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Proyectos fin de carrera

Herramienta de visualización de aspectos cohomológicos en imágenes 3D

Computación de Cup-i productos

Page 2: Proyectos fin de carrera

IntroducciónPreliminares:

- Considerable desarrollo en los últimos años.- Aplicación en campos tan dispares como el de los Efectos Especiales y

Diagnóstico de Enfermedades.- Base matemática: Topología. Información sobre la estructura y

comportamiento de las imágenes.- Posibilita diversos procesos sobre ellas:

- Clasificación de objetos- Recuento y etiquetado

- Detección y seguimiento de bordes- Rellenado - Adelgazamiento- Segmentación- ...

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IntroducciónPreliminares:

Aplicación en medicina. - Procesos médicos que obtienen imágenes 3D del cuerpo humano.- Los órganos biológicos varían su forma pero no su topología. Ej: corazón.

Necesidad del estudio matemático de la imagen:- Parámetros topológicos.- Comportamiento y estructura.- Operaciones cohomológicas.

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IntroducciónObjetivos

- Estudio matemático a mano muy lento y costoso.- Necesidad de herramientas de apoyo.

- Dirigido a los investigadores en topología tridimensional.- Ámbito didáctico.

Page 5: Proyectos fin de carrera

IntroducciónDescripción del proyecto

- Método de visualización de aspectos homológicos y cohomológicos en imágenes 3D.- Implementación de productos cup e i-cup.

Flujo de proceso de imágenes:- Creación de la imagen (complejos simpliciales).- Adelgazamiento topológico.- Cálculo de productos cup.- Visualización de resultados.

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Conceptos básicosRelación entre objetos matemáticos y algebraicos

- Objetos reales y objetos matemáticos: necesidad de un paralelismo.

- El concepto básico de q-símplice:

0 – símplice:

1 – símplice:

2 – símplice:

3 – símplice:

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Base MatemáticaRelación con las imágenes

- Definición de la imagen mediante q-símplices

- Descomposición de una pirámide en q-símplices

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Elementos de la representación

Caras de un q-símplice

El Operador Cara

Simplice compartido

Símplice desnudo

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Elementos de la representación (II)-Complejo Simplicial

- Símplice maximal

- Dimensión del Complejo simplicial

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Representación de objetos 3DRepresentaciones clásicas

- Por complejos simpliciales.- Por voxeles:

- División del espacio en unidades cúbicas y regulares.- No permite símplices.

- Tetraédrica:- No divide el espacio en unidades rígidas.- Utiliza una serie de tetraedros definidos por el espacio.- Caso particular de la representación por complejos simpliciales.

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Representación de objetos 3DRepresentaciones clásicas

- Por superficies:- No aporta información sobre el volumen.- Utiliza las superficies que rodean al objeto.- Representación muy habitual.

Page 12: Proyectos fin de carrera

Representación de objetos 3D

Representación híbrida

Descomposición del voxel en tetraedros

Espacio dividido en unidades iguales y regulares (voxel)

Representación por matriz de

voxeles tetraedrizados

Unidades de dibujo: tetraedros y

sub-símplices de ellos

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Representación de objetos 3DNumeración de los vértices del voxel

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Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (1,2,4,6)

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Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (1,4,5,6)

Page 16: Proyectos fin de carrera

Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (1,3,4,5)

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Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (4,5,6,8)

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Representación de objetos 3DEliminación del tetraedro (3,4,5,8)

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Representación de objetos 3DSubdivisión de un voxel. Condiciones de la división:

- Completa: Tetraedros encajan para completar el cubo sin huecos.- Mínima: Menor número de tetraedros. - Normal: Matriz normal.

Intersección de dos tetraedros de la matriz debe ser vacía o un símplice común.

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Representación de objetos 3DPaso a complejo

- Transformación de matriz de voxeles tetraedrizados a representación simplicial.- Conexión con la herramienta de cálculo de operaciones cohomológicas.- Procedimiento:

Por cada voxel, se añaden los símplices que tenga definido al complejo total.

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Adelgazamiento topológicoCaracterísticas

- Se aplica justo después de crear la imagen- Modifica la imagen geométricamente.- Obtiene una versión simplificada al máximo- No altera la topología de la imagen (nº de componentes, agujeros y huecos).- Los resultados cohomológicos no dependen de si la imagen está adelgazada.

Métodos

- Colapsos simpliciales- Tetraedros simples (implementado).

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Adelgazamiento topológicoMétodo por tetraedros simples

- Representación tetraédrica de la imagen de entrada.- Tetraedro simple: Aquel cuya eliminación no altera la topología de la imagen.

Análisis complejo de un tetraedro simple.

Proceso:- Se analizan todos los tetraedros.- Se eliminan aquellos que sean simples.- Múltiples iteraciones.

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Adelgazamiento topológicoAdelgazamiento orientado

- Proceso alternativo al adelgazamiento total.- No analiza todos los tetraedros, sólo los vistos en la dirección del adelgazamiento- Infinitas direcciones de adelgazamiento (parametrización)- Implementadas sólo 6 direcciones.- Efecto paso a paso

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Adelgazamiento topológicoAdelgazamiento orientado. Direcciones implementadas:

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Productos CUPEquivalencia entre espacios topológicos

- Definición del problema- Homeomorfismos- Invariantes: los grupos de cohomología

¿Qué es un Cociclo?- Significado topológico- Estructura

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Productos CUP

El producto CUP- ¿Qué es el producto CUP?

- ¿Qué aporta el producto CUP?

- La implementación algorítmica

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Productos CUPUn ejemplo de distinción de espacios

Paso 1: Identificación de los espacios

Espacio del Toroide (X) Espacio de la Esfera Wedge (Y)

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Productos CUPProducto CUP para el Toro

- Elección de cociclos u y v: representantes de H1(X)

- Ejecución de los productos cup entre u y v:

[u] cup [v]= w representante de H2(X)[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]= -[w]

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Productos CUPProducto CUP para la esfera Wedge

- Elección de cociclos u y v: representantes de H1(X)

- Ejecución de los productos cup entre u y v:

[u] cup [v]= 0[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]=0

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MorfitNecesidad de representar en 3D

- Tratamiento de imágenes 3D- Se necesitan rutinas de dibujo en 3 dimensiones.

Opciones:- Desarrollar todas las rutinas (muy costoso)- Conseguir una librería gratuita (opción escogida)

Librería escogida: Morfit:- Librería gratuita de funciones 3D- Completa

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MorfitMundos

- Unidad espacial de trabajo- Espacio tridimensional sin límite definido- Análogo a un papel para un dibujante.

Sistema de coordenadas

3 ejes cartesianos:- Eje x: transversal.- Eje y: horizontal.- Eje z: vertical.

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MorfitCámaras

- Captan el mundo desde distintas perspectivas.- Influyen en el renderizado.- Renderizado: Representación 2D de un modelo 3D desde un punto de vista.- El renderizado se realiza desde el punto de vista de una cámara.

Permiten simular movimiento:- Asociación de una cámara a un observador.- Moviendo la cámara por el mundo se simula el movimiento del

observador- Útil para ver la imagen desde todos los puntos de vista.

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MorfitObjetos básicos

- Polígonos.- Todos los modelos Morfit están formados por polígonos.- Problemas al representar los objetos geométricos.

Iluminación

- Aumenta el realismo de la representación- Permite apreciar el volumen de los objetos

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MorfitDibujo de los símplices

- Deben hacerse usando sólo polígonos.

Vértices

- Modelo ideal: esfera. Necesita muchos polígonos = ineficiencia.

- Modelo escogido: cubo con centro en el vértice.

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Morfit

Modelo de un vértice

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MorfitSegmento

- Modelo ideal: cilindro con eje coincidente con el segmento. Mismo problema que la esfera.

- Modelo usado: prisma con eje coincidente con el segmento. Presenta un efecto poco estético: unión de dos

segmentos.

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MorfitSegmento

Solución al efecto poco estético:utilización de prismas afilados.- Parte de un prisma normal.- Se afila desde una cierta distancia de los segmentos.- La unión de segmentos queda más suave.

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MorfitTriángulo

- Constituye un polígono por sí mismo.- Puede ser representado directamente por Morfit.

Tetraedro

- Objeto puramente tridimensional, con volumen- Volumen no representable en Morfit- Se representa mediante su superficie = los tetraedros que forma su borde.

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Aplicaciones

EditMatCal-CUP

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Fin de la presentación

Muchas gracias por su interés


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