Objetivos
Parametrizar y graficar una curva en el plano.
Determinar las ecuaciones paramétricas de una
curva descrita por lugares geométricos.
Parametrizar y graficar una curva en el espacio.
Calcular la primera y segunda derivada de una
curva paramétrica.
Parametrización de curvas
Se dice que una curva 𝐶 en ℝ2 es una curva parametrizada, si
existe una función vectorial 𝛼: 𝑎; 𝑏 → 𝑅2 tal que 𝛼 𝑎; 𝑏 = 𝐶.
A la función 𝛼 𝑡 = 𝑥 𝑡 ; 𝑦 𝑡 se le llama parametrización
de la curva 𝐶.
Ejemplo:
Parametrizar la siguiente curva: 𝑪: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗
solución:
Expresando 𝑥 = 𝑥(𝑡) y 𝑦 = 𝑦(𝑡), se tiene
𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑡
Entonces: 𝛼 𝑡 = (3𝑐𝑜𝑠𝑡; 3𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑡 ∈ 0; 2𝜋
Ejemplo
Elimine el parámetro 𝑡 de la curva cuyas ecuaciones
paramétricas son
Además, represente la curva y determine su orientación
𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑦 = −3𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡 ∈ 0; 2𝜋
Solución
𝑥2
4+
𝑦2
9=1
Usando la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 1
produce la siguiente ecuación:
Ejercicio
Solución
En los siguientes ejercicios, elimineel parámetro 𝑡 de las curvas
parametrizadas. Represente la curva y determine su orientación:
a) 𝑥 = 𝑡 − 1
𝑦 = 𝑡(𝑡 + 4) b)
𝑥 = 𝑎 cos3 𝑡 𝑦 = 𝑏 sen3 𝑡
Ejemplo 1
Parametrice la curva de intersección del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1
y el plano 𝑦 + 𝑧 = 2.
Solución
Expresando 𝑥 = 𝑥(𝑡) y 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), se tiene
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡; 𝑧 = 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝛼 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑠𝑒𝑛𝑡; 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 ∈ 0; 2𝜋
Solución
Parametrice la curva definida por las ecuaciones:
𝑦 = 𝑥
𝑧 =𝑥2
2
desde el punto (0;0;0) hasta el punto (1;1; 2
2).
Ejemplo 2
Bibliografía
[1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Cálculo Esencial
1ª ed. México: Cengage Learning
[2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y
contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning
[3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México: Limusa
Wiley.
[4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes
tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.
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