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MATEMATICAS
DISCRETAS
Instituto tecnológico
De
Chilpancingo
Carrera: ing. en informática
“Portafolio de evidencias”
INTEGRANTES:
MIGUEL ANGEL BELTRAN ABRAJAN.
MANUEL NIÑO NAVARRETE.
ELISAMA MORALES PARRA.
CLAUDIA BERENICE RAMIREZ NIÑO.
PROFR: MARIO HERNANDEZ HERNANDEZ.
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Chilpancingo, Guerrero; Septiembre 5 del 2012.
Índice Introducción 4
Objetivo 4
Unidad I Sistemas Numéricos 5
1.1 Sistemas Numéricos
1.1.1 Sistema Binario 6
1.1.2 Sistema Octal 6
1.1.3 Sistema Hexadecimal 7
1.2 Conversión entre sistemas
1.2.1 Convertir los números de Decimal a: Binario, octal y hexadecimal 8-11
1.2.2 Convertir los números de Binario a Decimal 12
1.2.3 Convertir los números de Octal a Decimal 13
1.2.4 Convertir los números de Hexadecimal a Decimal 14
1.2.5 Convertir los números de Hexadecimal a: (Binario y Octal) 15
1.2.6 Convertir los números de Binario a Octal 16
1.2.7 Convertir los números de Binario a Hexadecimal 17
1.2.8 Convertir los números de Octal a Binario 18
1.3 Operaciones básicas (Suma, y Multiplicación)
1.3.1 Sumas en Binario 19
1.3.2 Multiplicación en Binario 19
Conclusión 20
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BIBLIOGRAFIA
1. MARIO HERNANDEZ HERNANDEZ
PROFESOR DE MATEMATICAS DISCRETAS
REFERENCIA EN INTERNET
2. http://www.monografias.com
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INTRODUCCIÓN
Desde tiempos remotos el hombre comenzó a desarrollar diferentes
sistemas matemáticos con su correspondiente base numérica, para
satisfacer sus necesidades de cálculo. Los sistemas numéricos más antiguos
son:
• Babilónico
• Romano
• Hindú
• Árabe
Desde el comienzo de nuestra instrucción primaria en la escuela nos
enseñan las matemáticas correspondientes al sistema numérico decimal,
que continuamos utilizando durante el resto de nuestras vidas para realizar
lo mismo cálculos simples que complejos. Debido al extendido uso del
sistema decimal muchas personas desconocen la existencia de otros
sistemas numéricos como, por ejemplo, el binario ( de base 2 ), el octal (
de base 8 ) y el hexadecimal ( de base 16 ), entre otros.
Con el surgimiento de los ordenadores o computadoras personales (PCs),
los ingenieros informáticos se vieron en la necesidad de adoptar un sistema
numérico que le permitiera a la máquina funcionar de forma fiable.
Debido a que el sistema numérico decimal resultaba complejo para crear
un código apropiado, adoptaron el uso del sistema numérico binario (de
base 2), que emplea sólo dos dígitos: “0” y “1”.
Con el sistema binario los ingenieros crearon un lenguaje de bajo nivel o
“código máquina”, que permite a los ordenadores entender y ejecutar las
órdenes sin mayores complicaciones, pues el circuito electrónico de la
máquina sólo tiene que distinguir entre dos dígitos para realizar las
operaciones matemáticas y no entre diez, como hubiera sucedido de
haberse adoptado el sistema numérico decimal para el funcionamiento de
los computadores.
OBJETIVOS
• Comprender el manejo de números y saber usar las conversiones • Repasar los métodos de representación numérica de los sistemas: decimal,
binario, octal y hexadecimal, para números enteros y fraccionarios.
• Discutir los métodos de conversión entre los sistemas numéricos de nuestro
interés, tanto para números enteros y fraccionarios.
• Comprender la representación de números binarios con signo empleando
la notación complemento a 2.
• Repasar las operaciones aritméticas elementales en binario: suma y
multiplicación.
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Sistema Numérico
En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para
representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico
está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número
de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número
cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.
Valores posicionales
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los
valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad
representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la
posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en
el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así
sucesivamente hasta obtener un cociente cero.
Sistema binario
El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los
ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la
suma de varias potencias de dos.
Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores
y computadoras.
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Sistema Binario (Base 2)
Utiliza 2 como base y emplea 2 dígitos 0,1.
Propiedades:
Utiliza los dígitos 0,1
Los valores de posición comienzan por 1 para el último digito de la derecha y
aumentan en el factor 2 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la
izquierda.
128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 1 1
Sistema Octal (Base 8)
Propiedades:
Utiliza los 8 dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7
Los valores de posición comienzan por 1 para el último digito de la derecha y
aumentan en el factor 8 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la
izquierda.
512 64 8 1
3 2 7 (64*3)+(8*2)+(7*1) 3278 = 21510
1 1 2 (64*1)+(8*1)+(2*1) 1128= 7310
1 4 2 (64*1)+(4*8)+(2*1) 1428 = 9810
2 4 2 (64*2)+(4*8)+(2*1) 2428 = 16210
1 0 (8*1)+(0*1) 108= 810
1 0 1 (64*1)+(8*0)+(1*1) 1018 = 6510
1010112 = 4310
10101102 = 8610
101011012 = 17310
111011102 = 23810
100110012 = 15310
111010112 = 23510
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Sistema Hexadecimal (Base 16)
Propiedades:
Utiliza los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,A,B,C,D,E,F.
Los valores de posición comienzan por 1 para el último digito de la derecha y
aumentan en el factor 16 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la
izquierda.
4096 256 16 1
2 A 4 (2*256)+(16*10)+(4*1) 2A416 = 67610
Operación Contraria de Decimal a Binario.
128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 1 0
Decimal a Octal.
512 64 8 1
2 3 2 15410 = 2328 Resultado: 154-128=26 26-24=2
3 0 0 4 154010 = 30048 Resultado: 512*3=1536 1540-1536=4
Decimal a Hexadecimal.
4096 256 16 1
2 0 8 52010 = 20816 Resultado: 256*2=512 520-512=8
2 A 0 67210 = 2 A 016 Resultado: 256*2=512 672-512=160
A=10 D=13 B=11 E=14 C=12 F=15
100101012 = 14910 Resultado: 149-128=21 21-16=5
10000102 = 6610Resultado: 66-64= 2
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Conversión de Binario a Octal
010 101 110 101 2 = 25658
2 5 6 5
010 111 011 101 1102 =273568
2 7 3 5 6
011 010 000 1002 = 32048
3 2 0 4
Conversión de Octal a Binario
74218 = 111 100 010 001 2
7 4 2 1
1748 = 001 111 1002
34508 = 011 100 101 0002
Conversión de Binario a Hexadecimal.
a) 0101 0111 01012 = 57516
5 7 5
b) 0010 1110 1110 11102 = 2EEE16
c) 0110 1000 01002 = 68416
6 8 4
8 4 2 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1
2 E E E
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1.- Convertir los siguientes números de decimal a binario
a) 647910R=11001010011112 b) 546310 R=10101010101112
c) 111110 R=100010101112
d) 443010 R=10001010011102
e) 203110 R=111111011112
f) 100010 R=11111010002
g) 101010 R=11111100102
h) 999910 R=100111000011112
i) 107810 R=100001101102
j) 14510 R=100100012
k) 481010 R=10010110010102
l) 2710 R=110112
m) 14910 R=100101012
n) 102410 R=100000000002
ñ) 29910 R=1001010112
8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 1
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"ASI ES COMO SE RESUELVEN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS"
EJEMPLO: 262144 4906 512 64 8 1 RESULTADO
1 145 2 2 1 (64X2=128)(145-128=17)(2X8=16)(17-16=1)(1-1=0)
Num. Problema en decimal 262144 4906 512 64 8 1 resultado en octal
1 6479 1 4 5 8 1 14581
2 5473 1 2 5 2 7 12527
3 1111 2 1 2 7 2127
4 4430 1 0 5 1 6 10516
5 2031 3 7 7 1 3771
6 1000 1 7 5 0 1750
7 1010 1 7 6 2 1762
8 9999 2 3 4 1 7 23417
9 1678 3 2 1 6 3216
10 145 2 2 1 221
11 48 6 0 60
12 27 3 3 33
13 149 2 2 5 225
14 1024 2 0 0 0 2000
15 299 4 5 3 453
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Convertir los siguientes números DECIMALES al sistema HEXADECIMAL.
Numero Tabla Operaciones.
65536 4096 256 16 1
647910----------194F16 1 9 4 F (1*4096)+(9*256)+(4*16)+(15*1)
546310----------155716 1 5 5 7 (1*4096)+(5*256)+(5*16)+(7*1)
111110----------45116 4 5 1 (4*256)+(5*16)+(1*1)
443010----------114E16 1 1 4 E (1*4096)+(1*256)+(4*16)+(14*1)
203110----------7EF16 7 E F (7*256)+(14*16)+(15*1)
100010----------3E816 3 E 8 (3*256)+(14*16)+(8*1)
101010----------3F216 3 F 2 (3*256)+(15*16)+(2*1)
999910----------270F16 2 7 0 F (2*4096)+(7*256)+(0*16)+(15*1)
167810----------68E16 6 8 E (6*256)+(8*16)+(14*1)
14510----------9116 9 1 (9*16)+(1*1)
4810----------3016 3 0 (3*16)+(0*1)
2710----------1B16 1 B (1*16)+(11*1)
14910----------9516 9 5 (9*16)+(5*1)
102410----------40016 4 0 0 (4*256)+(0*16)+(15*0)
29910----------12B16 1 2 B (1*256)+(2*16)+(11*1)
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2. convertir los siguientes números de binario a decimal
"ASI ES COMO SE VAN A RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS"
RESULTADO
EJEMPLO: 128 64 32 16 8 4 2 1
1 11111111 1 1 1 1 1 1 1 1 128+64+32+16+8+4+2+1=255
NUM. Problema en base 2
128 64 32 16 8 4 2 1 Resultado en base 10
1 11111111 1 1 1 1 1 1 1 1 255
2 10000000 1 0 0 0 0 0 0 0 128
3 OOOO1OOO 0 0 0 0 1 0 0 0 8
4 O1111111 0 1 1 1 1 1 1 1 127
5 1111OOOO 1 1 1 1 0 0 0 0 240
6 OOOO1111 0 0 0 0 1 1 1 1 15
7 O1O1O1OO 0 1 0 1 0 1 0 0 84
8 1O1O1O11 1 0 1 0 1 0 1 1 171
9 O1O1O1O1 0 1 0 1 0 1 0 1 85
10 1OOOOOO1 1 0 0 0 0 0 0 1 129
11 111O1111 1 1 1 0 1 1 1 1 239
12 O11OOO11 0 1 1 0 0 0 1 1 99
13 11011O11 1 1 0 1 1 0 1 1 219
14 1OO11OOO 1 0 0 1 1 0 0 0 152
15 11OO1O1O 1 1 0 0 1 0 1 0 202
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Numero Tabla Operaciones
4096 512 64 8 1
4768-----31810 4 7 6 (4*64)+(7*8)+(6*1) 3468-----23010 3 4 6 (3*64)+(4*8)+(6*1)
11118-----58510 1 1 1 1 (512*1)+(1*64)+(1*8)+(1*1) 14308-----79210 1 4 3 0 (512*1)+(4*64)+(3*8)+(0*1) 10108-----52010 1 0 1 0 (512*1)+(0*64)+(1*8)+(0*1) 7778-----51110 7 7 7 (7*64)+(7*8)+(7*1)
16758-----95710 1 6 7 5 (512*1)+(6*64)+(7*8)+(5*1) 1468-----10210 1 4 6 (1*64)+(4*8)+(6*1) 748------6010 7 4 (7*8)+(4*1) 278------2310 2 7 (2*8)+(7*1)
10268------53410 1 0 2 6 (512*1)+(0*64)+(2*8)+(6*1) 2758------18910 2 7 5 (2*64)+(7*8)+(5*1)
12348------66810 1 2 3 4 (512*1)+(2*64)+(3*8)+(4*1) 4308------28010 4 3 0 (4*64)+(3*8)+(0*1)
35708------191210 3 5 7 0 (512*3)+(5*64)+(7*8)+(0*1)
Convertir los siguientes números Octales a
Decimal.
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Convertir de Hexadecimal a Decimal
convertir los números de base 16(hexadecimal) a base 10(decimal) usando la tabla hexadecimal
Ejemplo:
D1F9₁₆ =
Paso 1. Colocar la cantidad que vaya a resolver en la tabla, empezando de derecha a izquierda
tal como se hizo en la tabla de abajo.
16⁴ 16³ 16² 16¹ 16⁰
65.5536 4096 256 16 1
D 1 F 9
Paso 2. multiplicar la letra o numero con el numero que haya quedado, ejemplo : D x 4096, 1 x 256...
y asi hasta terminar con el ultimo numero.
Paso 3. Sumar los resultados de las multiplicaciones, para sacar la respuesta.
Respuesta:
D1F9₁₆ = 53753₁₀
Ejercicios
Num. 4096 256 16 1 Resultados
1
A 1 (A x 16) + (1 x 1) = 161₁₀
2
3 4 (3 x 16) + (4 x 1) = 52₁₀
3
1 7 9 (1 x 256) + (7 x 16) + (9 x 1) = 377₁₀
4
A D A (A x 256) + (D x 16) + (A x 1) = 2,778₁₀
5
F 4 5 (F x 256) + (4 x 16) + (5 x 1) = 3,909₁₀
6
1 3 4 (1 x 256) + (3 x 16) + (4 x 1) = 308₁₀
7 1 0 0 1 (1 x 4096) + (1 x 1) = 4,097₁₀
8 1 0 2 4 (1 x 4096) + (2 x 16) + (4 x 1) = 4,132₁₀
9 5 7 4 A (5 x 4096) + (7 x 256) + (4 x 16) + (A x 1) = 22,346₁₀
10 7 4 D 8 (7 x 4096) + (4 x 256) + (D x 16) + (8 x 1) = 29,912₁₀
11
F E A (F x 256) + (E x 16) + (A x 1) = 4,074₁₀
12
1 5 4 (1 x 256) + (5 x 16) + (4 x 1) = 340₁₀
13 7 1 1 1 (7 x 4096) + (1 x 256) + (1 x 16) + (1 x 1) = 28,945₁₀
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Conversión de hexadecimal a binario
AF416= 1010111101002
101016= 00010000000100002
1AOE16= 00011010000011102
Conversión de octal a hexadecimal
25658 = 010101110101= 57516
273568= 010111011101110= 2EEE16
6748= 000110111100= 1BC16
Conversión de hexadecimal a octal
F4516= 111101000101= 75058
1A416=000110100100= 06448
AD1416=001010110100010100= 1264248
Convertir a decimal
a) 111012 =2910
b) 1101102 =5410
c) 1748 =12410
d) 32218 =168110
e) F1216 =385810
f) 1A816 =42410
f)
1x16=16+10=26
26x16=3856+2=3858
a)
1x2=2+1=3
3x2=6+1=7
7x2=14+0=14
14x2=28+1=29
b)
1x2=2+1=3
3x2=6+0=6
6x2=12+1=13
13x2=26+1=27
27x2=54+0=54
c)
1x8=8+7=15
15x8=120+4=124
d)
3x8=24+2=26
26x8=208+2=210
210x8=1680+1=1681
e)
FX16=240+1=241
241X16=3856+2=3858
pág. 16
NUMERO EJEMPLO: PROCEDIMIENTO, AQUÍ SE MUESTRA COMO SE LE AGREGA EL
CERO
RESULTADO
1 10101101 (010)=2(101)=5(101)=5 255
NUMERO PROBLE MA EN BASE 2 RESPUESTA EN BASE 8
1 10101101 255
2 10010010 222
3 11001100 314
4 O1010101 125
5 11100111 347
6 10111011 273
7 10000001 201
8 11011011 333
9 11111011 372
10 10001000 210
11 OOOO1111 17
12 O1100110 146
13 11000101 305
14 O0111011 73
15 10111010 272
¿Como Hacerlo?
Ejemplo tenemos el número 176 para pasarlo en binario solo es necesario ir
tomando de la tabla morada los valores de cada numero como se muestra a
continuación:
1768= 001 111 110
1 7 6
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Convertir de Binario a Hexadecimal
Convertir los números de binario a hexadecimal usando la tabla binario/hexadecimal
Ejemplo:
Paso 1. Tienes que ir separando los números de cuatro, en cuatro dígitos, de derecha
a izquierda.
1OOO 1OOOOO111111₂ = Paso 2. Buscar la cantidad dada de los cuatros dígitos, y pondrás el numero equivalente
al hexadecimal.
RESPUESTA: 1OOO 1OOO OO11 1111₂ = 883F₁₆
1.- 100110110101₂ =9B5₁₆ HEXADECIMAL BINARIO
2.- 100101001100₂= 94C₁₆ O OOOO 3.- 110011100011₂= CE3₁₆ 1 OOO1 4.- 111001011001₂ = 659₁₆ 2 OO1O 5.- 111001011011₂ = E5B₁₆ 3 OO11 6.- 101101010110₂= B56₁₆ 4 O1OO 7.- 100101011001₂ = 959₁₆ 5 O1O1 8.- 110111011111₂ =
DDF₁₆ 6 O11O 9.- 111110110101₂= FB5₁₆ 7 O111
10.- 100010010001₂ = 891₁₆ 8 1OOO
11.- 000011111100₂ = 0FC₁₆ 9 1OO1
12.- 011001100101₂ = 665₁₆ A 1O1O
13.- 110001011100₂ = C5C₁₆ B 1O11
14.- 0011010111012= 35D₁₆ C 11OO
15.- 101110101111₂= BAF₁₆ D 11O1
E 111O
F 1111
pág. 18
Numero en Sistema Octal Numero en Sistema Binario
235 010011101 272 010111010 214 010001100
1125 001001010101 307 011000111 173 001111011 210 010001000 343 011100011 362 011110010 217 010001111 174 001111100
1046 001000100110 505 101000101 763 111110011 176 001111110
Convertir de hexadecimal a binario
RESULTADO
9A516 1001101001012
92C16 1001001011002
CEA16 1100111010102
65016 0110010100002
E5D16 1110010111012
B2616 1011001001102
95716 1001010101112
DF116 1101111100012
FB316 1111101100112
88116 1000100000012
FCO16 1111110000002
66616 0110011001102
B5B16 1011010110112
25D16 0010010111012
BAE16 1011101011102
Tabla de Valores.
4 2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1
Octal a Binario
pág. 19
DECIMAL
a) .11012= 0.812510
b) .001112= 0.2187510
c) 0.37510= 0.0112
Convertir de binario a decimal
1011.011= 11.375
10101.1011= 21.6875
15.7516= 1111.11
45.35010= 101101.01011
OPERACIONES SUMA BINARIA
Multiplicación Binaria
0 1 0 1
X 0 x 0 x 1 x 1
0 0 0 1
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
64 32 16 8 4 2 1
2-1 2-2 2-3 3-4 2-5
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
0 1 0 1
+ 0 + 0 + 1 + 1
0 1 1 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 0
+ 1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
+ 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
+ 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
X 1 1 0 1
1 0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1
X 1 0 1
1 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0 1
1 2 4
1 6
+ 1 1 0
1 5 4
pág. 20
Suma Octal
Conclusión:
En conclusión, el sistema de numeración es el conjunto de símbolos
utilizados para la representación de cantidades, así como las reglas que
rigen dicha representación. En la informática se usan muchos sistemas de
numeración como lo el sistema binario, decimal, octal y hexadecimal ya
que son muy útiles para la realización de varios programas pero la
tecnología ha avanzado tanto que ya estos sistemas están si se puede
decir obsoleto.
El sistema decimal que es uno de los denominados sistemas
posicionales.
El Sistema binario que utiliza internamente el hardware de las
computadoras actuales.
El sistema de numeración Octal cuya base es 8.
El hexadecimal que utiliza 16 símbolos para la representación de
cantidades.
Para la realización de estos programas se tenia que realizar algunas
conversiones numéricas que son de decimal-binario (se divide el número
entre dos) y binario-decimal (se suma en el número binario las diversas
posiciones que contengan 1).
4 2 6 1 2 4
0 7 5
+ 1 1 5
1 0 0
4 3 6
pág. 21