SISTEMAS DE RADIODETERMINACIÓNGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
● Cálculo de probabilidades
– Teoría de la decisión
– Probabilidades de error y criterio de decisión
• Criterio de máxima probabilidad y criterio de Neyman–Pearson
– Detección de un solo pulso
– Integración de pulsos
– Aplicación a blancos fijos
– Aplicación a blancos fluctuantes
– Integración binaria
● Técnicas CFAR
– Cell averaging CFAR
● Filtro adaptado
● Función ambigüedad
– Función ambigüedad de algunas señales básicas
Procesado de señal radar
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● Teoría de la decisión
M={m0, m1}; D={d0, d1};
evento(mensaje) señal
interferencia(ruido, clutter)
observador decisión
receptor
espacio deeventos
M
espacio deseñales
S
espacio deobservables
Z
espacio dedecisiones
D
regla de decisión
transición probabilísticap(z|s)
{ }…= = −, 0,1, , 1k
S s k K
{ }, 0,1, , 1kM m k K= = −…
( )∈
= ∈
0 0
1 1
si
si
d z Zd z
d z Z
Procesado de señal radar
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Procesado de señal radar
● Probabilidades de error y criterio de decisión
– Probabilidad de falsa alarma:
– Probabilidad de pérdida:
– No detección sin blanco:
– Probabilidad de detección:
( ) ( )1
1 0 0| |Z
P d m p z m dzα = = ∫
( ) ( )0
0 1 1| |
Z
P d m p z m dzβ = = ∫
( ) ( )0
0 0 0| |
Z
P d m p z m dz= ∫
( ) ( )1
1 1 1| |Z
P d m p z m dz= ∫
Evento
m0 m1
Decisiónd0 decisión correcta: 1–α error de segunda clase: β
d1 error de primera clase: α decisión correcta: 1–β
( ) ( )
( ) ( )0 0 1 0
0 1 1 1
| | 1
| | 1
P d m P d m
P d m P d m
+ =
+ =
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Procesado de señal radar
● Criterios de decisión (I)
– Criterio de máxima probabilidad
( )( ) ( )( ) ( )
0 0 1
1 0 1
si | |
si | |
d p z m p z md z
d p z m p z m
>=
<
p0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-4 -2 0 2 4
1.36
Z0
p(z|m1)
z
Z1Z1
p(z|m0)( )( )( )
1
0
|
|
p z mz
p z mΛ =
( )1
0
1
d
z
d
>Λ
<
( )
( )
2
2 2
/2
0
/2
1
1|
2
1| ; 1
2
z
z
p z m e
p z m eσ
π
σσ π
−
−
=
= ≥
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Procesado de señal radar
● Criterios de decisión (II)
– Criterio de Neyman–Pearson
( )1
0
d
z
d
λ>Λ
<
p0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-4 -2 0 2 4 6
0.674Z0 Z1
P(d1|m0)=Pfa=0.25P(d0|m1)=Ppérdida
=0.01
p(z|m0) p(z|m1)
( )
( )
2
2
/2
0
( 3) /2
1
1|
2
1|
2
z
z
p z m e
p z m e
π
π
−
− −
=
=
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Procesado de señal radar
filtropaso banda
detectorenvolvente
detectorumbral
t0
f
blancos
umbral
envolvente
tiempo
● Detección de un solo pulso (I)
– Estudio cualitativo: Relación Pd, Pfa y SNR
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Procesado de señal radar
● Detección de un solo pulso (II)
– Ruido gaussiano blanco:
• X(t) e Y(t) son variables aleatorias independientes con funciones
densidad de probabilidad de tipo gaussiana y varianza n0(t)
– Señal recibida: pulso de frecuencia ωc
– Suma de señal y ruido:
0( ) ( )cos ( )sinc cn t X t t Y t tω ω= +
2 2 2 2
0 0
1( ) ( ) ( ) ;
n nX t Y t n t N B Bβ
τ= = = = �
0
2 2
( ) cos( ) cos( ) sin( )
; arctan
c s c c
s
S t A t a t b t
bA a b
a
ω φ ω ω
φ
= − = +
= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 cos sen cosc c ce t n t S t a X t t b Y t t r t t tω ω ω φ = + = + + + = +
[ ] [ ]{ }1/2
2 2 ( )( ) ( ) ( ) ; ( ) arctan
( )
b Y tr t a X t b Y t t
a X tφ
+ = + + + = +
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Procesado de señal radar
● Detección de un solo pulso (III)
– Detector de envolvente:
– Función densidad de probabilidad conjunta:
• Cambio de variable:
1/22 2
1 1( ) ( ) ( )r t X t Y t = + 2 2 2 2
1 1( ) /2 ( ) /2
1 1 2 1
1 1( ) ; ( )
2 2
X a Y bp X e p Y e
β β
β π β π
− − − −= =
( ) ( )2 2
1 1
1 1 1 1 2 1 2 2
1( , ) ( ) ( ) exp
2 2
X a Y bp X Y p X p Y
πβ β
− − − −= =
1/21 2 2 11 1
1 1
cos; ; arctan
sen
X r Yr X Y
Y r X
φφ
φ
= = + = =
( )( )( )
1 1
1 1
,,
,
p X Yp r
J X Yφ = ( )
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1,
r r X Y
X Y r rJ X Y
Y X r
X Y r r
φ φ
∂ ∂
∂ ∂= = =
∂ ∂ −
∂ ∂
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● Detección de un solo pulso (IV)
– Función densidad de probabilidad de la envolvente:
( )2 2 2
2 2
2 cos 2 sen, exp
2 2
r r a b ra rbp r
φ φφ
πβ β
+ + − −= −
( ) ( )( )
( )2 22 2
2 2 2
0 0
, exp exp cos2 2
s
r Ar rAp r p r d d
π π
φ φ φ φ φπβ β β
− + = = −
∫ ∫
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
sen
0
0
1 0
1 1
1
2
2
x
n n n
I x e d
I x I x
nI x I x I x
x
πθ θ
π
+ −
=
′=
= −
∫
8.0
6.0
4.0
2.0
01.0 2.0 3.0 4.0
x
I0(x)
0
I1(x)
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● Detección de un solo pulso (V)
Pfa
VT/β r/β0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
A2/β2=16
A=0
Pd
2 2
02 2 2
( )( ) exp
2
r r A rAp r I
β β β
− +=
22
2 2 2exp exp
2 2T
Tfa
v
vr rP dr
β β β
∞ −−= =
∫
( )T
dv
P p r dr∞
= ∫
-15
20
15
10
5
0
-5
-10
0.01 0.1 0.5 0.9 0.99
10-14relación señal a ruido (dB)
probabilidad de detección
10-12
10-10
10-8
10-6
10-5
10-16
10-4
10-2
10-1
10-3
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● Integración de pulsos (I)
– Blancos fijos
filtro
paso banda
detector
cuadráticoamp muestreo umbral
1/τ
f
vout
vin
1/2β2
r2
τ
z zk y1
N
k
k
z=
∑
t t t
( )( )2 2
02 2 2exp
2
kk kk
r Ar r Ap r I
β β β
− + =
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Procesado de señal radar
● Integración de pulsos (II)
• Valor normalizado:
• Cambio de variable:
• Función densidad de probabilidad de la suma de variables aleatorias independientes:
“A Statistical Theory Of Target Detection By Pulsed Radar, Mathematical Appendix”
Marcum, J. I. 01 Jul 1948
kk
rx
β=
2
2p
AR
β=
( )( )
( )2
0exp2
k p
k k k p
x Rp x x I x R
− + =
21
2k k
z x= ( )( ) ( )0
exp 22
pk
k k k p
k
k
Rp xp z z I z R
z
x
= = − +
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )1 2
1
N
k N
k
y z p y p z p z p z=
= ⇒ = ∗ ∗ ∗∑ …
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● Integración de pulsos (III)
IN-1 es la función modificada de Bessel de primera clase y orden N-1
Procesado de señal radar
( )( 1)/2
1
2 1( ) exp 2
2
N
p N p
p
yp y y NR I NyR
NR
−
−
= − −
1
0 0( ) ; ( )
( 1)!pT
Ny
fa R Av
yP p y dy p y e
N
−∞
−
= == =
−∫
( )pT
d RvP p y dy
∞
= ∫
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● Integración de pulsos (IV)
– Blancos fluctuantes de tipo Swerling I
• No hay diferencias entre pulsos del mismo barrido
Procesado de señal radar
22 2
2 2 2 2
0 0
( ) 1 exp ( , )1 /
N
o
yp y f u v
NA NA NA
β β
β
− −
= + +
2 20 0
( , ) 1 ; ; 2! 1 /
kvu
k
u yf u v e u v N
k NAβ−
=
= − = = −+
∑
( )2
2 2
0 0
exp2
A Ap A
A A
−=
( )( 1)/2 1/2
2 2
12 2 2 2
2 2| exp
2
N
N
y NA NyAp y A y I
NA β β β
−
−
= − −
( ) ( ) ( ) ( ), |p y p y A dA p y A p A dA= =∫ ∫
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Procesado de señal radar
● Integración de pulsos (V)
– Blancos fluctuantes de tipo Swerling II
• Cada pulso ve un valor diferente de sección radar del blanco
1
2 2200
2
( ) exp1 /
1 ( 1)!
N
N
y yp y
AAN
β
β
− −=
+ + −
( )2
2 2
0 0
exp2
k kk
A Ap A
A A
−=
( )1/2
2 2
02 2
2| exp
2
k k kk k k
A z Ap z A z I
β β
= − −
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Procesado de señal radar
● Integración de pulsos (VI)
– Comparativa blancos Swerling I y II
0 40 80 120 160 200y
M=10
A02/β2=10
Swerling IISwerling I
1/5 p(y|A0=0)
0 40 80 120 160 200y
M=10
A02/ β2=10
ρ=1 ρ=0.9ρ=0.4
ρ=0
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Procesado de señal radar
● Integración binaria (I)
– La probabilidad de detección en un barrido es: Pd.
La probabilidad de no detectar el blanco en un barrido es: 1–Pd
La probabilidad de no detectar el blanco utilizando K barridos es: (1–Pd)K
La probabilidad de al menos una detección en K barridos es: Pcd=1–(1–Pd)K
• Ejemplo.- Probabilidad de detección requerida para obtener una
probabilidad de detección acumulada de 0.99
K 1 2 3 4 5 6 10 20 100
Pd 0.99 0.9 0.7846 0.6838 0.6019 0.5358 0.369 0.2057 0.045
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Procesado de señal radar
● Integración binaria (II)
– Hasta ahora:
• Pcd=1–(1–Pd)K
• Pcfa=1–(1–Pfa)K
Pfa crece cuando Pd crece
– Si al menos 2 barridos
consecutivos sobre un total
de 4 determinan la presencia
del blanco:
Si p=0.8, Pcd=0.896.
Si p=10–4, Pcfa=3·10–8.
BarridoProbabilidad Salida
4 3 2 1
0 0 0 0 (1–p)4 0
0 0 0 1 (1–p)3 p 0
0 0 1 0 (1–p)3 p 0
0 0 1 1 (1–p)2 p2 1
0 1 0 0 (1–p)3 p 0
0 1 0 1 (1–p)2 p2 0
0 1 1 0 (1–p)2 p2 1
0 1 1 1 (1–p) p3 1
1 0 0 0 (1–p)3 p 0
1 0 0 1 (1–p)2 p2 0
1 0 1 0 (1–p)2 p2 0
1 0 1 1 (1–p) p3 1
1 1 0 0 (1–p)2 p2 1
1 1 0 1 (1–p) p3 1
1 1 1 0 (1–p) p3 1
1 1 1 1 p4 1
( ) ( )2 2 3 4
3 1 4 1 p p p p p− + − +
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● Integración binaria (III)
– Sin importar si los barridos
son consecutivos o no:
Pfa decrece cuando Pd crece
( )1K
K rr
CD
r H
KP p p
r
−
=
= −
∑
Pc1/p
K=4
1.00.10.01P
0.001
0.01
0.1
1.0
10.0
Pc2/p
K=10
1.00.10.01P
0.001
0.01
0.1
1.0
10.0 Pc1/p
Pc2/p
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Procesado de señal radar
● Técnicas CFAR (Constant False Alarm Rate)
– Pfa muy sensible a los valores de ruido2
2exp
2
Tfa
vP
β
= −
( )2 2( ) /
( ) nomnom
fa faP P
β β=
2
2
( )
10log
nom
xβ
β=
100
10-1
102-
103-
104-
105-
106-
107-
108-
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
Pfa
incremento del nivel de ruido relativo al valor nominal (dB)
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Procesado de señal radar
● CA–CFAR (I)
– M celdas con muestras independientes y gaussianas (función densidad
de probabilidad de tipo Rayleigh)
señal de
entrada detector
cuadrático
celda bajo estudio
umbral
adaptativo
comparadordecisión
1 M/2
M/2+1 M
…
Σzk
ΣL R
y
α/M
…
Σzk
( )2
2 2exp
2
r rp r
β β
−=
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Procesado de señal radar
● CA–CFAR (II)
• Cambio de variable:
• Se detectará un solo pulso (no integración de pulsos ni
desplazamiento doppler). Se considerarán únicamente blancos
fluctuantes con función densidad de probabilidad de tipo Rayleigh
(modelos Swerling I y II)
• Función densidad de probabilidad de la señal más el ruido (o clutter)
para una sola celda (N=1):
2
22
rz
β= ( ) ( )expk kp z z= −
( )( )
1
1 1 !
MMy
k
k
yy z p y e
M
−−
=
= ⇒ =−
∑ Tz yM
α=
( )2
2 2
0 0
exp2
A Ap A
A A
−=
( )( ) ( )2 2 2 2
0 0
1exp
1 1
zp z
A Aβ β
− = + +
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Procesado de señal radar
● CA–CFAR (III)
– Probabilidad de detección condicionada
– Probabilidad de detección
– Probabilidad de falsa alarma dependiente de M y α pero independiente del ruido
( ) ( )| exp1
T
Td T
z
zP SNR z p z dz
SNR
∞−
= = +
∫
( ) ( ) ( )0
|d d T
y
P SNR P SNR z p y dy
∞
=
= ∫
( )( ) ( )
( )1
0
exp 1 , ,1 !1 1
M
M y
d d
y
y M y eP SNR dy P SNR M
MSNR M SNR
α αα
−∞ − −
=
− = = + = −+ +
∫
( ), 1
M
faP M
M
αα
−
= +
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Filtro adaptado y función ambigüedad
● Filtro adaptado (I)
– Maximizar la relación señal a ruido
• Entrada:
• Ruido:
• Salida del filtro:
• Relación a maximizar:
( ) ( ) ( ) π∞ ∞
−
−∞ −∞
= =∫ ∫2 2
; j ft
E s t dt S f s t e dt
( ) ( ) ( ) π∞
−∞
= ∫2
2 2j ft
outs t S f H f e df
( )∞
−∞
= ∫2
0
2f
NN H df
( )( ) ( )
( )
π∞
−∞
∞
−∞
= =∫
∫
2
22
max
20
2
Mj ft
out
S f H f e dfs t
RN N
H f df
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Filtro adaptado y función ambigüedad
● Filtro adaptado (II)
– Desigualdad de Schwartz:
– En nuestro caso:
– Entonces:
– Teorema de Parseval:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ ≥∫ ∫ ∫ 2
* * * P x P x dx Q x Q x dx P x Q x dx
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
π π−= =
=
⇒2 2* *M Mj ft j ftP x S f e P x S f e
Q x H f
( ) ( )
( )
( )∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞∞
−∞
⋅
≤ =∫ ∫ ∫
∫
2 2 2
2 00
22
H f df S f df S f df
RNN
H f df
( ) ( )∞ ∞
−∞ −∞
= ⇒ =∫ ∫2 2
E s t dt E S f df ≤0
2ER
N
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Filtro adaptado y función ambigüedad
● Filtro adaptado (III)
– La igualdad se da cuando P(x)=kQ(x)
– Respuesta impulsiva del filtro
( ) ( ) π−= 2* Mj ftH f kS ef
( ) ( ) ( ) ( ) ( )π π∞
− − −∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫*
2 2* M Mj f t t j f t th t k S f e df k S f e df
( ) ( ) ( ) ( )π∞
−∞
= ⇒ = −∫2 *j ft
Ms t S f e df h t ks t t
( ) ( ) ( ) ( )ξ ξ ξ∞
−∞
∗ = −∫x t y t x y t d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
= ∗ = − = − +
= − − = −
∫ ∫
∫
*
*
out M
M s M
s t s t h t s h t d s s t t d
k s s t t d kR t t
k
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Filtro adaptado y función ambigüedad
● Filtro adaptado (IV)
– Ejemplo
– Si tM=T0:
( )( )
( ) ( )
( )
− ≤ ≤
=
= − + − ≤ ≤
= − ≤
0 0
0
0 0
0
2
0 02
0
; 0
0 otro caso
;
;2 3
M M M
out
AT t t T
Ts t
kAh t T t t t T t t
T
kAt ts t T t T
T
s(t)
A
T0
t
h(t)
kA
T0
t
sout(t)
kA2T02/3
T0
t
2T0
2T0
2T0
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Filtro adaptado y función ambigüedad
● Función ambigüedad
– Propiedades:
•
•
•
•
( ) ( ) ( ) ( ) πνχ ξ ν ξ ν ξ∞
−∞
= = −∫2 2 2
; ; *j t
outs s t s t e dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ χ= = ≤
2 22 22max ; 0;0 2 ; ; 0;0
d d d dt f E t f
( ) ( )χ χ= − −2 2
; ;d d d dt f t f
( ) ( )χ∞ ∞
−∞ −∞
=∫ ∫2 2
; 2d d d d
t f dt df E
( ) ( )π χ⇒ +2 2
;j kt
dd dts t e f kt
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Filtro adaptado y función ambigüedad
● Función ambigüedad de un pulso rectangular
retraso (segundos)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
|χ(td;0)|
-2 -1 0 1 2
frecuencia (Hz)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
|χ(0;fd)|
-2 -1 0 1 2
|χ(td;fd)|2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
( )( )
( )π τ
χτ π τ
τ
− = − −
=
2 sin; 1
2 segundos
d dd
d d
d d
f ttt f
f t
SISTEMAS DE RADIODETERMINACIÓNGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Filtro adaptado y función ambigüedad
● Función ambigüedad de un pulso rectangular LFM
|χ(td;fd)|2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
retraso (segundos)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
|χ(td;0)|
-1 -0.5 0 0.5 1
frecuencia (Hz)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
|χ(0;fd)|
-10 -5 0 5 10
( )( )( )
( )( )π τ
χτ π τ
τ
+ − = − + −
=
2 sin; 1
1 segundo; =10 Hz
d d dd
d d
d d d
f kt ttt f
f kt t
k
SISTEMAS DE RADIODETERMINACIÓNGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Procesado de señal radar
● Conclusiones (I)
– Diferentes funciones densidad de probabilidad para determinar la
existencia de un blanco en presencia del ruido
– Probabilidad de falsa alarma: integración de la función densidad de
probabilidad que describe el ruido desde un valor umbral hasta infinito
– Probabilidad de detección: integral entre los mismos límites de la
función densidad de probabilidad del ruido cuando existe un blanco
– Existen diversas técnicas para facilitar el proceso de detección de un
blanco: integración de pulsos, integración binaria, etc
– Las técnicas CFAR permiten mantener un valor constante de la
probabilidad de falsa alarma haciendo un promediado (adaptativo) del
nivel real de ruido. Solamente se debe incluir en sistemas radar en los
que sea crítico mantener una determinada probabilidad de falsa alarma
SISTEMAS DE RADIODETERMINACIÓNGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación
Procesado de señal radar
● Conclusiones (II)
– Filtro adaptado / Función ambigüedad: Es un estudio que debe hacerse
en el proceso de diseño del sistema radar. Se debe conocer como será la
señal recibida ya que determina la resolución en distancia y velocidad del
sistema
– Una buena función ambigüedad tendrá un lóbulo principal estrecho en
ambas direcciones (temporal y frecuencial). Si es necesario se recurre a
técnicas de compresión de pulsos
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