Módulo N°2
Razones, proporciones y porcentajes
Plan de Nivelación
Mediante el Plan de nivelación se busca proporcionar a nuestros estudiantes una instancia que les permita, en parte, restituir aquellos contenidos básicos y medios que por diversos motivos desconocen o no dominan.
Al mismo tiempo se pretende proveerlos de la ejercitación necesaria para los contenidos de niveles superiores o de mayor grado de dificultad.
Introducción
Razones, Proporciones y Porcentajes
1. Razones y proporciones
• Razón
2. Porcentajes
• Orden en una razón
• Proporción
• Cálculo de Porcentajes
Contenidos
• Serie de razones
Aprendizajes esperados
• Reconocer que la razón es un elemento que permite comparar dos cantidades.
• Encontrar el valor numérico de una razón dada.
• Reconocer una proporción como una igualdad entre razones.
• Resolver problemas que involucren una proporción.
• Resolver problemas que involucren serie de razones.
1. Razones y Proporciones
Una razón es una comparación entre dos cantidades que se expresa mediante un cuociente, es decir, se puede escribir:
y se lee: “ a es a b”
ó biena:b ab
Ejemplo:Si Juan y Lulú tienen 8 y 24 años respectivamente, entonces la razón entre sus edades se puede expresar como:
8:24 ó bien8 24
• Razón
Módulo N°2, página 2
• Orden en una razón
En una razón, al anotar las cantidades, se debe mantener el orden en que se nombran los elementos que están comparando.
Módulo N°2, página 2
Resulta conveniente expresar la razón en la forma más simple posible.
Ejemplo:
En el ejemplo anterior, las edades de Juan y Lulú están en la razón:
8:24 ó bien ó8 24
1 3
Se puede decir que las edades de Juan y Lulú están en razón 1 es a 3.
Módulo N°2, página 2
• ProporciónUna proporción es una igualdad de dos razones:
Se lee: “a es a b como c es a d”
=a b
c d
ó bien a:b =c:d
De acuerdo al ejemplo inicial, las edades de Juan y Lulú “están en razón”:
8 24
= 1 3
Esto significa que 8 es a 24 como 1 es a 3.
y se cumple que a∙d = b∙c (Propiedad fundamental).
Módulo N°2, página 3
Es la igualdad de 2 o más razones.
b
a = c
d fe
= = … = k
Ejemplo:
Si a y b están en razón 2:5 entonces, se puede decir que:
= 4 10
6 15
= = … = 0,4
8 20
=2 5
a b
= = k
• Serie de razones
Si a:b = 2:5, entonces 2 5
a b
= = k
5∙a=2∙b = k
a=2k y b=5k
b 5
a 2
= = k
a y b podrían ser 2 y 5, 4 y 10 ó 6 y 15. Pero existen infinitas razones proporcionales a 2:5. Luego, lo único que se podría decir es que a es múltiplo de 2 y b, múltiplo de 5.
Ejemplos de aplicación:
1) Si el ancho y el largo de un rectángulo están en razón 6:7 y su perímetro es 52 cm, ¿cuál es el largo y ancho del rectángulo?
x
y
Como el perímetro es igual a 52 cm, entonces:
2(x + y)= 52
2(6k + 7k)= 52
2(13k)= 52
26k= 52k= 2
Si el ancho y el largo del rectángulo están en la razón 6:7, entonces x : y = 6 : 7 x = 6k e y = 7k.
Si k=2, entonces x = 12 e y = 14.
12
14
14
12
El largo y ancho del rectángulo miden 14 y 12 centímetros respectivamente.
2) ¿Cuál es el valor de x en la proporción ? 20
x–3 2 15
=
Si 20
x–3 2 15
= 2 ∙ 20 = 15(x – 3)
40 = 15x – 45
40 + 45 = 15x
85 = 15x
85 = x15
17 = x 3
3) El motor de una máquina motobomba para extraer agua, funciona con una mezcla de aceite y bencina. En esta mezcla, por cada 2 litros de aceite, hay 15 litros de bencina. Si en un estanque hay 68 litros de mezcla, ¿cuántos litros de bencina hay?
La razón entre los litros de aceite y bencina es 2:15.
2k + 15k = 68
17k = 68
17k = 68
k = 4
Solución:
Por lo tanto, hay 60 litros de bencina en el estanque.
Luego, podemos expresar los litros de aceite como 2k y los litros de bencina como 15k.
Como en el estanque hay 68 litros de mezcla, entonces:
4) En valor absoluto, la diferencia entre dos números naturales es 135. Si éstos están en la razón 8:3, ¿cuál es el número mayor?
Si los números están en la razón 8:3, entonces podemos expresarlos como: 8k y 3k.
Además, si su diferencia es 135, entonces:
8k – 3k = 135
5k = 135 k = 27
Luego, el número mayor es 216.
Si k = 27, los números son 8∙27= 216 y 3∙27=81.
Solución:
Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos desde la página 4 y las actividades de la página 9.(Solucionario en página 11)
2. Porcentajes
Módulo N°2, página 5
Se puede pensar en porcentajes como una razón que se compara con 100.
El símbolo % representa por ciento o por cada 100.
Porcentaje%
Razón Fracción Decimal
10% 10100
110
0,1
20% 20100
15
0,2
25% 25100
14
0,25
75% 75100
34
0,75
La expresión:
“ El 20% de 260 es 52”
se puede escribir como:
y así podemos comprobar su veracidad.
52 = 52
10020 ∙ 260= 52
de es
1 ∙ 260 =525
Por ejemplo:
a ó
100
100 100 ab
Conclusión: Si a% se puede escribir como a ,
entonces a% de b se puede expresar como:
Por ejemplo:
¿Cuál es el 20% de 2.500?
∙b
2.500100 20
∙ =5 1 2.500∙ = 500
• Cálculo de porcentajes
Ejemplo:
a) ¿Cuál es el 25% de 480?
El 25% de 480 es 120.
25 ∙ 480= x100
de es
1 ∙ 480 =x 4
120 = x
25 ∙ x100
= 120
b) ¿De qué número, 120 es el 25%?
de es
= 1201 ∙ x 4
x = 4 ∙ 120x = 480
480, es el número cuyo 25% es 120.
x ∙ 480100
= 120
c) ¿Qué porcentaje de 480 es 120?
de es
x ∙ 480 = 120∙100
x ∙ 480 = 12.000
x = 12.000 480
x = 1.20048
x = 1004
x = 25
El porcentaje es 25.
∙ x = 3 100 5
d) ¿Cuál es el 10%, del 25%, del 75%, del 20% de 16.000?
100 20
25
x = 10 100 100
∙ 75 100
∙ ∙ ∙ 16.000
x = 16.0001
10∙
1
4∙
3
4∙
1
5∙
x =3
∙ 16.000160∙5
∙
x = 3 ∙20
x = 60
Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos desde la página 8 y las actividades de la página 9.(Solucionario en página 11)
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