7/24/2019 PDS - Tarea 3.3 - OQ
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PDS Tarea 3.3
Oscar J.Quinde SolrzanoUniversidadIsrael,SedeMatriz
Electrnica Digital y Telecomunicaciones Procesamiento Digital de Seales.
Quito,Ecuador.
Resumen. El presente documento pertenece al trabajo 3.3, ejercicios de ecuaciones en diferencias.
2.24El sistema discreto en el tiempo = 1 , 0est en reposo1 = 0.Compruebe si el sistema es lineal, invariante en el tiempo y estable BIBO.
Linealidad:
1 = 1 1 12 = 2 1 2
= 1 2
= 1 = 1 2.Por lo tanto el sistema el lineal.
Variabilidad en el tiempo:
Si la entrada es 1: 1 = 1 2 1
1 = 2 1Entonces el sistema es invariante en el tiempo.
Estabilidad:
Si = , se tiene que || 1.Para tal entrada acotada, se tiene la siguiente salida:
0 = 11 = 1 1 = 2,
2 = 22 1 = 5 , . ..Que no est acotada, por lo que el sistema es inestable.
2.26Determine la respuesta a la entrada nula del sistema descrito por la ecuacin en diferencias de
segundo orden 3 1 4 2 = 0Con = 0:
1 43 1 = 01 = 43 2
0 = ( 43) 2
1 = ( 43) 2
. . .
= ( 43)+ 2
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2.27Determine la solucin particular de la ecuacin en diferencias
= 56 1 16 2
Con = 0:yn 56 yn 1 16 yn 2 = 0
La ecuacin caracterstica sera:
56 16 = 0. =
12 ,
13
Por lo tanto:
yn = C (12) C (13)
Solucin particular:
= 2yn = 2
Sustituyendo en la ecuacin en diferencia:
56 1 16 2 =
2 56 2 16 2=
Para n=2:
4 53 16 = 4 = =
85
La solucin total es:
= yn y
= 85 2 C1 (12)
C2 (13)
Para determinar Cy C, se asume que 2 = 1 = 0, entonces:0 = 1
1 = 56 0 2 =176
Por lo que:
85 C1 C1 = 1
C C = 3
5
165 12 C1 13 C2 = 13C1 2C2 = 115
Resolviendo se obtiene que:
C =1 ; C = 25Por lo tanto la solucin total es:
= 8
52 (1
2
) (2
5) (1
3
)
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2.30Determine la respuesta y(n), n 0 del sistema descrito mediante la ecuacin en diferencias de
segundo orden 3 1 4 2 = 2 1) a la entrada = 4La ecuacin caracterstica sera:
3 4 = 0Se tiene que =4,1, por lo tanto: yn = C4 C1Dado que 4 es una raz caracterstica, y la excitacin es = 4, se asume la solucin particularde la forma:
yn = 4Sustituyendo en la ecuacin en diferencia:
4 3 14 1 4 24 2 = 4 241Para n=2:
3 2 1 2 = 4 8 = 2 4 = = 85La solucin total es: = yn y
= [65 4 C14 C21]
Para determinar Cy C, se asume que 2 = 1 = 0, entonces:0 = 11 = 30 4 2 = 9
Por lo que:
C C = 1
245 4C1 C2 = 94C1 C2 = 215 Resolviendo se obtiene que:
C = 2625 ; C = 1
25Por lo tanto la solucin total es:
= 65 4 2625 4
125 1
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2.45Calcule la respuesta para el estado nulo del sistema descrito mediante la ecuacin en diferencias
1 = 2 2a la entrada = {1,2,3 ,4,2,1} = 12 1 2 2
2 = 12 3 2 24 = 11 = 12 2 1 23 =
32
0 = 12 1 0 22 =174
1 = 12 0 1 21 =478
2.57Determine la respuesta y(n), n 0 del sistema descrito por la ecuacin en diferencias de segundo
orden
4 1 4 2 = 1.
Cuando la entrada es = 1 y las condiciones iniciales son 1 = 2 = 0.
4 1 4 2 = 1La ecuacin caracterstica sera:
4 4 = 0Se tiene que = 2, por lo tanto:
yn = C2 C2Solucin particular:
yn = 1
Sustituyendo en la ecuacin en diferencia:1 41 1 41 2 = 1 11Para = 2 ,
k1 4 4 = 2 k = 29La solucin total es:
= yn y = [29 1 C12 C22]
De las condiciones iniciales se tiene que 0 = 1 , 1 = 2, entonces:C 29 = 1
C = 792C 2C 29 = 2
C = 13