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CH-FyA-0480
Guía 64: Aventurándome en un nuevo conjunto numérico
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Guía
64 Meta 22
GRADO 7
GUÍA DEL ESTUDIANTE
AVENTURÁNDOME EN UN
NUEVO CONJUNTO
NUMÉRICO
3
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 64
Braydher Ricardo Romero Arguello, Colegio Bicentenario
Edna Lizeth Ayala Díaz, Colegio Bicentenario
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Johan Andrés Ospina Granobles, Colegio Bicentenario
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
4
q
Guía
64 GRADO 7
AVENTURÁNDOME EN UN NUEVO
CONJUNTO NUMÉRICO
GRADO 7 - META 22 - PENSAMIENTO NUMÉRICO
Guía 64
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Solución de problemas que utilizan
MCD y MCM.
• Criterios de divisibilidad aplicados
a estrategias de cálculo.
• Deducción de los criterios de
divisibilidad utilizando tablas de 10
x 10.
ACTIVIDAD 2
• Números relativos.
• Números enteros en la recta y
relaciones de orden.
• Uso de materiales (tornillos y
tuercas (reales), tarjetas rojas y
amarillas (o de dos colores
diferentes) para representar
enteros y dar sentido a las
operaciones y a las "leyes de los
signos".
Guía 65
(Duración 13 h)
• Suma, resta, multiplica y divide
números expresados en forma a/b,
como decimales o mixtos.
• Redondeo y truncamiento de
decimales.
Polinomios aritméticos con
operaciones combinadas de números
racionales.
• Propiedades de las operaciones con
números racionales utilizadas para
realizar cálculos.
• Potenciación en números racionales
- propiedades de la potenciación.
• Descomposición factorial para
estimar raíces cuadradas y cúbicas.
• Ecuaciones de la ax+b=c con a, b y
c dados y enteros.
Guía 66
(Duración 13 h)
• Razones equivalentes y tasa
unitaria.
• Relaciones proporcionales en
tablas utilizando factor de escala y
tasa unitaria.
• Tasa unitaria y constante de
proporcionalidad.
• Cantidades inversamente
proporcionales en tablas.
• Porcentajes como fracciones y
decimales.
• Esquemas con barras y diagramas
de doble línea para resolver
problemas de porcentajes.
• Porcentajes mayores que el 100%.
• Problemas de aumento y
disminución porcentual.
META DE APRENDIZAJE N. 22
Argumento realizando operaciones y estimaciones que involucren números racionales, decimales y enteros e infiero
sus propiedades, razono sobre aumentos y disminuciones porcentuales y analizo en situaciones de cambio
proporcional la tasa unitaria en tablas y gráficas (plano cartesiano, diagramas de doble línea, dibujos o esquemas).
Con esto soluciono preguntas y problemas de mi entorno en contextos como el aporte nutritivo y calórico de
alimentos que es adecuado para tener una dieta balanceada, en contextos de temperatura bajo y sobre cero, alturas
bajo y sobre el nivel del mar, perdidas y ganancias de dinero, utilizando materiales concretos como tuercas y
tornillos, palillos rojos y negros, cubos fríos y calientes y applets en Geogebra.
PREGUNTAS ESENCIALES:
Actividad 1:
● ¿Qué significan para mí los múltiplos y divisores?
● ¿Qué son los números primos?
5
Actividad 2:
● ¿Cuál es la diferencia entre un número negativo y uno positivo?
● ¿Cómo se puede usar los números negativos en nuestra vida cotidiana?
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Actividad 1:
● Comprendo qué es un múltiplo, un divisor y la descomposición en factores primos.
● Diferencio entre el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD).
● Analizo problemas relacionados con el MCM y el MCD.
Actividad 2:
● Comprendo el concepto de número entero y su valor absoluto.
● Representa números enteros en la recta y se mueve a través de ella dando saltos a izquierda y derecha del
cero.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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ACTIVIDAD 1: SALTANDO DE MÚLTIPLO EN MÚLTIPLO
Aprendamos a encontrar los múltiplos y divisores de los números naturales
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
Múltiplos Un múltiplo de un número es el que lo contiene un
número entero de veces por lo que el residuo de la
división es cero.
Los primeros múltiplos positivos del 1 al 10 se ven
en las llamadas tablas de multiplicar. Pero no
olvides que los múltiplos de un número son infinitos.
Divisores Para recordar qué son los divisores de un número se tomará el siguiente ejemplo: la división
12÷4=3 y el residuo es cero. Así tenemos que 4 y 3 son divisores de 12.
Como te puedes dar cuenta, se puede decir que un número es divisor de otro si está
contenido una cantidad entera de veces. Se puede decir también que 12 es múltiplo de 3
y 4.
Fíjate que las expresiones 12÷4 y 3 ×4 = 12 están estrechamente relacionadas.
Escribiremos los divisores de 12 usando el símbolo Div(12) para expresar el conjunto de los
divisores del número 12. Así tenemos que: Div(12) = [1,2,3,4,6,12].
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GUÍA 64
GRADO 7
ACTIVIDAD
1
7
Números
primos: Los números
primos
juegan un
papel
fundamen-
tal en la
matemática.
Se dice que un número natural es primo si es mayor que 1 y tiene solo dos divisores
positivos: el número uno, y él mismo.
Según lo anterior, 2 es primo, pues Div(2) = {1,2}; 3 es primo porque Div(3) = {1,3}; 5 es
primo, pues Div(5) = {1,5}. Otros ejemplos de números primos son: 7, 11, 13, 17, etc.
A los números que no son primos los llamamos compuestos. Por ejemplo, 4, 6, 8, 9, 10 etc.
son números compuestos. El número 1 como excepción no se cataloga ni como primo ni
como compuesto.
Como el conjunto de los números primos es tan importante que se usa un símbolo especial para
representarlo, la letra ℙ.
Observa que no hay un patrón para encontrarlos, no podrás hallarlos contando de dos en
dos, o de tres en tres.
PRACTICA
1. Completa la
tabla
encontrando los
múltiplos del 12,
23 y 8.
2. Completa la tabla
encontrando los
divisores del 9,
15 y 24
(recuerda que los
divisores son
finitos, es decir,
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GRADO 7
ACTIVIDAD
1
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son una cantidad específica).
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
B) Conceptos: Mínimo común múltiplo (MCM) y máximo común divisor (MCD)
Antes de empezar, pregúntate: ¿Te gustan las carreras de carros? ¿Sabes algo sobre las carreras de
carros legales en Colombia? ¿Alguna vez has ido al autódromo de Tocancipá?
El Autódromo de Tocancipá es un circuito de carreras, situado en un pueblo
a 30 kilómetros aproximadamente de la ciudad capital, donde se realizan
carreras desde 1981. Una de las grandes carreras que se viven allá, son las
6 horas de Bogotá, la más importante competencia automovilística
colombiana.
Los domingos, Simón practica en el autódromo de Tocancipá y tiene dos autos. El primer auto le da una
vuelta completa a la pista en 62 segundos y el segundo lo hace en 34 segundos. Carlos también práctica en
la misma pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 72 segundos y el
segundo en 84 segundos.
Como Carlos siempre pierde cuando juegan, propone a Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus
dos autos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?
Antes de empezar, responde las siguientes preguntas:
→ Sin realizar cálculos matemáticos, ¿quién crees que ganará? y ¿por qué ?
1. Completa la siguiente tabla donde vas registrar los tiempos de Simón y Carlos por cada vuelta que
realicen:
Simón:
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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Carlos:
2. Responde las siguientes preguntas con base en las tablas anteriores:
→ Es posible determinar el tiempo en que se encuentran los dos autos, explica cómo hacerlo
→ Los autos dan la misma cantidad de vueltas antes de encontrarse, responde si o no y ¿por qué?
→ Responde quién ganó y como hiciste para saberlo.
Antes de hallar el MCM y MCD, debes conocer los criterios de divisibilidad
Mini explicación: criterios de divisibilidad
Divisibilidad
Que un número sea divisible entre otro quiere decir, en un lenguaje sencillo, que al dividir el primero
entre el segundo se obtiene residuo cero, es decir, que la división es exacta (sin decimales).
Se formarán grupos de 5 o 6 estudiantes para que reflexionen
sobre cada uno de los criterios, luego cada grupo socializa un
criterio especificado por el docente, para exponerlo ante todo
el salón.
Criterio del
2 Un número es divisible entre 2 si termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8), es decir, si
el número es par. Por ejemplo:
→ 2658 es divisible entre 2, porque termina en 8.
→ 57 no es divisible entre 2 pues termina en 7, que no es par (no es 0, 2, 4, 6 ni 8).
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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Criterio del
3 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Por ejemplo: →
45 es divisible entre 3, porque 4+5=9, y 9 es múltiplo de 3 (9=3·3). → 35472 es divisible entre 3, porque 3+5+4+7+2=21, y 21 es múltiplo de 3 (21=3·7).
Criterio del
5
Un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5. Por ejemplo:
→ 325 es divisible entre 5, porque termina en 5. → 23670 es divisible entre 5, porque termina en 0.
Criterio del
7
Un número es divisible entre 7 si, al restar al número sin la cifra de las unidades el
doble de la cifra de las unidades, el resultado es un múltiplo de 7 (eso incluye al 0
también). Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 7, podemos repetir el
proceso con dicho número. Por ejemplo:
¿Es divisible 161 entre 7? → Restamos al número sin la cifra de las unidades (16) el doble de la
cifra de las unidades (2 · 1) entonces 16 - (2 · 1) = 14
Como 14 es múltiplo de 7 (14 = 7·2), podemos concluir que 161 es divisible entre 7.
Criterio del
11 Un número es divisible entre 11 cuando la suma de las cifras que ocupan una posición
par menos la suma de las cifras que ocupan una posición impar es igual a un número
múltiplo de 11 (eso incluye al 0 también).
Por ejemplo: ¿Es divisible 2596 entre 11?
Sumamos las cifras que ocupan posiciones impares: 2 + 9 = 11
Sumamos las cifras que ocupan posiciones pares: 5 + 6 = 11
3. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la mini explicación: marca con una ✓ si es divisible y
con una x cuando no sea divisible.
Divisible por: 2 3 5 7 11
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ACTIVIDAD
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660
¿Qué es el mínimo común múltiplo?
Te invitamos a analizar la siguiente situación y a resolver:
Mini explicación de la situación anterior
Analicemos, la cantidad
de paquetes respecto a la
cantidad panes, igual con
las salchichas a partir de
la siguiente tabla:
Observemos que la
cantidad de salchichas y
de panes son iguales en
cierta cantidad de
paquetes.
Ismael va a preparar perritos calientes, y quiere comprar el mismo
número de salchichas que de panes para que no le sobren. Las
salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los panes en
paquetes de 4.
¿Cuál es el menor número de paquetes que tiene que comprar de
cada uno?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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Cuando se compran 2 paquetes de panes y 3 paquetes de salchichas, podemos afirmar que hay la misma
cantidad por unidad. También sucede con 6 paquetes de salchichas y con 4 paquetes de panes. Esos
múltiplos comunes aparecerán a medida que yo considere más paquetes. Sin embargo, debo concluir que
el mínimo común múltiplo (MCM) es el número 12.
Por lo tanto, para que no me sobre salchichas y panes al preparar mis perritos calientes debo comprar
2 paquetes de pan y 3 paquetes de salchichas.
Podemos concluir que; el mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es
múltiplo de dos o más números.
Mini explicación: Descomposición en números primos para hallar el MCM
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números
debemos de descomponer el número en factores primos.
Por ejemplo: hallemos el mínimo común múltiplo de 40 y 60.
Paso 1: descomponemos el 40 en factores
primos. Aplicando los criterios de
divisibilidad, encontramos que el 40 es
divisible entre 2, 20 entre 2, 10 entre 2 y
por último, 5 es divisible entre 5.
Por lo tanto, 40 = (2x2x2x5)
40 = (23 𝑥 5)
Paso 2: Aplicamos el mismo procedimiento con 60.
Por lo tanto, 60 = (2x2x3x5)
60 = (22𝑥 3 𝑥 5)
Nota: los puedes hacer en paralelo:
Ahora para hallar el MCM:
Multiplicas la descomposición en de los
factores primos:
MCM = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 5)
MCM = 60
Es importante que reflexiones sobre lo
aprendido te invitamos a realizar los puntos
de brújula.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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13
Paso 3: Para hallar el mínimo común divisor (mcd) de 40 y
60, para ello, tenemos que coger los comunes y no comunes
al mayor exponente. Es decir para el 2, escogemos (23=
2𝑥2𝑥2)por ser el mayor exponente.
MCM = 2x2x2x3x5 = 120
En conclusión, el mínimo común múltiplo de 40 y 60 es 120.
¿Qué es el máximo común divisor?
Todos los años el Autódromo de Tocancipá abre sus puertas a un
particular encuentro de carros antiguos, en un escenario donde los
amantes de los carros de colección se deleitan mostrando sus joyas de
cuatro ruedas.
Cerca de 400 vehículos se dieron cita en el templo del automovilismo
colombiano. Vehículos de toda clase y época son el centro de atención
de los que saben valorar el esfuerzo de conservar intactos algunos de
los automotores más icónicos de la historia del automovilismo.
Analiza la siguiente situación:
El autódromo de Tocancipá para el día de encuentro de carros antiguos organiza los carros en grupos por
sus características para rodar. Para esta ocasión llegaron 42 carros vintage - guerra, 98 todo terreno y
126 deportivos. Si desean repartir los carros entre los distintos puntos del autódromo de modo que todos
tengan la misma cantidad de carros y que sea la mayor posible, ¿cuántos grupos se dividen los carros? ¿Y
cuántos carros quedarán en cada grupo?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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Mini explicación de la situación anterior
Primero debes entender que se quiere repartir 42, 98 y 126 en la mayor cantidad posible de grupos
iguales.
Dividamos en partes iguales cada una de las cantidades de carros: para esto vamos a utilizar la
descomposición en factores primos simultánea.
Paso 1: primero aplicamos el criterio del 2 porque es divisible entre los
tres números.
Paso 2: luego aplicamos el criterio del 7 porque todos son divisibles.
OJO: para el máximo común divisor los tres números de la izquierda de
la línea vertical tienen que ser divisibles entre el criterio escogido, de
no ser así no puedo seguir descomponiendo.
Ahora, para saber cuál es la cantidad exacta de grupos con cantidades iguales de carros, multiplico los
números de la derecha de la línea vertical.
2 x 7 = 14 ; donde 14 es la cantidad de grupos.
Si queremos saber cual es la cantidad de carros (vintage - guerra, todo terreno y deportivos) que hay
en cada grupo, nos debemos de fijar en los residuos de la
descomposición en factores primos.
El 3, 7 y 9 los cuales corresponden a cada característica específica
de carros:
3 = Vintage - guerra
7 = Todo terreno
9 = Deportivos
En relación con lo anterior: podemos asegurar que
los 14 grupos que se forman repartiendo (42, 98 y
126) en la mayor cantidad de grupos iguales, se llama
máximo común divisor o MCD.
En matemáticas el MCD corresponde al mayor número
que divide exactamente a dos o más números a la vez.
Como hablamos del mayor número solo tendremos en
cuenta los divisores positivos.
Amplia tus conocimientos:
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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→ Criterios de divisibilidad: https://www.youtube.com/watch?v=JO_SRpmojdM
→ Mínimo común múltiplo: https://www.youtube.com/watch?v=Hxkb3i85qDw
→ Máximo común divisor: https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY
C) Resuelve y practica
1. Encuentra el MCM utilizando las tablas:
a) Halla el MCM de 16 y 40.
b) Halla el MCM de 20, 15 y 100.
2. Encuentra el MCD utilizando el método que desees:
a) Halla el MCD de ( 48 y 36). b) Halla el MCD de (60, 210 y 180)
3. Resuelve los siguientes problemas, ojo porque debes identificar cuándo es MCD o MCM:
a) A Johan le encantan las manualidades y esta tarde ha decidido hacer pulseras con su madre. Quiere
adornarlas con perlas. Si tiene 24 perlas blancas y 36 azules, y quiere hacer el máximo número de
pulseras posibles de manera que haya la misma cantidad de cada color de perla en cada una de ellas
¿cuántas pulseras podrá hacer como máximo?
b) Bray está practicando al béisbol con dos lanzadoras de bolas y su hermana Elisa está anotando los
resultados. Como de momento Bray no ha fallado ningún tiro, Elisa programa las lanzadoras para que
una dispare cada 12 segundos y la otra, cada 16 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán las máquinas en
lanzar una bola al mismo tiempo por primera vez?
c) En un laboratorio se están mezclando tres compuestos. Del primero se tienen 20 mg, del segundo 30
mg y del tercero 180 mg. Se necesita hacer el máximo número de muestras posibles de manera que
haya la misma cantidad de cada compuesto en cada una de ellas. ¿Cuántas muestras podremos hacer?
d) En una calle se están instalando dos semáforos: uno de ellos se pondrá en verde cada 3 minutos y el
otro, cada 5 minutos. Una vez se conectan los semáforos, ¿cuánto tiempo tardarán en ponerse en
verde al mismo tiempo por primera vez?
e) Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los
trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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f) Edna, Ricardo, Andres y Francy van a correr a un parque todos los días. Edna le da una vuelta al
parque en 2 minutos, Ricardo le da 3 vueltas al parque en 7 minutos, Andres le da 4 vueltas en 9
minutos y Francy le da 2 vueltas al parque en 4 minutos.
Si todos parten al mismo tiempo y del mismo lugar, contesta:
I. ¿Quién es el más y el menos veloz? II. ¿Cuánto tardarán en encontrarse todos en el punto de partida?
D) Resumen
Descomposición en factores primos.
Utilizando criterios de divisibilidad
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ACTIVIDAD
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien el
tema
1.
2.
3.
4.
Evidencias actividad 1:
1. Comprendo qué es un múltiplo, un divisor y la
descomposición en factores primos.
2. Diferencio entre el mínimo común múltiplo (MCM) y
el máximo común divisor (MCD).
3. Analizo problemas relacionados con el MCM y el
MCD.
ii) Preguntas de comprensión
1) ¿Cuál es el MCM y MCD de 6 y 4 es?
________________.
2) ¿Los números compuestos me ayudan a
descomponer números?
[ ] Sí. [ ] No.
3) ¿Cuál es el m.c.d. (12, 24 y 36)?
___________.
4) Escribe con tus palabras las utilidades
del MCM y MCD en contextos reales.
- _________________________
- _________________________
(Verifica las respuestas con tu profesor)
“Recuerda que eres el mejor de colombia”
iii) Resuelvo un problema En una institución hay 64 alumnos y 80 alumnas entre todos los grupos de séptimo. Se quiere organizar
a esos alumnos en varios grupos, de forma que en cada grupo haya el mismo número de chicos y el
mismo número de chicas sin que sobre ningún alumno.
¿Qué tamaño puede tener como mínimo cada grupo?
8 estudiantes
¿Cuántos grupos de ese tamaño se pueden hacer?
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
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ACTIVIDAD 2: EL MARAVILLOSO MUNDO DE
LOS NÚMEROS NEGATIVOS
Aprendamos a identificar los números relativos y los números enteros
en la recta, y a comprender las relaciones de orden.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
LOS NÚMEROS NATURALES (N)
Un número es una idea de cantidad que se
representa a través de símbolos llamados cifras,
que en el sistema numérico decimal (S.N.D.) son:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sistema numérico decimal: Recibe este nombre
porque tiene como base el diez. Donde 10 unidades
de un orden cualquiera forman una unidad del
orden inmediato superior.
Ejemplo:
● 10 unidades = 1 decena ------------- 10 U = 1 D
● 10 decenas = 1 centena ------------- 10 D = 1 C
● 10 centenas = 1 unidad de millar -- 10 C = 1 UM
Una concentración de peces que está a 4 metros
bajo el nivel del mar, primero baja 3 metros y
luego baja 2 metros. ¿A qué nivel del mar se
encuentran ahora?
La concentración de peces se encuentra a 9 metros
bajo el nivel del mar.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
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PRACTICA
1. Completa la tabla realizando las operaciones indicadas:
2. Dibuja una recta númerica y ordena los siguientes números:
a. (+12); (0); (+8)
b. (+3); (+5); (+11)
c. (0); (+10); (+5)
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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B) Conceptos: Números relativos, Enteros (Z) en la recta y relaciones de orden
Durante una carrera contrarreloj (para saber las posiciones en las que iniciaran)
en el autódromo de Tocancipá, el motor de un vehículo alcanza temperaturas de 50
°C, en la contrarreloj el motor del vehículo estalla, por ende el personal de
emergencia debe apagar este motor aplicando un líquido refrigerante que permite
que quede a una temperatura de 10 °C bajo cero. ¿Cuántos grados descendió la
temperatura del motor?
Para saber cuantos grados descendió la temperatura del motor debemos analizar:
1. La temperatura que alcanza el motor (En esta contrarreloj) asciende hasta los 50 °C.
2. Se le aplica un líquido refrigerante que hace que la temperatura descienda hasta los 10 °C bajo
cero.
3. Realizaremos una recta numérica en donde anotaremos nuestros 2 valores de 50 °C (a la derecha
del cero), y 10 °C bajo cero (a la izquierda del cero).
4. Dando salticos de 10 en 10, nos damos cuenta en nuestra recta numérica que la distancia que hay
entre los 10 °C bajo cero, y nuestra temperatura de 50 °C es de 60 °C.
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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21
En conclusión podríamos decir que aplicando el líquido refrigerante al motor, la temperatura descendió
60 °C.
Tu turno individual
Una persona va al autódromo para divertirse y apostar. En la primera carrera ganó 500.000, en la segunda
carrera perdió 700.000 y en la tercera carrera ganó 100.000.
● ¿Las apuestas que realizó en las tres carreras le trajeron pérdidas o ganancias?
● Por medio de una recta numérica justifica la respuesta del punto
anterior.
4. Alistamiento para la Mini-explicación.
En la siguiente Mini-explicación vamos a utilizar tarjetas rojas y amarillas.
Asegúrate de imprimir los anexos y recortarlas para poder trabajar.
Mini explicación - números enteros y relativos
¿Qué son los Números Enteros?
Un número entero es cualquier elemento del conjunto
formado por los números naturales (0, 1, 2, …) y sus
opuestos. El conjunto de los números enteros se designa
por Z:
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GRADO 7
ACTIVIDAD
2
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Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de
cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por
encima o por debajo de un cierto elemento de
referencia (las temperaturas superiores o inferiores a
0 grados, los pisos de un edificio por encima o por
debajo de la entrada al mismo…).
La recta numérica
Los números enteros pueden ordenarse de
menor a mayor:
A = - 5 B = 5 C = 10
ORDENAR Y COMPARAR
Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica mayor es.
-3 está a la izquierda de -1 -3 es menor que -1
-3 está a la izquierda de +5 -3 es menor que +5
+3 está a l derecha de -1 +3 es mayor que -1
+5 está a la derecha de +3 +5 es mayor que +3
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GRADO 7
ACTIVIDAD
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Ahora vamos a utilizar tarjetas de colores Rojo y Amarillo
que alistaste antes para divertirnos haciendo las
operaciones.
Trabaja de forma individual en los pasos 1, 2, 3 y 4.
Paso 1:
En los anexos encontrarás rectángulos como los de
la imagen para imprimir y recortar. En este juego
los colores rojo y amarillo son opuestos.
Paso 2:
Indica qué números se están armando en cada
caso. Observa el ejemplo.
Con las fichas arma los números: 10, -5, 2, -3, 6, -
11.
Paso 3:
Paso 4:
Utiliza las tarjetas para representar las
situaciones e indica qué número se expresa en
cada caso.
● A tres tarjetas amarillas agrego 2 tarjetas
rojas. ¿Cuántas tarjetas me quedan y de
qué color?
El color de la tarjeta
- 1
El
opuesto
e
Acá hay 3 fichas rojas o
- 1
El
opuesto
e
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24
● Con tus tarjetas arma lo que se indique en
cada caso:
●
● ¿Cómo crees que podríamos escribir lo que
hiciste con las tarjetas?
● Armemos con las tarjetas - (-(-3)) y
escribamos a qué es igual.
● Utiliza las tarjetas y escribe a qué es igual
cada expresión:
-(-(6)) = ______
- (-2) = ______
- (-7) = ______
- (-(11)) = _____
● A cinco tarjetas rojas agrego 9 tarjetas
amarillas. ¿Cuántas tarjetas me quedan y
de qué color?
● A tres tarjetas amarillas le quito 5
tarjetas rojas. ¿Cuántas tarjetas me
quedan y de qué color?
El es...
El es...
3 - Se puede interpretar como
¿3 -
Se escribe así: 3
Dibuja las tarjetas, escribe las operaciones y averigua el resultado.
El opuesto de 4 fichas
1
Se escribe así: 3 +
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25
Reúnete en grupos de
aprendizaje cooperativo y resuelvan las
siguientes sumas entre enteros
utilizando las tarjetas.
● -6 - (4)
● - 3 + 10
● -12 - 2
● 2 - 15
● 5 + (-8)
Socializamos los resultados obtenidos y las
estrategias que cada uno utilizó para realizar las
operaciones.
Tu profesor(a) guiará una
socialización con todo el grupo frente
a las siguientes preguntas:
● ¿Aprendiste a sumar enteros con ayuda de
las tarjetas rojas y amarillas?
● ¿Qué dudas tienes o qué cosas no
comprendes aún muy bien?
● ¿Qué cosas crees que entiendes tan bien
que podrías enseñárselas a otros
compañeros?
5. Dibuja las tarjetas rojas o amarillas que hacen falta para que la igualdad sea verdadera.
6 Se puede interpretar como
6 -
y
y
=
-
=b
=c.
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26
6. Reúnete con un compañero y traten de expresar de forma general cómo razonar para restar dos
números enteros cualesquiera. Pueden empezar estudiando un caso conocido con las tarjetas, luego
pueden pensar en un caso que involucre números más grandes y por lo mismo ya no podrían usar las
tarjetas. ¿Cómo restarían estos números? Consideren plantear una regla general para hacerlo. Luego
pongan a prueba esta regla restando otros números.
7. Realicen lo mismo que antes pero para el caso en que se pidan sumar dos números enteros
cualesquiera.
8. Reúnanse en grupos de aprendizaje cooperativo y socialicen sus estrategias para sumar y
restar enteros. Pónganlas a prueba y traten de encontrar ejemplos en los que esta regla no se
cumpla.
9. Resuelve en tu cuaderno las siguientes sumas entre enteros.
a. -12 + (-21) - (-54) b. 10 - 5 + (-65) - (-4) c. 12 - (-34) + (-25) + 19
Mini explicación -multipliquemos y dividamos enteros
PASO 1: Pensemos en la multiplicación de
enteros.
● ¿Cómo crees que podría expresarse
con tarjetas el producto de enteros 4 x
-2?
● Con fichas expresa las siguientes
multiplicaciones entre enteros y encuentra el
resultado.
2 x 5 = ? - 4 x 5 = ?
● ¿Cómo crees que podría expresarse con fichas el
producto de un número por -1, por 1 y por 0?
Ejemplo resuelto: 10 - 5 + (-65) - (-4)
Considera expresar todas las restas como “sumar
el opuesto”, así:
10 - 5 + (-65) - (-4) = 10 + (- 5) + (-65) + 4
Luego podrás sumar normalmente:
10 - 5 + (-65) - (-4) = 10 + (- 5) + (-65) + 4
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4 x -2 = - 8
● Utilicemos fichas para expresar -3 x -
4
-3 x - 4 = - 12
PASO 2: Pensemos ahora en la división de enteros.
● Expresemos con fichas la tercera parte y el
opuesto de 6 fichas amarillas.
Se escribe así: 6 ÷ - 3 = - 2
● Expresa con fichas y calcula “la mitad y el
opuesto de 8 fichas rojas”
Se escribe así: - 8 ÷ - 2 = 4
10. Otra forma de entender la división es pensando en esta operación como la inversa de la multiplicación.
Observa los ejemplos y utiliza razonamientos parecidos para calcular las divisiones.
● - 8 ÷ 2 = - 4 porque 2 x - 4 = - 8
● - 8 ÷ - 2 = ? porque - 2 x ? = - 8
● 8 ÷ - 2 = ? porque - 2 x ? = 8
● 8 ÷ 2 = ? porque 2 x ? = 8
11. Utiliza las fichas o la estrategia del anterior ítem para calcular las divisiones y las multiplicaciones.
a. - 12 x -4 b. -5 ÷ 1 c. -2 ÷ 4 d. 6 x 3 e. -5 x 2 f. 10 ÷ - 5
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C) Resuelve y practica
1. Dados los siguientes números enteros
A. Ordena de menor a mayor los siguientes
números:
+11, −2, +8, 0, −1, +5, −6, +3, −3, +7, −4, −9,
+17
__________________________________________
B. Ordena de mayor a menor estos
números:
−8, +5, −2, +13, +3, −4, −9, +9, 0, +18, −10
________________________________________
2. Usando los símbolos de menor y mayor,
organiza los números:
3. Usando los símbolos de menor (<), mayor (>) e
igual (=), compara los siguientes números
enteros.
a) 5 __ -5 d) -3 __ 0
b) 15 __ 50 e) 0 __ 5
c) -6 __ -1 f) -3 __ 5
4. Realizar las operaciones indicadas:
a) 5 - (-12) =
b) 8 + (-2) =
c) 11 - (+2) =
5. Completa la tabla:
Registra en tu cuaderno las operaciones que
realizaste para llegar al resultado que
presentarás en la tabla.
6. Observar la recta numérica y luego resolver:
a) ¿Qué número entero se encuentra a 4
unidades a la izquierda de -3?
b) ¿Qué números enteros están entre -2 y
3?
7. Juan tiene una panadería. A principio de mes
pagó $205.000 por la compra de harina de trigo,
huevos y levadura. Recibió $460.000 de la venta
de los panes producidos y, al final del mes pagó
$45.000 en mantenimiento de equipos.
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a) ¿Cuál fue el balance de Juan a fin de mes
en términos de pérdidas y ganancias?
8. Representa y resuelve en la recta numérica la siguiente situación:
En una ciudad, la temperatura en la noche fue de -5° C y en la madrugada llegó a -9° C. ¿Que diferencias
de temperaturas hubo en esas horas?
9. Un agente de bienes raíces, observa que cada semana gana $300.000, si se ausenta del trabajo 4
semanas. ¿cuánto dejó de ganar el asesor?
Tema: Números enteros en la recta numérica
(Mira el siguiente video, practica y responde las preguntas)
https://es.khanacademy.org/math/1-secundaria-pe/xc734090530553e83:numeros-operaciones-con-numeros-
enteros/xc734090530553e83:sumar-y-restar-numeros-enteros/v/adding-and-subtracting-negative-number-examples
Es hora de practicar: https://es.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-add-and-subtract/cc-7th-add-sub-neg-
number-line/e/adding-negative-numbers-on-the-number-line
a) ¿Qué puntaje obtuviste en la práctica de las sumas de enteros en la recta numérica?
b) ¿Puedes efectuar operaciones con números enteros sin hacer uso de la recta numérica?
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D) Resumen
En la recta numérica se representan así:
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E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪ Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫ Comprendí
muy bien el
tema
1.
2.
Evidencias actividad 1:
1. Comprendo el concepto de número entero y su valor
absoluto.
2. Representa números enteros en la recta y se mueve
a través de ella dando saltos a izquierda y derecha
del cero.
ii) Preguntas de comprensión
Escribe las palabras “mayor” o “menor”
según corresponda:
1) Entre dos números enteros, uno
positivo y otro negativo, es _____
el número negativo y es _______
el número positivo.
2) Entre dos números enteros
negativos -8 y -4 es ______ el -8.
3) ¿Puedes ordenar correctamente
los números: -9, +8, -3, +5, +7?
4) Escribe F o V según corresponda:
● -3 < 5 ____
● 8 > 10 ____
● - x - = + ___ (Verifica las respuestas con tu profesor)
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iii) Resuelvo un problema Un comerciante realizó un negocio en la mañana y perdió $460.000; en la tarde realizó un nuevo
negocio y ganó 610.000.
● Representa con un número entero cada negocio realizado durante el día.
● Determina cuánto dinero tiene si al comienzo del día tenía una deuda de 85.000
● ¿Cómo le fue al comerciante en términos de pérdidas y ganancias? justifica
ANEXOS
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