Modelo matemático de un yacimiento de aceite
Luis Alberto Vázquez Maison
Mayo 2009
Yacimiento de hidrocarburos
• Un yacimiento de aceite consiste de una región geológica dentro de la cual se encuentran atrapados hidrocarburos (líquidos o gases)
Los yacimientos pueden clasificarse en los siguientes casos:
• Homogéneos : Se considera un solo medio poroso (porosidad simple).
Presentan poca variación en permeabilidad y porosidad, son relativamente sencillos de simular.
• Fracturados : Existen al menos dos medios porosos (multiporosidad).
Presentan variaciones importantes en permeabilidad y porosidad del medio, la complejidad de su simulación depende entre otras cosas del numero de porosidades y permeabilidades consideradas
Yacimiento de hidrocarburos
Ley de conservación de masa
(Fluido en movimiento unidimensional)
in out ext am m m m
Cantidad de masa que entra en el espacio de medición
Cantidad de masa que sale del espacio de medición
Cantidad de masa que entra en el espacio de medición por medios externos
Cantidad de masa acumulada en el espacio de medición
inm
outm
extm
am
Ley de conservación de masa
(Fluido en movimiento unidimensional)
Flujo de masa a través de una unidad de área (Ax) durante un periodo de tiempo t
Masa contenida en una unidad de Volumen (V) al tiempo t
Masa total obtenida de fuentes externas durante el periodo de tiempo t
xm
vm
mq
1 02 2
x xx x x x m v vx x t tm A m A q t V m m
1 02 2
x xx xx x v vt t m
m m m m q
x t V
Ley de conservación de masa
(Fluido en movimiento unidimensional)
x v mm m q
x t V
Densidad del fluido Porosidad del medio Velocidad del flujo xu
x c xm u vm c Factor de conversión
Ecuación de flujo para un fluido simple
(Fase simple)
1x m
c c
u q
x t V
Factor de conversión
Ley de Darcyx c
ku
x
p Z con
Potencial del fluido
Presión del fluido
ProfundidadViscosidad del fluido
Permeabilidad
c
k
p
Z
Densidad relativa a la presión
Ecuación de flujo para un fluido simple
(Fase simple)
1 mc
c c
qk p Z
x x x t V
Considerando ahora un flujo en tres dimensiones
1
yx zc c c
m
c c
kk kp x p Z p Z
x x x y y y z z z
q
t V
1
y rox ro o oo c o o c
o o
o oz ro o moo c o
o c c
k kk k p px Z
x x x y y y
Sk k p qZ
z z z t V
Ecuación de flujo para fluido compuesto
(Multifase)
xc vc mcm m q
x t V
vc c cm S
c : Se refiere al componente del fluido (Aceite, Agua o Gas)
Para la ecuación de aceite (c=o)
Ecuaciones auxiliares
1o w gS S S
cow o wP p p
cog g oP p p
Son parámetros que dependen de la posición y pueden se calculados en forma independiente a la presión de aceite
,cog cowP P
El modelo de “Aceite Negro”
Aceite
Agua
Gas
,
1rw w w mwc o c ow w
w w c w c b
k S qp p Z
B t B V
11ro mo
c o o w go o c o c b
k qp Z S S
B t B V
Dependen de la presión de aceite
Dependen de las saturaciones
, , ,o g wB B B
, ,rg rw ro
Las variables a calcular
( , , )
dependen de la posición (x,y,z) y el tiempo (t)
wSgSoP
oP
wSgS
Un simulador de yacimientos es un paquete computacional que aproxima la solución del sistema y permite predecir el comportamiento global del yacimiento
,
11
rgro sc o o c o c go g
o o g g
w g sg mg
c g o c b
kk RA p Z A p p Z
B B
S S RS q
t B B V
oSistema de ecuaciones no lineales acopladas
oTres variables a determinar:
Presión (Parabólica)
Saturación de gas (Convección- Difusión )
Saturación de aceite (Hiperbólica)
El modelo de “Aceite Negro”
• El yacimiento se idealiza como un paralelepípedo subdividido por una malla cartesiana
Discretización de las ecuaciones
Discretización de las ecuaciones de flujo
La ecuación de aceite
Ov v
1
ro o ro oc x o c y o
o o o o
ro o o moc z o
o o c o c b
k p k pZ Z
x B x x y B y y
k p S qZ
z B z z t B V
Genéricamente los términos espaciales son de la forma
,
,
roO c x o
o o
ro oO c x
o o
kp
B
kZ
B
Para la dirección x
11ro mo
c o o w go o c o c b
k qp Z S S
B t B V
Discretización de las ecuaciones de flujo
La ecuación de aceite
Ov v
ro o ro oc x x o c y y o
o o o o
ro o b oc z z o o
o o c o
k p k pZ ZA A
x B x x y B y y
k p V SZA q
z B z z t B
Genéricamente los términos espaciales son de la forma
ro b oc o o osc
o o c o
k V SA p Z q
B t B
,
,
roO c x x o
o o
ro oO c x x
o o
kA p
B
kA Z
B
Para la dirección x
1 1, , , ,1, , , , , , 1, ,2 2
, ,, , 1 , , 1 , ,
, , , ,2 2
:O Oi j k i j ki j k i j k i j k i j k
O x O x i j ki j k i j k i j k
i j k i j kx x x x x x
La parcial en la dirección x puede aproximarse con el siguiente esquema, considerando el nodo (i,j,k) de la malla:
Expresiones análogas pueden determinarse para las direcciones y , z
Discretización de las ecuaciones de flujo
1
1 1
, , , , , ,, ,
1:
nn n nO
t O O Oi j k i j k i j ki j k
ff f f
t t
Para la parcial respecto al tiempo se usa un esquema “Backward”, en el nivel n+1 sobre el nodo (i,j,k)
donde ( , , , ) oO
o
Sf x y z t
B
11 1
, , , ,, ,
nn n
x Wx x y Wy y z Wz z t W wsci j k i j ki j kf q
11 1
, , , ,, ,
nn n
x Gx x y Gy y z Gz z t G gsci j k i j ki j kf q
( )WF
11 1
, , , ,, ,
nn n
x Ox x y Oy y z Oz z t O osci j k i j ki j kf q
La ecuación de aceite en diferencias toma la forma
Las ecuaciones de agua y gas toman expresiones similares
Discretización de las ecuaciones de flujo
( )GF
( )OF
Se tiene un sistema algebraico no lineal
La solución es aproximada por el método de Newton
F 0
, ,
w w w
o g w
o o o
o g w
g g g
o g w i j k
F F F
P S S
F F F
P S S
F F F
P S S
El jacobiano en el método de Newton
Cada bloque se relaciona directamente con otros 6 bloques y en cada uno deben calcularse las 3 variables involucradas
z
6
12
91413
1 2 3
25 26
15
27
37 38 39
49 50 51
Tomando una malla con dimensiones Nx,Ny,Nz y considerando que se deben calcular tres variables por celda, el número de incógnitas es de 3*Nx*Ny*Nz
Nx
Ny
Nz
El jacobiano en el método de Newton
El jacobiano en el método de Newton
Cada diagonal consta de submatrices de 3X3
En cada iteración de Newton se requiere la solución de un sistema lineal
En una simulación pueden aparecer varios cientos de sistemas lineales
Aproximadamente el 60% del costo computacional
n nnz K(A)
1120 13136 (1.0 %) 7 x 10^9
3500 55540 (0.4 %) 6 x 10^9
9604 286688 (0.3 %) 1 x 10^10
0 200 400 600 800 1000
0
200
400
600
800
1000
Características del sistema lineal
Ax=b
No es simétrica ni diagonal dominante
Dimensión de la malla: 120 X 96 X 18
Total de variables: 622080
Método de solución
-10 0 0 0( , ) { , ,..., }i
iK A r span r Ar A r
Subespacio de Krylov
0( , )i ix K A r
GMRES
BiGCStab
Precondicionamiento
Descomposición de dominio
Factorizaciones incompletas con reducción del ancho de banda
Descomposición del sistema lineal
Ideas a considerar
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