ProbabilidadMétodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
Facultad de Ciencias del Trabajo
Francisco Álvarez GonzálezNoviembre 2006
EXPERIMENTO ALEATORIO
e1
e2
e3
e4
EA todo experimento aleatorio ,
queda asociado un espaciomuestral E (conjunto de
posibles ocurrencias de ).
Lanzar dosmonedas
Sucesos elementales
UNIÓN: Par o múltiplo de 3
AB = { }
INTERSECCIÓN: Par y múltiplo de 3
AB = { } Compatibles
INTERSECCIÓN: Par y múltiplo de 5
AC = { } = Incompatibles
CONTRARIO: No ser múltiplo de 3
B’ = E-B = { }
SUCESOS. OPERACIONES
E = { }Lanzar un dado
A = { }Par
B = { }Múltiplo de 3
C = { }Múltiplo de 5
LEY DEL AZAR
Cuando el número de experiencias crece indefinidamente,la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarsehacia un número fijo (su probabilidad).
Cuando el número de experiencias crece indefinidamente,la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarsehacia un número fijo (su probabilidad).
Cara
Cruz
n r
1
0
1
0
N = 1
7
3
0’7
0’3
N = 10
17
23
0’425
0’575
N = 40
49
51
0’49
0’51
N = 100
504
496
0’504
0’496
N = 1000
N r 0’5 (Probabilidad)N r 0’5 (Probabilidad)
REGLA DE LAPLACE
La probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entreel número de situaciones en las que puede ocurrir y el núme-ro total de situaciones posibles (¿frecuencia relativa?).
La probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entreel número de situaciones en las que puede ocurrir y el núme-ro total de situaciones posibles (¿frecuencia relativa?).
LANZAMOS UN DADO: Probabilidad de no ser múltiplo de 3
{ }
{ } 6
4Pr
6
4Pr
CONCEPTOS TEÓRICOS
AA
BB
Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)
Pr(E) = 1Pr(E) = 1 Pr() = 0Pr() = 0
A
A’
Pr(A’) = 1 - Pr(A)Pr(A’) = 1 - Pr(A)
Probabilidad delsuceso contrario
CONCEPTOS TEÓRICOS
A - (A B)A - (A B)
B - (A B)B - (A B)
A B
Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B)Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B)
Teorema de probabilidadescompuestas
A
B
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Probabilidad condicionada (sabiendo que ...)
Teorema de probabilidades compuestas:Pr(A B) = P(A) . P(B / A)
Generalización:
Pr(A B C) = P(A) . P(B / A) . P(C / A B)
(A)Pr
B)(APrB/APr
(A)Pr
B)(APrB/APr
A BB
APr (B/A) =
EJEMPLOS
EJEMPLOS
Ser de espadas o de bastosSer de espadas o de bastos
EJEMPLOS
Ser de espadas o figuraSer de espadas o figura
EJEMPLOS
Ser de espadas sabiendo que es figuraSer de espadas sabiendo que es figura
EJEMPLOS
Ser figura sabiendo que es de espadasSer figura sabiendo que es de espadas
EJEMPLOS
Ser de bastosSer de bastos o figura
19/4019/4019/4019/40
AA
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.
EJEMPLOS
19/4019/4019/4019/4010/40 + 12/40 - 3/40
BB
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea de bastos o figura.
EJEMPLOS
Es de bastosEs de bastos
3/103/103/103/10
AA Es figura de bastosEs figura de bastos
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.
EJEMPLOSAl extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.
Al extraer una carta de la baraja española, calcularla probabilidad de que sea figura, sabiendo que es de bastos.
3/103/103/103/10(3/40) / (10/40)
BB
EJEMPLOS
Al extraer sucesivamente y sin reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.
Al extraer sucesivamente y sin reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.
39
9.
40
10/Pr.PrPr 12121 OOOOO
Al extraer sucesivamente y con reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.
Al extraer sucesivamente y con reposición dos cartas de la bara-ja española, calcular la probabilidad de que ambas sean de oros.
40
10.
40
10/Pr.PrPr 12121 OOOOO
EJEMPLOS
Extracción simultánea yextracción sucesiva.
SIMULTÁNEAUna azul
SUCESIVAUna azul
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
EJEMPLOS
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5Extracción simultánea de 4 bolas.
Análisis de sucesos.
Al menos una azul(Alguna azul)
CONTRARIO
EJEMPLOS
Alguna azul
3
12
3
5
1
7
2
5
2
7
1
5
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
3 bolas simultáneamente3 bolas simultáneamente
EJEMPLOS
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
3 bolas sucesivamente3 bolas sucesivamente
Todas azules
12
5
12
5
12
5
10
3
11
4
12
5Sin reposición
Con reposición
Dos de ellas azules
12
5
12
5
12
7
12
5
12
7
12
5
12
7
12
5
12
5
Con reposición
Dos de ellas azules
10
4
11
5
12
7
10
4
11
7
12
5
10
7
11
4
12
5
Sin reposición
49 blancas50 negras
75'01
1
2
1
99
49
2
1salvarPr
1 blancaA B50 blancas50 negras
5'0100
50salvarPr
En el lejano reino de Falandia, a los condenados a muerte, el Rey les concedía la posibilidad de salvarla vida, si sacaban una bola blanca de un jarrón con 50 bolas blancas y 50 negras.
En cierta ocasión, un condenado a muerte pidió alRey una gracia especial, que consistía en distribuirlas bolas en dos jarrones:• uno con 49 bolas blancas y 50 negras.• el otro con la bola blanca que quedaba 1 B49 B
50 N50 B50 N +
El reo astuto
EJEMPLOS
EJEMPLOS
28
12Prob.
28
12Prob.
Tomamos una ficha del dominó. ProbabilidadDe que contenga un número impar de puntos
EJEMPLOS
Sume un número de puntos que sea múltiplo de tres.
Lanzamiento de dos dados.
66
12Prob.
66
12Prob.
Probabilidad de que, en tres desplazamientos, la tortuga alcance la lechuga.
1
2
3
4
5
6
EJEMPLOS
7
2.
4
2.
3
2
7
2.
6
3.
3
1
3
1.
6
2.
3
1
3
1.
6
2.
3
1
3
13
16
2
7
2.
6
3.
3
1
3
1
7
2
6
3
7
2.
4
2.
3
2
7
2
3
24
2
Grupo H M
A 10 20 30 B 20 12 32 C 11 10 21 D 15 15 30 E 17 10 27
73 67 140
E
D
CBA
EJEMPLOSUn alumno nuevo en el Centro entra al azar en un aula.Probabilidad de que entre en la de su grupo.
5
1
Sabemos que un avión hace blanco en el objetivo en el 85% de las ocasiones.Si cinco aviones disparan sobre el objetivo, calcular la probabilidad de quesea alcanzado.
Probabilidad de ser alcanzado = = Probabilidad de que algún avión dé en el blanco == Probabilidad de hacerlo 1, 2, 3, 4 o los 5 aviones =
= 1- Probabilidad de que no dé ninguno
999924'015'015'015'015'015'01
Si el número de situacionescontempladas es muy elevado,
abordamos el problemamediante el suceso contrario
ProbabilidadMétodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
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