PROBLEMAS VARIADOS 1 1.- Una plataforma circular de masa M = 360 kg y radio R puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro. En el instante t=0, dos personas cada una de masa m = 60 kg se encuentran situadas en sendos extremos de un dimetro de la plataforma. Ambas personas y la plataforma estn en reposo en el instante t=0. Si ambas personas se desplazan en el mismo sentido que avanzan las agujas de un reloj con velocidad constante, cuando hayan recorrido una vuelta completa respecto de la plataforma, determinar el ngulo que han girado respecto de un observador inercial que est fuera de la plataforma. El sistema plataforma-personas constituye un sistema aislado, y ello conlleva que el momento angular se conserve. Si las personas se desplazan en el sentido de las agujas del reloj la plataforma debe girar en sentido contrario para que el momento angular total sea nulo, tal como lo era en el instante t=0. Designamos con la velocidad angular de rotacin de la plataforma respecto del sistema inercial exterior y v la velocidad lineal de las personas respecto del mismo sistema. La velocidad v de las personas es igual a
Rv p= Siendo p la velocidad angular de las personas respecto del observador inercial. La conservacin del momento angular establece que
dtdMR
21
dtd
2mRIRR 2m 2p2p == Si el ngulo girado por la plataforma es , las personas deben haber girado una vuelta ms beta, =2+
21656
54-2144180*
54
54
232
60*43602
4mM2d
4mMd
2
00pp
======
=+=+=+= +
2.- Un dispositivo ptico est fabricado con vidrio de n = 1,5, tiene la forma de un cuarto de cilindro (ver figura 1). Sobre l y por la cara plana se hacen incidir rayos luminosos a distintas alturas h, se pide encontrar una expresin que nos d los valores de x positivos para los que la luz incide sobre la recta AB
Fig. 1 Como la luz incide desde el vidrio al aire, esto es, desde un medio de mayor ndice a uno de menor, habr una altura mxima hmax, para la que el rayo refractado forme un ngulo de 90, por encima de ese hmax los rayos se reflejarn y no se refractarn. Para ese hmax corresponde un x mnimo.
Fig.2 Segn la ley de Snell n sen i = 1 sen re
De la figura 2 se deduce: sen i =Mhitag;
Rnhrsen
Rh
e ==
itaghRx
hMRx
htag+
=+=
R
x A B
h i re
M
i
R x A
h i re
Pero el ngulo alfa es igual a irr i ee ==+ ( )
itaghRx
hirtag e+
= (1)
Cuando re = 90 se obtendr el valor de x mnimo
( )
=
=
+=
+=
+=
+=
1icos
1RRitagicos
1isenRRitag
itag1isenRx
Ritag
1itaghx
itaghRx
hitag
1
itaghRx
hi09tag
2
2
min
min
minmin
El valor del ngulo de incidencia para el que re = 90, se calcula a partir de la ley de
Snell n sen i = sen 90 ; sen i =35isen1icos
32
5,11 2 ===
cm1,70815
3*5x min =
= 3.- La densidad de un planeta, de radio R, depende de su distancia al centro del mismo segn la ecuacin kro = Siendo r la distancia desde el centro del planeta al punto considerado. El valor en la superficie del planeta es del valor mximo de la densidad.A qu distancia del centro del planeta la intensidad del campo gravitatorio es mxima? La densidad mxima es o y ocurre cuando r = 0,. Cuando r =R la densidad es un cuarto de o
rR
43
R
43kkR
41 o
oo
0o === La intensidad del campo gravitatorio a una distancia r del centro del planeta vale
2r rGMg =
Siendo M la masa comprendida en una esfera de radio r. Consideramos una capa esfrica de radio l y espesor dl, siendo r>l , la masa de esa capa esfrica es
== lR
43*dll4*dVdM oo
2l
Para hallar la masa M hemos de integrar la anterior expresin entre cero y r
4
4rRo3
3
3ro4dllR
o
43
o
o2l4M
r =
=
El campo gravitatorio es:
=
=
4R3rr
34G
rRr
43
3r4
Gg
2
02
4o
3o
r
Para hallar la distancia r a la cual el valor de la intensidad del campo gravitatorio es un mximo, derivamos la expresin anterior con respecto a r e igualamos a cero
R98rR
2R93r
340
2R3r
34G
drdg
or ===
=
4.- En un contenedor se mantiene la altura del agua constante H. Por un orificio situado a una altura H/3 surge el agua, la cual alcanza una cierta distancia del contenedor. Se pide a que altura se debe practicar un orificio igual para que el agua alcance la misma distancia del contenedor. De acuerdo con el teorema de Torricelli la velocidad de salida del agua est dada por la ecuacin
2ghv = Siendo h la altura desde el centro del orificio a la superficie libre del lquido. Si aplicamos esta ecuacin al primer orificio tenemos
3Hg2H
31H2gv =
=
Las ecuaciones del chorro de agua en el aire son:
2gt21H
31y;t
3Hg2vtx ===
Cuando y=0, el alcance del chorro es:
3
H223g2H
3Hg2x
3g2Htgt
21H
310 aa
2a ====
Designamos con h la altura del otro agujero respecto del suelo y cmo ha de alcanzar la misma distancia, podemos escribir
( ) ( )2aaa tg21h0y;thH2g3 H22vt3 H22 ==== De ambas ecuaciones
( ) ( ) 222 hHh9
2H2hhH29
8Hg2hhH2g
3H22 ===
Resolviendo la ecuacin de segundo grado
H31hyH
32h
23HH
29
8HHHh
22
==
=
=
5.- Un hilo uniforme tiene forma de rectngulo ABCD
Si se conecta dicho rectngulo a un circuito elctrico por los vrtices AB, la resistencia vale R1, pero si a ese mismo circuito se conecta por los vrtices BC la resistencia es R2=1,6 R1 Cul es la relacin de las longitudes de los lados del rectngulo? Designamos con r1 a la resistencia del lado AB y con r2 la del lado BC. Los dos posibles conexiones son las de la figura inferior
En el primer caso la resistencia r1=AB est en paralelo con las resistencias en serie r2+r1+r2 ( )
( )( )( )21
2111
211
21
2111 rr22rrrR
2rrrrr2
2rr1
r1
R1
++=+
+=++=
A
B C
D
B A
D C
B C
A D
En el segundo caso la resistencia r2=BC est en paralelo con las resistencias en serie r1+r2+r1 ( )
( )( )( )21
1222
122
21
1222 rr22rrrR
2rrrrr2
2rr1
r1
R1
++=+
+=++=
( )( ) 1,62rrr
2rrrRR
211
122
1
2 =++=
Si hacemos r1 igual a la unidad resulta:
01,61,2rr3,2r1,62rr 22222
22 =+=+
Resolviendo la ecuacin de segundo grado y considerando la solucin positiva r2 =2, por tanto, la relacin de longitudes es la misma que la de resistencias por ser un hilo uniforme. 6.- Se construye un pentgono regular con hilo uniforme de igual grosor. Dos vrtices contiguos del pentgono se unen por medio de hilos conductores a una batera. Calcular la intensidad del campo magntico en el centro geomtrico del pentgono. El esquema elctrico del circuito es la figura inferior.
Si consideramos un elemento de conductor dl recorrido por una corriente I , la intensidad del campo magntico est dado por la expresin
dl r
dB
I
I1 I2
La corriente I procedente de la batera se bifurca en I1 e I2. La intensidad I1 es cuatro veces inferior a I2, puesto que el ramal superior del pentgono tiene cuatro lados y el inferior uno. Para decidir la direccin del campo magntico creado por cada uno de los lados debemos recordar la ley de Biot-Savart.
3rrldIKBdrrr =
El producto vectorial rld r
r , nos indica la direccin de Bd
r. Si ld
r y r
rse encuentran en el
plano del papel el campo magntico es perpendicular al plano del papel y dirigido hacia adentro
Si aplicamos lo dicho anteriormente al caso del polgono, deducimos que los cuatro lados por los que circula I1 crean un campo magntico perpendicular al plano que contiene el hexgono y dirigido hacia dentro. El campo de esos cuatro lados es la suma de cada uno de ellos. En cambio el lado por el que circula I2 = 4I1 es perpendicular al plano del hexgono pero dirigido hacia fuera. Dado que el campo depende de I y de la distancia y en los dos casos la distancia es la misma , se deduce que el campo magntico de los cuatro lados es igual al del nico lado por circular por este ltimo una intensidad cuatro veces mayor. En consecuencia el campo total es nulo. 7.-Calcular en el circuito de la figura inferior la corriente total que atraviesa la batera
Esto nos lleva a decir que la resistencia de 2 y la de 6 estn en paralelo y el conjunto de las dos en serie con la de 1,5 . El circuito de la parte superior excluyendo a la resistencia de 3 queda as (fig 1)
2
6
B A,D
Fig.1
C
2
6
B A,D
Fig.2
A
B C D
6V
2 1,5
6
3
Vamos a convertir este esquema en otro en el que se vea ms fcilmente la disposicin de las resistencias. Para ello sealamos los nudos ABCy D ,; observamos que entre Ay D no existe resistencia , por tanto, esos dos puntos estn al mismo potencial y por tanto son el mismo nudo.
La resistencia de 3 est entre By C, por tanto, en paralelo con las de la. figura 1. El circuito definitivo es el de la figura 2. Resistencia entre C y A
23R
61
21
R1
CACA
=+= Resistencia entre B y A
3231,5R BA =+=
Resistencia total del circuito
=+=23
31
311
TT
RR
Intensidad total
AI 45,1
6 ==
3
8.- Un bloque de peso P se encuentra en reposo sobre un suelo horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento esttico . Sobre el bloque se aplica una fuerza F que puede formar con la horizontal cualquier ngulo agudo . Calcular la fuerza mnima que se precisa para iniciar el movimiento del bloque y el valor del ngulo. El diagrama de fuerzas que acta sobre el bloque es el siguiente:
Para calcular el valor mnimo de F derivamos F con respecto a la variable e igualamos a cero.
( ) tagcossen0sencoscossenP
ddF
2 =+=
++=
222222
11
tag11cos
cos11tag1cossen
+=
+==+=+
2
22
2222
1
11
1
tag11
1sensen
1tag
111cossen+
=+
=+
==+=+
Sustituyendo en la ecuacin (1)
2
2
2
2
min1
P
1
11
PF +=+++
=
N F
P FR=N
P=N+Fsen N = P Fsen Fcos = Fcos = (P-Fsen ) ; F(cos + sen ) = P
(1)sencos
PF +=
9.- La rueda de una locomotora es ro =1 m a la temperatura de 0Cul es la diferencia entre el nmero de rotaciones de la rueda, a lo largo de un recorrido de L=1000 km en verano con una temperatura de t1= 25C y
en invierno con una temperatura de t2= -25C. El coeficiente de dilatacin lineal es = 2.10-5 K-1. La longitud de la rueda en funcin de la temperatura es ( ) ( )2ot21ot1 t1r2L;t1r2L +=+= El nmero de vueltas en L = 106 m
( ) ( )2o21o1 t1r2Ln;
t1r2Ln +=+=
La diferencia
15925*2.101
125*2.101
12
10t1
1t1
1r2
Lnn 556
12o12 =
+=
++=
10.- Desde un terreno plano que forma con la direccin horizontal un ngulo , se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba formando la direccin de la velocidad inicial un ngulo con la horizontal. A) Calcular el valor de para que el cuerpo permanezca en el aire el mayor tiempo posible b) Lo mismo para que el alcance sea el mayor posible. a) Las ecuaciones del movimiento del cuerpo en el sistema de referencia que se indican
Supongamos que cuando el tiempo t es el mayor posible el impacto del cuerpo con el suelo tiene de coordenadas xa e -ya , ambas coordenadas relacionadas por
-ya = xa tag
X
Y en la figura son: x = vo (cos ) t
y = vo (sen ) t- 21 g t2
( ) ( )( ) ( ) ( )costagsen
g2v
tgt21tsenvtagtcosv
gt21tsenvtagxy;tcosvx
o2oo
2oaaoa
+==
===
El tiempo mayor posible ha de cumplir que su derivada con respecto a sea cero
( )tag
1tag1tag*tag0sentagcosg
2vddt o ====
Los ngulos complementarios tienen el seno de uno igual al coseno del otro y viceversa, por tanto, sus tangentes cumplen la relacin anterior, lo que quiere decir
90 =+ b) Para buscar la condicin de alcance mximo la forma de operar es semejante a la anterior
-ym = xm tag
( ) ( )( )
( ) ( )( )cossencostag
g2v
x
costagcostagg
2vxtagtag
g2
cosvx
cosvxg
21tagtag
cosvxg
21
cosvxsenvtagx
gt21tsenvtagxy;tcosvx
22o
m
222o
m22o
m
22o
m
2
o
m
o
mom
2ommom
+=
+=+=
=
=
===
El alcance mayor posible ha de cumplir que su derivada con respecto a sea cero
( )
( ) tag2sen2costag
2sen2sen12sen*tagsen1sen
2sen*tagcossensen2cos*tagcossen
0cossensen2cos*tagg
2vd
dx
222
2222
222om
===+
=+=+
=+=
902tag
12tag =+=
11.- Un reloj de pndulo funciona perfectamente cuando la temperatura es 15,0C. Si la temperatura ambiente sube a 30,0C, calcular cuntos segundos se retrasar al cabo de 24 horas? La longitud del pndulo a t15 es 0,50 m y el coeficiente de dilatacin del material con que est hecho es = 2,0.10-5 K-1. Calculamos los periodos
( )
g15*2.1010,52T;
g0,52T
5
3015
+== Sustituyendo valores resulta:
T15=1,418503 s y T30 = 1,418716 s En cada periodo la diferencia de tiempo es 2,13.10-4 s
12,97sxx3600*24
2,13.101,418503
4 == Teniendo en cuenta que para hacer el clculo hemos tomado g = 9,81 m/s2 y el valor del coeficiente de dilatacin que est dado con una cifra significativa, el resultado numrico est afectado de esas incertidumbres. Por ello debemos decir que el reloj retrasa aproximadamente unos 13 segundos. Con los valores dados, la incertidumbre es del orden de
%5100.0,21,0
1502,0
81,901,0 =
++
Lo que nos indica que el retraso debe estar comprendido entre 12 y 14 segundos.
12.-Sobre la pared lateral de un acuario de vidrio y desde el aire se enva un rayo luminoso con un cierto ngulo de incidencia. Se pide determinar si existe un ngulo de incidencia tal que despus de penetrar en el vidrio no lo haga en el agua. ndice de refraccin del vidrio 1,5 y del agua 1,33. El esquema de la marcha de los rayos es el de la figura
La aplicacin de la ley de Snell
esen1,33senr1,5;senr1,5isen1 ff ==
Si queremos que el rayo no penetre en el agua entonces e = 90, luego el seno del ngulo de incidencia tena que valer 1,33 y eso no es posible, en consecuencia, cualquiera que sea el ngulo de incidencia el rayo llegar al agua. 13.- La longitud de onda promedio del filamento de una bombilla es 12.10-5 cm. Calcular el nmero de fotones emitidos por unidad de tiempo, si la potencia de la bombilla es 200 W. La energa asociada a un fotn es
chhE ==
Si N representa el nmero de fotones emitidos por unidad de tiempo NE es igual a la potencia de la bombilla
sfotones1,2.10
3.10*6,6.1012.10*200
hc200N200
cNh 20934
7
====
aire vidrio agua
i rf
e
PROBLEMAS VARIADOS 2 14.- La fotografa del espectro del Sol para la lnea amarilla ( 0A5890. = ) se encuentra desplazada 00,08A segn el borde del Sol del cual provenga la luz. Calcular la velocidad lineal de los puntos del ecuador del Sol debido a su movimiento de rotacin Consideramos a la Tierra fija, donde se recibe la fotografa, y el Sol rotando. La luz de un borde del Ecuador se acerca a la Tierra y la del borde opuesto se aleja. Segn el efecto Doppler, las frecuencias registradas son respectivamente:
FFFF vcc
c
cv1
;vc
c
c
cv1
+=+==
=
Restando los inversos de las ecuaciones anteriores
=
+= 2F2F
FF vc2v
c
vc1
vc1
1
1
Hacemos 2 = y 22F2 cvc
sm.100,2
5890.10*20,08.10*3.10
2cv 310
108
F ===
15.- Un recipiente de volumen V se conecta a una bomba de pistn cuya cmara tiene un volumen V. La presin inicial del recipiente es P. Se pide el nmero de emboladas que hay que efectuar para que la presin del recipiente se reduzca a Pf. La variacin de temperatura se considera despreciable. Cuando la bomba aspira el volumen inicial V del recipiente aumenta a V+V y por consiguiente la presin disminuye a p1. Despus de la aspiracin las vlvulas funcionan para que el aire contenido en la cmara de la bomba salga al exterior. La presin en el recipiente es:
p1 (V+V) = PV VVPVp1 +=
Si ahora se efecta una segunda embolada, la presin disminuye a p2.
p2(V+V)=p1V 2
12 VV
VPVV
Vpp
+=+=
Al cabo de n emboladas
+
=
+=
+=VV
Vlog
PPlog
nVV
VlognPP
logVV
VPPf
fn
f
16.- Un barmetro de mercurio tiene una longitud de tubo L y en su cmara se ha introducido vapor de agua. Cuando la presin atmosfrica es po y la temperatura To la altura del mercurio es H1. Se pide calcular la presin atmosfrica, en mm de mercurio, cuando la altura indicada por el barmetro es H y la temperatura es T.
Consideramos que el vapor de agua se comporta como un gas perfecto y S designa la seccin del tubo del barmetro ( ) ( )
THLSp
THLSp 2
0
11 = Despejando p2 y llevando a (1)
( ) HHLHL
TTHpPPH
HLHL
TTp 1
o1oatmatm
1
o
1 +==+
L H1
A
po
L H
A
Patm
Designamos con p1 la presin del vapor de agua en la cmara del barmetro en el caso primero y con p2 en el caso segundo. Igualamos las presiones en le caso primero y en le segundo p1+H1= po ; p2+H= Patm (1)
17.-Dos cilindros se encuentran inicialmente situados como indica la figura.
A medida que desliza el cilindro inferior hacia la derecha, el superior, mientras est en contacto con l, sigue empujndolo y haciendo que su velocidad aumente, por tanto, sta adquirir un valor mximo y a partir de ese momento los cilindros dejan de estar en contacto, ya que si siguiesen en contacto la velocidad aumentara an ms y eso no es posible porque hemos llegado al mximo valor de ella.
En este momento el cilindro superior posee una velocidad vy dirigida hacia abajo y el cilindro inferior una velocidad vx dirigida hacia la derecha. Dado que no existen rozamientos, la energa cintica que han adquirido los cilindros proviene de la prdida de energa potencial del cilindro superior.
2gyvvmgymv21mv
21 2
y2x
2y
2x =+=+ (1)
y
x
2R
De forma suave, se desplaza el cilindro inferior hacia la derecha y as comienza a deslizar por la accin del cilindro superior que acta en contacto con el inferior y con la pared vertical. Se admite que no existe ningn rozamiento entre las superficies que estn en contacto. Se pide la velocidad final que alcanza el cilindro inferior
En la figura de la izquierda se representan los cilindros en la situacin inicial y cuando ha transcurrido un cierto tiempo. R representa el radio de cada cilindro, inicialmente la distancia entre sus centros de masa es 2R. Al cabo de un cierto tiempo, el cilindro superior ha descendido una altura y mientras que el inferior ha sufrido un desplazamiento horizontal x. Se ha dibujado un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es 2R, el cateto contiguo x y el opuesto 2R-y
Volviendo al tringulo de la figura:
( ) 2Rcosx2Rxcos;sen12Ry
2Ry2Rsen ====
( )[ ]( )
dtd*2Rcos
dtd*
dsen12Rd
dtd*
ddy
dtdyv
dtd*2Rsen
dtd*
d2Rcosd
dtd*
ddx
dtdxv
y
x
====
====
Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones resulta:
senvcosv yx = Sustituyendo en la ecuacin (1)
[ ]( )sensen12R2gvsen2gysencos1
2gyv2gysencosvv x
2
2x2
22x
2x ==
+==+
Para calcular el valor mximo de vx respecto del ngulo , derivamos e igualamos a cero
( ) ( )( )
( ) ( )32sencos3sencos2cossencos2sen2cos
cossencossen120sen14gR2
cossen4gRcos*sen18gR
0sen14gR2
cos4gRsencos*sen14gRd
dvx
===
==
=
+=
34gR
32
32*
3214gRvx =
=
18.- Una varilla uniforme de longitud L desliza con velocidad v por un suelo horizontal sin rozamiento. La varilla encuentra que a partir de una lnea M el suelo presenta un coeficiente de rozamiento constante. La varilla penetra en ese suelo y se detiene al cabo de un cierto tiempo, quedando una parte de ella en el suelo sin rozamiento, tal como indica la figura inferior.
Determinar el tiempo que emplea la varilla desde que llega a la lnea M hasta que se para. Cuando la varilla desliza por el suelo sin rozamiento, las fuerzas que actan son el peso en direccin vertical al suelo y hacia abajo y la fuerza normal con que el suelo empuja a la varilla , vertical y hacia arriba, la suma de ambas fuerzas es nula y la varilla mantiene su velocidad constante. Cuando penetra en e suelo con rozamiento aparece una fuerza horizontal de rozamiento en sentido contrario a la velocidad. Esta fuerza de rozamiento vale.
NFR = Siendo el coeficiente de rozamiento y N la fuerza de reaccin del suelo con rozamiento sobre la varilla. N aumenta a medida que la varilla penetra en el suelo con rozamiento. Si la varilla ha penetrado una distancia x en el suelo con rozamiento
kxFxL
mgFxL
mgN RR === En consecuencia, la fuerza que frena a la varilla es directamente proporcional a la longitud de varilla que ha penetrado en el suelo con rozamiento. Esta situacin es la misma que cuando un mvil efecta un movimiento armnico y se desplaza desde la posicin de equilibrio hacia la mxima elongacin y cuando alcanza sta, su velocidad se anula. Aqu la varilla al llegar a la lnea M lleva una velocidad v, al penetrar aparece la fuerza de rozamiento y se para hasta frenarse, por tanto, equivale a un tiempo de un cuarto de periodo en el m0vimiento vibratorio armnico.
gL
2
4Tt
Lmg
m2km2T ====
M
L x
19.- De acuerdo con la teora de la relatividad un cuerpo formado por la adicin de masas, m1 , m2 mn , su masa es inferior respecto a la suma en una cantidad 2c
Em = donde E es la energa de enlace (energa que se ha de suministrar al cuerpo para separar las masas individuales que lo componen) y c es la velocidad de la luz. Calcular m para la Tierra, admitiendo que E solamente corresponde a la energa gravitacional. Admitir que la Tierra es una esfera de densidad constante. Para realizar el calculo vamos a suponer que desde el infinito traemos capas esfricas de espesor dr, las cuales las vamos apilando, hasta formar una esfera cuyo radio final es el de la Tierra. En un determinado momento la esfera que ya hemos formado tiene un radio r y sobre ella y desde el infinito traemos una capa esfrica de radio r y espesor dr.
La energa necesaria para realizar el procesor de sumar la capa esfrica a la esfera r , esta dada por
dE = dm*( Potencial gravitatorio de partida menos potencial gravitatorio de llegada) siendo, dm la masa transportada , esto es , la masa de la capa esfrica. El potencial gravitatorio en el infinito es cero y en la superficie de la esfera de radio r
rGmV =
Siendo m la masa de la esfera de radio r
r34m;drr4dm 32 ==
r infinito dr
( ) dr3
r4Gr
r34G
0drr4dE42
3
2 =
+=
Para construir la esfera de radio igual al de la Tierra, hemos de sumar los trabajos anteriores desde que el radio inicial es cero hasta que alcanza el valor R ( ) ( )
15R4Gdr
3r4G
0E
5242
== R
(1)
La energa anterior sera la que necesitsemos para destruir la esfera terrestre llevando capas de espesor dr al infinito.
4G3g
R
R34
GRMGg 2
3
2 === Sustituyendo en (1)
( ) ( )( ) kg2,5.103.10*6,67.10*5
6370.10*9,8*35Gc
R3gmG5R3g
15
RGR4
3g*G4E 152811
332
2
32325
22
====
=
20.- Un cubo de arista a, se apoya sobre dos varillas Ay B dispuestas horizontalmente con una distancia entre ellas igual a la arista a del cubo. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, para qu valores del ngulo el cubo puede mantenerse en equilibrio.
La posicin de equilibrio ms estable del cubo es cuando = 45. En la figura superior el cubo aparece desplazado y si no hubiese rozamiento tendera a girar en el sentido de
la flecha, esto es, en sentido contrario a las agujas del reloj, hasta alcanzar la posicin de 45. En esa situacin se han dibujado las fuerzas que actan sobre el cubo. Si desplazsemos el cubo hacia la derecha las fuerzas de rozamiento tendran sentido contrario a las dibujadas en la figura y el cubo de no existir rozamiento se desplazara en el sentido de las agujas del reloj. Si el cubo est en equilibrio se cumple que la suma de las fuerzas sobre el eje X es nula y el momento de las fuerzas respecto del centro de masas, C.M. , tambin es nulo.
(1)cosFsenNsenFcosN
0cosFsenNcosNsenF
R22R11
R221R1
++==+
Los momentos de las fuerzas dirigidos hacia dentro del papel se consideran positivos y hacia fuera negativos.
( ) ( ) )2(12cosNsen21NFF0
2apN
2aFsena
2aN
2aF
02apN
2aFp
2aN
2aF
21R2R1
22R21R1
22R211R1
+=+
=
+
=
+
Los valores de las fuerzas de rozamiento son: 2R21R1 NF;NF (3) De la ecuacin (1) se deduce:
tagNNFtagFFtagNtagFN 21R2R1R22R11 =+++= (4) A partir de las ecuaciones (3)
( )21R2R12R21R1 NtagNFtagFNF;tagNtagF ++ (5) De las ecuaciones (4) y (5)
( )( ) ( ) ( )
( ) )6(NN
tagtag1tag
NNtag1
tagNtag1NtagNNtagN
N-tagNNtagNtagNNNtagN
1
2
1
2
21211
22112121
++
+++
De las ecuaciones (3) : ( )21R2R1 NNFF ++ (7)
De las ecuaciones (7) y (2)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(8)NN
12cossen21
12cosNNsen21N12cosNsen21NN
12cosNsen21NNN
1
2
1
22211
2121
+
+++
Comparando las ecuaciones (8) y (6), se deduce que
tagtag1
12cossen21
+
+ (9) La inecuacin (9) se resuelve mediante la hoja de clculo
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
15 20 25 30 35 40 45
angulos en grados
prim
ero
y se
gund
o m
iem
bro
de
(9)
primero segundo
Aproximadamente a unos 36 se igualan los valores del primer miembro con el segundo y a partir de ah el primero es mayor que el segundo tal como exige el problema. Si se precisa algo ms el clculo resulta que
ngulo Primer miembro Segundo miembro 36,1 0,9075 0,9198 36,2 0,9188 0,9166
Entre 36,2 y 45 hay equilibrio, en el intervalo 45-36,2 = 8,8 y si el cubo se sita desplazado para que gire en sentido de las agujas del reloj hay equilibrio entre 45 y 53,8. En total hay equilibrio desde 36,2 a 53,8 .
21.-Dos cilindros idnticos, de radio R, estn en reposo sobre un suelo horizontal. A uno de ellos se le aplica una fuerza F en su centro y al otro en la periferia, tal como indica la figura inferior
El coeficiente de rozamiento de los cilindros con el plano es el mismo .. Se pide calcular la fuerza mxima F que puede aplicarse a cada cilindro sin que se produzca deslizamiento y las aceleraciones de sus centros de masas. Sobre el primer cilindro actan las fuerzas que se indican en la figura 1
Fig.1 Las ecuaciones del movimiento del cilindro para la traslacin y rotacin son:
Ra
IR*FmaFF
CM
R
R
===
La ltima ecuacin se cumple siempre que el cilindro no deslice. Si se aumenta el valor de F la aceleracin del centro de masas aumenta y tambin la aceleracin angular por lo que FR debe aumentar. Ahora bien esta fuerza de rozamiento no puede aumentar indefinidamente sino que alcanza un valor mximo FR= mg que se corresponde con un valor mximo de F = Fmax , y el cilindro rueda sin deslizar. Si F supera ese valor mximo entonces se produce rodadura y deslizamiento.
F
F
F
FR Peso = mg
F = Fuerza aplicada FR = fuerza de rozamiento Peso del cilindro, P = mg
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores resulta:
Ra
g2aR
a*mR
21R*mgIR*mg
mamgF
CM
CMCM2
max
====
=
Sustituyendo la aceleracin hallada en la primera ecuacin
mg3mgg2mFmax =+=
Para el segundo cilindro las fuerzas se indican en la figura 2.
Fig. 2 Aqu la fuerza de rozamiento acta en el sentido del movimiento del centro de masas. Veamos el porqu. F y FR actan creando una aceleracin hacia la derecha de valor
maFF R =+
El momento de la fuerza F tiene sentido contrario al de la fuerza de rozamiento, El momento de F crea una aceleracin angular para que el cilindro ruede hacia delante, mientras que el momento de FR se opone a ello. ( ) IR*FF R = Si la fuerza FR actuase en sentido contrario a como lo hace estaramos ante una situacin paradjica, los dos momentos de ambas fuerzas tienden a hacer rodar hacia delante el cilindro, pero la FR se opone a las traslacin del centro de masas. Cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor mximo FR= mg , la fuerza aplicada F es la mxima.
F
FR
Peso = mg
ma21
RRa*mR
21
RImgF
mamgF
2
max
max
===
=+
Restando las ecuaciones anteriores
g4ama21mg2 ==
y
mg3mgmaFmax == Si la fuerza de rozamiento actuase como en le caso 1, las ecuaciones seran
( )Ra
IR*FFmaFF
CM
R
R
==+
=
Operando con estas tres ecuaciones
ma21
RRa*mR
21
mgF
mamgF
2
max
max
==+
=
De ambas ecuaciones
g4aa21mg2 ==
mg3Fmax = Segn la primera ecuacin el cilindro rodara en sentido contrario a la fuerza aplicada. Lo lgico es admitir que la fuerza de rozamiento acta como hemos supuesto en la figura 2.
PROBLEMAS VARIADOS 3 22.-Dos abalorios iguales de masa m y carga q pueden deslizar sin rozamiento por dos barras no conductoras. Ambas barras estn en le mismo plano vertical formando un ngulo con la horizontal. Determinar a qu altura por encima de la horizontal pueden elevarse ambos abalorios. Inicialmente se encuentran a una distancia L entre s y
a una distancia l de los extremos de las barras, tal como indica la figura 1.
Fig.1
a) Suponemos que los abalorios se desplazan hacia arriba una distancia que es inferior a l , o en otras palabras , que no abandonan las barras.
En el equilibrio reencuentran a una distancia S y se han elevado una altura h sobre la horizontal. Los abalorios han ganado energa potencial gravitatoria respecto de la posicin inicial y esta ganancia es debida a la prdida de energa potencial elctrica de las cargas
L l
S h
x
L l l
Fig.2
=S1
L1
4q2mgh
o
2
De la figura 2 se deduce:
tag2hL2xLS +=+=
(1)tag2L
mg8qh
mg4q2hLtag
2hLtag2h
4q
2hLtagtag
L1
4q
tag2hL
1L1
4q2mgh
o
2
o
2
o
2
o
2
o
2
==+
+=
+=
+=
Veamos cul es la condicin para que los abalorios no se salgan de las barras. El lmite viene determinado porque los abalorios recorran sobre la barra la longitud l. En este caso h es igual a l sen
+= tag2Lsenlmg8qtag
2L
mg8qsenl o
o
2
Si q es mayor que la raz cuadrada de la expresin anterior los abalorios abandonan las barras con una velocidad v, y una vez fuera de las barras describirn un movimiento parablico. Para que esto ocurra, la suma de las energas potenciales gravitatorias ms las cinticas de ambos abalorios deben ser iguales a la prdida de energa potencial gravitatoria al llegar a los extremos de las barras
( ) sen2glcos2lLL 2lcosm 4qvcos2lL
1L1
4q
tagsen2lL
1L1
4qsen2mglmv
21*2
o
22
o
2
o
22
+=
+=
+=+
La altura que alcanza un abalorio cuando abandona la barra viene dada por la expresin que determina la altura mxima en un movimiento parablico
( )
( ) lsensen*2lcosLL2lcos
8mgqH
2g
sen*2glsen2lcosLL
2lcos m4
q
2gsenvH
32
o
2
2
o
2
22
+=
+==
La altura total respecto de la posicin inicial es:
( )( )
++=
++=
2lcosLLsenlcos
4mgqcoslsenh
senl-sen*2lcosLL
2lcos8mg
qlsenh
2
o
22
total
32
o
2
total
23.-Sobre el eje X se encuentra una carga q1, a su derecha y a una distancia l se encuentra una carga +q2, siendo en valor absoluto q2>q1. Ambas cargas estn fijas. Por el eje X y por la izquierda de q1 y desde el infinito se acerca una masa m con una carga +q3. Calcular la velocidad mnima que debe tener en el infinito esta carga para que pueda alcanzar a q1. En la figura est el esquema de la situacin de las cargas
En el punto P a una distancia r de q1, los campos elctricos de la dos cargas se anulan. A la izquierda de P predomina el campo de +q2 y a la derecha de P el de -q1. Dado que la carga q3 es positiva, a la izquierda de P es repelida, pero si rebasa el punto P, entonces es atrada, por consiguiente, si +q3 ha de llegar a -q1 basta con que su velocidad en P sea nula , ya que de ah en adelante ser atrada por q1. El trabajo que es necesario realizar para que la carga +q3 llegue a P es:
( ) ( )
+=== rq
lrq
41qV0qVVqW 12
o3P3P3
El signo negativo indica que el trabajo debe realizarse en contra de las fuerzas del campo. Este trabajo se realiza a costa de la energa cintica inicial que la carga q3 tiene en el infinito
+=
+= rq
lrq
m42q
vr
qlr
q4
1qmv21 12
o
312
o3
2
El valor de r se puede calcular a partir de que en el punto P las fuerzas son iguales
( )1
1r1qq
rl
rlr
lrq
41
rq
41
1
21
2
1
22
2
o21
o ===++=
P
r l
+q2 -q1
24.-Un prisma cuya seccin principal es un tringulo issceles de base a y ngulo 2 = 160 (ver la figura) posee un ndice de refraccin n =1,5 .
Un haz de luz, cuya anchura es a4
3b = , y potencia P =8000 W, la cual est distribuida uniformemente sobre el haz, incide sobre el prisma. Dibujar la grfica de la fuerza F que acta sobre el prisma en funcin de x , siendo x la distancia en horizontal que existe entre el vrtice A del prisma y el centro B del haz luminoso. Calcular el valor mximo de F. Considerar que el haz luminoso penetra por entero en el prisma y por tanto se desprecian las posibles reflexiones.
Vamos a dividir el prisma en dos partes simtricas. Calculemos el ngulo con el que un rayo sale del prisma, tal como indica la figura inferior
b
a 2
a/2
90
A
BC
Fig.1
Por la ley de Snell ( ) 6,6478sen1,590sen*1 == En el tringulo ABC ( ) 9018090 ==+++ Por la ley de Snell ( ) 0,0877sensen*1-90sen*1,5 == Un fotn con energa E posee un momento lineal
cE .De la figura 1 se deduce que un
fotn que incida sobre la parte derecha del prisma cambia su direccin, teniendo una
componente en direccin horizontal y dirigida hacia la izquierdacsenE
Y otra en direccin vertical ccosE
Sobre la parte izquierda del prisma un fotn en posicin simtrica con el de la figura 1
tendra de componentes: ;csenE+
ccosE .
La fuerza horizontal que aparece sobre la mitad del prisma derecho y dirigida hacia la izquierda se anula con la fuerza horizontal que aparece en la mitad izquierda del prisma y dirigida hacia la derecha. La fuerza neta horizontal sobre el prisma es cero. Esto ocurre porque la mitad del prisma recibe la misma potencia luminosa que la otra mitad y se debe a la situacin simtrica del prisma cuyo centro coincide exactamente con el centro del haz luminoso. La situacin cambia si el centro del prisma no coincide con el centro del haz luminoso, ya que entonces una mitad del prisma recibe mayor potencia que la otra mitad. En la figura 2 se representa el haz y la base a del prisma situada en distintas posiciones
Cuando x =0 la potencia recibida por la parte izquierda del prisma es igual que la que recibe la parte derecha , por tanto , las fuerzas horizontales son iguales y de sentido contrario y su suma es nula , lo que indica F =0 Cuando x = 1/16a, la potencia recibida por la mitad izquierda del prisma es mayor que por la parte derecha. La fuerza es proporcional a la superficie recibida
a81kFFF
a161a
83kxa
83kF;a
161a
83kxa
83kF
21
21
==
=
=
+=
+=
Cuando x = 1/8a,
a41kFFF
a81a
83kxa
83kF;a
81a
83kxa
83kF
21
21
==
=
=
+=
+=
b=3/4 a
3/8a 3/8a
3/8a +x 3/8a -x
x=0
x=1/16a
3/8 a+x=a/2 3/8 a-x
a/2
x=1/8a
a/8
a/2
x=2/8a
x=3/8a
x=4/8a=a/2
x=7/8a
fig.2
Cuando x = 2/8a,
a83kFFF
a81
21kxa
83kF;
2akF
21
21
==
=
== a
Cuando x = 3/8a,
a21kFFF
0a83a
83kxa
83kF;
21kF
21
21
==
=
=
== a
A partir de 3/8, la fuerza disminuye ya que disminuye la luz que le llega a la parte izquierda del prisma. Cuando x = 7/8a resulta que ya no le llega luz al prisma y por consiguiente la fuerza es cero. Representamos en el eje de abscisas x/a frente a la fuerza relativa al valor mximo
x/a 0 1/16=0,5/8 1/8 2/8 3/8 7/8
F/Fmax 0 1/4 1/2 3/4 1 0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x/a
F/F m
ax
La fuerza mxima se produce cuando la mitad izquierda del prisma recibe luz y la mitad derecha no la recibe.
La energa que recibe el prisma por unidad de longitud es a
P
43
y la que recibe la mitad
izquierda del prisma PaaP
32
2*
34 = .
La fuerza esta determinada por la variacin del momento lineal con respecto al tiempo
N1,56.103.10*3
0,0877*8000*2c
senP32
tcsenE
F 68
t
==== 25.- Una membrana horizontal oscila armnicamente a lo largo de un eje vertical con una frecuencia f= 100 Hz. Calcular la amplitud de las oscilaciones si unos granos de arena que estn sobre la membrana saltan hasta una altura de de H= 2 cm respecto de la posicin central de la membrana. Cuando la membrana est en su posicin inicial de equilibrio, en la que la aceleracin es cero, un grano de arena de masa m est sometido a dos fuerzas su peso y el empuje de la membrana. En una posicin en que la membrana est separada de su posicin de equilibrio, resulta que existe una aceleracin vertical dirigida hacia la posicin de equilibrio. Si analizamos las fuerzas desde un sistema ligado a la membrana, que es un sistema no inercial, las fuerzas que actan estn representadas en la posicin 2 de la figura1.
En la segunda posicin sobre el grano actan las fuerzas indicadas, siendo E menor que en la primera posicin. En al tercera el empuje se ha anulado y mg = Fi =ma; al cesar E
mg mg mg
E E
FiFi
Fig.1
el grano puede abandonar la membrana, y esto ocurre cuando la aceleracin de la membrana es igual a g. Si para la posicin de equilibrio la ecuacin del movimiento armnico es tsenAy = , la ecuacin de la velocidad es tcosAv = y la de la aceleracin tsenAa 2= . Cuando el valor absoluto de la aceleracin sea igual a g, es cuando el grano puede abandonar la membrana
gtsenA2 = (1) En ese instante la velocidad vertical del grano es: tcosAv = Debido a esa velocidad alcanza una altura respecto de la posicin de la membrana cuando
la abandona igual a: 2g
tcosAh222
= Respecto a la posicin inicial de la membrana
2gtcosAtsenAH
222
+= (2) A partir de las ecuaciones (1) y (2)
2
222
22
2
2
2
22
2
22
2
42
222
2
ggH2
A2
2ggH4
A
2g2
gHA
2gH
2gA
2g
2gA
g
2gA
g1A
AgAH
=
=
=
=+=
+=
Sustituyendo valores
mm1m9,96.10100*4
9,82.10*9,8*100*4*2A 422
2222
==
26.- Un objeto en forma de L se encuentra a la izquierda de una lente convergente de distancia focal f. Las dimensin vertical del objeto el h y la horizontal x, tal como se indica en la figura.
El aumento transversal es
hh
= y el longitudinal xx = . Encontrar la
relacin entre ambos aumentos y en particular cuando x sea muy pequeo comparado con s.
De la figura se deduce que: ss
hh ==
La ecuacin de las lentes delgadas
sffss
fssf
s1
f1
s1
f1
s1
s1
+=+=+==+
sff
ssf
fs
+=+=
Aplicando de nuevo la ecuacin de las lentes delgadas:
( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )xsfsfxfx
xsfsffxsfssffxsxffssf
xsfsfsffxfs
sffs
xsfxsfx
sxsf
xsfxx-sfxsf
x-s1
f1
xs1
f1
xs1
x-s1
2
22222
++=
++++=++
+=++=
+=+=+=+=++
( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) sfx1
sfxsf
xsfsf
sffxsfsf
fxx
22
2
22
+=
++
=+++=++
==
En el caso de que x sea muy pequeo frente s , la fraccin del denominador es un nmero muy pequeo , y para este caso
2 =
h
x f
F
s s
xh
PROBLEMAS VARIADOS 4
27.- Dos lentes convergentes tienen la misma distancia focal F y estn situadas a una distancia F una de la otra. La segunda lente est a una altura h por debajo de la primera tal como indica la figura.
En el eje principal de la lente 1 est situado un punto luminoso S a una distancia 2F de dicha lente. Calcular la distancia en lnea recta entre S y la imagen S1 que forman las dos lentes. Para determinar donde se forma la imagen de S1 escogemos dos rayos luminosos procedentes de S. Uno que se desplaza por el eje principal de 1 y otro que se dirige desde S a la lente 1 apuntando al lugar donde se encuentra el foco objeto de la lente 2. El primer rayo atraviesa la lente 1 sin desviarse y llega a la dos, en ella se refracta y pasa por el foco imagen de la lente 2 ya que es un rayo paralelo a su eje principal. Si slo estuviese la lente 1 podremos calcular dnde se forma la imagen de S, aplicando las formulas de las lentes delgadas
2Fs2F1
F1
s1
F1
s1
2F1
222
===+ En la figura ese lugar est sealado con la letra M. El segundo rayo procede de S y llega a la lente1 en el foco objeto de la lente 2 , se refracta y camina hacia el punto M , pero en su camino se encuentra con la lente 2, para sta es un rayo que procede del foco objeto y por tanto despus de atravesar la lente sale paralelo a su eje principal. En la figura se observa dnde se cortan los dos rayos considerados y ese es el lugar donde se forma la imagen S1.
1
2 2F
F
S h
Comparando los tringulos semejante aOM y BNM
2hbN
FbN
2Fh
NMbN
OMaO ===
Comparando los tringulos semejantes bNS1 y PNQ
2FbS
Fh
bS2h
PQNP
bSNb
111
===
2222
1 h49F21
2h
2FF2FSS +=
+
++=
28.- Los compartimentos AB y CD de un tubo vertical estn llenos de aire. Los extremos del tubo estn cerrados. Las partes BC y DE son de mercurio y en la parte superior EF se ha hecho el vaco. Las longitudes de cada una de las partes son iguales a h. La presin en el punto A es p. El tubo se gira cuidadosamente y adopta la posicin de las distintas partes indicadas en la figura. Calcular la presin en el punto inferior F en funcin de p. Se supone que al darle la vuelta al tubo la temperatura no
vara. Cuando el tubo se gira el compartimiento de aire AB pasa a ser A1B1 y el CD a C1D1.
inicial final
x
A
B
C
D
E
F
F
A1
B1
C1 D1
mercurio
S1 S
M
1
a
b O N
P Q
2 2F
F
Designamos con S la seccin del tubo .Los volmenes de cada uno de los compartimientos de aire en el estado inicial son Sh.. Las presiones son PE = 0 ; PD = PDC=gh ; PB=PDC+ gh=PA=p=2 gh Siendo la densidad del mercurio Las presiones en las cmaras de aire son p en AB y p/2 en CD El aire contenido en la cmara AB ocupa en la posicin final la cmara A1B1.La presin ahora en esta cmara es px Teniendo en cuenta que la temperatura no ha variado se cumple, de acuerdo con la ley de Boyle-Mariotte
xpphSxppSh xx == (1) La cmara de aire CD tiene una presin p/2 y al volcar el tubo pasa a ser C1D1. Puesto que el tubo no ha variado de tamao y tampoco las alturas del mercurio se deduce que la altura H de esa cmara es: 5h= 2h +x +H H = 3h-x Aplicando la ley de Boyle.Mariotte, y designando con p2 a la presin en C1D1 en el estado final
( ) ( )x3h2phpx-3hSpSh
2p
22 == (2) De acuerdo con la figura se deduce que.
2pppghpp x2x2 +=+= (3)
De las ecuaciones (2) y (3) se deduce que.
( ) ( ) 2p
x3h2php
2pp
x3h2ph
xx =+= (4) Llevando la ecuacin (4) a la (1)
( )h6x
x6hx3hxhx2hx6hxx3h
hx2hx2p
x3h2phph 2222
=
=+==
=
La presin en F en el estado final es:
( )
+=
++=
+
+=
+=
+=+=+=
661p
126626p
21
2436626pp
21
6261p1
h63hh
2p
2p
x3h2phghpp
F
2F
29.- En el dispositivo de la figura inferior AB es una varilla conductora que se apoya sobre un conductor fijo FCDE. La varilla conductora puede deslizarse sin rozamiento sobre el conductor fijo. Un campo magntico uniforme B=2.10-2 T tiene la direccin positiva del eje y se extiende sobre el plano XY. Si la varilla AB se desliza con velocidad
jvvrv = , siendo v= 3 m/s. Calcular la fuerza electromotriz inducida. La resistencia
elctrica del circuito es 3 . Determinar la potencia que se debe aplicar para mantener el sistema en movimiento.
La ecuacin BvqF
rrr = nos permite decir dnde se acumulan los electrones. En la figura est representado el vector Bv
rr que al multiplicar por la carga negativa del electrn indica una fuerza sobre los mismos dirigida desde A a B, en otras palabras el extremos A es el positivo y el B el negativo. Esto nos indica que la corriente en el circuito es en el sentido ADCBA. Para calcular la fuerza electromotriz inducida, calculamos la circulacin a lo largo de la lnea cerrada ABCD
( ) drcosBvrdBvrdqFrdE
m === rrrrrrr
rr
En la integral anterior la circulacin por BC, CD y DA es nula por ser el producto Bvrr , ya que v=0,
adems es 180 , por lo que la integral anterior queda reducida a
( ) -vBLBAvBrrvBdrvBdrvB BArB
rA
B
A
==== El movimiento de la varilla no es espontneo, ya que al aparecer una corriente desde B hacia A , sobre la varilla aparece una fuerza dada por la ecuacin
LBIFBBAIF ABAB ==rrr
Siendo I la intensidad de la corriente inducida que atraviesa la varilla AB y cuyo valor es R
LvBRI == ,
siendo R la resistencia del circuito. BAr
es un vector dirigido desde A hacia B, el producto vectorial por Br
da lugar a que el vector ABFr
tenga la direccin negativa del eje Y, esto es, contrario a la velocidad. En consecuencia si queremos que la varilla se desplace con velocidad v constante hacia la derecha hemos de aplicar un fuerza igual en modulo a FAB y dirigida hacia el eje Y positivo. La potencia que hemos de
A
B C
D
vv
E
F
B
Bv dr X
Y
Z
rA
rB
rA-rB= AB= L
aplicar es el trabajo efectuado en un tiempo dividido por ese tiempo. En el tiempo t la varilla se desplaza hacia la derecha una distancia vt el trabajo es FAB vt y la potencia
vBLIt
tvFP AB == En definitiva lo que ocurre es que hay que aplicar un trabajo para desplazar la varilla y ese trabajo aparece en forma de energa elctrica, si no fuese as resultara que tendramos una corriente elctrica sin consumir trabajo y eso es imposible. 30.- El hilo conductor, de longitud infinita, lleva una corriente de I amperios. El cuadro conductor, de lado L, se desplaza con una velocidad v
ambos se encuentran en el mismo plano YZ. Determinar la fuerza electromotriz inducida en el cuadro en funcin de la distancia x. Para calcular la fuerza electromotriz inducida, calculamos la circulacin a lo largo de la lnea cerrada ABCD. Antes veamos la direccin y sentido del vector Bv
rr , en cada uno de los lados y el ngulo que forma dicho vector con los rdr de cada uno de los lados. El campo magntico creado por el hilo conductor tiene de mdulo
r2I
B o=r y el vector Br tiene la direccin del eje X negativo.
Bvrr sobre el lado BC forma un ngulo de cero grados con rdr Bvrr sobre el lado DA forma un ngulo de ciento ochenta grados rdr Bvrr sobre cualquier punto del lado AB forma un ngulo de 90grados con rdr Bvrr sobre cualquier punto del lado CD forma un ngulo de 90 grados con rdr
Segn lo anterior
( )( ) ( ) ( )axx
12
vIaa)xx
a2Iav
x1
ax1
2Iav
ax2I
vaax2
Iv
avBavBdrvB-drvBrdBvrdqFrdE
2ooooo
DABC
A
D
C
Bm
+=
+
=
+=+=
=+==== rrrrr
rr
A B
C D
v
L
I
X
Y
Z
x
dr
La interpretacin del signo menos es la siguiente: De acuerdo con la ley de Lenz la fuerza electromotriz inducida se opone a la causa introducida en el circuito. Al moverse el circuito hacia la izquierda el flujo que lo atraviesa disminuye y la fuerza electromotriz inducida trata de mantenerlo ,, para ello , existen dos opciones posibles que la corriente vaya en el sentido ABCDA o en el sentido ADCBA. Si ocurriese el sentido ABCDA el flujo debido a esa corriente no se opone a la disminucin de flujo que ocurre por moverse la espira hacia la izquierda, en cambio si ocurre en el sentido ADCBA entonces trata de que no disminuya el flujo debido al movimiento de la espira ya que el campo magntico inducido tien lel sentido del campo B creado por la corriente. Ese sentido de giro es negativo ya que se dirige del eje Z al Y.
Este problema se puede tambin resolver a partir de la ecuacin dtd =
Llamamos xo a la distancia desde el hilo al lado DA de la espira en el tiempo t=0 y designamos con x la distancia del hilo al lado DA en el tiempo t x=xo+vt Consideremos una franja de espesor dr en la espira , como indica la figura
El flujo magntico que atraviesa la franja vale 180 cosadrr2I
SdBd o == rr . El flujo a travs de la espira
vtxavtx
ln2
Iax
axln2
Iar
dr2
Ia
o
oooax
x
o
+++=+== +
( ) ( )( )
( )axx1*
2vIa
xavxvxv*
axx*
2Ia
vtxvavtxvvtx
*avtx
vtx*
2Ia
dtd
2o
2o
2o
oo
o
oo
+=
+=++++
+++==
dr
r
x
31.- Para elevar la temperatura en 1 K de un gas desconocido se necesita aportar 650 J de energa si se hace a volumen constante y 910 J si el proceso es a presin constante. De qu gas se trata? En el proceso a volumen constante la energa aportada aumenta la energa interna del gas,. En el proceso a presin constante se aumente la energa libre del gas. Ambas magnitudes termodinmicas estn relacionadas
32260
8,31.10MM
10001*8,31
260n
nRRp260650910pUH3
====
===+=
El gas debe se O2. 32.- En el circuito de la figura inferior cada una de las pilas tiene una fuerza electromotriz y una resistencia interna r. El voltmetro tiene una resistencia interna muy superior a r y los cables carecen de resistencia. Determinar cul ser la lectura del voltmetro
El circuito de la figura equivale al siguiente
La intensidad que circula por la malla superior es: r
r3r3
R
I =++==
y tiene el sentido de movimiento de las agujas de un reloj, como seala la flecha curvada de la figura. Si tomamos como sentido positivo el de la corriente y calculamos la diferencia de potencial por la parte inferior
V
B A
3,3r
B ,r
A
0rrIrIRVV BA ====
Si calculamos la misma diferencia de potencial por la parte superior
( ) 033rr3-3rIIRVV BA =+===
32.-En el circuito de la figura inferior determinar la frecuencia de resonancia
La impedancia de la rama que contiene la bobina vale iLRZ L1 +=
La impedancia de la rama que contiene el condensador vale iC1RZ C1 =
La admitancia de todo el circuito
CiR
1iLR
1YC
L ++=
Multiplicamos por el conjugado del denominador en cada fraccin
+++++
++=++
++=
222C
222L
222C
C222
L
L
222C
C
222L
L
C1R
C1
LRL-
C1R
RLR
RY
C1R
CiR
LRiLRY i
La resonancia se produce cuando la parte imaginaria es nula
( )
CLR
CLR
LC21f
CLR
CLR
LC1
CLRLC
CCLR
LCRCLCLR
CLCRLCLR1CR
CLR
L
2C
2L
r2C
2L
r
2C
2
2L
2r
2L
222C
2r
2r
22L
2r
22C2
r22
C
r2r
22L
r
=
=
==
+=++=+
RL
L
RC
C
Para que haya resonancia se tiene que cumplir que
CLRy
CLR 2C
2L >>
o tambin que
CLRy
CLR 2C
2L
31 m11760,9371,192300V ==
Para el segundo globo, la densidad del vapor de agua es:
3
5w
W mkg0,581
3738,30,01810
RTpM
===
32 m9140,5811,192
300V == b) El calor necesario para calentar el aire a presin constante es:
( ) ( ) J8,83.10808,327
3738,3117610TTRC
RTpV
TCnQ 75
oV1
paire1 ==+==
El agua se calienta desde 293 a 373 y luego se evapora ( ) LmTTCmQ aguaowagua2 += Calculamos la masa de agua
kg2850,0183738,349110m
3738,3149110
RTpVnnRTpV
5
agua
5
==
=== ( ) J7,51.102,3.10285804200285LmTTCmQ 86aguaowagua2 =+=+= c) Los globos pierden calor por la envoltura. Designamos a q1 como la energa perdida por unidad de tiempo, el calor total perdido por el primer globo en un tiempo dt es : q1*dt El segundo globo pierde en un tiempo dt : q2*dt
Para el primer globo la fuerza ascensional es: F1=E-P = PgV e1 gdV0gdVdPgdVdF e1e1e11 ===
(1)T
dTgnMdF
gRTpMdT
pnRgdT
pnRdFdT
pnRdVnRTpV
o
P1
o
Pe111
=
====
La prdida de calor en el tiempo dt provoca una disminucin de temperatura dT
P
1p1 nC
dtqdTdTnCdtq ==
Llevando esta ecuacin a (1)
oP
P11
1
P
1
o
P1 TC
gMqk
dtdF
nCdtq
TgnM
dF === (2) Para el segundo globo caso 1)
gdVdPgdVdF e2e22 == En este caso dP =0 , ya que el agua condensada queda dentro del globo. El calor perdido por la envoltura determina que se condense agua
(3)
TdngTMdF
gRTpM
dnp
RTgdnp
RTdFdnp
RTdVnRTpV
o
P2
o
Pe222
=
====
La prdida de calor en el tiempo dt provoca una disminucin en el nmero de moles dn que se condensan
LMdtq
dnLMdndtqW
2W2 == (4)
Llevando la ecuacin (4) a (3)
LMq
TTgM
kdt
dFLM
dtqT
TgMdF
W
2
o
P2
2
W
2
o
P2 === (5)
A partir de (2) y (5)
TCqLMq
LMTTgqMTC
gMq
kk
P2
W1
Wo
2P
oP
p1
2
1 == (6)
La prdida de calor q1 es directamente proporcional a la superficie del globo y la prdida q2 tambin lo es y como son del mismo material
2
1
2
1
SS
qq =
32
2
1
2
132
22
32
11
211
311 V
VSS
43V4S
43V4S4S;R
34V
=
=
===
sN0,0440,3
6,841k
84,63738,3
27
2,3.100,018491
1176
TC
LMVV
TCqLMq
kk
2
632
P
W
32
2
1
P2
W1
2
1
==
=
=
==
2) Para el segundo globo caso 2)
dPgdVdF e22 = En este caso dP no es cero, ya que el agua condensada sale del globo.
dP = dn*MW*g= Ldtgqg*M*
LMdtq 2
WW
2 =
( ) ( ) 35,31293018,0373*029,03,827
2.3.100,0180,029491
1176
kk
TMTMC
LMMVV
kk
TCTM
TMTM
LMVV
TC1TMTMq
LMq
1TMTM
Lgq
TCgMq
kk
1TMTM
Lgqk
dtdF
Lgdtq
LMdtq
TTgMdF
632
2
1
oWPP
WP
32
2
1
2
1
oPoW
oWP
P
32
2
1
opoW
P2
P1
oW
P2
oP
P1
2
1
oW
P22
22
W
2
o
P2
=
=
=
=
=
=
===
sN0,0220,3
13,351k 2 ==
34.- Se lanza un proyectil, con velocidad inicial vo , desde un suelo horizontal formando un cierto ngulo con la horizontal. Este ngulo es tal que el alcance sobre la horizontal es el mximo posible. Desde una altura y = h se traza una recta paralela al suelo que corta a la trayectoria del proyectil en dos puntos. Calcular la distancia D en direccin horizontal de ambos puntos en funcin de h. Dibuje la grfica de D frente h cuando la velocidad inicial es vo= 20 m/s . A que corresponden los valores mximo y mnimo de D?. Tome g = 10 m/s2 Tomamos ejes de referencia el de abscisas paralelo al suelo y a su nivel y el de ordenadas perpendicular al anterior. Las ecuaciones de la trayectoria son:
2o
0
gt21tsenvy
tcosvx
==
Cuando y = 0 , el proyectil est en la salida o ha recorrido su trayectoria y choca contra el suelo
gsen2v
tgt21tsenv0 oa
2aa0 ==
ta es el tiempo que emplea el proyectil en recorrer su trayectoria y llegar al suelo
gsen2v
gsen2v
cosvx2oo
oa == El alcance depende de la velocidad inicial y del ngulo de salida, si fijamos vo, podemos calcular para qu ngulo el alcance es el mximo posible
450cos202cos2gv
ddx 2oa ====
Las ecuaciones paramtricas para este movimiento de mximo alcance son
(1)v
gxxy45cosv
gx21
45cosvx45senvgt
21t45senvy
45cosvxtt45cosvx
2o
2
22o
2
oo
2o
oo
===
==
Si en la ecuacin (1) hacemos y = h se obtiene dos soluciones que corresponden a las abscisas de los puntos de corte de la recta con la parbola
2g4ghvvv
2g
v4ghv
1v
v2g
vgh411
x0hxxvg 2oo
2oo
2o2
o
2o
2o2
2o
=
=
==+
La distancia D entre ambas abscisas es
g
4ghvv2g
4ghvvv2g
4ghvvvxxD
2oo
2oo
2o
2oo
2o
12
=+== Para dibujar la grfica tenemos en cuenta que el radicando no sea negativo, por tanto, el mximo valor de h es 10 m.
05
1015202530354045
0 2 4 6 8 10 12
h /m
D/m
Cuando h = 0 m, D se corresponde con el alcance horizontal del proyectil y cuando h=10 m es la altura mxima. Para comprobarlo
m4010
90sen20g
sen2vx
22o
a === La altura mxima se obtiene cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero
gsenv
t0gtsenvdtdyv ohhoy ====
Sustituyendo
m1020
0,5400g
45senv21
g45senv
g21
g45senv
gt21tsenvy
22o
2
22o
22o2
hh0max =====
PROBLEMAS VARIADOS 5 35.- Un anillo de radio R tiene distribuida uniformemente una carga de Q culombios . a) Calcular el campo elctrico en un punto de su eje que dista del centro del anillo x. b) Dibujar la grfica campo (eje Y) frente a distancia x, para una espira de radio R=10 cm y Q = 1 nC c) Determinar para qu valor de x el mdulo del campo es mximo y el valor del campo en ese punto.
Escogemos dos elementos de longitud dl situados en los extremos de un dimetro. Cada
elemento tendr una carga dq = dlR2
Q y crearn sendos campos Edr
, tales como los
que se indican en la figura superior. Ambos campos tienen la componente sobre la vertical igual y de sentido contrario y sobre la horizontal igual y del mismo sentido. Esto supone que al sumar las contribuciones de los distintos elementos en los que se descompone el aro la componente vertical se anula y solo queda sumar la componente sobre el eje horizontal.
( )( ) ( )2322o2322o2eje
023
22o
2eje3
o2
oeje
xR4
QxR2xRR8
QxE
dlxRR8
QxEL
xdlR2
Q
41
Lx
LdQ
41cosdEdE
R2
+=
+=
+
=
===
RdE
dE
x
L
b)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 5 10 15 20 25 30
x/cm
Eeje
en N
/C
De la grfica se observa que el campo presenta un mximo. Para hallar su valor derivamos la funcin Eeje=f(x) frente a x e igualamos a cero. c)
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 7,07cm2cm10
2Rx2xR3xxR
03xxRxR0xR
2xxR23xxR
4Q
dxdE
22222
221
2223
22322
21
2223
22
o
eje
=====+
=++=
+++
=
( ) ( ) CN346
0,07070,1
0,0707109.10xR
Qx4
1E23
22
99
23
22oeje =
+=
+=
36.- Un bloque de madera de dimensiones a *b*c y densidad respecto del agua. Cuando el bloque est flotando con el lado a en posicin vertical se empuja hacia abajo y se suelta. Calcular el periodo de oscilacin del bloque. Cuando el bloque est flotando el peso es igual al empuje. Si designamos con a1 la parte sumergida del bloque , M la densidad de la madera y A la del agua
aaagbcagabcEP
A
M1A1M ====
Si sumergimos el bloque una distancia x respecto a la posicin inicial de equilibrio, el empuje ahora es superior al peso y esa fuerza resultante tender a llevarlo a la posicin inicial
=
( ) ( )xKbcgxFgabcbcgxbcg
aF
gabcbcgxaFgabcgbcxaP-E F
AMAAA
M
MAMA1
==+=+=+=
Dado que la fuerza es proporcional al desplazamiento al igual que en un movimiento armnico
ga2
gbcabc2
Km2T
A
M ===
a
x
Nivel del agua a1
37.- En la fisin de un ncleo de U23592 se liberan aproximadamente 185 MeV de energa. Un reactor nuclear funciona con este istopo y genera una potencia de 100 MW. Calcular los kilos de este istopo que se desintegran en un ao de funcionamiento del reactor.
La energa desarrollada por el reactor en un ao es:
aoMJ3,154.10
dias86400
aodias365
sMJ100 9=
Un mol de istopos son NA = 6,02 1023 istopos individuales y su masa es 235 g = 0,235 kg. La energa generada por esa masa es:
MJ1,782.10J1,782.10eVJ1,6.10eV106,02.10185MeV6,02.10185 7131962323 ===
kg6,14xx
3,154.100,235kg
MJ1,782.10 97 == 38.- Encontrar la relacin general entre el ngulo de desviacin de un prisma, de ngulo , e ndice de refraccin n, situado en el aire ( n=1) en funcin de , i, n, r, r, e,( ver figura) y a partir de esa ecuacin deducir la expresin para el ngulo de desviacin mnima. Determinar el ngulo de incidencia que produce desviacin mnima en un prisma de a =60 y n=1,5.
De la figura se deduce que -eirr;reri +==+=+ Aplicando la ley de Snell
esensenrn;senrnisen ==
i
r r e
( )senrsenrn2
eicos2
eisen2esenisen +=+=+ Sustituyendo de (1)
( ) ( )2
eicos
senrsenrn2sen2senrsenrn
2eicos
2eisen2
+=++=+ (2)
2r-rcos
2sen2
2r-rcos
2rr2sensenrsenr =+=+ (3)
Llevando (3) a (2)
2eicos
2rrcos
2senn
2sen
2eicos
2rrcos
2sen2n
2sen2
=+
=+
Para que la expresin anterior d sea mnimo el denominador del segundo miembro ha de ser mximo y el mximo valor posible del coseno es la unidad , por tanto eso ocurre cuando i=e,. Adems
12r-rcosrrisen esensenrn;senrnisen =====
2senn
2sen min =+
48,59i48,592
60602i0,752
60sen1,52
60sen min ==+==+
39.- En el sistema de poleas de la figura inferior se supone que carecen de masa y que el sistema se desplaza sin rozamiento. Se pide calcular la aceleracin de las masas.
Tomando como sentidos positivo vertical hacia abajo, las ecuaciones de las tres masas son:
)3(amTgm
)2(am2Tgm
)1(amTgm
333
222
111
==
=
Imaginemos que las masas m1 y m3 fuesen iguales, si la masa m2 se desplaza hacia abajo x2 , las otras dos masas se desplazan hacia arriba x1 e x3 . La distancia x2 se reparte por igual en las dos ramas de la cuerda de modo que x1es la mitad de x2 , lo mismo le ocurre a la masa 3. Por tanto las aceleraciones guardan la relacin
231
2aa
a+= (4)
En el caso expuesto a1 = a3 y en general sern distintas si las masas m1 y m3 son diferentes. El signa menos se debe a que la aceleracin de m2 es hacia abajo (sentido positivo) y las otras dos sentido negativo. Ahora debemos resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas. Despejamos T de la ecuacin (3) y sustituimos en la (1) ( ) 11331 amagmgm = (5) Multiplicamos la ecuacin (1) por 2 y le restamos la (2)
m2g
m1g m3g
T T
T T
( ) 221121221121 ama2mm2mgama2m2Tgm2Tg2m ==+ En la ltima ecuacin sustituimos a2 por la ecuacin (4)
( ) ( )( )
)6(m
2m2m2am2m2g
a
2am
2m2mam2mg
2aa
ma2mm2mg
2
21121
3
3221121
3121121
+=
+
+=
+=
Llevando la ecuacin (6) a la (5)
gmmmmm4mm3mmmm4ma
322131
3221311 ++
+==+
=+
12113213213132313221
112
121121331
ammammamm-am4mgm2mgm4mgmmgmm
amm
ama4mg2mg4mmgmgm
Llevando la ecuacin de a1 a la (1)
++=
+++=++
+=
322131
321
322131
3221311
322131
32213111
mmmmm4mm4m
gmT
mmmmm4mm3mmmm4m
1gmTgmmmmm4mm3mmmm4m
mTgm
Sustituyendo la tensin en la ecuacin (2)
gmmmmm4mm4mmmmma
322131
3132212 ++
+=
++=
=++=
++
322131
312
2322131
3122
322131
3212
mmmmm4mm8m
1ga
ammmmm4m
4mg2mgam
mmmmm4mm4m
g2mgm
Sustituyendo la tensin en la ecuacin (3)
gmmmmm4mmmm3mm4m
a322131
3221313 ++
+=
++=
=++=
++
322131
213
3322131
2133
322131
3213
mmmmm4mm4m
1ga
ammmmm4m
4mgmgam
mmmmm4mm4m
gmgm
40.-Un recipiente de volumen V contiene un gas a la presin p. Se desea disminuir la presin a p y para ello se conecta el recipiente a una bomba de cuya cmara tiene un volumen V. Determinar el nmero de emboladas que se han de dar para lograrlo. Se admite que la temperatura no vara El funcionamiento de la bomba es el siguiente:
La bomba tiene dos vlvulas 1 y 2 en la figura. Se cierra la 1 y con la dos abierta se lleva el pistos hasta la vlvula 1 . A continuacin se cierra la 1 se abre la 2 y se lleva el pistn hasta la posicin inicial, con lo que el gas que inicialmente ocupaba un volumen V pasa a ocupar un volumen V+V. Se cierra la 1 y se lleva el pistn hasta 2, pero como 1 est abierta el volumen V de aire sale al exterior. El ciclo se repite una y otra vez. Dado que no hay cambio de temperatura tenemos Primera embolada ( )VVppV 1 += Segunda embolada
( ) 21221 VVVp
VVV
VVpV
VVVppVVpVp
+=++=
+=+= Ensima embolada
VVVpplog
nV
VVnlogplogplogV
VVppn
+=++=
+=
1
2
V
V
41.- Una partcula se encuentra en el tiempo t=0 en la esquina superior A de una puerta rectangular que gira alrededor del eje Z con velocidad angular constante .
Lossejes XYZ son de un sistema S inercial, y los ejes X Y y Z pertenecen a un sistema S, ligado a la puerta y que por tanto giran con ella. En el instante t=0 ambos sistemas de coordenadas estn superpuestos. Determinar expresando los resultados en el sistema mvil S a) la velocidad relativa b, de arrastre y absoluta de la partcula en funcin del tiempo b) la aceleracin relativa, de arrastre, de Coriolis y absoluta en funcin del tiempo. Al cabo de un tiempo t la situacin de la puerta est indicada en la figura 1.
X
Y
Z
vo
Y
X
A
L
h
X
X
Z
Y
Z
vot
L-vot
t
r
h
Fig.1
La puerta ha girado un ngulo t y con ella los ejes del sistema S. En ese mismo tiempo la partcula ha avanzado por la puerta una longitud vot. Desde el sistema mvil S la velocidad de la partcula es:
ivv orr =
La velocidad de arrastre es:
( )[ ] ( )[ ]tvLjtvLjh0tvL00kji
rv ooo
arrastre ==
== rrrrr
rrr
( ) jtvLivvvv oorelativaarrastreabsoluta rrrrr +=+=
b) La aceleracin relativa es cero, pues la velocidad es constante. La aceleracin de arrastre es la centrpeta
( )( )
( )[ ]tvLi0tvL000kji
ra o2
o
entrpetac =
== rrrr
rrrr
jv200v-00kji
2v2a 0o
Coriolis
rrrr
rrr ===
( ) jv2itvLa oo2absoluta rrr = 42.- Considerar el problema 41. a) Obtener la ecuacin de la trayectoria de la partcula en el sistema fijo b) determinar los vectores velocidad absoluta y aceleracin absoluta en el sistema de referencia fijo S al cabo de 10 s de iniciado el movimiento, sabiendo que en el instante inicial los ejes X y X coinciden y que L = 1 m , vo = 0,05 m/s y = 20 rpm. Si nos fijamos en la figura 1, las coordenadas de la partcula en el sistema S, al cabo de un tiempo t, son:
( ) ( )( )2o22
oo
tvLx
tsentvLy;tcostvLx
=+==
y
La trayectoria en el plano z=h, se obtiene sustituyendo valores en las ecuaciones de las coordenadas
trayectoria en espiral x2+y2=(L-vot)2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
b)
X
Fig.1
Y
Z
vot
L-vot
t
r
h
Las componentes de los vectores unitarios i y j sobre el sistema de referencia X Y son respectivamente.
( ) ( )tjcos,tjsen;tisen,ticos Que puestos en forma vectorial y dado que i y j valen la unidad
jtcositsenj;jtsenitcosirrrrrr +=+=
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( )
o o o o
o o o o
v l v t j v i l v t s e n t i cos t j v cos t i sen t j
l v t s e n t v cos t i l v t cos t v sen t j
202 202 2021 0,0510 sen 10 0,05cos 10 i60 60 60
202 2021 0,0510 cos 1060 60
= = + += + +
= + + +
r r r r r rrr r
r
2020,05sen 10 j60
r
v 0,88i 0,57 j= r rr
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
2 2 o o o o
2 2 o o o o
2
a l v t i 2v j l v t cos t i sen t j 2v s en t i cos t j
l v t cos t 2v s en t i l v t sen t 2v cos t j
202 202 202 2021 0,0510 cos 10 20,05 sen 1060 60 60 60
= = + += + +
= +
r r r r r rrr r
r
( )2i
202 202 202 2021 0,0510 s en 10 20,05 cos 10 j60 60 60 60
+
+ r
jia 79,128,1 = rr
t
t X X
Y
Y
i
j
43.- Una partcula de masa m1 colisiona, de forma elstica, con una partcula de masa m2, siendo m1>m2. La partcula 2 se encuentra en reposo Cul es el mximo ngulo de desviacin de la primera partcula respecto de su direccin inicial? .Se supone que las velocidades de las partculas son mucho ms pequeas que la de la luz.
En el choque elstico hay conservacin de la cantidad de movimiento y de la energa
222
211
21
2211
22111
vm21vm
21vm
21
senvmsenvmcosvmcosvmvm
+==
+=
Despejamos de la ecuacin 2, sen ; y de la tercera v2.
( )2122
122
22
11 vvmm
v;vmsenvm
sen ==
Designando a Mmm
2
1 = , resulta:
( )21222
12
22
221
2
vvMsenvM
1v
senvM1cos ==
Llevando cos y v2 a la primera de las ecuaciones iniciales:
( ) ( )( ) senv
Mvv
cosvvsenvMvvMcosMvMv
vvMsenvM
1vvMcosMvMv
221
21
2
122
122
12
1
21
2
221
221
21
+=+=
+=
v1
v
v2
( )( )
M2vvvvvvMcos
Mvvcos2vvvv
Mvv
senvcos2vvcosvvsenvM
vvcosvv
1
21
221
221
2
121
2
21
222
1122
1222
1
21
22
1
++==+
=++=
En el problema nos piden que el ngulo sea el mximo posible, o el coseno el valor mnimo, para ello derivamos la anterior expresin con respecto a v1 e igualamos a cero ( ) ( )[ ]
( )( )
21
211
2
1
2
1
1
221
221
221
21
221
221
21
221
2
21
221
2111
mmmmvv
1mm
1mm
vv
1M1Mvv0vvMvMv
0vvMvMv2v2Mv
0Mv4v
2vMvvvvM2v2MvM2vv
+=
+
=
+==++
=++
=+++
Sustituimos el valor de v1 en coseno .
( )1
2max
2
1
221
22
21
21
2121
2212
21
211
21
21
21
2
1
2
21
2
21
21
21
21
21
2
1
2
1
2
1
21
21
21
21
2
1
21
2122
21
212
2
12
2
1
mmsen
mm
mmm1
mmmmm
mm1sen
mmmmm
mmcos
mmmm
mm2
mmm
mmm
mmmm
mmmm
mm2
1mm1
mm
mmmm
mmmmv
mm2v
mmmm
vvmmmm
vmm
vmm
cos
=
==
+
=
+
=+
+
+
+
=
=+
+
++
=
+
+++
+=
Calculamos ahora el valor de v2 y del ngulo beta.
21
12
21
2
2
122
21
2121
21
2121
21
222
222
211
21
mm2mv
mm2m
mmv
mmmm1vm
mmmmvmvmvmvmvmvm
+=
+=
+=+
=+=
1
21
21
12
1
2
21
2112211
2mmmsen
senmm
2mvm
mm
mmmm
vmsenvmsenvm
=
+=+=
44.- Un condensador plano de capacidad C est descargado. Mediante un hilo muy largo se une una de las armaduras a una esfera de radio R y carga qo y la otra se une a tierra. Calcular la carga que permanece en la esfera despus de la unin. Parte de la carga de la esfera pasa al condensador y este flujo de carga cesa cuando los potenciales se igualen. Designamos con qC la carga que adquiere el condensador y con q la carga que permanece en la esfera. Por una parte se conserva la carga y por otra se igualen los potenciales del condensador y de la esfera
Rq
41
Cq
qqq
o
C
Co
=+=
1
R4Cq
qCq
R41q
Cq
Rq
41
Cqq
o
o
o
o
o
o
+=
+==
45.- se lanza un proyectil formando un ngulo con la horizontal. En el punto ms alto de su trayectoria h su velocidad es v1. La velocidad en un punto de la trayectoria que es la mitad de la altura mxima h/2 es v2 y entre ambas velocidades existe la relacin
2v76
1v = Calcular el ngulo de lanzamiento. Las ecuaciones paramtricas del movimiento del proyectil son:
2gt21tsenvy
tcosvx
==
Las ecuaciones de las velocidades sobre los ejes coordenados son:
gtsenvdtdyv
cosvdtdxv
Y
X
==
==
En el punto ms alto de la trayectoria la componente vy de la velocidad es nula. El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura mxima es:
gsenvtgtsenv0 hh ==
Y el valor de h
gsenv
21
gsenvg
21
gsenvsenvgt
21tsenvh
22
2
222hh === (1)
La velocidad en el punto ms alto de la trayectoria:
cosvvv x1 == (2) Cuando el proyectil se encuentra a una altura h/2 la velocidad v2 tiene dos componentes v2x y v2y, cuyos valores son respectivamente
h/22y
2x
gtsenvv
cosvv
==
Para averiguar la componente v2y necesitamos saber el tiempo que el proyectil emplea en alcanzar la altura h/2, para ello sustituimos en una de las ecuaciones paramtricas
0gh
gtsen2v
tgt21tsenv
2h h/22
h/22h/2h/2 =+=
Resolviendo la ecuacin de segundo grado
=
=
=
=
222
gvsen
2
2g
vseng
2vsen
t
2gg
senv21
4
gsen4v
g2vsen
2g4h
gsen4v
g2vsen
t
h/2
22
2
22
2
22
h/2
Se ha escogido de las dos soluciones la que corresponde al tiempo menor, que es cuando la altura h/2 la alcanza el proyectil antes de llegar a la altura h . La otra solucin es cuando el proyectil llega a la altura h/2 despus de alcanzar la mxima altura h. Sustituimos el tiempo en la expresin de la velocidad v2y.
22senv
2221senv
222
gsenvgvsenv2y =
=
=
2senvcosvvvv
22222
2y22x2 +=+=
De acuerdo con el enunciado del problema
3021sensen3sen1
sen3vcosv2
senvcosv76cosvv
76v
22
222222
222221
===
=
+==
PROBLEMAS VARIADOS 6 46.-Diez moles de un gas se encuentran a la temperatura de 293 K y a la presin de 1 atmsfera. El calor especfico de este gas a volumen constante es 19,6 J/molK. A dicho gas se le suministran 104 J de calor a presin constante. Calcular la variacin de energa interna del gas y el trabajo ejecutado. Dado que el calor se le suministra a presin constante la variacin de entalpia del proceso vale H = 105 J.
( ) ( )( ) ( )( ) 329K2938,319,610
10T
TRCn
HTTTRCnTTnC10H
4
F
IV
FIFVIFp5
++=
++=+===
( ) J7,1.103619,610TTnCU 3IFV ==
J2,9.10107,1.10WWQU 343 ==+= El criterio de signos utilizado es que lo que recibe el sistema es positivo y lo que desprende o ejecuta negativo. 47.-Un prisma de vidrio de n =1,5 posee un ngulo = 60. Por su cara AB inciden rayos luminosos que llegan a la cara BC, unos se refractan y otros se reflejan. Los que se reflejan llegan a la cara AC y salen al aire formando un cierto ngulo . Se pide determinar el mayor ngulo posible.
Los rayos que llegan a la cara BC y se reflejan deben hacerlo con un ngulo el cual ha ser mayor que el ngulo lmite, ya que si es menor se refractan en la cara BC.
De la figura se deduce: que el ngulo de incidencia sobre la cara AC vale:
Normal a BC
A
B
C
Normal a AC
90- y =90 Segn la ley de Snell ( ) sen190senn = Para que sea el mayor ngulo posible es necesario que sea el menor posible.
( ) 3090180180 +===++
De la ltima expresin se deduce que el valor mnimo de ocurre cuando sea mnimo y precisamente el valor mnimo de se produce cuando es igual al ngulo lmite prisma aire.
41,8l1,51senlsen901senl1,5 ====
( )[ ] 27,9sen71,8)sen(901,5sen3090sen1,5 ===+
48.-En la figura inferior AB es una carretera y el punto C es un lugar del campo. Un automvil si se desplaza por la carretera lo hace con una velocidad v constante y si lo hace por el campo con una velocidad veces menor que por la carretera. Calcular el valor de x para que el automvil que se desplaza de A a C lo haga en el tiempo mnimo posible.
El automvil va de A a M por la carretera, recorriendo la distancia LC y y de M a C por el campo recorriendo la distancia LCP. De la figura se deduce que
LC+x = constante = K El tiempo total del viaje es: ( )
vhxxK
vhxxK
vL
vL
vL
vL
t2222
CPCCPCtotal
+++=++=+=+= Como el tiempo total ha de ser mnimo y K es constante y v tambin, el trmino entre parntesis ha de ser mnimo
mnimohxx 22 =++ Derivamos con respecto a x e igualamos a cero
1hxxhxxhx0
hx22x1
2
222222
22 ==+=+=
++
A B
C
x
h
M
LC
LCP
49.-En el circuito de la figura inferior hay que determinar el valor de la resistencia R para que la potencia calorfica generada en dicha resistencia sea la mxima posible y adems calcular cunto vale esa potencia mxima. Se supone que las pilas carecen de resistencias internas.
Se toma como sentido positivo el de las agujas de un reloj. Las ecuaciones para las mallas izquierda y derecha son:
IRRIEIRRIE
222
111
+==
Para un nudo I = I1+I2
A partir de las tres ecuaciones
( )
( ) ( )21211221
21
2121
21
1221
2
2
1
1
21
21
2
2
1
1
212
2
1
1
RRRRRREREI
RRRRRRR
RRRERE
I
RE
RE
RRRRR
1IRE
RE
RR
RR1I
RIRE
RIRE
I
+++=++
+=
+=
+++=
+++=
La potencia trmica generada en la resistencia R, vale:
( )( )[ ] RRRRRR
RERERIP 22121
212212 ++
+== (1) Como se pide que la potencia sea mxima derivamos la funcin anterior respecto de R e igualamos a cero. ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( )
( )[ ] 042R1RR2R1R2R1R2R1RR2R1R2
21R2E2R1E
21R2E2R1E
22R1RR2R1R
dR
dP =++
+++++++= R
De la ecuacin anterior
( ) ( ) ( )21
212121212121 RR
RRRRRRRR0RR2RRRRRR +=+=+++ (2) Llevando la ecuacin (2) a (1)
E1 E2
R1 R
R2
I1
II2
+
( )( )
( )
( )( )2121
21221
max
21
2122
21
21221
21
212
2121
2121
21221
max
RRR4RREREP
RRRR
R4RRERE
RRRR
RRRR
RRRR
REREP
++=
++=+
++++=
50.-El filamento de una bombilla, 220 V , 100 W, tiene una longitud L y un dimetro D=0,1 mm y su resistividad = 5,5.10-8 m. Despus de que la bombilla permanece un largo tiempo encendida, adquiere una temperatura constante. Si se admite que todo el calor producido en el filamento se radia al exterior, estimar el valor de esa temperatura. Considrese que el filamento se comporta como un cuerpo negro. Dato constante de Stefan-Botlzmann, 4K2m
W8-5,67.10 = Cuando se alcanza el estado estacionario la energa trmica producida en la unidad de tiempo es igual a la emitida en forma de radiacin por la superficie del filamento. La potencia trmica es P = IV y la radiada DLTST 44 =
44
DLPTDLTP == (1)
Para calcular L
4PDVL
4LDV
RVVIP
2222
2
==== Llevando la ltima relacin a (1)
( ) K5340,1.102203,145,67.105,5.101004
DV4P
4PDVD
PT 4 3322882
4322
2
422 =
===
51.-Calcular la capacidad del sistema de condensadores de la figura inferior. Cada placa metlica tiene una superficie S y entre dos placas existe una distancia d.
Para saber cmo estn conectados los condensadores hemos numerado las placas. Las figuras inferiores indican cmo se conectan las placas.
A
B
1 2 3 4
d
En la ltima figura se observa que los dos condensadores inferiores se encuentran en serie y el conjunto de ellos en paralelo con el tercero. Por tanto la capacidad del conjunto es:
La capacidad de 2-1 y 4-3 2CC
C1
C1
C1
AA
=+=
La capacidad equivalente 2C3C
2CCE =+=
La capacidad de cada condensador plano es: d
S23C
dSC E ==
52.-El espacio comprendido entre una lente plano-convexa y un vidrio plano (dispositivo para formar anillos de Newton) est lleno de un lquido de ndice de refraccin n. El radio del tercer anillo brillante observado por reflexin vale 3,32 mm. Determinar el valor de n, sabiendo que el radio de la cara convexa de la lente es 10 m y la luz empleada tiene una lo
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