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GEOMETRA ANALTICA Y
ALGEBRA
SISTEMAS DE COORDENADAS
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Cada estructura puede utilizar diferentes sistemas de coordenadas para
describir la localizacin de los puntos y las direcciones de las cargas,
desplazamientos, fuerzas internas, y los esfuerzos.
La comprensin de estos diferentes sistemas de coordenadas es crucial para
poder definir apropiadamente el modelo e interpretar los resultados.
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Los sistemas de coordenadas se utilizan para localizar las diferentes partes
del modelo estructural y para definir las direcciones de las cargas,
desplazamientos, fuerzas internas, y los esfuerzos.
Todos los sistemas de coordenadas en el modelo estn definidos con
respecto a un nico sistema global de coordenadas. Cada parte del modelo
tiene su propio sistema de coordenadas local. Adems, es posible crear
sistemas alternativos.
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Las ubicaciones de los puntos en un sistema de coordenadas pueden ser
especificados usando coordenadas rectangulares , cilndricos o esfricos.
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Ubicacin de un punto en el espacio. Distancia entre dos puntos en el espacio
Valor de las funciones trigonomtricas
de ngulos notables.
Recordar
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Logro de la sesin
Al finalizar la clase el alumno ser capaz de:
Describir el espacio tridimensional a travs del sistema de
coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.
Encontrar la representacin cartesiana de una ecuacin dada
en coordenadas cilndricas o esfricas y viceversa.
Haciendo uso de la teora impartida en clase, de forma lgica y
ordenada.
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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANASEN TRES DIMENSIONES
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UBICACIN DE UN PUNTO
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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN TRESDIMENSIONES
Muchas de las frmulas establecidas para el sistema decoordenadas bidimensionales, puede extenderse a tres
dimensiones.
La distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos
veces el teorema pitagrico
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EJEMPLO: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO
Calcule la distancia entre los puntos (2,-1,3 ) y (1,0,-2)
2 2 2
(1 2) (0 1) ( 2 3)
= 1 1 25
= 27
=3 3
d
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Ejemplo:Representar los puntos en el mismo sistema decoordenadas tridimensional y calcular la distancia entre ellos.
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Ya hemos comprobado que ciertas grficas bidimensionales son ms fciles de
representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. En
esta seccin introduciremos dos sistemas alternativos de coordenadas para el
espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilndricas, que es una
generalizacin de las coordenadas polares en el espacio y el segundo ser las
coordenadas esfricas.
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x
y
z
r
z
P , ,r z
, , 0r
Sistema de Coordenadas Cilndricas
En un sistema de coordenadas
cilndricas, un punto P delespacio se representa por un
tro ordenado .
1. (r, ) son las coordenadas
polares de la proyeccin deP sobre el plano xy.
2. Z es la distancia dirigida de
P a (r, ).
, ,r z
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Para convertir de coordenadas cilndricas para rectangulares, usamos las
siguientes ecuaciones:
Cilndricas a rectangulares
zzrsenyrx ,,cos
Rectangulares a cilndricas
zzx
ytgyxr ,,222
Conversin de Coordenadas
Para convertir de coordenadas rectangulares para cilndricas, usamos las
siguientes ecuaciones:
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EJEMPLO:Expresar en coordenadas rectangulares el punto )3,6/5,4(),,( zr
322
34
6
5cos4
x
22
14
6
54
seny
Solucin:
z = 3
As pues, en coordenadas rectangulares ese
punto es
)3,2,32(),,( zyx
Cambio de coordenadas cilndricas a rectangulares
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EJEMPLO:Expresar el punto(x, y, z)=(1, ,2) en coordenadas cilndricas
Cambio de coordenadas rectangulares a cilndricas
3
Solucin:
231 r
2
3)3(3
z
nnarctgtg
Tenemos dos elecciones para r e infinitas para . Sin embargo, dos
representaciones convenientes del punto son:
yr 02,3
,2
yr 02,3
4,2
en el cuadranteI
en el cuadranteIII
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Conversin de rectangulares a cilndricas
EJEMPLO: Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficiescuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin.
xyb
zyxa
2
222
)
4)
2224zyx
Solucin:
a) Si sustituimosx2 + y2 por r2 , obtenemos su ecuacin en cilndricas
224zr
Ecuacin en coordenadas rectangulares
Ecuacin en coordenadas cilndricas
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xy 2
cos22 rsenr
0)cos( 2 rsenr
0cos2
rsen
2
cos
sen
r
ctgsensen
r csc1cos
Ecuacin rectangular
Ecuacin en cilndricas
b)
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Conversin de cilndricas a rectangulares
EJEMPLO: Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la curvadeterminada por la ecuacin en cilndricas.
012cos 22
zr
012cos 22
zr
01)(cos 2222 zsenr
Solucin:
1cos
22222
zsenrr
1222
zyx
1222 zxy
Ecuacin en cilndricas
Ecuacin rectangular
Identidad trigonomtrica
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EL SISTEMA DE COORDENADASESFRICAS
En un sistema de
coordenadas esfricas un
punto P del espacio viene
representado por un tro
ordenado .
1. es la distancia de P
al origen, .
2. es el mismo ngulo
utilizado en
coordenadas
cilndricas para .
3. es el ngulo entre
el semieje z positivo y
el segmento recto OP,
.
, ,
0
r 0
0
P , ,
x
y
z
O
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Conversin de Coordenadas(Esfricas - Retangulares)
P , ,
x
y
z
O
P , ,x y z
x
y
'P , , 0x y
r
z
Del tringulo rectngulo , tenemos:'OPP
Q
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Para convertir de coordenadas esfricas para rectangulares, usamos las
siguientes ecuaciones:
Esfricas a rectangulares
Rectangulares a Esfricas
2 2 2 2
2 2 2
, , arccosy z
x y z tg
x x y z
Para convertir de coordenadas rectangulares para esfricas, usamos las
siguientes ecuaciones:
cosx sen y sen sen cosz
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EJEMPLO 3: Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas para lassuperficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se
especifican a continuacin.
a) Cono
b) Esfera
2 + 2 = 2
2 + 2 + 2 = 9
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Bibliografa
N CDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL AO
1 516.3 OROZ OROZCO MAYREN,
GILBERTO
Geometra Analtica: Teora y
Aplicaciones Trillas 2007
2
516.182
ESPI/E
ESPINOZA, RAMOS
EDUARDO Geometra Vectorial en R3
2004, s.n. 2004
3 516.32
ESPI
ESPINOZA RAMOS,
EDUARDO
Geometra Analtica Plana : Terico-
Prctico S.n 2007
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