SUMA DE CUBOS
2.2.3 Productos NotablesSon aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.
• Cuadrado de Binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Ejemplo:
La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:
(5x – 3y)2 (5x)2
- 2(5x∙3y) + (3y)2 = 25x2
- 30xy + 9y2
bab
a ab2
2
a b
b
a
a b
a
b
• Cubo de binomio:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando potencias...
Multiplicando...
(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3
= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3
(3x – 2y)3 =
• Suma por su diferencia:
Ejemplo: Aplicando la fórmula...
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
(5x + 6y)∙(5x – 6y) =(5x)2 – (6y)2
= 25x2 – 36y2
Producto con Termino Común:
Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.
Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + 4)∙(x + 2) =
= x2 + 6x + 8
x2 + (4 + 2)x + 4∙2
Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(y - 4)∙(y + 2) =
= y2 – 2y - 8
y2 + (-4 + 2)y - 4∙2
(M - 4)∙(y + 8) M2 + (-4 + 8)M - 4∙8
Desarrollando...
= M2 +4M - 32
• Diferencia de cubos:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
8x3 – 64y3 =(2x)3 – (4y)3
= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )
= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
Suma de cubos:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)
DIFERENCIA DE CUBOS
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)