DIRECCIN DE EDUCACIN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
ADMINISTRACIN DE EMPRESAS
PROGRAMACIN LINEALMDULO EN REVISIN
CORPORACIN UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR
DIVISIN DE EDUCACIN ABIERTA Y A DISTANCIA
MDULO
PROGRAMACION LINEAL
SANTIAGO VERGARA NAVARRO INGENIERO INDUSTRIAL
PROGRAMA DE ADMINISTRACIN DE EMPRESAS A DISTANCIA 2005
REVI
SIN
3
Pg.
INTRODUCCION 7
PRIMERA UNIDAD 10
PRESENTACIN 11
OBJETIVOS 12
ATRVETE A OPINAR 13
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 14
1. MATRICES Y DETERMINANTES 15
1.1 ALGEBRA LINEAL 15
1.2 MATRIZ 15
1.3 CALCULO MATRICIAL 17
1.3.1 Suma y Resta 17
1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz 19
1.3.3 Producto de Matrices 21
1.4 MATRICES ESPECIALES 26
1.4.1 Matriz Identidad (I) 26
14.2 Matriz Nula 27
1.4.3 Matriz Traspuesta 27
1.4.4 Matriz Fila 28
1.4.5 Matriz Columna 28
1.4.6 Matriz Inversa 29
1.5 DETERMINANTES 34
1.5.1 Determinantes de Segundo Orden 35
CONTENIDO
REVI
SIN
4
1.5.2 Determinantes de Tercer Orden 36
1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes 38
RESUMEN 43
AUTO EVALUACIN N 1 44
SEGUNDA UNIDAD 46
PRESENTACIN 47
OBJETIVOS 48
ATRVETE A OPINAR 49
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 50
2. PROGRAMACION 51
2.1 PROGRAMACIN LINEAL (P. L) 51
2.2 USOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL 51
2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L 52
2.3.1 Modelo de Maximizacin 52
2.3.2 Modelo de Minimizacin 53
2.4 PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS 53
2.4.1 Entendimiento del Problema 54
2.4.2 Definicin de Variables 54
2.4.3 Establecer la Funcin objetivo 54
2.4.4 Establecer las Restricciones 54
2.4.5 Establecer la no negatividad 54
EJEMPLOS 55
RESUMEN 66
AUTO EVALUACIN N0 2 67
GLOSARIO DE TERMINOS 72
REVI
SIN
5
TERCERA UNIDAD 73
PRESENTACIN 74
OBJETIVOS 75
ATRVETE A OPINAR 76
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 77
3. METODOS DE SOLUCIN DE LA P. L 78
3.1 MTODO GRFICO 78
3.1.1 Procedimiento Grfico 78
3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades 79
3.1.1.2 Hallar intersectos 79
3.1.1.3 Graficar cada Ecuacin Lineal 79
3.1.1.4 Determinar el Area Comn 79
3.1.1.5 Calcular el valor de la Funcin Objetivo 79
EJEMPLOS 80
3.2 MTODO SIMPLEX 90
3.2.1 PROCEDIMIENTO SIMPLEX 90
3.2.1.1 Estandarizar el Modelo de P.L 91
3.2.1.2 Construir la Tabla Caracterstica 91
3.2.1.3 Identificar la Variable que entra y la que sale 93
EJEMPLOS 94
RESUMEN 112
AUTO EVALUACIN N 3 113
GLOSARIO DE TERMINOS 115
CUARTA UNIDAD 117
PRESENTACIN 118
REVI
SIN
6
OBJETIVOS 119
ATRVETE A OPINAR 120
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 121
4. EL PROBLEMA DUAL (P.D) 122
4.1 DUALIDAD 122
4.2 IMPORTANCIA TERICA DE LA DUALIDAD 122
4.2.1 Relaciones entre el modelo Primal y el Dual 123
4.2.2 Relaciones entre la solucin Dual y Primal 123
4.3 IMPORTANCIA COMPUTACIONAL DE LA DUALIDAD 124
EJEMPLOS 124
4.4 ANLISIS DE SENSIBILIDAD 135
EJEMPLOS 136
RESUMEN 142
AUTO EVALUACIN N 4 143
GLOSARIO DE TERMINOS 145
BIBLIOGRAFA 146
EL AUTOR 147
REVI
SIN
7
El presente mdulo recoge lo bsico y necesario del Algebra y Programacin
Lineal, ya que sta se constituye, hoy da, en elemento esencial para la
formacin matemtica en los campos de la Ingeniera, Economa, Ciencias,
Administracin y otras carreras afines; de all, que con la motivacin de la
experiencia adquirida como profesor universitario y la inquietud de entregar
una informacin inteligible para el lector con escasos conocimientos de la
asignatura, haya recurrido a un lenguaje simple y elemental, sin descuidar el
aspecto terico requerido por el lenguaje algebraico y la profundidad
necesaria para que los estudiantes adquieran los conocimientos y habilidades
bsicos para la solucin de problemas en los que estn involucrados los
elementos matemticos de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y
modelos de programacin lineal.
Por todo lo anterior, inicialmente se induce al alumno en el estudio de los
elementos bsicos del Algebra Lineal, con el propsito de suministrarle la
herramienta y tcnica necesaria para la solucin de modelos de Programacin
Lineal, en los que intervienen racionalizacin de recursos y la consecucin de
soluciones optimas (la mejor entre todas), que le permitan el desarrollo, la
concepcin y el anlisis respectivo de dichos problemas.
Desde esta concepcin metodolgica, se desarroll el modulo del modo ms
prctico posible para que sirva al mismo tiempo como elemento de consulta a
estudiantes de educacin presencial; por lo que, en el desarrollo de los
INTRODUCCION
REVI
SIN
8
diferentes temas se aplica el mtodo inductivo, es decir, se plantea el
problema particular y se ilustra su solucin con los clculos que por lo
general realiza un estudiante con escasos conocimientos algebraicos.
Este modulo est orientado de manea especial hacia el estudiante de
educacin a distancia, quien no dispone de un profesor o de una buena
biblioteca permanente; por lo tanto, se recomienda su estudio en el mismo
orden establecido para cada unidad. Solo as podr adquirirse un buen manejo
de los temas vistos en los captulos anteriores y obtenerse una mejor
comprensin de los temas siguientes:
De all que, al iniciar el estudio de cada unidad tenga en cuenta lo siguiente:
Leer bien los objetivos de la unidad.
Estudie con cuidado la informacin terica de cada unidad, analcela y
disctala con sus compaeros de clases.
Desarrolle la evaluacin presentada a final de cada unidad y en caso de
dudas verifique los resultados con sus compaeros y posteriormente con
su tutor.
REVI
SIN
9
A CHAGUY ALBERTO, mi hijo y nueva
razn de ser. Que nuestra madre Naturaleza
nos de vida y salud para hacerte un hombre de
bien.
REVI
SIN
10
MATRICES Y DETERMINANTES
Unidad 1
REVI
SIN
11
Para poder solucionar modelos de programacin lineal, se hace evidente
apropiarse de una herramienta algebraica necesaria para ser aplicada en las
tcnicas de solucin de dichos problemas o modelos, la cual es el estudio de
las matrices y determinantes el que proporciona esa herramienta, que necesita
ser mecanizada ya que, es cclica o repetitiva en su accionar.
Es por todo esto, que estudiaremos las matrices y ciertas operaciones
definidas sobre ellas, as como el valor numrico correspondiente a cada una
de ellas (determinante), para su posterior aplicacin en la programacin
lineal.
PRESENTACION
REVI
SIN
12
1. Presentar en forma condensada los datos empresariales a travs de
matrices.
2. Proveer la herramienta algebraica de las matrices y determinantes, para su
utilizacin en la solucin de problemas de programacin lineal.
3. Verificar la utilidad de las matrices en la organizacin de carcter
estadstico, til para la toma de decisiones empresariales.
OBJETIVOS
REVI
SIN
13
Qu piensas que es el Algebra Lineal? Por favor defnela. 1. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Qu entiendes por matriz? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Qu conoces acerca de los determinantes? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ATREVETE A OPINAR
REVI
SIN
14
A continuacin encontrar una serie de enunciados con cinco respuestas, de
las cuales una sola es verdadera. Marque con una X la que usted considere
correcta.
1. El valor de la expresin -3 (-5) 6, es:
a) -14 b) 2 c) 4 d) -4 e) 14
2. El valor de X en la ecuacin 1 7 = 3 X, es:
a) - 3 b) 3 c) 4 d) 6 e) - 9
3. La fraccin generatriz de 0.25, es:
a) 32 b)
43 c)
31 d)
52 e)
41
4. El valor de la expresin )
23(
32
51
++ , es:
a) 2
15 b) 3031
c) 3130 d)
1512
e) 101
5. El valor del cociente
53/
21
, es:
a) 65 b)
51 c)
56
d) 103
e) 65
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
REVI
SIN
15
1. MATRICES Y DETERMINANTES 1.1 ALGEBRA LINEAL: Es una herramienta o tcnica algebraica utilizada
por la programacin lineal (P.L) para darle solucin a sus modelos.
1.2 MATRIZ: Se llama matriz a un conjunto de nmeros, funciones o ecuaciones ordenados en forma de filas horizontales y columnas
verticales, encerrados entre corchetes.
Las matrices se denotan por medio de letras maysculas, como A, B, C, Z.
Forma general de una matriz:
3...
2...
1...
....333231
....232221
....131211
amamam
aaaaaaaaa
amn
nanana
.
.
.331
Donde:
m: representa el nmero de filas.
n: representa el nmero de columnas.
Ejemplos de matrices:
m x n
UUNNIIDD
REVI
SIN
16
A =
935472501
, B =
tgcossenctang
C =
=+=+==+
=+=
)45()7)123()12(
)32()0(
yxyxyxyxyxyx
El orden de una matriz viene dado por el nmero de filas y columnas y se le
anota en la parte inferior derecha, as:
A =
935472501
; B =
tgcossenctang
8453
2017
A los miembros de una matriz se les denomina elementos de la matriz y
ocupan un lugar especfico e inamovible dentro de la matriz, especificado por
un subndice en su parte inferior (ver forma general), as:
a11: Elemento ubicado en la interseccin de la fila 1 con la columna 1.
a12: Elemento ubicado en la interseccin de la fila 1 con la columna 2.
a23: Elemento ubicado en la interseccin de la fila 2 con la columna 3.
Col 1 Col 2
Col 3
Fila 1 Fila 2 Fila 3
3 x 3
2 x 2
2 x 4 REVI
SIN
17
amn: Elemento ubicado en la interseccin de la fila m con la columna n.
Las matrices en ste mdulo son esencialmente matrices reales. Es decir, sus
elementos son nmeros reales y mximo poseern orden 3 x 3.
1.3 CLCULO MATRICIAL (Operaciones con Matrices) 1.3.1 Suma y Resta
Sean las matrices A y B, se denota la suma y resta de ellas A + B y se define
as:
A =
22211211
aaaa y B =
22211211
bbbb
Entonces. A + B =
22211211
aaaa +
22211211
bbbb =
2222212112121111
babababa
Es decir, sumar o restar dos o ms matrices, basta con sumar o restar sus
elementos de posiciones similares.
La suma o resta de dos o ms matrices de rdenes diferentes no est definida,
lo cual significa que la suma o resta de matrices est definida solamente para
matrices cuadradas (de igual orden).
Ejemplos:
1) Sean A =
1221 y B =
21
31
Se pide: A + B = ?
REVI
SIN
18
Solucin:
A + B =
=
+++
=
+
3150
21103211
2131
1021
2) Si A =
23
1 y B =
231
, calcule A B = ?
Entonces: A B =
=
=
46
2
2233)1(1
231
23
1
3) Sean A =
223104
012 y B =
423110
; A + B = ?
A + B: No est definida, ya que son matrices de rdenes diferentes.
4) Sean A =
261423
; B =
263412
y C =
410221
Calcular:
a. A + B
b. A B
c. B A + C
Solucin:
REVI
SIN
19
a. A + B = +
261423
=
4124835
263412
b. A B =
261423
-
=
0020
11
263412
c. B A + C =
++++++
=
+
422166013244221132
410221
261423
263412
B A + C =
412210
1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz
Al trabajar con matrices, los nmeros suelen denominarse escalares. A menos
que se especifique lo contrario, los escalares sern nmeros reales. Se
multiplica una matriz A por un escalar K al multiplicar por K cada elemento
de A.
El producto de K por A se denota K.A y se define como otra matriz cuyos
elementos son los mismos de A multiplicados por K.
Ejemplos:
1. Sea : A =
531442216
y K = 31
REVI
SIN
20
Hallar K . A = ?
K . A =
=
=
3
5131
32
34
32
34
312
)5).(31()3).(3
1()1).(31(
)2).(31()4).(3
1()2).(31(
)4).(31()1).(3
1()6).(31(
531242416
.31
2. Sean X =
263241
; Y =
214362
y Z =
201241
Calcular:
a. 3 . Z - 21 . Y
b. 2.Y + 4.X - 31 .Z
Solucin:
a. 3.Z - 21 .Y = 3.
214362
.21
201241
3.Z - 21 .Y =
=
521
129
92
121
223
31
6036
123
b. 2.Y + 4.X - 31 .Z = -2.
+
201241
.31
263241
.4214362
REVI
SIN
21
2.Y + 4.X - 31 .Z =
+
320
31
32
34
31
824128164
4286
124
2.Y + 4.X - 31 .Z =
=
31022
311
34
38
31
320
31
32
34
31
4224240
1.3.3 Producto de Matrices Por ser esta la operacin ms complicada con matrices, la explicaremos
directamente por medio de ejemplos, teniendo en cuenta que, para que el
producto de matrices sea posible, se tiene que cumplir la siguiente condicin:
El nmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nmero de filas
de la segunda matriz y el resultado poseer las filas de la primera matriz y las
columnas de a segunda matriz.
Simblicamente: Amxn . Bnxp = Cmxp
Si es posible Si: A2 x 3. B3 x 4 = C2 x 4
Si es posible P3 x 4. Q4 x 2 = R3 x 2
Si es posible
Ejemplos:
REVI
SIN
22
1. Sean A =
1432 y B =
2301 ; A . B = ?
A2 x 2 . B2 x 2 = C2 x 2 A . B =
=
22211211
2301
.1432
aaaa ; nuestro
compromiso ahora es calcular los valores de a11, a12, a21, a22.
Clculo de a11 (1era fila de A por 1era columna de B):
119
Calculamos ahora a12 (1era fila de A por 2da columna de B):
66
Clculo de a21 (2da fila de A por 1ra columna de B):
73
Clculo de a22 (2da fila de A por 2da columna de B):
22
Entonces A.B =
27611
Calculamos ahora B2 x 2. A2 x 2 = D2 x 2
1 2
3 3
2 a11 = 11
0 0
3 2
2 a12 = 6
por por
por
por
1 4
1 3
4 a21 = 7
por por
0 0
1 2
4 a22 = 2
por por
Si es posible
REVI
SIN
23
B.A =
=
22211211
1432
2301
aaaa
Clculo de a11:
20
Clculo de a12:
30
Clculo de a21:
148
Clculo de a22:
112
Entonces: B.A =
111432
Con el ejemplo anterior hemos demostrado que:
A.B B. A
2 2
0 4
1 a11 = 2
por por
3 3
0 1
1 a12 = 3
por por
2 6
2 4
3 a21 = 14
por por
3 9
2 1
3 a22 = 11
por por RE
VISI
N
24
2. Sean A =
0524
31 y B =
1423 ; calcular A.B.
Solucin:
A3 x 2. B2 x 2 = C 3 x 2 =
323122211211
aaaaaa
Si es posible
A.B =
++++++(
=
1.02.5)4(0)3(51).2(2.4)4)(2()3.(41.32).1()4(3)3)(1
1423
0524
314
=
++++
0100152881232123
Entonces A.B =
10156419
3.
212
301
111001242
=
663
175
3. Sean A =
1432 ; B =
2301 y C =
340
213
Demostrar que: (A + B).C = A.C + B.C
3 x 3 2 x 3 2 x 3
REVI
SIN
25
(A + B).C =
+
2301
1432
340
213
(A + B).C =
3733
340
213 =
231921
15159
A.C =
1432
=
11812
13146
340
213
B.C =
2301
=
12119
213
340
213
A.C + B.C =
=
+
231921
15159
12119
213
11812
13146
4. Encuentre los valores de a, b, c, en la siguiente ecuacin matricial:
4
1cba = 2
1a
cb + 2
aa
54
Solucin:
+
=
a
aa
cbc
ba210
282222
4444
+++
=
aa
acbc
ba22102
28244
44
De donde: 824 += ba (1)
acb += 24 (2)
1024 += ac (3)
a224 = (4) a224 =
Lo cual queda demostrado.
REVI
SIN
26
a26 =
= a
26 3=a 5
Reemplazo (5) en (1): 82)3(4 += b
8212 += b
b2812 =
= b24 2=b
Reemplazo (5) en (3): 10)3(24 +=c
1064 +=c
= 44c =44c 1=c
1.4 MATRICES ESPECIALES
El estudio de las matrices especiales se limita a las ms comnmente usadas,
para conocimiento del lector y para sus posibles aplicaciones futuras.
1.4.1 Matriz Identidad (I)
Es una matriz cuadrada (tiene el mismo nmero de filas y columnas) que
tiene su diagonal principal formada de unos (1) y ceros (0) en las dems
posiciones. Son ejemplos de matriz identidad las siguientes:
REVI
SIN
27
1001 ;
100010001
;
1000010000100001
;
La matriz identidad cumple con: Sea A una matriz cuadrada, entonces
A = A .
1.4.2 Matriz Nula
Es una matriz cuyos elementos son ceros.
[ ]0 ;
0000 ;
000000000
;
000000
;
1.4.3 Matriz Traspuesta
Sea A una matriz cualquiera (cuadrada o no), se llama traspuesta de A
y se denota At, a la matriz cuyas filas de A son las columnas de At o
cuyas columnas de A son las filas de At.
Ejemplos:
1. Sea A =
1023 At =
12
03
2. Sea B =
672531
Bt =
623
751
2 x 2 3 x 3
4 x 4 Diagonal principal
2 x 2 2 x 2
3 x 2 2 x 3
REVI
SIN
28
3. Sea C =
825
130 Ct =
812350
4. Sea D =
3506107
124 Dt =
3615102074
1.4.4 Matriz Fila
Es la matriz que posee una sola fila.
Ejemplos:
1. A = [ ]026
2. B = [ ]4150
3. C = [ ]7
1.4.5 Matriz Columna
Es la matriz que posee una sola columna.
Ejemplos:
1. A =
73
2. B =
4501
3. C = [ ]7
2 x 3 3 x 2
3 x 3 3 x 3
1 x 3
1 x 4
1 x 1
2 x 1
4 x 1
1 x 1
REVI
SIN
29
1.4.6 Matriz Inversa
Es una matriz que tiene propiedades similares a las del inverso de un nmero.
Es decir, el inverso de 2 es 21 o 2-1.
La inversa de una matriz A se denota A-1 y cumple con la propiedad: A-1.A =
A. A-1 = I.
Para obtener la inversa de una matriz A, pueden efectuarse operaciones con
sus filas (horizontales o verticales), teniendo en cuenta que: A = A.I.
Estas operaciones con las filas de A, son seleccionadas en forma arbitraria
(pero con lgica) para convertir la matriz A en una matriz identidad.
Todas las matrices no tienen inversa. Solamente para una matriz cuadrada
puede definirse la inversa. Una matriz que no tiene inversa se denomina
matriz singular, una matriz A es singular si al efectuar operaciones con sus
filas llegamos a una fila nula (todos sus elementos son ceros).
Si para una matriz existe una inversa, sta es nica.
Ejemplos:
Halle, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:
a. A =
6442 , entonces para encontrar la inversa de A (A-1), se intenta
resolver la ecuacin matricial A = A . I, para convertir la matriz A en una
matriz identidad. Pero en la ecuacin A = A . I, vemos que A aparece a
REVI
SIN
30
ambos lados de la igualdad, por tal motivo se omitir el miembro izquierdo
de la misma para evitar operaciones dobles, por lo que nos limitaremos
solamente al miembro derecho: A.I.
Es de anotar que la matriz I que multiplica a A debe ser del mismo orden de
A.
Entonces: A.I =
6442
1001
Ahora, aplicando operaciones elementales con las filas, se intenta cambiar el
producto A.I en la forma I.A-1, como sigue:
1002
16421
21F
12
021
2021
211
021
1021
211
123
1001
Fila 1 Fila 2
y se obtiene
la nueva fila 1
-4f1 + f2 y se obtiene la nueva fila 2
22
F y se obtiene
la nueva fila 2
-2f2 + f1 y se obtiene la nueva fila 1
REVI
SIN
31
Como ya se convirti a A en una matriz identidad, la matriz A es invertible y
su inversa es:
A-1 =
211
123
, es decir, se cambi A.I por I.A-1.
b. Sea B =
112422641
; B-1 = ?
Entonces:
100010001
112422641
102012001
1170860
641
167
31
061
31
032
31
35003
4103
201
F1 = F1 Porque ya se tiene la unidad
-2F1 + F2
-2F1 + F3
Para obtener la nueva fila 2
Para obtener la nueva fila 3
62
F
Para obtener la nueva fila 2
-4F*2N + F1 Para obtener la nueva fila 1
7F*2N + F3 Para obtener la nueva fila 3
* F*2N Para obtener la nueva fila 2
353
353 FF =
Para obtener la nueva fila 3
REVI
SIN
32
53
107
51
54
1011
53
52
51
51
100010001
Entonces B-1 =
53
107
51
54
1011
53
52
51
51
c. Demuestre que la siguiente matriz no tiene inversa.
A =
232213021
Solucin:
A.I =
100010001
232213021
102013001
270270021
11107
17
307
27
1
0007
2107
401
34
F*3N + F2 Para obtener la fila 2
32
F*3N + F1 Para obtener la nueva fila 1
-3F1 + F2 para obtener la nueva fila 2 2F1 + F3 para obtener la nueva fila 3
Para obtener la nueva fila 2 72
F
F2 + F1 para obtener la nueva fila 3
-2F*2N + F1 para obtener la nueva fila 1
REVI
SIN
33
Observe que al sumar el segundo y tercer rengln, se obtiene un rengln de
ceros en el lado izquierdo del producto A.I. Debido a esto, se concluye que
no es posible reescribir A.I en la forma I.A-1. Esto significa que A no tiene
inversa, es decir, es una matriz SINGULAR.
Las inversas anteriormente calculadas, se pueden comprobar por medio de la
propiedad: A.A-1 = I.
d. Hallar si es posible, la inversa de la traspuesta de A =
310201611
Solucin: At =
326101
011
Entonces: At.I =
100010001
326101
011
1
106011001
34011001
142011010
100110101
-F1 + F2 para obtener la fila nueva F2 6F1 + F3 para obtener la nueva fila F3
-1F3 para obtener la nueva F3 -F3 + F2 para obtener la nueva F2 -F3 + F1 para obtener la nueva F1
F2 + F1 para obtener la nueva F1 4F2 + F3 para obtener la nueva F3 REVI
SIN
34
142133132
100010001
; entonces: (At)-1 =
142133132
1.5 DETERMINANTES
A toda matriz cuadrada le corresponde un valor numrico como resultado de
unas operaciones realizadas con sus diagonales, as:
Sumatoria de los productos de las diagonales principales menos sumatoria de
los productos de las diagonales secundarias, igual a un valor numrico.
A este valor numrico es lo que se conoce como determinante de una matriz.
El determinante de una matriz A es la misma matriz A, pero encerrada entre
barras verticales en vez de corchetes y se denota as: det. A; A o A .
En este mdulo se utilizar A .
Entonces:
Si A = 333231232221131211
333231232221131211
aaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
=
= Valor Numrico.
En el presente mdulo se estudiarn los determinantes de segundo y tercer
orden, a saber:
REVI
SIN
35
1.5.1 Determinantes de Segundo Orden
Son aquellos que poseen dos productos de dos elementos cada uno, uno
positivo (el de su diagonal principal) y el otro negativo (el de su diagonal
secundaria), as:
Sea A =
22211211
aaaa A =
22211211
aaaa = a11.a22 a12.a21
Ejemplos: calcular el determinante de las siguientes matrices:
a) A =
41
22 ; b) B =
4230 ; c) C =
3142
Solucin:
a. A = 1028)1).(2(424122
4122
=+==
=
xA
b. B = 660)23(404230
4230
====
xxB
c. C = 1046)14()3(231
4231
42===
=
xC
Diagonal secundaria
Diagonal Primaria
REVI
SIN
36
1.5.2 Determinantes de Tercer Orden
Son aquellos que poseen seis productos de tres elementos cada uno, tres
positivos (el de sus diagonales principales) y tres negativos (el de sus
diagonales secundarias).
Para calcular el determinante de una matriz A3 x 3, se agregan la primera y la
segunda columna o filas de A para formar las columnas o filas cuarta y
quinta. Luego, el determinante de A se obtiene al sumar (o restar) los
productos de sus seis diagonales, como se muestra:
Sea A =
333231232221131211
aaaaaaaaa
; agregamos la 1ra y 2da filas
=
=
232221131211333231232221131211
333231232221131211
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
A
A =a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 (a13.a22.a31 + a23.a32.a11 +
a33.a12.a21)
Diagonales secundarias
Diagonales Primarias
Sumatoria de los productos de las diagonales principales Sumatoria de los productos de las diagonales secundarias
REVI
SIN
37
Lo anterior tambin es posible agregando la 1era y 2da columnas, como se
muestra a continuacin:
=
=
323133323122212322211211131211
333231232221131211
aaaaaaaaaaaaaaa
Aaaaaaaaaa
A
=A a13.a21.a32 + a12.a23.a31 + a11.a22.a33 (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 +
a12.a21.a33)
Como puede observarse, se llega al mismo resultado; por lo que es
indiferente el mtodo que se utilice, de all que el lector escoger el que
mejor le parezca.
Ejemplos: calcular los determinantes de:
a. A = )604(16120
21
12
30
14421
12
30
144213120
+++=
=
A
224)2(4 ===A
b. B = )4090(84200
75
32
10
24675
32
10
246731520
+++=
=
B
Diagonales secundarias
Diagonales primarias
REVI
SIN
38
19894104)94(104 =+==B
c. C = )102(021
31
02
11
13
114
1102
11
13
1
1411
011213
1
++++=
=
C
6173
61)3(
61
===C
Es de anotar que, si el determinante de una matriz A es cero, quiere esto decir
que A es una matriz singular, o sea que no posee inversa.
1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes
Histricamente, el uso de los determinantes surgi de la identificacin de
patrones especiales que ocurren en la solucin de sistemas de ecuaciones
lineales.
Para resolver un sistema de dos o tres ecuaciones con dos o tres incgnitas
por determinantes, se aplica la regla de KRAMER, que dice: El valor de
cada incgnita es una fraccin, cuyo denominador es el determinante
formado con los coeficientes de las incgnitas (determinante del sistema: S )
y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el
determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incgnita que
REVI
SIN
39
se halla, por la columna de los trminos independientes de las ecuaciones
dadas.
Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas, aplicando determinantes:
1. 84414)2(221
42642 ===
==+ xSYx
8=S
=
=
=
=25
820
8812
822
46
X 25=X
=
=
=
=41
82
864
82162
Y 41=Y
2. 2062 =+ YX
)000(602
10
16
02
10110
16
02
101110062
5 ++++=
=
==+ SZY
4=S
44
43026
4)3000(6020
4
10
16
520
10110
16
520
=+
=++
=
=X
ZX =-1
22 = YX
REVI
SIN
40
1=X
4
124
2104
)020(200104
10
520
02
11110
520
02
=+
=+++
=
= Y
3=Y
48
42028
4)0020(3002
4
520
16
02
101520
16
02
=
=++++
=
= Z
2=Z
3. 3231
+=+ ZYX
1=YX
11.41
+=+ YYX
Como el sistema no est preparado, hay que prepararlo, as:
=+ ZYX 231 3
REVI
SIN
41
)102(021
31
02
11
13
114
1102
11
13
1
1411
011213
1
1 ++++=
=
== SYX
6173
61
== SS
617251
617
2325
617
)1022(0213
617
02
11
13
14111
02
11
13
=
=
++++=
=X
9=X
617368
617
1365
617
)302(02231
617
02
13
13
1111102
13
13
1
=
=
+++=
=Y
8=Y ; en la ecuacin: 1141
+=+ YZX , remplazo 8=Y y 9=X , entonces:
911211)8(419 +=+=+ ZZ
4=Z
1141
=+ ZYX RE
VISI
N
42
4. Cuales sern los valores de x, para que:
0)1(2
4)1(=
+
XX
Solucin:
0)2).(4()1).(1()(2
4)1(=+=
+
XXX
X
0812 =x
092 =x
92 =x
9=x TALLE
3.=x
REVI
SIN
43
Una matriz de m x n es un arreglo rectangular de mn nmeros
arreglados en m filas y n comunas.
Sea A una matriz de m x n y B una matriz de n x p, entonces A x b es
una matriz de m x p.
Si A es una matriz de n x m, B es de m x p y C es de p x q, entonces A
x (B x C) = (A x B) x C y tanto B x C como A x B son matrices de n x
q.
Si todos los productos estn definidos, entonces:
A x (B + C) = A x B + A x C y (A + B) x C = A x C + B x C
El determinante de una matriz A2x2 =
2221
1211
aaaa est dado por:
A = a11a22 a12a21
El determinante de una matriz A3x3 =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
est dado por.
RESUMEN RE
VISI
N
44
a11 3231
222113
3331
232112
3332
2322
aaaa
aaaaa
aaaaa
+
1) Demuestre que B es la inversa de A:
a. A =
410010322
; B =
032
31
138
34
135
34
b. A =
3211 ; B =
5
15
25
15
3
2) Sean A =
cbad y B =
11
11 ; cuales son los valores de a, b, c y d,
para que A.B = B.A.
3) Resolver el siguiente sistema aplicando determinantes:
1443=+
ZYX
126
=+ ZYX
0282=
ZYX
AUTOEVALUACION No 1
REVI
SIN
45
4) Sea: A =
339306633
; demuestre que [ ] tAA =
5) Calcular la matriz A en la siguiente ecuacin matricial:
-4
=
+
173251043
21
201010432
AA
6) Calcular, si es posible, la inversa de:
714402312
REVI
SIN
46
PROGRAMACION
REVI
SIN
47
Los conocimientos contenidos en el presente capitulo hacen posible la
formulacin de unos modelos a travs de los cuales, el administrador puede
lograr una mayor eficiencia y un mejor sistema productivo en el mundo
empresarial moderno; sobre todo, cuando deba tomar decisiones que
involucren racionalizacin de recursos para determinar as, el mejor curso de
accin de un problema empresarial.
Para la buena comprensin de este tema se hace necesario que el alumno
diferencie lenguaje coloquial de lenguaje algebraico y sepa expresar
oraciones en forma de lenguaje coloquial a expresiones en forma de lenguaje
algebraico.
Unidad 2
PRESENTACION
REVI
SIN
48
Analizar situaciones reales en las que, relaciones entre actividades, requerimientos de recursos y la contribucin al objetivo revistan
carcter lineal.
Disear un modelo simblico de un problema cuyo enunciado se suministre.
Diferenciar entre disponibilidad y requerimiento, para la asignacin y distribucin de recursos limitados.
OBJETIVOS RE
VISI
N
49
Qu entiendes por Programacin Lineal? 1. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.
En qu campos crees que se ha utilizado la P. L.?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ATREVETE A OPINAR
3.
Qu entiendes por Maximizar y por Minimizar?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
REVI
SIN
50
A continuacin encontrars 5 expresiones en forma de lenguaje coloquial
(palabras), por favor exprsalas en forma de lenguaje algebraico (ecuaciones
o inecuaciones):
EXPRESIONES MATEMATICAS
EN FORMA DE LENGUAJE
COLOQUIAL
EN FORMA DE LENGUAJE
ALGEBRAICO
El doble de un nmero es catorce.
La mitad de un nmero ms su triplo no debe
exceder a cinco.
El quntuplo de un nmero es diecisis menos
el mismo nmero.
El triplo de un nmero ms el doble de otro, al
menos es ocho.
La mitad de un nmero menos la quinta parte
de otro, no debe ser mayor que dos.
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
REVI
SIN
51
2. PROGRAMACIN 2.1 PROGRAMACIN LINEAL (P. L.)
La palabra programacin es un sinnimo de planeacin y el adjetivo lineal
significa que todas las funciones matemticas que se van a trabajar, son
funciones lineales, es decir, que las variables tendrn como exponente la
unidad.
La Programacin Lineal trata la planeacin de las actividades de un
organismo social para obtener un resultado optimo, esto es, el mejor entre
muchos; as, la programacin lineal es una tcnica matemtica cuyo objetivo
es la determinacin de soluciones optimas a los problemas econmicos en los
que intervienen recursos limitados.
2.2 USOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL La Programacin Lineal ha sido empleada con mucho xito en variados
campos, a saber:
En la industria de alimentos, para la obtencin de mezclas optimas de
productos con requerimiento de un mnimo de elementos nutritivos.
UUNNIIDD
REVI
SIN
52
En la industria qumica para efectos de control de la produccin.
En la industria metalrgica, para la planificacin de la produccin y
transporte.
En finanzas para la toma de decisiones.
2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L.
Plantear un problema de Programacin Lineal, implica llevar expresiones
matemticas en forma de lenguaje coloquial a expresiones matemticas en
forma de lenguaje algebraico.
Los problemas que se pueden presentar dentro de la Programacin Lineal son
de maximizacin de utilidades o de minimizacin de costos. La forma
general de los modelos de problemas de Programacin Lineal son:
2.3.1 Modelo de Maximizacin Objetivo a lograr { nn XCXCXCZMax ....... 2211 ++=
Sujeciones o limitantes del objetivo
+++
++++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
Condicin de no negatividad { 0...21 == nXXX
Donde:
Z: Funcin objetivo que se pretende maximizar.
:..., 21 nCCC Coeficientes de utilidades o ganancias o ventas
REVI
SIN
53
:..., 21 nXXX Variables bsicas de trabajo.
:..., 1211 mnaaa Coeficientes de usos de recursos.
:..., 21 nbbb Disponibilidad de recursos limitados (trminos independientes).
2.3.2 Modelo de Minimizacin
Mn. Z = nn XCXCXC ...... 2211 ++
Sujeto a: 11212111 ....... bxaxaxa nn +++
22222112 ...... bxaxaxa nn +++
. . .
. . .
. . . nmnmm baxaxa +++ ..... 2211
0...21 == nXXX
Donde:
Z: Funcin que se pretende minimizar.
:..., 21 nCCC Coeficientes de costos o gastos.
:..., 21 nXXX Variables bsicas de trabajo.
:..., 1211 mnaaa Coeficientes de usos de recursos.
:..., 21 nbbb Disponibilidad de recursos limitados (trminos independientes).
2.4 PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS
REVI
SIN
54
Para plantear modelos de problemas de programacin lineal, se sugieren los
siguientes pasos:
2.4.1 Entendimiento del problema Significa hacerse a una idea clara de lo que se quiere, es decir, identificar con
exactitud si se trata de un problema de maximizacin o minimizacin; lo cual
se logra leyendo bien el enunciado (releerlo s es necesario).
2.4.2 Definicin de variables Significa que, hay que definir en forma clara y precisa las variables de
trabajo o variables fsicas (tantas como sean necesarias o el problema
amerite).
2.4.3 Establecer la funcin objetivo Significa plantear en forma de ecuacin, el objetivo que se desea alcanzar
(con las variables definidas y los coeficientes de costos o ganancias dados).
2.4.4 Establecer las restricciones Significa formular las limitantes a que va ha estar sujeta la funcin objetivo,
teniendo en cuenta el uso y la disponibilidad de recursos (pueden ser
desigualdades o igualdades).
REVI
SIN
55
2.4.5 Establecer la no negatividad
Significa darle el sentido de positividad a todas las variables que se tengan
que trabajar, es decir, que todas sean mayores o iguales que cero ( 0 ).
Si el lector sigue la anterior metodologa para formular modelos de
programacin lineal, lo ms probable es que se le dificulte menos el
planteamiento de los mismos, ya que, no existe una formula matemtica para
establecer tales problemas; de all que no sea tarea fcil el plantear dichos
modelos, porque ningn caso se parece a otro.
Ejemplos
1. Un camin puede transportar dos clases de artculos, A y B. Por cada
unidad de A que transporte recibe $1500 y por cada unidad de B, $2000.
El camin tiene una capacidad de 12m 3 y puede transportar carga que no
exceda las 16 toneladas. Los volmenes de A y B son respectivamente 2 y
3m 3. Los pesos unitarios de A y B son 4 y 3 toneladas respectivamente.
Plantear el anterior problema como un modelo de programacin lineal.
Solucin:
Paso a: Entendimiento: El propietario del camin desea maximizar sus
ganancias. Lo cual est implcito en el hecho de que el enunciado da los
ingresos por cada tipo de artculo que se transporte.
Paso b: Definicin de variables
REVI
SIN
56
Como son dos los tipos de artculos a transportar, sern dos las variables a
definir, as:
Sean: :1X Nmero de artculos del tipo A a transportar.
:2X Nmero de artculos del tipo B a transportar.
Paso c: Establecer la funcin objetivo
Mx. Z = 1500 X1 + 2000 X2 Paso d: Establecer las restricciones
De capacidad : 2 123 21 + XX
De pesos: 1634 21 + XX
Paso e: Establecer la no negatividad 021 =XX
2. El hospital Regional de Sincelejo est tratando de determinar el nmero
de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero.
El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 das. Las comidas
de pescado cuestan $200 cada una y las de res $250 cada una. Ambas
comidas cumplen con las necesidades de protenas. Si se juzga el sabor en
una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res un 9.
El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor.
Los requerimientos totales de vitaminas en le mes deben ser por lo menos
300 unidades, de las cuales la comida de pescado proporciona 8 unidades
y la de res 12 unidades.
REVI
SIN
57
Plantee como un modelo de programacin lineal.
Solucin
Entendimiento: Lo que pretende el hospital es minimizar los costos, ya
que, el problema otorga coeficientes de los gastos de cada
comida.
Definicin de variables: Al ser dos tipos de comida, sern dos las variables a
utilizar, as:
Sean: :1X Nmero de comidas de pescado a servir durante el
mes venidero.
:2X Nmero de comidas de res a servir durante el mes
venidero.
Funcin objetivo: Mn. Z = 21 250200 XX +
Restricciones: s.a.: 20095 21 + XX (sabor)
300128 21 + XX (Vitaminas)
1X + 2X = 30 (total de comidas servidas al mes)
No negatividad: 021 = XX
3. La asociacin de estudiantes de CECAR dispone de $100.000 y ha pensado invertir en dos negocios. El primero la reporta una utilidad de
$25 mensuales y el segundo $40 mensuales, por cada $ 100 invertidos.
Debido aciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios, se debe
REVI
SIN
58
invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no ms del
50% en el segundo. Adems, la cantidad invertida en este ltimo no debe
ser mayor a 3/2 veces la cantidad invertida en el primer negocio.
Plantear el problema como un modelo de programacin lineal.
Solucin
Sean: :1X Cantidad de dinero a invertir en el primer negocio. :2X Cantidad de dinero a invertir en el segundo negocio.
Mx. Z = +110025 X 2100
40 X
Mx. Z: 21 5
241 XX +
Mx. Z: 21 40.025.0 XX +
S.a.: 1X + 2X 100.000
1X 25.000
2X 50.000
2X 123 X
123 X + 2X 0
1X = 2X 0
4. Se tienen dos centros de sacrificios de reces, uno en Valledupar y otro en Montera. Existen tres centros de consumo: Bucaramanga, Medelln y
Barranquilla.
REVI
SIN
59
La siguiente tabla muestra los costos de transportar una tonelada de carne
desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo. Formule un
modelo de programacin lineal que permita determinar cuanta carne debe
enviarse desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo.
1 2 3 Disp
(Ton) B /Manga M/delln B/quilla
Valledupar (1)
$800 $1.500 $950 1.300
Montera (2)
$1.900 $750 $1.300 3.000
Req. (Ton) 1.000 700 600
Solucin
11X : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Bucaramanga. 12X : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Medelln. 13X : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Barranquilla. 21X : Toneladas de carne a enviar desde Montera a Bucaramanga. 22X : Toneladas de carne a enviar desde Montera a Medelln. 23X : Toneladas de carne a enviar desde Montera a Barranquilla.
O bien:
jiX , : Toneladas de carne a enviar desde el centro de sacrificio i al centro de
consumo j .
Donde: i : 1,2
j : 1,2,3
Mn. Z = 232221131211 30075019009501500800 XXXXXX +++++
C. Consumo
C. Sacrificio
REVI
SIN
60
s.a: 131211 XXX ++ 1.300
232221 XXX ++ 3.000
11X + 21X 1.000
+12X 22X 700
+13X 23X 600
0232221131211 ===== XXXXXX
O bien: 0, jiX
Donde: i : 1,2
j : 1,2,3
5. Una empresa produce dos artculos, A y B. La elaboracin de una unidad de A requiere $20 de mano de obra y cada unidad de B requiere $10. La
materia prima requerida es de $100 y $300 respectivamente para A y B.
La depreciacin del equipo es proporcional al volumen de produccin y se
ha estimado en $5 por cada unidad de A y $1 por cada unidad de B. Se
cuenta con una disponibilidad de $ 1.000.000 para salarios del periodo,
$1.800.000 para materia prima y no se permite que el desgaste del
equipo supere los $100.000. Respecto a las utilidades no hay certeza, se
espera que estos sean:
Utilidad de A Utilidad de B Probabilidad $8 $5 0.50 $5 $6 0.25 $7 $7 0.25
Formule el anterior problema como un modelo de programacin lineal
Solucin
REVI
SIN
61
1X : Cantidad de artculos de tipo A a producir durante el periodo. 2X : Cantidad de artculos de tipo B a producir durante el periodo.
Mx. Z = ( )725.0525.085.0 xxx ++ . 1X + ( )725.0625.055.0 xxx ++ . 2X
Mx. Z = 7 X1 + 5,75 x2
s.a: +120X 210X 1.000.000
+1100X 2300X 1.800.000
+15X 2X 100.000
021 =XX
6. Una compaa tiene tres tipos de maquinas procesadoras, cada una de diferente velocidad y exactitud. La maquina tipo I puede procesar
20piezas/hora, con una precisin de 99%; la tipo II, 15piezas/hora, con
una precisin de 95%, y la tipo III, 10piezas/hora, con una precisin del
100%. El funcionamiento de la tipo I cuesta $2/hora; el de la tipo II,
$1.75/hora y el de la tipo III, $1.50/hora. Cada da (8horas) deben
procesarse por lo menos 3500 piezas buenas y hay disponibles 8 maquinas
tipo I; 10 tipo II y 20 tipo III. Cada error le cuesta $1 a la compaa.
Formular como un modelo de programacin lineal.
Solucin
Clculos:
Costo por hora, a partir del funcionamiento de cada maquina,
incluyendo costos por errores:
Tipo I: $2 + 20 (0.01) ($1) = $2.2
REVI
SIN
62
Tipo II: $1.75 + 15 (0.05) ($1) = $2.5
Tipo III: $1.50 + 10 (0) ($1) = $1.5
Cantidad de piezas buenas que produce cada maquina por hora:
Tipo I: 20 (0.99) = 19.8 piezas buenas/hora
Tipo II: 15 (0.95) = 14.25 piezas buenas/hora
Tipo III: 10 (1) = 10 piezas buenas/hora
Total de piezas buenas que deben producirse por hora:
./5.437/8
/3500 horapiezasdahoras
dapiezas=
Entonces, sea:
iX : Cantidad de maquinas tipo i que deben utilizarse
=i 1,2,3
Mn. Z = 321 5.15.22.2 XX ++
s.a: 321 1025.148.19 XXX ++ 437.5
1X 8
2X 10
3X 20 0321 == XXX
7. Un fabricante produce tres modelos (I, II, III) de cierto producto. l utiliza dos tipos de materia prima (Ay B), de los cuales se dispone de 4000 y
6000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por
unidad de los tres modelos son:
Materia prima Modelo I Modelo II Modelo III
REVI
SIN
63
A 2 3 5
B 4 2 7
El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor
que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza
de trabajo de la fabrica puede producir el equivalente a 1500 unidades del
modelo I.
Un estudio del mercado indica que la demanda mnima de los tres modelos se
200, 200, 150 unidades respectivamente. Supngase que la ganancia por
unidad de los modelos I, II, III es $30, $20 y $50 respectivamente. Formular
como un modelo de programacin lineal.
Solucin
1X : Numero de unidades a producir del modelo I
2X : Numero de unidades a producir del modelo II
3X : Numero de unidades a producir del modelo III
Mx. Z = 321 502030 XXX ++
s.a: 4000532 321 ++ XXX
6000724 321 ++ XXX
150031
21
313
212
321
3131
2121++
==
==XXX
XXXX
XXXX
2001X
2002X
REVI
SIN
64
1503X
0321 == XXX
8. Una empresa elabora dos productos, X y Y, para lo cual utiliza los materiales A y B. El producto X requiere una unidad del material A y una
unidad del material B. El producto Y requiere tres unidades de A y una
unidad de B.
Las informaciones de los proveedores indican que deben comprarse como
mnimo 300 unidades del material A y 200 del B.
El departamento de maquinado puede elaborar 500 unidades del producto
X o 600 del producto Y, o cualquier relacin de estos. El departamento de
acabado dispone de un total de 2800 minutos de los cuales cada unidad de
X consume cuatro y cada unidad de Y siete. El departamento de ventas
informa que puede venderse a lo sumo 300 unidades del producto y.
Formular como un modelo de programacin lineal, sabiendo que los
costos de produccin ascienden a $12 y $8 para los productos X y Y
respectivamente y los precios de venta son de $16 para el producto X y
$12 para el producto Y.
Solucin
1X : Cantidad de productos X a elaborar.
2X : Cantidad de productos Y a elaborar.
REVI
SIN
65
Utilidades = ventas costos
Entonces:
Mx. Z = ( )2121 8121216 XXXX ++
Mx. Z = 2121 8121216 XXXX +
Mx. Z = 21 44 XX +
s.a: 3003 21 + XX
20021 +XX
La relacin: 600500
2
1 =XX
Entonces, 21 .65 XX = 12 .5
6 XX = ; Luego: 60056
21 +XX 50065
21 + XX
280074 21 + XX
3002X
021 =XX
REVI
SIN
66
Para plantear un problema de P. L. se sugiere seguir los siguientes pasos:
- Leer el enunciado hasta lograr su entendimiento.
- Tabular la informacin suministrada.
- Definir variables de trabajo.
- Formular la funcin objetivo.
- Establecer las restricciones.
- Establecer la no negatividad.
Todo problema de P. L. debe contener la condicin de no negatividad, omitirla sera dejar abierta la posibilidad de que una solucin ptima
puede contener valores negativos.
Los problemas que se pueden presentar en el estudio de la P. L. son de dos tipos, a saber: de maximizacin y de minimizacin.
Del correcto entendimiento del enunciado de un problema de P. L., depender su correcta formulacin o no.
RESUMEN RE
VISI
N
67
REVI
SIN
68
1. La compaa PINTU-COSTA posee una pequea fbrica de pinturas que produce colorantes para exteriores e interiores de casas para su
distribucin al mayoreo. Se utilizan dos materiales bsicos, A y B, para
producir las pinturas. La disponibilidad mxima de A es de 6 toneladas
diarias, la de B es de 8 toneladas por da. Los requisitos diarios de
materias primas por toneladas de pinturas para exteriores e interiores
se resumen en la siguiente tabla:
Exterior Interior Disp. Mx.
Materia prima A 1 2 6
Materia prima B 2 1 8
Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de la
pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para
exteriores en ms de una tonelada. El estudio seala as mismo, que la
demanda mxima para pintura de interiores esta limitada a dos
toneladas diarias.
Si el precio al mayoreo por tonelada es de $3000 para pintura de
exteriores y $2000 para pintura de interiores, plantea el problema como
un modelo de programacin lineal.
2. Una fbrica de fertilizantes ha recibido un pedido de 1000 toneladas de
un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones:
AUTOEVALUACION No 2
REVI
SIN
69
Cuando menos 20% de Nitrgeno.
Cuando menos 30% de Potasio.
Cuando menos 8% de Fsforo.
La compaa ha adquirido cuatro fertilizantes bsicos a partir de los cuales
puede fabricar sus pedidos especiales. Los porcentajes de Nitrgeno, Potasio
y fosfato que contienen los fertilizantes bsicos son:
Fertilizante porcentaje de
Bsico Nitrgeno Potasio fosfato
1 40 20 10
2 30 10 5
3 20 40 5
4 5 5 20
Los costos de los fertilizantes bsicos respectivos son: $16.000, $12.000,
$15.000y $8.000 por tonelada.
Plantee como un modelo de programacin lineal
3. Usted es un alumno de Administracin de Empresas y se ha planteado la
necesidad de maximizar la satisfaccin diaria que le produce la realizacin
de una serie de actividades.
Ha establecido la siguiente lista de actividades con sus diferentes grados de
satisfaccin asociados, as:
REVI
SIN
70
ACTIVIDAD UNIDADES DE SATISFACCION
1. Tomar una cerveza 4 2. Fumar un cigarrillo 2 3. Jugar un partido de softbol 7 4. Dar un paseo por la playa 3 5. Leer un libro importante 2 6. Dormir 4 Aunque usted quisiera realizar todas las actividades, cuenta con algunas
limitaciones. Como es lgico solo dispone de 24 horas al da y las actividades
consumen tiempo, as:
Actividad 1 15 minutos Actividad 2 10 minutos Actividad 3 2 horas Actividad 4 1 hora Actividad 5 5 horas Actividad 6 60 minutos
Adems, por la estrechez econmica en que sirve no le es posible tomar ms
de 5 cervezas diarias; no puede fumar ms de cinco cigarrillos al da, por
cuestiones de salud; no puede jugar ms de dos partidos de softbol diarios, por
cansancio; no puede dar ms de dos paseos por la playa, por aburrimiento; no
puede leer ms de dos libros al da por cansancio visual.
En cuanto al sueo, usted sabe que no puede dormir ms de diez horas al da,
ni menos de siete.
Plantear el anterior problema como un modelo de programacin lineal.
REVI
SIN
71
4. Una compaa transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 40000
libras y 5 con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un
costo de operacin de $30 por Km., y los ms pequeos de $25 por Km. En
la prxima semana la compaa debe transportar 400000 libras de malta,
para un recorrido de 800 Km.
La posibilidad de otros compromisos, significa que por cada dos camiones
pequeos mantenidos en reserva, debe quedarse por lo menos uno de los
grandes.
Formula un modelo de programacin lineal que le permita a la compaa
saber, cual es el nmero ptimo de camiones de ambas clases que deben
movilizarse para transportar la malta.
5. Una institucin financiera, se encuentra en el proceso de formular su
poltica de prstamos para el prximo trimestre. Para este fin se asigna un
total de $ 12.000.000. Siendo una institucin de servicios integrales, est
obligada a otorgar prstamos a diversos clientes. La tabla que sigue seala los
tipos de prstamos, la tasa de inters que cobra el banco y la posibilidad de
que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables:
Tipo de prstamo Tasa de inters Probabilidad de incobrables Personal 0.140 0.10 Automvil 0.130 0.07 Casa-habitacin 0.120 0.03 Agrcola 0.125 0.05 Comercial 0.100 0.02
REVI
SIN
72
La competencia con otras instituciones financieras del rea requiere que el
banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a prstamos
agrcolas y comerciales.
Para dar asistencia a la industria de la habitacin en la regin, los prstamos
para casa - habitacin debe ser igual cuando menos al 50% de los prstamos
personales, para automvil y para casa - habitacin. El banco tiene as mismo
una poltica establecida que especfica que la relacin global de pagos
irrecuperables no puede ser superior a 0.04.
Plantee el problema como un modelo de programacin lineal.
REVI
SIN
73
1) FUNCION OBJETIVO: Es una expresin cuantitativa de los valores que
deben optimizarse. Puede ser deseable minimizar o maximizar esta funcin.
2) LENGUAJE ALGEBRAICO: Es el planteamiento de un problema en
forma de ecuaciones de igualdad o inecuaciones de desigualdad, como
resultado de un lenguaje coloquial.
3) LENGUAJE COLOQUIAL: Es el enunciado de un problema en forma
de palabras que debe ser llevado a lenguaje algebraico.
4) ORGANISMO SOCIAL: Es toda empresa (pblica o privada)
conformada por personas que buscan un bien comn.
GLOSARIO DE TERMINOS
REVI
SIN
74
METODOS DE SOLUCION DE LA
P. L.
Unidad 3
REVI
SIN
75
El presente capitulo nos proporciona las tcnicas de solucin para los modelos
de programacin lineal, iniciando con la grfica de los mismos, que
generalmente se emplea para resolver casos de dos variables, ya que resulta
bastante difcil graficar en planos de tres variables e imposible hacerlo para
cuatro o ms variables.
Seguidamente se trata la tcnica algebraica Simplex, que a diferencia del
mtodo grfico sirve para solucionar problemas de programacin lineal sin
tener en cuenta el nmero de incgnitas. Ambos mtodos son herramientas
muy eficientes, sencillas y exactas en la solucin de modelos de programacin
lineal; por lo que, sus vigencias datan de muchos aos atrs.
PRESENTACION
REVI
SIN
76
Explicar el empleo de la solucin grfica para resolver problemas de Programacin Lineal de dos variables.
Definir los conceptos bsicos empleados para desarrollar la tcnica Simplex.
Solucionar problemas de P. L. con dos o ms variables por el Mtodo Simplex.
OBJETIVOS
REVI
SIN
77
ATREVETE A OPINAR
1. Qu entiendes por Mtodo Grfico? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.
Por qu piensas que no se pueden solucionar problemas de P. L. de dos o ms variables por el Mtodo Grfico?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.
Qu entiendes por el trmino simplex?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
REVI
SIN
78
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: a) (3 , 5)
b) (5 , 3)
c) (-1 , 2)
d) (3 , 4)
e) (2 , -1)
Obtener la grfica de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2 Y = 12
b) 3 X + 2 Y = 18
c) 3 X + 5 Y = 60
Soluciona las siguientes operaciones algebraicas:
a) 31
43+
b) 83
65
c) 221+
d) 51
301
31
+
ACCIONES PARA CONSTRUIR EL
CONOCIMIENTO
REVI
SIN
79
3. METODOS DE SOLUCION DE LA PROGRAMACION LINEAL
3.1 MTODO GRFICO
Si el modelo se restringe nicamente a dos variables, es posible representarlo
y resolverlo grficamente; de all que, de lo que se trata es de obtener una
grfica de todo el modelo dado (solucin factible), ya que cada restriccin
define un rea que contiene un nmero infinito de puntos, la cual no excede la
desigualdad y el conjunto de grficas (todas las restricciones) definen un rea
comn a todo el modelo (interseccin de sentidos), la cual nos proporcionar
la solucin optima del mismo.
Cabe anotar que, todas las soluciones grficas de modelos de programacin
lineal, se dan en el primer cuadrante del plano cartesiano (x, y o 21,XX ), tal
como lo especifica la restriccin de no negatividad ( 021 =XX ).
3.1.1 Procedimiento Grfico
Para darle solucin a un problema de programacin lineal por el mtodo
grfico, se requiere seguir los siguientes pasos:
UUNNIIDD
REVI
SIN
80
3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades, reemplazando los
signos y por el signo =. Este cambio genera ecuaciones de lnea recta, que
permiten graficar en el plano (x, y).
3.1.1.2 Hallar los intersectos (puntos de corte) con los ejes, partiendo del
axioma que reza: dos puntos definen una recta, la cual lograremos
igualando a cero cada variable por separado y obtendremos automticamente
el valor de la otra.
3.1.1.3 Graficar cada una de las ecuaciones lineales, dndoles el sentido
que posean las desigualdades, utilizando flechas sobre las lneas rectas para
representar la regin que debe considerarse como parte del espacio solucin.
3.1.1.4 Determinar el rea comn, mediante la ayuda de las flechas sobre
las lneas rectas y as poder ubicar la interseccin de los sentidos de las
desigualdades.
3.1.1.5 Calcular el valor de la funcin objetivo (solucin ptima), por
medio de la sustitucin de cada uno de los vrtices de la zona comn en el
objetivo a lograr: el ms grande, si se trata de un caso de maximizacin el
ms pequeo, si se trata de un caso de minimizacin.
Adems de la anterior metodologa, se le recomienda al lector utilizar hojas
de papel milimetrado en la solucin grfica de los problemas de programacin
lineal propuestos en el presente modulo y en los conseguidos en cualquier
texto de programacin lineal e investigacin de operaciones.
REVI
SIN
81
EJEMPLOS
Solucionar por el mtodo grfico los siguientes modelos de programacin
lineal:
1. Max. Z = 21 53 XX +
s.a: 1X 4
22X 12
+13X 22X 18
1X = 2X 0
Solucin
Paso a: Convertir desigualdades en igualdades
41=X (1)
122 2=X (2)
1823 21 =+ XX (3)
Paso b: Hallar los intersectos con los ejes
En la ecuacin (1): 41=X Lnea recta paralela al eje 2X o Y
En la ecuacin (2): 122 2=X ; 212
2=X
62=X Lnea recta paralela al eje 1X o X.
En la ecuacin (3): 1823 21 =+ XX
S ( ) 182030 21 =+= XX
1820 2=+ X
REVI
SIN
82
182 2=X
2
182=X
= 92X Tenemos el intersecto (0, 9).
S ( ) 180230 12 =+= XX
1803 1 =+X
183 1=X
3
181=X
= 61X tenemos el intersecto (6, 0).
Paso c: Graficar las ecuaciones lineales.
. 1
5
2 3 4 6
7
5
6
4
3
2
1
9
8
.
. .
. X1
X2
X1 4
2X2 12
P1
P4 P3
P2
P5 (0,0) 3X1 + 2X2 18
REVI
SIN
83
Paso d: Determinar el rea comn
La regin conformada por los vrtices p1, p2, p3, p4 y p5, es la
interseccin de todos los sentidos de las desigualdades, es decir,
es el rea comn donde estar la solucin del modelo.
Paso e: Calcular el valor de la funcin objetivo
El polgono de la grfica, est compuesto de 5 vrtices, as: ( )0,41P
( )3,42P
( )6,23P
( )6,04P
( )0,05P se descarta porque no maximiza nada.
Cada uno de estos vrtices genera una solucin, reemplazndolos en la
funcin objetivo, as: ( ) ( ) ( ) 1205430,4 11 =+=ZP ( ) ( ) ( ) 2735433,4 22 =+=ZP ( )6,23P ( ) ( ) 3665233 =+=Z ( )6,04P ( ) ( ) 3065034 =+=Z
Como puede observarse, el valor ms grande que asume la funcin objetivo Z
es de 36 y proviene del vrtice (2, 6), el cual se constituye en el punto ptimo
de la siguiente solucin ptima:
2*1 =X
6*2 =X
36* =Z
REVI
SIN
84
2. Mn. Z = 21 54 XX +
s.a : 21 44 XX + 20 ; 21 44 XX + =20 (1)
21 36 XX + 24 ; 21 36 XX + = 24 (2)
21 58 XX + 40 ; 21 58 XX + = 40 (3)
En la ecuacin (1): S ( ) 204040 21 =+= XX
2040 2=+ X
204 2=X
420
2=X
( )5,052 =X
S ( ) 200440 12 =+= XX
2004 1 =+X
420204 11 == XX
( )0,551 =X
En la ecuacin (2): S ( ) 243060 21 =+= XX
2430 2=+ X
324
2=X
( )8,082 =X
S ( ) 240360 12 =+= XX
2406 1 =+X
624246 11 == XX
( )0,441 =X
REVI
SIN
85
4X1 + 4X2 20
En la ecuacin (3): S ( ) 405080 21 =+= XX
4050 2=+ X
405 2=X
540
2=X
2X = )8,0(8
S ( ) 400580 12 =+= XX
4008 1 =+X
408 1=X
840
1=X
( )0,551 =X
. 1 5 2 3 4 6
7
5
6
4
3
2
1
9
8 .
.
. . X1
X2
8X1 + 5X2 40 P1
P3
P2
7 8
6X1 + 3X2 24
REVI
SIN
86
( ) ( ) ( ) 2005540,5 11 =+=ZP
( ) ( ) ( ) 2225342,3 22 =+=ZP
( ) ( ) ( ) 4085048,0 33 =+=ZP
Como puede observarse el valor mnimo de Z es 20, entonces: La solucin
ptima es:
5*1 =X
0*2 =X
20* =Z
3. Mx. Z = 21 23 XX +
s.a: 21 22 XX + 16
21 2XX + 12
21 24 XX + 28
21 XX = 0
Solucin
1622 21 =+ XX (1)
122 21 =+ XX (2)
2824 21 =+ XX (3)
En la ecuacin (1)
S ( ) 162020 21 =+= XX
1620 2=+ X
( )8,082
16162 222 === XXX
REVI
SIN
87
S ( ) 160220 12 =+= XX
1602 1 =+X
( )0,882
16162 111 === XXX
En la ecuacin (2)
S 12200 21 =+= XX
( )6,062
12122 222 === XXX
S ( ) 12020 12 =+= XX
( )0,1212120 11 ==+ XX
En la ecuacin (3)
S ( ) 282040 21 =+= XX
2820 2=+ X
( )14,014228282 222 === XXX
S ( ) 280240 12 =+= XX
2804 1 =+X
284 1=X
428
1 =X
)0,7(71 =X
REVI
SIN
88
X1 + 2X2 12
2X1 + 2X2 16
( ) ( ) 702370,7 11 =+=ZP
( ) ( ) 922362,6 22 =+=ZP
( ) ( ) 1242364,4 33 =+=ZP
( ) ( ) 962306,0 44 =+=ZP
.
1 5 2 3 4 6
7
5
6
4
3
2
1
9
8
. .
. . X1
X2
4X1 + 2X2 28
P1
P4
P2
7
8 9 10 11 12
11
14
13
10
12
P3
REVI
SIN
89
Solucin ptima, el valor ms grande de Z por tratarse de un problema de
maximizacin:
4*1 =X
4*2 =X
12* =Z
4. Mx. Z = 21 23 XX +
s.a: 21 XX + 20
1X 15
21 3XX + 45
21 53 XX + 60
21 XX = 0
Solucin
2021 =+XX (1)
= 151X Recta paralela al eje 2X
453 21 =+ XX (3)
6053 21 =+ XX (4)
En la ecuacin (1):
S ( )20,0202000 221 ==+= XXX
S ( )0,20202000 112 ==+= XXX
En la ecuacin (3)
S ( )15,01534545345300 22221 ====+= XXXXX
S ( ) ( )0,454545030 112 ==+= XXX
REVI
SIN
90
En la ecuacin (4)
S ( ) ( )12,012560605605030 22221 ====+= XXXXX
S ( ) ( )0,20203
60603600530 11112 ====+= XXXXX
X2 - 3 X1 + 5 X2 60
20 12 15 X1 15 P3 10 P2 X1 + 3 X2 45 5 P1 X1 - 20 5 10 15 20 45 X1 + X2 20
( ) ( ) ( ) 55521535,15 11 =+=ZP
( ) ( ) ( ) 6510215310,15 22 =+=ZP
295
2252
2153
225,
215
33
=
+
=
ZP
El mayor valor de Z es 65, luego la solucin ptima es:
15*1 =X
10*2 =X
Z * = 65
REVI
SIN
91
3.2 MTODO SIMPLEX El mtodo Simplex cuyo autor es GEORGE DANTZING, quien lo desarroll
en 1947, es un algoritmo que, a diferencia del mtodo grfico, sirve para
solucionar problemas de programacin lineal sin tener en cuenta el nmero de
ecuaciones ni el de incgnitas.
El algoritmo es un proceso en el que se repite un procedimiento sistemtico
una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a
cabo el procedimiento sistemtico, se realiza una iteracin.
En consecuencia, el algoritmo Simplex sustituye un problema difcil por una
serie de problemas fciles, mediante un procedimiento para iniciar
(preparacin) y un criterio para determinar cuando detenerse (solucin ptima
o resultado deseado).
La idea general de este mtodo se puede describir como el procedimiento
iterativo que parte del origen y en el que cada iteracin (paso) contiene la
solucin de un sistema de ecuaciones y as seleccionar las variables que
optimicen el valor de la funcin objetivo, obteniendo una nueva solucin a la
que se aplica una prueba de optimalidad.
3.2.1 Procedimiento Simplex Solucionar un modelo de programacin lineal por el mtodo simplex, implica
seguir los siguientes pasos:
REVI
SIN
92
3.2.1.1 Estandarizar el modelo de P. L. (procedimiento inicial) Significa convertir las restricciones funcionales de desigualdad en
restricciones de igualdad equivalente, lo cual se logra adicionando variables
de holgura (Si), una por cada restriccin, para que represente el supervit. La
estandarizacin del modelo de programacin lineal tambin tiene que ver con
la funcin objetivo, por lo que debe agregarse a esta funcin todas las
variables que aparecen como extras en las restricciones. Los coeficientes o
contribuciones de las variables extras que deben aparecer en la funcin
objetivo, tendrn valor de 0, para que no modifiquen o alteren el valor ptimo
de la misma.
3.2.1.2 Construir la tabla caracterstica
Consiste en disponer todos los elementos del modelo ya estandarizado en
forma tabular, as:
Sea el siguiente modelo general de programacin lineal:
Mx = nnXCXCXC +++ ...2211
s.a: 11212111 .... bXAXAXA nn +++
2222221 ... bXAXAXA nnx +++
. . . .
. . . . nnmnmm bXAXAXA +++ ...2221
0iX
ni ,..2,1=
REVI
SIN
93
TABLA CARACTERISTICA SIMPLEX
jC 1C 2C . . . nC
iC VB ib 1X 2X . . . nX i
1C
2C 1X
2X 1b
2b 11a
21a 12a
22a
. . . na1
. . . na2 1
2
nC nX nb 1ma 2ma . . . mna n
jZ 0b 1Z 2Z . . . nZ
jj ZC 11 ZC 22
ZC nn
ZC
Definicin de la simbologa
jC : Contribucin de todas las variables bsicas y no bsicas (coeficientes
de las variables en la funcin objetivo).
VB: Variables bsicas (siempre en la primera tabla sern las variables de
holgura).
iC : Contribucin de las variables bsicas.
ib : Disponibilidad de recursos al comienzo y valor de las variables bsicas
al final o sobrante de recurso.
0b : Valor optimo de Z.
jZ = ==
n
iiibCb
10
==
n
iijij acZ
1
REVI
SIN
94
nj ...2,1=
jj ZC : Parmetro de optimizacin
i : Parmetro de factibilidad (pauta para la variable que sale)
ij
ii a
b=
3.2.1.3 Variable que entra y la que sale (Criterios del Simplex)
1) Multiplique por 1 a ambos lados la restriccin que tenga el signo ,
esto hace que la restriccin cambie a .
2) Determinar la columna y la fila pivote.
Columna (variable entrante)
Si no hay negativos en 1b , se selecciona el mayor de los positivos de
( jj ZC ).
Si hay negativos en ib , se divide la fila ( jj ZC ) por la fila pivote,
seleccionando el mayor valor absoluto de los negativos de : ..
)(2 PF
ZC jj= ,
si todos son negativos; si todos son positivos, se escoge el mayor de ellos y
si hay negativos y positivos, se selecciona el mayor positivo
Fila (variable saliente)
Si hay negativos en ib , seleccione el mayor valor absoluto de esos
negativos.
REVI
SIN
95
Si no hay negativos en 1b , seleccione el menor de los positivos de: ..1 PCbi=
En la interseccin de la variable que entra y la que sale se encuentra la celda
pivote y en ella, el elemento pivote, en cual se necesita la unidad.
3) Una vez se haga el intercambio (entrante saliente), se aplica el
mtodo de eliminacin de GAUSS JORDAN para hacer iteracin
Simplex.
4) Revisar la columna b i , si hay negativos, pase al tem 2), sino, siga
haciendo iteraciones.
5) La solucin es ptima cuando todos los (c j - z j ) 0. (Prueba de
optimalidad o criterio para detenerse).
EJEMPLOS
Resolver los siguientes modelos de programacin lineal por el mtodo
simplex:
1. Mx. Z = 21 2XX +
s.a.: 21 3XX + 8
21 XX + 4
21 XX = 0
Solucin
REVI
SIN
96
a) Estandarizacin:
Mx. Z = 2121 002 SSXX +++
s.a.: 121 3 SXX ++ = 8
++ 21 XX 2S = 4
02121 === SSXX
b) Tabla caracterstica
0 jC 1 2 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S 1
0 1S 8 1 3 1 0 38
0 2S 4 1 1 0 1 4
jZ 0 0 0 0 0
jj ZC 1 2 0 0
Entrante (C.P)
c) Variable que entra y variable que sale:
En la tabla se puede apreciar:
- La solucin no es optima, porque todos los jj ZC no son 0.
- Al no haber negativos en ib , se selecciona para entrar el mayor
positivo de los jj ZC . ( )2X
- Se determin ..PC
bii= y se seleccionar el menor positivo de ellos ( )1S .
Saliente (F.P)
REVI
SIN
97
- En la interseccin de la C.P con la F.P. se encuentra el numero 3 o
elemento PIVOTE. En l hay que hallar la unidad y un cero en la celda
inferior (GAUSS-JORDAN).
1 jC 1 2 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S 1
2 2X 38 31 1 31 0 8
0 2S 34 32 0 - 31 1 2
jZ 316 32 2 32 0
jj ZC 31 0 - 32 0
En esta nueva iteracin se observa:
- La solucin no es ptima, porque todos los jj ZC no son 0 .
- No hay negativos en ib , se seleccion para entrar el mayor de los
positivos de jj ZC . ( )1X
- Se calcul PC
b.1
1= y se escogi el menor positivo de ellos ( )2S .
- En la interseccin de la C.P. con la F.P est el elemento pivote 32 . En
l hay que hallar la unidad y un cero en la celda superior.
VN FF 21 + para obtener la nueva F2
31F para obtener la nueva F1
REVI
SIN
98
2 jC 1 2 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S
2 2X 2 0 1 21 - 21
1 1X 2 1 0 - 21 23
jZ 6 1 2 21 21
jj ZC 0 0 - 21 - 21
En este paso podemos ver que:
- Todos los jj ZC son 0 , luego la solucin es optima (el algoritmo se
detiene)
- La solucin ptima es:
2*1 =X ; 2X = 2 ; 0*1 =S ; 0*2 =S ; 6* =Z
2. Mx. Z = 21 23 XX +
s.a 1X 4
+1X 23X 15
+12X 2X 10
021 =XX
a) Estandarizacin
Max. Z = 32121 00023 SSSXX ++++
s.a: +1X 1S = 4 +1X 23X + 2S = 15 212 XX + + 3S = 10 032121 ==== SSSXX
VN FF 1231 + para obtener la nueva F1
223 F para obtener la nueva F2
REVI
SIN
99
b) Tabla caracterstica
0 jC 3 2 0 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S 1
0 1S 4 1 0 1 0 0 4
0 2S 15 1 3 0 1 0 15
0 3S 10 2 1 0 0 1 5
jZ 0 0 0 0 0 0
jj ZC 3 2 0 0 0
c) Variable entrante y variable saliente
- No hay solucin optima porque todos los jj ZC no son 0 .
- No hay negativos en ib , entonces entra el mayor positivo de los
( )1XZC jj .
- PC
b.1
1= y se selecciona para salir el menor positivo ( )11 S .
1 jC 3 2 0 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S 1
3 1X 4 1 0 1 0 0
0 2S 11 0 3 -1 1 0 11/3
0 3S 2 0 1 -2 0 1 2
jZ 12 3 0 3 0 0
jj ZC 0 2 -3 0 0
-F1 + F2 para obtener la nueva F2
-2F1 + F3 para obtener la nueva F3
-3F3 + F2 para obtener la nueva F2
REVI
SIN
100
En la tabla 1 se aprecia:
- No hay solucin ptima, porque todos los jj ZC no son 0.
- Entra el mayor positivo de los jj ZC , porque no hay negativos en ib .
- Sale el menor positivo de PC
bi.1
=
2 jC 3 2 0 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S 1
3 1X 4 1 0 1 0 0 4
0 2S 5 0 0 5 1 -3 1
2 2X 2 0 1 -2 0 1 -1
jZ 16 3 2 -1 0 2
jj ZC 0 0 1 0 -2
En la tabla 2 observamos que:
- No hay solucin ptima ya que todos los jj ZC no son 0.
- No hay negativos en ib , entonces entra el mayor positivo de los
( )1SZC jj .
- Sale el menor positivo de PC
b.1
1= ( )2S
Luego realizamos el intercambio de la variable entrante por la saliente, as:
-F2N + F1V para obtener la nueva F1
- 52F para obtener la nueva F2
2F2N + F3V para obtener la nueva F3
REVI
SIN
101
3 jC 3 2 0 0 0
iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S
3 1X 3 1 0 1 - 51 53
0 1S 1 0 0 0 51 - 53
2 2X 4 0 1 0 52 - 51
jZ 17 3 2 0 51 57
jj ZC 0 0 0 - 51 - 57
En esta interacin se llega a la solucin ptima, porque, todos los jj ZC 0.
Entonces la solucin ptima es:
3*1 =X ; 4*2 =X ; 1*1 =S ; 0*2 =S ; 0*3 =S ; 17* =Z
Las variables 2S y 3S son ceros porque no aparecen en la columna VB.
3. Mx. Z = 21 210 XX +
s.a :