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APLICACIÓN DE LA INTEGRALDEFINIDA: CÁLCULO DE
VOLÚMENES POR EL MÉTODODE DISCOS Y ARANDELAS
ANÁLISISMATEMÁTICO II
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PROPÓSITO
Identifca y
plantea losprocedimientosdel método delos discos yarandelas para elcálculo devolúmenes.
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INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólidoenfrentamos el mismo problema que al tratar decalcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a unadefinición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidossencillos como cilindros prismas.
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A!
Cilindro "ecto# $ A!
r
!
Cilindro circular# $ πr%!
ab
c
Paralelep&pedo"ectangular
# $ abc
'l volumen de un sólido cualquiera podrádescomponerse en la suma de volúmenes de sólidoselementales como los anteriores
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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DEREVOLUCIÓN.
(ólido de revolución es el que se obtiene al girar una región delplano alrededor de una recta del plano llamada eje derevolución.
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METODO DELDISCOEste método consiste en coger una sección transversal de la figura,
que al momento de hacerla girar alrededor de algún eje nos genere un
sólido de evolución.
a xi b
xi
y=!x"
!xi"
Diferencial devolumen
)xi
f * x i+
( )[ ] i i i
x x f V ∆=∆ %
π
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TEOREMA
(ea f una función continua en el intervalo a, b- f * x + / en a, b-. 'l volumen del sólido obtenido algirar alrededor del e0e 1 la región limitada por lacurva y $ f * x +, las rectas x$a, x$b el e0e 1 es2
METODO DELDISCO
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i in
i
b
a
V f x x
f x dx
→ ∞=
= π ∆
= π
∑
∫
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EL METODO DE LOSDISCOS'n s&ntesis2
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Ejemplo01Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor deleje x la región bajo la curva: , de 0 a .
Solución El sólido est! entre x"0 # x", graficamos sacamos un disco$disco rosado%.
El volumen de este disco ser! ,( ) 2
dV x dx xdxπ π = =
1
0 2
V xdx π
π = =∫
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Ejemplo02.Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girarla región limitada &or alrededor
del eje #.Solución
Tenemos que despej! en "#!minos de $% s&
'!(cmos $ scmos el disco )disco !osdo*+
El volumen de este disco ser! ,dd$
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METODO DE LS!"DELS
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METODO DE LS!"DELSEste método lo usamos cuando tenemos ' funciones a
graficar # estas nos forman un sólido hueco, al rotarlosacamos un disco que tiene forma de anillo:
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3'4"'5A
(ean f g dos funciones continuas en a, b- tales
que f * x + g* x + para toda x en a, b-. 'l volumendel sólido generado al rotar alrededor del e0e 1 laregión limitada por f * x +, g* x + las rectas x=a x=b será2
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i in
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx
→∞=
= π − ∆
= π −
∑
∫
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Ejemplo01Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la regiónencerrada &or las curvas # " x , # " x( en torno al eje x.
Solución ,!ime!o "enemos que i-ul! ls cu!s p! o/"ene! suspun"os de in"e!sección+
En es"e pun"o "enemosque mi!! cul es el !dioe"e!no $ cul el in"e!no.El !dio in"e!no es $ $el !dio e"e!no es$. A3o! 3llmos el
olumen+,
x " x(, x"0 # x"
#a con los &untos de intersección graficamos # rotamos, sacando el anillo
que nos resulta $anillo rosado%
2 2( )b
a
V R r dxπ = −∫
1
2 4
0
2( )
15V x x dx
π π = − =∫
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Ejemplo02Clcul! el olumen en-end!do l -i!!
l!ededo! del eje O4 el !ecin"o limi"do po! ls-!5(cs de $ 2 62% $ 6 7 2.Solución Puntos de intersección entre la parábola la recta2
6a parábola está porencima de la recta en elintervalo de integración.
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Ejemplo08Clcul! el olumen del sólido 9o!mdo cundo l
!e-ión comp!endid en"!e l cu! $ 1 72 62 $
l !ec" $ : 1 -i! l!ededo! de l !ec" $ : 2Solución
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;.Solución
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E#ERCICIOS PARARESOLVER EN
CLASE
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#$.
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#%. L !e-ión en"!e ls cu!s-i! l!ededo! del eje $ 2 -ene!ndo un sólidode !eolución.
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#&. L !e-ión limi"d po! l !ec"po!
l p!5/ol -i! l!ededo! deleje $ =1.
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#'.
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#(. >ll el olumen del sólido de
!eolución que se 9o!m l -i!! l !e-iónco"d po! ls -!5(cs de ls ecuciones l!ededo! del eje
4 x =
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#).
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#*.
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#+. >ll el olumen del sólido de !eolución quese o/"iene l -i!! l!ededo! del eje @% l !e-iónence!!d po! ls cu!s 2 : 2$ 0% $ 8 : 8 7 % ls !ec"s 2B 0
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,!CIS