Problema 1
La potencia de radiacioacuten de un cuerpo negro es de 34 kW Hallar la temperatura de este cuerpo si el aacuterea de su superficie es de
06m2
Datos
Rt = 34∙103W
A = 06 m2
σ = 567∙10-8Wm-2K-4
Solucioacuten
Si Rt es la potencia radiada por toda la superficie del cuerpo entonces la potencia radiada por la unidad de superficie (radiancia) es igual a
Seguacuten la ley de Stefan-Bolttzman
R = σT 4 Por consiguiente
Problema 2
Una laacutemina de color negro se encuentra colocada de manera tal que los haces de luz incidente caen sobre ella perpendicularmente
iquestHasta que temperatura se calienta la laacutemina si en cada minuto caen 2 caloriacuteas por 1cm2 de su superficie
Datos
U = 2 cal = 2∙41869 J = 83738 J
A = 1cm2 = 1∙10-4m2
t = 1min = 60s
σ = 56710-8W m-2K -4
Solucioacuten Consideramos que la laacutemina se comporta como un cuerpo absolutamente negro y que se encuentra en el equilibrio
teacutermico Esto significa que la energiacutea que incide sobre la laacutemina es igual a la energiacutea que ella emite La energiacutea recibida por la laacutemina por unidad de superficie y de tiempo (la radiancia R) es igual a
Sustituyendo R en la foacutermula de Stefan-Boltzman R = σT
4 por su valor numeacuterico obtenido se calcula la temperatura
La temperatura de la laacutemina en grados Celsius es de 123deg (tdegC = T -273 = 396 - 273 = =123degC)
Problema 3 Calcule la temperatura de la superficie del sol si se sabe que en el espectro de radiacioacuten del sol lo corresponde una mayor emisioacuten de energiacutea a la longitud de onda de 47510
-5cm Considere que el sol emite como un cuerpo
negro
Datos λ = 475∙10
-5cm = 475∙10
-7m
b = 289∙10-5
m∙K
Solucioacuten Utilizando la ley de desplazamiento de Wien se calcula la temperatura T
Problema 4
Generalmente se considera que el valor medio de la energiacutea que emite 1 cm2 de la superficie terrestre en un minuto es de 013
caloriacuteas Considerando la Tierra como un cuerpo negro determine la temperatura media de su superficie y la longitud de onda a la
cual corresponde el maacuteximo de la energiacutea que se radia (1 cal = 418 J)
Datos
A = 1 cm2 = 110-4 m2
U = 013 cal = 013418 J = 05434 J
t = 1 min = 60 s
σ = 56710-8Wm-2K-4
b = 289∙10-5 m∙K
Solucioacuten
La radiancia del cuerpo negro es decir la energiacutea que emite en 1 s la unidad de superficie del cuerpo negro se determina por la foacutermula de Stefan-Boltzman
R = σT4 De otro lado
por lo tanto
La longitud de onda a la cual corresponde la radiancia maacutexima se calcula utilizando la ley de Wien
donde b es la constante de Wien
Asiacute pues el maacuteximo del poder emisivo de la superficie terrestre corresponde a la parte de onda larga (infrarroja) del espectro
Hay que aclarar que la Tierra tendriacutea la temperatura media tan baja (200K = -73degC) si faltara la atmoacutesfera La atmoacutesfera absorbe la radiacioacuten de la Tierra y se calienta por eacutesta pero a su vez la atmoacutesfera calentada la emite Una parte de esta radiacioacuten va a la Tierra y se absorbe por
ella originando el calentamiento de la superficie terrestre Por eso la temperatura media real de la Tierra resulta mucho maacutes alta que la calculada anteriormente La atmoacutesfera preserva la superficie terrestre de demasiado enfriamiento crea un efecto invernadero
Problema 5
Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 106K b) 103K Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de
energiacutea emitida
Datos
T1 = 1∙106 K
T2 = 1∙103 K
b = 289∙10 -5m∙K
σ = 567∙10-8W∙m-2∙K-4
Solucioacuten Aplicando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien
se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor maacuteximo para cada temperatura A la temperatura de 1∙106 K corresponde la longitud de onda
y a la temperatura de 1∙103 K corresponde
La mayor cantidad de energiacutea emitida corresponde la longitud de onda de 289∙10-9 m
Problema 6
La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas ldquoenanas blancasrdquo es de 1∙104K iquestEn queacute parte del espectro se encuentra el
maacuteximo de su radiacioacuten
Datos
T = 1∙104K
Solucioacuten Utilizando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien se calcula la longitud de onda λmaacutex que corresponde a la temperatura de 104K
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro
Las ldquoenanas blancasrdquo son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al 1 del radio del Sol Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman friacuteas
Problema 7
Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 192 caloriacuteas de energiacutea teacutermica por minuto Encuentre cuaacutel es la temperatura de la
superficie del sol bajo la suposicioacuten que eacuteste radia como un cuerpo negro La distancia entre el sol y la tierra es 151011m y su radio
es de 696∙108 m
Datos
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2
t = 1 min = 60 s
U = 192 cal = 8064 J
s = 15∙1011 m
Rsol = 696∙108 m
σ = 567∙10-8 W∙m-2∙K-4
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Problema 2
Una laacutemina de color negro se encuentra colocada de manera tal que los haces de luz incidente caen sobre ella perpendicularmente
iquestHasta que temperatura se calienta la laacutemina si en cada minuto caen 2 caloriacuteas por 1cm2 de su superficie
Datos
U = 2 cal = 2∙41869 J = 83738 J
A = 1cm2 = 1∙10-4m2
t = 1min = 60s
σ = 56710-8W m-2K -4
Solucioacuten Consideramos que la laacutemina se comporta como un cuerpo absolutamente negro y que se encuentra en el equilibrio
teacutermico Esto significa que la energiacutea que incide sobre la laacutemina es igual a la energiacutea que ella emite La energiacutea recibida por la laacutemina por unidad de superficie y de tiempo (la radiancia R) es igual a
Sustituyendo R en la foacutermula de Stefan-Boltzman R = σT
4 por su valor numeacuterico obtenido se calcula la temperatura
La temperatura de la laacutemina en grados Celsius es de 123deg (tdegC = T -273 = 396 - 273 = =123degC)
Problema 3 Calcule la temperatura de la superficie del sol si se sabe que en el espectro de radiacioacuten del sol lo corresponde una mayor emisioacuten de energiacutea a la longitud de onda de 47510
-5cm Considere que el sol emite como un cuerpo
negro
Datos λ = 475∙10
-5cm = 475∙10
-7m
b = 289∙10-5
m∙K
Solucioacuten Utilizando la ley de desplazamiento de Wien se calcula la temperatura T
Problema 4
Generalmente se considera que el valor medio de la energiacutea que emite 1 cm2 de la superficie terrestre en un minuto es de 013
caloriacuteas Considerando la Tierra como un cuerpo negro determine la temperatura media de su superficie y la longitud de onda a la
cual corresponde el maacuteximo de la energiacutea que se radia (1 cal = 418 J)
Datos
A = 1 cm2 = 110-4 m2
U = 013 cal = 013418 J = 05434 J
t = 1 min = 60 s
σ = 56710-8Wm-2K-4
b = 289∙10-5 m∙K
Solucioacuten
La radiancia del cuerpo negro es decir la energiacutea que emite en 1 s la unidad de superficie del cuerpo negro se determina por la foacutermula de Stefan-Boltzman
R = σT4 De otro lado
por lo tanto
La longitud de onda a la cual corresponde la radiancia maacutexima se calcula utilizando la ley de Wien
donde b es la constante de Wien
Asiacute pues el maacuteximo del poder emisivo de la superficie terrestre corresponde a la parte de onda larga (infrarroja) del espectro
Hay que aclarar que la Tierra tendriacutea la temperatura media tan baja (200K = -73degC) si faltara la atmoacutesfera La atmoacutesfera absorbe la radiacioacuten de la Tierra y se calienta por eacutesta pero a su vez la atmoacutesfera calentada la emite Una parte de esta radiacioacuten va a la Tierra y se absorbe por
ella originando el calentamiento de la superficie terrestre Por eso la temperatura media real de la Tierra resulta mucho maacutes alta que la calculada anteriormente La atmoacutesfera preserva la superficie terrestre de demasiado enfriamiento crea un efecto invernadero
Problema 5
Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 106K b) 103K Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de
energiacutea emitida
Datos
T1 = 1∙106 K
T2 = 1∙103 K
b = 289∙10 -5m∙K
σ = 567∙10-8W∙m-2∙K-4
Solucioacuten Aplicando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien
se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor maacuteximo para cada temperatura A la temperatura de 1∙106 K corresponde la longitud de onda
y a la temperatura de 1∙103 K corresponde
La mayor cantidad de energiacutea emitida corresponde la longitud de onda de 289∙10-9 m
Problema 6
La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas ldquoenanas blancasrdquo es de 1∙104K iquestEn queacute parte del espectro se encuentra el
maacuteximo de su radiacioacuten
Datos
T = 1∙104K
Solucioacuten Utilizando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien se calcula la longitud de onda λmaacutex que corresponde a la temperatura de 104K
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro
Las ldquoenanas blancasrdquo son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al 1 del radio del Sol Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman friacuteas
Problema 7
Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 192 caloriacuteas de energiacutea teacutermica por minuto Encuentre cuaacutel es la temperatura de la
superficie del sol bajo la suposicioacuten que eacuteste radia como un cuerpo negro La distancia entre el sol y la tierra es 151011m y su radio
es de 696∙108 m
Datos
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2
t = 1 min = 60 s
U = 192 cal = 8064 J
s = 15∙1011 m
Rsol = 696∙108 m
σ = 567∙10-8 W∙m-2∙K-4
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Problema 3 Calcule la temperatura de la superficie del sol si se sabe que en el espectro de radiacioacuten del sol lo corresponde una mayor emisioacuten de energiacutea a la longitud de onda de 47510
-5cm Considere que el sol emite como un cuerpo
negro
Datos λ = 475∙10
-5cm = 475∙10
-7m
b = 289∙10-5
m∙K
Solucioacuten Utilizando la ley de desplazamiento de Wien se calcula la temperatura T
Problema 4
Generalmente se considera que el valor medio de la energiacutea que emite 1 cm2 de la superficie terrestre en un minuto es de 013
caloriacuteas Considerando la Tierra como un cuerpo negro determine la temperatura media de su superficie y la longitud de onda a la
cual corresponde el maacuteximo de la energiacutea que se radia (1 cal = 418 J)
Datos
A = 1 cm2 = 110-4 m2
U = 013 cal = 013418 J = 05434 J
t = 1 min = 60 s
σ = 56710-8Wm-2K-4
b = 289∙10-5 m∙K
Solucioacuten
La radiancia del cuerpo negro es decir la energiacutea que emite en 1 s la unidad de superficie del cuerpo negro se determina por la foacutermula de Stefan-Boltzman
R = σT4 De otro lado
por lo tanto
La longitud de onda a la cual corresponde la radiancia maacutexima se calcula utilizando la ley de Wien
donde b es la constante de Wien
Asiacute pues el maacuteximo del poder emisivo de la superficie terrestre corresponde a la parte de onda larga (infrarroja) del espectro
Hay que aclarar que la Tierra tendriacutea la temperatura media tan baja (200K = -73degC) si faltara la atmoacutesfera La atmoacutesfera absorbe la radiacioacuten de la Tierra y se calienta por eacutesta pero a su vez la atmoacutesfera calentada la emite Una parte de esta radiacioacuten va a la Tierra y se absorbe por
ella originando el calentamiento de la superficie terrestre Por eso la temperatura media real de la Tierra resulta mucho maacutes alta que la calculada anteriormente La atmoacutesfera preserva la superficie terrestre de demasiado enfriamiento crea un efecto invernadero
Problema 5
Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 106K b) 103K Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de
energiacutea emitida
Datos
T1 = 1∙106 K
T2 = 1∙103 K
b = 289∙10 -5m∙K
σ = 567∙10-8W∙m-2∙K-4
Solucioacuten Aplicando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien
se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor maacuteximo para cada temperatura A la temperatura de 1∙106 K corresponde la longitud de onda
y a la temperatura de 1∙103 K corresponde
La mayor cantidad de energiacutea emitida corresponde la longitud de onda de 289∙10-9 m
Problema 6
La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas ldquoenanas blancasrdquo es de 1∙104K iquestEn queacute parte del espectro se encuentra el
maacuteximo de su radiacioacuten
Datos
T = 1∙104K
Solucioacuten Utilizando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien se calcula la longitud de onda λmaacutex que corresponde a la temperatura de 104K
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro
Las ldquoenanas blancasrdquo son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al 1 del radio del Sol Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman friacuteas
Problema 7
Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 192 caloriacuteas de energiacutea teacutermica por minuto Encuentre cuaacutel es la temperatura de la
superficie del sol bajo la suposicioacuten que eacuteste radia como un cuerpo negro La distancia entre el sol y la tierra es 151011m y su radio
es de 696∙108 m
Datos
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2
t = 1 min = 60 s
U = 192 cal = 8064 J
s = 15∙1011 m
Rsol = 696∙108 m
σ = 567∙10-8 W∙m-2∙K-4
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Solucioacuten
La radiancia del cuerpo negro es decir la energiacutea que emite en 1 s la unidad de superficie del cuerpo negro se determina por la foacutermula de Stefan-Boltzman
R = σT4 De otro lado
por lo tanto
La longitud de onda a la cual corresponde la radiancia maacutexima se calcula utilizando la ley de Wien
donde b es la constante de Wien
Asiacute pues el maacuteximo del poder emisivo de la superficie terrestre corresponde a la parte de onda larga (infrarroja) del espectro
Hay que aclarar que la Tierra tendriacutea la temperatura media tan baja (200K = -73degC) si faltara la atmoacutesfera La atmoacutesfera absorbe la radiacioacuten de la Tierra y se calienta por eacutesta pero a su vez la atmoacutesfera calentada la emite Una parte de esta radiacioacuten va a la Tierra y se absorbe por
ella originando el calentamiento de la superficie terrestre Por eso la temperatura media real de la Tierra resulta mucho maacutes alta que la calculada anteriormente La atmoacutesfera preserva la superficie terrestre de demasiado enfriamiento crea un efecto invernadero
Problema 5
Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 106K b) 103K Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de
energiacutea emitida
Datos
T1 = 1∙106 K
T2 = 1∙103 K
b = 289∙10 -5m∙K
σ = 567∙10-8W∙m-2∙K-4
Solucioacuten Aplicando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien
se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor maacuteximo para cada temperatura A la temperatura de 1∙106 K corresponde la longitud de onda
y a la temperatura de 1∙103 K corresponde
La mayor cantidad de energiacutea emitida corresponde la longitud de onda de 289∙10-9 m
Problema 6
La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas ldquoenanas blancasrdquo es de 1∙104K iquestEn queacute parte del espectro se encuentra el
maacuteximo de su radiacioacuten
Datos
T = 1∙104K
Solucioacuten Utilizando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien se calcula la longitud de onda λmaacutex que corresponde a la temperatura de 104K
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro
Las ldquoenanas blancasrdquo son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al 1 del radio del Sol Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman friacuteas
Problema 7
Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 192 caloriacuteas de energiacutea teacutermica por minuto Encuentre cuaacutel es la temperatura de la
superficie del sol bajo la suposicioacuten que eacuteste radia como un cuerpo negro La distancia entre el sol y la tierra es 151011m y su radio
es de 696∙108 m
Datos
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2
t = 1 min = 60 s
U = 192 cal = 8064 J
s = 15∙1011 m
Rsol = 696∙108 m
σ = 567∙10-8 W∙m-2∙K-4
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Problema 5
Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 106K b) 103K Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de
energiacutea emitida
Datos
T1 = 1∙106 K
T2 = 1∙103 K
b = 289∙10 -5m∙K
σ = 567∙10-8W∙m-2∙K-4
Solucioacuten Aplicando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien
se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor maacuteximo para cada temperatura A la temperatura de 1∙106 K corresponde la longitud de onda
y a la temperatura de 1∙103 K corresponde
La mayor cantidad de energiacutea emitida corresponde la longitud de onda de 289∙10-9 m
Problema 6
La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas ldquoenanas blancasrdquo es de 1∙104K iquestEn queacute parte del espectro se encuentra el
maacuteximo de su radiacioacuten
Datos
T = 1∙104K
Solucioacuten Utilizando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien se calcula la longitud de onda λmaacutex que corresponde a la temperatura de 104K
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro
Las ldquoenanas blancasrdquo son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al 1 del radio del Sol Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman friacuteas
Problema 7
Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 192 caloriacuteas de energiacutea teacutermica por minuto Encuentre cuaacutel es la temperatura de la
superficie del sol bajo la suposicioacuten que eacuteste radia como un cuerpo negro La distancia entre el sol y la tierra es 151011m y su radio
es de 696∙108 m
Datos
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2
t = 1 min = 60 s
U = 192 cal = 8064 J
s = 15∙1011 m
Rsol = 696∙108 m
σ = 567∙10-8 W∙m-2∙K-4
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Problema 6
La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas ldquoenanas blancasrdquo es de 1∙104K iquestEn queacute parte del espectro se encuentra el
maacuteximo de su radiacioacuten
Datos
T = 1∙104K
Solucioacuten Utilizando la foacutermula de la ley de desplazamiento de Wien se calcula la longitud de onda λmaacutex que corresponde a la temperatura de 104K
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro
Las ldquoenanas blancasrdquo son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio es aproximadamente igual al 1 del radio del Sol Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman friacuteas
Problema 7
Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 192 caloriacuteas de energiacutea teacutermica por minuto Encuentre cuaacutel es la temperatura de la
superficie del sol bajo la suposicioacuten que eacuteste radia como un cuerpo negro La distancia entre el sol y la tierra es 151011m y su radio
es de 696∙108 m
Datos
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2
t = 1 min = 60 s
U = 192 cal = 8064 J
s = 15∙1011 m
Rsol = 696∙108 m
σ = 567∙10-8 W∙m-2∙K-4
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Solucioacuten
La energiacutea irradiada por toda la superficie del sol US = (4πRsol
2)RS (1)
donde (4πRsol 2) es el aacuterea de la superficie del sol RS la radiancia del sol
La energiacutea que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado seguacuten los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la foacutermula (2) por la expresioacuten (1) obtenemos
(4) Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energiacutea emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo ( la radiancia) es igual a
RS = σT4
Poniendo la uacuteltima expresioacuten en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3) se obtiene
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Problema 8
Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K Como resultado de enfriamiento de este cuerpo la longitud de onda
correspondiente a la radiancia espectral maacutexima sufrioacute una variacioacuten de 9 nm iquestHasta queacute temperatura se enfrioacute el cuerpo
Datos
T1 = 2900 K
Δλ = 9 nm = 9∙10-9 m
b = 289∙10-5 K∙m
Solucioacuten
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = const En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2 lt T1) por lo que la longitud de
onda λmaacutex aumenta (ver la figura) Pues entonces
Como λmaacutexT = const entonces se puede escribir
(1)
Seguacuten la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Sustituyendo λ1maacutex en la expresioacuten (1) se obtiene
Poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la temperatura T2
Problema 9
Un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 02 mm se calienta con corriente eleacutectrica hasta una temperatura de 3000 K Calcule que
tiempo demoraraacute en enfriarse despueacutes de apagarse (desconectarse) hasta una temperatura de 800 K Considere que el filamento
emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energiacutea del medio que le rodea Desprecie cualquier efecto que produzca la
perdida de su energiacutea La densidad del filamento es 19 gcm3 y el calor especiacutefico es 0037 cal(gK) (1 cal = 41868J)
Datos
d = 02mm = 2∙10-4 m
T1 = 3∙103 K
T2 =8∙102 K
ρ = 19 gcm3 = 19∙103 kgm3
c = 0037 cal(g∙K) = 1549 J(kg∙K)
σ = 567∙10-8 W(m 2 ∙ K4)
Solucioacuten Si A es el aacuterea de la superficie del filamento y R es la energiacutea emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia)
entonces la energiacutea U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA
El aacuterea de la superficie del filamento A = (πd)l donde l es la longitud del filamento Seguacuten la ley de Stefan-Boltzman R = σT4 Por lo tanto
U = σT4(πd)l (1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energiacutea
Udt = - mcdT donde m es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento
Sustituyendo U por la expresioacuten (1) se obtiene σT4(πd )ldt = - mcdT
Integrando la uacuteltima expresioacuten tenemos
(2)
La masa del filamento m = Vρ donde V es su volumen
Sustituyendo m en la expresioacuten (2) obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se obtiene
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
El filamento se enfriacutee raacutepidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4
Problema 10
Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metaacutelico cuyo diaacutemetro es 01
mm que se encuentra en una bombilla al vaciacuteo para que su temperatura sea de 2500
K Considere que el filamento emite como un cuerpo negro Desprecie las peacuterdidas de energiacutea por conduccioacuten La
resistividad del filamento es de 25∙10-4 Ω∙cm
Datos d = 01 mm = 1∙10-4 m T = 2500 K
ρ = 25∙10-4 Ωcm = 25∙10-6 Ωm σ = 567∙10-8 W∙ m-2∙K-4
Solucioacuten Considerando el filamento como un cuerpo negro y utilizando la foacutermula de Stefan-Boltzman se calcula la potencia emitida por el filamento
por unidad de superficie (la radiancia) R = σT4
La potencia total emitida por toda la superficie del filamento Wtot = RA1 = σT 4A1 donde A1 = (2πr)l =(πd)l es el aacuterea de la superficie del filamento consideraacutendolo como un cilindro cuyo diaacutemetro es d y largo es l
Wtot = σT 4(πd)l
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
La potencia disipada en el filamento al paso de la corriente eleacutectrica I
W = rI 2 donde r es la resistencia del filamento
y A2 = πd2 4 es el aacuterea transversal del filamento
En el filamento la energiacutea eleacutectrica se transforma en la energiacutea de radiacioacuten teacutermica (W = Wtot) o sea
Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos del problema se calcula la intensidad de la corriente
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Problema 11
iquestCuaacutel es la potencia radiada por un alambre de nicromel de 10 m de longitud que tiene un diaacutemetro de 015 cm a una temperatura
de 727deg C si su emisividad es de 092
Datos
l = 1 m
d = 015cm = 01910-2 m
t = 727degC T = 727 + 273 = 1000 K
e = 092
Solucioacuten La potencia radiada por toda la superficie del cuerpo es
Rt = RA donde R es la potencia emitida por unidad de superficie A el aacuterea de la superficie del alambre
Para el cuerpo que no es cuerpo negro la radiancia se calcula por la foacutermula R = eσT4
Por consiguiente Rt = eσT4 πdl Rectificando las unidades y poniendo los valores numeacutericos se obtiene
[Rt ] = W∙m-2 ∙K-4∙K 4∙m∙m = W
Rt = 092∙ 567∙10-8∙(103)4∙314∙015∙10-2∙1 = 24569(W)
Problema 12
A partir de la foacutermula de Planck para la radiancia espectral encontrar
a) la ley de Stefan-Boltzman
b) la ley de desplazamiento de Wien
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Solucioacuten
a) Planck descubrioacute la forma de la funcioacuten Rλ = f (λ T)
(1) donde C1 y C2 son constantes C1= 2πc2h y C2 = hck k = 13806610-23JK es la constante de Boltzman c = 29979108ms la velocidad de la luz y h = 662617610-34Js la constante de Planck
Esta foacutermula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente como casos particulares la ley termodinaacutemica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien
La radiancia R (es decir la cantidad total de energiacutea radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiacioacuten emitida en todos los intervalos de longitud de onda
(2)
donde Rλ es la radiancia espectral Si la distribucioacuten de la energiacutea entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias en lugar de Rλ hay que
tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias Entonces Rλdλ = Rνdν (3)
y la expresioacuten (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = cν donde c es la velocidad de la luz en el vaciacuteo dλ= cν-2dν y poniendo este valor en (3) obtenemos
Sustituyendo en la foacutermula (1) λ por cν (λ = cν) la foacutermula de Planck se transforma en la siguiente expresioacuten
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
y por consiguiente
(5) Poniendo la expresioacuten (5) en (4) se obtiene la energiacutea total emitida por el cuerpo
Utilicemos el meacutetodo de integracioacuten por sustitucioacuten Podemos introducir una nueva variable
Entonces
donde
Por lo tanto
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones se obtiene
donde
b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien utilizando la foacutermula de Planck es necesario encontrar analiacuteticamente la expresioacuten de la posicioacuten del maacuteximo en la curva que responda a la distribucioacuten de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmaacutex para el cual la funcioacuten Rλ = f(λT) para la temperatura constante tiene su valor maacuteximo por lo que debe
cumplirse la condicioacuten
Sacando factor comuacuten se obtiene
De aquiacute tenemos
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const
Realizando el cambio de variable
(1)
tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador comparando con ex entonces ya tenemos una primera solucioacuten aproximada para x
Tomando este valor como punto de partida podemos encontrar el valor real de x Por ejemplo utilizando el meacutetodo de aproximaciones sucesivas obtendremos x1 = 4965
Sustituyendo x en la expresioacuten (1) por el valor numeacuterico encontrado de x1 se obtiene
donde C25 = b que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien Calculando b se obtiene su valor numeacuterico
Es evidente que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numeacuterico de x ya que λT = C2x = const