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8/21/2019 Naturaleza Ondulatoria de Las Particulas

1/17

Problemas Resueltos.Captulo 39: Naturaleza Ondulatoria de las Partculas.


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39.2

Longitud de onda para una partcula alfa. Una partculaalfa (m = 6.64 x 10-27kg) emitida en el decaimiento radiactivo deluranio 238 tiene 4.20 MeV de energa. Cul es su longitud de ondade De Broglie?

mE

h

p

h

2==

m.1002.7V)eJ1060.1()eV1020.4()kg1064.6(2

)sJ1063.6( 1519627

34

=

=

39.5

En el modelo de Bohr del tomo de hidrgeno, cul es la longitud de onda de

De Broglie del electrn, cuando est a) en el nivel n 5 1 y b) en el nivel n 5 4?

En cada caso, compare la longitud de De Broglie con la circunferencia 2prn de

la rbita.

a) En el modelo de Bohr .2nhrmv n =

La onda de De Broglie es

m.1032.3)m1029.5(2m1029.5:1for2

1011

1

11

01

======== arnn

r

mv

h

p

h n

Esto es igual a la circunferencia de la orbita

b) ,44

)16(216)4(:4 0400

2

4 ===== a

aarn

.m1033.1 94=

La longitud de onda de Broglie es de un cuarto de la circunferencia del la rbita,

.2 4r


3/17

39.6

a) una partcula libre no relativista de masa m tiene energa cinetica K.

deduzca una ecuacin de la longitud de onda de De Broglie de la particula en

funcin de m y K b) Cul es la longitud de onda de De Broglie de un electron

de 800 eV.?

a) para una particula no relativista, so,2

2

m

pK =

.

2

Km

h

p

h==

b)

m.1034.4)Kg1011.9()J/eV1060.1()eV800(2)sJ1063.6( 11311934 =

39.9

a- Si hay un fotn y un electrn tienen la misma energa de 20eV cada uno,

determine su longitud de onda.

b- Si un fotn y un electrn tienen la misma longitud de onda de 250nm cada

uno, calcule su energa.c- Va a estudiar una molcula orgnica de unos 250nm de longitud, usar

un microscopio ptico o uno electrnico? Aproximadamente, cul es la

longitud de onda que debe usar y qu tcnica?, los fotones o los electrones?

Probablemente, cul de los dos daar menos la mlecula?

a) fotn

34 8

19

(6.626 10 J s) (2.998 10 m s)62.0 nm

(20.0 eV) (1.602 10 J eV)

hc hcE

E

= = = =

2 31 19(2 ) 2 2(9.109 10 kg) (20.0 eV) (1.602 10 J e V)E p m p mE = = = =

electrn

2.416 1024 kg m s

= h p =0.274 nm

b) fotn E =hc =7.946 1019 J =4.96 eV

electrn 272.650 10 kg m sh p p h = = =


4/17

E = p2 (2m) =3.856 1024 J =2.41105 eV

c) Debes usar una sonda de longitud de onda de aproximadamente 250 nm.

Un electron con

= 250 nm tiene mucha menos energa que un fotn con = 250 nm, por loque es menos probable que dae la molcula.

39.12

A travs de qu diferencia de potencial se deben acelerar loselectrones para que tengan a) la misma longitud de onda que un rayo xde 0.150 nm y b) la misma energa que el rayo x del inciso a)?

= h mvv = h meV = 12 mv

2

V9.66

)m1015.0()kg1011.9()C1060.1(2

)sJ10626.6(

22

)(

2

293119

234

2

222

=

=

===

em

h

e

m

e

mvV m

h

J1033.1m1015.0

)sm100.3()sJ10626.6( 159

834

foton

=

===

hchfE

V8310C106.1

J1033.119

15

foton

foton

=

==

==

e

EV

EKVe

39.14.

Un haz de electrones de 188 eV se dirige, con incidencia normal, hacia unasuperficie cristalina como se observa en la figura 39.4b. El mximo de

intensidad de m =2 est en un ngulo 60.6 = . a) Cul es la distancia entretomos adyacentes en la superficie? b) En qu otro ngulo, o ngulos, hay un

mximo de intensidad? c) Para qu energa de electrn (eV) estara el

mximo de intensidad de m=1 en 60.6 = ? Para esta energa hay unmximo de intensidad de m=2? Explique por qu.

La intensidad maxima ocurre cuando s n.d e m =


5/17

s n2 2

h h mhd e

p ME ME = = = .

a)34

31 19

(2) (6.63 10 J s)

2 2(9.11 10 kg) (188 eV) (1.60 10 J e V) s n(60.6 )

mhd

ME sen e

= =

nm.206.0m1006.2 10 ==

b) m = 1 also gives a maximum.

34

31 19 10

(1) (6.63 10 J s)arcsin

2 2(9.11 10 kg) (188 eV) (1.60 10 J e V) (2.06 10 m)

25.8 .

mh arcsen

med

= =

=

.

c))6.60(sin)m1060.2(kg)1011.9(2

)sJ1063.6()1(

sin2 221031

2342

22

22

==

Md

hmE

eV.8.46J1049.7 18 ==

Usandando esta energia, si dejamos que

2, sin 1 , 2m no hay en m= > = maximos en este caso

39.15

Un haz de partculas alfa de 840 eV (m=6.64 x kg) se dispersa en los

atomos cuya distancia es 0.0834 m en el plano superficial de un cristal. a qu

ngulo en la figura 39.3 se presentael mximo de intensidad de m= 1?

.sin md =

.341.0m1034.8

m1096.4

arcsinesopor

m.1096.4

J/eV)1060.1()eV840()kg1064.6(2

sJ1063.6

2pero

]arcsin[:1si

11

13

13

1927

34

=

=

=

===

==

mE

h

p

h

dm


6/17

39.20

Una canica de 10.0 g se coloca suavemente sobre una mesa horizontal quetiene 1.75 m de ancho. a) Cul es la incertidumbre mxima en la posicinhorizontal de la canica? b) Segn el principio de incertidumbre de Heizenberg,qu incertidumbre mnima tiene la velocidad horizontal de la canica? c) A laluz de su respuesta al incisob), cul es el tiempo mximo que la canica podra permanecer en la mesa?Compare este tiempo con la edad del Universo, que es aproximadamente de14 mil millones de aos. (Sugerencia: puede usted saber que la velocidadhorizontal de la canica es exactamente cero?)

a) (x) (mvx) h 2, y estableciendovx =(0.010)vx y el producto de la

incertidumbre es igual a h / 2 (por el minimo de incertidumbre) da

vx =h (2m(0.010)x) =57.9 m s. b) Lo repetimos con la masa del protn 31.6 mm s.

39.21

La distancia entre tomos adyacentes sobre la superficie de un cristal de nquel

es 0,125nm. Si la fila de tomos de la figura 39.4b est en la direccin x,podemos considerar que la incertidumbre en la coordenada x de cada tomo

es, aproximadamente, la mitad de la distancia entre ellos. La masa de un solo

tomo de nquel es 263,75 10 kg .

a- Estime la incertidumbre mnima en el componente x de la cantidad de

movimiento de un tomo de nquel en el cristal.

b. Si la magnitud de la cantidad de movimiento de un tomo de nquel es

igual a la incertidumbre determinada en la parte (a) cul es su energa

cintica? Exprese el resultado en joules y en electrn volt.

c- Si cada tomo de un cristal de nquel de 1kg tuviera la energa cinticacalculada en la parte (b), cul sera la energa cintica combinada de todos

los tomos, en joules?

d- Si toda esta energa cintica se pudiera convertir en energa potencial

gravitacional, a qu altura subira el cristal de nquel?

e- Aplique el principio de incertidumbre de Heisenberg para explicar por qu

es imposible la conversin de la energa descrita en la parte (d).


7/17

px = h

2 p =

h

2x=

(6.63 1034 J s)

2 0.215 109 m

2

=9.82 1025 kg m s.

b)K = p

2

2m=

(9.82 1025 m)2

2(9.75 1026

kg)=4.95 1024 J =3.09 105 eV.

c)K total =NK = 1.00 kg

9.75 1026 kg Ni(4.95 1024 J) =50.8 J.

d)mgh =Ktotal h =K total

mg=

50.8 J

(1.00 kg) (9.81 m s2 )=5.18 m.

e) Uno espera saber ambos: un exacto momento para cada tomo (dando

lugar a una energa cintica exacta del sistema) y una exacta posicin para

cada tomo (dando lugar a una energa potencial exacta del sistema), violando

el principio de incertidumbre de Heisenberg.

39.23

La partcula (psi) tiene una energa en reposo de 3097 MeV(1 MeV= 106 eV). Es inestable y su vida es de 7.6 x 10-21s. Estimela incertidumbre en la energa en reposo de la partcula c. Exprese surespuesta en MeV, y como fraccin de la energa en reposo de esa partcula.

Et =

h

2 E =

h

2t =

(6.631034 J s)2(7.6 1021 s) =1.39 10

14

J =8.69

104

eV =0.0869 MeV.

EE

=0.0869 MeVc

2

3097 MeV c2= 2.81105.

39.26:

a) En un microscopio electrnico, qu voltaje de aceleracin se necesita para

obtener electrones con una longitud de onda de 0.0600 nm? b) Si en vez de

electrones se usan protones, qu voltaje de aceleracin se necesita para

producir protones cuya longitud de onda sea de 0.0600 nm? (Sugerencia: en

cada caso, la energa cintica inicial es despreciable.)

a) V.4192

)(

so,2

)(

2

222

===== me

h

Vm

h

m

p

KeV


8/17

b) El voltaje se reduce en la proporcin de la masa de las partculas,

V.229.0kg1067.1

kg1011.9V)419(

27

31

=

39.28

Calcule | para = sen wt, siendo independiente del tiempo, y w una

constante real. es una funcin de onda para un estado estacionario?por

qu?

,sint

= so

tt 222**2

sinsin === .

2

no es independiente del tiempo, so no es una funcin de onda para un

estado estacionado.

39.30

Calcule para C 5 csen vt, donde c es independiente del tiempo, y v es una

constante real. Es una funcin de onda para un estado estacionario? Porqu?

a) a) La incertidumbre en la posicin de la partcula es proporcional a la

anchura de x( ), y es inversamente proporcional a . Esto puede ser visto porcualquiera de representar la funcinpara diferentes valores de , encontrar el valor

esperado de la funcin de onda normalizadao por encontrar el ancho a la mitad del

mximo. La incertidumbre de la partcula en la posicin disminuye con el aumento

. La dependencia de la expectativa de valor x2 se pueden encontrar en elconsiderando:

=dxe

dxexx

x

x

2

2

2

22

2

=

dxe

x22ln

2

1


9/17

,4

1

2

1ln

2

1 2

=

=

due u

Donde se ha hecho la sustitucin u = x . (b) Dado que la

incertidumbre disminuye en la posicin,la incertidumbre en el momento debeaumentar.

39.35

Sean1 y 2 dos soluciones de la ecuacin (38.19) con energas 1E y 2E ,

respectivamente, donde1 2E E . Es 1 2A B = + una solucin de la

ecuacin(38.18), siAy Bson constantes distintas de cero? Explique su

respuesta.

2

2m

d2

dx2+U =BE11 + CE22.

Si fuera una solucin con energa E, entonces

BE11 + CE22 =BE1 + CE2 o

B(E1 E)1 = C(E E2 )2.

Esto significara que1es una constant mltiplo de 2 1 2, y y seran funciones de onda con la misma energa. Sin embargo,

E1 E2 , entonces sto no es posible, y no puede ser solucin

de Ec. (39.18).

39.40

Unos electrones pasan por una sola rendija de 150 nm de anchoy llegan a una pantalla a 24.0 cm de distancia. Se determina que no lleganelectrones a la pantalla en ngulos mayores que 620.0, pero ques los hay en todos los puntos ms cercanos al centro. a) Qu velocidadtenan esos electrones al pasar por la rendija? b) Cules sern lossiguientes ngulos mayores en los que no llegan electrones a la pantalla?

a) Difraccin de rendija: asin= m =asin=(150 109 m) sin20 =5.13108 m = h mvv = h m

v= 6.626 10

34J s

(9.111031 kg)(5.13 108 m)=1.42 104 m s

b) asin2 =2


10/17

sin2 = 2

a= 2

5.13 108 m

150109 m

= 0.684

2 = 43.2

39.42Para explorar la estructura interior del ncleo atmico se usan electrones de

alta rapidez. Para ellos sigue siendo vlida la ecuacin l h

p= , pero se debe

usar la ecuacin relativista de la cantidad de movimiento

( )2

1

mvpv

c

=

Demuestre que la rapidez de un electrn cuya longitud de onda l de De Brogliees

2

1

cvmc

h

=

+

b) la cantidad h/mc es igual a 122.426 10x m [Como vimos en la seccin 38.7,esta misma cantidad aparece en la ecuacin (38.23), de la dispersin deCompton de fotones por electrones.] Si es pequea en comparacin conh/mc, el denominador en la ecuacin determinada en la parte a) se acerca a launidad, y la rapidez v se acerca mucho a c.En este caso, conviene escribir (1 )v c= y expresar la rapidez del electrn en

funcin de y no de v. Deduzca una ecuacin para que sea vlida cuandoh

mc


11/17

c) .1000.1 15

mc

hm


12/17

212

27

)]2[

kg.101.67

mcK(K

hc

m

+=

=

m.101.57

)])sm10kg)(3.00102(1.67J10J)(1.1210[(1.12)sm10s)(3.00J10(6.63

16

21282799

834

=

+=

d) .J104.00eV1025.0 126 ==K

kg.109.11 31=m

218311212

834

s)]m10kg)(3.00102(9.11J10J(4.0010[4.00

s)m10J)(3.0010(6.63

+

=

.m104.87 14=

39. 45Cul es la longitud de onda de De Broglie de un glbulo rojo, con masa de1.00 3 10211 g, que se mueve a 0.400 cm>s? Debemos preocuparnos por lanaturaleza ondulatoria de los glbulos rojos al describir el flujo de la sangre por

el organismo?a) Ya que K >mc2 debemos usar la expresin relativista para la energa.E

2 = p2c2 +m2c4but E =K + mc2 (K +mc2 )2 = p2c2 +m2c4

p =[(K + mc2 )2 m2c4)]1 2

c =

h

p=

hc

[(K + mc2 )2 m2c4 ]1 2.

If K = 3mc2 then = hc

[(4mc2 )2 m2c4 ]1 2=

h

15mc.

b) i) m = 9.111031kg K =3mc2 = 3(9.111031kg)(3.00 108 m s)2

=2.46 1013 J=1.54 MeV.

= h

15mc=

(6.63 1013 J s)

15(9.111031 kg)(3.00 108 m s)

= 6.2 1013 m.

ii) m=1.67 1027 kg K =3mc2 = 3(1.67 1027 kg)(3.00 108 m s)2

=4.511010 J

= 2.82103 MeV.


13/17

=

h

15mc=

(6.631034 J s)

15(1.67 1027 kg)(3.00 108 m s)

=3.42 1016 m.

39.48

Energa de un protn en un ncleo.Los radios de los ncleos atmicos son

del orden de 155 10 m .

a- Estime la incertidumbre mnima en la cantidad de movimiento de un

electrn, si est confinado dentro de un ncleo.

b- Suponga que esta incertidumbre en la cantidad de movimiento es una

estimacin de la magnitud de esa cantidad. Use la relacin relativista entre la

energa y la cantidad de movimiento, la ecuacin (37.39), para obtener una

estimacin de la energa cintica de un protn confinado dentro de un ncleo.

c- Para que un protn permanezca enlazado dentro de un ncleo cul debe

ser la magnitud de la energa potencial (negativa)? Exprese su respuesta en eV

y en MeV. Comprela con la energa potencial de un electrn en un tomo de

hidrgeno, cuya magnitud es de algunas decenas de eV.

a)(6.626 1034 J s)2(5.0 1015 m)

=2.11020 kg m s.

b) K = ( pc)2 + (mc2 )2 mc2 = 1.31013J =0.82 M eV.

c) El resultado de la parte (b), alrededor de 1MeV= 1106 eV, es muchos

rdenes de magnitud mayor que la energa potencial de un electrn en un

tomo de hidrgeno.

39.49Energa del electrn en un ncleo. Los radios de los ncleosatmicos son del orden de 5.0 x 10-15m. a) Estime la incertidumbre

mnima en la cantidad de movimiento de un electrn, si est confinadodentro de un ncleo. b) Suponga que esta incertidumbre en la cantidadde movimiento es una estimacin de la magnitud de esa cantidad.Use la relacin relativista entre energa y cantidad de movimiento,ecuacin (37.39), para obtener un estimado de la energa cintica de unelectrn confinado dentro de un ncleo. c) Compare la energa calculadaen el inciso b) con la magnitud de la energa potencial de Coulombde un protn y un electrn separados una distancia de 5.0 x 10-15m.Con base en su resultado, podra haber electrones dentro del ncleo?(Nota: es interesante comparar este resultado con el del problema39.50.)


14/17

a)

p(min) = h

2x=

6.631034 J s

2(5.01015 m)=2.11020 kg m s

b)

E = (pc)2

+ (mc2

)

2

= [(2.11020 kg m s)(3.0 108 m s)]2 + [(9.111031 kg)(3.0 108 m s)2 ]2 = 6.31012 J =39.5 MeV.

K =E mc2 =38.8MeV

c) U = q1q240V

U = (1.6010

19C)

2

40(5.01015 m)

= 4.601014 J = 0.29 MeV

39.51:

El pin neutro ( 0 ) es una partcula inestable producida en choques de

partculas con alta energa. Su masa aproximada es 264 veces la del electrn,

y su duracin promedio es de 178.4 10x s antes de desintegrarse en dos fotones

de rayos gamma. Use la relacin 2E mc= entre la masa en reposo y la energa,

para calcular la incertidumbre en la masa de la partcula, y exprsela como

fraccin de esa masa.

J101.26)s108.4(2

)sJ106.63(

2

18

17

34

=

== th

E

Pero kg101.4)sm10(3.0

J101.26)( 35

28

18

2

2

=

=

==

c

EmcmE

8

31

35

105.8kg)10264(9.11

kg101.4

=

=

m

m

39.55

En otro universo, el valor de la constante de Planck es 6.63 x J.s

Suponga que las leyes de fsica y todas las dems constantes fsicas son las

mismas que las de nuestro universo. En el otro universo, un tomo se

encuentra en un estado excitado a 4.50 eV arriba del nivel fundamental. La vida

de este estado excitado (el tiempo promedio que permanece el electrn en ese

estado) es 2.24 x


15/17

Cul es la incertidumbre mnima (en eV) en la energa del fotn emitido

cuando el tomo hace la transicin de este estado excitado al estado

fundamental?

eV.294.0J1071.4)s1024.2(2

sJ1063.6

2

20

3

22

==

=

=

t

hE

note que esta incertidumbre es mucho ms grande que la incertidumbre

verdadera como comparar 4.50 eV.

39.56

Incertidumbres en los espectros atmicos. Cierto tomo tiene un nivel deenerga de 2.58 eV arriba del nivel fundamental. Una vez excitado hasta estenivel, permanece all durante 1.64 3 1027 s (aproximadamente) antes de emitirun fotn y regresar al nivel fundamental. a) Cul es la energa del fotn (enelectrn volts)? Cul es sulongitud de onda (en nanmetros)? b) Cul ser la mnima incertidumbreposible en la energa del fotn? Exprese su respuesta en electrn volts. c)Demuestre que si Use esto para calcular la magnitud de la incertidumbremnima posible en la longitud de onda del fotn. Exprese su respuesta ennanmetros.

y tambien,)2()(__,sen Emhphysen ==

=

=

sen

Em

harcsen

2

=

+

eV)J1060.1)(1050.4)(kg1011.9(2)m1000.3(

8.35)sJ1063.6(

1933111

34 senarcsen

= 20.9.

39.59

Una partcula de masa mse mueve en un potencial U(x)=A|x|, siendo A una

constante positiva. En una imagen simplificada, los quarks (que forman los

protones, neutrones y otras partculas) tienen energa potencial de interaccin

que tiene aproximadamente esta forma, donde xrepresenta la distancia entre

un par de quarks. Ya que cuando , no es posible separar los quarks entre s.

a- Segn la fsica clsica cul es la fuerza que acta sobre esta partcula

en funcin de x?


16/17

b- Aplicando el principio de incertidumbre, determine en forma aproximada la

energa de punto cero de la partcula.

a) pero . Para 0, .dU

U A x F x x x F Adx= = > = =

Para 0, . Entonces ( ) para 0.A x

x x x F A F x xx

< = = =

b) Del problema 39.58,2 2

2, y .

2 2

p hE K U A x p x h E A x

m mx= + = + = +

Para x >0; E = h

2

2mx2 +A x.. La minima energa aparece cuando

0 0dE dE

dx dx= = =

1 3 1 3 1 32 2 2 2 2 2

min3 2 2 3

3. Por lo tanto

22 ( )

h h h h h AA x E A

mA mA mmx m h mA

= + = = + =

39.60La descripcin de la seccin 39.5 demuestra que la funcin de

Onda = e2ites un estado estacionario, donde es independientedel tiempo y es una constante real (no compleja). Considere la funcinde onda donde 1y 2son distintasfunciones independientes del tiempo, y 1y 2son distintas constantesde valor real. Suponga 1y 2son funciones de valor real, por lo quey Esta es una funcin de onda para un estadoestacionario? Por qu?

= 1e

i1t +2e

i2t , so

2 =

=(1ei1t + 2ei

2t )(1ei1t +2ei2t)

= 11 +2

2 + 1

*2e

i(1 2)t + 21e

i(2 1)t .

Las frecuencias 21y se dan como no sean las mismas, 2

por lo que no es

independiente del tiempo, y no es la funcin de onda de un estadoestacionario.

39.68:


17/17

La naturaleza ondulatoria de las partculas da como resultado la situacin

mecnico-cuntica que una partcula confinada en una caja slo puede tener

longitudes de onda que causen ondas estacionarias en esa caja, con nodos en

sus paredes.

a) Demuestre que un electrn confinado en una caja unidimensional de longitudL tendr niveles de energa definidos por

2 2

28n

n hE

mL=

(Sugerencia: recuerde que la relacin entre la longitud de onda de De Broglie y

la rapidez de una partcula no relativista eshmv

=

. La energa de la partcula

es

21

2

mv.

b) Si un tomo de hidrgeno se modela como una caja unidimensional de

longitud igual al radio de Bohr, cul es la energa (en electrn volts) del nivel

mnimo de energa del electrn?

a) Para una onda estacionaria, ,2 Ln = y

.82

)(2 2

2222

mLhn

mh

mpEn ===

b) Con

2 2 210 17

0 1 2

0

10.5292 10 m, 2.15 10 J 134 eV.

8 8 e

n h hL a E

mL m a

= = = = = =