1 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo
explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El
procedimiento se conoce como derivación implícita.
Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.
Por ejemplo:
042 =−x define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta
ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación
término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante
despejar dxdy , o lo que es lo mismo despejar y’.
Ejercicio 1.
Hallar dy/dx o y’en la función 102 736 =−+ xyyxax .
Solución Calculando la derivada:
102 736
dxdxy
dxdyx
dxdax
dxd
=−+
Derivando:
07)1(626 67235 =−−++dxdyyyyx
dxdyxax x
Pasando términos semejantes:
72563 6672 yyxaxdxdyxy
dxdyx +−−=− .
Factorizando:
2
( ) yxyaxdxdyyx 27563 6672 −+−=−
63
257
7266
yxyxaxy
dxdy
−−−
=
Es importante hacer notar que, en general, el resultado contendrá tanto a x como a y.
Ejercicio 2.
Encontrar la derivada de .023 4 =− yx
Solución
Se trata de una función implícita, como se mencionó anteriormente podemos encontrar
su derivada, despejando y y realizando la derivación con respecto a x.
Despejando y
4
4
23
23
xy
yx
=
=
una vez despejada y, podemos obtener su derivada
144
234
23 −
=
∂∂ xxxy , realizando las operaciones para simplificar la expresión
tenemos:
33 6;2
12xx
xy=
∂∂
.
En caso de que sea posible despejar y, la derivación implícita es muy sencilla, sin
embargo esto no siempre es posible.
Ejercicio 3.
011352 332 =++++ − yxxyyx
Solución Ya que mencionamos la formula para encontrar derivadas implícitas era:
y
x
ff
dydx −
=
3 Primeramente obtenemos la derivada parcial de la función con respecto a la variable x,
es decir xf ; siendo la función: 11352 332 ++++ − yxxyyx
0)1(5)1(22 3312 +++= −− yyxfx , simplificando:
522 33 ++= −yxyfx
Obteniendo la derivada parcial de la función con respecto a y tenemos:
0)1(30)3(2)3( 11132 +++−+= −−− yxyxf y ; simplificando:
363 422 +−= −xyyxf y
Sustituyendo en la fórmula:
363)522(
422
33
+−++−
= −
−
xyyxyxy
dydx
Ejercicio 4.
033323 =+−+− yxyx
Solución Derivando parcialmente la función con respecto a x, tenemos:
33 22 += −yxfx
Derivando parcialmente la función con respecto a y, tenemos:
32 33 −−= −yxf y
Sustituyendo en la fórmula:
3233
33
22
−−+
= −
−
yxyx
dydx
Ejercicio 5.
Encuentre y’ de la siguiente ecuación: 0654 323 =+−+− xxyxxy
Solución Se derivan ambos lados de la ecuación con respecto a x.
)0()6()5()()()4( 323 DxDxxDxxDxyxDxxyDx =+−+−
Derivando:
0053)2'(4'12 2232 =+−++−+ xxyyxyyxy
Simplificando:
0532'4'12 2232 =−+−−+ xxyyxyyxy
4
22
23
2322
2322
125324'
5324)12('5324''12
xxyxxyyy
xxyyxxyyxxyyyxyxy
−+−+−
=
+−+−=−
+−+−=−
Ejercicio 6.
Hallar y’ de la siguiente ecuación: 045 22 =−− yxyx
Solución
)0()4()()5( 22 DxyDxxyDxxDx =−− Realizándola derivada:
0'8'100'8)]()([10
=−+−=−+−
yyyxyxyyxyDxyxDxx
Factorizando:
yxyxy
yxyxyyxyyxy
yyxyyx
810'
10)8('10)'8'(
'8')10(
++
=
+=++=+
+=+
Ejercicio 7. Hallar y’ de la siguiente ecuación: 26432 =−++ yxxyyx Solución
0'64'42'3 322 =−+++ yyxyxyyyx Simplificando
yxyyxyyyx 42'6'4'3 322 −−=−+ Factorizando:
64342'
42)643('
22
3
322
−++−
=
−−=−+
xyxyxyy
yxyxyxy
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
5
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 1:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 2:
Hallar , de la función implícita:
Ejemplo 3:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
6
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Hallar , de la función implícita:
Ejemplo 4:
Primero,
Solución:
segundo,
7
Ahora el cociente,
Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, halle dy/dx por medio del proceso de diferenciación implícita
S o l u c i o n e s
8
9
10