MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS En el mundo de la economía, la biología, la física y el cálculo, las funciones trigonométricas son necesarias para rescribir una expresión matemática complicada de manera sencilla. Esto se logra a través de expresiones trigonométricas que al hacer sus respectivas transformaciones se constituyen en identidades trigonométricas. Teniendo en cuenta que como cualquier otra rama de las matemáticas, la trigonometría no es el fruto de la inteligencia de un solo hombre, ni siquiera de una sola civilización, actualmente reconocemos que las identidades trigonométricas se remontan a la época de la civilización griega, desde el inicio de la trigonometría. Los primeros trabajos de los que se tienen referencia son de Hiparco, Mendao y Ptolomeo. Hacia el siglo II antes de Cristo Hiparco trabajó algunos tipos de identidades similares a la identidad pitagórica Sen²θ + Cos² θ = 1. Ptolomeo, en su magnífica y más importante obra sobre trigonometría de la antigüedad, llamada Almagesto, que en árabe significa el más grande, se destaca, entre otro, el teorema de Ptolomeno dl cual hay un caso especial que conduce a las identidades de suma y resta de los ángulos par el seno y el coseno y la fórmula equivalente a la identidad de seno de la mitad de un ángulo. Tiempo después en el siglo XVI, el francés Francois Viché obtuvo en forma algebraica varias de las identidades trigonométricas conocidas hoy. En el siglo XVIII, Leonhard Euler relacionó las funciones trigonométricas con los números complejos asociando a cada número complejo una expresión trigonométrica denominada forma polar.
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IGUALDADES E IDENTIDADES. DIFERENCIAS Y SEMEJANZAS. Recordemos que una igualdad es el enunciado en que dos cantidades o expresiones son iguales. Cuando en la igualdad existe una o más variables se denomina ecuación y para hallar su solución, se puede realizar operaciones simultáneas a cada lado de la igualdad. Una igualdad que siempre se cumple, se llama identidad. Así pues la igualdad a + b = b + a, se satisface para todos los elementos de un universo, es una característica que corresponde a las igualdades que se llaman identidades. Veamos algunos ejemplos que muestran con claridad identidades algebraicas. Ejemplo 1:
(a + b)² = a² + ab + as + b²) (a + b)² = a² + 2ab + b²
Ejemplo 2:
(a – b)² = a² - 2ab + b² Ejemplo 3:
a² - b² = (a + b) (a – b) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son identidades? (Reemplaza la variable por cualquier número)
* (3x – 2)² = 9x² - 12x + 4 * (2x – 3)² =4x² + 9
* (x² - 4) = (x – 2) (x + 4)
Hay dos tipos de igualdades: una se llaman ecuaciones, las cuales se satisfacen con ciertos valores de la incógnita. Y otras son las identidades, expresiones que se satisfacen con todo valor de la incógnita.
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Las identidades en las que se establecen relaciones entre las funciones trigonométricas se denominan identidades trigonométricas.
Un ejemplo de identidad trigonométrica es Tan x = xCos
x Sen porque
se satisface para todo valor x. La igualdad 3 Sen x = Sen 3x se satisface para infinitos valores de x. Por ejemplo para x = 0; x = π, x = 4π, x = - 4π. Sin embargo no es una identidad trigonométrica porque existen valores de x para
los cuales la igualdad no se cumple, por ejemplo para x = 4
π.
Compara las graficas de las dos funciones usando DERIVE.
3 Sen(x) = Sen(3x)
3 Sen(4
π) = Sen(
4
3π)
3 . 2
1 =
2
1
2
3 ≠
2
1
Para demostrar identidades no se realizan operaciones simultáneas a cada lado de la igualdad, como si fueran ecuaciones, se debe verificar que las expresiones relacionadas mediante la igualdad son equivalentes, transformando un miembro de la igualdad por medio de las identidades conocidas, hasta llegar a encontrar una expresión equivalente y conocida del otro miembro de la igualdad.
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IDENTIDADES FUNDAMENTALES Algunas identidades trigonométricas se determinan a partir de relaciones básicas, las cuales son empleadas para transformar algunas expresiones en otras expresiones equivalentes, que facilitan las operaciones, por lo que se denomina identidades trigonométricas fundamentales. Son ellas las identidades de cociente, recíprocas, pitagóricas y las par e impar. Veamos: 1. Identidades de cociente Estas identidades se deducen a partir de las definiciones mediante razones trigonométricas:
Sen θ = r
y � Sen θ = y
Cos θ = r
x � Cos θ = x
entonces, tg θ = θθ Cos
Sen , ctg θ =
θθ
Sen
Cos
2. Identidades recíprocas o inversas Por definición tenemos:
Sen θ = r
y y Csc α =
y
r si y ≠ 0 (ver figura 1)
Por consiguiente si Sen θ ≠ 0 entonces:
Sen θ = θ Csc
1 y Csc θ =
θSen
1 por lo tanto Sen θ . Csc θ = 1
Las identidades trigonométricas fundamentales son empleadas para transformar algunas expresiones en otras expresiones equivalentes que facilitan las operaciones.
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Figura 1
Figura 2
Así pues, si Cos θ ≠ 0, entonces
Cos θ = θ Sec
1 y Sec θ
θ Cos
1, por lo tanto Cos θ . Sec θ = 1
y si tg θ ≠ 0, obtendremos que:
tg θ = θ Ctg
1 y Ctg θ =
θ tg
1, por consiguiente tg θ . Ctg θ = 1
3. Identidades Pitagóricas
Como su nombre lo indica estas identidades se deducen de la aplicación del Teorema de Pitágoras con un ángulo θ en posición normal inscrito en una circunferencia unitaria. Del triángulo rectángulo OAB, Figura 1, tenemos por Pitágoras que x² + y² = r²; por definición tenemos que Sen θ = y, y Cos θ = x; por lo tanto:
Sen² θ + Cos² θ = 1 para todo θ Así pues, Sen² θ = 1 – Cos² θ y Cos² θ = 1 – Sen² θ a En la figura 2, observamos geométricamente que al aplicar el teorema el Pitágoras en el triángulo OCD tenemos: OD² ² ² += CDOC . donde OC corresponde a la línea trigonométrica que representa Sec θ, CD corresponde a la línea trigonométrica que representa tg θ y OD = 1.
Así pues, Sec² θ = tg² θ + 1 esta identidad se satisface para todo θ ≠ 2
π
(2k + 1), k ∈ ZZ, porque las funciones secante y tangente no están definidas para los múltiplos impares de 90º.
Identidades fundamentales Pitagóricas Recíprocas Por cociente
Sen² θ + Cos² θ = 1 Sen θ = θ Csc
1 tg θ =
θθ Cos
Sen
Sec² θ = t² θ + 1 Cos θ = θSen
1 Ctg θ =
θθ
Sen
osC
Csc² θ = Ctg² θ + 1 tg θ = θ Ctg
1
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Figura 3
Demostremos la anterior identidad partiendo de la identidad pitagórica fundamental:
Sen² θ + Cos² θ = 1
Si Cos θ ≠ 0, podemos dividir a ambos lados entre Cos² θ y obtenemos:
θ=
θθ+
θθ
Cos²
1
Cos²
Cos²
Cos²
Sen²
Simplificando θ
=+θθ
Cos²
11
Cos²
Sen²
Luego tg² θ + 1 = Sec² θ Observemos a partir de la figura 3, que geométricamente para el ángulo θ, OF = Csc θ y EF = Ctg θ, y al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo OEF obtenemos:
OF² = EF² + OE²
Como OE² = 1, luego Csc² θ = Ctg² θ + 1 esta identidad se cumple para todo θ ≠ kπ, k ∈ ZZ, porque las funciones cosecante y cotangente no están definidas por los múltiplos de 180º. A partir de la identidad pitagórica fundamental demuestra la identidad Csc² θ = Ctg² θ + 1
CUADRO DE RESUMEN DE LAS OCHO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
1. Sen x Csc x = 1 ↔ Csx x = 1/Sen x ↔ Sen x = 1/Csc x, x ≠ kπ, k ∈ ZZ, 2. Cos x Sec x = 1 ↔ Sex x = 1/Cos x ↔ Cos x = 1/Sec x, x ≠ π/2, k ∈ ZZ, 3. tg x Ctg x = 1 ↔ Ctg x = 1/tg x ↔ tg x = 1/Ctg x, x ≠ π/2 4. tg x = Sen x/Cos x, x ≠ π/2 + kπ 5. Ctg x = Cos x/Sen x, x ≠ π/2 6. Sen² x + Cos² x = 1 ↔ Sen² x = 1 – Cos² x ↔ Cos² x = 1 – Sen² x 7. 1+tg²x = Sec²x ↔ tg²x = Sec²x–1 ↔ Sec²x–tg²x = 1, x≠π/2+kπ, k ∈ ZZ, 8. 1+Ctg²x = Csc²x ↔ Ctg²x = Csc²x–1 ↔ Csc²x–Ctg²x = 1,x≠kπ, k ∈ ZZ,
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Aplicar las identidades pitagóricas y simplificar las siguientes expresiones: 1) (1 – Cos α) (1 + Cos α) 2) (Sen θ + Cos θ)² + (Sen θ - Cos θ)²
3) ββββ Ctg² Sec²
Csc² ²tg
Escribir la expresión dada en términos del seno o del coseno: 4) Ctg² θ Sec θ en términos de Cos θ
5) r tg²
r Sen³ en términos de Sen r
6) β
ββ Csc²
Ctg² - Sec² en términos de Cos β
Verificar o comprobar la identidad:
7) αα+
αα
Cos
Sen
Csc
Sec = 2 tg α
8) tg β Cot β - Cos² β = Sen² β 9) (Sec θ + tg θ) (Sec θ - tg θ) = 1 10) Sec α (Ctg α + tg α) = Sec α 11) (1 ≠ tg² β) (1 – Sen²β) = 1
12) Sen x - 1
xCos
xCos
Sen x - 1 + = 2 Sec x
13) (Csc y – 1) (Csc y + 1) = Ctg² y
14) 1 Sec tg
1 Sec tg
+α−α−α+α
= tg α + Sec α
15) tg² x Cos² x + Ctg² x Sen² = 1 16) Sen α + Cos α Ctg α = Csc α 17) (Sec µ - tg µ) (Csc µ + 1) = Ctg µ
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18) β−
β Sen1
Cos = Sec β + tg β
19) Sec 4θ - tg 4θ = θ
θ+ ²Cos
²Sen1
20) β−
β+β−β
Ctg1
Sen
tg1
Cos = Sen β + Cos β
Demuestre que la ecuación no es una identidad. (Recomendación: halla un número del dominio de x o α para el que la ecuación sea falsa).
21) Cos x = x²Sen1− 22) (Sen α + Cos α)² - Sen² α + Cos² α 23) Cos f(x) = - Cos x 24) Sen (x + π) = Sen x
25) α+α Cos² ²Sen = Sen α + Cos α
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T.13 COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES Para la comprobación o verificación de las identidades trigonométricas no existe un método único, pero podemos recomendar algunos pasos que puedes tomar según sea el caso: 1. Dominar con precisión las ocho identidades fundamentales. 2. Escoger el lado de la identidad que se encuentra expresada de forma
más complicada, para transformarlo a la forma más sencilla del otro, empleando las identidades fundamentales.
3. Reescribir sumas o diferencias de cocientes como un solo cociente. 4. Para algunos ejercicios es conveniente reescribir un miembro de la
identidad en términos de solo senos y/o cosenos. 5. No olvidar el objetivo, es decir, la expresión a la que se quiere
llegar. 6. Es importante recordar no tratar las identidades como si fueran
ecuaciones, pues no se puede aplicar propiedad uniforme, es decir, sumar a ambos lados de la igualdad y obtener un enunciado verdadero pues el enunciado original es el que se está tratando de verificar.
Ejemplo 1: Verificar que α=αα
²tg ²Cos
Cos² - 1
Solución: 1
Separar la diferencia α=αα−
α²tg
Cos²
Cos²
Cos²
1
Simplificar 2
Cos
1
α - 1 = tg² α
Por identidad fundamental recíproca Sec² α - 1 = tg² α Por identidad pitagórica tg² α = tg² α
¿Donde está el error?
• 1 + Sen² θ = Cos² α
• βθ Cos² - Cos² = Cos θ - Cos β
• β
=
βα
Cos²
A Cos
Cos
Cos2
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Ejemplo 2:
Demostrar que θ+
θ+θ Cos1
tgSen = tg θ y verificar la identidad para
4
π.
Dejar en función de seno: θ+
θθ+θ
Cos 1 Cos
SenSen
= tg θ
Sumar fracciones: θ+
θθ+θθ
Cos 1 Cos
Sen Cos Sen
= tg θ
Factorizar θ+
θ+θθ
Cos 1 Cos
)1 (Cos Sen
= tg θ
Por propiedad fundamental de las proporciones
1) (Cos Cos
1) (Cos Sen
+θθ+θθ
= tg θ
Simplificando θθ Cos
Sen = tg θ
Por lo cual tg θ = tg θ Ejemplo 3:
Expresar la expresión α−α
²Sen
1 Sec²en términos de Cos α y simplificar.
Solución:
α
α=α−α
Sen²
²tg
²Sen
1 Sec²
= α
αα
²Sen
Cos
Sen 2
α
= αα
α Sen²
1
Cos²
Sen²
así; α
=α−α
Cos²
1
Sen²
1 Sen²
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Ejemplo 4:
Comprobar la identidad α
α++α+
α Sen
Cos 1
Cos 1
Sen = 2 Csc α
Sumar las fracciones )(Sen ) Cos1(
)² Cos (1 Sen²
αα+α++α
= 2 Csc α
Resolver el cuadrado de la suma )(Sen ) Cos1(
Cos² Cos 2 1 Sen²
αα+α+α++α
= 2 Csc α
Por asociación )(Sen ) Cos1(
Cos 21 ) Cos² (Sen²
αα+α++α+α
= 2 Csc α
Luego )(Sen ) Cos (1
Cos 22
αα+α+
= 2 Csc α
Factorizar )(Sen ) Cos (1
) Cos (1 2
αα+α+
= 2 Csc α
Por lo tanto α Sen
2 = 2 Csc α
Así se verifica que 2 Csc α = 2 Csc α Ejemplo 5:
Demostrar que θ+
θ+θ Cos1
tg Sen = tg θ y verificar la identidad para
4
π.
Solución:
Por identidad fundamental θ+
θθ+θ
Cos 1 Cos
SenSen
= tg θ
Sumar de fracciones: θ+
θθ+θθ
Cos 1 Cos
Sen Cos Sen
= tg θ
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Factorizar Sen θ θ+
θ+θθ
Cos 1 Cos
)1 (Cos Sen
= tg θ
Aplicar teorema fundamental de las proporciones
1) (Cos Cos
1) (Cos Sen
+θθ+θθ
= tg θ
Simplificar: tg θ = tg θ
Verificar que se cumple la identidad para θ = 4
π.
4
tg
4Cos1
4tg
4Sen π=π+
π+π
1
2
41
12
2
=+
+
1 = 1
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 13
Ejemplo 6: Existen identidades que para su comprobación es necesario transformar cada lado de la ecuación en la misma expresión.
Comprobar la identidad (tg β - Sec β)² = β+β−
Sen1
Sen1
Transformar primero el lado izquierdo:
(tg β - Secβ)² = β+β−
Sen1
Sen1
Solucionar el cuadrado de la diferencia
tg² β - 2 tg β · Sec β + Sec² β = β+β−
Sen1
Sen1
Reemplazar por identidades fundamentales
β+β−=
β+
β
ββ−
ββ
Sen1
Sen1
Cos
1
Cos
1
Cos
Sen2
Cos
Sen22
Por expresiones equivalentes
β+β−=
β+
ββ−
ββ
Sen1
Sen1
²Cos
1
Cos²
Sen 2
²Cos
²Sen
Sumar fracciones β+β−=
β+ββ
Sen1
Sen1
²Cos
1 Sen 2 - Sen²
Al analizar la expresión encontrada en el miembro izquierdo no podemos llegar a la expresión del miembro derecho, entonces se trabaja con el derecho hasta llegar a la expresión de la izquierda, entonces:
β+β−=
β+ββ
Sen1
Sen1
²Cos
1 Sen 2 - Sen² ·
β−β−
Sen1
Sen1
β−β+β−=
β+ββ
²Sen1
²SenSen 21
²Cos
1 Sen 2 - Sen²
β+β−β=
β+ββ
²Cos
1 Sen 2²Sen
²Cos
1 Sen 2 - Sen²
Así pues, como todos los pasos son reversibles, la ecuación es una identidad.
aplicar conjugada del denominador
producto de fracciones establecer diferencia de cuadrados
reemplazar identidad pitagórica
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T. 11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Comprobemos si la siguiente expresión es verdadera.
Sen 30º + Sen 60º = Sen 90º
Reemplacemos sus valores: 2
3
2
1 + = 1
Suma de fracciones 2
31+ = 1
Cociente 2
7.2 = 1
Desigualdad � 1.35 ≠ 1 Entonces concluimos que la expresión inicial es falsa y que:
Sen α + Sen β ≠ Sen (α + β)
Por lo cual deduciremos geométricamente las fórmulas de las identidades trigonométricas para la suma y la diferencia. Veamos:
1. Identidades de suma y diferencia de ángulos para senos
Dados los ángulos α y β en posición normal F un punto en el lado final de α + β y H un punto en el lado final de α. _____ _____ _____ _____
Observemos en la figura 1, FG ⊥ OI y FH ⊥ OH; por lo tanto < HFG es congruente con < HOI. ___ ____ ____ ____
Además tenemos que JG = HI y JH = GI Así, decimos que:
Sen (α + β) = FO
IH
FO
JF
FO
GJ
FO
JF
FO
GJJF
FO
GF +=+=+=
= FO
HO
HO
IH
FO
HF
FO
JF
FO
HO
FO
IH
HF
HF
FO
GF •+•=•+•
= Cos α Sen β + Sen α Cos β = Sen α Cos β + Cos α · Sen β
entonces: Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β. Figura 1
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La identidad para el seno de la diferencia de ángulos se puede deducir a partir de la identidad para la sumas así:: como la función senos es impar, entonces, Sen (-α) = - Sen α y como la función coseno es par, luego tenemos que Cos (-α) = Cos α. Por consiguiente Sen (α - β) = Sen [α + (-β) ] = Sen α Cos (-β) + Cos α Sen (-β) = Sen α Cos β + Cos α (- Sen β) = Sen α Cos β - Cos α Sen β
Concluimos que: Sen (α - β) = Sen α Cos β - Cos α Sen β
Ejemplo 1:
Encontrar el valor exacto de Sen
π12
5 expresando el ángulo como la
suma de otros dos ángulos.
Solución:
Sen
π+π=
π+π=π46
Sen 12
3
12
2Sen
12
5
Aplicar la fórmula de suma de seno
= Sen 4
Sen 6
Cos4
Cos 6
ππ+ππ
Reemplazar valores = 2
2
2
3
2
2
2
1 •+•
Efectuar productos = 4
6
4
2 +
Efectuar suma de fracciones = 4
62 +
Respuesta = )62(4
1 +
Ejemplo 2: Encontrar el valor exacto de Sen 150º expresando el ángulo como la diferencia de otros dos. Solución: Sen 150º = Sen (180º - 30º) = Sen 180º Cos 30º - Cos 180º · Sen 30º
= 0 . 2
1).1(
2
3 −−
= 2
1
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2. Identidades de suma y diferencia de ángulos para cosenos: con base en la figura 1 podemos afirmar que:
Cos (α + β) = FO
HJ
FO
IO
FO
IG
FO
IO
FO
IGIO
FO
GO −=−=−=
= FO
HF
HF
HJ
FO
HO
HO
IO
HF
HF
FO
HJ
HO
HO
FO
IO •−•=•−•
= Cos α Sen β - Sen α • Sen β Es decir: Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β. A partir de la identidad de suma de ángulos para coseno deduciremos la diferencia de coseno: Cos (α - β) = Cos [α + (-β)] = Cos α Cos (-β) - Sen α Sen (-β)
Como Cos (-β) = Cos β y, y, Sen (-β) = – Senβ, entonces: Cos (α - β) = Cos α Cos β - Sen α (-Sen β) Finalmente: Cos (α - β) = Cos α Cos β Sen α Sen β Ejemplo 3: Encontrar el valor exacto de Cos 135º expresándolo como la suma de otros dos ángulos. Solución: Cos 135º = Cos (90º + 45º) = Cos 90º Cos 45º - Sen 90º · Sen 45º
= 0 . 2
2 - 0
2
2.1
2
2 =−
Respuesta Cos 135º = 2
2−
Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β Sen (α - β) = Sen α Cos β - Cos α Sen β Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β Cos (α - β) = Cos α Cos β + Sen α Sen β
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 17
Ejemplo 4: Hallar el valor exacto de Cos 15º expresando 15º = 60º - 45º. Solución: Cos 15º = Cos (60º - 45º) = Cos 60º Cos 45º + Sen 60º Sen 45º
= 2
1
2
2
2
3
2
2 +
= 4
62 +
Respuesta Cos (60º - 45º) = )62(4
1 +
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3. Identidades de suma y diferencia de ángulos para tangentes: con
base en la identidad tg θθθθ = θθ Cos
Sen y las identidades de suma de
ángulos para Sen y Cos obtendremos la fórmula para tg (αααα + ββββ).
tg (α + β) = )( Cos
)(Sen
β+αβ+α
= βαβαβα+βα
Sen Sen - Cos Cos
Sen Cos Cos Sen
=
βαβα
βαβαβα+βα
Cos Cos
Cos CosSen Sen - Cos Cos
Sen Cos Cos Sen
Dividir por 1 = βαβα Cos Cos
Cos Cos
=
βαβα−βα
βαβα+βα
Cos Cos
Sen Sen Cos Cos Cos Cos
Sen Cos Cos Sen
=
βαβα−
βαβα
βαβα+
βαβα
Cos Cos
Sen Sen
Cos Cos
Cos CosSen Cos
Sen Cos
Cos Cos
Cos Sen
=
βαβα−
ββ+
αα
Cos Cos
Sen Sen 1
Sen
Sen
Cos
Sen
Reemplazar por identidad fundamental
βαβα
. tg-1
β tg α tg)(
tgtg
+=+
Así pues para deducir la fórmula de la diferencia de ángulos para la tangente partiremos de la fórmula para la suma tg (α + β), veamos:
tg (α - β) = tg (α + (- β)) = )(- tg· tg- 1
)(- tg tg
βαβ+α
, luego,
Aplicar propiedad fundamental de las proporciones.
Separar adición y sustracción de fracciones y simplificar.
Identidad de suma de ángulos para tangente.
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 19
βαβαβα tg· tg 1
tg tg)( tg
+−=−
Ejemplo 5:
Verificar la identidad tg ( α - 4
π) =
1 tg
1 - tg
+αα
Solución: Reemplazar por identidad de una diferencia para tangente:
tg ( α - 4
π) =
4 tg tg1
4 tg- tg
πα+
πα
Como tg 4
π = 1, entonces tg ( α -
4
π) =
1 tg1
1 - tg
•α+α
así pues, tg ( α - 4
π) =
1 tg
1 - tg
+αα
Ejemplo 6: Verificar que tg (π + θ) = tg θ Solución:
tg (π + θ) = θπ−θ+π tg tg1
tg tg
tg (π + θ) = θ−θ+θ tg 01
tg
así, tg (π + θ) = tg θ
¡IMPORTANTE! Solo se puede aplicar las fórmulas de suma y diferencia de ángulos para la tangente, en ángulos α y β para los que la tg α y tg β están definidos, es decir, para todos los ángulos excepto los
múltiplos de 4
π.
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T. 13 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 1. Identidades para ángulos dobles Con base en las identidades de la suma de ángulos para seno y coseno, Sen (α + β) y Cos (α + β), hagamos α = β = θ. Por consiguiente Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β Sen (θ + θ) = Sen θ Cos θ + Cos θ Sen θ Sen 2θ = 2 Sen θ Cos θ (1)
Altura Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β Cos (θ + θ) = Cos θ Cos θ - Sen θ Cos θ Cos 2θ = Cos² θ - Sen² θ (2)
Con base en la identidad pitagórica Sen² θ + Cos² θ = 1, podemos escribir otras fórmulas para Cos 2θ, veamos: Cos 2θ = Cos² θ - Sen² θ = Cos 2θ = (1 – Cos² θ) – Sen² θ Cos 2θ = 1 – 2 Sen² θ (3) Además, Cos 2θ = Cos² θ - Sen² θ = Cos 2θ = Cos² θ - (1 – Cos² θ) = Cos 2θ = 2 Cos² θ - 1 (4) Para hallar la identidad que expresa tg 2θ en términos de tg θ tomamos la fórmula de la tangente de la suma:
tg (α + β) = βαβ+α tg tg-1
tg tg si hacemos α = β = θ
tenemos:
tg (θ + θ) θθθ+θ tg tg- 1
tg tg
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por lo tanto:
θ
θ=θ
tg²- 1
tg22 tg (5)
Es importante tener en cuenta otras fórmulas de ángulos dobles que se derivan de las identidades (3) y (4). Así pues, despejando Sen² θ de la fórmula (3) tenemos: Cos 2θ = 1 – 2 Sen² θ 2 Sen² θ = 1 – Cos 2θ
entonces, 2
2 Cos - 1 ²Sen
θ=θ (6)
De igual manera despejando Cos² θ de la fórmula (4) tenemos: Cos 2θ = 2 Cos² θ - 1 2 Cos² θ = 1 + Cos 2θ
entonces, 2
2 Cos - 1 ²Cos
θ=θ (7)
Con estas últimas identidades (6) y (7) sirven para expresar una fórmula de tg² θ así:
tg² θ =
2
2 Cos 12
2 Cos - 1
Cos²
Sen²
/θ+
/θ
=θθ
luego, θ+θ=θ
2 Cos 1
2 Cos - 1 ²tg (8)
¡IMPORTANTE! La identidad de tg 2θ = θ
θ tg²- 1
tg2, no es válida para los θ
4
1π +
4
1kπ, donde k es un
entero, pues para estos casos el denominador sería cero, tampoco es válida para θ 2
πkπ , porque tg θ es
indeterminado para estos valores.
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 22
Ejemplo 1:
Si Sen β = 5
4 halla los valores exactos de A) Sen 2β y b) Cos 2β.
Solución: Se sustituye en las fórmulas de ángulo doble: a) Sen 2β = 2 Sen β Cos β
= 2
5
3,
5
4
= 25
24
b) Cos 2β = Cos² β - Sen² β
= =
−
22
5
4
5
3
= 25
16
25
9 −
= 25
7−
Ejemplo 2: Determinar una identidad para tg 4β en términos de tg β. Solución: Con base en la identidad de la tangente de una medida doble con θ = 2β tendríamos:
tg 2 (β) = β
β2 tg²- 1
2 tg2
al lado izquierdo aplicamos la identidad de la tg con argumento doble con θ = β, así pues:
tg 4β =
ββ−
ββ
tg²- 1
tg21
2 tg²- 1
2 tg22
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 23
=
)² tg²- (1
tg²4 - )² tg²- (1 tg²- 1
tg4
βββ
ββ
=
ββ−β+β
β
βββ
)² tg²- (1
tg²4 tg tg²2 - (1 )² tg²- (1
tg²- 1
tg4 )² tg²- (1
4
= β+β
ββ tg tg²6 - 1
) tg²- (1 tg44
β
Ejemplo 3: Hallar una identidad para Sen 3θ en términos de Sen θ. Solución: Sen 3θ = Sen (2θ + θ)
= Sen 2θ Cos θ + Cos 2θ Sen θ
= (2 Sen θ Cos θ) Cos θ + (1 – 2 Sen² θ) Sen θ
= 2 Sen θ Cos² θ + Sen θ - 2 Sen³ θ
= 2 Sen θ (1 – Sen² θ) + Sen θ - 2 Sen³ θ
= 2 Sen θ - 2 Sen³ θ + Sen θ - 2 Sen³ θ
= 3 Sen θ - 4 Sen³ θ
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 24
2. Identidades para ángulos medios Aplicando las identidades 6, 7 y 8 podemos demostrar las fórmulas de
ángulos medios. Siendo θ = 2
α tenemos:
Sen² θ = 2
2 Cos - 1 θ
entonces, Sen² 2
α =
2
Cos - 1 α
luego: 2
Cos1
2Sen
α−=α +
− (9)
Así mismo, Cos² θ = 2
2 Cos 1 θ+
entonces, Cos² 2
α =
2
Cos 1 α+
luego: 2
Cos1
2Sen
α+=α +
− (10)
De igual forma,
tg² θ = θ+θ−
2 Cos1
2 Cos 1
entonces, tg² 2
α =
α+α− Cos1
Cos 1
luego: α+α−=α +
− Cos1
Cos1
2tg (11)
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 25
Ejemplo:
Comprobar que 2 Csc α = tg 2
α + Ctg
2
α
Solución: Se trabajará el lado derecho de la identidad, entonces:
tg 2
α + Ctg
2
α =
2
Cos12
Cos1
2
Cos12
Cos1
2Sen
2Cos
2Cos
2Sen
α−
α+
+α+
α−
=α
α
+α
α
= α−α+
α+α++α−α−Cos1Cos1
Cos1Cos1Cos1Cos1
= α
α++α−=α−
α++α−²Sen
Cos1Cos1
²Cos1
²Cos1²Cos1
= α Sen
2 = 2 Csc α, Por consiguiente
tg 2
α + Ctg
2
α = 2 Csc α
Sen 2
α = +
2
Cos1 α− Cos
2
α = +
2
Cos1 α+ tg
2
α = +
α+α−
Cos1
Cos1
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 26
Expresar cada ángulo como la suma o la diferencia y hallar el valor de la expresión:
1) Cos 12
7π 4) tg 75º 7) Sen
2) Cos 255º 5) tg 12
7π− 8) Sen 375º
3) Cos 12
9π− 6) tg 12
11π 9) Sen 435º
Obtener los valores exactos:
10) Cos 50º Cos 275º + Sen 50º Sen 275º 13) 100º tg110º tg- 1
110º tg- 65º tg
11) Cos 250º Cos 70º + Sen 250º Sen 70º 14) Cos 125º Cos 25º - Sen 125º Sen 64º
12) 55º tg125º tg- 1
55º tg 125º tg + 15) Sen 85º Sen 25º + Cos 85º Cos 25º
Emplear las identidades de suma y diferencia para comprobar la fórmula de reducción:
16) Cos (2π - α) = Cos α 19) Cos
β+π2
1 = - Sen β
17) tg (2π - α) = - tg α 20) Cos (π + β) = - Cos β
18) tg
−π x2
3 21) Cos
β−π2
3 = - Sen β
Compruebe las identidades: 22) Cos (α + β) + Cos ((α - β) = 2 Cos α Cos β
23) βα
β+α Cos Sen
)( Sen= 1 + Ctg α tg β
24) Sen (α + β) + Sen ((α - β) = 2 Sen α Cos β
25) βα
β−α Cos Sen
)( osC= Ctg α + tg β
MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 27
Escriba el valor exacto de las siguientes expresiones usando la información dada con respecto al ángulo α: 26) Sen α = 3 Sen α > 0 27) tg α = -3, Sen α < 0 28) Ctg θ = -2, Sec α < 0
29) Cos α = - 5 , Cos α < 0
30) Sen α = 5
3 0 < α <
2
π
Verifica si las siguientes identidades son verdaderas, si no lo son explica el error:
31) Sec 2β = β−
β ²Sec2
Sec²
32) Sen α + Sen α = 2 Sen 2α Cosα
33) Cos 2
θ- Cos
2
3θ = 2 Sen θ Sen
2
θ
34) Ctg 2 α = 2
1(Ctg α - tg α)
35) (4 Sen β Cos β) (1 – 2 Sen² β) = Sen ≠ β
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