Procesos Estocás+cos
Luca Mar+no Apuntes no revisados
Cuidado!
Conceptos previos
• Media o esperanza de una variable aleatoria:
• Propiedades:
€
E X[ ] = xfX (x)−∞
+∞
∫ dxDensidad
€
E c[ ] = cE cX[ ] = cE X[ ]E X +Y[ ] = E X[ ] + E Y[ ]
€
E g(X)[ ] = g(x) fX (x)−∞
+∞
∫ dx€
E XY[ ] = E X[ ]E Y[ ]
SOLO SI SON INDEPENDIENTES!!!
Conceptos previos
• Varianza:
• Covarianza:
€
var[X] = E X 2[ ] − E X[ ]2 = E X 2[ ] − µX2
€
var[X] = E (X − µX )2[ ]
= (x − µX )2 fX (x)dx−∞
+∞
∫
€
µX = E X[ ]
€
cov[X,Y ] = E (X − µX )(Y − µY )[ ] =
= E XY[ ] − E X[ ]E Y[ ] = E XY[ ] − µXµY
Conceptos previos
• Coeficiente de correlación lineal:
• Dos variables se dicen incorreladas si • Dos variables pueden ser incorreladas pero no ser
independientes!
• Pero si dos variables son independientes, son también incorreladas!
€
ρXY =cov[X,Y ]
var[X] var[Y ]
€
−1≤ ρXY ≤1⇒ ρXY ≤1
€
ρXY = 0
incorreladas
Independientes
Proceso estocás+co discreto
• Se define proceso estocás+co discreto una secuencia de variables aleatorias, donde n puede tomar, en principio, cualquier valor entero.
• Para cada valor de n tenemos una variable aleatoria . El instante de +empo en este sen+do puede verse como un parámetro.
• Por ejemplo A y B son 2 variables aleatorias dis+ntas.
€
X[n]
€
X[1],X[2],X[3]........X[n]n∈N
€
X[n]
€
A = X[1]B = X[2]
Proceso estocás+co con+nuo
• Se define proceso estocás+co discreto una secuencia de variables aleatorias, donde t puede tomar, en principio, cualquier valor REAL.
• El hecho que t sea real no significa que las variables aleatorias (v.a.) tenga que ser a valores con+nuos. Pueden ser v. a. discretas o con+nuas.
• Para cada valor de n tenemos una variable aleatoria . El instante de +empo en este sen+do puede verse como un parametro.
• Por ejemplo A y B son 2 variables aleatorias dis+ntas.
€
X(t)
€
t ∈R
€
X(t)
€
A = X(t1)B = X(t2)
Proceso estocás+co (P.E.)
• En general, dado un proceso estocás+co ,
€
X(t)
€
t
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t1
€
t2
€
t3
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t1 ≤ t2 ≤ t3Realización de un P.E.
Muestras de la v.a. X(t1)
Con “muestras de una variable aleatoria (v.a.)” entendemos números aleatorios cuya densidad de probabilidad es la de la v.a. en cues+ón.
P.E. estacionarios en sen+do amplio
• Un proceso estocás+co es estacionario en sen+do amplio si:
1. LA MEDIA NO DEPENDE DEL TIEMPO, NO VARIA CON EL TIEMPO, ES CONSTANTE.
2. LA AUTOCORRELACIÓN DEPENDE SOLO DE LA DIFERENCIA DE LOS INSTANTES DE TIEMPO.
€
E X(t)[ ] = E X(t +τ)[ ] = µX
€
RX [t1,t2] = RX (t2 − t1) = RX (τ)
P.E. estacionarios en sen+do amplio
• También la varianza va a hacer constante porque
• No depende del +empo.
€
var[X(t)] = E X(t)2[ ] − E X(t)[ ]2
RX (0) − µX2 =σX
2
Propiedades de la Autocorr.
• En un proceso estocás+co es estacionario en sen+do amplio la autocorrelación +ene estas propiedades importantes:
€
RX (τ) = RX* (−τ) 1. Es una función hermí+ca. Para funciones reales
significa que es una función simétrica (par).
€
RX (0) = E X(t) 2[ ] 2. En cero coincide con el valor cuadrá+co medio (momento segundo). Es un numero constante.
Cuidado, aunque aparece una t aquí es un numero constante (por la estacionariedad).
€
RX (0) ≥ RX (τ) 3. El máximo está en cero.
Propiedades de la Autocorr.
• Otra propiedad importante (siempre con estacionariedad):
• Intui+vamente se puede entender porque
€
limτ→+∞
RX (τ) = µX2 = E[X(t)]2
€
RX (τ) = E X(t)X(t +τ)[ ] →τ→∞
E X(t)[ ]E X(t +τ)[ ]
= E X(t)[ ]E X(t)[ ] = E X(t)[ ]2
Mas distancia temporal… casi independencia!
La autocorrelación mide, en cierto sen+do, la correlación (lineal) entre dos variables aleatoria de un mismo proceso estocás+co.
P.E. estacionarios en sen+do amplio
€
t
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t1
€
t2
€
t3
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t1 ≤ t2 ≤ t3
Misma media
La autocorrelación depende solo de la distancia temporal
€
τ2
€
τ1
€
τ2 = t3 − t1
€
τ1 = t2 − t1
Proceso ergódico en sen+do amplio
€
t
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t1
€
t2
€
t3
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
€
t
€
t1
€
t2
€
t3
1. Si la media estadís+ca coincide con la media temporal (claramente es constante). 2. Si la autocorrelación estadís+ca coinciden calculado la autocorrelación temporal.
Proceso ergódico en sen+do amplio
• Un proceso estocás+co para ser ergódico necesita ser estacionario.
P.E. estacionarios
P.E. ergódicos
€
limT→∞
12T
X(t)dt = µX−T
+T∫
limT→∞
12T
X(t)X *(t +τ)dt−T
+T∫ = RX (τ)
Proceso blanco
• Es un par+cular proceso estocás+co estacionario donde el autocorrelación es una delta:
• Si tenemos una secuencia de variables independientes también la correlación tendrá la misma forma!
€
RX (τ) =ηδ(τ)
€
τ = 0
€
τTodas las variable X(t1), X(t2)…. son incorreladas menos que ellas mismas!
incorreladas
Independientes
Proceso blanco
• Va a tener siempre media nula porque
€
RX (τ) =ηδ(τ)
€
τ = 0
€
τ
€
limτ→+∞
RX (τ) = µX2 = 0→µX = 0
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