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Modelamiento por elementos finitos de los
esfuerzos en un premolar •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Ingeniero Mecánico Universidad Nocional. · Msc. Materiales y Procesos de Manufactura, Universidad Nacional. Msc. Métodos Numéricos para Diseño en Ingeniería, Universidad Politecnico Cataluña. Director Ingeniería Mecánico Universidad Libre.
1 Carlos Arturo Bohórquez Ávilo
Resumen
Los d ientes están sometidos o grandes cargos cuando realizan lo función de
masticar, lo variedad de estructuras que lo conforman: esma lte, dentina y lo
pulpo; hocen que seo uno estructuro único, conocer su comportamiento bajo lo
acción de estos cargos permitiría desarrollar nuevos materiales .
Después de uno reseño de lo composición y microestructuro de lo dentina, se
hará un modelomiento y simulación por elementos finitos del comportamiento
idealizado de cómo soporto lo dentina los esfuerzos, poro luego terminar con
un modelo en 2D de lo composición interno del diente que permite observar
como actúo lo dentina en lo distribución de esfuerzos y cuales serían los
perspectivos de investigación en este campo.
Introducción
Lo Dentina es lo estructuro más abundante en el diente humano. Por lo tonto, el
conocimiento de sus propiedades mecánicos es esencial poro analizar los efectos
de los cargos producidos cuando se mastico sobre el diente y poro entender los
efectos de lo gran variedad de los procedimientos dentales reconstituyentes.
A pesar de esto importancia, más de medio siglo de investigación no ha podi
do proporcionar los valores coherentes de propiedades mecánicos de lo denti
na. El módulo de Young (E) es desconocido; su variación porcentual es de más
del 30%, el módulo de Cortante ó de rigidez (G) por igual porcentaje, los
estudios de tenacidad de fracturo y resistencia o lo fatigo son mucho menores,
y los otros constantes elásticos se han med ido con a lgún grado de precisión; y
con mayor rozón.
Esto es un panorama crítico de lo investigación en los propiedades mecánicos de
lo dentina .
Figura 7. Estructura esquemática de un molar, S: esmalte, D: dentina, SD: unión amelo-dentina/. P: pulpa, Z: gingiva.
Figura. 2. Fotografío de microscopio electrónico de barrido que
muestra lo estructura del esmalte, se pueden apreciar los bastonci-
llos cortados oblicuamente.
Anisotropío se define como lo variación de los propiedades mecánicos dependiendo de lo dirección de lo aplicación de los cargos.
Estructura de los dientes
La capa más exterior del diente expuesto se compone de esmalte que es tam
bién el componente más duro. Lo maso del diente es lo dentina, que es más
blondo y tiene menos minerales que el esmalte. En el centro está lo pulpo, un
tejido vivo como lo muestro lo f iguro 1 .
Esmalte
El esmalte es extremadamente duro y se compone de un 96% en. peso de hi
droxiopotito y de un 4% en peso de material orgánico y agua. Ese esmalte está
constituido de prismas en forma de bastoncillos con un diámetro de aproxima
damente 5 mm (Figura. 2) Dentro de los prismas, los cristales de hidroxiapatita
se encuentran ordenados en paralelo a los lados longitudinales de los baston
cillos. Los bastoncillos de esmalte están ordenados más o menos en ángulo
recto a lo zona de unión amelo-dentinal (figuro.l ). Las únicos zonas donde los
bastonci llos adamantinos están ordenados verticalmente a la superficie dental
son en los extremos de las cúspides y los bordes proximales. Los prismas de
esmalte no hacen un recorrido recto desde la unión amelo-dentina! hasta la
superficie externo. Grupos de prismas hocen uno serie de dobleces o lo largo
del recorrido.
Dentina
Lo maso del diente humano es lo dentina. Lo dentina se compone de un 45% en
volumen de minerales y hasta un 30% en volumen de material orgánico. El
agua constituye aproximadamente un 25% en volumen de lo dentina. Los com
ponentes inorgánicos son principalmente hidroxiapotita y el material orgánico
que predomino es el colágeno. Uno propiedad característico de lo dentina es
lo denso disposición de los túbulos dentinorios que atraviesan su grosor total
(Fig. 3). En lo proximidad de la pulpo, se puede observar uno densidad de
59.000 o 76.000 túbulos por mm2. El diámetro de los túbulos dentinarios es de
aproximadamente 2.5 11m cerco de la pulpo y 0.9 11m en lo unión omelo
dentinol.
Lo dentina es uno estructuro a nisotrópica 1 que presenta uno diferencia entre la
densidad de los túbulos así como su diámetro, lo influencio de estos variaciones
en los propiedades biomecánicos de lo dentina es importante tenerlos en cuen
to al momento de realizar los análisis.
Microestructuro de lo Dentina
El estudio de lo microestructuro de lo dentina sugiere comenzar desde los micro
constituyentes poro lo comprensión de sus propiedades mecánicos. En los escalos
más pequeños lo materia se compone de: APATITA, (Lo Apetito es realmente un
compuesto formado por tres minerales diferentes que dependiendo del predomi
nio de flúor, el cloro o el grupo de hidroxilo tomo su nombre) esto es lo fase
mineral que constituye aproximadamente 50% del volumen de la dentina .
Las fibri llos del colágeno, cerca de 30% del volumen, tienen aproximadamente
50- 1 00 11m de diámetro; el los están orientados aleatoriamente en un plano
- INVESTIGACIÓN Y TECNOLOGÍA /
Figura 3. Imagen de un microscopio electrónico de barrido en el
que se muestran los tú bulos dentinorios, 1 OOOX2
The mechanical properties of human dentin: a critica! review and re-evaluation of the dentalliterature, J. H. Kinney, S.J. Marshall, G.W. Marshall. Oivision of Biomaterials and Bioengineering, Department of Preventive and Restorative Dental Sciences.
perpendicular o la dirección de la formación de dentina. El mineral ocupa
dos sitios dentro de esta est ructuro de colágeno: intrafibrillor (espaciado pe
riódicamente en las zonas de la fibrillo de colágeno) y extrafibrillar (en los
interst icios entre los fibrillos). La distribución entre estos dos sitios es incierto,
aunque se cree que entre 70 y 75% del mineral puede ser extrofibrillor. Los
cristales de mineral son parecidos o uno aguja cerco de lo pulpo; y cambian
de formo a la de lamin illas al acercarse al esmalte. El espesor de los cristales
es de S T)m, es invariable con la ubicación.
En un nivel más alto se puede considerar como un materia l compuesto f ibrilar
reforzado, con lo dentina de intertubulor que formo lo motriz y los ojugeros de
los túbulos de dentina de peritubulor que forman el refuerzo cilíndrico de lo
fibra (ver Figuro. 3).
Los túbulos recorren continuamente lo dentina desde e l empalme de lo denti
na y el esmalte; unión omelo-dentinal, o lo pulpo en lo dentina de la corono
del diente, y del empalme del cemento y lo dentina al canal de lo pulpo en la
raíz. Lo regular, casi unioxio l, alineación de los túbulos ha dirigido o algunos
autores o sugerir que ellos juegan uno función importante en lo dependencia
de lo orientación de los propiedades mecánicos de lo dentina (onisotropio) .
En uno escalo más grande los propiedades microestructuroles de lo dentina
describen la respuesta del diente a las cargas aplicadas, y tienen en cuenta
las predicciones de los esfuerzos del diente y los propiedades de tenacidad
de fractura.
Propiedades elásticas de la dentina
Las propiedades elásticos de lo dentina son de suprema importancia en todas
las discusiones sobre los esfuerzos en los dientes. Las constantes elásticas, gene
ralmente definidas en términos de una matriz de rigidez (Cii), incluyen el módu
lo de Young, el módulo de Rigidez, y la relación de Poisson. Dependiendo de la
simetría de la microestructuro, las constantes elásticas tienen diferentes grados
de libertad . Por ejemplo, uno estructuro isotrópico tiene sólo dos constantes
elásticos independientes, mientras una estructura ortotrópica tiene nueve cons
tantes elásticas independientes. Por lo tanto, cualquier estudio de las propieda
des elásticas de dentina debe considerar su simetría.
El módulo de Young
Lo pendiente de lo curvo en zona elástico del diagrama esfuerzo deformación
proporciona el módulo de Young, mientras que el esfuerzo de fluencia y el
esfuerzo último se pueden obtener de la parte no lineal o plástico del diagra
ma. Modelo aplicable a todos los materiales de ingeniería. Sin embargo sor
prende que hayo tonta incertidumbre en el módulo de Young paro la dentina
obtenido por este método. Lo dispersión en los resultados es notoria en
cualquiera de los métodos experimentales de medida (tensión, flexión, indenta
ción o ultrasonido), lo desviación típico de estos valores está entre 13,2 GPo y
4,0 GPo, respectivamente.
Modelos para Materiales Compuestos
Un modelo aproximado para representar el módulo de elasticidad de mate
riales compuestos se puede emplear para el caso de la dentina, que se consi
dera una mezcla de dos materia les: la apatita y el colágeno. La ecuación l
muestra la forma de calcular el módulo de elasticidad equivalente para mate
riales compuestos:
2
Donde: E. es el módu lo de elasticidad equivalente
EA es el módulo de elasticidad de la apatita
Ec es el módulo de elasticidad del colágeno
VA es el porcentaje en volumen de la apatita (35%- 45%)
V e es el porcentaje en volumen del colágeno
Las propiedades elásticas de los materiales por separado son
de la apatita
y del colágeno
EA= llO GPa
Ec=O,OOl GPa.
Sin embargo, estos va lores teóricos difieren bastante de los encontrados en for
ma experimental, la gráfica l muestra como sería el comportamiento del módu
lo de elasticidad equivalente aplicando las ecuaciones 1 y 2 al variar el porcen
taje de apatita y de colágeno.
Existen otros métodos para calcular el módulo de elasticidad equivalente en la
dentina como el microestructural que podía aplicarse a este caso pero que
tampoco han mostrado semejanza con los datos experimentales y que no son
pertinentes para este estudio.
G ráfica 1. Variación Teórica del Módulo de Young para la dentina
135
.. 115 Q. (!) ..,
95 .. :!2 ~ 75 "' ~ UJ
55 .. .., .2 35 :l .., <> ::;: 15
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~ 1
~ 1 ~ 1
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·5 % 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
Porcentaje de Apatita
Grófica 7. Variación del Módulo de elasticidad poro la dentina dependiendo del porcentaje de Apatita presente, estos valores no muestran similitud con los obtenidos experimentalmente en promedio 9 GPo.
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~
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40
35
30
25
20
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Ep
Lees and Rollins ( 1972)
Et
~(2002)
o 30 60 90 ()( Grados
G ráfico 2. Comporto miento del módulo de
elasticidad de acuerdo con el ángulo de incidencia
para los valores experimentales por tensión (superior) y por ultrasonido (inferior)3
Et
Kinney JH, Balaoch M, Marshall GW, Marshall SJ (1999). A micromechanics model al the elastic properties al human dentine. Arch Oro/ Bio/44:813-22
Para la determinación del módulo de Young para la dentina mediante ensayos
de tensión y compresión ha habido numerosas tentativas. La mayoría de estas
medidas se han real izado en Tensión o Compresión. El énfasis primario de los
estudios de tensión debía establecer el Esfuerzo último de tensión de la dentina;
la determinación del módulo de Young es secundaria a la medida de este
esfuerzo. La medida "moderna" más aproximada de módulo de Young de
tensión se publicó en 1982 . En ese estudio, las probetas de denti na tenían un
comportamiento lineal hasta la ruptura y presentaban un módulo de elasticidad
en promedio de 19,3 GPa con una variación de 28%.
Para la determinación del módu lo de rigidez o cortante fue necesario establecer
cuál era la relación de Poisson para la dentina, luego de varios ensayos se
obtuvo un valor promedio de 0,25, este número representa una relación entre
la deformación axial y la deformación longitudinal de la dentina al realizar el
ensayo. Entonces se puede aplicar la aproximación:
Donde:
E G = 2(1+v) 3
G es el módu lo de Rigidez a l corte
E es el módulo de Elasticidad
v es la re lación de Poisson
El valor promedio de esta medida es 7,7 GPa.
Las últimas técnicas empleadas para lo medición de los módu los de elasticidad
en materiales, obtienen la medida de la velocidad de propagación del sonido
en la estructura analizada (2002), estos valores muestran que la dentina tiene
un módulo de elasticidad de 24,4 GPa y un módulo de rigidez de 8,6 GPa,
valores que son los más aceptados. Sin embargo, las medidas varían de acuer
do con el ángulo de incidencia lo cual confirma que la dentina es un material
Anisotrópico. Los valores cambian aunque no en forma tan apreciable como
los primeros resultados, la gráfica 2 muestra este comportamiento.
Algunos autores sugieren que la variación de los va lores se debe a la orientación
de las fibras del colágeno componente estructural de la dentina, surge aquí un
interrogante y es si la dentina pudiera tener un comportamiento viscoelástico.
Se asume que la dentina es perfectamente elástica con cargas pequeñas, y que
las constantes elásticas no dependen de la variación del esfuerzo. En la mayo
ría de los te jidos biológicos, éste no es el caso. A una carga constante, estos
materiales continúan deformándose con el tiempo (Creep). Por lo tanto, si un
esfuerzo constante se mantiene, la deformación debe reducirse continuamente
con el tiempo (relajación de la deformació n). Los materia les que exh ibeÁ una
respuesta tiempo-dependiente se llaman viscoelásticos. Si la dependencia del
tiempo de relajación no depende de la magnitud del esfuerzo aplicado, la
materia exh ibe viscoelasticidad lineal. Por otro lado, si la respuesta cambia
con el esfuerzo aplicado, lo materia exhibe viscoelasticidad no lineal. En el
análisis planteado, los valores de los módulos de elasticidad se tomaron cons
tantes con el tiempo.
Tabla 1. Propiedades de la dentina y el esmalte utilizadas en el estudio
M 'd 1 d M 'd 1 d D .d d Coeficiente Relación P . d d o u o e o u o e ens1 a d E . , d p .
rop1e o El .. d d GP R" .d GP / 3 e xpons1on e 01sson ostiCI o o l9l ez o 9 mm Térmico 1 re odimencionol
Dentina Peritubulor
Dentina lntertubulor
Esmalte
Fuente: el autor
24
18
84,3
8,5
6,7
29,2
0.25
0.23
0,31
Propiedades de las estructuras que conforman el diente
Luego de estudiar las diferentes teorías sobre las propiedades elásticas de la dentina se establecen los valores con los que se hacen los análisis.
Análisis por elementos finitos
El modelo utilizado para hacer el análisis partió de lo estructura de la dentina
en su porte primaria; es decir mirar los túbulos de 4 ¡1.m de diámetro, con la dentina Peritubulor e lntertubular y el líquido que esta dentro de ella que posee
propiedades parecidas a las del aguo. Luego se ensamblaron varios de estos
modelos para crear uno y por último se analizó el diente tomando el promedio
de las propiedades mostradas en la tabla 1 .
Las cargas que se aplicaron fueron las tomadas en varios ensayos de la mordi
da normal que están en el orden de 630 N en total, esta carga se aplicó en varios puntos del diente. El análisis se realizó en El software ALGOR®.
Modelamiento inicial
Figuro 4. Modelo inicio/ de lo dentina; 7 fluido entinorió, 2 Dentina Peritubular, 3 Dentina lntertubular. Fuente: el autor
Figura 5. Ensamble donde se muestro un modelo muy idealizado de la dentina, ordenados simétrica
mente. Fuente: al autor.
Luego de aplicar las cargos, el modelo arrojó los resultados mostrados en lo
figura 6, se noto lo simetría de los esfuerzos y cómo es un modelo ideal presen
to resultados ideales. Sin embargo, se observa como el fluido dentinorio se
deformo para soportar mejor los esfuerzos.
0,31
0,25
0.33
- INVESTIGACIÓN Y T ECNOLOGÍA /
Figura 6. Resultados de los análisis de Esfuerzos en un
modelo ideal de la dentina . A esfuerzos de Von mises, 8, C y D
esfuerzos cortantes en los direcciones perpendiculares.
Figura 7. Modelamiento del premolar utilizando el software So/id Edge®. Fuente: el Autor
1 ~
¡ g~~ d
r...,.
Estos imágenes muestran como la dentina soporta los esfuerzos; no obstante, el
análisis debe realizarse con un modelo que permito observar el conjunto del
diente soportondolos. Es por esto que el siguiente poso fue el de hacer un
modelo del diente en dos dimensiones, el modelo partió de las medidas rea les
de un diente premolar donde se caracterizó su perfil y se dibujó punto a punto,
en total fueron 65 puntos los que sirvieron para construir el modelo. Primero se
construyeron modelos tridimensionales para luego obtener el modelo bidimen
sional.
Lo figura 7 muestra el proceso de generación del sólido utilizando el software
Solid Edge®
De nuevo se aplicaron las cargas de 630 N, aplicados en 5 puntos. Se supuso
que el d iente estaba completamente restringido en donde se une con el hueso
de la mandíbula.
Luego de tener el diente en tres dimensiones se pasó a lo modeloción en dos
dimensiones, se le aplicaron las cargas y se hizo el análisis .
Los resultados se muestran en los figuro 9 .
Figura 8. Modelo del diente donde se muestra la aplicación de las cargas; 1 Esmalte, 2 Dentina. Fuente: el Autor
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Conclusiones
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Muchos de los conceptos de las propiedades biomecánicas de la dentina
han cambiado en los últimos años, y talvez la comprensión de cómo sopor
tan los esfuerzos las estructuras dentinarias se hace más fácil.
Las características propias de los dientes con una parte exterior muy dura como
lo es el esmalte, que está soportada sobre una más blanda la dentina, le da al
diente una buena combinación de propiedades que hace que soporte mejor
los esfuerzos y que la distribución de los mismos se haga más uniformemente.
No se tuvieron en cuenta algunas teorías sobre la viscoelastcidad de la den
tina, ni sobre los mecanismos de falla de esta estructura.
Para comprender mejor el compor-tamiento del d iente se debe generar un
modelo tridimensional como posible campo de investigación.
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Figura 9. Resultados de los
análisis; A Cortantes en XY,
B Cortantes XZ, C Cortante YZ,
D Esfuerzos Máximos Principales,
E Esfuerzos de Von mises,
F Esfuerzos Mínimos Principa les.
Fuente: el Autor
- f NVESTIGACIÓN
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Proporcionar al profesional los conceptos, metodologías, herramientas y normatividad que le permitan ejercer una adecuada planificación, organización, control y dirección de las actividades relacionadas con el medio ambiente. Se otorga certificado de" Auditor Interno en Sistemas de Gestión Ambiental ISO 14001" y" Auditor Interno en Sistemas de Gestión en Seguridad Industrial y Salud Ocupacional OHSAS 18001"
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