Ejercicios desarrollados
Que propiedades de las relaciones binarias se cumplen?
La relación R se puede escribir de la siguiente manera:
R = { (a, b) ε Z x Z / a ≤ b + 1 }
Lic. Martha Campos V. -1-
Reflexiva
R = { (a, b) ε Z x Z / a ≤ b + 1 }
Para todo a ε Z, (a, a) ε R
En efecto: a ≤ a + 1 es cierto siempre para cualquier valor
que tome a ( Z = Entero)
(a, a) ε R Por tanto R es reflexiva
SimétricaPara todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R
En efecto:
Si (a, b) ε R a ≤ b + 1
b ≥ a - 1
(b, a) ε R Por tanto R no es simétrica
Lic. Martha Campos V. -2-
(b, a) ε R Por tanto R no es simétrica
Contraejemplo
2 ≤ 7 + 1 7 ≤ 2 + 1
a b b a
TransitivaSi (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R
En efecto:
Si (a, b) ε R a ≤ b + 1b ≤ c + 1Si (b, c) ε R
a + b ≤ b + 1 + c + 1
a ≤ c + 2 ≤ c + 1
Lic. Martha Campos V. -3-
(a, c ) ε R Por lo tanto R no es Transiti va
Contraejemplo:
(2, 1) ε R, pues 2 ≤ 1 + 1
(1, 0) ε R, pues 1 ≤ 0 + 1
Luego no es cierto que 2 ≤ 0 + 1, en consecuencia (2, 0) ε R
Antisimétrica
Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b
En efecto:
Si (a, b) ε R a ≤ b + 1 a = b b ≤ b + 1
b ≤ a + 1 b = a a ≤ a + 1Si (b, a) ε R
Lic. Martha Campos V. -4-
b ≤ a + 1 b = a a ≤ a + 1Si (b, a) ε R
Por lo tanto R es Antisimétrica
Ambas serán ciertas siempre que a = b
Reflexiva
La relación R se puede escribir de la siguiente manera:
R = { (a, b) ε Z x Z / kεZ, a = bk }
Para todo a ε Z, (a, a) ε R
Lic. Martha Campos V. -5-
Para todo a ε Z, (a, a) ε R
Como existe 1 ε Z, tal que a = a 1
(a, a) ε R Por lo tanto R es reflexiva
Simétrica
En efecto:
Para todo (a, b) ε R, si (a, b) ε R, entonces (b, a) ε R
Si (a, b) ε R a = b k
b = a 1/ k
,k ε Z
,pero como 1/k ε Z
Lic. Martha Campos V. -6-
(b, a) ε R Por lo tanto R no es simétrica
Transitiva
En efecto:
Si (a, b) ε R a = b k1
b = c k2
,k1 ε Z
, k2 ε Z
Si (a, b) ε R y (b, c) ε R entonces (a, c) ε R
Si (b, c) ε R
Lic. Martha Campos V. -7-
(a, c) ε R Por lo tanto R es transitiva
a = ( c k2 )k1 = c )k1. k2) , k = k1.k2 ε Z
Antisimétrica
En efecto:
Si (a, b) ε R a = b k1
b = a k2
,k1 ε Z
, k2 ε ZSi (b, a) ε R
a = ( a k2 )k1 = a )k1. k2)
Si (a, b) ε R y (b, a) ε R entonces a = b
Lic. Martha Campos V. -8-
a = b Por lo tanto R es antisimétrica
a = ( a ) = a
Para que la igualdad se cumpla k1= 1 y .k2 = 1 ε Z
Relación Binaria
Una relación binaria en un conjunto A se define como un subconjunto R del producto A x A.
R = { (x, y) ε A x A / x ε A e y ε A }
Propiedades:
Reflexiva
Lic. Martha Campos V. -9-
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Antisim étrica
Relación de Equivalencia
� Reflexiva
� Simétrica
� Transitiva
Relación de Orden
Lic. Martha Campos V.-
10-
� Reflexiva
� Antisimétrica
� Transitiva
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