VII. Entropรญa
Objetivos:
1. Aplicar la segunda ley de la termodinรกmica a procesos.
2. Definir una nueva propiedad llamada entropรญa para cuantificar
los efectos de la segunda ley.
3. Establecer el principio de incremento de entropรญa.
4. Calcular los cambios de entropรญa que toman lugar durante un
proceso para sustancias puras, incompresibles, y gases ideales.
5. Examinar una clase especial de proceso idealizado, llamado
isoentrรณpico, y desarrollar las relaciones de propiedades para este
proceso.
6. Derivar las relaciones de trabajo para dispositivos reversibles
de estado estable.
7. Desarrollar las eficiencias isoentrรณpicas para los varios
dispositivos de estado estable.
8. Introducir y aplicar el balance de entropรญa a varios sistemas.
PPT elaborado por Arturo Arosemena
1
1. Cambios de entropรญa.
Aplicando balance de energรญa al sistema
combinado se tendrรก que:La segunda ley de la termodinรกmica con frecuencia lleva a
expresiones que involucran desigualdades.
Considere el siguiente sistema.๐ฟ๐๐ โ ๐ฟ๐๐๐๐ฃ + ๐ฟ๐๐ ๐ฆ๐ = ๐๐ธ๐ถ
Donde ๐ฟ๐๐ถ = ๐ฟ๐๐๐๐ฃ + ๐ฟ๐๐ ๐ฆ๐ :
VII. Entropรญa
2
Considerando que el dispositivo cรญclico sea reversible
se tendrรก que:
La expresiรณn anterior, da la impresiรณn de que el
sistema combinado esta intercambiando calor con un
solo reservorio de energรญa mientras involucra la
creaciรณn de un trabajo neto ๐๐ถ durante el ciclo. Esto
de acuerdo al postulado de la segunda ley de Kelvin-
Planck es imposible y por lo tanto ๐๐ถ no puede ser
un trabajo neto de salida. Consecuentemente:
1. Cambios de entropรญa.
๐ฟ๐๐ถ = ๐ฟ๐๐ โ ๐๐ธ๐ถ
๐ฟ๐๐ ๐ฟ๐
๐๐๐ฃ
=๐๐ ๐
Entonces:
๐ฟ๐๐ถ = ๐๐ ๐ฟ๐
๐โ ๐๐ธ๐ถ
Lo cual si se integra durante un ciclo darรก:
๐๐ถ = ๐๐ ๐ฟ๐
๐
๐ฟ๐
๐โค 0
VII. Entropรญa
3
Aquรญ observe que se ha definido el cambio de
entropรญa en vez de la entropรญa en sรญ.
1. Cambios de entropรญa.
Esta desigualdad se conoce como la desigualdad de
Clausius. Para los ciclos internamente reversibles se
cumple la igualdad y para los irreversibles se cumple
a desigualdad.
๐ฟ๐
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.
= 0
Lo interesante de la desigualdad anterior, es que para
el caso internamente reversible, la integral cerrada es
igual a cero. Lo cual es algo caracterรญstico de una
propiedad.
De esta manera, Clausius se dio cuenta que habรญa
encontrado una nueva propiedad termodinรกmica, y
decidiรณ llamarla entropรญa ๐.
๐๐ =๐ฟ๐
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.
kJ K
Por lo tanto:
โ๐ = ๐2 โ ๐1 = ๐ฟ๐
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.
La entropรญa al ser una propiedad, no importa que
camino se recorra ya sea reversible o irreversible,
siempre presentarรก el mismo cambio entre dos
estados especรญficos.
Un caso especial: proceso de transferencia de calor
internamente reversible e isotรฉrmico (๐ = ๐0)
โ๐ =1
๐0 ๐ฟ๐ ๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. =
๐
๐0
VII. Entropรญa
4
1. Cambios de entropรญa.
La desigualdad en la expresiรณn anterior es un
recordatorio constante de que el cambio de entropรญa
de un sistema cerrado durante un proceso irreversible
es siempre mayor que la entropรญa transferida y por lo
tanto algo de entropรญa debe ser generada o creada
๐๐๐๐ durante un proceso irreversible.
Un caso especial: proceso de transferencia de calor
internamente reversible e isotรฉrmico (๐ = ๐0)
Donde ๐0 es la temperatura constante del sistema y ๐el calor transferido durante el proceso internamente
reversible.
2. Principio de incremento de entropรญa.
Considere un ciclo que esta hecho de dos procesos: el
proceso 1-2 que es arbitrario (reversible o
irreversible), y el proceso 2-1 el cuรกl es internamente
reversible.
๐ฟ๐
๐โค 0
1
2 ๐ฟ๐
๐+
2
1 ๐ฟ๐
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.
โค 0
1
2 ๐ฟ๐
๐+ ๐1 โ ๐2 โค 0
1
2 ๐ฟ๐
๐โค โ๐
๐ฟ๐
๐โค ๐๐
โ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐2 โ ๐1 = 1
2 ๐ฟ๐
๐+ ๐๐๐๐
La entropรญa generada es siempre una cantidad
positiva y no es una propiedad, es decir depende del
proceso.
VII. Entropรญa
5
Al ser una propiedad, en el caso de un sistema
compresible simple, basta con especificar dos
propiedades intensivas independientes para su
determinaciรณn.
En el caso de un sistema adiabรกtico la expresiรณn
anterior quedarรญa como:
2. Principio de incremento de entropรญa.
Esta ecuaciรณn representa el principio de incremento
de entropรญa: La entropรญa de un sistema aislado
durante un proceso siempre incrementa, o en el caso
lรญmite de un proceso reversible, permanece constante.
โ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ โฅ 0 โ โ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ โฅ 0
Tenga presente que el principio de incremento de
entropรญa no implica que la entropรญa de un sistema no
puede decrecer. El cambio de entropรญa de un sistema
puede ser negativo durante un proceso, pero la
generaciรณn de entropรญa no.
๐๐๐๐ = > 0, ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐= 0, ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ฃ๐๐๐ ๐๐๐๐< 0, ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐
Algunas conclusiones por destacar acerca de la
entropรญa
1. Los procesos pueden ocurrir solo en cierta
direcciรณn (๐๐๐๐ โฅ 0).
2. La entropรญa es una propiedad no conservativa e
incrementa durante todos los procesos reales.
3. El desempeรฑo de sistemas ingenieriles es
degradado por la presencia de irreversibilidades y la
generaciรณn de entropรญa es una medida de las
magnitudes de las irreversibilidades presentes durante
el proceso.
3. Cambio de entropรญa en sustancias puras.
VII. Entropรญa
6
3. Cambio de entropรญa en sustancias puras.
Una vez determinado el cambio de entropรญa
especรญfica โ๐ se puede determinar el cambio de
entropรญa โ๐ para una determinada cantidad de masa:
โ๐ = ๐โ๐ kJ K
4. Procesos isoentrรณpicos.
La entropรญa de sistemas cerrados, solo puede cambiar
ante la existencia de transferencia de calor y/o
irreversibilidades. Por lo tanto la entropรญa de un
sistema de masa fija no cambiarรก durante un proceso
que es internamente reversible y adiabรกtico.
โ๐ = 0 โ ๐ 2 = ๐ 1kJ
K โ kg
5. Diagramas de propiedades que involucran la
entropรญa.
En el anรกlisis de segunda ley dos diagramas se usan
comรบnmente: el de temperatura-entropรญa y el de
entalpia-entropรญa.
๐๐ =๐ฟ๐
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.
โ ๐๐๐ = ๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. [kJ]
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. = 1
2
๐๐๐
Por unidad de masa, la expresiรณn anterior quedarรญa
como:
๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. = 1
2
๐๐๐
VII. Entropรญa
7
5. Diagramas de propiedades que involucran la
entropรญa.
Por otra parte los diagramas โ โ ๐ (tambiรฉn llamados
diagramas de Mollier) son รบtiles ya que en
dispositivos de estado estable como una turbina, por
ejemplo, la distancia vertical โโ representa una
medida del trabajo de salida de la turbina, en tanto
que la distancia horizontal โ๐ es una medida de las
irreversibilidades asociadas con el proceso. Vea la
figura A-10 para el vapor del agua.
Diagrama T-S para un ciclo de Carnot
6. ยฟQuรฉ es la entropรญa?
La entropรญa puede ser vista como una medida del
desorden molecular o de la aleatoriedad molecular.
VII. Entropรญa
8
6. ยฟQuรฉ es la entropรญa?
A medida que un sistema se vuelve mรกs desordenado,
las posiciones de las molรฉculas se vuelven cada vez
menos predecibles y la entropรญa incrementa.
La tercera ley de la termodinรกmica se encuentra
asociada a la situaciรณn anterior. Las molรฉculas de una
sustancia en fase solida oscilan continuamente,
creando incertidumbre con respecto a su posiciรณn.
Estas oscilaciones, sin embargo, disminuyen a
medida que la temperatura decrece.
La tercera ley es un postulado que establece que la
entropรญa de una sustancia cristalina pura en el cero
absoluto de temperatura (0 ๐พ) es cero ya que no
existe incertidumbre con respecto al estado de las
molรฉculas en ese instante.
La cantidad de la energรญa siempre es preservada
durante un proceso (primera ley), pero la calidad
tiende a decrecer (segunda ley). Este decremento en
la calidad esta acompaรฑado por un incremento en la
entropรญa.
7. Relaciones ๐ป๐ ๐.
A continuaciรณn se deducirรกn expresiones para
relacionar los cambios diferenciales de entropรญa con
cambios diferenciales de otras propiedades.
Considere la forma diferencial de la ecuaciรณn de
conservaciรณn de energรญa para un sistema estacionario
de masa fija que contiene una sustancia
incompresible simple y que sigue un proceso
internamente reversible.
VII. Entropรญa
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7. Relaciones ๐ป๐ ๐.
Recuerde que los lรญquidos y los sรณlidos pueden ser
aproximados a sustancias incompresibles ya que sus
volรบmenes especรญficos permanecen prรกcticamente
constantes durante un proceso.
๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. โ ๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.,๐ ๐๐๐๐๐ = ๐๐
๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. = ๐๐๐, ๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ.,๐ ๐๐๐๐๐ = ๐๐๐
Por lo tanto:
]๐๐๐ โ ๐๐๐ = ๐๐ [kJ
]๐๐๐ โ ๐๐๐ฃ = ๐๐ข [k J k g
Esta primera ecuaciรณn ๐๐๐ es conocida como la
ecuaciรณn de Gibbs. Observe que la รบnica interacciรณn
de trabajo que puede involucrar a un sistema
compresible simple a medida que este pasa a travรฉs
de un proceso internamente reversible es el trabajo de
frontera.
La segunda ecuaciรณn ๐๐๐ es encontrada usando la
definiciรณn de entalpรญa.
โ = ๐ข + ๐๐ฃ โ ๐โ = ๐๐ข + ๐๐๐ฃ + ๐ฃ๐๐
๐๐๐ โ ๐๐๐ฃ = ๐โ โ ๐๐๐ฃ + ๐ฃ๐๐
]๐๐๐ = ๐โ โ ๐ฃ๐๐ [k J k g
๐๐ =๐๐ข
๐+๐๐๐ฃ
๐
kJ
kg โ K
๐๐ =๐โ
๐โ๐ฃ๐๐
๐
kJ
kg โ K
8. Cambios de entropรญa de lรญquidos y sรณlidos.
๐๐ โ ๐๐ข
๐=๐๐๐
๐
VII. Entropรญa
10
8. Cambios de entropรญa de lรญquidos y sรณlidos.
Donde ๐๐ฃ โ ๐๐ = ๐ para las sustancias
incompresibles.
Por lo tanto:
๐ 2 โ ๐ 1 โ 1
2
๐(๐)๐๐
๐
๐ 2 โ ๐ 1 โ ๐@๐๐๐๐๐ ln๐2๐1
9. Cambio de entropรญa de gases ideales.
๐๐ =๐๐ข
๐+๐๐๐ฃ
๐
Recordando que:
๐๐ = ๐๐ฃ๐๐
๐+๐ ๐๐ฃ
๐ฃ
๐๐ข = ๐๐ฃ๐๐, ๐๐ฃ = ๐ ๐
๐ 2 โ ๐ 1 = 1
2
๐๐ฃ ๐๐๐
๐+ ๐ ln
๐ฃ2๐ฃ1
Una segunda expresiรณn para el cambio de entropรญa
sale de la segunda expresiรณn ๐๐๐ :
๐๐ =๐โ
๐โ๐ฃ๐๐
๐
๐โ = ๐๐๐๐, ๐๐ฃ = ๐ ๐
๐๐ = ๐๐๐๐
๐โ๐ ๐๐
๐
๐ 2 โ ๐ 1 = 1
2
๐๐ ๐๐๐
๐โ ๐ ln
๐2๐1
Aquรญ el inconveniente principal es que el cรกlculo de
las integrales relacionadas a ๐๐ฃ ๐ y a ๐๐ ๐ toma
tiempo y es mรกs prรกctico trabajar con calores
especรญficos promedio o con valores tabulados.
Calores especรญficos constantes (anรกlisis aproximado)
๐ 2 โ ๐ 1 = ๐๐ฃ@๐๐๐๐๐ ln๐2๐1
+ ๐ ln๐ฃ2๐ฃ1
๐ 2 โ ๐ 1 = ๐๐@๐๐๐๐๐ ln๐2๐1
โ ๐ ln๐2๐1
VII. Entropรญa
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9. Cambio de entropรญa de gases ideales.
Procesos isoentrรณpicos de gases ideales
Calores especรญficos variables (anรกlisis exacto)
Cuando los cambios de temperatura no son pequeรฑos
y se quiere evitar efectuar constantemente las
integrales relacionadas a los calores especรญficos, es
conveniente realizar dichas integrales una vez y
presentar los valores en forma tabular.
Para este propรณsito considere que la referencia serรก el
cero absoluto de temperatura de manera tal que se
tenga la siguiente funciรณn:
๐ 0 = 0
๐
๐๐(๐)๐๐
๐
1
2
๐๐ ๐๐๐
๐=
0
๐2
๐๐(๐)๐๐
๐โ
0
๐1
๐๐(๐)๐๐
๐
1
2
๐๐ ๐๐๐
๐= ๐ 2
0 โ ๐ 10
Por lo tanto:
๐ 2 โ ๐ 1 = ๐ 20 โ ๐ 1
0 โ ๐ ln๐2๐1
Calores especรญficos constantes (anรกlisis aproximado).
0 = ๐๐ฃ@๐๐๐๐๐ ln๐2๐1
+ ๐ ln๐ฃ2๐ฃ1
ln๐2๐1
=๐
๐๐ฃ@๐๐๐๐๐
ln๐ฃ1๐ฃ2
ln๐2๐1
= ln๐ฃ1๐ฃ2
๐ ๐๐ฃ@๐๐๐๐๐
O bien:๐2๐1 ๐ =๐๐๐๐ ๐ก.
=๐ฃ1๐ฃ2
๐โ1
VII. Entropรญa
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9. Cambio de entropรญa de gases ideales.
Procesos isoentrรณpicos de gases ideales
Similarmente:
Calores especรญficos constantes (anรกlisis aproximado).
Donde ๐ = ๐๐@๐๐๐๐๐ โ ๐๐ฃ@๐๐๐๐๐ ,
๐ = ๐๐@๐๐๐๐๐ ๐๐ฃ@๐๐๐๐๐.
0 = ๐๐@๐๐๐๐๐ ln๐2๐1
โ ๐ ln๐2๐1
ln๐2๐1
= ln๐2๐1
๐ ๐๐@๐๐๐๐๐
๐2๐1 ๐ =๐๐๐๐ ๐ก.
=๐2๐1
๐โ1 ๐
De las dos expresiones anteriores, sale una tercera
relaciรณn isoentrรณpica.
๐2๐1 ๐ =๐๐๐๐ ๐ก.
=๐ฃ1๐ฃ2
๐โ1
=๐2๐1
๐โ1 ๐
๐ โ 1 ln๐ฃ1๐ฃ2
=๐ โ 1
๐ln
๐2๐1
๐ ln๐ฃ1๐ฃ2
= ln๐2๐1
๐2๐1 ๐ =๐๐๐๐ ๐ก.
=๐ฃ1๐ฃ2
๐
Calores especรญficos variables (anรกlisis exacto).
0 = 1
2
๐๐ ๐๐๐
๐โ ๐ ln
๐2๐1
VII. Entropรญa
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9. Cambio de entropรญa de gases ideales.
Procesos isoentrรณpicos de gases ideales
Calores especรญficos variables (anรกlisis exacto).
0 = ๐ 20 โ ๐ 1
0 โ ๐ ln๐2๐1
๐ 20 = ๐ 1
0 + ๐ ln๐2๐1
Presiรณn relativa y volumen especรญfico relativo.
La expresiรณn anterior es apropiada para cuando se
tienen gases ideales con calores especรญficos variables
durante un proceso isoentrรณpico. Sin embargo,
cuando lo que se conoce son las razones de
volรบmenes en vez de las razones de presiones se
pueden tener tediosas iteraciones.
Para remediar lo anterior se suelen definir dos
cantidades adimensionales:
๐๐ 2
0โ๐ 10
๐ =๐2๐1
๐2๐1
=๐๐ 2
0
๐
๐๐ 10
๐
=๐๐2๐๐1
Donde ๐๐ es denotado como presiรณn relativa y
รบnicamente es funciรณn de la temperatura.
Sea ๐ ๐๐ una funciรณn que รบnicamente depende de la
temperatura llamada volumen especรญfico relativo ๐ฃ๐:
Empleando la ecuaciรณn de estado de gas ideal:
๐1๐ฃ1๐1
=๐2๐ฃ2๐2
๐ฃ1๐ฃ2
=๐2๐1
๐1๐2
๐ฃ1๐ฃ2
=๐๐2๐๐1
๐1๐2
=
๐1๐๐1
๐2
๐๐2
๐ฃ1๐ฃ2 ๐ =๐๐๐๐ ๐ก.
=๐ฃ๐1๐ฃ๐2
VII. Entropรญa
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9. Cambio de entropรญa de gases ideales.
Procesos isoentrรณpicos de gases ideales
Presiรณn relativa y volumen especรญfico relativo.
El trabajo hecho durante un proceso depende del
camino recorrido asรญ como de las propiedades en los
estados finales.
Una expresiรณn similar puede ser desarrollada para el
trabajo generado por un dispositivo operando en
condiciones de estado estable para un proceso
internamente reversible:
10. Trabajo de flujo estable reversible.
Recuerde que el trabajo de frontera asociado con un
sistema cerrado es reversible y puede ser expresado
en tรฉrminos de las propiedades del fluido como:
๐๐ = 1
2
๐๐๐
๐ฟ๐๐๐๐ฃ โ ๐ฟ๐ค๐๐๐ฃ,๐ ๐๐. = ๐โ + ๐๐๐ + ๐๐๐
Pero en vista que:
๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. = ๐๐๐ , ๐๐๐ = ๐โ โ ๐ฃ๐๐
๐ฟ๐๐๐๐ก.๐๐๐ฃ. = ๐โ โ ๐ฃ๐๐
๐โ โ ๐ฃ๐๐ โ ๐ฟ๐ค๐๐๐ฃ,๐ ๐๐. = ๐โ + ๐๐๐ + ๐๐๐
โ๐ฟ๐ค๐๐๐ฃ,๐ ๐๐. = ๐ฃ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
Lo que tras ser integrado lleva a:
๐ค๐๐๐ฃ,๐ ๐๐. = โ 1
2
๐ฃ๐๐ + โ๐๐ + โ๐๐
Y que puede reducirse a:
๐ค๐๐๐ฃ,๐ ๐๐. = โ 1
2
๐ฃ๐๐
VII. Entropรญa
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10. Trabajo de flujo estable reversible.
En caso de que los cambios de energรญa cinรฉtica y
potencial sean despreciables.
Aquรญ evidentemente se necesita conocer ๐ฃ como una
funciรณn de ๐ para un determinado proceso. Cuando el
fluido de trabajo es incompresible, el volumen
especรญfico permanece constante y la expresiรณn
anterior se simplifica de la siguiente manera:
๐ค๐๐๐ฃ,๐ ๐๐. = โ๐ฃ ๐2 โ ๐1 โ โ๐๐ โ โ๐๐ [k J k g
En el caso de un dispositivo de estado estable que no
involucre interacciones de trabajo (tal como una
tobera o una secciรณn de una tuberรญa), el tรฉrmino de
trabajo es cero, y la expresiรณn anterior podrรญa re
escribirse como:
0 = ๐ฃ ๐2 โ ๐1 +๐๐๐22 โ ๐๐๐21
2+ ๐ ๐ง2 โ ๐ง1
La cuรกl es conocida como la ecuaciรณn de Bernoulli y
que solo puede ser aplicada a procesos internamente
reversibles y que involucren fluidos incompresibles.
Prueba de que los dispositivos de estado estable
proporcionan la mayor cantidad y consumen la menor
cantidad de trabajo cuando el proceso es reversible
Considere el balance de energรญa de un proceso real y
de uno reversible:
Real: ฮด๐๐๐๐๐ โ ฮด๐ค๐๐๐๐ = ๐โ + ๐๐๐ + ๐๐๐
Reversible: ฮด๐๐๐๐ฃ โ ฮด๐ค๐๐๐ฃ = ๐โ + ๐๐๐ + ๐๐๐
Por lo tanto:
VII. Entropรญa
16
10. Trabajo de flujo estable reversible. Aquรญ si se tratase de una turbina ๐ค๐๐๐ฃ es positivo y
por lo tanto el trabajo entregado por ella durante un
proceso reversible es mayor que durante un proceso
real. En el caso de un compresor o bomba ๐ค๐๐๐ฃ es
negativo y se tendrรญa que la demanda de trabajo
durante el proceso reversible es menor que durante el
proceso real.
Prueba de que los dispositivos de estado estable
proporcionan la mayor cantidad y consumen la menor
cantidad de trabajo cuando el proceso es reversible
ฮด๐๐๐๐๐ โ ฮด๐ค๐๐๐๐ = ฮด๐๐๐๐ฃ โ ฮด๐ค๐๐๐ฃ
ฮด๐ค๐๐๐ฃ โ ฮด๐ค๐๐๐๐ = ฮด๐๐๐๐ฃ โ ฮด๐๐๐๐๐
Y recordando que:
ฮด๐๐๐๐ฃ = ๐๐๐ ,๐ฟ๐๐๐๐๐๐
โค ๐๐
ฮด๐ค๐๐๐ฃ๐
โฮด๐ค๐๐๐๐
๐= ๐๐ โ
ฮด๐๐๐๐๐๐
ฮด๐ค๐๐๐ฃ๐
โฮด๐ค๐๐๐๐
๐โฅ 0
Consecuentemente:
ฮด๐ค๐๐๐ฃ โฅ ฮด๐ค๐๐๐๐
๐ค๐๐๐ฃ โฅ ๐ค๐๐๐๐
11. Minimizando el trabajo del compresor.
Como ya se comentรณ el trabajo de entrada a un
compresor puede ser minimizado al ser ejecutado de
forma reversible. En caso tal de que la energรญa
cinรฉtica y potencial fueran despreciables, estarรญa dado
por:
๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก = 1
2
๐ฃ๐๐
Una manera de minimizar el trabajo del compresor
serรญa aproximando el proceso a uno reversible al
minimizar las irreversibilidades. La segunda
alternativa serรญa mantener la temperatura del gas lo
mรกs baja posible durante la compresiรณn ya que el
volumen especรญfico del gas es proporcional a su
temperatura.
VII. Entropรญa
17
Por ejemplo si se tratase de un proceso politrรณpico
(๐๐๐ = ๐ถ) de un gas ideal (๐๐ = ๐๐ ๐):Compresiรณn en mรบltiples etapas con inter
enfriamiento
11. Minimizando el trabajo del compresor.
๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก = 1
2
๐ฃ๐๐
๐๐๐๐ฃ,๐๐๐ก = 1
2
๐ ๐ถ โ๐ ๐โ๐โ1๐๐ = 1
2
๐ถ โ๐ ๐โ๐๐๐
๐๐๐๐ฃ,๐๐๐ก = โ๐๐ถ๐โ๐+1
โ๐ + 1๐1
๐2
๐๐๐๐ฃ,๐๐๐ก =โ๐๐ถ ๐2
โ๐+1 โ ๐1โ๐+1
1 โ ๐=โ๐ ๐2๐2 โ ๐1๐1
1 โ ๐
๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก =๐๐ ๐2 โ ๐1
๐ โ 1=๐๐ ๐1๐ โ 1
๐2๐1
๐โ1 ๐
โ 1
Ya que:
๐๐๐ = ๐ถ โ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐โ๐ = ๐ถ
๐๐ ๐ ๐๐1โ๐ = ๐ถ
Para la compresiรณn en dos etapas mostrada en el caso
anterior:
VII. Entropรญa
18
Compresiรณn en mรบltiples etapas con inter
enfriamiento
11. Minimizando el trabajo del compresor.
๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก = ๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก,๐ผ +๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก,๐ผ๐ผ
๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก =๐๐ ๐1๐ โ 1
๐๐ฅ๐1
๐โ1 ๐
โ 1 +๐๐ ๐1๐ โ 1
๐2๐๐ฅ
๐โ1 ๐
โ 1
En la expresiรณn anterior la รบnica variable es ๐๐ฅ. Por lo
tanto el valor que minimiza al trabajo total es
determinado al diferenciar esta expresiรณn con
respecto a ๐๐ฅ.
๐๐ค๐๐๐ฃ,๐๐๐ก
๐๐๐ฅ= 0
๐
๐๐๐ฅ
๐๐ ๐1๐ โ 1
๐๐ฅ๐1
๐โ1 ๐
+๐2๐๐ฅ
๐โ1 ๐
โ 2 = 0
๐ โ 1
๐
1
๐1
๐๐ฅ๐1
๐โ1๐
โ1
โ๐ โ 1
๐
๐2๐๐ฅ
๐โ1๐
โ1๐2
๐๐ฅ2 = 0
1
๐1
๐โ1๐
๐๐ฅโ1๐ โ ๐2
๐โ1๐
1
๐๐ฅ
2๐โ1๐
= 0
๐๐ฅ2 = ๐1๐2
O bien:
๐๐ฅ๐1
=๐2๐๐ฅ
Para minimizar el trabajo de compresiรณn durante
una compresiรณn de dos etapas, el radio de presiรณn en
cada etapa de compresiรณn debe ser el mismo.
VII. Entropรญa
19
12. Eficiencia isoentrรณpica de dispositivos de
estado estable.
La eficiencia isoentrรณpica es una medida de la
desviaciรณn de un proceso real de su correspondiente
proceso isoentrรณpico idealizado.
Turbinas
๐๐ =๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐รณ๐๐๐๐=๐ค๐๐ค๐
En caso tal de que la energรญa cinรฉtica y potencial del
flujo fueran despreciables en comparaciรณn con el
cambio de entalpรญa, la eficiencia quedarรญa definida
como:
๐๐ โ โ1 โ โ2๐โ1 โ โ2๐
Los subรญndices ๐ y ๐ hacen referencia a procesos
reales e isoentrรณpicos, respectivamente.
Compresores
๐๐ถ =๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐รณ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐=๐ค๐ ๐ค๐
En caso tal de que la energรญa cinรฉtica y potencial del
flujo fueran despreciables en comparaciรณn con el
cambio de entalpรญa, la eficiencia quedarรญa definida
como:
๐๐ถ โ โ2๐ โ โ1โ2๐ โ โ1
En caso de que exista enfriamiento del gas a medida
que se da la compresiรณn se puede definir la eficiencia
isoterma. Para detalles refiรฉrase a la secciรณn 7.12 del
texto.
VII. Entropรญa
20
12. Eficiencia isoentrรณpica de dispositivos de
estado estable.
Compresores
Bombas
๐๐ =๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐รณ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐=๐ค๐ ๐ค๐
En caso tal de que la energรญa cinรฉtica y potencial del
flujo fuesen despreciables en comparaciรณn con el
cambio de entalpรญa, la eficiencia quedarรญa definida
como:
๐๐ โ ๐ฃ ๐2 โ ๐1โ2๐ โ โ1
Aquรญ el cambio de entalpรญa se aproximada al producto
del volumen especรญfico y al cambio de presiรณn:
๐๐๐ = ๐โ โ ๐ฃ๐๐ = 0
โโ = ๐ฃโ๐
Ya que al ser un fluido incompresible ๐ฃ es constante.
Toberas
๐๐ =๐ธ๐๐๐๐รญ๐ ๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ธ๐๐๐๐รญ๐ ๐๐๐รฉ๐ก๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐รณ๐๐๐๐=๐22๐๐22๐
Las toberas son dispositivos que prรกcticamente no
involucran interacciones de trabajo y el fluido
experimenta cambios de energรญa potencial que se
pueden considerar despreciables. Sรญ ademรกs, la
energรญa cinรฉtica de entrada es pequeรฑa en
comparaciรณn de la de salida del balance de energรญa
para este dispositivo de estado estable se tendrรก:
โ1 โ โ2๐ +๐22๐2
VII. Entropรญa
21
12. Eficiencia isoentrรณpica de dispositivos de
estado estable.
Toberas
Por lo tanto la eficiencia isoentrรณpica en tรฉrmino de
las entalpรญas estarรญa dada por:
๐๐ โ โ1 โ โ2๐โ1 โ โ2๐
13. Balance de entropรญa.
๐๐๐๐ก๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ = โ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐
โ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐2 โ ๐1
Donde el subรญndice dos indica el estado final y el uno
el estado inicial.
Mecanismos de transferencia de entropรญa,
๐๐๐๐ก๐๐๐๐, ๐๐ ๐๐๐๐๐
1. Transferencia de entropรญa por transferencia de
calor.
๐๐๐๐๐๐ = 1
2 ๐ฟ๐
๐
Ha de comentarse que no hay transferencia de
entropรญa por trabajo.
VII. Entropรญa
22
13. Balance de entropรญa.
Mecanismos de transferencia de entropรญa,
๐๐๐๐ก๐๐๐๐, ๐๐ ๐๐๐๐๐
2. Transferencia de entropรญa por flujo mรกsico.
๐๐๐๐ ๐ = ๐๐
Generaciรณn de entropรญa
Durante cualquier proceso real hay generaciรณn de
entropรญa. Irreversibilidades como fricciรณn, mezcla de
sustancias, reacciones quรญmicas, transferencia de
calor producto de diferencias finitas de temperatura,
expansiรณn o compresiรณn no restringida provocan que
se genere entropรญa.
Caso particulares
-Para procesos de estado estable:
โ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐ = ๐2 โ ๐1 = 0
-Para procesos reversibles:
๐๐๐๐ = 0
-Para procesos adiabรกticos:
๐๐๐๐๐๐ = 0
-Para procesos sin transferencia de masa:
๐๐๐๐ ๐ = 0
-Para procesos de estado estable, adiabรกticos y
reversibles, una sola entrada y una sola salida:
๐๐๐๐ก๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐๐๐ = ๐ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ = 0
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