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Eplogo:el realismo sociolgico
A SE SUPONE EL co.ssrwcrMsM0 SOCIAL SOCAVALA VER-S' la sc construye socialmente. no existen ni la ob'etivid*d ni la rea-Yoniego tal conclusin. El constructivismo social es el realismo soci016gi,
y d realismosociolgico lleva consigo todo un amplio espectro de consecuenciasrealistas.
EL COGITO SOCIOLGICO
Tradicionalmente,el argumento filosficamente mspoderoso es aquel que sefundamenta
a s mismo, verdadero en sclmiStttO,
cogito,
sin apelar a la observacinirrefutables
emPil-
-rica.Elargumentoclsico dc este tipo,
busca verdadestrando lasafirmaciones a travs de el bao ctdo dc la duda. Estoy
pensando esirrefutable
porque no estoy pensando nos muestra, no obstante, a nosotrosmismos
pensando.La conclusin habitual del cogito es la existencia del yo. No es sta la va de
argumentacinms til. El yo que se demuestra es
ambiguo, slo temporalmente
concebible
e insustancial. Pensemos qu otras cosas se demuestran con el cogito.Enprimer lugar,que el tiempo existe. budar de eso (el tiempo no existe) supone
realizar
una afirmacin en el tiempo. Elpensamiento consciente se sita en esetejado a dos aguas que es elpresente, en el que imperceptiblemente se funden el
pasadoy el futuro.En segundo lugar, el pensamiento existe. Esepensamiento irrefutablemente
probadoseproduce dentro del lenguaje. Constituye un tipo de conversacin, yo
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00.000
mismo que me digo algo a m mismo.' El cogito desvela a un hablanteyaunaaudiencia, La negacin lo prueba. Pensarpara uno mismo hay nadie
quehable.es algo que emite un hablante. No existe una audienciapara este
enunciado.
esalgo que recibe una audiencia. Elpensamiento tiene forma socialAn no hemos probado la existencia de otras personas. Tambinesoesta
dadoen elpensamiento verbal. El lenguaje seproduce enpalabrasque
conllevan
unsignificado y siguen una que es en rned)da ineludiblesi losenun-
ciados han de tener sentido. Yo 00 invento mgpropio lenguaje.Mipensamientodepende de formas que me llegado
listas.procedentes de msalldelmo-mento presente la conciencia. Las
restricciones al del lenguaje,
juntoconsu ca para comunicar significad', implican la existencia de
serescomu-nicanvos mas all de mi propio yo. Negar que existanotraspersonassentido espesico-
es negarla comunicabilidad y la objetividui, lasignificEitgde hecho, de laspropias
frases.La de las demas personas tambin puede derivarse dc otro del
lenguaie dentro Jel
pensamos, LaspalAbras son cn gran medidaLos conceptos (excepto los decticos)
trascieodcn los particulares.referirnos un obicto o una cual$dsd como algo
que reapareceea cldgtintos En soa algo
generalizado. Apliqumosles
la
= dela tos UtttVCtukS00 existen cs un afirmacin que utiliza univeruks Pao
un cooccpto genctal implica un PUtttOde vita
generalizado. Una pcqucacia fragmctttaru. tctttrotal. de La
conctcneia nopuede referirse unacia como un arbol. sigutcta como otra vet
escrbol'. DCIXconciencia que intpltgue tanto utu continuidad como una generalidad.
CJnouedc mi C*PcttctXU P*ttxulat y cfimcta dar origen a la ideade los
bebea llegarme dcl exterior.La
existcncu dc los UttiVctsalcS
implica la existencia dc la Uncepto conlleva utu postura social: no
mcramcnte la de al$uoaotra saoel punto de vista abtctto y universalizador de unapluralidad
de otras
Exactamente cuntas otraspersonas estn implicadasno csalgodado.Soanisdc
dos. De hecho, cuntas
personas comprenda tiene que scr algoexplcitamentetnespeciftcado, ya que los conceptos implican su significacinparacualesquiera
y
cada una de las posturas pctsonalcs cn absoluto. LOS
conceptosquecruzan
la
mente de uno son ms quc cfimeros, yposeen una significacin
queestall y por encima dc mi motttcntOparticular dcpensamiento. La
generalidad la
perspectiva pertenece al ncleo dc nucstra capacidad depensar,y talgeneralidad
tmplica unpunto de vista social omnipresente. colectivo.En tercer lugar, el espacio existe, Aunque el espacio no es uno de
loselemen-
tos
primordialmente dados cn el cogito soctol 'co, scpuedeSi
existen otras personas que no son idnticas unas a las otras en su
ridad, deben
de existir la una fuera dc la otra. Dicha existenciaexteriornopuede
serlo slo en el tiempo, ya que el tiempo cs una nica dimensinquenodeja
pacio a la
pluralidad simultnea. Debe de existir alguna otradimensinenlaque
exista la multiplicidad de yos, y podemos denominar a tal dimensin
I. Hay otros tipos depensamiento, comoja visual,pero no son Los
pensamiento en enunciados verbales el queproduce enunciados irrefutablemente2. Lo que no demuestra este
argumento es que el espacio tenga quedimens.
diversos nmeros de dimensiones con que se conjetura en fsicas
como lateorapatibles hasta aqu con el argumento expuestov
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Tenemosahora la existencia del mundo espacio-tem corno una realidadfirme.Esel
mundo material de los objetos inexorables e la experiencia ordina-ria,externamenteresistentes el uno al otro. Uno de esos
objetos, el ms cierto deellos,es elpropio cuerpo. Existe unapluralidad de yoes, externos el uno
alotro en el espacio.Hay divtsiones entre
yo y ellos. Esabarrera, tal y como se laexpenmcnta
interiormente, es mi cuerpo. Otro argumento a los mismos efectos(cortesa
de Maine de Biran): siento la resistencia a mi voluntad; tal resistencia esmatertalidad
de laexistenciaespaciotemporal, que salea mi encuentro, enprimerlugar,
como lapresencia de mi propio cuerpo.Aspues el cogito scxiolgisonos aporta seguridad sobre diversos elementos
delarealidad:el
pensamiento, el lenguaje, las otraspersonas, el tiempo y el espa-cto,loscuerpos materiales. Eso no quiere decir que
no existan ilusiones, o que no
p.iamos cometer errores respecto a cosaspaniculares de este tipo. Pero
las ilu-perceptivas otros errores pueden descubrirse y rectificarse a la manerausual.Esposible que sepresenten errores en un marco hecho de letuaie social,Jc txmpo v de espacio que esopon a en cuestin la realidad de dtcho marco.Eso
sepuededemostrar con el mtodo la duda cartesiana. Decir -eso no es unasino un maniqu (o un ordenador) es afirmar, no obstante, que
el coa su
base etctera. Laposibilidad de que estsoandoetectUotales afirmaciones se
formula, no obstante, en frases, con lascoasccucnex.xs:
tanto estoy sonando en este momentoparticular como
no. cl y ualtttcntc.'Parece
nos hemos salido dc los ftmitcs dc la argumentacin estrictamentepnorv Mss rcspto lo que queda
ms all de la duda, IOquesu propu rciutxin. nos han llevado a afirmar la existencia del
reino deempinca. Parecetncviublc. La distincin entre elpensamiento
conceptual y la cxpctictxia emprica no es absoluta y, de hecho, dlconcretarla
coaprecisin. Especialmente cuando alguien enuncia una visin
partxular de la experiencia del pensar. El proceder de la duda cartesiana es un
pego metodolgico. Lo usamos para la argumentacin, y le concedemos a nuestrotrnaginario
oponente escptico las mximas concesiones para demostrar qu es loquepuede
determinarse con el mayor nivel dc certeza. Peirce sostena que ladudacartesianacs imposible, ya
que de hecho uno nunca duda realmente detodo, sino que tan slo concentra
un rayo de duda que apunta a ciertos puntosespecficos.
Peirce quera decir que cl filsofo cartesianoya est inmerso en lacorriente del
lenguaje. Yo he extrado las consecuencias sociolgicas realistasde esa
implicacin.V
ayamosahora ms all dcl cogito
metodolgico. Hay un segundoprincipio
metodolgico quepuede servirnos dc gua: siempre estamos in media res, en me-dio de cosas.
Siempre nos encontramos en medio dcl tiempo, del espacio, del dis-curso, de otras
personas. In media res significa que nuestropensar siempre vaprecedido de
otro pensar, tanto propio como dc otraspersonas. All donde este-mos,estamos
siempre en un terreno desde el cual el espacio se extiende haciaunhorizonte
indefinido. In media res es una experienciaprimordial, antes de que
3. Ycomo elpensamiento depende del significado de los conceptos, es imposible formular lano-cindel sueo
si stano est encastada cn
un discurso que distingue el sueo de la experienciade la
vigilia.
El sueo nopodra existir si no existiera cl no-suco.
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se EPILOGO
comencemos a tantear enbusca deprecisin. La historia de la filosofa, y de lasmatematicas.,est llena de losproblemas profundos que surgen en la
bsquda de
fronterasprecisas y limites exteriores. Plantean dificultades lo
infinitesamal
y loinfinito del tiempo y el espacio y, conceptualmente. los fundamentos, elprunerprincipio y el
argumento ltimo. Losproblemas aparecenporque tambinesa,formulacionessurgen Pt res.
In medu res
puede interpretarse como una observacin emprica.sin embargo, a un elevado orden de generalidad, ya que no
parece que existancepetones. In res tambinparece formar parte de un marco conceptual ine.ludible, un terreno en l se funden lo emprico
y Io conceptual.'Consideremos. pues, desde el lado emprico cl argumento quebe venido for-
mulando hasta
ahora a del realismo sociolgico. dnde saco las ideasde los para construir esta argumentacin sobre el cogitoso-etologwo
de los captulosprecedentes de este libro, y de lasobcxs v de las
redes de filsofos y socilogos que han consti-tuido sus ttutcrlcs. No me he colado dentro de una estufa. como Descartes, y beresuelto e dudar de todo para descubrir
despoe, es-pontaneamcntc. quc nopuedo dudas dc que Picoso en un lenguaje
social. Hecotxgtrutdo mt argumctttXtn mcdunte la X'tmtlacin de argumentos de las reda
intelectuales tet'tSOOtamus has generaciones atrs. Serala dc hntrcas. no
solo como ideas que se desplieganen cl ttcmpovuno tambectt como Jc humanos
reales quc vivca en unespaco
matcruL Como mc tomo con scncdd mipropio argumento, tengo queccpur que estoypensando una
cottvctuon interna que intentauna coalxioa depublKo tntclectualc. y que las enctgas emocionales quemi escrttuta
ptocdcn dc moproptx capcncncias cn las tedcs intelectualesreabdd
tnmcdtata dc mgpropu acttvtdsd tmplica la realidad del mundo msampbodel discurso,la y
corporal.Y no algunapara
ntnguna frontera ida respecto aqu realidades dcftcnde esa dmiun. NOpuedo ncgat la realidad las redes
telectuales.y no puedo encontrar algunarara suponcr que esas redes hanexistido
solas. como un fino hilo de existencia histrica quc se dcsliza hacia atrspor los siglos, stn un mundo social y tttAtcriAl
ms amplio quc lo envuelva.La teora socialconstructivista de la vida
intelectual, Icios dc ser antirrealista,nos ofrece toda unaprofusin de realidAdcs,Existen las rcdcs sociales, y tambinsus bases
materiales, las iglesias escuclasy lospblicos y lospatrones que lashan alimentado y
las han arropado, igualque losproccsos econmicos, polticosy geopolticos que
constituyeron su esfera dc causalidad cxtcrna.Todas esas capasde sucesivos contcxtos de la mcntc de los filsofos nopresentan unos lmites
biendefinidos.No existe un criterio para dctenersc arbitrariamente, para declarar queadmito que existe la realidad social, pero no
cl mundo dc la naturaleza material.Es todo unapieza nica, todo est en el continuo in media res.Las conclusiones a que llegamos siguiendo la va emprica de in media res re-fuerzan las conclusiones a
priori del cogito sociolgico. En ambas direcciones, elconstructivismo sociolgico lleva al
realismo sociolgico.Casi nadie duda, de hecho,de la realidad del
mundo de laexperiencia ordinaria.Es tan slo dentro de las redes intelectuales especializadas
donde se haplanteado
4. In media res supera la prueba de la duda cartesiana.Negar m media res sigue siendo afirmar uncaso de ello en la accin misma de negar.
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lacuestiondc si esa realidadbanalpuede probarse con unos estndares de argu-mentacion
elevados,e incluso los intelectuales, cuando no se encuentran deservicio,vuelven a
asumir la realidad dcl mundo espacio-temporal ordinario. El
realismosoci010icomuestra que,defenderinclusocldentrorealismo
debanal.la luchaNointelectualse sigue queen susepunto titas retlcxvvo, es posible
puedan
defendertambin todos los tipos de realidadontolgica. Hay diversos tiposde realistttov antirrealtstno.
Veamos ahora qu implica el realismo sociolgicorespecto algunos de esos dOtttintos no ordinarios.
Elrealtntosociologico las realidades mentales y fsicas del tiempo y elde ditncnstones hUtttan.XS.
Losproblctnas surgen cuando sc realizan afir-sobre realidades que estn
ms all del mundo de dimensiones huma-Entre estXS
se cuentan: los objetos de la ciencia, en la medida en que se trata
dc entidadeso estructuras que no se observan con el ojo desnudo o
sobre las quenose con los ttnettlbros necesidad de ayuda alguna; los conceptos
de lasmatemativas; realidad conceptual o abstracta en s misma: ideas y, es ente,uatversales;la mente. tomada "OtttO
una entidad o sustancia. Se optado todaura dc posturas respecto todas esas cosas, tanto para negar su realidadcomo queposeen una realidad superior a la
de la expencncia ordi-posturas. que niegan o tras'ictden la realidad banal, las han producido
tntctcctualcs. cusas luchas por innovar cn su espacio argumentativodc ha tmpuludo
rcpctidatncnte ms all del mundo de dimensiones
LAS MATEMTICAScosto OPERACIONES COMUNICATIVAS
Las matemticas son un discurso social. Es un hecho includiblc si examina-mos directamente lo dado. Aqu tcnemos un argumento matemtico de escasa
complepdd tcntca:
La secuenciade enunciados cs vetdAdcra,y significativa,para m slo porques lo que significan los signos y conozco los
proccdimicntos vlidos para mani-pularlospara quc la ecuacin (t) se
convicrta cn la ecuacin (2), Los smbolos,como cualquier otra forma dc discurso, implican
comunicacin. Este modestoenunciado de abstraccin matemtica implica ue yo he estado en contacto con
una red deprofesores, a muchos eslabones, sin
auda, dc quienes crearon esas ma-temticas. Consideremos ahora un ejemplo
pcrtcnccicntc a un nivel superior deabstraccin (Kline, 1972: t 128):
Si es un componente de un tensor covariante de rango 2, entonces su deri-vada covariante
respecto a xiviene dadapor
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EFtLoco
La red de los matemticos se vuelve ahora ms restrin ida. En un ciertose limita a la red de matemticos activos que estn creanto la vanguardia
quei.vestiga las verdades matemticas.Para comparar, consideremos ahora el enunciado de las matemtica chinasdel lgebra de la dinasta Sung de la figura E. t. La dificultad no esnosotros (si somos occidentales) no conocemos los smbolos individuales,
igualque los occidentales no suelen entender la ecuacin 4 5 9 si la
escribimos
sino que no conocemos las operaciones que determinan el modo en que deben'pularse tales marcadores. Las
matemiticas chinas sc desarrollaban untablero de contar en cuadrados (representado en este testo comounaseriede matrices 0
dependiendo de qu porcin del tablao decontase utilice). El algebra Sung, llamada cl mtodo de los elementos celesta, era un
conjunto de expresiones de constantes etutas a diversos grados med;ante la colocacin de signos encicos del tablero
alrededor del elemento central. Por ejemplo, en la nouaba
europea el marco ea la mitad2x2x
dela tosrimera
columna&laderecha t20y2xy
icue catre los marcos son un
at*umcnto expresado enamba a dc dctccha izqutctda) que
explica cmo sc transforma unaexpresia algcbraxa cn otra. Sc trata dc la expresin verbal de los resultados ma-
temticos. En laprtxa tal. cl mtcm.itxo utilita un conjunto dcestndarpara
manipular los cootsJorrs dcl tabtcro y, de ese o, transfomzuna exptesia en
otra. tas operaciones fsicas y la estructura simblica (no saolos smbolos indsviduatcs
son diferentcs de las reglas cartesianaspara mover
expresiones de un tado dc signo igual (s) al otro.
La similitud est en la formaglobal de la prctica, quepermite la dcrtvacin dc cadcnas dc expresiones mate
mticas las unas patur dc las otras.Un platnico
dira que la forma de enunciacin cs irrelevante, que la deriva-cin que lleva de una
cxptcsin matemtica la otra cs vcrdadcra independientemente de si est escrita
en un argumento vcrbal cn latin, en simbolismo postcartesiano, en lgebra Sung o de
cualquier otro modo, Pero clplatonismo es unameta teora. Da por supuesto lo
que hay quc rrobAt: quc las vetdadcs matemticasexistenen algn lugar de un
reino que nada ttcnc que vct con la actividad humanade realizar afirmactones
matemticas. Eso scpucdc mostrar mediante un casi--m-gito matemtico: si niego que un enunciado
dcbc dc existir cn la forma de algntipo particular dc discurso, en cl mismo acto dc decirlo estoy
mostrando unenunciado dentro de un discurso.Sirecurro a laafirmacin de que las matemticaSdeben de ser trascendentesporqucpucdcn traducirse dc un
lenguaje a otro, hagoque mi afirmacin dependa de la existencia dc la traduccin,
una operacin quepone en conexin diferentes discursos, cosa que no slo no
escapa al discursossino que aade un tipo ms de discurso.S
5. No discuto aqu si, de hecho, tal traduccin es siempreposible. La cuestin es tan slo que latraduccin no
escapa al discurso, En la experiencia social,la traduccin es lafusin de dos redes. Elargumento de
Quine de que existe una multiplicidad de traducciones diferentesposibles entre len-guajes puede
que no sea aplicable a las traducctones matemticas, por motivos que se harn evidentes.
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t*fl.oco
Las matemticasposccn realidad social por el hecho de que setratamente de un discurso dentro de una comunidad social. Pude quepo mnimo de realidad. Sin embargo, no deberamos suponer
que elno esobvtivo e inexorable, el tipo de imperativo fuerte que alde verdad g. Para mostrar por qu el discurso matemtico posee dichasdebemos explorar cl carcter espccftco de las redes matemticas,
Las redes matemtiOS se
encuentran histricamente ligadas
un tie
mente a los matcnttiCOS
anteriores. Eso es as, no slo en el sentido genaJg;cotpico de todos los creativos; que la red central de
creadores tamc.osde una engendra a ta siguiente generacin dc descubridores. Los
ma.tematicos
'tande los descubrtmientosque se ea el
cn explorarI
medi
lade
n cl talcssumen cntcrxtJc
x. y,dc
f(t
cotwcttcrdos cn su historia. ya que laprince viaen convertir
en gemaJoslas matemticas: en formular un que
que anteriormente se asuman y
umbolismo abstracto a unlas reglas de la aritmtica y formula
de
problemas aritmticos,del lgebra
feneran reglas generala Ebre
algebraicas.
En el anlisis, lay hibndos se han sucedido
co tos que abstraat y res
sirnboJos
naaicosnmero. En un niva superi. el
capreoncs cntcras sca cual sea su
forma.mtsmoocurre con 10' grupo'. Io. antltos, los campos, ctctcra. NOlo que ge
tntctPtcta como mitttctO,una incgnita OunaFn un nivel supettot. Ixt OPCtCtottC
Je l' aritmtica convencional sede pucdctt y elaborarse dc varios pata
ortgcn arttmticxg aitCtttatiVAS
Ctt a launas matern.ittcagsuperiores.
matemticxg
son mshistricas dc todas tasdisciplinas, en el sentidOdeque su tema central congigtectscxcavar cn sentido rctrospcctivo Ctt IOque dabaor supuesto en los
trabaiog PtCVtoS,
El lgcbra no slo implica la aritmtica. Yos nivelessuperiores del lgebra, cl
attligis,ctctcra no slo implican los niveleinferiorespreviamente investigados cn egos mbitos.El simbolismo matemtiCO'cn
cualqurermomento de su histori,hacc tcfcrcncia los tipos de operacioneque se
llevabana cabo en las matemticas At'tcriorcs. Es imposible eludir lamulacinhistrica
de resultadosprevios, incrustados cn cl si$nificado de cualquierexpresin
matemticaparticular.La historia dc lxsmatemticas est encarnada enDespusde Descartes, la maquinaria de manipulacin dc ecuaciones ha con-
sistido enprocedimientospara transferir smbolos dc un lado del igual al otro Ypara
reordenar los trminos hasta que laecuacin tenga la forma de lo que se desea
probar. Una de las claves de ese mtodo es su reversibilidad. Los resultadosde las
operaciones
puedentomarsecomopunto departida asignndoles unos signosque sean
manipulablesdentro de la ecuacin. Los smbolos de los nmeros des-
conocidosx, y que satisfacenecuacionesparticulares se tratan como si ya nos fueran
conocidos.Del mismo modo, cualquier otro tipo de expresin, incluidas aquellasque an no
han sido descubiertas,se representa como algo que ocupa un lugar
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ELgeALtsMO
soetotootco
stasrque incluyentantOresultadospasados como futuros, quizs incluso inal-
onzableso imposibles.esposibleponer en marcha losprocedimientos de mani-
Je ecuacionesy llegar aconclustones que revelan cmo serelacionan sus
Enunsenado,el simbolismoes una reificacin.Trata los elementos como si
fueran
cosasalsimbolizarlos a modo de cosa. Otorga una solidez aparente a esta
xoesta loquesupone una tentacin maspara tratar los
objetos de las mate.
mancas
cornost fueran realidadescon la tecnologa
platnicas. Peromanipulacin
esa reificacinde ecuaciones.
es slo provi-Elparapoder operar de
gmbobsmo
pertenece una histona que esta en curso. Apunta tanto hacia atrscomo
adelante. atrasporque el referente ms evidente de un simbolo queun lugr ea una
es algo de un tipo ya descubierto en un nivel msconcreto.
Laxpuede sustituirse por un nmero que resuelva el problema aritm-
puede alguna expresin algebraica concreta. Y como clesabstractoy
geoetal. apunta hacia delante, al espacio dc las postbi.dentro
utu de operaciones. De ese modo, la for-Jc ua umbobsmo lo que
siempre implica nuevos sistemas depara
manipular una coleccin de simbolos
Je descubrimiento,
Ordenes superiores de las matemticastdcttCS
dc sitttboliSttt0Sapuntan. pues, no slotrabo ea los cualessc
fundamentan, sino umbi'problemas
sooalcs.. pues, en dos sentidos a cual mis fuerte: cual-b.xe aun en la medidade comprender una
atttmctxacletncatal.se involucraco un opo dc
discurso social y en una deprofesoresy descubridoes. Y smbolos yprocedimientos
que conforman lasencaman reflcxivamcate la hotoru de esa red
creativa retrospecti-h.sta primeros eslAbooes.La reflexin sobre si mismas,
sobre susanteriores, cottgtituye en si cl edificio de las matemticas superiora,
un
xspccto mas que demuestra que las matemticas son absolutameatesociales. El
tema dc las matematicaS son las operaciones, 00 las cosas,No se trata de un catttF8'que se encargue de examinar
qu tipos de cosas existenea elmundo o, en CU*lqUict
Otta forma, en un tttUttdO
mas all del mundo. Volvasmosalnivelcero de las matemticas:los nmeros. Como un nmero puede tra-tarse
igualque un nombre detttto de una frase, es fcil asumir que un nmero esuna
cosa.Peto elprimitivo del nmero es simplemente el contar, que consiste enhacerunos
gestos, verbales o de cualquicr otro tipo, sealando algo mientras serecitauna secuencia: t 2, La
respuesta a la pregunta euntosb es el n-mero en el que uno se detiene cuando acaba de
gesticular hacia cada una de lascosassucesivamente.Los nmeros son
primordialmente la actividad u operacinde numerar.A eserespecto, los nmeros son como cualquier otro smbolo de los que con-
forman el discurso humano. Su universalidad
procede de su uso universal, no deningunade lascaractersticas de los objetos sobre los que se usan.Numerar es un
procesoque consiste en dividir y sealar. Puede aplicarse a cualquier cosa: a ob-
{tos materialesquepueden estar claramente separados eluno del otro,pero tam-in a cosas
vagamenteperfiladas y cambiantes (como las nubes,por gemplo) oinclusoa
cosasque no son en absoluto cosas, comopueden ser las operaciones
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as ibstracciones e imaginaciones. Numerar es la operacin de
os equivalentes al contarlos. Se convierten en objetos porque selos trata
cin otra,porque son operaciones quepueden aplicarse una y otra vez,
Suneralidadprocefe
del hecho de que son operaciones del discursoLas operaciones de las trutcmiticas son sociales, desde el nivelprimitivo
del
atar en adelante.No se trata tan slo de que aprendemos contarensean, y de que la habilidad de contar est ampliamente extendida en
riade Aqu son relevantes lospriociptos de la de la
, Contarpuede set una actividad social Pblica: yo cuento esos cosasenfrene
estro, te Invito contarlas tambin, o a aceptar mi dlamisma Como
se del discurso externo y cobra significadoslocuando cuentopara mi solo estoy
dentro de ua Y la eoocIusin a la quee ea este el contarproduce universalespotquc una
de cuahutcra que sigala convencin dcl
Lo que del
puede pata ada utu de lasfomu
lasmatcm'tscas, aritmticacontar. la suma oftcc reglas o atajos respect a q
mos atcs un luego cl otro y luego contamos ambos, e igualpasa 15dem operaciones.l clcmctttal los resultados dc vatios
deproblemasantmtxoo Exntc utu generaliudora y rclcxiva que lleva&
unaforma de otra. dcde las operaciones del contar hasta cldeopetxiones sobre gue intrincados nivelesett lasmaten'
ticas abstractas.Ea cada nivel. las matettutieag investigan y clasifican operxiones.Hacen que operaciones sean equivalcntes las unas a las otras tratndol"como
tales.sometindolas un conjunto si'tetttico de operaciones de un ordensuperior.Hacemos que los
nmetOS
dc un gistettta de contar sean equivalentecuando les imponernos lasCOttVCttciOttCS
dc la suma y la resta. Para lasno existeproblema alguno en mezclar
mantart4S connaranjas.
El matemtiCOacuaun nuevoconcepto de lo que cs equivalente para ellos, NO hace falta que IO
equivalente
constituyauna -clase natural%Ottconcepto in tebgs (como,porejemplo,la fruta),
sino slo la equivalenciaque viene dadapor la operaci6npuesta.Sicontarconsisteen
haceruna scric dc gestos, lo que,por consiguienteconviertea algoen una
serie,la aritmticaconsiste cn hacer gestos que sealan aoperacionesde nmeros;el
lgebra elemental cn hacer gestos que sealan a ope-racionesaritmticas;
cl lgebrasuperior cn sealar hacia operaciones del lgebraelemental,tratndolas
como si fueran equivalentes.Losgestosse
hacenen comncon los demsmiembros de la comunidad dematemticos.
Uno seconvierteen miembroadoptando sus convenciones dc co-municacin.La
estructura socialde las matemticastiene forma depirmide Enlabaseestlaenorme comunidad dc
los que usan las convenciones del contar Ylaaritmtica.Como escalones
construidos sobre sta, se encuentran las comunida-desde matemticoscada
vez msespecializadasy esotricas, redes que han adop-6. Si,de hecho, no llegamos al mismo total, que alguien ha cometidoerror, ha reali-
zado
mal la operacin. Eso significa que no hemos sido ambos los que hemos seguido la convencin.