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TEMA 2
EXPERIMENTOS ALEATORIOSY CLCULO DE PROBABILIDADES
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EXPERIMENTOS: EJEMPLO
DeterministasCalentar agua a100C
Soltar objeto
AleatoriosLanzar un dado
Resultado ftbol
Llegada del bus
a la parada
puntos
quiniela
vapor
cae
lneas
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EXPERIMENTO ALEATORIO
Definicin 1.- Decimos que un experimento esaleatorio si no podemos predecir su resultado.
Nota: A veces el no conocer en profundidad las
leyes del fenmeno, lo hacen aleatorio.
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ESPACIO MUESTRAL.
SUCESOS
EJEMPLOS:
Dado
Quiniela
Lnea del bus
{ }1,2,3,4,5,6 ={ }1, , 2X =
{ }34,6=
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SUCESO ALEATORIO.
EJEMPLOSEJEMPLOS:
Dado:
A=Obtener puntuacin par
B=Obtener mltiplo de 3
C=Obtener mltiplo de 5
Quiniela:A=Empatar
B=No ganar encasaC=Ningn equipo
obtenga puntos
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SUCESOS ELEMENTALES.
SUCESOS COMPUESTOS (I)
Definicin 3.-Un suceso es elemental cuandoconsta de un slo elemento del espacio
muestral. En caso contrario se llama sucesocompuesto.
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SUCESOS ELEMENTALES
Y COMPUESTOS (II)EJEMPLOS:
Dado:
A=Obtener puntuacin par
B=Obtener mltiplo de 3
C=Obtener mltiplo de 5
Quiniela:A=Empatar
B=No ganar encasaC=Ningn equipo
obtenga puntosElemental
Compuesto
C
A,BElemental
Compuesto
A
B
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SUCESOS COMPATIBLES E
INCOMPATIBLES
Definicin 4.- Dados dos sucesos de unexperimento aleatorio, diremos que soncompatibles si se pueden dar los dos al mismo
tiempo, y diremos que son incompatibles encaso contrario.
Dado:A=Obtener puntuacin par
B=Obtener mltiplo de 3C=Obtener mltiplo de 5
A y C son incompatibl
A y B son compatibles
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SUCESOS SEGURO E
IMPOSIBLE (I)
Definicin 5.- El suceso seguro es aquelsuceso aleatorio de un experimento quese da siempre. Se denota por
Definicin 6.- Decimos que un suceso esimposible cuando no puede darse en el
experimento. Se denota por
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SUCESOS SEGURO E
IMPOSIBLE (II)Dado:
A=Obtener puntuacin menor que 7B=Obtener mltiplo de 7
A es suceso seguro, B es suceso imposibleQuiniela:
A=Algn equipo obtenga puntosB=Ningn equipo obtenga puntos
A es suceso seguro, B es suceso imposible
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SUCESO COMPLEMENTARIODefinicin 7.- Dos sucesos soncomplementarios si siempre que ocurrauno, no se da el otro y al revs. Sidenotamos por A a un suceso, su
complementario ser denotado por o cAQuiniela:
A=Algn equipo obtenga puntosB=Ningn equipo obtenga puntos
A y B son sucesos complementarios
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OPERACIONES CON
SUCESOS: DEFINICIONES
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OPERACIONES CON
SUCESOS: PROPIEDADES
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SISTEMA COMPLETO DE
SUCESOSDefinicin 11.- Si tenemos un conjuntoA1, A2,... An de sucesos incompatibles dos ados cumpliendo que
le llamamossistema completo de sucesos (particinde )
( )i j A A i j =
1 2 n A A A =
Encuesta:A=ningn hermanoB=un hermanoC=dos hermanosD=ms de dos hermanos
Los sucesos A, B, C y Dforman un sistema
completo de sucesos
(s.c.s.)
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CLCULO DE
PROBABILIDADES
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INTRODUCCIN
La idea de probabilidad surge por la necesidad
de medir la incertidumbre o verosimilitud queposee cada suceso asociado a un experimento
aleatorio.
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DEFINICIN EMPRICA (I)
Interpretacin frecuentista de la
probabilidad
0
0,5
1
111
21
31
41
51
61
71
81
91
N
fre
cuencia
relativa
EJEMPLO:Anotamos el nmero de caras en N lanzamientosde una moneda y calculamos su frecuencia relativa
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DEFINICIN EMPRICA (II)
Definicin.- Cuando se repite un experimento n vecey se observa el nmero de ocurrencias, k, de undeterminado suceso A ; llamaremos probabilidad de
ste a su frecuencia relativa
nkAP /)( =
Ley de los grandes nmeros (Bernouilli)
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PROPIEDADES DE LA
DEFINICIN EMPRICA.
La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
La frecuencia relativa de cualquier suceso es
no negativaLa frecuencia relativa de la unin de dossucesos incompatibles es la suma de las
frecuencias de ambos.
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REGLA DE LAPLACE
Dado: A=par, B=mltiplo de 5, entonces3 1
( ) y ( )6 6
P A P B= =
Nota: Es la primera definicin formal que se
dio, pero tiene muchas limitaciones.
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TCNICAS PARA CONTAR.
Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.A veces son tiles los diagramas de rbol.
No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la
caracterstica que cumplen. A veces es muy til laCombinatoria: permutaciones, variaciones,...
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TCNICAS PARA CONTAR.
EJEMPLOS.Exhaustivo: Suma de los puntos obtenidos allanzar dos dados. En particular, 10 puntos.
No exhaustivo:
Parte numrica de la matrcula de un coche. Enparticular, las que empiezan y terminan en 2
Posibles fechas de cumpleaos en una clase den personas.
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DEFINICIN AXIOMTICA
DE PROBABILIDAD (I).
Esta definicin fue dada por Kolmogorov en elsiglo XX.Enuncia tres axiomas que se basan en propiedades
de la probabilidad emprica (frecuencia relativa).
Axioma 1.- Para cada suceso A, su
probabilidad es un nmero entre 0 y 10 ( ) 1P A
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DEFINICIN AXIOMTICA
DE PROBABILIDAD (II).Axioma 2.- La probabilidad del sucesoseguro es 1
( ) 1P =
Axioma 3.- Si A y B son dos sucesosincompatibles, la probabilidad de la unin
( ) ( ) ( )P A B P A P B = +
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PROPIEDADES DE LA
PROBABILIDAD.A partir de la definicin axiomtica de probabilidad
se pueden demostrar propiedades de sucesos, como:
Probabilidad del suceso complementario.Probabilidad de la unin finita de incompatibleJustificacin de la regla de Laplace.
Probabilidad de la unin de dos sucesos.Probabilidad de la diferencia de sucesos
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PROBABILIDAD DEL
SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo: Probabilidad de que en una clase de npersonas haya al menos 2 con la misma fecha decumpleaos.
.994.970.891.706.411.117p
605040302010n
Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507
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PROBABILIDAD
CONDICIONADA (I)Probabilidad de un suceso, sabiendo que otroha ocurrido.
Ejemplo: DadoCalcular la probabilidad de que haya salido el 3, sinos dicen que el nmero obtenido es mltiplo de 3.
Qu ocurre si repetimos el experimento nveces y usamos la definicin frecuentista de
probabilidad?
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PROBABILIDAD
CONDICIONADA (II)Definicin 12.- La probabilidad de que
ocurra un suceso A condicionado a que otrosuceso B con probabilidad no nula hayaocurrido es
( )( / )
( )
P A B P A B
P B
=
La probabilidad de la interseccin de sucesos es:( ) ( / ) ( )P A B P A B P B =
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PROBABILIDAD
CONDICIONADA. EJEMPLOSorteo no equitativo: En una clase de 27
alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiestade fin de curso. Cada alumno tiene un nmeroasignado.
Se coge una bolsa con 27 bolas y se extraeuna al azar.
Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se
realiza una extraccin en dos pasos. En elprimero se extraen una de las bolas 0, 1 y2. En el segundo se extrae una de entre
todas las bolas.
INDEPENDENCIA DE
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INDEPENDENCIA DE
SUCESOSDefinicin 13.- Dados dos sucesos A y B
con probabilidades no nulas, decimos queson independientes si
( / ) ( ) y ( / ) ( )P A B P A P B A P B= =
En estos sucesos se puede calcular cmodamente
la probabilidad de la interseccin.
( ) ( ) ( )P A B P A P B =
INDEPENDENCIA DE
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INDEPENDENCIA DE
SUCESOS. EJEMPLOS
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que alsumar la puntuacin obtenida en el lanzamientode dos dados, obtengamos un 10.
INTERSECCIN DE MS DE
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INTERSECCIN DE MS DE
DOS SUCESOSSucesos no independientes:
1 2
1 2 1 2 1 1
( )
( / ) ( / ) ( )
n
n n
P A A A
P A A A A P A A P A
=
=
Regla de la multiplicacin.
Sucesos independientes:
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A =
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PROBABILIDAD TOTAL (I)
Teorema 1.- Dado un sistema completo desucesos A1, A2,...,An la probabilidad de unsuceso S es
1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( /n nP S P A P S A P A P S A P A P S A= + + +
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PROBABILIDAD TOTAL (II)Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo laaltura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnases superior a 1.80 metros. Adems el 60% deestudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad decoger a un estudiante de altura superior a 1.80
metros.P(S/M)=0.01P(S/H)=0.04
P(M)=0.6
S=altura superior a 1.80M=ser mujer
H=ser hombre
P(S)=P(S/M)P(M)+P(S/H)P(H)=0.022
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TEOREMA DE BAYES (I)Teorema 2.- Dado un sistema completo de
sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera Scon probabilidad no nula
1
( ) ( / ) ( )
( / ) ( )( / ) ( )
i i i
i n
j
j
P A S P S A P A
P A S P SP S A P A
=
= =
con P(Ai) la probabilidad a priori de AiyP(Ai/S) la probabilidad a posteriori de Ai.
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TEOREMA DE BAYES (II)
Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, calcular laprobabilidad de que el estudiante escogido fueramujer sabiendo que meda ms de 1.80.
( / ) ( ) 3( / ) 0.27
( ) 11
P S M P M P M S
P S
= = =
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TEOREMA DE BAYES (III) Ejemplo 2:
Se administra una prueba para detectar usuariode drogas. Prevalencia en la poblacin: 3% Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad) Cuando se administra a alguien que no la usa,
da negativa en el 98% de los casos(especificidad).
La prueba di positiva, cul es la probabilidadde que la persona use drogas?
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TEOREMA DE BAYES (V)
Selecciono una personaDiagrama de rbol
Usa
.03
No Usa
.97
.95
Prueba+
.02
Prueba+
.05
Prueba-
.98
Prueba-
Si estoy aqu o aqu,cul es la probabilidad de
haber pasado por aqu?
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TEOREMA DE BAYES (VI)+
+ = =+
+=
+ + +
=
+
i
i i
( Pr )( /Pr ) (Pr )
(Pr / ) ( )(Pr / ) ( ) (Pr / ) (
0.03 0.950.03 0.95 0.97 0.02
P Usa y uebaP Usa ueba P ueba
P ueba Usa P Usa
P ueba Usa P Usa P ueba No Usa P No Us
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