TEMA: OPERACIONES CON NUMEROS REALESSEMESTRE: II Msc. Alberto Pazmiño.

NUMEROS RACIONALES

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS RACIONALES

• Es un conjunto Infinito.• Es un conjunto muy denso, entre dos

números racionales siempre existe otro número racional.

• Todo número racional tiene una expresión decimal equivalente.

• A cada número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero a todo punto no le corresponde un número racional.

• Es un conjunto ordenado, entre dos números racionales diferentes, siempre es uno mayor que el otro.

Las fracciones irreductibles, representan una clase de equivalencia y forman el conjunto de los números racionales Q,

DE FRACCION A NUMERO DECIMAL

• 3,8 = 9

35

9

338 =−

Decimal periódico mixto

• 1,26 = 15

19

90

114

90

12126 ==−

NUMEROS IRRACIONALES

Un número irracional se puede expresar por:• Un número decimal no periódico de infinitas

cifras.• Un conjunto de números racionales con

aproximación por defecto o por exceso

Algunos números irracionales.2 = 1,414213...3 = 1,732 050...5 = 2, 236 067 ...7 = 2, 645 751 ...11 = 3, 316 624 ...

π = 3, 141592 ...∈ = 2, 718281 ...

Ejercicios

1. Halla la fracción generatriz de:a) 4,5 b) 3,128 282 8...

2. Halla la fracción generatriz y resuelve

2,7 –5,3 . 0,27

3. Resuelve 1,5 + 0,8 - 23,1

2,0

4. Indica que tipo de expresión decimal representa las fracciones

a) 11

13 b)

15

16 c)

31

33

5. Halla la suma de los numeradores de las generatrices de 0,32 y 1,1316

FRACCIONEXPRESIÓN DECIMAL

TIPO

2

3

2

3=

10

15= 1,5

Exacto o limitado

11

5

11

5 = 0,4545...

Periódico puro

6

13

6

13 = 2,1666...

Periódico mixto

GENERATRIZ DE UN NUMERO DECIMAL

Expresión decimal

Fracción generatriz

1,625Exacto o limitado

1,625 = 8

13

1000

1625 =

2,1717...Periódico

Puro

2,17 =99

215

99

2217 =−

2,45151...Periódico

mixto

2,451 =330

809

990

2427

990

242451 ==−

Decimal limitado:

0,25 = 4

1

100

25 =

Decimal periódico puro

0,36 =11

4

33

12

99

36 ==

NUMEROS REALES

El conjunto de los números racionales y el de los de los números irracionales conforman el conjunto de los números reales y se designa por R

Existen números reales positivos, R+ , y números reales negativos, R-

R = R- ∪ {0} ∪ R+

R

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

I ⊂ R

R = Q ∪ IRECTA REAL

2

9−

-π

-

2 10

5

5 9

RECTA REAL -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

APROXIMACIONES

Cuando necesitamos operar con números reales nos vemos obligados, en muchas ocasiones, a manejar decimales con muchas cifras. sabemos que las expresiones decimales de un número real se reducen a los siguientes tipos

Redondeamos los decimales hasta los centésimos:

4,736 = 4,741,318 = 1,320,576 = 0,58

Aproximación de 4,7364,736

4,73 4,736 4,74

Aproximación de 0,576 0,576

0,57 0,576 0,58

Para truncar un número decimal se eliminan sus cifras a partir de un cierto orden. Para redondear hasta cierto orden n, se deja la cifra de orden n como está, si la que sigue es menor que 5; y se aumenta en una unidad, si la que sigue es mayor o igual que 5

Ejercicios1. Ubica en la recta real los números irracionales π y 2

SoluciónHallamos la expresión decimal de cada uno: π = 3,1416... 2 = 1,4142...

• Ubicamos sus valores aproximados

2 π

0 1 2 3

2. ¿Cual es el valor de 2 + 3 con

aproximación a las milésimas?Solución

Hallamos los valores decimales de cada raíz:

2 = 1,4142... 3 = 1,7320...Calculamos la suma con los valores decimales aproximados a las milésimas.

2 + 3 = 1,414 + 1,732 = 3,146

TareaResuelve las siguientes operaciones y redondea según se indique

a) 2

5(al centésimo)

b) π + 5 - 2,49 (al centésimo)c) 0,51 x 2,13 (al milésimo)d) 9 - 4 + 2,13 + 7 (al centésimo)

e) 23

12:6

15

2

4

5 +−x (al milésimo)

Exacto Periódico puro

Periódico mixto Ilimitado no periódico

4,736 0,576 1, 318 2 = 1,41421356...

Como no podemos operar con infinitas cifras, tomamos aproximaciones de estos números para efectuar operaciones con ellos.Una aproximación o valor aproximado de un número es otro número próximo al primero al cual representa y sustituye. Por ejemplo, el decimal 0,33 es una aproximación del número 0, 3 . Para aproximar un número se suelen utilizar dos técnicas: truncamiento y redondeo.Ejemplos:Truncamos los decimales hasta los centésimos: 4,736 = 4,73

1,318 = 1,310,576 = 0,57

Q IZ

N

TEMA: INTERVALOS

SEMESTRE: II Msc. Alberto PazmiñoINTERVALOS

Alguna vez hemos escuchado que se ha averiado un tramo de una carretera. Por ejemplo, nos dicen que entre los kilómetros 12 y 18 de la carretera central ha caído un “huaico”.

Tramo de la Carretera Central

A un tramo de la recta numérica se llama intervalo.

CLASES DE INTERVALOS

INTERVALOS NO ACOTADOS

X < 3 x ≥ 3

-1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7

] [3;∞− = {x /x ∈ R, x < 3} [ [∞;3 = {x /x ∈ R, x

≥ 3}

OPERACIONES CON INTERVALOS

Unión de intervalos:La unión de dos intervalos I1 = [ ]6;2− y I2 = [1; 8] es el conjunto de números reales que pertenecen a l menos a uno de los dos intervalos . I2

I1

I1 ∪ I2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I1 ∪ I2 = [-2; 6] ∪ [1; 8] = [-2; 8]

Intersección de intervalos:

IntervaloAbierto

] [ba,

Intervalo cerrado

[ ]ba,

Intervalo abierto a la

derecha

[ [ba,

Intervalo abierto a la izquierda

] ]ba,

-1 3 a b

-1 3

a b

-1 3 a b

-1 3 a b

Km12

Km18

Un intervalo de números reales es el conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, en consecuencia, un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales

La Intersección de dos intervalos es el conjunto de los números reales que pertenecen a la vez a los dos intervalos.

I2

I1

I1 ∩ I2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

I1 ∩ I2 = [-2; 6] ∩ [1; 8] = [1; 6]

Diferencia de Intervalos :La diferencia del intervalo I1 y I2 es el conjunto de los números reales que pertenecen al intervalo I1 y no pertenecen al intervalo I2

I2

I1

I1 - I2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

I1 - I2 = [-2; 6] - [1; 8] = [-2; 1[

Ejemplo 1: ¿Cuál es la unión, la intersección y la diferencia de intervalos?.

• El intervalo abierto ] [ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b excluidos a y b. Se expresa:

] [ba, = {x/x ∈ R, a< x < b}

• El intervalo cerrado [ ]ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos a y b. Se expresa:

[ ]ba, = {x/x ∈ R, a ≤ x ≤ b}

• El intervalo semiabierto [ [ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos a. Se expresa: [ [ba, = {x/x ∈ R, a ≤ x < b} el Intervalo semiabierto ] ]ba, está formado por los números reales x comprendidos entre a y b incluidos b. Se expresa

] ]ba, = {x/x ∈ R, a < x ≤ b} • Otros intervalos que se consideran en la

recta son los no limitados o no acotados.

Ejemplo 1. el conjunto de números menores que 3 se expresa por x< 3 y se representa por una semirrecta de origen 3 que no contiene al 3.El conjunto de números mayores o iguales a 3 se expresa por x ≥ 3 y se representa por

Una semirrecta de origen 3 que contiene al 3

VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL

El valor absoluto de un número real es la distancia del punto al cual corresponde, con respecto al origen. Se denota por |a| (valor absoluto) donde:

| -a | = a | +a | = a

- Si |x| = < 2, x es cualquier número real del intervalo abierto ] –2; 2 [

|x| < 2, ó –2 < x < 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

- Si |x| = ≤ 2, x es cualquier número real del intervalo cerrado [ –2; 2 ]

|x| ≤ 2, ó –2 ≤ x ≤ 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2[ ∪ ]2; ∞ [

- Si |x| = ≥ 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2] ∪ [2; ∞ [

PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO

[a; b] = 2

ba +

Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]Solución

[-5, 3] = 12

35 −=+−

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo 2: Representa en notación

conjuntista y grafica el siguiente intervalo:

a) ] 3; 9]

Expresamos la notación conjuntista

] 3; 9] = { x/x ∈ R; 3< x ≤ 9}

Representamos gráficamente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x

en: |X – 4| = 6

Solución

Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está dentro del paréntesis tiene la posibilidad de tener dos valores:Si x – 4 = 6, entonces x = 10Si x – 4 = -6, entonces x = -2

ComprobaciónPara x = 10 Para x = -2

Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:

|3x – 2| ≤ 11

Solución

Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| ≤ 11 - 11 ≤ 3x – 2 ≤ 11

-11 + 2 ≤ 3x ≤ 11+ 2-9 ≤ 3x ≤ 13

- 3

9 ≤ x ≤ 3

13

- 3 ≤ x ≤ 3

13

Expresamos en intervalo y representamos en

la recta numérica

−

3

13;3

3

13

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Tarea:

1. Representa gráficamente el punto medio

del intervalo: [ -6; -5/2]

2. Calcula y representa en la recta numérica los siguientes intervalos:A) ]1; 5[ ∩ [4; 6]B) [-4; 7] ∩ ]4; 8]C) ]-3; 6] – [2; 7]

3. Halla los posibles valores de x en cada caso: a) |2x – 5| = 11b) |x - 15| = 2

4. Halla el resultado de las siguientes operaciones:a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20

VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL

El valor absoluto de un número real es la distancia del punto al cual corresponde, con respecto al origen. Se denota por |a| (valor absoluto) donde:

| -a | = a | +a | = a

- Si |x| = < 2, x es cualquier número real del intervalo abierto ] –2; 2 [

|x| < 2, ó –2 < x < 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

- Si |x| = ≤ 2, x es cualquier número real del intervalo cerrado [ –2; 2 ]

|x| ≤ 2, ó –2 ≤ x ≤ 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2[ ∪ ]2; ∞ [

- Si |x| = ≥ 2, x es cualquier número real de los intervalos ]– ∞ ; -2] ∪ [2; ∞ [

PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO

[a; b] = 2

ba +

Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]Solución

[-5, 3] = 12

35 −=+−

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo 2: Representa en notación

conjuntista y grafica el siguiente intervalo:

a) ] 3; 9]

Expresamos la notación conjuntista

] 3; 9] = { x/x ∈ R; 3< x ≤ 9}

Representamos gráficamente

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x

en: |X – 4| = 6

Solución

Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está dentro del paréntesis tiene la posibilidad de tener dos valores:Si x – 4 = 6, entonces x = 10Si x – 4 = -6, entonces x = -2

ComprobaciónPara x = 10 Para x = -2

Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:

|3x – 2| ≤ 11

Solución

Expresamos el valor absoluto de |3x – 2| ≤ 11 - 11 ≤ 3x – 2 ≤ 11

-11 + 2 ≤ 3x ≤ 11+ 2-9 ≤ 3x ≤ 13

- 3

9 ≤ x ≤ 3

13

- 3 ≤ x ≤ 3

13

Expresamos en intervalo y representamos en

la recta numérica

−

3

13;3

3

13

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Tarea:

1. Representa gráficamente el punto medio

del intervalo: [ -6; -5/2]

2. Calcula y representa en la recta numérica los siguientes intervalos:A) ]1; 5[ ∩ [4; 6]B) [-4; 7] ∩ ]4; 8]C) ]-3; 6] – [2; 7]

3. Halla los posibles valores de x en cada caso: a) |2x – 5| = 11b) |x - 15| = 2

4. Halla el resultado de las siguientes operaciones:a) |-5 +|-2-3|| b) |-3 – 10| - 20