Aplicaciones de las integrales en coordenadas polares
a) Área de una región en coordenadas polares
Formula:
1. Ejemplo: Hallar el área de la figura limitada por la primera y segunda espiral de Arquímedes r = aθ.
r=aθ
A=12∫0
2π
(r22−r12) dθ
A=12∫0
2π
¿¿
A=a2
2∫0
2π
(θ2+4 θπ+4 π2−θ2 )dθ
A=a2
2∫0
2π
(4θπ+4 π 2)dθ
A=a2
2[2θ2π+4 π2θ ]0
2π
A=a2
2(8π3+8 π3)
A=8a2π 3u2
b) Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares
Formula:
1. Ejemplo: Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la cardiode ρ=a (1+cosθ ); a>0 alrededor del eje x.
ρ=a (1+cosθ ); a>0
v=2π3∫0
π
ρ3 senθdθ
v=2π3∫0
π
(a3(1+cosθ)3)senθdθ
v=2a3π3 [−(1+cosθ)4
4 ]0
π
v=2a3π3 (−(1+cosπ )4
4+
(1+cos0)4
4 )v=2a
3π3 (0+(1+1)4
4 )v=2a
3π3 ( 164 )
v=8a3π3
u3
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