5.° grado: Matemática
SEMANA 15
DÍA 4
Resolvemos diversas situaciones utilizando ángulo de elevación y depresión
Leemos y observamos las siguientes situaciones
Situación 1 El 9 de diciembre de 1824 este histórico lugarde la serranía del Perú fue escenario de labatalla de Ayacucho, con la que se selló laemancipación. En conmemoración a esteevento histórico, se erigió un imponenteobelisco de 44 m de altura.Luis, que tiene 1,60 m de estatura observadesde un punto la parte más alta de esteobelisco con un ángulo de elevación de 45°.Luego, avanza en dirección al obelisco y loobserva nuevamente desde otro punto, conun ángulo de elevación de 53°.
Determina la distancia entre los dos puntos de observación.
A partir de la situación:
Resolución
Recuerda: Para formar el ángulo de elevación es importante reconocer la línea horizontal y la línea visual.
A
44 m
45°
1,6 m
• Represento los datos y condiciones de la situación.
Desde el punto A trazo una línea visual a la parte más alta del obelisco con un ángulo de elevación de 45°.
A B
44 m
d
53°45°
1,6 m d
Desde el punto B trazo una línea visual a la parte más alta del obelisco un ángulo elevación de 53°.
Línea horizontal
Línea horizontal
Sigo respondiendo
• Me piden calcular la distancia entre los puntos Ay B, es decir, el valor de d.
Recuerda: Para formar el ángulo de elevación es importante reconocer la línea horizontal y la línea visual.
A B
44 m
d
53°45°
1,6 m d
F
C D
• Relaciono los datos que tengo en el triángulo rectángulo FDC y lo expreso en el siguiente gráfico:
E
C d
53°45°
F
C E D
44 m – 1,6 m = 42,4 m
42,4 m
d
53°45°
42,4 m
F
C E D
Recuerda: Triángulo notable
45°k
k 2 45°k
• En el triángulo FDC notable de 45° y 45°, los lados FD y CD tienen la misma medida.
Sigo respondiendo
Recuerda: Triángulo notable
53°3k
5k 37°4k
• En el triángulo notable FDE de 53° y 37°, relaciono la proporción de la medida de sus lados, con los datos obtenidos.
Sigo respondiendo
42,4 m = 4k
d
53°45°
42,4 m
F
C E D3k
5k
42,4 m = 4k42,4m
4= k
10,6 m = k
• Reemplazo el valor de k en el lado ED.
• Observo que CD = CE + ED, es decir:d + 31,8 m = 42,4 m
d = 42,4m – 31,8 md = 10,6 m
La distancia entre los puntos C y E, que es la misma distancia que entre los puntos A y B es 10,6 m.
A B
44 m
53°45°
1,6 m 10,6m
F
CDE
• Del gráfico inicial, tenemos:
Respuesta: La distancia entre los dos puntos de observación es 10,6 m.
Sigo respondiendo
42,4 m = 4k
d
53°45°
42,4 m
F
C E D3(10,6 m) = 31,8 m
5k
Línea horizontal
53°
1,7 m
37°
Altu
ra d
e la
mon
taña
Altu
ra d
el
teod
olito
Base de la montaña
A B1,7 m
105 m
Situación 2 Un ingeniero, para medir la altura deuna montaña, realiza dos observacionesa la parte más alta con la ayuda de unteodolito que está a 1,7 metros dealtura respecto al nivel del suelo. Desdeun primer punto, observa la parte másalta con un ángulo de elevación de 37°.Luego, camina 105 metros en línea rectahacia la base de la montaña y desdeeste nuevo punto, a igual altura que laanterior, lo observa con un ángulo deelevación de 53°.
A partir de la situación, responde:
¿Cuál es la altura de la montaña?
Línea horizontal
53°
1,7 m
37°
Altu
ra d
e la
mon
taña
Altu
ra d
el
teod
olito
Base de la montaña
A B1,7 m
105 m
• Represento los datos y condiciones de la situación.
Línea horizontal
53°
1,7 m
37°
Altu
ra d
e la
mon
taña
Altu
ra d
el
teod
olitoBase de la montaña
A B
TeodolitoEs un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales, sobre todo, horizontales.
Resolución
C
D
• Modelo la montaña con el siguiente triángulo:
Piden la altura de la montaña: x + 1,7 m.
x
105 m
53°
1,7 m
37°
• Observo que al ángulo de 53° y al de 37° se le opone el mismo lado que mide x.
• x debe poder expresarse como 4k y 3k al mismo tiempo, es decir, un número que los contenga a ambos M. C. M. (4k; 3k) = 12k.Entonces, x = 12k .
53°
1,7 m
37°
Altu
ra d
e la
mon
taña
Altu
ra d
el
teod
olito
Superficie terrestre
xC
D
C
D
A B
A
B
Sigo respondiendo
• Busco k en la relación de la medida de los lados del triángulo.
• En el triángulo DCA: relaciono la medida de los lados en el triángulo rectángulo de 53° y 37°.
12k = 4(3k)
105 m
53°
1,7 m
37°
3(3k) = 9k
Busco que 12k tenga una forma de 4 por 3k.
37°
Recuerda:
53°3k
5k37°
4k
• En el triángulo DCB: relaciono la medida de los lados en el triángulo rectángulo de 37° y 53°.
1,7 m
37°
Altu
ra d
el
teod
olito
Superficie terrestre
Altu
ra d
e la
mon
taña
12k = 3(4k)
4(4k)= 16k
53°
Busco que el 12k tenga una forma de 3 por 4k.
A B
C
D
C
DB
Sigo respondiendo
• Reemplazo los valores en la figura inicial y hallo el valor de k.
53°
1,7 m
16°
Altu
ra d
el
teod
olito
Superficie terrestre
Observo que: 9k + 105 m = 16k105 m = 16k – 9k105 m = 7k105 m
7 = k
15 m = k
9k 105 m16k
Altu
ra d
e la
mon
taña
12k
Altura de la montaña = x + 1,7 m
12k
Por lo tanto: x = 12kx = 12(15m) = 180 m
Nos piden la altura de la montaña:x + 1,7 m = 180 m + 1,7 m = 181,7 m
Respuesta: La altura de la montaña es 181,7 m.
BA
C
D
Sigo respondiendo
Gracias
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