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LA INTEGRAL DEFINIDA FIDEL VERA OBESO

PRÁCTICA SOBRE APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

VOLÚMENES

En los problemas 1 a 4, halle el volumen del sólido generado cuando la región indicada gira alrededor del que se especifica; rebane, aproxime e integre.

1. eje x

2. eje x

3. (a) eje x (b) eje y

4. a) eje x (b) eje y

1


5. (a) eje x (b) la recta

(c) la recta (d) la recta

6. (a) eje x (b) la recta

(c) la recta (d) la recta

En los problemas 5 a 10, dibuje la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Halle después el volumen del sólido generado por la rotación de alrededor del eje x.

7.

8.

9.

10. , entre y

11. , entre y

12. , entre y

2


En los problemas 11 a 16, dibuje la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre un rectángulo horizontal característico. Halle el volumen del sólido generado mediante la rotación de alrededor del eje y.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la región limitada por la mitad superior de la elipse

y el eje; halle después el volumen del esferoide alargado. Aquí, y son constantes positivas, siendo > .

20. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la región limitada por la recta y la

parábola . Haga un diagrama.

21. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la región limitada por la recta y

la parábola . Haga un diagrama.

22. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la región del primer cuadrante limitada por

la recta , el círculo y el eje x, siendo << ,y halle después el volumen de un segmento esférico de altura , si el radio de la esfera es .

23. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje y de la región limitada por la recta y la

parábola . Haga un diagrama.

24. Halle el volumen del sólido generado por la rotación alrededor de la recta de la región del primer cuadrante

limitada por las parábolas y

y el eje y. Haga un diagrama.

3


25. La base de un sólido es la región interior del círculo

. Halle el volumen del sólido si toda sección

transversal mediante un plano perpendicular al eje x es un cuadrado.

26. Haga el problema 23 suponiendo que toda sección transversal mediante un plano perpendicular al eje x es un triángulo isósceles, cuya base está en el plano y cuya altura es 4.

27. La base de un sólido está limitada por un arco de

, y el eje x. Toda sección

transversal perpendicular al eje x es un cuadrado apoyado sobre su base. Halle el volumen del sólido.

28. La base de un sólido es la región limitada por

y . La sección transversal del sólido perpendicular al

eje x, es un cuadrado. Halle el volumen del sólido.

29. Halle el volumen de un octante (un octavo) de la región sólida comen a dos cilindros circulares rectos de radio 1, cuyos ejes se intersectan en ángulo recto. Sugerencia: Las secciones transversales horizontales son cuadradas.

30. La base de un sólido es la región limitada por

y . Toda sección transversal perpendicular al eje x es un

semicírculo cuyo diámetro se extiende a lo largo de . Halle el volumen del sólido.

31. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la

región del primer octante limitada por la curva , la recta

y el eje x.

a) Alrededor de la línea ;b) Alrededor de la recta .

32. Halle el volumen del sólido generado por la revolución de

la región en el primer cuadrante aislado por la curva , la

línea y el eje y.

4


a) Alrededor de la línea ;b) Alrededor de la recta .

33. Halle el volumen del sólido que se encuentra entre los planos perpendiculares a eje x en y . Las secciones transversales perpendiculares al eje x son discos circulares cuyos

diámetros van de la parábola a la parábola .

34. Halle el volumen del sólido cuya base es la región entre la

curva y el intervalo en el eje x. Las secciones

transversales perpendiculares al eje son

a) triángulos equiláteros con bases que van del eje x a la curva, como se muestra en la figura.

b) cuadrados con bases que van del eje x a la curva.

35. Halle el volumen del sólido cuya base es el disco

. Las secciones transversales son triángulos

rectángulos isósceles determinados por planos perpendiculares al eje y entre y , con uno de los catetos en el disco.

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36. Se corta una cuña curva de un cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos es perpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un ángulo de en el centro del cilindro. Determine el volumen de la cuña.

37. Una pirámide de 3 de altura tiene una base cuadrada que tiene 3 por lado. La sección transversal de la pirámide, perpendicular a una altura de del vértice, es un cuadrado de

por lado. Determine el volumen de la pirámide.

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