Principios, Personajes y Aplicaciones de la Mecanica
Jose M.a Goicolea
Grupo de Mecanica ComputacionalEscuela de Ingenieros de Caminos,Universidad Politecnica de Madrid
29 de septiembre del 2008
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Indice
1 Personajes y Axiomas de la MecanicaGrecia y renacimiento: geometrıa, movimiento y relatividadLa ilustracion: mecanica racionalSiglos XIX y XX: teorıas modernas
2 Teorıas de la mecanicaModelos matematicosTeorıas de la mecanica
3 Aplicaciones en la ingenierıaIngeniero de Caminos: plan de estudiosLa dinamica en la ingenierıa estructural
4 Aplicaciones de la mecanica computacionalDinamica no linealBiomecanica
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Aristoteles (384 ac – 322 ac)
• Estudia en la Academia dePlaton (Atenas, 387 ac).
• Funda el Liceo (Atenas, 335 ac).
• Fuerzas:• producen movimiento
uniforme;• solo por contacto
• Gravedad: estado natural
• Cuerpos mas pesados caen masrapido
• La (erronea) teorıa aristotelicadel movimiento sobrevive hastas XVI
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Arquımedes de Siracusa (287 ac – 212 ac)
Scil =3
2Sesf
Vcil =3
2Vesf
• Estudia en el Museo de Alejandrıa
• Inventos: Tornillo de Arquımedes (bomba),maquinas de guerra contra invasionesRomanas, Palancas, Poleas
• Principio de Arquımedes: fuerza hidrostaticasobre cuerpo sumergido
• Metodo de cuadratura (integracion porexhaucion): areas y superficies
• Epitafio: Relacion entre la superficie yvolumen de esfera y cilindro.
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Simon Stevin
• 1548 (Brujas) – 1620 (La Haya)
• Consejero del ejercito de Orange
• Diques, molinos, esclusas, puertos
• Introdujo numeros decimales
• Epitafio:
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Johannes Kepler
• 1571 (Wurtemberg) – 1630(Regensburg)
• Trabajo con Tycho Brahe enPraga
• Tablas astronomicas muyprecisas, sin telescopio
• Adopto telescopio de Galileo,diseno propio
• 3 leyes de Kepler
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Galileo Galilei
• 1564 (Pisa) – 1642 (Florencia)
• Plano inclinado, pendulo tautocrono,movimiento parabolico, resist. demateriales
• Caıda de los graves: aceleracionconstante (¡contradice Aristoteles!)
• Desarrolla telescopio y observaplanetas, lunas de Jupiter, Saturno, . . .
• Condenado por inquisicion por defenderteorıa Copernicana: prision perpetua
• Relatividad Galileana e inercia.
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Relatividad Galileana
v
z′
x′
y′
O′
(O′x′y′z′)
x
y
z
O
(Oxyz)
x ′ = x − vty ′ = yz ′ = z
x ′ = x − vy ′ = yz ′ = z
x ′ = xy ′ = yz ′ = z
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Jacob Bernoulli
• 1654 (Basilea) – 1705 (Basilea)
• Hermano mayor de Johann B. al queensena matematicas. Posteriormenterivalidad y disputas con el. Tıo deDaniel B.
• Probabilidades, geometrıa, seriesinfinitas (
∑n(1/n),
∑n(1/n2))
• Resuelve problema de braquistocronamediante ecuacion diferencial; planteaproblema catenaria
• Espiral logarıtmica (ρ = C ekθ),Lemniscata
• epitafio: “Eadem mutata resurgo”(espiral logarıtmica)
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Johann Bernoulli
• 1667 (Basilea) – 1748 (Basilea)
• Hermano de Jacob B., Padre de Daniel
• Desarrolla calculo infinitesimal deLeibniz; regla de l’Hopital
• Pendenciero, disputas irreconciliablescon Daniel
• Resuelve problema de catenaria en 1691(propuesto por Jacob). Involuta:tractriz.
• Propone y resuelve braquistocrona
• Hidraulica (1732? → 1739)
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Daniel Bernoulli
• 1700 (Groningen) – 1782 (Basilea)
• Hijo de Johann B., sobrino de Jacob B.
• S. Petersburgo, junto a Euler
• Teorıa de vigas (“viga deEuler-Bernoulli”), hilos, velarias, . . .
• Vibracion de hilos tensos
• Hidrodinamica (1738)
• Nunca se reconcilio con su padre.
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Isaac Newton (1643–1727)
• Nacio en c. Juliano 25/12/1642
• Juventud en granja de Woolsthorpe.
• Cambridge. Catedra Lucasiana.
• Metodo de fluxiones (calculoinfinitesimal). Disputas amargas conLeibniz. Desarrollado 1671, publicado1736.
• Optica (teorıa corpuscular)
• Casa de la moneda
• Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica
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Principia
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Definiciones Newton
Definiciones (PRINCIPIA)
‘DEFINICION PRIMERA. La cantidad de materia es lamedida de la misma originada de su densidad y volumenconjuntamente.’
‘DEFINICION II. La cantidad de movimiento es la medidadel mismo obtenida de la velocidad y de la cantidad de materiaconjuntamente.’
‘DEFINICION III. La fuerza ınsita de la materia es unacapacidad de resistir por la que cualquier cuerpo, por cuanto deel depende, perservera en su estado de reposo o movimientouniforme y rectilıneo.’
‘DEFINICION IV. La fuerza impresa es la accion ejercidasobre un cuerpo para cambiar su estado de reposo o movimientouniforme y rectilıneo.’
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Leyes Newton
Leyes (PRINCIPIA)
‘LEY PRIMERA. Todo cuerpo persevera en su estado dereposo o movimiento rectilıneo y uniforme a no ser en tanto quesea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.’‘LEY II. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerzamotriz impresa y ocurre segun la lınea recta a lo largo de la cualaquella fuerza se imprime.’‘LEY III. Con toda accion ocurre siempre una reaccion igual ycontraria. O sea, las acciones mutuas de los cuerpos siempre soniguales y dirigidas en direcciones opuestas.’
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Newton y la gravedad
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Ley de la Gravitacion Universal
F = GMm
r 2
• Explica el movimiento de cuerpos celestes
• Explica tambien el movimiento de cuerpos terrestres
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Leonard Euler
• 1707 (Basilea) – 1783 (S. Petersburgo)
• Infinitesimos e infinitos, Ecuacionesdiferenciales, calculo de variaciones,Probabilidad, Teorıa de numeros, . . .
•∑∞
n=1
1
n2=π2
6• En su Mechanica (1736–37) completa
la mecanica clasica: Principio momentocinetico, dinamica del solido rıgido, . . .
• Mecanica de medios continuos, defluidos, . . .
• Ciego al final, sigue publicando.
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Jean le Rond d’Alembert
• 1717 (Parıs) – 1783 (Parıs)
• Completa la definicion de fuerza deNewton
• “Traite de dynamique” (1743):Principio de d’Alembert
• Escribe la enciclopedia junto conDiderot
• Ecuaciones en derivadas parciales
• Mecanica de fluidos
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Joseph-Louis Lagrange
• 1736 (Turın) – 1813 (Parıs)
• Braquistocrona mediante calculo devariaciones (1754)
• Energıa cinetica, principio de mınimaaccion
• Calculo de probabilidades
• Propagacion sonido, cuerdas vibrantes
• Problema de 3 cuerpos (premioacademia Parıs)
• “Mecanique analytique” (Parıs, 1788)
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Charles Augustin de Coulomb
• 1736 (Angouleme) – 1806 (Parıs)
• Fuerzas electrostaticas
• Mecanica de suelos: rotura como cunade rozamiento
• Teorıa de friccion (Teorıa de maquinassimples, 1781)
• Ley de fallo en sueloscohesivo-friccionales: modelo deMohr-Coulomb
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Augustin Louis Cauchy
• 1789 (Parıs) – 1857 (Parıs)
• 789 artıculos matematicos
• Mecanica de medios continuos yelasticidad
• Tensiones
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William Rowan Hamilton
• 1805 (Dublın) – 1865 (Dublın)
• “On a general method in dynamics”(1834). Funcion caracterıstica, accion.
• Nuevos metodos de la dinamicaanalıtica: funcion Hamiltoniana,ecuaciones canonicas (o de Hamilton).Base para la dinamica moderna y lamecanica cuantica.
• Pares, ternas, cuaternios. Algebra decuaternios.
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Ernst Mach
• 1836 (Moravia) – 1916 (Haar)
• Optica, mecanica, teorıa de ondas
• Medida ondas sonido, numero de Mach
• Principio de Mach: Inercia debida ainteraccion del resto de la masa deluniverso
• Disputas con Boltzmann que llevaron aeste ultimo al suicidio que llevaron aeste ultimo al suicidio
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Ludwig Boltzmann
• 1844 (Viena) – 1906 (Duino)
• Tesis doctoral con Stefan s.Teorıa cinetica de gases
• Mecanica estadıstica.Explicacion segundo principiotermodinamica.
• Distribucion deMaxwell-Boltzmann
• Se suicido colgandose,depresiones por disputas yburlas de Mach, Ostwald?
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Jules Henri Poincare
• 1854 (Nancy) – 1912 (Parıs)
• Premio rey Oscar II de Noruegaproblema 3 cuerpos
• Metodos cualitativos endinamica. Invariantes integrales.
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Albert Einstein
• 1879 (Ulm) – 1955 (Princeton)
• Experto en musica; judıo, apatrida1896–1901.
• Oficina de patentes Berna. Trabaja entiempo libre.
• Teorıa de relatividad especial (1905)
• Usa calculo tensorial de Levi-civitta,Ricci-cubastro
• Teorıa de relatividad general (1912)
• Confirmadas predicciones en eclipse1919, gran celebridad.
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Emmy Noether
• 1882 (Erlangen) – 1935 (Pennsilvania)
• teorema de Noether: 1915. Relacionentre simetrıas y teoremas deconservacion.
• Teorıa de invariantes.
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Mecanica como modelo matematico
Modelos Matematicos
Sistemas de referencia: espacio, tiempo↓
Geometrıa↓ +t
Cinematica
↓ +F ,m
Dinamica↓ −a, −v
Estatica
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Sistemas de referencia en la mecanica clasica
Espacio:
• independiente de objetos
• Constante
• Homogeneo
• Isotropo
Tiempo:
• Homogeneo
• Fluye constantemente en un solo sentido
• Simultaneidad absoluta
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Conceptos de masa y fuerza
Masa
• Masa inercial: constante de cada cuerpo proporcional a su variacionde velocidad para fuerza dadaSegun Principia, definido por densidad y volumen ¿?
• Masa gravitatoria: origina fuerza de gravedadEn mecanica clasica, igual valor que masa inercial
Fuerzas
• Fuerza: causa que provoca cambio de cantidad de movimientoSegun Principia, definicion circular: def. IV � ley I
• Tipos de fuerzas (¿centrales?)• Gravitatorias (¿accion a distancia? ondas gravitatorias – gravitones)• Electromagneticas (no centrales, dependen de v ; fotones)• Nucleares fuertes (unen nucleo atomico – gluones)• Nucleares debiles (desintegracion nuclear – bosones)
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Teorıas de la mecanica
Segun modelos matematicos
• Mecanica clasica
• Mecanica relativista (velocidades proximas a la de la luz, camposgravitatorios muy intensos)
• Mecanica cuantica (acciones comparables a la constante de Planck,Et ≈ h)
Segun aplicaciones
• Mecanica de medios continuos (solidos y fluidos)
• Mecanica estructural, mecanica de suelos, de rocas,. . .
• Mecanica celeste
• Dinamica de sistemas complejos (caos)
• Biomecanica . . .
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Mecanica en la Ingenierıa (civil)
• Ingenierıa estructural: Resistencia de Materiales, Elasticidad yPlasticidad; Calculo de estructuras; Hormigon armado ypretensado; Estructuras metalicas, etc.
• Ingenierıa del terreno: Mecanica del suelo (Geotecnia),Mecanica de rocas, Proc. especiales de cimentacion
• Ingenierıa hidraulica: Hidraulica (mecanica de fluidos), Obrashidraulicas, Presas.
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Importancia de la dinamica
Puente de Tacoma 1940
Pasarela del MilenioLondres 2000
Puente Auckland 1975
Puente sobre el Tajo2006
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Puentes ffcc Alta Velocidad
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Puentes ffcc Alta Velocidad
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Carga movil sobre puente
vP
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Efecto dinamico de carga movil: (1 + ϕ′)δsta
−3
−2
−1
0
1
2
3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Ver
tical
dis
plac
emen
t at c
entr
e of
spa
n (m
m)
Time (s)
Load exits bridge
δsta
ϕ’δsta (dynamic increment)
v= 220 km/hv= 360 km/h
L = 15 m, m = 15 t/m, f0 = 5 Hz, P = 195 kN, ζ = 2 %.Jose M.a Goicolea (UPM) Principios, Personajes y Aplicaciones de la Mecanica 01/10/2007 41 / 65
Efecto dinamico de un tren de cargas
P1
v
2 3 4 5 6 7P P P PP P
(Tren Talgo de Alta Velocidad)
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Historia temporal de desplazamientos: v = 360 km/h
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Def
lect
ion
at c
ente
r of
spa
n (m
m)
time (s)
TALGO AV v=360 km/h, ERRI Bridge L=15m, ζ=0,01; f0=5 Hz, λ=13.14 m = D
UIC71staticdynamic moving loads
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Historia temporal de aceleraciones: v = 360 km/h
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Acc
eler
atio
n at
cen
ter
of s
pan
(m/s
2 )
time (s)
TALGO AV v=360 km/h, ERRI Bridge L=15m, ζ=0,01; f0=5 Hz, λ=13.14 m = D
ELS EN1990dynamic moving loads
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Efecto dinamico del tren: v = 236,5 km/h resonancia!
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6
Def
lect
ion
at c
ente
r of
spa
n (m
m)
time (s)
TALGO AV v=236.5 km/h, ERRI Bridge L=15m, ζ=0,01; f0=5 Hz, λ=13.14 m = D
UIC71staticdynamic moving loads
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Historia temporal resonante de aceleraciones
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6
Acc
eler
atio
n at
cen
ter
of s
pan
(m/s
2 )
time (s)
TALGO AV v=236.5 km/h, ERRI Bridge L=15m, ζ=0,01; f0=5 Hz, λ=13.14 m = D
ELS EN1990dynamic moving loads
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Puente Levadizo Barcelona
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Lanzamiento Puente Lanjaron
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Lanzamiento Puente Lanjaron
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Lanzamiento Puente Lanjaron
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Gran Telescopio de Canarias
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Disposicion Optica GRANTECAN
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Alternativas iniciales tubo
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Alternativas iniciales tubo (2)
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Aspectos Crıticos del Diseno y Calculo (2)
♠ Vibraciones de elevacion tubo (f = 7 Hz)
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Aspectos Crıticos del Diseno y Calculo (3)
♠ Propuesta inicial arana
935.8 mm
6796 mm
3000 mm
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Aspectos Crıticos del Diseno y Calculo (4)
♠ Rigidez torsional arana (configuracion no radial)
configuracion desechadaconfiguracion
seleccionada
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Ejemplos de Mecanica Computacional: dinamica no lineal
Examen jun 2001Maple–Mecapac
Tela cayendo
Columpio
Peonza 3DJose M.a Goicolea (UPM) Principios, Personajes y Aplicaciones de la Mecanica 01/10/2007 59 / 65
Corazon
Miocardio y Coronarias Corazon virtual
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Simulacion del doblado y presurizado de una aortaDescripcion del problema
Montaje del vaso Probeta montada
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Simulacion del doblado y presurizado de una aorta
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Simulacion del doblado y presurizado de una aortaSecuencia de mallas deformadas
0.00E+00
7.00E+04
1.40E+05
2.10E+05
2.80E+05
3.50E+05
4.20E+05
4.90E+05
5.60E+05
6.30E+05
7.00E+05
-2.52E+05
8.04E+05
_________________ Prin. Stress 1
Time = 1.00E+00
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Modelo de bifurcacion en arteria coronaria izquierda (I)
fluido: 16878 elementos
Velocidad
solido: 16425 elementos
Lıneas de corrienteJose M.a Goicolea (UPM) Principios, Personajes y Aplicaciones de la Mecanica 01/10/2007 64 / 65
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