdadera. Estabilidad significa que los errores en
cualquier etapa del calculo no se amplifican, sino que se atenuan conforme avanza el calculo. El
metodo explıcito es convergente y estable si λ ≤ 1/2, o
∆t ≤ 1
2
∆x2
k(B.7)
B.1.2. Metodo de Euler implicito
Las formulaciones explıcitas por diferencias finitas tienen problemas relacionados con la es-
tabilidad. La diferencia fundamental entre los metodos explıcitos y los implıcitos se ilustra en la
figura B.3. En la forma explıcita, aproximamos la derivada espacial para un nivel de tiempo l (figu-
ra B.3a). Cuando sustituimos esta aproximacion en la ecuacion diferencial parcial, se obtiene una
ecuacion en diferencias (B.4) con una sola incognita T l+1i . Ası, podemos despejar explıcitamente
esta incognita como en la ecuacion (B.5). En los metodos implıcitos, la derivada espacial se aproxi-
ma en un nivel de tiempo posterior l + 1. Por ejemplo, la segunda derivada se aproximara mediante
figura B.3b
∂2T
∂x2∼=T l+1i+1 − 2T l+1
i + T l+1i−1
(∆x)2(B.8)
Cuando esta relacion se sustituye en la ecuacion en derivadas parciales original, la ecuacion en
diferencias resultante contiene varias incognitas. Ası, no puede resolverse explıcitamente mediante
B.1. METODO DE EULER 79
Figura B.3: Diferencias fundamentales entre los metodos a) explıcito y b) implıcito (Chapra et al.,
2007)
simples manipulaciones algebraicas, como se hizo al pasar de la ecuacion (B.4) a la (B.5). En lugar
de esto, el sistema completo de ecuaciones debe resolverse simultaneamente. Las formulaciones
implıcitas dan como resultado un conjunto de ecuaciones lineales algebraicas con el mismo numero
de incognitas.
Sustituyendo las ecuaciones (B.3) y (B.8) en la ecuacion (B.1), se obtiene
kT l+1i+1 − 2T l+1
i + T l+1i−1
(∆x)2=T l+1i − T li
∆t(B.9)
que se expresa como
−λT l+1i−1 + (1 + 2λ)T l+1
i − λT l+1i+1 = T li (B.10)
con λ = k∆t/(∆x)2 Esta ecuacion se aplica a todos los nodos, excepto al primero y al ultimo de
los nodos interiores, los cuales deben modificarse para considerar las condiciones de frontera. En
el caso donde estan dados los niveles de temperatura en los extremos de la barra, la condicion de
frontera en el extremo izquierdo de la barra (i = 0) se expresa como
T l+10 = f0
(tl+1)
(B.11)
donde f0(tl+1)= una funcion que describe como cambia con el tiempo la temperatura de la
frontera. Sustituyendo la ecuacion (B.11) en la ecuacion (B.10), se obtiene la ecuacion en diferen-
cias para el primer nodo interior (i = 1):
(1 + 2λ)T l+11 − λT l+1
2 = T l1 + λf0(tl+1)
(B.12)
B.1. METODO DE EULER 80
para el ultimo nodo interior (i = m),
−λT l+1m−1 + (1 + 2λ)T l+1
m = T lm + λfm+1
(tl+1)
(B.13)
donde fm+1
(tl+1)
describe los cambios especıficos de temperatura en el extremo derecho de la
barra (i = m+ 1). Se obtiene un conjunto de m ecuaciones algebraicas lineales con m incognitas.
B.1.3. Metodo de Cranck Nicholson
Ofrece un esquema implıcito alternativo que tiene una exactitud de segundo orden, tanto para
el espacio como para el tiempo. Para alcanzar tal exactitud, se desarrollan aproximaciones por
diferencias en el punto medio del incremento del tiempo (figura B.4). Entonces, la primera derivada
temporal se aproxima en tl+1/2 por∂T
∂t∼=T l+1i − T li
∆t(B.14)
La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando las aproxi-
Figura B.4: Esquema de Cranck-Nicholson (Chapra et al., 2007)
maciones por diferencias al principio (tl) y al final (tl+1) del incremento del tiempo
∂2T
∂x2∼=
1
2
[T li+1 − 2T li + T li−1
(∆x)2+T l+1i+1 − 2T l+1
i + T l+1i−1
(∆x)2
](B.15)
B.2. REGLA DEL TRAPECIO 81
Sustituyendo las ecuaciones (B.14) y (B.15) en la ecuacion (B.1) y reagrupando terminos, se
obtiene
−λT l+1i−1 + 2 (1 + λ)T l+1
i − λT l+1i−1 = λT li−1 + 2 (1− λ)T li + λT li+1 (B.16)
Como en el caso del metodo implıcito simple, se determinan las condiciones de frontera T l+10 =
f0(tl+1)
y T l+1m+1 = fm+1
(tl+1)
para obtener versiones de la ecuacion (B.16) para los nodos inte-
riores primero y ultimo. Para el primer nodo interior,
−λT l+1m+1 + 2 (1 + λ)T l+1
m = λfm+1
(tl)
+ 2 (1− λ)T lm + λT lm−1 + λfm+1
(tl+1)
(B.17)
B.2. Regla del trapecio
Sea la integral
I =
∫ b
a
f (x) dx ∼=∫ b
a
fn (x) dx (B.18)
donde fn(x) = un polinomio de la forma
fn (x) = a0 + a1x+ ...+ an−1xn−1 + anx
n
La regla del trapecio corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacion (B.18) es de primer
grado:
I =
∫ b
a
f (x) dx ∼=∫ b
a
f1 (x) dx (B.19)
una lınea recta se puede representar como
f1 (x) = f (a) +f (b)− f (a)
b− a(x− a) (B.20)
El area bajo esta lınea recta es una aproximacion de la integral de f(x) entre los lımites a y b:
f1 (x) =
∫ b
a
[f (a) +
f (b)− f (a)
b− a(x− a)
]dx (B.21)
El resultado de la integracion es la denominada regla del trapecio:
I = (b− a)f (a)− f (b)
2(B.22)
donde a y b son los lımites de integracion y b–a = el ancho del intervalo de integracion. Geometri-
camente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el area del trapecio bajo la lınea recta que
une f(a) y f(b) en la figura B.5.
B.3. CUADRATURA DE GAUSS 82
Figura B.5: Regla del trapecio (Chapra et al., 2007)
B.3. Cuadratura de Gauss
Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos como el de la
figura B.6a, donde la formula puede dar un gran error.
Ahora, suponga que se elimina la restriccion de los puntos fijos y se tuviera la libertad de evaluar
el area bajo una lınea recta que uniera dos puntos cualesquiera de la curva. Al ubicar esos puntos
en forma inteligente, definirıamos una lınea recta que equilibrara los errores negativo y positivo.
Ası que, como en la figura B.6b, llegarıamos a una mejor estimacion de la integral. Cuadratura de
Gauss es el nombre de una clase de tecnicas para realizar tal estrategia.
El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuacion de la forma:
I ∼= c0f (x0) + c1f (x1) (B.23)
donde las c =los coeficientes desconocidos. Sin embargo, a diferencia de la regla del trapecio
que utiliza puntos extremos fijos a y b, los argumentos de la funcion x0 y x1 no estan fijos en los
extremos, sino que son incognitas (figura 22.7). De esta manera, ahora se tienen cuatro incognitas
que deben evaluarse y, en consecuencia, se requieren cuatro condiciones para determinarlas con
exactitud.
B.3. CUADRATURA DE GAUSS 83
Figura B.6: Representacion grafica de la regla del trapecio (Chapra et al., 2007)
Figura B.7: Representacion grafica de las variables desconocidas x0 y x1 para la integracion por
medio de la cuadratura de Gauss.
Apendice C
Ecuacion de continuidad para fluidos
incompresibles
El Principio de Conservacion de la Masa establece que no hay creacion ni destruccion de masa
dentro de un volumen de control, y que si allı hay cambio de masa, estos son la consecuencia de un
flujo a traves de la superficie de control.
Luego de algunas integrales podemos llegar a la ecuacion de continuidad
∂ρ
∂t+∇ · (ρv) = 0 (C.1)
A su vez, por las propiedades de la divergencia la ecuacion (C.1) se puede expresar como:
∂ρ
∂t+∇ρ · v + ρ∇ · v = 0 (C.2)
lo que es igual a:∂ρ
∂t+∂ρ
∂xu+
∂ρ
∂yv +
∂ρ
∂zw + ρ∇ · v = 0 (C.3)
y finalmente,∂ρ
∂t+ ρ∇ · v = 0 (C.4)
Las ecuaciones (C.1) y (C.4) son equivalentes, pero difieren por el punto de vista implıcito en
ellas.
Revisemos ahora la ecuacion de continuidad para un fluido incompresible. Para comenzar,
84
85
la ecuacion de continuidad (C.1) se puede escribir explicitamente en funcion de las componentes
u, v, w del vector velocidad v como:
∂ρ
∂t+∂(ρu)
∂x+∂(ρv)
∂y+∂(ρw)
∂z= 0 (C.5)
Utilizando la regla de la cadena, y factorizando por ρ da
∂ρ
∂t+ u
∂ρ
∂x+ v
∂ρ
∂y+ w
∂ρ
∂z+ ρ
(∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z
)= 0 (C.6)
luego esta ecuacion se puede escribir en forma vectorial como
∂ρ
∂t+ (v · ∇)ρ+ ρ(∇ · v) = 0 (C.7)
o su equivalente donde D/Dt representa la derivada sustancial o total.
1
ρ
Dρ
Dt+ (∇ · v) = 0 (C.8)
Para un medio incompresible, ρ es constante; por consiguiente,
1
ρ
Dρ
Dt= 0 (C.9)
lo cual da finalmente
∇ · v =∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0 (C.10)
“Ecuacion de continuidad para un fluido incompresible”.
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