UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTÁ. Laboratorio fundamentos de mecánica.
PERIODO DEL PÉNDULO SIMPLE
Laura Casas - 244607, Fabián Huertas - 244640, Daniel Jaimes - 244643,
Andrea Perico - 244674, Karen Piñeros - 244675.
RESUMEN: En la práctica se intenta demostrar
como varia el periodo y las características principales de un
movimiento armónico simple en un péndulo. Se debe tomar
varias mediciones variando características del sistema tales
como la amplitud (modificando el ángulo), la longitud de la
cuerda y la masa del péndulo. Entre los resultados se
evidenció que el periodo de uno de estos sistemas no
depende de magnitudes como la masa o la amplitud, este
solo depende de la longitud de la cuerda utilizada, sin
embargo en ángulos grandes es claro que estas
afirmaciones no son del todo ciertas, esto debido a que en
la fuerza que causa el movimiento el peso comienza a
tomar una gran participación, esto no indica que este
movimiento no sea de un armónico simple, sencillamente
dice que a ángulos mayores estas características deben
variarse .
PALABRAS CLAVES: Amplitud angular, longitud, masa,
péndulo.
1. INTRODUCCIÓN El propósito del experimento llevado a cabo es observar y
analizar el comportamiento de un péndulo simple con
respecto a la variación de la longitud de la cuerda, la masa
de las pesas y el ángulo. De acuerdo a esto en el
laboratorio, se toma el tiempo de cada oscilación (período)
en distintos momentos. Con los datos obtenidos, se realiza
el análisis del período de oscilación y la variación de los
parámetros mencionados.
2. OBJETIVOS
GENERAL
Encontrar una relación entre el periodo de un péndulo y su
longitud, masa y amplitud angular.
ESPECÍFICOS
• Determinar el valor del periodo de un péndulo simple,
en función de su longitud, amplitud angular y masa, y la
relación existente entre ellos.
• Establecer el diagrama de cuerpo libre de un péndulo
simple, de acuerdo a las fuerzas que actúan sobre el
sistema durante el movimiento.
• Utilizar el proceso de linealización y aprender más
sobre este.
• Identificar las diferencias entre el valor teórico y el
experimental en cuanto a periodo.
3. MARCO TEÓRICO
3.1 OSCILACIÓN ARMÓNICA SIMPLE
El péndulo simple se define como una partícula de masa m
suspendida del punto O por una cuerda de longitud l y de
masa despreciable. Para determinar la naturaleza de las
oscilaciones, debemos escribir las ecuaciones de
movimiento de la partícula, La partícula se mueve en un
arco de circulo de radio l = OA.
Figura1. Péndulo simple
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso mg y la
tensión T a lo largo de la cuerda. De la Fig., se ve que la
componente tangencial de la fuerza es:
F + mgsenθ = 0 (1)
Donde el signo menos se debe a que se opone al
desplazamiento S=CA. La ecuación de movimiento
tangencial es Ft=mat y, como la partícula se mueve a lo
largo de un círculo de radio l, podemos usar la ecuación
(2)
(3)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTÁ. Laboratorio fundamentos de mecánica.
Considerando al ángulo θ pequeño, lo cual es cierto sí la
amplitud de las oscilaciones son pequeñas, entonces
podemos escribir en forma aproximada como:
(3)
Esta es la ecuación diferencial del movimiento angular. Por
ello podemos llegar a la conclusión que, dentro de nuestra
aproximación, el movimiento angular del péndulo es
armónico simple con w2=g/l. El ángulo θ puede así
expresarse en la forma θ=θsen(wt+α), lo que da P=2π/w, el
periodo de oscilación esta dado por la expresión:
� � ��� (4)
Nótese que el periodo es independiente de la masa del
péndulo. Para mayores amplitudes, la aproximación
senθ =θ no es válida. en tal caso, la fórmula del periodo
depende de la amplitud.
4. DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA
Los materiales requeridos para la ejecución de la práctica
son:
• Base
• Soporte
• Pesas
• Cronómetro
• Papel milimetrado
• Cuerda
• Regla
• Graduador
Para la realización de esta práctica es necesario seguir el
siguiente procedimiento:
• Efectuar el montaje de la práctica:
1. Atar una masa (m) al extremo inferior de una
cuerda de masa despreciable.
2. Establecer la longitud de la cuerda (del extremo
superior de la cuerda cuyo punto está en el eje de
giro al centro de la masa (m).)
3. Situar el péndulo en posición de equilibrio.
4. Determinar el ángulo θ de oscilación con el eje x
perpendicular al suelo.
5. Iniciar las oscilaciones con el fin de medir el
periodo (T).
* Se debe variar la longitud de la cuerda, el grado θ y las
masas situadas en la parte inferior de la cuerda.
• Mediciones:
1. Utilizar una regla para medir la longitud de la
cuerda utilizada.
2. Establecer el ángulo de oscilación con un
graduador.
3. Determinar el peso de las masas utilizadas
con la ayuda de la balanza.
4. Utilizar un cronómetro para medir el periodo
de oscilación (T), realizar un numero N de
oscilaciones para cada una de las longitudes y
ángulos; dividir el tiempo entre N.
5. Anotar todos los datos que sean necesarios
en una tabla para permitir un mejor
entendimiento del movimiento, tales como,
longitud, peso de las masas utilizadas, ángulo
θ respecto al eje x y tiempo empleado (T) en
cada oscilación.
• Realizar los cálculos y diseñar las gráficas necesarias:
1. Ya teniendo la tabla de datos, se procede a
encontrar el valor del periodo (T).
2. Realizar el diagrama de cuerpo libre con las
fuerzas presentes en el sistema.
Figura 2. Montaje
5. CÁLCULOS Y RESULTADOS
Luego de realizar el montaje adecuado en el laboratorio con
una longitud del péndulo de 100 cm para iniciar y 11° de
amplitud, se procedió a tomar la medida del tiempo que
gasta el péndulo en realizar 5 oscilaciones para una masa de
10 g registrando los datos obtenidos en la tabla 1, con su
respectivo periodo para cada intento de medición.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTÁ. Laboratorio fundamentos de mecánica.
TABLA 1. Datos para péndulo con masa de 10 g.
Intento Tiempo t(s) Periodo T (s)
1 10,24 2,05
2 10,15 2,03
3 9,93 1,99
4 10,99 2,20
5 10,23 2,05
6 10,13 2,03
7 10,16 2,03
Se procedió luego a cambiar la masa del péndulo,
manteniendo constante la longitud y la amplitud angular y a
medir el tiempo para 5 oscilaciones tres veces más, los
datos obtenidos en esta parte de la experiencia se
registraron en la tabla 2, pero que por abreviación se
consolidaran el promedio de tiempo y periodo.
TABLA 2. Datos para diferentes masas.
Masa (g) Tiempo (s) Periodo(s)
10 10,26 2,05
20 10,15 2,03
40 10,10 2,02
60 10,17 2,03
La siguiente parte del experimento consistía en dejar una
masa fija de 20 g e ir cambiando la amplitud y la longitud
del péndulo, de forma tal que para cada ángulo de
oscilación se midan varias longitudes, tomando la medida
del tiempo que le toma al péndulo realizar 5 oscilaciones
para hallar el periodo posteriormente, realizando varios
intentos en las medidas. Los datos se registraron en la tabla
3, consolidando todas las medidas, mostrando solamente
por comodidad los promedios.
TABLA 3. Datos para masa 20 g con diferentes amplitudes y longitudes de péndulo.
Amplitud
(ΘΘΘΘ)
10° 15° 30°
Longitud L (cm)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Tiempo (s)
Periodo (s)
21 4,63 0,93 4,73 0,95 4,83 0,97
40 6,38 1,28 6,33 1,27 6,58 1,32
60 7,87 1,57 7,81 1,56 8,29 1,66
Amplitud
(ΘΘΘΘ)
45° 60°
Longitud L (cm)
Tiempo (s)
Periodo (s)
Tiempo (s)
Periodo (s)
21 4,89 0,98 5,08 1,02
40 6,64 1,33 6,79 1,36
60 8,29 1,66 8,30 1,66
6. ANÁLISIS DE RESULTADOS
� Haga la gráfica T vs m con los datos de la tabla 2.
¿Cuánto vale la pendiente?
Para las 4 masas (10g, 20g, 40g y 60g) se obtuvo un periodo
entre un rango de 2,02 y 2,05 lo cual se aleja muy poco del
valor teórico equivalente a 2,01. Con los resultados
obtenidos se puede notar que a pesar de variar las masas,
la variación del periodo es mínima, se podría decir
despreciable. Teóricamente el periodo es constante, debido
a que este movimiento no depende de la masa, por lo cual
la pendiente de la gráfica es cero. Fue necesario realizar
una línea de tendencia a los datos obtenidos
experimentalmente mostrando así la veracidad de la
fórmula (anexo 1), ya que debido a los errores humanos
existentes en las mediciones, se presentaron variaciones en
los resultados esperados.
� Para cada valor de amplitud constante, grafique T
vs L. ¿Qué clase de relación sugiere estas gráficas entre
periodo y longitud?
Con la realización de las gráficas se puede notar que las
variables tienden a cumplir la función y=√� en donde y es el
periodo y x corresponde a la longitud del péndulo. Las
gráficas obtenidas de forma experimental (anexo 2) en
comparación con la gráfica teórica (anexo 3) presentan un
porcentaje de error pequeño, por lo que se puede decir que
las medidas fueron tomadas correctamente.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTÁ. Laboratorio fundamentos de mecánica.
� Linealice los datos de T vs L. Para ello, eleve L a la
potencia n, sugerida por las graficas del punto anterior.
Haga las gráficas correspondientes de T vs Ln
¿Cuál es el
valor de n?
Teniendo en cuenta la tendencia de las gráficas anteriores,
para la linealización el valor de n debe corresponder a 0,5, y
considerando la ecuación para el movimiento relacionando
las variables mencionadas se da, tomando como K a la
constante de 2π/g1/2
:
ln � � ln(� �/�)
ln � � ln � + ln �/�
ln � � ln � + 1/2 ln �
Por tanto los datos para graficar se encuentran en la
siguiente tabla:
TABLA 4.Datos para linealización
Amplitud 10 15
Raiz (L) T
4,58 0,93 0,95
6,32 1,28 1,27
7,75 1,57 1,56
T
30 45 60
0,97 0,98 1,02
1,32 1,33 1,36
1,66 1,66 1,66
Con la realización de las gráficas de linealización para
diferentes ángulos, se puede observar que en todas ellas se
presenta una relación de proporcionalidad directa entre el
periodo y la raíz cuadrada de la longitud.
� Encuentre la pendiente (pen) de cada gráfica. Sus
valores, con sus unidades. Realice una tabla.
El valor de la pendiente se obtiene mediante la relación
entre la variación de periodo y la variación de la raíz
cuadrada de la longitud, como sigue:
��� � ∆�∆√� , dando como unidades � √��⁄ , los datos se
consolidan en la tabla 4.
� ¿Cambia pen al cambiar θ, para los ángulos
pequeños?
Según las gráficas obtenidas para ángulos pequeños, se
observa una pequeña variación en las pendientes, casi
despreciable, la cual se puede justificar con los errores de
medición generalmente presentes durante las prácticas,
como la realización de un montaje inestable (donde las
variables deseadas no se mantienen constates) o un mal
manejo del cronometro.
Teniendo en cuenta la ecuación, el hecho de que la
pendiente no cambie mucho, se debe a que el periodo es
independiente de la amplitud, y para ángulos pequeños,
esta propiedad se observa más claramente que para
ángulos grandes.
TABLA 5. Datos de pen a diferentes amplitudes angulares.
Amplitud(θθθθ) Pendiente
(s/√��)
10 0,2049
15 0,1938
30 0,2183
45 0,2144
60 0,2031
� ¿Cómo cambia pen cuando θ toma valores
grandes?
Para grandes amplitudes angulares se observa una
disminución de la pendiente en la gráfica, a medida que la
amplitud aumenta, esto sucede debido a que la
aplicabilidad de la propiedad anteriormente mencionada (el
periodo no depende del ángulo de amplitud) es cada vez
menor a medida que el ángulo es mayor, puesto que la
amplitud del movimiento no se mantiene constante y el
tiempo que tarda en realizar el número de oscilaciones
establecidas, se vuelve cada vez menor. Modificando de
esta forma el comportamiento establecido por la
propiedad.
� Las unidades de pen sugieren que pen=C*gn. Anote el
valor de n y los valores de C para cada θ.
El valor de n es -1/2 y, sabiendo esto para calcular el valor
de C se toma en cuenta que C*g-1/2
es igual a la pendiente
de la gráfica de cada ángulo, por lo que los valores de C son:
C*g-1/2
=pen → C=pen*g1/2
TABLA 6. Valores de C para cada ángulo.
C θθθθ
6,38 10
6,04 15
6,82 30
6,89 45
6,35 60
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE BOGOTÁ. Laboratorio fundamentos de mecánica.
� Para los valores de θ pequeños el valor de C
sugiere que allí está contenida otra constante fundamental
de la física. ¿Cuál es?
Observando los datos de C obtenidos en la tabla anterior,
con el promedio de C para ángulos pequeños igual a 6,21,
se puede ver que la constante es π y que el producto de 2π
es un valor muy cercano al esperado, además concuerda
con la ecuación teórica para estos casos.
� Para θ pequeños escriba como depende T de todos
los parámetros estudiados.
El periodo es independiente de la masa, en cuanto a
longitud se nota la diferencia significativa por lo que se
muestra su dependencia con esta variable, finalmente, la
variación del periodo al cambiar los ángulos de oscilación es
poca, por lo que se podría decir que también es
independiente de estas, ya que por errores experimentales
se pudo provocar ese cambio.
� No se encontró dependencia matemática entre T y
θ, pero los resultados de la tabla 3 muestran que existe,
llámela f(θ). ¿Cuánto vale esta función para ángulos
pequeños?
Los datos obtenidos mediante la medición no son
suficientes para poder encontrar una función que se
acomode a lo deseado, ya que solo se tomaron medidas
para ángulos de 10 y 15 grados considerados como los
ángulos pequeños, solo dos datos que no dan la
información requerida.
Si tomamos en cuenta todos los ángulos y viendo la relación
mediante una gráfica de estos con el periodo se puede
obtener una función como:
T = f(θ) = 2*10-6θ3
– 0,008θ + 0,866
Función obtenida mediante herramientas informáticas
(Microsoft Excel), para una mejor exactitud.
7. CONCLUSIONES
• Se evidencia que el periodo solo depende de la
longitud de la cuerda, pero solo es apreciable y
demostrable en ángulos menores a 20°; esto se debe a
que en ángulos mayores, el rozamiento entre el aire y
la cuerda es muy alto.
• Contrario a la intuición la aceleración es máxima
cuando el objeto está quieto, debido a que es
necesario detener el cuerpo, y más aún para que este
regrese.
• La velocidad es máxima en la altura mínima pues es
aquí donde ha actuado por más tiempo la aceleración,
es decir, desde el momento de altura máxima a la
altura mínima.
• El movimiento en condiciones ideales debería ser
perpetuo, pero como se evidencio, este no lo es
debido al rozamiento con el aire
8. BIBLIOGRAFÍA
[1] Física, Serway, Raymond A, edit. Interamericana, México
(1985).
[2] Física, Resnick, Robert; Halliday, David; Krane, Kenneth S, edit.
CECSA (1993)
[3] Física, Tipler, Paul A., edit. Reverté, Barcelona (1978).
Top Related